1Matemáticas Especiales GUIA No 1 VARIABLE COMPLEJA En esta guía se utilizaran de MATLAB las siguientes funciones preestablecidas FUNCION i j √ Im(z) Re(z) | | Arg(z) ESTRUCTURA EN MATLAB >>i >>j >>sqrt(x) >>y^x >>exp(x) >>imag(z) >>real(z) >>abs(z) >>angle(z) Ln(x) Log(x) Sen(x) Cos(x) >>conj(z) >>log(x) >>log10(x) >>sin(x) >>cos(x) Tan(x) >>tan(x) >>asin(x) >>acos(x) >>atan(x) >>sinh(x) >>cosh(x) >>tanh(x) >>syms x >>diff(y,x) >>expand(x) Cantidad imaginaria ( √ 1 ) SIGNIFICADO Calcula la raíz cuadrada de x Calcula y elevado a la potencia x Calcula la exponencial de x Retorna la parte imaginaria del numero complejo z Retorna la parte real del numero complejo z Retorna el módulo del numero complejo z Retorna el argumento (ángulo de fase) del numero complejo z Calcula el complejo conjugado del numero z Devuelve el valor del logaritmo natural de x Devuelve el logaritmo en base 10 de x Devuelve el valor del Seno de x en radianes Devuelve el valor del coseno de x expresado en radianes Devuelve la tangente del argumento x en radianes Devuelve el arco cuyo seno es x, el resultado en radianes Devuelve el arco cuyo coseno es x, el resultado en radianes Devuelve el arco cuyo tangente es x, el resultado en radianes Calcula el seno hiperbólico de x Calcula el coseno hiperbólico de x Calcula la tangente hiperbólica de x Define que la variable x es simbólica Calcula la derivada de y con respecto a x, tanto y como x deben ser simbólicas Escribe la expresión x como un producto de factores. Es una expansión simbólica de x. Página 1 2 Matemáticas Especiales Desde el command window de MATLAB se puede realizar operaciones aritméticas elementales de sumas diferencias productos y división, con números complejos. ARITMETICA DE NUMEROS COMPLEJOS Ejercicio No. 1 Suponga que tiene tres números complejos ( realizar la operación, 1 3 2 4 5 ), se desea En MATLAB se asigna a las variables z1, z2 y z2 los valores correspondientes (Recuerde que MATLAB diferencia entre mayúsculas y minúsculas) >> z1=1+j z1 = 1.0000 + 1.0000i >> z2=3-2i z2 = 3.0000 - 2.0000i >> z3=-4+5j z3 = -4.0000 + 5.0000i Observe que se puede colocar indiscriminadamente i o j. Ahora se realiza la operación postulada >> z1+z2-z3 ans = 8.0000 - 6.0000i Observe que el resultado se almacenó en una variable temporal llamada ans, si Usted realiza otra operación dicha variable cambiará. Ejercicio No 2 Calcular · · Como en MATLAB se tienen almacenadas las variables, basta solo realizar la operación >> z1*z2*z3 Página 2 0000i Ejercicio No. $% ' Se debe calcular el primer término que es el conjugado complejo de la fracción. >> conj(z4) ans = -1.0000 .0000i En ans está almacenado el resultado de la operación. luego >> z4=z2+z3 z4 = -1. para ello aproveche el hecho que en el ejercicio anterior se almacenó en la variable ) el resultado de la operación indicada. realizar la división ) por ejemplo. ( + $( &$' $ &$ .3 Matemáticas Especiales ans = -25.0000 + 2. >> ans+((z1+z3)/z2)*((z1+z2)/z3) Página 3 . se puede realizar por dos métodos: $* $( Método 1: Almacenar en una nueva variable.0000i Método 2: Realizar la operación usando signos de agrupación >> (z2+z3)/z1 ans = 1. 4 --------$ &$ Calcular + %$ ' .0000 +21. + ($ % .0000 + 2. de tal manera que se puede completar la operación agregando las fracciones y el producto.3. la suma del numerador.0000i >> z4/z1 ans = 1.0000 + 3.0000i Ejercicio No 3 Calcular $% &$' $( Para realizar la operación sugerida. 