Ejercicios de Estadistica Resueltos

MEDIAS MUESTRALES1. DISTRIBUCIONES DE LA MEDIA MUESTRAL: EJERCICIO Nº 01: Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas. Solución: Este valor se busca en la tabla de z La interpretación sería que la probabilidad de que la media de la muestra de 16 focos sea menor a 775 horas es de 0.0062. EJERCICIO Nº 02: Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente en forma normal con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 sin reemplazo de esta población, determine: a. El número de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8 centímetros. b. El número de medias muestrales que caen por debajo de 172 centímetros. Solución: Como se puede observar en este ejercicio se cuenta con una población finita y un muestreo sin reemplazo, por lo que se tendrá que agregar el factor de corrección. Se procederá a calcular el denominador de Z para sólo sustituirlo en cada inciso. a. (0.7607)(200)=152 medias muestrales. b. (0.0336)(200)= 7 medias muestrales 2. DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS EJERCICIO Nº 01 En un estudio para comparar los pesos promedio de niños y niñas de sexto grado en una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de 25 niñas. Se sabe que tanto para niños como para niñas los pesos siguen una distribución normal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviación estándar es de 14.142, mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas del sexto grado de esa escuela es de 85 libras y su desviación estándar es de 12.247 libras. Si representa el promedio de los pesos de 20 niños y es el promedio de los pesos de una muestra de 25 niñas, encuentre la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 niños sea al menos 20 libras más grande que el de las 25 niñas. Solución: Datos: 1 = 100 libras 2 = 85 libras 1 = 14.142 libras 2 = 12.247 libras n1 = 20 niños n2 = 25 niñas =? Por lo tanto, la probabilidad de que el promedio de los pesos de la muestra de niños sea al menos 20 libras más grande que el de la muestra de las niñas es 0.1056. 2 años B = 6. Los tubos de la compañía A tienen una vida media de 7.7 años con una desviación estándar de 0.EJERCICIO Nº 02 Uno de los principales fabricantes de televisores compra los tubos de rayos catódicos a dos compañías.2 años con una desviación estándar de 0.8 años B = 0.8 años. Solución: Datos: A = 7. Determine la probabilidad de que una muestra aleatoria de 34 tubos de la compañía A tenga una vida promedio de al menos un año más que la de una muestra aleatoria de 40 tubos de la compañía B.7. mientras que los de la B tienen una vida media de 6.7 años A = 0.7 años nA = 34 tubos nB = 40 tubos =? . 23km/L para la primera gasolina y una desviación estándar de 1.37 Km/Lto n1 = 35 autos n2 = 42 autos a.23 Km/Lto 2 = 1. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio se encuentre entre 0.65 y 0.37km/L para la segunda gasolina.EJERCICIO Nº 3 Se prueba el rendimiento en km/L de 2 tipos de gasolina. Datos: 1= 1. encontrándose una desviación estándar de 1. Solución: En este ejercicio no se cuenta con los parámetros de las medias en ninguna de las dos poblaciones. =? . ¿Cuál es la probabilidad de que la primera gasolina de un rendimiento promedio mayor de 0.45km/L que la segunda gasolina? b. a.83km/L a favor de la gasolina 1?. se prueba la primera gasolina en 35 autos y la segunda en 42 autos. por lo que se supondrán que son iguales. .83 Km/Lto a favor de la gasolina 1 es de 0.65 y 0. ? La probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio en las muestras se encuentre entre 0.0117.b. 00676 RESPUESTA: P (p > 0.7 N (0.47) = 1 ² 0.47) = 1 ² P (z ” 2.7)/200) = 2.30)/(¥(0.7)/200) n=200 Hallar: P (p > 0.3. Si seleccionamos al azar a una muestra de 200 personas y las encuestamos. DISTRIBUCION NORMAL DE LA PROPORCION: EJERCICIO Nº 01: En una determinada población el 30% votarían por el partido X en caso que se celebrasen las elecciones el día de mañana.3 p q=0.3*0.47 P (p >0.38) = 0. obtenga la probabilidad de que las personas que expresen esa intención de voto superen el 38%. (0.00676 .3 .38) = P (z • 2.38) z = (0. SOLUCION p= 0.38 ² 0.3*0.99324 = 0. 791 SOLUCIÓN p= 0.75) = 0.2 N (0.EJERCICIO Nº02 Supongamos que con una terapia para tratar ´el miedo a volar en aviónµ se recupera el 80% de los pacientes. (0.2)/16) n=16 Hallar: P (p • 0.79103 .75 ² 0.2)/16 = -0.75) z = (0.0.81) = 1 ² 0.81) = 1 .8 .20897 = 0.8*0.81 P (p • 0.79103 RESPUESTA: P (p • 0.8 p q=0.P (z ” -0. Si seleccionamos al azar 16 pacientes que han acudido a la consulta de un psicólogo clínico con este tipo de fobia ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 12 se hayan recuperado y puedan tomar aviones? 0.8*0.8 ² (1/2*16))/¥(0.75) = P (z • -0.798 «. Obtener el intervalo de confianza para la diferencia de proporciones poblacionales al nivel de confianza 0'96 ¿Podemos pensar que la proporción es la misma? Sustituyendo en el intervalo: = ? 0'15  0'2265. 0'15  0'2265A! ? 0'3765. obteniéndose que en la empresa A había 16 mujeres y en la empresa B. de 40 empleados entre los diplomados y licenciados. pero el extremo inferior se aleja bastante de cero. 22 mujeres.4.0'0765A El intervalo contiene al cero.s. DISTRIBUCION NORMAL DE LA DIFERENCIA DE DOS PROPORCIONES: EJERCICIO Nº 01: En dos grandes empresas se lleva a cabo un estudio sobre la proporción de mujeres entre sus empleados diplomados y licenciados.a. De cada empresa se toma una m. . Solución: Primero se encontrará el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue: El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de 0. el valor de la probabilidad es P(s2>2) .01. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos. DISTRIBUCIÓN DE LA VARIANZA MUESTRAL: EJERCICIO Nº 01 Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribución normal con una desviación estándar =1 minuto. encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2. En consecuencia.5. 1 b. Mayor que 9. Primero se procederá a calcular el valor de la ji-cuadrada: Al buscar este número en el renglón de 24 grados de libertad nos da un área a la derecha de 0.EJERCICIO Nº 02: Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones.462 y 10.05. de una población normal con varianza varianza muestral: .05 .745 Solución. a. Por lo que la P(s2 >9.1) = 0. tenga una a. Entre 3. 846 se encuentra un área a la derecha de 0. Al buscar el valor de 13.95.745) = 0.01 quedando 0.98 da un área a la derecha de 0.462 s2 10. Se calcularán dos valores de ji-cuadrada: Aquí se tienen que buscar los dos valores en el renglón de 24 grados de libertad. El valor de 42. Por lo tanto la P(3.95 menos 0.94.94 . Como se está pidiendo la probabilidad entre dos valores se resta el área de 0.01.b. 3 ¸ ¨ X p N © Q.1 Estimación interválica o confidencial EJERCICIO Nº01 Deseamos valorar el grado de conocimientos en Historia de una población de varios miles de alumnos. que la desviación típica poblacional es W =2.32. La media de esta muestra de 100 alumnos ha resultado ser x =6. Nos proponemos estimar Q pasando una prueba a 100 alumnos. ESTIMACIÓN DE LA MEDIA POBLACIONAL: POBLACIÓN MUESTRA 1. Sabemos. 