Unidad 6Anualidades anticipadas Objetivos Al finalizar la unidad, el alumno: • Calculará el monto producido por una anualidad anticipada. • Calculará el valor presente de una anualidad anticipada. • Calculará el valor de la renta de una anualidad anticipada. • Determinará el tiempo o plazo de una anualidad anticipada. Introducción H asta el momento se han analizado las anualidades vencidas y algunos casos donde se presentan; sin embargo, en la realidad, no todas las situaciones con pagos constantes en tiempos iguales se refieren a anualidades de este tipo, existen situaciones tales como la renta de un departamento, la cual no se paga al término del mes sino al principio, o la compra de un coche donde los pagos se realizan el primer día de cada mes y no los días de corte. En esta unidad analizaremos situaciones como las mencionadas anteriormente, enfocaremos el estudio a las anualidades anticipadas, el cálculo del monto que representan, su valor presente, el número de pagos y la renta que implican. 6.1. Cálculo del monto En la unidad cinco se expuso la definición de las anualidades anticipadas, como aquellas en las que los pagos se realizan al principio de cada periodo y no al final como ocurre en las anualidades vencidas. Para entender esto veamos la representación gráfica de una anualidad anticipada (figura 6.1) para compararla con la de la anualidad vencida (figura 6.2). R R R 0 1 2 R ¿Qué diferencia existe entre una anualidad anticipada y una vencida? R n Figura 6.1. Gráfica de una anualidad anticipada. 179 Como puedes observar comparando ambas gráficas. en las anualidades vencidas el monto coincide con la fecha del último pago. si utilizamos esto como referencia para calcular el monto de una anualidad anticipada. se tendría que trasladar esta cantidad a un periodo más. ya que en las anualidades anticipadas éste se realiza al principio del periodo de pago. Si recuerdas. 180 . Gráfica de una anualidad vencida.4.matemáticas Financieras 0 R R 1 2 R R R n Figura 6.2. el número de pagos es el mismo (n). Al igual que en las anualidades vencidas. el monto es la suma de los pagos en el momento de vencimiento de la anualidad (figura 6. lo que cambia es el momento de realizar el pago. el valor de las rentas es el mismo (R).3.3). R1 R3 R2 0 1 Rn n 2 Figura 6. tal como se puede observar en la figura 6. 5.4.4. Monto de una anualidad vencida Periodos de pago R R 0 1 R Figura 6. De acuerdo a la figura 6.unidad 6 Monto de una anualidad anticipada Monto de una anualidad vencida R R R R R Periodos de pago 0 1 n Figura 6. tenemos: 181 . R n Utilizando la fórmula para determinar el monto compuesto M=C(1+i)n.5. para encontrar las fórmulas que se aplican en el cálculo del monto de una anualidad anticipada. tal como lo muestra la figura 6. ya que únicamente hay que trasladarlo un periodo. se puede tomar como base la fórmula para calcular el monto de una anualidad vencida. Monto de una anualidad vencida M=R (1 + i)n − 1 i Trasladando este monto un periodo más en el tiempo. considerando que (1 + i)n − 1 C en realidad es el monto de la anualidad vencida R y tomando en cuenta que n es i 1. El señor Márquez deposita $1 500 al principio de cada mes en una cuenta bancaria que paga una tasa de interés de 32.matemáticas Financieras M=R (1 + i)n − 1 (1+i) i Simplificando esta expresión: (1 + i)n − 1 (1 + i) M=R i M=R M=R (1 + i)n (1 + i) − (1 + i) i (1 + i)n + 1 − 1 − i i (1 + i)n + 1 − 1 i − M=R i i (1 + i)n + 1 − 1 − 1 M=R i (1 + i)n + 1 − 1 MM=R = R − 1 i donde: M es el monto de la anualidad R es la renta i es la tasa por periodo de capitalización n es el número de pagos Ejemplos 1. ¿Cuál es su saldo después del primer año de ahorro? Solución Se identifican los datos: 182 .4% anual capitalizable mensualmente. sabe que dentro de 5 años requerirá cambiar una máquina. 