EJERCICIOS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES1. 2. Hallar la probabilidad de sacar una suma de 8 puntos al lanzar un dado. Hallar la probabilidad de sacar por suma o bien 4, o bien 11 al lanzar dos dados. Se escriben a azar las cinco vocales. ¿Cuál es la probabilidad de que la e aparezca la primera y la o la última. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas negras de una urna que contiene 15 bolas blancas y 12 negras, sin reintegrar la bola extraída? Una urna contiene 12 bolas blancas y 8 negras. Si se sacan dos bolas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color? Una urna contiene 12 bolas blancas y 8 negras. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas negras reintegrando la bola extraída? De una baraja española de 40 cartas ¿Cuál es la probabilidad de sacar un caballo seguido de un tres, reintegrando l primera carta? ¿Y sin reintegrarla? Si la probabilidad de que ocurra un suceso es 1/3. ¿Cuál es la probabilidad de que se realice efectuando 4 pruebas. Se sacan dos cartas de una baraja de 40 ¿Cuál es la probabilidad de que sean un caballo y un tres, reintegrando? ¿Y sin reintegrar? Una urna contiene 8 bolas blancas, 5 negras y 2 rojas. Se extraen tres bolas al azar y se desea saber: 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. a) b) La probabilidad de que las tres bolas sean blancas. La probabilidad de que dos sean blancas y una negra. 11. Se extraen 3 cartas de una baraja de 40: a) b) c) ¿Cuál es la probabilidad de que sean tres sotas. ¿Y de que sean un as, un dos y un tres? ¿Y de que salga un rey, seguido de un cinco y éste de un siete? 12. Una urna contiene dos bolas blancas y tres negras. Otra contiene seis blancas y cuatro negras. si extraemos una bola de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de que sean las dos negras? 13. Al lanzar dos veces un dado ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de puntos sea divisible por tres? 14. Con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 se escriben todos los números posibles de tres cifras, sin repetir cifras en cada número. si se señala un número al azar: a) b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea múltiplo de 4? ¿Y de que sea múltiplo de 3? 15. Una caja contiene 8 bolas rojas, 4 azules y 6 verdes. Se extraen 3 bolas al azar y se desea saber: a) b) c) d) e) La probabilidad de que las tres sean rojas. La probabilidad de que dos sean rojas y una verde. La probabilidad de que dos sean azules y la otra de otro color. La probabilidad de que todas sean de distinto color. La probabilidad de que todas sean del mismo color. 16. Se lanza un dado 6 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga algún 1 en los 6 lanzamientos? 17. Una caja contiene 2 bolas blancas, 3 negras y 4 rojas. Otra contiene 3 blancas, 5 negras y 4 rojas. Se toma una bola al azar de cada caja. ¿Qué probabilidad hay de que sean del mismo color? En una urna hay 50 bolas, aparentemente iguales, numeradas del 1 al 50. ¿Qué probabilidad hay de sacar, una a una, las 50 bolas en el orden natural? 18. 19. La probabilidad de acertar en un blanco de un disparo se estima en 0,2. La probabilidad de acertar en dos disparos será p 1=0,04; p 2=0,36; p3=0,12. Determinar qué respuesta el la correct a. 20. ¿Cuál es la probabilidad de torpedear un barco, si sólo se pueden lanzar tres torpedos y la probabilidad de impacto de cada uno se estima en un 30 %? 21. Se considera el experimento aleatorio lanzar dos veces un dado . ¿Cuál es la probabilidad de obtener número par en el segundo lanzamiento condicionado a obtener impar en el primero? ¿Son dependientes o independientes estos sucesos? ¿Por qué? A un congreso asisten 80 congresistas. De ellos 70 hablan inglés y 50 francés. Se eligen dos congresistas al azar y se desea saber: 22. a) b) c) d) ¿Cuál la probabilidad de que se entiendan sin intérprete? ¿Cuál es la probabilidad de que se entiendan sólo en francés? ¿Cuál es la probabilidad de que se entiendan en un solo idioma? Cuál es la probabilidad de que se entiendan en los dos idiomas? 