2.ESTIMACION DE PARAMETROS 1. Halla el intervalo de confianza de Q con un nivel de confianza del 95%.3. por estudios anteriores. ¹ ! N . Solución: Puesto que n=100. sabemos que . en el ejemplo anterior es L=0.32  0. 45.32  0. 23 L L L L ) ! 0.975     P( eZe ! 1. podemos rebajar el error máximo admisible a costa de rebajar el nivel de confianza. al 95%.1))   P ( Z e ) ! 0. 23   L ! 1.6.87 y 6.96 ™ 0.96 ( ver tabla ) 0.32  L e X e 6. que aunque no sabemos el valor de Q . L.77 con una probabilidad del 95%µ.32  L) ! 0. Al radio del intervalo de confianza.87. 0.23 100 º ª 6. tendremos que aumentar el tamaño de la muestra.6. ´podemos asegurar que estará entre 5. 23 0. y según esta muestra. Notas: Para un tamaño muestral fijado.Q . 23 0. se le llama error máximo admisible. 23 0. 45] ! [5. 23 0.95   P( es [6. . 23 ! 0. con lo que el int ervalo de confianz a para Q . 23 0. 45 .77] Esto quiere decir.95 ( donde Z p N (0.32  L  Q X  Q 6. P (6.32  L  Q ) ! 0.45. Si lo que queremos es mantener fijo el nivel de confianza y rebajar el error.95 e e 0. como ¨ 2. x elegimos una muestra de 100 taxistas y obtenemos una media muestral  =15.EJERCICIO Nº 02: En el ejemplo anterior. 20 ©   P©Z e 2. 3 ¹ n º 0. 9 5   P © 2. 2 0 ) ! 0 . a) Determina el intervalo de confianza al 99% para Q .20? Solución: Si el intervalo de confianza ha de ser [ x -0. y manteniendo el nivel de confianza en el 95%. ¹ n º. Para ello. 3 2. 9 6 ™ 2 . Sabemos por estudios anteriores que W = 2. entonces. ª ¨ © 0. 3 n ! 1. 95 ¹ º ¸ 0. ¿cuál ha de ser el tamaño de la muestra para que el error máximo admisible sea L=0. 3 © n ª   ¸ ¹ ¹ ! 0. b) ¿Cuál ha de ser el tamaño mínimo de la muestra para que el error no supere los 500 km con la misma confianza del 99%? . 20 e Z e P ( x  0 . 3 © n n ª ¨ 0. 2 0 e X e x  0 . 54   n $ 508 0. 20 EJERCICIO Nº 03: Queremos saber la media de km recorridos por los taxistas de cierta población. 9 6 ( v e r ta b la ) ¹ ! 0. 3 ! 2. 975   2. 20 0.250 km. x +0.200 km.20].20. 9 6   2.3 ¸ X p N © Q. 20 ¹ ! 1. 20 ™ n ! 1. ¹ ! N .250 ¸ X p N © Q.Solución: ¨ 2. 5 7 5 ( v e r ta b la ) 2 . 225 100 ª º Puesto que n=100 (u30).99 eZ e 225 225 L L ) ! 0. a ) P (15. Si más de la mitad respondieran NO entonces preferiría no plantearla para no minar su prestigio. ¿Entre qué límites se hallará la verdadera proporción al nivel del 95%? Como el tamaño muestral es grande. y según esta muestra. es [14.200  L e X e 15. podemos aplicar el teorema central el límite.C. Tenemos E 1 E ! 0 ' 95  1  ! 0 ' 975   z E !1' 96 2 1  2 . 3 2   n u 1 3 5 n ! 500 P(Z e   2.200  L ) ! 0. 5 9   n $ 1 3 4 .2 5 0 2 .15.621. 99 ¹ ¹ º 500 n 500 n ) ! 0.250 ¸ X p N © Q. 225 225 con lo que el int ervalo de confianza para Q . entonces. Para salir de dudas. ¹ n º ª ¨ 500 500 e Z e P ( x   5 0 0 e X e x   5 0 0 ) ! 0 .Q . elige aleatoriamente a 100 trabajadores a los que hace la pregunta y sólo 30 responden NO. sabemos que . ha de ser [ x -500.2 5 0 ! 1 1.779]   P(Z e b) Si el I.575 ( ver tabla)   L ! 579. 5 7 5 ™ 2 .1 Estimación puntual EJERCICIO Nº 01: Uno de los líderes de un colectivo laboral desea plantear una cuestión a todos los miembros del grupo.995   ! 2. x +500]. 995   ! 2 .2 5 0 n n ª ¸ ¹ ! 0. ¨ 2.2 5 0 2 . 9 9   P ©© 2250 © 2 . al 99%. ESTIMACIÓN DE PROPORCIÓN POBLACIONAL 2. como.99   P ( L L ) ! 0. 25000. 25000. 43750. 37250.98 ! ! 0. 37500.67 Q= 1. 37500. 12500.67 = 0.33 ZE / 2 H 0. la verdadera proporción está en el intervalo ?0' 2102 . P: p s zE / 2 N n N 1 PÖ ! p ! 