2. significa que son pagos anticipados. A.027 12 n=un año=1 (12)=12 pagos mensuales Como la pregunta es: ¿cuál es el saldo al final del primer año?.413890468 − 1 0. 027 . tenemos: (1 + i)n+1 − 1 − 1 M=R i (1 + 0. significa que lo que se busca es el monto de los pagos (rentas). por lo tanto se trata de una anualidad anticipada.027)12 +1 − 1 − 1 M=1 500 0.413890468 − 1 = 1 500 − 1 = 1 500 − 1 M=1 500 0 027 0 .027)13 − 1 1. . si decide realizar depósitos trimestrales anticipados de $15 720 en una cuenta de ahorros que le paga 37. sustituyendo en la fórmula para el monto de una anualidad vencida.324 = 0.unidad 6 Como los pagos se realizan al principio de cada mes. 0 027 Significa que recibe en total al final de un año $21 493. ¿cuál será el precio de la máquina cuando se compre? Solución R=$15 720 183 . S.2% anual capitalizable trimestralmente. La empresa Papel del Futuro.91. por lo tanto. R=$1 500 i= 0.027 Realizando las operaciones: (1. significa que lo que se busca es el monto de los pagos (rentas). ya que como podemos observar en la figura 6. el valor de una deuda al momento de contraerla.093 0. no es el monto lo que se requiere conocer. 6.6. etcétera. sustituyendo en la fórmula para el monto de una anualidad vencida. por lo tanto.093)21 − 1 5.46 Significa que la máquina costará $909 186. tenemos que regresar en el tiempo todas las rentas menos ¿Por qué la primera renta una (la primera).093 Realizando las operaciones: (1.093)20 +1 − 1 M=15 720 − 1 0.093 (trimestral) 4 n=5 años=5(4)=20 pagos trimestrales Como la pregunta es: ¿cuál es el precio de la máquina cuando se compre?.2. sino el valor presente o actual de una anualidad anticipada.471774865 6.83628887–1)=909 186.matemáticas Financieras i= 0. tenemos: (1 + i)n + 1 − 1 M=R − 1 i (1 + 0. que en este caso es el inicio en el tiempo? de la anualidad. este no se regresa pago se encuentra ya en la fecha de evaluación.093 0. Cálculo del valor actual En ocasiones. y la máquina se comprará dentro de 5 años.471774865 − 1 M=15 720 − 1 − 1 = 15 720 − 1 = 17 720 0.372 = 0. 184 .093 M=15 720 (58. ya que esto representa el precio de contado.46. Para determinar el valor actual o presente de una anualidad anticipada (C). 6. tendríamos: C=R 1 − (1 + i)−( n − 1) 1 − (1 + i)− n +1 =R i i Sumando a este valor la renta que se encuentra al inicio de la anualidad (fecha focal): C=R + R 1 − (1 + i)− n + 1 i Se factoriza la expresión utilizando el método de factor común (revisado en Matemáticas 2. ya que el primero está donde i se necesita y no hay que trasladarlo.unidad R1 R2 0 6 Rn 2 1 n Figura 6. Recordando la fórmula para calcular el valor presente de una anualidad vencida 1 − (1 + i)− n (C = R ). si consideramos que se consideran n–1 pagos. unidad 2): 1 − (1 + i)− n + 1 C = R 1 + i La fórmula para calcular el valor actual de una anualidad anticipada es: 1 − (1 + i ) − n + 1 C = R 1 + i donde: C es el valor actual de la anualidad R es la renta i es la tasa por periodo de capitalización n es el número de pagos 185 . 0. realizando sus pagos el primer día de cada mes. debemos buscar el valor actual o valor presente de los pagos (rentas).025)−12 + 1 C = 28 000 1 + 0.025 0.762144782 C = 28 000 1 + = 28 000 1 + = .matemáticas Financieras Ejemplo Una persona alquila una bodega por $28 000 mensuales.514208713] 186 + .025 12 n=un año=1(12)=12 pagos mensuales De acuerdo con la pregunta y las condiciones del problema. por lo tanto se sustituyen los datos en la fórmula para el valor presente de una anualidad anticipada: 1 − (1 + i)− n + 1 C = R 1 + i 1 − (1 + 0.237855217 1 − 0. al momento de firmar el contrato. Propone al propietario pagarle el alquiler de todo el año.025)−11 28 000 = C = 28 000 1 + 1 + 0.025 Realizando las operaciones: 1 − (1 + 0. si la tasa de interés en ese momento es de 30% anual capitalizable mensualmente.025 0 025 = 28 000 [1+9.30 = 0.025)−12 + 1 1 − (1.025 0. ¿Cuál será el pago único que realizará a la firma del contrato? Solución Se identifican los datos: R=$28 000 i= 0. ¿Cuál será el precio de la máquina cuando se compre? 