Ing. Bryan Adarfio. Ing. Ángel Verdú. Suponga que toda la industria de refresco produce dos colas: Coca Cola y Pepsi Cola. Cuando una persona ha comprado Coca Cola hay una probabilidad de 90% de que siga comprándola la vez siguiente. Si una persona compró Pepsi, hay 80% de que repita la vez siguiente. Se pide: a) Si una persona actualmente es comprador de Pepsi. ¿Cuál es la probabilidad de que compre Coca Cola pasadas dos compras a partir de hoy? b) Si en la actualidad una persona es comprador de Coca Cola. ¿Cuál es la probabilidad de que compre Coca Cola pasadas tres compras a partir de ahora? c) Supongamos que el 60% de toda la gente toma hoy Coca Cola y el 40% Pepsi. A tres compras a partir de ahora, ¿Qué fracción de los compradores estará tomando Coca Cola. Ing. Bryan Adarfio. Ing. Ángel Verdú. Solución: Este ejercicio lo resolvemos aplicando cadenas de Markov, para ello definimos los siguientes estados: {coca cola, pepsicola} = {c,p}. La matriz de transición la obtenemos con los valores dados. Coca cola Coca cola Pepsicola 0,9 0,2 Pepsicola 0,1 0,8 Ing. Bryan Adarfio. Ing. Ángel Verdú. De esta manera obtenemos: 0.9 0.1 P = 0.2 0.8 Para el inciso a) se nos pide la probabilidad de que pasadas dos compras a partir de hoy el comprador pepsi se pase a coca cola, es decir que debemos buscar el valor de la fila 2 columna 1 de la matriz de segundo estado (.P2),: 0.9 0.1 P2 = X 0.9 0.1 0.2 0.8 0.2 0.8 Ing. Bryan Adarfio. Ing. Ángel Verdú. Donde la fila 2, columna 1 de la matriz resultante P2 nos representa la probabilidad de que pasadas dos compras, el comprador de pepsi se cambie a coca cola. 0.83 P2 = 0.17 0.66 0,34 Con esto podemos concluir que la probabilidad de que el comprador de pepsi se cambie a coca cola es de un 34% luego de pasadas dos compras. Para el inciso b) se nos pide la probabilidad de que pasadas 3 compras el comprador de coca cola vuelva a comprar coca cola. Para ello calculamos la matriz de transición de orden 3, es decir, P3 Ing. Bryan Adarfio. Ing. Ángel Verdú. De esta manera obtenemos: 0.9 0.1 P3 = X 0.9 0.1 X 0.9 0.1 0.2 0.8 0.2 0.8 0.2 0.8 Usando la ayuda de Excel para multiplicar estas matrices, obtenemos el siguiente resultado: 0.781 P3 = 0.219 0,438 0.562 Con lo cual concluimos que existe un 78,1 % de probabilidades de que el compadrar vuelva a comprar coca cola. Ing. Bryan Adarfio. Ing. Ángel Verdú. Para el inciso c) El vector de probabilidad inicial es (0,6; 0,4), por tanto la probabilidad de consumir ambos estados a partir de tres etapas es: (0,6 0,4)*P3 0.781 (0,6 0,4) X 0.219 0.562 0,438 Con lo cual obtenemos el siguiente resultado: (0,6438 0,3562) Ing. Bryan Adarfio. Ing. Ángel Verdú. Lo que nos dice que al cabo de tres compras el 64,38% comprará coca cola y 35,62% comprará pepsicola. Ing. Bryan Adarfio. Ing. Ángel Verdú. En una comunidad hay 3 supermercados (S1, S2, S3) existe la movilidad de un cliente de uno a otro. El 1 de septiembre, ¼ de los clientes va al S1, 1/3 al S2 y 5/12 al S3 de un total de 10.000 personas. Cada mes el S1 retiene el 90% de sus clientes y pierde el 10% que se va al S2. Se averiguó que el S2 solo retiene el 5% y pierde el 85% que va a S1 y el resto se va a S3, el S3 retiene solo el 40%, pierde el 50% que va al S1 y el 10% va al S2. a) Establecer la matriz de transición b) ¿Cuál es la proporción de clientes para los supermercados el 1 de noviembre? Ing. Bryan Adarfio. Ing. Ángel Verdú. Solución: Para el inciso a) establecemos la matriz de transición P, para ello generamos una tabla con los datos dados en el enunciado, definimos los estados {S1, S2, S3} . S1 S1 S2 S3 0,9 0,85 0,5 S2 0,1 0,05 0,1 S3 0 0,1 0,4 Ing. Bryan Adarfio. Ing. Ángel Verdú. De esta forma la matriz de transición nos queda: 0.9 P= 0.1 0.05 0,1 0 0,1 0,4 0,85 0,5 Para el inciso b) tenemos que del 1° de septiembre al 1° de noviembre han transcurrido dos meses de manera que para buscar la proporción de clientes en los supermercados al 1° de noviembre seria el equivalente a resolver la siguiente ecuación: (S1 S2 S3)*P2 Ing. Bryan Adarfio. Ing. Ángel Verdú. Donde (S1 S2 S3) = (0,25 0,333 0,417) Calculemos P2 0.9 P2 = 0.1 0 0.9 X 0,85 0.1 0 0,85 0,5 0.05 0,1 0,1 0,4 0.05 0,1 0,1 0,4 0,5 Con la ayuda de Excel calculamos el resultado de esta multiplicación. Ing. Bryan Adarfio. Ing. Ángel Verdú. Así, la matriz P2 nos quedad: 0,895 P2 = 0,8575 0,095 0,01 0.0975 0,045 0,095 0,17 0,735 Con este valor de P2 podemos resolver la ecuación que modela la proporción de clientes en los supermercados al 1° de noviembre. Ing. Bryan Adarfio. Ing. Ángel Verdú. De manera que tendríamos 0,895 (S1 S2 S3)*P2 = (0,25 0,333 0,417) X 0,095 0,01 0,8575 0.0975 0,045 0,735 0,095 0,17 Con la ayuda de Excel resolvemos la ecuación y obtenemos el siguiente resultado: (S1 S2 S3)*P2 = (0,8158 0,0958 0,0884) Ing. Bryan Adarfio. Ing. Ángel Verdú. De esta forma podemos concluir que el 81,58 % de los clientes va al S1, 9,58 % de los clientes va al S2, y 8,84 % va al S3. Ing. Bryan Adarfio. Ing. Ángel Verdú.