0.67 p = 24 clorofila oscila de x= nº de días cuya producción de 12500 a 37250. 37250. 6250. 25000. 98 A EJERCICIO Nº02: Se elige una muestra de la producción fitoplanctònica en un estanque. 0 ' con un nivel de confianza del 95%. 10000. 25000. x Calculamos la proporción muestral: p = n donde x = nº de elementos que cumplen con la característica en estudio. 43750. La información es la siguiente: n = 24. 15000. 0 ' 3898 A . 37500. Para ϻ = 98. 25000. 50000.7900 2 2 Tabla normal = z = 2.33 . 0 ' 3  1' 96 100 100 ¼ ½ Por tanto.Sustituyendo los valores en el intervalo correspondiente: « ¬0 ' 3 1' 96 ­ 0 ' 3 ™0' 7 0 ' 3 ™0 ' 7 » ! ?0 ' 2102 . 16 ! 0. 37500. 12500. durante el mes de mayo de 1999 (fertilizada con nutrilake y superfosfato triple de fósforo SPT) estime la proporción de días cuya producción de clorofila oscila de 12500 a 37250. 12500.p = 1 ² 0. 6250. 43750. N = 50 15000. 32500. 83 ) = 0.762) = 0.67 + 1.67 = 0.83 Estimacion intervalica EJERCICIO Nº 01: Una compañía que fabrica pastelillo desea estimar la proporción de consumidores que prefieran su marca. Calcule un intervalo de confianza del 95% para la venta de la proporción de compradores que prefieren la marca de esta compañía.67 s 2.67 a= 300 q= 1 ² 0.975 zǂ/2 = 1.33)/450 < p P (0.67 s 0.51 .33 0.37250 oscila de 0.95 = 0. la proporción de días cuya producción de clorofila oscila de 12500 .95 .05 < 0.67 ² 0.33)/450)] = 0.67 + 0.51 P ( 0. Los agentes de la compañía observan a 450 compradores. del número total observado 300 compraron los pastelillos.67*0.16 0.96*¥(0.67)(0.98 de confiabilidad.96*¥(0.578 < p < 0.16 .P: (0.67*0.96 p= 300/450 = 0. 0.51 p 0.67 ² 1.95 ǂ= 1 ² 0. 0.95 P (zǂ/2) = 0. SOLUCION n= 450 IC= 0.83 0.33) 50  24 24 50  1 0.98 Al 0.16 .33 P [(0.0. 96 p= 30/100 = 0.3898) = 0.3 q= 1 ² 0.3898] para un nivel de confianza del 95%.7)/100 < p P (0.975 ǂ= 1 ² 0.762] para una confianza del 95% EJERCICIO Nº 02: Uno de los líderes de un colectivo laboral desea plantear una cuestión a todos los miembros del grupo. Para salir de dudas.3*0.7 P [(0.INTERPRETACION: La proporción de compradores que prefieren los pastelillos oscila entre [0. Si más de la mitad respondieran NO entonces preferiría no plantearla para no minar su prestigio. elige aleatoriamente a 100 trabajadores a los que hace la pregunta y sólo 30 responden NO.2102 < p a= 30 < 0.96*¥(0.96*¥(0.95 INTERPRETACION: La verdadera proporción oscila en el intervalo [0.3 ² 1.3 = 0.2102 ² 0.95 < 0.95 = 0. ¿Entre qué límites se hallará la verdadera proporción al nivel del 95%? SOLUCION: n= 100 IC= 0.95 P (zǂ/2) = 0.05 zǂ/2 = 1.578 ² 0.3*0.7)/100)] = 0. .3 + 1. 56 y -11. ESTIMACIÓN DE LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS POBLACIONALES 3. Se sabe de antemano que las desviaciones poblacionales son de 6.24 e = ± 2.3364 La resistencia a la tensión de tornillos de la marca B es superior a la marca A.3 ǔ2= 6. Seprueban 50 piezas de cada tipo de cuerda bajo condiciones similares. mientras que la marca B tuvo una resistencia promedio de 87. la marca A tuvo una resistencia promedio a la tensión de 78.6 Kg ÚX1= 78. .2 Kg.1 Estimación puntual EJERCICIO Nº 01: Se comparan dos tipos de rosca de tornillo para ver su resistencia ala tensión.3. SOLUCION: ǔ1= 5.3 Kg ÚX2= 87.3 Kg para la B.2 n1 = n2 = 50 Zǂ/2= 1.96 Ǎ1-Ǎ2: y -6. Determine el intervalo de confianza del 95% para la diferencia de las dos medias poblacionales.5 Kg para la marca A y 6.3 Kg. 524 e = ± 2.58 Sp2 = 2163.39 m2 Sp = 46. .21 n1 = 14 ÚX2= 163.51 m S2 = 31.EJERCICIO Nº 02: Los zoólogos