23. En una bolsa hay 8 bolas rojas, 10 negras y 6 blancas. Tres niños sacan, sucesivamente, dos bolas cada uno, sin reintegrar ninguna. Hallar la probabilidad de que el primero saque las dos rojas, el segundo las dos negras y el tercero las dos blancas? 24. Se lanza un dado n veces ¿Cuál es la probabilidad de sacar al menos un 6 en los n lanzamientos? 25. Se realiza el experimento aleatorio de lanzar sucesivamente cuatro monedas al aire y se pide: a) b) La probabilidad de obtener a lo sumo tres cruces. La probabilidad de obtener dos caras. 26. Una pieza de artillería dispone de 7 obuses para alcanzar un objetivo. en cada disparo la probabilidad de alcanzarlo es 1/7. ¿Cuál es la probabilidad de alcanzar el objetivo en los 7 disparos? 27. La probabilidad de que un hombre viva más de 25 años es de 3/5, la de una mujer es de 2/3. Se pide: a) b) c) d) La probabilidad de que ambos vivan más de 25 años. La probabilidad de que sólo viva más de 25 años el hombre. La probabilidad de que sólo viva más de 25 años la mujer. La probabilidad de que viva más de 25 años, al menos, uno de los dos. 28. Si de una baraja de 40 cartas se eligen 4 al azar, determinar: a) b) c) La probabilidad de elegir dos reyes. La probabilidad de que tres de las cartas sean del mismo palo. La probabilidad de que todos los números sean menores de siete. 29. Se lanzan tres monedas sucesivamente y se consideran los siguientes sucesos: al lanzar el dado. 11 francés e inglés. B= obtener alguna cara . Se desea saber: a) b) c) d) Si A y B son incompatibles. Se eligen al azar dos asistentes y se desea saber: a) b) c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno hable francés? ¿Cuál es la probabilidad de que hablen castellano? ¿Cuál es la probabilidad de que sen entiendan sólo en castellano? ¿Cuál es la probabilidad de que sólo hablen un idioma? ¿Cuál es la probabilidad de que hablen los tres idiomas? d) e) 31. se obtenga un número par. Si A y C son independientes 30. la probabilidad de obtener un número es proporcional a dicho número. Ha llar la probabilidad de que.A= obtener cruz en el primer lanzamiento . Si A y C son incompatibles. Si A y B son independientes. C= obtener dos cruces . De las 100 personas que asisten a un congreso 40 hablan francés. . 12 francés y castellano y 13 inglés y castellano. Un dado está cargado de modo que al lanzarlo. 51 castellano. 40 inglés. Hallar la probabilidad de que el enfermo dado de alta hubiera ingresado con bronquitis. Se ha extraído una bola negra de una de las urnas. En un hospital especializado en enfermedades de tórax ingresan un 50 % de enfermos de bronquitis.99. Se eligen tres alumnos al azar y se desea saber: a) b) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres fumen? ¿Cuál es la probabilidad de que dos. aún. ¿Cuál es la probabilidad de q ue haya alguna defectuosa entre las cinco elegidas? 34. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido extraída de la 2ª urna? b) 35. 12 celtas y 8 de las dos clases. 33.004 respectivamente. La probabilidad de tener diarrea teniendo cólera. 0. La probabilidad de curación completa en cada una de dichas enfermedades es. intoxicación y no teniendo nada serio es de 0. se sabe que el 2% de la . y. exactamente dos. elegida al azar. Un enfermo internado en el hospital ha sido dado de alta completamente curado. Se desea saber: a) Si se extrae una bola de una urna. Un síntoma muy importante es la diarrea. Por otra parte.8 y 0. 0. respectivamente. en personas que no tienen nada serio. En la primera hay 3 bolas blancas y 4 negras.5 y 0. pero ese síntoma también se presenta en personas c on intoxicación. 