7 Calcular /+ $( &$' . Se realiza en primera instancia la operación + $( &$' .8424i Ejercicio No.4 Matemáticas Especiales ans = 0. Ejercicio No.0000 -12.0536 +11. Calcular + $% .^2) es elevar cada elemento en un arreglo a la potencia 2.5736i Ejercicio No. $% Para resolver el problema se debe realizar en MATLAB >> sqrt((z1+z3)/z2) Página 4 .2. 5 Calcular · Para realizar la operación debe ser claro que mediante dos métodos: Método 1: Realizar la operación >> z2*z2 · lo que significa que se puede calcular ans = 5.0000i Método 2: realizar la operación >> z2^2 ans = 5. $% y elevamos a la potencia 5 >> ((z1+z3)/z2)^5 ans = 19.1876 . 6 $( &$' .0000 -12.0000i Tenga presente que (^2) es elevar un numero a la potencia 2. en tanto que (. 7 $* . ) 3 + . 4 . 2 5 8 11 / . 7 En los ejercicios del 13 al 24 sean los números complejos . √$* $% 7 '9$' < +$' . Página 5 . + . . ) ? ) 38. $% . ) 2 4 . $* $% 2$% )$' 15 . &7 √5 ' $% . 7 . + ) )$' $( . para tener control de los mismos.3183i El editor de MATLAB le indica cuantos paréntesis tiene abiertos y con cuáles se cierra. 3. √ √ 7 10 ) ) √5 . √ ' √ ) 2 . $' +$( . < * + 17 + 20 23 $( &. ) + . 18 /--------------5 3 ' 9$' $* = >$ ? √ ( * 25 Con la ayuda de MATLAB demuestre que 26 Con la ayuda de MATLAB demuestre que $ 27 Con la ayuda de MATLAB demuestre que $( % --$( --$ % 12 & 6 . 4 . +$ + ) $ * 7 7. ) 7 6 7 realizar las operaciones indicadas 13 9 16 + · $( 7 $* $% $' . $% $* / 19 --------------3 2 22 ) . Ejercicios Propuestos VC-1: En los ejercicios del 1 al 12 encuentre la suma. ) 7 √5 √ ) 4 √ ) . √3 . ) ) ------) . . $( & $* ' .5 Matemáticas Especiales ans = 0. 4 * $ = * . 14 ----$ +$% . 2$% $' $( .3501 + 1. . diferencia. . 4 . 7 4 .5 + . producto y cociente de cada par de números complejos 1 4 4 . ' . 9 21 @ @·@ @ 24 . 6 Matemáticas Especiales REPRESENTACIONES DE NUMEROS COMPLEJOS Ejercicio No.4031 0.6056A 0.6056 >> angle(z2) ans = -0.4031A2.4142A0.7854D 3.5880D 6.4142 3.4031 >> angle(z3) ans = 2.6056 3.5880 2.6 1.2455D EXPONENCIAL 1.2455 0.4031 . exponencial y Para darle solución al ejercicio.2455 Página 6 .7854 0.5880 >> abs(z3) ans = 6.7854 >> abs(z2) ans = 3.EE36 6. ).2455 De tal manera que los números complejos pueden ser escritos en sus representaciones como se muestra en la tabla siguiente: RECTANGULAR 1 3 2 4 5 POLAR 1.2E.4142 >> angle(z1) ans = 0.5880 2.. para ello se realiza: >> abs(z1) ans = 1. 8 Represente los números trigonométrica 1 3 2 4 5 en su forma polar.6056 6.)6 3.4142 3. se debe encontrar los módulos de cada uno de los números y además encontrar sus argumentos..7854 TRIGONOMETRICA 0. 2618 rad. para ello se debe recordar que 13 J K 180 1K De tal manera que en MATLAB se debe realizar 180L J >> 15*pi/180 ans = 0.7 0.8978 + 0. 9 Dados los números complejos: 3A153 D $ Calcular /+ ( * ' &$ .7765i Lo que se puede comprobar utilizando la representación trigonométrica >> 3*(cos(0.1232e+002i Calcular < .7 El numero complejo tiene un módulo 3 y argumento principal de 153 recuerde que MATLAB realiza las operaciones en radianes lo que indica que el argumento que se encuentra en grados sexagesimales debe escribirse en radianes.2618)+j*sin(0. ' $( ·$* . Recuerde que MATLAB tiene incorporado dentro de sus constantes el número J y se llama pi.7765i Calcular es sencillo utilizando las funciones de MATLAB >> z2=exp(5+4i) z2 = -9. Así el número es >> z1=3*exp(ans*j) z1 = 2.2618 Lo que indica que 153 es 0.7009e+001 -1.8978 + 0. ) 5 cos 0.2618)) ans = 2. < .