están interesados en la distancia promedio que un cierto tipo de mamífero viaja desde su madriguera.39 Ǎ1-Ǎ2: y y 114. y de la población 2 fue: 129-212-213-191-157-143-136-148-138-167. SOLUCIÓN: ÚX1= 223. la información en metros de la población 1 fue:176-289-181-226-265-174-260-260-325-145-207-245-228-144. suponga que las desviaciones poblacionales son iguales. Un equipo de vigilancia observa dos poblaciones de estos mamíferos.09 5. Calcule e interprete un intervalo de confianza del 99% para la diferencia media de la distancia desde la madriguera de las dos poblaciones.4 n2 = 10 S1 = 54.3364 Ǎ1 en ambos casos debe ser mayor. 3. obtener los intervalos de confianza al nivel de riesgo 0'05 para la diferencia entre las medias del tiempo de inscripción para las dos universidades. En cada universidad se tomaron los tiempos de inscripción de 31 alumnos tomados al azar. . Los dos desean comprobar el tiempo promedio que toma la inscripción de los alumnos. Para el apartado a Sustituyendo los valores en el intervalo obtenemos: Para el apartado b. a) suponiendo que las varianzas poblacionales son . Las medias y . buscamos en la tabla de la t de Student Sustituyendo los valores en el intervalo obtenemos: .2 Estimación interválica EJERCICIO Nº01: Dos universidades públicas tienen dos métodos distintos para inscribir a sus alumnos. b) suponiendo que las varianzas poblacionales son desconocidas pero iguales. Si desviaciones típicas muestrales fueron: se supone que el muestreo se llevó a cabo en dos poblaciones normales e independientes. . . . 6250. 57500. 30000. n1  n2  2 ) WÖx1  x2 W x 1 x 2 = 2 sc ( 2 sc 2 1 1  ) n1 n2 ( n  1) sc  ( n2  1) sc ! 1 n1  n2  2 En n1 .EJERCICIO Nº02: La información siguiente muestra la producción fitoplanctònica (clorofila) por estanques ( E1 . Se desea estudiar la diferencia de medias poblacionales. 50000. 43750. 30000. 12500. 30000.90 La información es: N1 ! 26 n1 ! 15 . 50000. 43750. 2 x1 ! 30110. 12500. W 2 ! ? Q1  Q2 : ( x1  x2 ) s ( tE / 2 . 26100.37500. 28400 N 2 ! 26 n2 ! 19 25600. n1 ! 15 30. Para ϻ = 0. 25000. 25000. 37500. 10000. 12500. 37250. 12500. 10000. 6250. 37500.00000 usamos ´tµ . contando con muestras n1 ! 15 ( E1 ! Es tan que1 ) Y n2 ! 19 ( E2 ! es tan que2 ). 350000. 6250. W 2 ! ? . 10000. 43750. 125000. 250000. E2 ) fertilizados con Nutrilake y superfosfato triple de fósforo (SPT). 37250. 12500. 32500. n2 ! 18 30. 596) ϻ = 0. -1076. .79 + 6952.05 12827.05 5875.26 P (  1076.6944)(10011.79 s 6952.15  19  2) ! (0.6( 1 1  ) ! 10011. al 0.10 .84.90 La probabilidad de la diferencia en producción de clorofila en los dos estanques fertilizados oscila de 0 ² 12872.32) ! 0.2 2 s 2 ! 243825848 (15  1)(160692214.00000  24234.6 15  19  2 W x1 x 2 ! 840180476. s2 ! 15614.84 12872.90.44328 .21053 En n2 .90.26 Q1  Q 2 5875. n1  n 2  2 ) ! t 0.05 .21053) s (0. x2 ! 24234.798 ² 6952.10 t(E / 2.s1 ! 12676. E ! 0.84) ! 0.596 15 19 Q1  Q2 ! (30110.05.92389 . 2 ss ! 2 s1 ! 160692214 .6944 2 : 5875.2)  (19  1)( 243825848) 2 sc ! 840180476 . Se establece la regla de decisión: Rechazar la hipótesis nula si la ficha es de 100. 50 fichas con el número 10 y 10 fichas con el número 1. La caja A tienen 40 fichas con el número 1. Se elige una caja al azar. FICHAS 1 10 100 Número de fichas en caja A 40 50 10 Numero de fichas en caja B 10 50 40 a. y de ella se saca una ficha. 