36. fumen ducados. En una encuesta realizada entre 24 alumnos resulta que 18 fuman ducados. un 30 % de neumonía y un 20 % con gripe. 0. Hay una epidemia de cólera.32.9. cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea negra.7. en la segunda hay 5 negras y en la tercera hay 2 blancas y 3 negras. Se tiene tres urnas de igual aspecto. Si de 800 piezas fabricadas por una máquina salieron 25 defectuosas y se eligen 5 de aquéllas al azar. a) Se observa un artículo y se ve que está defectuoso. La probabilidad de que un artículo provenga de una fábrica A 1 es 0.población tiene cólera. ¿Cuál es la probabilidad de que esté defectuoso? Se piden 5 artículos a la fábrica A 1 ¿Cuál es la probabilidad de que haya alguno defectuoso? b) c) 38.7. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de la fábrica A 2? Se pide un artículo a una de las dos fábricas.5 % intoxicación y el resto (97. elegida al azar. Se sabe que la fábrica A1 produce un 4 por mil de artículos defectuosos y la A 2 un 8 por mil. El 10 % de los machos y el 18 % de las hembras están enfermos. Se sabe además que hay doble número de hembras que de machos y se pide: a) Elegido al azar un individuo de esa población ¿Cuál es la probabilidad de que esté enfermo? Un individuo de esa población se sabe que está enfermo ¿Qué probabilidad hay de que el citado individuo sea macho? b) . nada serio. y la probabilidad de que provenga de otra A 2 es 0.3. En una población animal hay epidemia.5 %). el 0. Se desea saber: a) Elegido un individuo de la población ¿Qué probabilidad hay de que tenga diarrea? Se sabe que determinado individuo tiene diarrea ¿Cuál es la probabilidad de tenga cólera? b) 37. La probabilidad de que un alumno apruebe Matemáticas es 0.6.2. y hay 15 alumnos que no repiten curso. Se pide: a) b) ¿Cuántos estudiantes hay en la clase? Elegido al azar un estudiante ¿Cuál es la probabilidad de que sea alumno? Elegido al azar un estudiante ¿Cuál es la probabilidad de que sea alumna y repita el curso? Elegidos al azar dos estudiantes ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno repita curso? c) d) 40. En una clase mixta hay 30 alum nas. b) c) Soluciones . la de que apruebe Lengua es 0. 15 estudiantes que repiten curso. La probabilidad de que no apruebe ninguna.39.5 y la de que apruebe las dos es 0. de los que 10 son alumnos. La probabilidad de que se apruebe Matemática s y no Lengua. Hallar: a) La probabilidad de que apruebe al menos una de las dos asignaturas. 2 4.4 1.1 1.SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES 1.6 Y la probabilidad pedida es: .4 1. El espacio muestral es: 1.3 3.2 2.3 5.6 5.5 3.5 1. es decir: 1.2 1.2 1.3 1.1 4.4 6.4 2.6 4. El espacio muestral es el mismo de antes.1 4.2 6.4 4.5 2.1 3.5 5.2 2.3 2.4 2.4 5.3 5.6 donde las casillas sombreadas son los casos favorables.1 3.6 5.6 6.5 2.3 6.1 6.5 1.1 1.1 6.6 6.5 4.3 3.4 4.6 2.2 5.2 5.2 6.4 3.4 5.2 3.5 5.5 4.1 5.5 6.4 3.2 3.6 3.3 4.3 1.5 3.4 6.6 2.1 2.3 2. La probabilidad pedida será: 2.1 2.3 6.5 6.6 3.2 4.1 5.6 4.3 4. Las 12 bolas negras pueden tomar de 2 en 2 de maneras distintas (casos favorables). Sean los sucesos: A= Sacar las dos bolas blancas B= Sacar las dos bolas negras . La probabilidad pedida es: 4. tenemos las otras 3 vocales que han de permutar en los tres lugares centrales. De entre ellos. es decir. La probabilidad pedida es.3. pues: 5. si la e ha de aparecer la primera y la o la última. Al escribir al azar las 5 vocales tenemos P 5= 5! = 120 casos posibles. Mientras que las 27 bolas totales pueden tomarse de 2 en 2 de maneras distintas (casos posibles). los casos favorables son P 3= 3!