&)6 $% . Página 7 .7 Matemáticas Especiales Ejercicio No. 8776i Apreciado estudiante.8242 + 3. realice la operación completa en una sola línea y compruebe el resultado.0. 11 Para los números del ejercicio No 9: a) Calcule 5 expresiones desarrolladas en clase $' $* b) compruebe su respuesta con las >> log(z2^z3-z3^z4) ans = -0.5408 + 2. Ejercicio No. $( b) compruebe el resultado con >> z2^z1 ans = -1.7 >> z4=5*(cos(0.5775e+006i Se deja como ejercicio la parte b del problema Ejercicio No.9643e+002 +9.2703 + 1.1667 .7 0. 10 Para los números del ejercicio anterior: a) calcule la expresión la expresión vista en clase para este tipo de expresiones.2211i Se calcula la cantidad subradical >> ((z1^3+z3^5-conj(z2))/(z1*z4))^3 ans = 1.7)) z4 = 3.5990e+002i Ahora se calcula la raíz cuarta de la cantidad obtenida anteriormente >> ans^(1/4) ans = 5.0598e+007 -4.7)+j*sin(0.8 Matemáticas Especiales >> z3=1/6+3/5j z3 = 0.9029i Página 8 .6000i Calcular ) 5 M 0. 9 Matemáticas Especiales Se deja como ejercicio la parte b del problema Ejercicio No.0842 .0842i 0. llamando a z como variable simbólica >> syms z >> solve('z^3=1-i') Página 9 .0000 . para generar los números desde el 0 hasta 2.2905i Y las raíces son 3 1.7854 >> k=0:2 k = 0 1 2 >> r^(1/3)*(cos((t+2*pi*k)/3)+j*sin((t+2*pi*k)/3)) ans = 1. de tal manera que la operación resultante fue de nuevo un arreglo con tres elementos (ans).7937i 0.0842i.7937 .0000i >> r=abs(w) r = 1.2905 1. de tal manera >> w=1-i w = 1.7937i Se usó un arreglo k. se debe tener presente la formula de Moivre Con | | que S TU U úS K O | |O P . 0.0.2905 + 1.2905i . Se puede resolver el ejercicio con MATLAB usando la sentencia >>solve().1. z -0.4142 >> t=angle(w) t = -0.0. 12 Encuentre las tres raíces cúbicas de N 1 8 Para realizar este ejercicio.7937 0.0842 -0. Q Q WKXTS Q R Y ZK8 M8Z U U TS K . 1/8) + 2^(1/6)*3^(1/2)*6^(1/2)*(i/8 + 1/8) ans = -0. si: _ )_ 3 6 9 5 7 √3 128 148 *^ ' ^ '^ &6 ' % 6 12 2 15 2M8 +.1/8) + 2^(1/6)*6^(1/2)*(i/8 .i/8 .1/8) ans = -0. 14 3M8 + .0842 . exponencial y trigonométrica.0.1/8) + 2^(2/3)*(i/8 .i/8 .0842 . polar.0._. 21 7A 315L D 24 3A 15L D Página 10 . ) 19 2A35L D 20 12A 35L D 22 9A73L D 23 √2A 127L D En los ejercicios del 25 al 30 realizar la operación que se indica.0.i/4) + 2^(2/3)*(i/4 + 1/4) 2^(2/3)*3^(1/2)*(i/8 .7937 .2905i >> 2^(2/3)*3^(1/2)*(i/8 .1/8) + 2^(1/6)*3^(1/2)*6^(1/2)*(i/8 + 1/8) 2^(2/3)*3^(1/2)*(1/8 .i/4) + 2^(2/3)*(i/4 + 1/4) ans = 1. 17 8M8 +.2905 + 1.i/8) + 2^(1/6)*6^(1/2)*(i/8 .1/8) + 2^(1/6)*6^(1/2)*(i/8 ._. 1 4 7 10 8 5 5 7 6 √38 ^ ' 2 5 8 11 3 10 4 48 &√ 6 )6 13 7M8 + .1/8) >> 2^(1/6)*6^(1/2)*(1/4 .2905i >> 2^(1/6)*6^(1/2)*(1/4 .i/8) + 2^(1/6)*6^(1/2)*(i/8 .10 Matemáticas Especiales ans = 2^(1/6)*6^(1/2)*(1/4 . 18 5M8 + _ . 16 2M8 +2_.1/8) + 2^(2/3)*(i/8 .1/8) + 2^(1/6)*3^(1/2)*6^(1/2)*(.1/8) + 2^(2/3)*(i/8 .0842i >> 2^(2/3)*3^(1/2)*(1/8 .1/8) + 2^(1/6)*3^(1/2)*6^(1/2)*(.i/4) + 2^(2/3)*(i/4 + 1/4) ans = 1.7937i Ejercicios Propuestos VC-2: En los ejercicios del 1 al 24 exprese el número dado en forma rectangular.1/8) + 2^(2/3)*(i/8 . y e se conoce como factor de fase. muestre que op . La impedancia característica de una línea de transmisión se define como lL k m n f5 f Donde : R = Resistencia por unidad de Longitud Ωm. un elemento muy importante es el factor de propagación c . H m-1 G = Conductancia por unidad de Longitud Con ayuda de MATLAB. $% $' . Muéstrese usando como ayuda MATLAB que d fj e fj gi k1 2 gi k1 2 h + . Básicamente. C = Capacitancia por unidad de Longitud Fm Página 11 . $( ·$* ' Resolver las siguientes ecuaciones: 28 ) 81 0 2√3 8 a 29 < √3 b. L = Inductancia por unidad de longitud. 