50 fichas con el número 10 y 10 fichas con el número 100. caja A y caja B. HIPÓTESIS SIMPLE O UNILATERAL EJERCICIO Nº1 Se tiene dos cajas. La caja B tiene 40 fichas con el número 100.HIPOTESIS ESTADISTICA 1. Usted no sabe si es la caja A ó B. H0 : La caja es la A. ¿Cuál es la probabilidad de cometer el error tipo II? Solución: La probalidad de cometer el error tipo II es beta: Ⱦ ൌ ሺƒ…‡’–ƒ”଴ Ȁଵ ‡•˜‡”†ƒ†‡”ƒሻǤ Ⱦ ൌ ሺ•ƒ…ƒ”—ƒϐ‹…Šƒ†‡૚׆‡૚૙†‡Žƒ…ƒŒƒ۰ሻǤ Ⱦ ൌ ૟૙Ȁ૚૙૙ Ⱦ ൌ ૙Ǥ ૟૙ . Se tiene las hipótesis: H1 : La caja es la B. ¿Cuál es la probabilidad de cometer el error tipo I? Solución: La probabilidad de cometer el error tipo I es el nivel de significación de alfa: Ƚ ൌ ሺ”‡…Šƒœƒ”଴ Ȁ଴ ‡•˜‡”†ƒ†‡”ƒሻǤ Ƚ ൌ ሺ•ƒ…ƒ”—ƒϐ‹…Šƒ†‡૚૙૙†‡Žƒ…ƒŒƒ‫ۯ‬ሻǤ Ƚ ൌ ૚૙Ȁ૚૙૙ Ƚ ൌ ૙Ǥ ૚૙ b. 2. El resultado de la muestra realizada detecto un total de 26 personas que fumaban Malboro.10 Regla de decisión o Región crítica: Se rechaza la Hipótesis nula si Z c   Z E . se entrevistaron a 200 fumadores para determinar la eficiencia de la campaña publicitaria..13.10.645 .es decir.. Por lo tanto este es un tes de una cola o unilateral. ¿Pueden considerarse que esos datos presentan evidencia suficiente para indicar que hubo un aumento en la aceptación del cigarrillo Malboro. Después de una campaña publicitaria del cigarrillo Malboro.. 26  ! 0.90..10 H1 : p " 0.. Z c " 1. Obtenga las conclusiones del planteamiento desarrollando un contraste de hipótesis con un nivel de significancia del 5 %. p ! 200 Hipótesis: H 0 : p ! 0.. SOLUCIÓN: Para resolver el problema se plantea una hipótesis altenativa unilateral por la derecha.c..q ! 0.. rechaza para valores grandes de fichas.645 . ¿En este un test de hipótesis de una ó de dos colas? X X X X 1 H0: Caja A X X X X X X 10 100 X X X X 1 H0: Caja B X X X X X X 10 100 Solución: La dirección del extremo en esta hipótesis es hacia la derecha.. Datos: p ! 0.n ! 200 . Por tabla se sabe que al 5 % por la derecha Z E ! 1. . HIPÓTESIS COMPUESTAS O BILATERALES EJERCICIO Nº 01: Se sabe que el 10 % de los fumadores prefieren la marca de cigarrillo Malboro. q 0.13  0.41 Zc ! p.10. es decir.10 0.03 ! ! ! p Z c ! 1.10 con un nivel de significancia de 0. Z c ! 1.96 .41 1.05.Aplicando formula se tiene:  p  p 0. se acepta H 0 : p ! 0.41 cae dentro del área de aceptación.9 0. .00045 0.03 0. lo que indica que la campaña publicitaria no fue efectiva ya que de ✁ haberlo sido se hubiese aceptado la hipótesis 1 : p " 0. por lo tanto. Esto se puede observar en la grafica A en donde Z c ! 1.02127 n 200 Conclusión: Como Z c es menor que Z E . el 10 % de los fumadores prefieren Malboro.1x 0. deben tomarse las medias necesarias para corregir esta situación. +’] Zo = (748 ² 750)/ (5/¥100) = -4 Como: Zo E RR/Ho Rechazamos Ho Por lo tanto.96] U [1.96 RA/Ho = [-1. -1. Bajo estas condiciones y usando un nivel de significancia de 0. que va en contra de los intereses del consumidor .96 . al azar.96 . 100 cajas y encuentra que el peso promedio es de 748 gr. 1.05 ¿Qué actitud debe tomar el inspector? Solución: Ho: ✂ = 750gr ǂ = 0. PARA LA MEDIA POBLACIONAL a) Para sigma al cuadrado conocido y ´nµ mayores igual que 30 EJERCICIO Nº01: Un inspector de pesos y medidas visita una planta de empacado para verificar que el peso neto de las cajas sea el indicado en la etiqueta.05 H1: ✂  750gr n = 100 P (zǂ/2) = 0.975 xȐ = 748gr ơ=5 zǂ/2 = 1.96] RR/ Ho = [-’.ESTADISTICA DE PRUEBA 1. El gerente de la planta asegura al inspector que el peso promedio de cada caja es de 750 gramos con una desviación estándar de 5 gr. El inspector selecciona. 645 RA/Ho = [-’ . con una varianza de 6 por hora. Se compró e instaló una máquina nueva que. se demuestra que la nueva máquina es más rápida que la que tiene y de esta manera aumentara su producción. Con 0.645 . 