3. se sustituyen éstos en la fórmula correspondiente. A. durante 3 años. el cual acuerda pagar con $2 780 mensuales anticipados durante 3 años. si la tasa de interés que se aplica es de 18% anual convertible mensualmente. ¿Cuál es el valor actual de una renta de $1 600 depositada al principio de cada trimestre. S. dependiendo los datos con los que se cuente (valor futuro o monto). ¿Cuánto tendrá ahorrado en su cuenta después de 4 años y medio? 2.3.5142)=294 397. Ejercicio 1 1. La empresa Vinos Perdidos.84. si se cuenta con el valor actual o el monto de la anualidad. para poderla comprar decide realizar depósitos semestrales anticipados de $24 753 en una cuenta de ahorros que le paga 28% anual capitalizable semestralmente.84 El pago de la renta anticipada por un año es $294 397. se realizan las operaciones que se puedan para simplificar la operación y por último se despeja el valor de la renta. 187 . dentro de 3 años requerirá cambiar una de sus máquinas. en una cuenta bancaria que paga 16% convertible trimestralmente? 6. Calcula el precio de contado de una estufa que se compra con 24 pagos mensuales anticipados de $416. Cálculo de la renta Al igual que en las anualidades vencidas.unidad 6 C=28 000(10. para entender mejor esto veamos algunos ejemplos. Una persona realiza depósitos de $2 653 al principio de cada trimestre en una cuenta que le paga 16% anual compuesto trimestralmente de interés. si deposita $3 035 al principio de cada trimestre durante 20 trimestres en una cuenta que paga 32% anual convertible trimestralmente? 4. Si la tasa de interés que se acuerda es de 24% anual compuesto mensualmente. ¿Cuánto reunirá la señora González. La señora Ramírez adquiere un automóvil. ¿cuál es el precio de contado del automóvil? 5. 6. Una vez que se identifica. junto con el resto de los datos. en algunos casos se requiere conocer el valor de la renta para lo cual se pueden utilizar las fórmulas para calcular el valor presente o para el monto. 05 6 n=(1.05)9 +1 − 1 95 000=R − 1 0. para que al final de un año 6 meses se tengan reunidos $95 000? Solución Se identifican los datos: M=$95 000 Se trata de un problema de monto ya que se tiene un ahorro. y como uno de los datos con los que se cuenta es el monto de la anualidad. la renta se puede despejar de la fórmula para el cálculo del monto: (1 + i)n+1 − 1 M = R − 1 i Se sustituyen los valores y se simplifica: (1 + 0.05 (1.matemáticas Financieras Ejemplos 1. i= 0.05 1. ¿Cuál es el valor de una serie de depósitos que se deben realizar al principio de cada bimestre.30 = 0. 0 05 188 .628894627 − 1 95 000=R − 1 .5) 6=9 depósitos bimestrales El valor que se va a buscar es la renta. en una cuenta de ahorros que paga 30% de interés con capitalización bimestral.05)10 − 1 95 000=R − 1 0. 628894627 95 000=R − 1 0. ya que uno de los datos que se tienen es el precio de contado. ¿de cuánto será cada pago mensual si le cargan una tasa de interés de 18% anual convertible mensualmente? Solución Se identifican los datos: C=$32 000 Se trata de un problema de valor actual. 