I.E.S. “LOS CERROS” Dto.de Matemáticas Aplicaciones de las Derivadas Pág.1 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS (2º BCS) NOTA: Todos los ejercicios (excepto el 14, 18 y 19) han sido propuestos o reservas de las Pruebas de Aptitud para el Acceso a la Universidad de los Alumnos de LOGSE (Universidades Andaluzas). 1.- La cantidad de madera, en función del tiempo (en años), viene definida por la función 10t + 2 t 2 7 - 3 t 3 = f(t) Se pide: a) Sabiendo que en uno de los cinco primeros años la producción alcanza un máximo, hallar dicho año y el valor de la cantidad de madera producida. b) Sabiendo que antes de los 20 primeros años la producción alcanza un mínimo, hallar dicho año y el valor de la producción en ese año. c) Esbozar la gráfica de la función f. 2.- El costo de fabricación diaria en ptas. de un cierto artículo viene dado, en función del número x de unidades producidas, por la expresión 25 + 35x + 4 x 2 Si toda la producción diaria se vende a un precio unitario, en ptas., de 4 x - 50 . Halle el número de unidades diarias que deben fabricarse para alcanzar un beneficio máximo. 3.- El coeficiente de elasticidad de un cierto producto, en función de la temperatura en grados centígrados, viene definido por la función 10 + t 2 2 - t 4 9 1 = g(t) Se pide: a) Probar que el coeficiente de elasticidad es siempre (para cualquier valor de t) positivo. b) Probar que para 0 t > , la función g alcanza un máximo y un mínimo relativos. Hallar el valor de la temperatura para que la elasticidad sea mínima. Hallar el valor mínimo de la elasticidad. 4.- De la función f, dada por c + bx + 2 ax = f(x) , se sabe que la gráfica de su derivada f´es la recta que pasa por los puntos (2,-1) y (-2,1). También se sabe que el máximo de f es 1. Determine a, b y c. 5.- El coste, en miles de pesetas, de la fabricación de n unidades de un artículo viene dado por la función 50 + 3n + 2 2n = c(n) Se sabe que el número de unidades fabricadas diariamente desde el inicio de la jornada laboral hasta la hora t es 10t = n(t) a) Exprese analíticamente el coste de fabricación en función de t. b) Calcule el coste de fabricación al cabo de una jornada de trabajo de 7 horas. c) En el caso de que se fabricaran 50 unidades y de que se vendiese cada unidad a 200.000 ptas., calcule el beneficio obtenido. I.E.S. “LOS CERROS” Dto. de Matemáticas Aplicaciones de las Derivadas Pág.2 6.- Dada la función f definida por ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ s s s s x 3 si 3 3 < x 2 si x 2 < x 2 - si 1 - x -2 < x 6 - si 3 - -6 < x si x 3 = f(x) a) Represente la función. b) Determine los puntos en los que la función no es derivable. 7.- Dada la función 3 - x 1 = f(x) definida para { } 3 - R x e , a) Estudie su comportamiento para valores grandes de x y alrededor de x=3. b) Estudie su crecimiento y decrecimiento. c) Represente su gráfica. 8.- La función f, definida por la expresión c + bx + 2 ax + 3 x = f(x) verifica que su gráfica pasa por el punto (-1,0) y tiene tangente paralela al eje OX en el punto (0,4). a) Determine la función f (calcule a, b y c). b) Calcule la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 3. c) Calcule el punto de inflexión de f. 9.- En una empresa de producción y venta de ordenadores, la diferencia diaria entre ingresos y gastos, en miles de pesetas, viene dada por la expresión 20 + 55x + 2 8x - 3 x 3 = f(x) donde x representa el número de unidades vendidas en un día. a) Esboce la gráfica de la función. b) ¿Qué número de unidades vendidas por día proporciona el mayor beneficio, teniendo en cuenta que la empresa no produce más de 12 ordenadores por día? c) ¿Qué número de unidades vendidas por día proporciona el menor beneficio, teniendo en cuenta que la empresa produce más de 6 y no más de 12 ordenadores por día? 10.