1. Una muestra de 40 horas seleccionadas al azar el mes pasado indica que la producción media por hora en la nueva máquina es 256.05 n = 40 P (zǂ) = 0.32 Como: Zo E RR/Ho y Rechazamos Ho Por lo tanto.95 xȐ = 256 ơ=6 zǂ = 1.645] RR/ Ho = [1. ¿puede Neary concluir que la nueva máquina es más rápida? Solución: Ho: ✄ = 250 H1: ✄ > 250 ǂ = 0. según el proveedor. aumentará la tasa de producción. es 250 por hora.EJERCICIO Nº 02: La tasa actual para producir fusibles de 5 amp en Neary Electric Co. .05 de nivel de significancia. +’] Zo = (256 ² 250)/ (6/¥40) = 6. b) Para sigma al cuadrado no conocido y ´nµ menores que 30 . 2. PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL a) Cuando la muestra es ´nµ mayor igual que 30 . 3. PARA LA VARIANZA POBLACIONAL EJERCICIO Nº 1 . Paso 1: Paso Paso 2: Rechace H0 si z > 2. .01 ¿podemos concluir que los trabajadores que se retiraron el año pasado trabajaron más años según la siguiente muestra? Nota: sea población #1= año anterior. Los que se retiraron el año anterior tenían más años de servicio. Con un nivel de significancia de .33 3: Paso 4: Como z = 6.4. H0 se rechaza.80 > 2. PARA LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS POBLACIONALES a) Cuando varianza conocidos y población mayores iguales a 30 EJERCICIO Nº01 Se realizó un estudio para comparar los años promedio de servicio de quienes se retiraron en 1979 con los que se retiraron el año anterior en Delong Manufacturing Co.33. 2 s12 = 10 DISEÑO 2 n2 = 10 xȐ2 = 23.064 .9 s22 = 40 Con ǂ = 0.2.2) / (¥(10/16) + (40/10)) = .9 ² 24. SOLUCION Ho: (☎2 .064 RA/Ho = [-2.975 xȐ1 = 24. se desea determinar si existe alguna diferencia significativa en el flujo de corriente promedio entre los dos diseños donde las varianzas son desconocidas y diferentes. es decir producen un flujo de corriente equivalente.☎1)  0 n1 = 16.☎1) = 0 ǂ = 0. 2. -2. n2 = 10 P (t(16+10-2)) = 0.064] U [2. xȐ2 = 23.05.064] RR/ Ho = [-’ .b) Cuando varianzas desconocidas y población menores a 30 1.05 H1: (☎2 . S22 = 40 t(24) = 2. SUPRIMIENDO « (SON DISJUNTAS) EJERCICIO Nº01 Un fabricante de monitores prueba dos diseños de microcircuitos para determinar si producen un flujo de corriente equivalente.1395 Como: to E RA/Ho y Aceptamos Ho Por lo tanto. El departamento de ingeniería ha obtenido los datos siguientes: DISEÑO 1 n1 = 16 xȐ1 = 24. . se demuestra que la los dos diseños de microcircuitos no tienen una diferencia significativa.9 S12 = 10.0. +’] to = (23.064 . 1. Una muestra aleatoria de 10 engranes suministrados por el primer proveedor arroja los siguientes resultados: xȐ1 = 290 y S1 = 12.711 RR/ Ho = [1. +’] to = (321 ² 290) / (¥(144/10) + (2025/16)) = 2. se demuestra que existe evidencia suficiente para decir que el promedio de resistencia de los engranes del proveedor 2 es mayor a el promedio de resistencia de los engranes del proveedor 1. S22 = 2025 P (t(16+10-2)) = 0. Use un nivel de significancia de 0.711 . donde los resultados son xȐ2 = 321 y S2 = 45.✆1) > 0 n1 = 10. .05. n2 = 16 xȐ1 = 290. Una característica importante de estos engranes es la resistencia al impacto la cual se mide en pies-libras.✆1) = 0 ǂ = 0. Del segundo proveedor se toma una muestra aleatoria de 16 engranes.711] t(24) = 1. Solución: Ho: (✆2 .95 RA/Ho = [-’ .05 H1: (✆2 .EJEMPLO Nº02: Dos proveedores fabrican un engrane de plástico utilizado en una impresora láser. Existe evidencia que apoye la afirmación de que los engranes del proveedor 2 tienen una mayor resistencia promedio al impacto. xȐ2 = 321 S12 = 144.611 Como: to E RR/Ho Rechazamos Ho Por lo tanto. 