2 * 1 30 6 √38 ) Matemáticas Especiales ) 5√2A 127L D ) 27 30 25 ) 32 $( &$' $( 3 10 0 PROBLEMAS EN INGENIERIA P1 En las ecuaciones de ondas electromagnéticas. fi 1 1 Utilice MATLAB para realizar la gráfica para el factor de atenuación.11 25 28 $( /+ * 5 √ 6√ J 3√2 ` D . Si además suponemos que c fg h fi . fi h + . usando valores típicos ( Use las tablas ) P2 Una línea de transmisión se define como un dispositivo para transmitir o guiar energía de un punto a otro. una línea de transmisión tiene dos terminales en las que se alimenta potencia (o información) y dos terminales en las recibe la potencia ( o información ). $( $ $ $( ' &$' . En general c es un número complejo. donde d se llama factor de atenuación. $% 26 29 + $% . definido como c d e. 3 . Todas estas constantes. Esta impedancia se define como l Con c d l3 tu &tv wxOy z tv &tu wxOy z . l medida desde la impedancia de carga ls . Resistencia Característica. entonces se puede expresar la impedancia característica de la siguiente forma: lL 5 k q1 n = 2f m ?r 2f5 P3 En las líneas de transmisión es muy útil encontrar la impedancia (resistencia en variable compleja ) a la distancia x. Ω l3 Impedancia característica de la línea. a) Con la ayuda de MATLAB muestre que si la línea no tiene perdidas d l se puede escribir comol t &6t wxO { l3 tu&6tv wxO { v u 0 . e S (Factor de Propagacion de la onda en la línea). Ω. Página 12 . l Impedancia a la distancia x viendo hacia la carga. la impedancia b) Encuentre las expresiones con la ayuda de MATLAB para cuando la línea està en cortocircuito y cuando està en circuito abierto.12 Matemáticas Especiales a) Si la frecuencia es grande la línea tiene una impedancia característica lL k 5 mL Que se convierte en una impedancia real ( Resistencia ) que tiene como nombre. Ω ls Impedancia de la carga. b) Cuando R y G son pequeñas. pero no lo suficientemente pequeñas para despreciarse. LA VERSION DE MATLAB 2010a O SUPERIOR PUEDE SER LA SOLUCION.13 Matemáticas Especiales ECUACIONES DE CAUCHY . . Para llamar este tipo de variables se utiliza la expresión >> syms x >> MATLAB interpreta que en adelante la variable x es simbólica. SI EN SU PC ESTA OPCION NO FUNCIONA PUEDE SER POR LA VERSIÒN QUE ESTE UTILIZANDO DE MATLAB. Sobre este tipo de variables se pueden realizar operaciones del cálculo tales como derivación integración y solucionar ecuaciones diferenciales. Se crean las variables simbólicas necesarias >> syms x y z w u v >> Ahora se define que >> z=x+j*y z = x + y*i Ahora se define la función N y se calcula el resultado Página 13 . PARA PC QUE TRABAJAN A 64BIT.RIEMANN Ejercicio No. m ~ Para realizar este tipo de operaciones se deben llamar un tipo de variables que se llaman alfanuméricas o simbólicas. 