=6. se tiene que: 6. se tiene: .C= sacar las dos bolas del mismo color Según la composición de la urna se tiene que: Como una bola no puede ser al mismo tiempo blanca y negra (los sucesos A y B son incompatibles). Sean los sucesos: A= ser negra la primera bola B= ser negra la segunda bola . Los sucesos A y B son independientes pues el hecho de que la primera bola sea negra no afecta al hecho de que lo sea la 2ª (ya que la 1ª se devuelve a la urna de nuevo). Llamamos: A= sacar un caballo B= sacar un tres Si reintegramos la primera carta. Sean los sucesos: A= realizarse el suceso efectuando 4 pruebas A1= realizarse el suceso en la 1ª prueba A2= realizarse el suceso en la 2ª prueba .7. los sucesos son independientes y se tiene: Si no reintegramos la primera carta los sucesos son dependientes y se tiene: Llamando: C= sacar un caballo la 1ª carta D= sacar un 3 la 2ª carta 8. A3= realizarse el suceso en la 3ª prueba A4= realizarse el suceso en la 4ª prueba Se tiene que: Además se cumple que siendo los cuatro sucesos últimos independientes entre sí. (Este problema se diferencia del nº 7 en que allí había que sacar primero el caballo y luego el 3. Llamando a los sucesos: . ahora hay que sacar caballo y 3 no importa en que orden). por tanto se tendrá para el suceso complementario de A: Y para el suceso A: 9. A= sirve la 1ª carta (es caballo o tres) B= sirve la 2ª carta (es caballo o tres) Reintegrando: Sin reintegrar: 10. es decir a) En este caso los casos favorables son las diferentes formar de tomar las 8 bolas blancas en grupos de 3. es decir: siendo la probabilidad pedida: . Los casos posibles (en ambos casos) son las combinaciones de 15 elementos tomados de 3 en 3. es decir: y la probabilidad es: 11. a) Como el ejercicio está planteado sin devolución de las cartas extraídas previamente. la segunda y la tercera. tras haber extraído las dos primeras sólo quedan 2. b) Llamemos: . se tendrá que. sólo quedan tres y. tenemos que: ya que tras haber extraído la primera sota.b) En este segundo caso los casos favorables son el producto de las diferentes maneras de tomar las 8 bolas blancas de dos en dos por las diferentes maneras de tomar las 5 bolas negras de uno en uno. llamando A 1. A2 y A3 respectivamente a los sucesos ser sota la primera. sólo quedan 8 casos favorables y 39 posibles. Se tiene: ya que para la 1ª teníamos 12 casos favorables (4 ases. si la primera ha servido. Para la segunda. Para la 3ª. 4 doses y 4 treses) y 40 posibles. si las dos primeras han servido. Tenemos pues para la probabilidad pedida: c) En este caso sean: A= sacar un rey en la 1ª B= sacar un cinco en la 2ª C= sacar un siete en la 3ª . sólo quedan 4 casos favorables y 38 posibles.A= sirve la 1ª carta (es un as un dos o un tres) B= sirve la 2ª carta C= sirve la 3ª carta. 5 4.4 2.4 5.2 5.6 2.6 .1 1.3 4.4 3. Sean los sucesos: A= sacar una bola negra de la 1ª urna B= sacar una bola negra de la 2ª urna Se tiene que: y.5 2.2 3.1 4.Será: 12.1 3.3 5.3 2.4 4.5 1.1 2.3 3. dado que los dos sucesos son independientes: 13.6 4.2 4.1 5.2 2. En la siguiente tabla de casos posibles aparecen sombreados los favorables (aquellos en los que la suma de puntos es divisible por 3) 1.6 5.3 1.5 3.4 1.5 5.6 3.2 1. a) Sea A es suceso señalar un número de cifras no repetidas que sea múltiplo de 4 necesariamente ha de acabar en 12. 4 y 5) de una en una influyendo el orden y sin re petición.1 6.2 6. 3. esto es son V 31. {1. 5} . 5}. 52. los casos favorables son 4V 31. Necesariamente uno de estos números ha de estar formado por los números de cualquiera de los 4 conjuntos siguientes: {1. 24. El mismo razonamiento es válido para las otras tres posibles terminaciones. De todos ellos terminan en 12 los que resulten de tomar las 3 cifras restantes (3.5 6. es decir.4 6.6 La probabilidad pedida es. 4} y {3. pues: 14.6. 2. 3}. 3. entonces tenemos que: b) Sea B es suceso señalar un número d e cifras no repetidas que sea múltiplo de 3 .3 6. 4. 