PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE LINEAS DE ESPERAEJERCICIO 1 Frente a una ventanilla del Banco Estatal se presentan 560 personas diarias (jornada de 8 horas); el cajero puede dar servicio a 100 personas como promedio por hora. Con la hipótesis de llegadas Poissonianas y servicios exponenciales, encontrar el factor promedio de utilización del sistema, el tiempo ocioso promedio en el sistema, la probabilidad que haya 3 clientes en el sistema, el número promedio de personas en el sistema, la cantidad promedio de clientes en la cola, el tiempo promedio que permanece una persona en el sistema, el tiempo promedio de un cliente en la fila, el tiempo promedio que tarda un servicio, la probabilidad que existan 4 personas. Llegadas Poisson; servicios exponenciales; = 70 clientes / hora; = 100 clientes / hora; = ?; P0 = ?; Pn = ?; L = ?; Lq = ?; W = ?; Wq = ?; Ws = ?; Pr (n > 4) = ?; Pr (espera > W) = ?; S = 1; < S ; = 100/700; = 70%; El tiempo que permanece ocupado en promedio el sistema es el 70%. P0 = 1 - ; P0 = 1 - 0,7; P0 = 30%El tiempo ocioso promedio del sistema es del 30%. Pn = (1 - ) ; Pn= (1 - 0,7) * 0,73; Pn = 10,29% La probabilidad que en un momento determinado haya en el sistema 3 clientes es del 10,29%. Ws = W – Wq ; Ws = 2 min – 1,4 min; Ws = 0,6 min. En promedio el tiempo que tarda un servicio corresponde a ,6 minutos. EJERCICIO 2 A un taller llegan los pedidos de reparaciones en forma de distribución Poisson a un promedio de 4 clientes / hora. El operario que los inspecciona para diagnosticar las reparaciones a hacer efectúa dicha actividad en una forma normal; en promedio tal inspección le toma 6 minutos. Realizando la evaluación de tiempos y movimientos se encontró que el tiempo de servicio normalmente 1 hora = 6 min. S = 1.0. servicios constantes. Wq = ?. = ?. Wq = ?. el fabricante le ha informado al Banco que en estos casos el tiempo de servicio es constante con 7. Calcular las características de operación del Llegadas Poisson. = 4/8.. S = 1. Ws = 0. Ws = ?. P0 = ?. W = ?. Encontrar la congestión en el sistema.125.45. = 4/10. Lq = ?. Ws = W . = 10 clientes / hora. Ws = ?. < S . Llegadas Poisson.distribuido tiene una sistema. = 4 clientes / hora. P0 = ?. = 8 autos /hora. Para determinar las características de operación de este nuevo sistema se han evaluado las llegadas de los automóviles y se ha encontrado que se comportan en forma de distribución Poisson a una llegada de 4 automóviles / hora. = 50% En promedio el factor de utilización del sistema es el .Wq. P0 = 1 .5 minutos. = 40% En promedio el tiempo que permanece ocupado el sistema es el 40%.4. 50%. Ws = 0. P0 = 60%El tiempo promedio que permanece desocupado el sistema es el 60%.55 . = 4 autos / hora. En promedio el tiempo que dura un servicio es de 6 minutos EJERCICIO 3 El Banco Departamental ha decidido instalar un cajero automatizado de atención a automovilistas para las personas que deseen hacer un solo depósito.0. < S . = ?. P0 = 1 . = . L = ?. L = ?. servicios arbitrarios. W = ?. Lq = ?. Ws = W .Wq.4 maquina /hora.1875. Calcular las características de operación de la empresa. W = ?. Lq = ?. P0 = ?. Estas máquinas se descomponen según una distribución Poisson con una razón media de 2 máquinas / hora y en la fábrica solo hay un mecánico que las repara.125 hora = 7. Wq = ?. = 2/24. < S .5 minutos EJERCICIO 4 En una empresa la reparación de un cierto tipo de maquinaria existente en el mercado se realiza en 5 operaciones básicas que se efectúan de una manera secuencial. Llegadas Poisson. = 83.5 min. L = ?. Ws = ?. K = 5.33% En promedio el tiempo que permanece ocupado el sistema es del 83. S = 1. = ?. = 2 maquina / hora. Ws = 0. si le tiempo que se lleva en realizar cada uno de los 5 pasos tiene una distribución exponencial con media de 5 minutos. = 2. servicios constantes. En promedio el tiempo de un servicio es de 7. Ws = 0.33% . Los requerimientos de utilización son también aleatorios de acuerdo a un proceso Poissoniano con una tasa media de 5 trabajos por hora. S = 1. Calcular las características de utilización de la