13 Determine si la función satisface las ecuaciones de Cauchy_Riemann Para determinar si la función satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann Teniendo presente que ~ y} . |T | |} | es decir que T . •S ~ T . |T | } |} | . O EL SISTEMA OPERATIVO ESTA TRABAJANDO A 64BIT Y MATLAB A 32BIT. debe evaluarse las igualdades. y) ans = (-2)*y >> -diff(v.x) ans = Página 14 . que convierte la expresión en >> w=expand(z^2) w = x^2 + 2*x*y*i . m ~ y} . Ahora se debe evaluar la segunda de las ecuaciones de Cauchy-Riemann >> diff(u.x) ans = 2*x >> diff(v. se utiliza la función expand(z).y^2 >> v=2*x*y v = 2*x*y Ahora se utiliza la derivada simbólica de MATLAB para comparar la primera de las ecuaciones de Cauchy-Riemann >> diff(u. para poder hacerle seguimiento a lo que hace.y) ans = 2*x Se verifica que la primera de las igualdades se obtiene. •S ~ u = x^2 .14 Matemáticas Especiales >> w=z^2 w = (x + y*i)^2 Que no da mucha información.y^2 Se define que T >> u=x^2-y^2 . x) ans = -exp(x)*sin(y) Lo que verifica las Condiciones de Cauchy-Riemann Página 15 . m ~ y } .15 Matemáticas Especiales (-2)*y Lo que comprueba que la función de variable compleja dada Satisface las ecuaciones de CauchyRiemann Ejercicio No. la definición de las funciones T inmediata . •S ~ es >> u=exp(x)*cos(y) u = exp(x)*cos(y) >> v=exp(x)*sin(y) v = exp(x)*sin(y) Ahora se establece las derivadas de las ecuaciones de Cauchy.Riemann >> diff(u. 14 Pruebe que la función ~ satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann En este problema.x) ans = exp(x)*cos(y) >> diff(v.y) ans = -exp(x)*sin(y) >> -diff(v.y) ans = exp(x)*cos(y) >> diff(u. la forma de las ecuaciones de Cauchy-Riemann cambia notablemente. 15 Pruebe que la función ~ Riemann. motivo por el cual. llegando a la forma |T |K 1 |} K |Q 1 |T K |Q |} |K Se realiza la definición de las variables simbólicas y se establece las funciones >> syms u v r t >> u=r^5*cos(5*t) u = r^5*cos(5*t) >> v=r^5*sin(5*t) v = r^5*sin(5*t) Ahora se evalúan las derivadas con sus factores >> diff(u. ya que la función que se da está en forma polar.t) ans = (-5)*r^4*sin(5*t) >> -diff(v.16 Matemáticas Especiales Ejercicio No. K. 5Q 5Q satisface las ecuaciones de Cauchy – Este problema debe tratarse con cuidado.r) ans = 5*r^4*cos(5*t) >> 1/r*diff(v.r) ans = (-5)*r^4*sin(5*t) Página 16 .t) ans = 5*r^4*cos(5*t) >> 1/r*diff(u. como se demostró en clase. $ 8 PROBLEMAS DE INGENIERIA P4 Analícese con ayuda de MATLAB el flujo plano. y sea } } . las componentes del vector de velocidad } del flujo a lo largo de los ejes e .17 Matemáticas Especiales Ejercicios Propuestos VC-3: En los ejercicios del 1 al establezca si la función satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann 1 4 ~ ~ ~ 10 ~ 13 ~ 7 $ MY $ 2 5 ~ 11 ~ 14 ~ 8 2 ~ ~ 5 $ $ $ 7 3 6 2 1 ~ ~ ~ 12 ~ 15 ~ 9 O . para ello suponga que } . }… . y }… . no vortiginoso (irrotacional). de un líquido incompresible ideal. Muéstrese que } es una función analítica. ‚ƒ& ‚ƒ $ „‚ $ €• + . Página 17 . la velocidad compleja del flujo. que en el procedimiento que se realiza. 16 Dada T ~ T . tal que es una función analítica de en todo el plano Se sabe que se deben satisfacer las condiciones de Cauchy-Riemann.x) ans = (-2)*y †‡ †ˆ Re realiza ahora la derivada de u respecto a y es decir.x) ans = 2*x + 2 Para calcular una integral. encuentre la función conjugada } . >>v= int(ans. en MATLAB la operación se realiza escribiendo >>int(f.x) indica que se integra la función f (Simbólica ) con respecto a x (simbólica).18 Matemáticas Especiales FUNCIONES ARMONICAS Y ARMONICAS CONJUGADAS Ejercicio No. 2 . de tal manera que |} | |T | Entonces el resultado de la operación debe ser integrado con respecto a y >> u=x^2-y^2+2*x u = x^2 + 2*x . hace falta la constante de integración.y) v = y*(2*x + 2) Tenga presente. se deriva con respecto a x y se multiplica por -1 >>. . Ahora como se ha visto en el curso.diff(v. } .y^2 >> diff(u. se utiliza la segunda ecuación de CauchyRiemann †… † Página 18 . T } .1)^2 >> -diff(v. . la constante de integración es un valor constante. por tanto >> v v = y*(2*x + 2) Adicionándole una constante K.y) v = -(y . Así la solución es Y la función ~ Ejercicio No. para >> syms u v x y >> u=2*x*(1-y) u = (-2)*x*(y . 