UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO´ FACULTAD DE INGENIER´IA MECANICA - ENERG´IA ´ ´ PRACTICA DIRIGIDA DE ESTADISTICA EJERCICIOS DE DISTRIBUCIONES DE V.A. DISCRETAS Prof. V.Contreras T. 1. Se realiza el experimento de Bernoulli hasta que ocurra ´exito (de probabilidad p). Suponga que las repeticiones son independientes. a) Halle la probabilidad de uq se requiera un n´ umero impar de tiradas(en funci´on de p). b) Halle el valor de p, de modo que la probabilidad de que se requiera un n´ umero impar de tiradas sea 0,6. 2. Una m´aquina utiliza tres componentes id´enticas que trabajan en forma independiente. La probabilidad de que falle cada componente es 0.1 y estas se cambian por nuevas una sola vez. a) Obtenga la distribuci´on de probabilidades del n´ umero de componentes que podr´ıan fallar en la m´aquina. b) Un usuario que utiliza la m´aquina recibe una utilidad constante diaria de 100 soles y una utilidad variable de 10 soles por cada componente que no falla, pero, pierde 50 soles por cada componente que falla. Calcule la utilidad esperada diaria del usuario. 3. La peque˜ na empresa ”Juguetes ecol´ogicos.empaca su producci´on en lotes de 5unidades. Antes de sacar al mercado la empresa realiza un control total de calidad de cada lote a un costo de 5 u.m. Si cada unidad le cuesta producir 10 u.m, lo vende a 25 u.m.y reemplaza en el lote el n´ umero X de las unidades defectuosas que encuentra y si el porcentaje de producci´on defectuosa es 10 %, a) ¿Cu´antas unidades defectuosas espera encontrar por lote?. Interprete su respuesta. b) ¿Cu´anto es la utilidad esperada de la empresa por lote?. 4. Debido a que no todos los pasajeros que hacen una reservaci´ n se presentan, una aerol´ınea vende 125 asientos para un vuelo con capacidad para solo 120 pasajeros. La probabilidad de que un pasajero no se presente es 0,1 y el comportamiento de los pasajeros es independiente a) ¿Cu´al es la probabilidad de que todos los pasajeros que se presenten puedan tomar el vuelo? 1 Si las componentes del sistema se seleccionan al azar de un lote de 20 que contiene tres que no funcionan. Un ingeniero controla la calidad del producto revisando una por una (sin devoluci´on) las unidades de la bandeja. con distribuci´on de Poisson con µ = 0. Se estima en 0. calcule la probabilidad de que la primera defectuosa encontrada sea la cuarta de A y la sexta de B?. llegan a una bandeja de control. el sistema funciona si todos las componentes funcionan. Una compa˜ n´ıa alquila computadoras por periodos de tiempo de t horas.99 la probabilidad de que una unidad producida cumpla las especificaciones. a) Describa el modelo de probabilidad del n´ umero posible de componentes que no funcionan de los 6 escogidos y calcule la probabilidad de que el sistema no funcione. 2 . por lo cual recibe 600 d´olares por hora. 8. ¿Qu´e valor de t maximiza su utilidad esperada? 6. b) ¿Cu´antas unidades en promedio controla hasta que aparece la primera defectuosa?. Las unidades producidas por dos m´aquinas A y B. a) ¿Qu´e probabilidad hay de lograr el objetivo?. El proceso de producci´on de un bien se debe detener tan luego produzca la primera unidad que no cumpla con las especificaciones establecidas. 8t. en igual proporci´on.a. es decir. b) Si despu´es de producir 100 unidades del bien a´ un no se ha detenido el proceso. c) ¿Qu´e probabilidad hay de que la d´ecima unidad controlada sea la tercera defectuosa?. El n´ umero de veces que una computadora falla en t horas es una v. d ) Si el ingeniero controla las unidades antes que caigan a la bandeja. 7. Si una m´aquina falla x veces en t horas. Un sistema el´ectrico consiste de 6 componentes conectados en serie. a) ¿Qu´e probabilidad hay de que la d´ecima unidad controlada sea la primera defectuosa?.b) ¿Cu´al es la probabilidad de que el vuelo parta con asientos vacios? 5. El 3 % y el 1 % de las unidades producidas respectivamente por A y B son defectuosas. ¿con qu´e probabilidad se lograr´ıa el objetivo?. el costo de reparaci´on es 50x2 d´olares. Si el objetivo es producir 150 unidades del bien de manera que cumplan con las especificaciones. 11. 