2. ya que se tiene el precio de contado.57789254–1] 95 000=R [11. Roberto Martínez quiere comprar una bicicleta cuyo precio es $32 000.015 12 n=24 pagos mensuales Lo que se tiene que buscar es el valor de las mensualidades (rentas.57789254 Cada depósito debe ser de $8 205.29 11.05 95 000=R [12.unidad 6 0.18 = 0.29 por bimestre. R). la renta se puede despejar de la fórmula para el cálculo del valor presente de una anualidad anticipada: 1 − (1 + i)− n+1 C = R 1 + i 189 . i= 0. es decir al valor actual (C). Si la tienda le da la oportunidad de pagarla con 24 mensualidades anticipadas.57789254] Se despeja el valor de la renta (R): R= 95 000 = 8 205. ¿de cuánto deben ser los pagos trimestrales anticipados? 190 .015)−23 32 000= R 1 + 0. ¿Qué cantidad debe depositar el señor Flores al principio de cada mes en una cuenta bancaria que genera 15% de interés capitalizable mensualmente para que al cabo de 3 años reciba $280 000? 2.33086147] 32 000=R [20.33086147] Se despeja el valor de R: R= 32 000 = 1 573.015)−24 + 1 32 000= R 1 + 0. Si el crédito se otorga para cubrir con pagos trimestrales anticipados durante 15 años con una tasa de interés de 25.289962922 32 000= R 1 + 0.matemáticas Financieras Se sustituyen los valores y se simplifica: 1 − (1 + 0. Margarita Díaz consigue un crédito para la compra de un departamento cuyo costo es $793 522.96.015 0. Ejercicio 2 1.33086147 Cada pago mensual debe ser de $1 573.015 1 − (1 .96 20.015 32 000=R [1+19.015 1 − 0.710037078 32 000= R 1 + 0.2% de interés compuesto trimestral. se utiliza la fórmula del monto (1 + i)n+1 − 1 M=R − 1 .5 años. Si el monto es uno de los datos con los que se cuenta. ¿De cuánto deben ser los depósitos mensuales anticipados para reunir dicha cantidad? 6. el número de rentas se puede determinar utilizando las fórmulas para calcular el ¿De qué depende la fórmula que se utiliza para calcular el tiempo? monto o el valor actual. Joaquín se propone reunir $78 500 para realizar un viaje.4. Despejemos n de la fórmula del monto: (1 + i)n + 1 − 1 M=R − 1 i (1 + i)n + 1 − 1 R − 1 =M i M (1 + i)n + 1 − 1 − 1 = i R (1 + i)n + 1 − 1 M = +1 i R 191 .unidad 6 3. despejando de ésta el valor de n. adquirida el día de hoy. Determina el valor de cada pago bimestral anticipado durante 4. 4. que representa el número de pagos a i realizar. Al igual que con las anualidades vencidas. Cálculo del tiempo Hay ocasiones en las que es necesario determinar el número de pagos o de depósitos que se requieren para cubrir una anualidad anticipada.36% de interés capitalizable bimestralmente. con los que se cancelará una deuda de $100 000. por lo cual decide realizar depósitos mensuales anticipados durante tres años en una institución bancaria que paga 12% anual compuesto mensualmente. dependiendo de los datos con los que se cuente. con 15. matemáticas Financieras M (1 + i)n+1 − 1 = + 1 i R M (1 + i)n+1 = + 1 i + 1 R M log(1 + i)n+1 = log + 1 i + 1 R M + 1 i + 1 (n + 1)log(1 + i) = log R M log + 1 i + 1 R n +1 = log(1 + i) M log + 1 i + 1 −1 R n= log(1 + i) Cálculo del número de rentas cuando se conoce el monto M log + 1 i + 1 −1 R n= log (1 + i ) donde: n es el número de pagos M es el monto de la anualidad R es la renta i es la tasa por periodo de capitalización De la misma manera podemos despejar el número de pagos cuando se conoce el valor presente: 1 − (1 + i)− n + 1 C = R 1 + i 1 − (1 + i)− n + 1 R 1 + =C i 192 . unidad 1+ 6 1 − (1 + i)− n + 1 C = i R 1 − (1 + i)− n + 1 C = −1 i R C 1 − (1 + i)− n + 1 = − 1 i R C −(1 + i)− n + 1 = − 1 i − 1 R Como no se pueden obtener logaritmos de valores negativos. se multiplica toda la igualdad por –1: C (−(1 + i)− n + 1 = − 1 i − 1)(−1) R C (1 + i)− n + 1 = 1 − − 1 i R C log(1 + i)− n + 1 = log 1 − − 1 i R C (− n + 1)log(1 + i) = log 1 1 − − 1 i R C log 1 − − 1 i R −n + 1 = log(1 + i) C log 1 − − 1 i R −1 −n = log(1 + i) Debido a que no se puede tener un número de pagos negativo. se multiplica todo por –1: C log 1 − − 1 i R − 1)(−1) (− n = log(1 + i) 193 . 