2 . es decir la función } .19 Matemáticas Especiales >> diff(u.y) ans = (-2)*y Como los dos resultados son iguales.x) ans = 0 >> -diff(u.x). 2 2 2 1 2 ‰ ‰ y muentre que la función ~ En primer lugar se debe encontrar la función conjugada de T tal efecto. 17 2 Encuentre la función conjugada de T es armónica } .x) Página 19 . Esa será la función conjugada.y) ans = 2*x >> int(ans.1) >> v=int(diff(u. se sigue el procedimiento del ejercicio anterior. 2*y >> diff(ans. ‹ 1 y la función ~ para mostrar que es armónica.x) ans = 0 >> diff(u.(y .y) ans = 0 Lo que significa que la función T armónica.x) ans = 2*x >> diff(ans.x) ans = 2 .20 Matemáticas Especiales ans = x^2 así pues que la función } .x) Página 20 . .y) ans = (-2)*x >> diff(ans. la función definida como ~ de Laplace | T | Lo que significa en MATLAB | T | T 2 1 Š 1 } debe satisfacer la ecuación 0 >> diff(u. 2 1 satisface la ecuación de Laplace luego es >> v=v+x^2 v = x^2 .1)^2 >> diff(v. los campos eléctricos E y magnéticos H son funciones de la posición .y) ans = -2 Se verifica que al sumar los dos resultados 2-2=0 satisface la ecuación de Laplace. función ~ 2 1 1 Ejercicios Propuestos VC-4: En los ejercicios del 1 al 9 probar que T 1 4 2 1 7 … % &… % … 2 5 % &… % % 2 8 . en situaciones que cambian con el tiempo. En consecuencia. como una función del tiempo t. y.y) ans = 2 . . P6 Una de las miles de soluciones posibles de la ecuación de Laplace y que tiene mucho validez en problemas prácticos de ingeniería es la función Página 21 . 2Y + 3 … 3 6 .2*y >> diff(ans. se puede escribir que los campos eléctrico y magnético son †• ’ |’| cos fY “ ” †• |”| cos fY “ Es decir la parte real del campo complejo. 9 3 cos … 2 2 PROBLEMAS EN INGENIERIA P5 Las ecuaciones de Maxwell para el electromagnetismo están dadas en forma vectorial por Œ·• Ž • Ley de Gauss para el campo eléctrico Ley de Ampere Maxwell Œ·• 0 Ley de Gauss para el campo magnético Ley de Faraday Œ ‘ • h• i Œ‘• g †w †w En general. es armónica y hallar la armónica conjugada } . Encuentre la forma de las ecuaciones de Maxwell bajo este supuesto. por tanto la Š ‹ es armónica.21 Matemáticas Especiales ans = 2 >> diff(v. y el denominador por la recta O2P.22 ~ W5 = l l Matemáticas Especiales ? Para obtener funciones útiles en la resolución de problemas deben separarse en esta expresión sus partes real e imaginaria y representarse en el plano complejo. Encuentre las ecuaciones de las equipotenciales y grafíquelas. Página 22 . El numerador está dado por la recta O1P. Es conveniente determinar estos valores constantes de G K definiendo –K S n W 5 S donde cada valor de m determina una superficie equipotencial particular. Si se toma G como función potencial se obtienen familias de superficies equipotenciales igualando G a una serie de diferentes valores constantes. Muestre que La función de Z proporciona dos funciones n K W5 • –K — ” W Q Q Cualquiera de las dos funciones son solución de la ecuación de Laplace. como se muestra en la figura.
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