ProblemasProblemas de de Transporte Transporte yyAsignación Asignación Introducción 1.. Los problemas de transporte son problemas especiales de programación lineal que reciben ese nombre debido a que muchas de sus aplicaciones involucran determinar la manera óptima de transportar bienes. Los problemas de asignación incluyen aplicaciones tales como asignar personas a tareas. Aunque sus aplicaciones parecen diferir de las del problema del transporte, constituye un caso particular. Introducción 2.. Los problemas de transporte y asignación son casos particulares de un grupo más grande de problemas, llamados problemas de flujo en redes. Problemas Problemas de de Transporte Transporte Problema de la Foster Generators Se transporta un producto desde 3 plantas hasta 4 centros de distribución: Capacidad de Origen Planta Producción en 3 meses (unidades) 1 Cleveland 5000 2 Bedford 6000 3 York 2500 Total 13 500 Pronóstico de la Centro de Destino demanda a 3 Distribución meses (unidades) 1 Boston 6000 2 Chicago 4000 3 St. Louis 2000 4 Lexigton 1500 Total 13 500 . Problema de la Foster Generators Costos Origen Cleveland Bedford York Demanda Costo por unidad distribuida Destino Boston Chicago St Louis Lexigton 3 2 7 6 7 5 2 3 2 5 4 5 6000 4000 2000 1500 13500 Producción 5000 6000 2500 13500 . SOL Optimal cost = $39500 Cleveland Bedford York Boston 3500 2500 From Cleveland Cleveland Bedford Bedford Bedford York To Boston Chicago Chicago St Louis Lexigton Boston Chicago 1500 2500 St Louis 2000 Lexigton 1500 Cost per Shipment Shipment unit cost 3500 3 10500 1500 2 3000 2500 5 12500 2000 2 4000 1500 3 4500 2500 2 5000 . Centros de Rutas de Plantas Red Nodos de Destino Distribución Nodos de Origen 3 [5000]O 1 6 7 [6000] O 2 [2500] O 3 Arcos D1 [6000] 2 7 D2 [4000] 5 2 3 2 5 4 5 D3 [2000] D4 [1500] .Problema de la Foster Generators Representación enDist. jj 11..22.3.Planteamiento matemático Sea Z el costo total de transporte y sea xij (i=1.33.44)) xx3131 xx3232 xx2424 6000 6000 4000 4000 xx3333 2000 2000 xx3434 1500 1500 ...33.4) el número de unidades transportadas de la enlatadora i al almacén j..3.2. Max Max ZZ 33xx1111 22xx1212 77xx1313 66xx1414 77xx2121 55xx2222 22xx2323 33xx2424 22xx3131 55xx3232 44xx3333 55xx3434 Sujeta Sujetaaalas lasrestriccio restricciones nes xx1111 xx1212 xx1313 xx1414 5000 5000 xx2121 xx2222 xx2323 xx2424 6000 6000 xx3131 xx3232 xx3333 xx3434 2500 2500 xx2121 xx1111 xx1212 xx1313 xx2222 xx2323 xx1414 xxijij 00 ((ii 11.22.j=1...2. Solución óptima para el problema del transporte de la Foster Origen Origen Cleveland Cleveland Bedford Bedford York York Demanda Demanda Boston Boston 3500 3500 00 2500 2500 6000 6000 Unidades Unidadesque que se se envían envían Destino Destino Chicago St Chicago St Louis Louis Lexigton Lexigton Producción Producción 1500 00 00 5000 1500 5000 2500 2000 1500 6000 2500 2000 1500 6000 00 00 00 2500 2500 4000 2000 1500 39500 4000 2000 1500 39500 COSTO . distribución Unidades de un bien. m orígenes. llamados orígenes a cualquier grupo de centros de distribución llamados destinos de manera que se minimicen los costos totales de distribución. n destinos.Problema General Se refiere (en sentido literal o figurado) a la distribución de cualquier bien desde cualquier grupo de centros de suministro. costo cij por unidad distribuida desde el origen i al destino j. si recursos en el origen i. . demanda dj en el destino j. El modelo general Origen 1 2 m Demanda 1 c11 c21 … cm1 d1 Costo por unidad distribuida Destino 2 … c12 … c22 … … … cm2 … d2 … n c1n c2n … cmn dn Recursos s1 s2 … sm . Representación de red para el problema general c11 [s1] S1 c12 D1 [-d1] c21 c1n c22 [s2 S2 D2 [c2n ] d2] cm1 [sm] S m cmn cm2 Dm [-dm] . ..22.. ...Planteamiento matemático modelo general m m nn min min Z Z ccijijxxijij ii11 jj11 sujeta sujeta aa nn xx jj11 ijij m m xx jj11 ijij ssjj para para ii 11..m m.22... ........... xxijij 00....nn. para para ii yy jj... dd jj para para jj 11. Maximización en lugar de minimización 3.Variantes del Problema 1. La oferta total no es igual a la demanda total 2. Rutas inaceptables . Capacidades en las rutas o mínimos en las rutas 4. Opción de problema de Programación Lineal .