63. Una compañía fabricante de cocinas integrales ofrece uno de sus modelos con un precio de contado de $13 069. Ejemplos 1.015 12 Se sustituyen los datos: 194 . ¿Cuántos pagos han de efectuarse para liquidar la cocina? Solución Se identifican los datos: R=$750 C=$13 069.18 = 0. mediante pagos mensuales anticipados de $750 con un cargo de 18% de interés convertible mensualmente.matemáticas Financieras C log 1 − − 1 i R +1 n=− log(1 + i) Ordenando y acomodando la expresión podemos decir: Cálculo del número de rentas cuando se conoce el valor actual C log 1 − − 1 i R n =1− log (1 + i ) donde: n es el número de pagos o rentas C es el valor actual de la anualidad R es la renta i es la tasa por periodo de capitalización Veamos cómo se aplican estas fórmulas con algunos ejemplos.63 i= 0. 63 log 1 − − 1 0.42617333)0.63 log 1 − − 1 0.015] log(1.015] log(1. Lupita desea reunir $480 000 para la compra de un departamento.006466042249 n=1–(–19) n=1+19=20 Por lo que podemos concluir que se requieren 20 pagos mensuales.015 750 n =1− log(1 + 0.42617333 − 1)0.015) −0.015) n =1− log [1 − (16. para lo cual deposita $17 500 mensuales anticipados en una cuenta bancaria que paga 24% de interés 195 . 2.015 750 n =1− log(1 + 0.122854845 0.015) n =1− log[1 − 0.2463926] log(1.unidad 6 C log 1 − − 1 i R n =1− log(1 + i) 13 069.015) Se realizan las operaciones: 13 069.7536074] log(1.015) n =1− log [1 − (17.015) n =1− n =1− log[0. 42857143)0.02) n= log [(28.02 + 1 17 500 −1 n= log(1 + 0.02 + 1] −1 log(1.568571428 + 1] −1 log(1.02 + 1] −1 log(1.02) 196 n= log [(27.02) n= 0.1955043 −1 0.02 12 Se sustituyen los datos y se realizan las operaciones: M log + 1 i + 1 −1 R n= log(1 + i) 480 000 log + 1 0.24 = 0.02) n= log[1. ¿Cuántos depósitos debe efectuar Lupita para reunir lo que necesita? Solución Se identifican los datos: R=$17 500 M=$480 000 i= 0.matemáticas Financieras anual convertible mensualmente.02) n= log[0.42857143 + 1) 0.008600171762 .568571428] −1 log(1. acumularán un monto de $220 000? 3. Ejercicio 3 1. Si pretende realizar depósitos semestrales vencidos por $121 000 en una cuenta bancaria que paga un interés de 21% anual compuesto semestralmente.73–1 n=21. ¿Cuántos pagos se requieren para comprar el automóvil? 4. El señor Álvarez requiere reunir $5 000 000.73 nota: cuando el resultado es decimal. ¿cuántos depósitos tendrá que realizar para reunir la cantidad que necesita? Problemas resueltos 1. a una tasa de 14. en este curso no se realizará el ajuste del último pago. Una tienda de electrónicos pone a la venta minicomponentes cuyo costo de contado es de $8 350 pagaderos mediante mensualidades anticipadas de $600 con 9% de interés anual convertible mensualmente.4% anual convertible bimestralmente. para lo cual ofrece un precio de $175 400 mediante pagos de $7 200 con cargo de 18% anual convertible mensualmente. ¿Cuál es su saldo después de 4 años de ahorro? 197 . Una persona deposita $900 al principio de cada mes en una cuenta bancaria que paga una tasa de interés de 36% anual capitalizable mensualmente. Una agencia pone a la venta un automóvil mediante un sistema de pagos mensuales anticipados. Podemos concluir que se requieren aproximadamente 22 pagos. ¿Cuántos depósitos bimestrales anticipados de $15 000. simplemente se redondeará al entero inmediato. normalmente se ajusta el valor del último pago y se redondea el número de pagos al entero inmediato.unidad 6 n=22. ¿Cuántos pagos debe hacer un comprador para adquirir uno de estos minicomponentes? 