01 ¿Cuo ’antos disparos tendr´a que hacer para tener una probabilidad mayor que 90 % de dar en el blanco por lo menos una vez?. ¿Con qu´e probabilidad se acepta el lote?. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que en un embarque de 500 generadores no contenga ning´ un generador defectoso? b) ¿Qu´e en un embarque de 100 haya por lo menos un generador defectuoso? 12.) y si cada componente que no funcionan de los 6 seleccionados se cambia por uno del lote que si funciona a un costo adicional de 1. ¿con qu´e probabilidad esto ocurra en el segundo control? 10.? 9. Si se controla un lote que contiene 4 unidades defectuosos (se desconoce este hecho).m. Para tomar la decisi´on de aceptar o rechazar lotes que contienen 20 unidades de un producto se toman tres unidades al azar del lote. La ”Compa˜ n´ıa Petrolera” ha sido designada para perforar pozos en la amazonia peruana hasta obtener un resultado exitoso. Esta vez. a) ¿Suponga que la Compa˜ n´ıa Petrolera cree que una serie de exploraciones ser´a rentable si el n´ umero de pozos perforados hasta que ocurra el primer exito es menor o igual que 5. de otro modo se rechaza. si alguna es buena se acepta el lote. 3 .m.b) ¿Cu´anto ser´ıa el costo esperado del sistema si cada componente tiene un costo de 4 unidades monetarias (u. Aplique un diagrama de ´arbol para la soluci´on. Calcule la probabilidad de que la exploraci´on no ser´a rentable si ya fueron perforados 3 pozos y en ninguno de ellos se encontr´o petr´oleo. si las tres no son defectuosas se acepta el lote y si una es defectuosa se toman otras dos unidades al azar de las 17 que quedan. si m´as de una unidad es defectuosa se rechaza el lote. La Compa˜ n´ıa estima en 0. a) Obtenga la distribuci´on de probabilidades del n´ umero de defectuosos en el primer y en el segundo control.7 la probabilidad de no hallar petr´oleo por cada pozo que perfora. b) Si se rechaza el lote. Solo uno de cada mil generadores ensamblados en una f´abrica tienen unidades defectuosas y los generadores defectuosos se distribuyen aleatoriamente e independientemente a trav´es de la producci´on. Un artillero dispara a un blanco y sale que la probabilidad de acertar es p = 0.5 u. 15. El comprador plantea someter el lote a una prueba que consiste en sacar al azar dos art´ıculos del lote y si est´an en buenas condiciones los dos. ¿Con qu´e probabilidad un mensaje de 10 d´ıgitos binarios es correctamente recibido en el cuarto intento? d ) Calcule el costo esperado del n´ umero de mensajes de 10 d´ıgitos que se envian al sistema hasta conseguir el mensaje correcto si este proceso se repite 3 veces y si el costo de los 3 procesos.b) El costo para perforar cada pozo es de 10 000 d´olares. ¿cu´al es la probabilidad de que los trabajadores experimentales tengan un costo que sobrepase el presupuesto de la Compa˜ n´ıa? 13. Cada d´ıgito del mensaje puede ser recibido como correcto ´o incorrecto. 4 . compra el lote. el siguiente ensayo tiene costo adicional de 5 000 d´olares. se repite el envio hasta que sea recibido correctamente. a) ¿Con qu´e probabilidad un mensaje de 10 d´ıgitos binarios se recibe incorrectamente? b) Si el sitema recibiera 15 mensajes de 10 d´ıgitos cada uno.01 y los d´ıgitos de reciben de manera independiente. 14. calcular la probabilidad de que sea capaz de hacerlo entre los dos proximos veh´ıculos. en caso contrario. Se desea obtener la distribuci´on de probabilidad del tiempo. El costo de producci´on y “puesta en tienda” de cada lote es de 800 soles. Cuando se vende el lote se obtiene una utilidad de 300 soles. es igual al cuadrado del n´ umero de intentos. entre dos veh´ıculos consecutivos. Un fabricante ofrece el art´ıculo que produce en lotes de 10 unidades. ¿cu´al es la probabilidad de que al menos 12 de ellos se reciban correctamente? c) Si un mensaje se recibe de forma incorrecta. en promedio 180 veh´ıculos por hora. En una autopista pasan. en d´ecimos soles. Si un peat´on necesita 20 segundos para cruzar la pista. en minutos. lo rechaza. ¿Cu´anto es el costo esperado del proyecto? c) Si la Compa˜ n´ıa dispone de un presupuesto de 145 000 d´olares . Si un ensayo no resulta exitoso. Un sistema de comunicaciones recibe mensajes digitales de ceros y unos. La probabilidad de recibir un d´ıgito incorrecto es 0. de las cuales el 80 % est´a en buenas condiciones. Se estima que el 30 % de electores de una determinada ciudad votar´an por el candidato HML. 5 . Calcule la probabilidad de que no ocurran accidentes en 3 semanas consecutivas.05. En una encuesta realizada en tal poblaci´on. Un paquete es rechazado si al revisar 10 unidades de parquet elegidos al azar una a una sin reposici´on se encuentr´an 3 o m´as defectuosos. b) Utilizando una aproximaci´on adecuada. 