¿Cómo resolver en Excel? Plantear tabla de datos especificando orígenes y destinos (de forma general). Plantear tabla de soluciones usando funciones apropiadas para estos problemas. opción de No negatividad. . Problemas Problemas de de Asignación Asignación . empleados a trabajo máquinas a tareas períodos a tareas .Introducción El problema de asignación es un tipo especial de problema de programación lineal en el que los asignados son recursos destinados a la realización de tareas Ej. Existe un costo cij asociado con el asignado i (i=1. . 4. El objetivo es determinar cómo deben hacerse las asignaciones para minimizar los costos totales.2. 5. (esto puede variar) Cada asignado se asigna exactamente a una tarea. 3.Supocisiones de un problema de asignación 1. de tareas (se denota por n).n). El número de asignados es igual al número 2.…. Cada tarea debe realizarla exactamente un asignado. Caso Fowle Marketing Research Tiempos estimados de terminación del proyecto (días) Jefe de Cliente Proyecto 1 2 3 1. Roberto 6 14 3 . Carla 9 18 5 3. Terry 10 15 9 2. Optimal cost = $26 Terry Karla Roberto Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 10 Assign 15 9 9 18 Assign 5 Assign 6 14 3 . Problema de la Fowle Representación en Red Jefes de Proyecto Nodos de Origen [1] J1 10 Asignaciones Posibles Arcos 15 9 Clientes Nodos de Destino C1 [1] 9 18 [1] J2 C2 [1] 5 [1] J3 6 14 3 C3 [1] . Variables de decisión 1 si se asigna el jefe de proyecto i al cliente j xij 0 si no es así . ..22.33..22.33..Planteamiento matemático Sea Z teimpo total de terminación Max Max ZZ 10 10xx1111 15 15xx1212 99xx1313 99xx2121 18 18xx2222 55xx2323 66xx3131 14 14xx3232 33xx3333 Sujeta Sujetaaalas lasrestriccio restricciones nes xx1111 xx1212 xx1313 11 xx2121 xx2222 xx2323 11 xx2121 xx1111 xx1212 xx1313 xxijij 00 ((ii 11...44)) xx2222 xx2323 xx3131 xx3232 xx3333 11 xx3131 11 xx3232 11 xx3333 11 . jj 11. Terry 0 1 2. Roberto 1 0 1 1 = = 1 1 3 0 1 0 1 = 1 1 1 1 = = = Costo 26 1 1 1 .Solución Excel Asignaciones Jefe de Cliente Proyecto 1 2 1. Carla 0 0 3. Representación de red para el problema general [1] S1 [1] S2 c11 c12 c1n c21 c2n c22 cm1 cm2 cmn [1] S m D1 [1] D2 [1] Dm [1] . .. . 11 para para jj 11.....22...22.. .........nn.)..Planteamiento matemático modelo general m m nn min min ZZ ccijijxxijij ii11 jj11 sujeta sujeta aa nn xx jj11 ijij m m xx jj11 ijij 11 para para ii 11. xxijij 00. binarias.. para para ii yy jj ((xxijij binarias.m m. para para toda toda ii yyjj).... Ejemplos Ejemplos de de Problemas Problemas de de Transporte Transporte yy Asignación Asignación . En este momento. 400. pero las plantas 4 y 5 no pueden fabricar este producto. La gerencia desea asignar los nuevos productos a las plantas con el mínimo costo total de fabricación. 4 y 5 tienen capacidades para producir 400. 2. 4 y 5. $29. 2. El costo unitario respectivo de fabricación del primer producto será de $31. 3. 2. . 4 y 5. Suponga que cualquier planta que tiene capacidad y posibilidad de fabricarlos podrá producir cualquiere combinación de productos en cualquier cantidad. Las plantas 1. y para el tercer producto será de $38. $42 y $43 en las plantas respectivas 1. sin importar el producto o combinación de productos. $41. 3. cinco de sus plantas tienen exceso de capacidad de producción. 600. 3. $35 y $40 en las plantas respectivas 1. 2 y 3. 1000 y 800 unidades de los productos 1. en las plantas 1. 600 y 1000 unidades diarias. $46. $32.Problema Versatech (Transporte) La corporación Versatech producirá tres productos nuevos. $28 y $29. Los pronósticos de ventas indican que la producción diaria debe ser 600. 