fotocopiadora.27 minutos. = ?. Un cambio de aceite tarda en promedio 3. Ws = 1. = 2/24. los autos llegan a un promedio de 18 carros por hora en forma Poisson. En promedio el tiempo de un servicio es de 25 minutos EJERCICIO 5 Al Taller El Recambio para cambio de aceite. Llegadas Poisson. Ws = ?.Wq.66 .Ws = W .33% En promedio el tiempo que permanece ocupado el sistema es del 83. P0 = ?. . Ws = 0. como la magnitud del trabajo difiere de acuerdo al número de copias que cada quien traiga.1. se hizo un análisis el cual dejó concluir que la máquina tiende a un proceso de Poisson con un promedio de 8 trabajos por hora. = 83. = 6 carros/hora. puede servir a un promedio de 6 carros por hora de acuerdo a una distribución exponencial. K = 3. EJERCICIO 6 Una máquina fotocopiadora es utilizada por 3 secretarias de una oficina para obtener las copias que su sección requiere. La población es infinita pero el espacio físico en el sistema alcanza solamente para 3 vehículos.104. determinar las estadísticas de congestión de este taller. L = ?.411 hora = 25 min.0. servicios especiales con cola finita. = 18 carros / hora.249.Wq.158 . Wq = ?. W = ?. Ws = 0.054 hora = 3. Lq = ?. Ws = 0. S=1 .33% Ws = W .27 min. 5056. = ?. = 1 . L = ?. Ws = ?.0. servicios especiales fuente limitada. Wq = ?.84 min. < K P0 = 50. Calcular las estadísticas de operación del Banco. = 8 carros/hora. = 30 clientes/hora.32.44% del tiempo el sistema permanece ocupado. luego de realizados los estudios el Banco considera que con 4 servidores es suficiente. Wq = ?.Llegadas Poisson. Los clientes llegan en promedio a una tasa de 20 por hora de acuerdo a una distribución Poisson y se sabe que se requieren en promedio 2 minutos para atender a cada cliente con una distribución aproximadamente exponencial.44% El 49.56%. Un servicio promedio en la fotocopiadora es de 9. S = 1. Lq = ?. S = 1. W = ?. = ?. = 49.0.164 hora = 9.56%En promedio el tiempo improductivo del sistema es del 50.Wq.P0. K = 4. Ws = 0. P0 = ?. = 1 . = 20 clientes/ hora. Ws = 0. K = 3. Ws = ?. Lq = ?. = 5 trabajos / hora.84 minutos EJERCICIO 7 El Banco Departamental desea operar una nueva sucursal. . P0 = ?. S=1 Ws = W . servicios exponencial. L = ?. W = ?. Llegadas Poisson.156. WR = ?. L = 6 reparaciones / hora.0008135. La Compañía puede contratar dos tipos distintos de mecánicos: uno lento. R = 8 reparaciones / hora .9992 minutos. CTR = ?. = 4 mecanismos / hora. el mecánico lento puede reparar exponencialmente los mecanismos a una tasa promedio de 6 por hora. pero más costoso a $4500 por hora.0. mientras que el mecánico rápido repara exponencialmente a razón de 8 por hora. EJERCICIO 8 Una Compañía debe tomar una decisión con respecto a su política de contratar un mecánico para reparar un mecanismo que se descompone con una tasa promedio de 4 por hora de acuerdo con una distribución Poisson.03332 hora = 1. Un servicio promedio en la fotocopiadora es de 1. Ws = 0.Wq.03414 . < S Costo Total = Costo Ocioso * No de máquinas dañadas en el período + Costo de Mano de Obra en el período. Ws = 0.Ws = W . CTL = ?. = 6 reparaciones /hora. servicios exponencial. . el tiempo improductivo de cualquiera de los mecanismos está costando $5000 por hora a la Empresa.9992 min. WL = ?. Basándose en los datos anteriores cuál mecánico debe contratarse? Llegadas Poisson. pero poco costoso a $2500 por hora y el otro rápido. S = 1. CTL y CTR corresponden a costo ocioso para el mecánico lento. Un sistema de líneas de espera tiene dos servidores. mientras que el cliente X está siendo atendido. D) Dado que la tasa media de llegadas es de 2 clientes por hora. Un sistema de filas tiene dos servidores.m. cinco minutos después llega el cliente Y.m.? iii) Antes de la 1:01 p.m. B) El número de clientes esperado en la fila. El cliente X llega cuando ambos servidores están ociosos.m. llega el cliente Z y los dos clientes X y Y están todavía siendo servidos.m.? ii) ¿Entre la 1:00 y las 2:00 p.m. P2 = 3/8.? C) ¿Cuál es la probabilidad que le número de llegadas entre la 1:00 p.CTL = 2500 * 4 + 2500. un distribución de tiempos entre llegadas exponencial