32. mientras que los casos posibles son V 53. {2. ya que son los únicos la suma de cuyas cifras es múltiplo de 3. Los casos favorables serán pues 4P 3 y los casos posibles son los mismos que en a partado a). Pero los números de cada uno de los conjuntos anteriores se pueden poner en cualquier orden. luego tenemos: 15. se tiene: b) Sea B= extraer dos bolas rojas y una verde : c) Sea C= extraer dos azules y una no azul : . de cada uno de esos conjuntos obtenemos P 3 elementos. a) Sea A= extraer las tres bolas rojas . es decir. Se tiene que: .d) Sea D= extraer todas de distinto color : e) Sean los sucesos: R= extraer las tres rojas A= extraer las tres azules V= extraer las tres verdes . A y V incompatibles dos a dos se tiene que la probabilidad pedida es: 16. cuarto.Y por ser los sucesos R. quinto. los sucesos sacar un 1 en el primero (segundo. A5. A4. sexto) lanzamientos . se tiene: . A 3. Se tiene que: Y como el suceso complementario de A (no sacar ningún 1 en los seis lanzamientos) es la intersección de estos seis últimos y éstos son independientes. Sea el suceso A= sacar algún 1 en 6 lanzamientos y sean A 1. A 6. A2. tercero. 3. Sean los sucesos: A= sacar las dos bolas blancas B= sacar las dos bolas negras C= sacar las dos bolas rojas Se tiene que los tres sucesos son incompatibles dos a dos y sus probabilidades son: Siendo la probabilidad pedida: 18..17. Sea el suceso A= sacar las 50 bolas en el orden 1...50 .. . 2. El número de casos posibles son todas las permutaciones de 50 y solament e una de ellas constituye el caso favorable luego: . Sean los sucesos: A= acertar en dos disparos A1= acertar el primer disparo A2= acertar el segundo disparo Se tiene que: Y siendo estos dos últimos sucesos independientes se tiene: 20. . Sean los sucesos: A= Acertar en alguno de los tres lanzamientos A1= acertar en el primer lanzamiento A2= acertar en el segundo lanzamiento A3= Acertar en el tercer lanzamiento .19. 1 2.3 3. Sean los sucesos: A= sacar impar en el primer lanzamiento B= sacar par en el segundo lanzamiento La tabla del espacio muestral es (en ella se han señalado los casos favorables al suceso intersección de A y B): 1.2 4.6 3.2 2.6 2.Se tiene que: y siendo estos tres últimos sucesos inde pendientes se cumple que: siendo entonces la probabilidad pedida: 21.5 3.1 3.4 1.6 .3 2.1 4.2 3.4 2.1 1.5 4.4 3.3 1.3 4.5 2.4 4.2 1.6 4.5 1. 2 5.4 6.1 6. 22.4 5.5 5.1 5.2 6. Observemos el siguiente diagrama de Venn: donde hemos llamado x al número de congresistas que son capaces de hablar al mismo tiempo francés e inglés: habiéndose cumplir que: de .6 Se tiene que: Que es la probabilidad pedida.5 6.5.3 5.3 6.6 6. Como además: Queda demostrado que los sucesos A y B son independientes. los dos congresistas se entienden sin Se tiene que: entonces: b) Sea ahora el suceso: . a) Sea ahora el suceso A= intérprete . resolviendo la ecuación obtenemos que X=40 Es decir. 30 hablan sólo inglés y 10 hablan sólo francés.(70-X)+X+(50-X)=80 Y de ahí. 40 de los congresistas hablan tanto francés como inglés. Entonces se tiene para el suceso C: . C2= Se entienden sólo en francés .B= los dos congresistas se entienden sólo en francés (ello supone que sólo hablan francés o que pueden hablar ambos idiomas): tenemos que: c) Sean ahora los sucesos: C= los dos congresistas se entienden en un solo idioma C1= Se entienden sólo en inglés . Se tiene que: Como el suceso C 2 coincide con el suceso b) del apartado b) su pro babilidad ya ha sido calculada allí. Sean los sucesos: A= el primer niño saca las dos rojas . C= el tercer niño saca las dos blancas habiendo sacado el 1º las dos rojas y el segundo las dos negras .d) Sea ahora el suceso: D= los dos congresistas se entienden en los dos idiomas . B= el segundo niño saca las dos negras habiendo sacado el 1º las dos rojas . D= el primer niño saca las dos rojas y el segundo las dos negras y el ter cero las dos blancas Se tiene: . Se tiene que: 23. 