1 5.3 1.6 Sin Tratamiento 1. a partir del momento en que comienza el experimento son los siguientes: Con Tratamiento 2. todos con una etapa avanzada de la enfermedad. Datos: Con tratamiento Ensayo de hipótesis: s= 1. Cinco ratones reciben el tratamiento y cuatro no.9 0.2.1672 n=4 Estadístico de prueba: .4 4.8 3.05 que el suero es efectivo? Suponga que las dos poblaciones se distribuyen normalmente con varianzas iguales.97 n=5 Sin tratamiento s = 1.5 2.1 0.9 ¿Se puede decir en el nivel de significancia del 0. Los tiempos de sobrevivencia en años. Solución: Primero se probará el supuesto de varianzas iguales con un ensayo de hipótesis bilateral utilizando la distribución Fisher. se seleccionan nueve ratones. SUPRIMIENDO « (SON SEMEJANTES) EJERCICIO Nº01: Para encontrar si un nuevo suero detiene la leucemia. Cálculo: Decisión y Justificación: Como 2. Con la decisión anterior se procede a comparar las medias: Ensayo de Hipótesis Ho. Regla de decisión: Si 0.10 ó si Fc > 15. Entonces los grados de libertad uno será el tamaño de la muestra de la población uno menos uno. Si la Fc < 0.1 No se rechaza Ho.La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor .05 que existe suficiente evidencia para decir que las varianza de las poblaciones son iguales.1 se rechaza Ho. 1= 5-1 = 4 y 2 = 4-1=3.10 Fc 15. CT- ST=0 H1. CT- ST >0 . y se concluye con un = 0.85 esta entre los dos valores de Ho no se rechaza . .05 que no existe suficiente evidencia para decir que el suero detiene la leucemia. no se rechaza Ho.6332 es menor que 1.Los grados de libertad son (5+4-2) = 7 Regla de decisión: Si tR 1.848 Justificación y decisión: Como 0.895 No se Rechaza Ho Si tR > 1. y se concluye con un nivel de significancia del 0.895.895 se rechaza Ho Cálculos: por lo tanto sp = 1. ...... ..de... ....hipotesis . .............es..........96.. .........5.........bilateral ..una. ....939 700 2 ...... .........valor .... ........... PARA LA DIFERENCIA DE DOS PROPORCIONES EJERCICIO Nº 01: En un proceso de producción de botellas de vidrio se tomó una muestra de 400 de las cuales 28 estaban defectuosas... ..........Z E p! 43 ! 0... ......96 SOLUCIÓN: Para resolver este problema se plantearán las hipótesis y luego se aplica la formula.. Hipótesis: ✝ 0 : p1 ! p 2 ✝ 1 : p1 { p2 Regla de decisión o Región crítica: Se rechaza la Hipótesis nula si Z c  ZE 2 ... en otro proceso se tomaran 300 muestra de botellas de la cuales 15 estaban defectuosas............. para .alternativ a.......05. .....Z E 2 ! s1......o....es decir. Datos: Pr oporcion. x 2 ! 15 p1 ! 28  15 ! 400  300 El .n 2 ! 300 15 28 ! 0.061.05... . ... ..1..al ....2 n1 ! 400 ...q ! 1  p ! 0. p 2 ! ! 0... .. .Z c ! 1.o.Z c " ZE 2 ........07..05 300 400 x1 ! 28......... Z c 1..... contra la hipótesis alternativa p1  p2 con un nivel de significancia de 0... Pr oporcion ........0. ......96 .. Demuestre la hipótesis nula p1= p2 de que los dos procesos generan proporciones iguales de unidades defectuosas........ . Aplicando formula se tiene: Zc ! p1  p 2 ! «1 1 » pq ¬  ¼ ­ n1 n 2 ½ 0.07  0.02 0.02 p Z c ! 1.09 0.09 cae dentro del área de aceptación. no se puede concluir que exista diferencias reales entre las dos proporciones verdaderas de unidades defectuosas. se con un nivel de significancia de 0.05 1 » « 1  (0.0183 Z E 2 . Z c ! 1. es decir.061)(0. Esto se puede observar en la grafica A en donde Z c ! 1. por lo tanto.05.96 . .09 1.003334 ! 0.939 ) ¬ ­ 400 300 ¼½ Conclusión: Como Z c es menor que acepta ✞ 0 : p1 ! p 2 ! 0.