2 y 3. respectivamente. El costo unitario respectivo de fabricación del segundo producto será de $45. Problema Versatech (Transporte) Datos Tabla Tabla de de Costos Costos Destino Destino Planta Planta 11 Planta Planta 22 Planta Planta 33 Planta Planta 44 Planta Planta 55 Pr Pr Diaria Diaria Origen Origen Tipo Tipo de de Producto Producto 11 22 33 $31 $45 $38 $31 $45 $38 $29 $41 $35 $29 $41 $35 $32 $46 $40 $32 $46 $40 $28 $42 -$28 $42 $29 $43 -$29 $43 600 1000 800 600 1000 800 2400 2400 Capacidad Capacidad 400 400 600 600 400 400 600 600 1000 1000 3000 3000 . La planta 1 produce del producto tres 200 unidades a un costo de 38 c/u total S/7600 .From To Shipment Cost per unit Shipment cost PLanta 1 Prod 3 200 38 7600 PLanta 1 Dummy 200 0 0 PLanta 2 Prod 2 0 41 0 PLanta 2 Prod 3 600 35 21000 PLanta 3 Dummy 400 0 0 PLanta 4 Prod 1 600 28 16800 PLanta 5 Prod 1 0 29 0 PLanta 5 Prod 2 1000 43 43000 Interp. 00 = = = 600 1000 800 <= 400 <= 600 <= 400 <= 600 <= 1000 Costo Mínimo .400.Problema Versatech (Transporte) Solución Excel Tabla Cantidades (asignaciones a cada planta) Origen Destino Capacidad Tipo de Producto 1 2 3 Planta 1 0 0 200 200 Planta 2 0 0 600 600 Planta 3 0 0 0 0 Planta 4 600 0 0 600 Planta 5 0 1000 0 1000 Pr Diaria 600 1000 800 $88. Los costos de producción unitarios son los mismos para las dos plantas y los costos de transporte (en cientos de dólares) por unidad para todas las combinaciones de planta y centro de distribución son los siguientes Tabla de Costos de Transporte Destino Origen Centro de Distribución 1 2 3 Planta A $800 $700 $400 Planta B $600 $800 $500 Dist. Sem.Problema Move-It (Transporte) I La compañía Move-It tiene dos plantas que producen montacargas que se mandan a tres centros de distribución. ? ? ? Suma 60 Capacidad 50 50 100 . cuál debe ser el patrón de embarque de manera que se minimice el costo total de transporte . Cada planta puede producir y mandar cualquier cantidad hasta un máximo de 50 unidades a la semana. El objetivo de la gerencia es determinar cuánto se debe producir en cada planta y después.Problema Move-It (Transporte) II Se debe producir y mandar un total de 60 unidades por semana. de manera que hay una gran flexibilidad para dividir la producción total entra las dos plantas y reducir los costos de transporte. Suma Destino Centro de Distribución 1 2 3 0 0 50 0 0 10 0 0 60 60 = 60 Capacidad 50 10 $25.0 COSTO Min.000. ? ? ? Suma 60 Capacidad 50 50 100 Cantidades por planta Origen Planta A Planta B Dist.Problema Move IT Datos y Sol. Sem. Excel Tabla de Costos de Transporte Destino Origen Centro de Distribución 1 2 3 Planta A $800 $700 $400 Planta B $600 $800 $500 Dist. <= <= 50 50 . Sem. Problema Move-It (Transporte) Modificado Resolver el problema de Move-It si cualquier centro de distribución puede recibir cualquier cantidad entre 10 y 30 montacargas por semana para reducir más el costo total de envío. . siempre que el envío total a los tres centros sea igual a 60 montacargas por semana. 0 COSTO Min. Suma Destino Centro de Distribución 1 2 3 0 10 30 20 0 0 20 10 30 >=10 >=10 >=10 <=30 <=30 <=30 60 = 60 Capacidad 40 20 $31. Excel Tabla de Costos de Transporte Destino Origen Centro de Distribución 1 2 3 Planta A $800 $700 $400 Planta B $600 $800 $500 Dist. Sem. Sem. <= <= 50 50 .Problema Move IT (Transporte) Modificado Datos y Sol. 10-30 10-30 10-30 Suma 60 Capacidad 50 50 100 Cantidades por planta Origen Planta A Planta B Dist.000. 9 30.4 41.2 34. Los cinco mejores nadadores y sus mejores tiempos (en segundos) en cada estilo son los siguientes.Problema Natación (Asignación) El entrenador de un equipo de natación debe asignar competidores para la prueba de 200 metros de relevo combinado que irán a las Olimpiadas Juveniles. Como muchos de sus mejores nadadores son rápidos en más de un estilo.7 28.7 43.3 29.4 33.6 28.1 . Dorso Pecho Mariposa Libre Carlos 37.1 42.4 29.5 José 35. no es fácil decidir qué nadador asignar cada uno de los cuatro estilos.6 31.2 Tiempo de Nado Cristy David Antony 32.8 37 33.9 33.5 38.8 33.4 26. 6 50 28.8 .1 Assign 28.3 Assign 29.2 50 33.4 50 Libre x David Assign 33.6 29.4 33.8 Antony José 35.Optimal cost = $176.4 Mariposa 33.5 50 31.1 Assign 50 41.2 Carlos Cristy Dorso 37.7 38.5 26.9 Pecho 43.2 37 Assign 34.7 32.4 42.9 30. Problema Natación (asignación) Solución Dorso Pecho Mariposa Libre Carlos 0 0 0 1 1 <= 1 Tiempo de Nado Cristy David Antony 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 <= <= <= 1 1 1 José 0 0 0 0 0 <= 1 1 1 1 1 = 1 = 1 = 1 = 1 126.2 TIEMPO Min. .