24. B y C de esta forma definidos son independientes y D es la intersección de los tres. Sea el suceso: A= sacar al menos un 6 en los n lanzamientos Ai= sacar un seis en el i-ésimo lanzamiento (donde i varía entre 1 y n) Se tiene que: entonces: .Ya que los sucesos A. Se tiene pues que: 25. El espacio muestral tiene RV 24=2 4=16 elementos que son: CCCC CCC+ CC+C C+CC +CCC CC++ C+C+ +C+C +CC+ C++C ++CC C+++ +C++ ++C+ +++C ++++ a) Sea A= obtener a lo sumo tres cruces (es decir. 1. 2 ó 3) b) Sea B= obtener exactamente dos caras : . 0.siendo estos n sucesos independientes. Se tiene que: . C= ambos viven más de 25 año s . Sean los sucesos: a) A= el hombre vive más de 25 años . por lo tanto: 27. B= la mujer vive más de 25 años .26. Sea el suceso A= alcanzar el objetivo en al menos uno de los siete disparos Ai= alcanzar el objetivo en el disparo i -ésimo (i varía de 1 a 7) Se tiene: siendo estos 7 sucesos independientes. c) E= sólo la mujer vive más de 25 años : d) F= que viva más de 25 años al menos uno de los dos 28. a) Sea A= sacar 4 cartas de la baraja entre las que haya dos reyes y dos no reyes .b) D= sólo el hombre vive más de 25 años . la probabilidad de obtener tres de ese palo de entre 4 cartas es: Y la probabilidad pedida es: c) Sea C= sacar cuatro cartas de la baraja y que todas ellas sean menores que 7 29. Estos son: . esto es RV 23=23=8. a) Al lanzar tres monedas al aire obtenemos como posibles resultados las Variaciones con repetición de 2 elementos tomados 3 a 3. Para un palo cualquiera dado.b) Sea B= sacar cuatro cartas de la baraja entre las que haya tres del mismo palo y uno no . (C+C). Veamos: . (+C+). (+C+). (++C)} Y el C por: C= {(C++). en caso de ser falsa la igualdad anterior no serán independientes. A y B no son incompatibles. (++C). (C++). (++C)} Como . (CC+). (+CC). (+C+). (+++)} El B por: B= {(CCC). b) Para ver si A y B son independientes hay que comprobar si p(B/A)=p(B).CCC CC+ C+C +CC C++ +C+ ++C +++ El suceso A está formado por los sucesos elementales: A= {(+CC). Luego A y B no son independientes. los sucesos A y C no son independientes. Observemos el siguiente diagrama de Venn: donde los números salen de: Llamando x a los que hablan las tres lenguas. 30. tenemos que: . y siendo distintos ambos resultados. c) d) Como Calculemos: . A y C no son incompatibles. 40 hablan inglés. 40 hablan francés 51 hablan castellano 11 hablan francés e inglés 12 hablan francés y castellano 13 hablan inglés y castellano 11-x hablan sólo francés e inglés 13-x hablan sólo inglés y castellano 12-x hablan sólo francés y castellano 40-(11-x)-x-(13-x)=16+x hablan sólo inglés 40-(11-x)-x-(12-x)=17+x hablan sólo francés 51-(12-x)-x-(13-x)=26+x hablan sólo castellano Se ha de verificar. pues la siguiente ecuación: hablan sólo inglés+hablan sólo francés+hab lan sólo castellano+hablan sólo inglés y castellano+hablan sólo francés e inglés+ hablan sólo francés y castellano+ hablan los tres idiomas = 100 16+x+17+x+26+x+13-x+11-x+12-x+x=100 . y de ahí se obtiene que hablan los tres idiomas: x=5 11-x=6 hablan sólo francés e inglés 13-x=8 hablan sólo inglés y castellano 12-x=7 hablan sólo francés y castellano 16+x=21 hablan sólo inglés 17+x=22 hablan sólo francés 26+x=31 hablan sólo castellano a) A= ninguno habla francés . por tanto: . Hay 31 que sólo hablan castellano. luego b) B= los dos hablan castellano . 36 (31+5) que hablan castellano sólo o los tres idiomas. Como hay 51 en esas condiciones: c) C= los dos se entienden sólo en castellano . 38 (31+7) que hablan castellano y francés pero no inglés. 