2. 256219436 − 1 3.03 12 n=4 años=4(12)=48 pagos mensuales Se sustituyen los datos en la fórmula para calcular el monto de una anualidad anticipada y se realizan las operaciones: (1 + i)n + 1 − 1 M = R − 1 i (1 + 0.36 = 0.58 Significa que recibe en total al final de 4 años $96 786.matemáticas Financieras Solución Se identifican los datos: R=$900 i= 0. ¿cuál será el pago único que realizará a la firma del contrato? Solución Se identifican los datos: R=$4 000 198 .03)48+1 − 1 M = 900 − 1 0.03 (1. Propone al propietario pagarle el alquiler de todo el año al momento de firmar el contrato.58.03)49 − 1 4.5406479–1)=96 786. Si la tasa de interés en ese momento es de 24% anual capitalizable mensualmente. El señor González alquila un departamento por $4 000 mensuales. realizando sus pagos el primer día de cada mes.03 0.03 M=900(108.03 0. 2.256219436 − 1 = 900 − 1 M = 900 − 1 = 900 0. ¿Cuánto se debe depositar al principio de cada bimestre.02 C = 4 000 1 + 0.4% de interés con capitalización bimestral.24 = 0.02 1 − (1 .39 El pago de la renta anticipada por un año es $43 147.02)−11 1 − 0.02 12 n=un año=1(12)=12 pagos mensuales Se sustituyen los datos en la fórmula para el valor presente de una anualidad anticipada y se realizan las operaciones: 1 − (1 + i)− n + 1 C = R 1 + i 1 − (1 + 0.02 0.804263039 = 4 000 1 + C = 4 000 1 + 0.02)−12 + 1 C = 4 000 1 + 0.02 C=43 147.019 6 n=(4) 6=24 depósitos 199 .786848045] = 4 000 [10.unidad i= 6 0. en una cuenta de ahorros que paga 11.786848045] 0.114 = 0. 3. para que al final de 4 años se tengan reunidos $125 000? Solución Se identifican los datos: M=$125 000 i= 0.39.19573696 = 4 000 [1 + 9. 019 125 000=R[31.019 0. la renta se puede despejar de la fórmula para el cálculo del monto. Ricardo Sosa quiere comprar una computadora cuyo precio de contado es de $18 700.62445242] Se despeja el valor de la renta (R): R= 125 000 = 4 081.019 (1.matemáticas Financieras El valor que se va a buscar es la renta. y como uno de los datos con los que se cuenta es el monto de la anualidad.019 1. ¿de cuánto será cada pago mensual si le cargan una tasa de interés de 24% anual convertible mensualmente? Solución Se identifican los datos: 200 .600864596 − 1 125 000=R 0.71 por bimestre. 4.62445242 Cada depósito debe ser de $4 081.019)24 +1 − 1 − 1 125 000=R 0. Si la tienda le da la oportunidad de pagarla con 18 mensualidades anticipadas.62445242–1] 125 000=R[30. (1 + i)n + 1 − 1 M = R − 1 i Se sustituyen los valores y se simplifica: (1 + 0.71 30.019)25 − 1 125 000=R − 1 0.600864596 − 1 125 000=R − 1 0. 714162562 18 700= R 1 + 0. R).29187 Cada pago mensual debe ser de $1 222. valor actual (C).02)−17 18 700= R 1 + 0.87 15. 201 .02 1 − (1 . 1 − (1 + i)− n + 1 C = R 1 + i Se sustituyen los valores y se simplifica: 1 − (1 + 0.24 = 0.2918719] Se despeja el valor de R: R= 18 700 = 1 222.02 0.2918719] 18 700=R [15.02 12 n=18 pagos mensuales Lo que se tiene que buscar es el valor de las mensualidades (rentas. la renta se puede despejar de la fórmula para el cálculo del valor presente de una anualidad anticipada.02 18 700=R [1+14. es decir.unidad 6 C=$18 700 i= 0. y debido a que uno de los datos con los que se cuenta es el precio de contado.285837438 18 700= R 1 + 0.02)−18 + 1 18 700= R 1 + 0.87.02 1 − 0. 015) .015) Se realizan las operaciones: n =1− log [1 − (8.015 12 Se sustituyen los datos: C log 1 − − 1 i R n= 1 − log(1 + i) 16 920 log 1 − − 1 0.015) n =1− 202 log[0.057142857 − 1) 0. ¿Cuántos pagos han de efectuarse para liquidar la telepantalla? Solución Se identifican los datos: R=$2 100 C=$16 920 i= 0.015 2 100 n =1− log(1 + 0.015] log(1.015) n =1− log[1 − 0. mediante pagos mensuales de $2 100 con un cargo de 18% de interés convertible mensualmente.18 = 0.015] log(1.105857142] log(1.057142857 ) 0. Una tienda departamental ofrece telepantallas a un precio de contado de $16 920.015) n =1− log [1 − (7.matemáticas Financieras 5.894142857 ] log(1. si se considera un interés de 9% anual convertible mensualmente? 