con media de 2 horas y una distribución de tiempos de servicio exponencial con media de 2 horas para cada servidor. porque la Compañía ahorra costos.m.m. COR. determine le tiempo de espera en el sistema y en la línea de espera. determine A) El número de clientes esperado en el sistema. y las 2:00 p. costo ocioso para el mecánico rápido. A) ¿Cuál es la probabilidad que la siguiente llegada ocurra i) Antes de la 1:00 p. 2. Para n = 0. utilice los resultados de D) para determinar este tiempo esperado de servicio.m. A) ¿Cuál es la probabilidad que el cliente X complete su servicio antes que el cliente Y? B) ¿Cuál es la probabilidad que el cliente Z complete su servicio antes que el cliente X? C) ¿Cuál es la probabilidad que el cliente Z complete su servicio antes que el cliente Y? .10 p.? ii) Antes de la 1. P4 = 1/16. 2.? 3. P3 = 1/4. no llegan más clientes durante este intervalo de quince minutos. sea i) 0 ii) 1 iii) 2 o más ? D) Suponga que ambos servidores están atendiendo clientes a la 1:00 p. C) El número esperado de clientes que están siendo servidos. Otros diez minutos más tarde.CTL = $ 9500 Donde COL. 3. P1 = 1/4. E) Dado que ambos servidores tienen el mismo número esperado de servicio.? B) Suponga que no llegan más clientes antes de la 1: p. y las 2:00 p. costo total para el mecánico lento y costo total para el mecánico rápido. la probabilidad Pn que haya exactamente n clientes en el sistema es P0 = 1/16. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. 1. ahora ¿Cuál es la probabilidad que la siguiente llegada tenga lugar entre la 1:00 p. 4. cuyos tiempos de servicio son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con una distribución exponencial con media de 15 minutos. La decisión es entonces finalmente contratar el mecánico rápido.m.m. Se tiene un sistema de colas con dos servidores en una condición de estado estable en donde el número de clientes en el sistema varía entre cero y cuatro. ¿Cuál es la probabilidad que ningún cliente haya completado su servicio i) Antes de las 2:00 p.? iii) ¿Después de las 2:00 p. lo que es más a las 12:00 del día acaba de llegar un cliente .m.CTL = $12500 CTR = 1250 * 4 + 4500. B) Si se adoptan las recomendaciones.).co/cursos/sedes/manizales/4060015/docs_curso/con tenido. A) Determine el tiempo esperado en el sistema bajo los procedimientos actuales para cada tipo de transacción. las formas de depósito llegan aleatoriamente al escritorio de Clara con una tasa media de 16 por hora. 1= 2. . REFERENCIA: http://www. A) Construya el diagrama de tasas.. Para reducir el tiempo de espera en el sistema para ambas formas el Departamento de Actuaría ha hecho las siguientes recomendaciones: 1) Capacitar a las dos dependientes para que puedan manejar depósitos y retiros 2) Colocar a los dos tipos de transacciones en la misma cola con acceso a las dos dependientes. 2= 1. . n= 0 para n = 3. El tiempo requerido para procesar cualquiera de las dos transacciones tiene una distribución exponencial con tasa media de 3 minutos. 4. F) Determine el valor esperado y la desviación estándar del tiempo de espera en el sistema para el cliente Z. P1. .. B) Calcule P0. En la compañía Seguros Atalaya. encuentre además la media y la desviación estándar? E) Repita D) para el cliente Y. Considere el proceso de nacimiento y muerte con todas las 2. Lq. 4. P3 y Pn para n = 4.D) Determine la función de distribución acumulada del tiempo de espera en el sistema para el cliente X... determine el tiempo esperado en le sistema para las transacciones que llegan.virtual. P2.html . n= 2 (n = 1. C) Calcule L. las formas de retiro llegan también de manera aleatoria al escritorio de Elena con una tasa media de 14 por hora. Después combine estos resultados para calcular el tiempo esperado en el sistema para una llegada aleatoria de cualquier tipo. 0= 3. G) Determine la probabilidad que lleguen exactamente dos clientes más durante el próximo intervalo de quince minutos. 5. 5... las funciones de depósito y retiro asociadas con cierto producto de inversión están separadas entre dos dependientes. W y Wq.unal.edu.