39 (31+8) que hablan castellano e inglés pero no francés. Hay 21+8+31=60 que no hablan f rancés. d) D= los dos hablan un solo idioma . El hecho de que la probabilidad de obtener un determinado número en el dado sea proporcional a dicho número significa que (siendo i un número comprendido entre 1 y 6 ambos inclusive). se tiene: p(i)=ki como la probabilidad de que salga cualquier número del dado es 1 (suceso seguro). Hay 74 (21+22+31) que hablan un solo idioma. se tendrá que: . por tanto: 31. Hay sólo 5 que lo hacen. luego: e) E= hablan los tres idiom as . es decir: 32. se tiene que: 10+8+4+x=24 . Observemos el siguiente diagrama: donde x representa al número de alumnos que no fuman ni celtas ni ducados. este suceso es la unión de los tres sucesos incompatibles sacar 2 .p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(6)=1 k+2k+3k+4k+5k+6k=1 21k=1 k=1/21 entonces. Como hay 24 alumnos en total. llamando A sal suceso sacar un número par . sacar 4 ó sacar 6 . Ha de haber 2 de los 18 que fuman ducados y uno de los 6 que o no fuman o fuman celtas. es decir: .Y de ahí: x= 24-10-8-4=2 a) A= los tres alumnos fuman : b) B= 2 de los tres fuman ducados . Sean los sucesos: A= extraer bola negra A1= extraer una bola de la primera urna A2= extraer una bola de la segunda urna . la probabilidad del suceso contrario (que no haya ninguna defectuosa) es: Y la probabilidad de A es: 34. Sea el suceso A= entre cinco piezas elegidas al azar hay alguna defectuosa . A3= extraer una bola de la tercera urna .33. . Sean los sucesos: A= el enfermo se cura A1= el enfermo ingresa con bronquitis . A2= el enfermo ingresa con neumonía A3= el enfermo ingresa con gripe .Por el enunciado sabemos que: a) total tenemos: Aplicando el Teorema de la probabilidad p(A)=p(A/A 1)p(A 1)+p(A/A2)p(A 2)+p(A/A3)p(A 3) que en nuestro caso da como resultado: b) Por el Teorema de Bayes nos queda: 35. 02 p(A2)= 0.99 p(A/A2)= 0.004 .8 p(A/A3)= 0.975 p(A/A 1)= 0.9 Aplicando el Teorema de Bayes: 36.5 p(A/A3)=0.005 p(A3)= 0.5 p(A2)= 0.Sabemos del enunciado que: p(A 1)= 0. Sean los sucesos: A= tienen diarrea A1= tienen cólera A2= tienen intoxicación A2= no tienen nada serio Sabemos que: p(A 1)= 0.3 p(A3)= 0.2 p(A/A 1)= 0.7 p(A/A2)= 0. 008 p(A/A 1)= 0.7 p(A2)= 0.004 a) Por el Teorema de Bayes: . Sean los sucesos: A= el artículo es defectuoso A1= el artículo procede de la 1ª fábrica A2= el artículo procede de la 2ª fábrica . Sabemos que: p(A 1)= 0.3 p(A/A2)= 0.a) Por el Teorema de la probabilidad total: b) Por el Teorema de Bayes: 37. c) Sean los sucesos: B= entre los 5 artículos servidos por la fábrica A 1 hay alguno defectuoso Bi= es defectuoso el objeto i ( i varía de 1 a 5) Se cumple que: p(B1)=p(B 2)=p(B 3)=p(B 4)=0. se tiene que: siendo entonces la probabilidad pedida: 38.004 Y siendo estos 5 últimos sucesos independientes entre sí.0052 ya que las operaciones a realizar en dicho Teorema coinciden con el denominador de la fórmula de Bayes anteriormente calculado.b) Por el Teorema de la probabilidad Total: p(A)= 0. Sean los sucesos: . 1 p(A/A2)=0.A= el animal está enfermo A1= el animal es macho A2= el animal es hembra Se sabe que: p(A1)= 1/3 p(A2)= 2/3 p(A/A1)= 0.18 a) Por el Teorema de la probabilidad Total: b) Por el Teorema de Bayes: . b) Sea el suceso A= ser alumno un estudiante elegido al azar . Tendremos: . Será: c) Sea el suceso B= ser alumna y repetidora un estudiante elegido al azar . Será: d) Sea el suceso C= ser no repetidores dos estudiantes elegidos al azar . a) Observemos la siguiente tabla de contingencia: no repiten alumnos 15 alumnas 25 estudiantes 40 repiten total 10 5 15 25 30 55 Donde están señalados en negrita los datos no proporcionados por el enunciado pero que fácilmente se obtienen de él.39. . c) Sea F= aprobar matemáticas y no lengua . Sean los sucesos: A= aprobar matemáticas un alumno B= aprobar lengua C= aprobar matemáticas y lengua Se sabe que: p(A)= 0.2 a) Sea D= aprobar una de las dos . b) Sea E= no aprobar ninguna de las dos .40.6 p(B)= 0.5 p(C)=0. donde hemos tenido en cuenta que el suceso del primer paréntesis es el suceso seguro (de probabilidad 1) y hemos aplicado la propiedad distributiva de la intersección respecto de la unión. Como los dos sucesos obtenidos en el último miembro son incompatibles. tenemos: .