4.6% de interés anual capitalizable mensualmente? 2.006466042249 n=1–(–7. ¿Cuántos pagos se requieren para liquidar el automóvil? 5.048593088 0. para reunir $29 300. durante un año 8 meses. si se considera una tasa de interés de 12% anual convertible semestralmente? 3. empezando el día de hoy. mediante pagos anticipados de $3 600 y un cargo de 18% de interés anual convertible mensualmente. en este curso no se realizará el ajuste del último pago.38% anual convertible trimestralmente si se requiere reunir $50 050? 203 . concluimos que se requieren aproximadamente 9 pagos mensuales. Así. ¿De cuánto necesitan ser mis depósitos mensuales en una caja de ahorros. ¿Cuánto tendrás acumulado al cabo de 2 años 3 meses si depositas a partir de hoy $1 500 mensuales en una cuenta de ahorros que paga 8. Una agencia promueve la venta de autos mediante el sistema de pagos mensuales.51) n=1+7.unidad n =1− 6 −0. Problemas propuestos 1. ¿Cuánto se necesita pagar semestralmente por anticipado para saldar una hipoteca de $150 000 pactada a 14 años.51=8. para lo cual ofrece autos con precio de $79 500. normalmente se ajusta el valor del último pago y se redondea el número de pagos al entero inmediato.51 nota: cuando el resultado es decimal. simplemente se redondeará al entero inmediato. ¿Durante cuánto tiempo se necesitan depositar $2 000 trimestrales anticipados en una cuenta bancaria que paga 8. 27 pagos aproximadamente.16 2. 204 .28 ejercicio 3 1.94 4.76 3.60 2. 20 trimestres aproximadamente. 16 depósitos aproximadamente. 30 pagos aproximadamente. $48 263. $149 998.85 5. $10 555. $6 129. $1 804. 13 depósitos aproximadamente. Respuestas a los problemas propuestos 1.20 4.67 3.57 6. 15 pagos aproximadamente. 5. $70 758. $72 276. $240 858.77 4. 2. $1 353.55 3.64 ejercicio 2 1. $5 046. $8 457. $44 827. 3. 4.matemáticas Financieras Respuestas a los ejercicios ejercicio 1 1.21 2. $15 616. 64 b) $48 086.82 b) $21 753.64 205 .13 b) $20 938.82 c) $22 753. d) 28 depósitos.82 d) $23 753. b) 26 depósitos. La cantidad que habrá reunido en 3 años es: a) $20 753.13 d) $22 938.13 c) $21 938. Anualidades anticipadas Nombre: Grupo: Número de cuenta: Profesor: Campus: Autoevaluación 1.1% convertible semestralmente: a) 25 depósitos.13 3. El número de depósitos semestrales anticipados de $3 000 que se requieren hacer para reunir $150 000 si la tasa de interés es de 9.82 2. El señor Martínez desea reunir $2 570 000 para dentro de 10 años. el valor de los depósitos es: a) $46 086. c) 27 depósitos. Matemáticas inancieras Unidad 6. El pago anual anticipado durante 5 años que debe hacer una persona para liquidar un préstamo de $90 000 con interés de 11% anual capitalizable anualmente es: a) $19 938. 4. El señor Ramírez deposita $500 mensuales anticipados en una cuenta de ahorros que paga 12% de interés anual capitalizable mensualmente. Si realiza depósitos semestrales anticipados y la tasa de interés es de 18% anual con capitalización semestral. c) $56 086.60 b) $9 885. El valor de cada uno de los pagos mensuales es de: a) $8 885.60 c) $7 885.64 d) $45 086.64 5.60 206 . el cual acordó pagar con 48 mensualidades anticipadas con una tasa de interés de 24% anual capitalizable mensualmente.60 d) $8 485. Armando compró un automóvil con valor de $278 000.
Report "ejercicios de anualidades anticipadas resueltos "