20. Una firma comercializadora de parquet recibe un lote grande de parquet en parquets de 120 unidades cada una. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que la sexta persona encuestada sea la 4ta que votar´a por HML? b) ¿Cu´antas personas en promedio se deben encuestar hasta tener 12 que votar´an por HML? 18.a) Se desea expresar la ganancia neta por lote como funci´on de la v.04 fallas por placa. b) Si cada d´ıa el fabricante ofrece 15 de estos lotes. Proceso 1: Inspecciona 35 placas al azar y si encuentra menos de 3 con fallas acepta el pedido. Las fallas superficiales en ciertas placas de metal siguen una distribuci´on de Poisson con una media de 0. Calcule la probabilidad de que un paquete sea aceptado si este contiene 20 % de defectuosos.a. Suponga que el n´ umero de accidentes de trabajo que se producen por semana en una f´abrica sigue la ley de Poisson de manera que la probabilidad de que se ocurran 2 accidentes es igual a 2/3 de la probabilidad de que ocurra un accidente. ¿cu´al es el n´ umero esperado de lotes que vende? 16. Si la probabilidad de que cada objeto producido sea defectusos es 0. 19. a) A partir de la verdadera distribuci´on del n´ umero de objetos defectuosos que se encuentra en la revisi´on. Una m´aquina que produce cierto tipo de objeto se apaga autom´aticamente cuando ha llegado a producir el 5to defectuoso.X que toma el valor de 1 si se vende el lote y toma el valor de cero caso contrario. ¿Cu´al es la probabilidad de que la m´aquina se apague cuando ha producido 12 objetos? 17. Una empresa solicita un pedido grande de estas placas al fabricante y puede seguir uno de los siguientes procesos de inspecci´on. En caso contrario el rollo pasar´a el control y se vender´a en el mercado. el n´ umero de puntos fallado de la tela se distribuyen de acuerdo al modelo de probabilidad de Poisson con una tasa de falla de uno por cada 10 metros.es una tela que saca al mercado en rollos de 60 metros de longitud. 2 Las fallas en los rollos de tela de algod´on de la empresa ”Textiles P&C”se producen a trav´es de un proceso de Poisson y con una tasa de de faila de λ = 0. El control de calidad de la tela consiste en selcccionar al azar de cada rollo una secci´on de 5 metros de longitud concluyendo que el rollo no cumple las especificaciones y por lo tanto es rechazado. 05 por metro. si en esta secci´on se halla m´as de un punto fallado. La empresa garantiza restituir todo rollo que contenga no cumpla las especificaciones de control (es decir. ¿Con cu´al de estos dos procesos es m´as probable que rechace el pedido? 21. consiste en escoger de cada rollo una secci´on al azar de 20 metros de longitud. Si un consumidor de esta tela recibe 200 rollos de 60 metros cada uno. El control de calidad de los rollos de 100 metros. y aplica el procedimiento de control indicado. 22. si cada uno tiene 7 defectos? 6 . el rollo ser´a reemplazado por uno nuevo.Proceso 2: Inspecciona una por una las placas y si encuentra la tercera 3 placa con falla en la inspecci´on 25.Algod´on H&A. Uno de los productos principales de la empresa . que tenga mas de 5 fallas) y m´as a´ un indemnizar por este motivo al consumidor con 20 d´olares. detiene la inspecci´on y rechaza el pedido. b) ¿Cu´antos rollos pasar´an el control. donde. Halle la utilidad esperada que generar´an los rollos que tienen tres fallas. si esta contiene m´as de una falla. a) ¿Cu´antos rollos que cumplen las especificaciones se rechazar´an?. a) ¿Qu´e probabilidad existe de que pase el control un rollo que contiene 2 errores? b) Cada rollo tiene un costo de producci´on de 100 d´olares y se vende en el mercadoa a 200 d´olares.