- Represente la gráfica de 7 + 2 3x - 3 x = y , estudiando con detalle crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos y convexidad. 11.- En un cierto cultivo, el índice de crecimiento de un bacilo viene dado, en función de la temperatura t expresada en grados centígrados, por la expresión 10 - bt + t 2 a - 3 t = f(x) 2 3 Se sabe que a la temperatura de 6°C el índice alcanza un máximo local y que a la temperatura de 12°C el índice alcanza un mínimo local. a) Halle a y b. b) Sabiendo que el bacilo sólo puede vivir entre 4°C y 16°C, halle la temperatura para la que el índice de crecimiento es máximo. I.E.S. “LOS CERROS” Dto. de Matemáticas Aplicaciones de las Derivadas Pág.3 6 5 4 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 y=x+1 c) Esboce la gráfica de la función f considerada definida sobre R. 12.-El coste total para el reciclaje diario de x toneladas de vidrio viene dado, en miles de pesetas, por la expresión 100 + 83x + 4 x 2 Si diariamente se vende toda la producción de vidrio reciclado al precio de | . | \ | 4 x - 123 miles de pesetas por tonelada, halle la cantidad de vidrio que debe reciclarse cada día para lograr un beneficio máximo. 13.- Dada la función: ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ > s 1 x si 3 - x 1 < x 2 - si x - 2 - < x si 2 5 + x 1 = f(x) 2 a) Representar gráficamente f. b) Estudiar su continuidad y derivabilidad. c) Estudiar el crecimiento y decrecimiento e investigar si hay asíntotas. 14.- Estudia la continuidad y derivabilidad de la función: ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ > s 1 x si x 1 < x 0 si x 0 < x si 0 = f(x) 2 15.- Dada la gráfica de la función f: a) Obtener los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. b) Obtener los puntos del dominio donde sea discontinua. c) Obtener los valores de: f(x) lim 0 x ÷ ; f(x) lim 7 x÷ ; f(x) lim + x · ÷ . d) Obtener los valores de f'(3) y f'(7). e) Obtener los puntos donde no sea derivable. I.E.S. “LOS CERROS” Dto. de Matemáticas Aplicaciones de las Derivadas Pág.4 16.- La gráfica de la función f es: a) Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. b) Determinar los intervalos de concavidad y de convexidad. c) Hallar los puntos ) 4 , 0 ( x e tales que f(x)= 0 y determinar, en ese intervalo, dónde se alcanzan los máximos locales. d) Determinar las asíntotas verticales y razonar si existen asíntotas horizontales. 17.- La gráfica de la derivada de f(x) es de la forma: a) Una de estas tres gráficas es un esbozo de f(x). ¿Cuál de ellas? Argumenta tu respuesta. b) Halla la expresión analítica de la función f'(x) y de la función f(x). 18.- Considérese la curva de ecuación 18 - kx - 2 6x + 3 kx = f(x) . a) ¿Cuánto debe valer k si las tangentes en los puntos A(1,f(1)) y B(-2,f(-2)) son paralelas? b) Determina las ecuaciones de ambas tangentes. 19.- Una colonia de bacterias tarda un mes en iniciar su reproducción. La función que da su número en función del tiempo t en meses, es ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > ÷ s s = 1 t si 1 t e 2000 1 t 0 si 2000 f(t) Se pide: a) Estudia si la población es función continua del tiempo. b) Calcula la tasa de variación media de la población en los intervalos [0,1] y [1,3]. c) Calcula la tasa de variación instantánea en t=3. 1/2 3/2 0 1 2 3 4 2 0 1 a) b) c) 2 2 2 ÷ 2 2 ÷ 2 0 1 -2 I.E.S. “LOS CERROS” Dto. de Matemáticas Aplicaciones de las Derivadas Pág.5 20.- Dada la función R R : f ÷ , definida por: ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ > s 2 x , x 2 5 - 10 2 < x < 2 - , 1 + x 2 2 - x , x 2 5 + 10 = f(x) a) Representar gráficamente la función. b) Estudiar la continuidad y derivabilidad en x=-2 y x=2. c) Calcular, donde exista, la función derivada y represéntala gráficamente. 21.- Dada la función: | | . | \ | 16t + 2 5t - 3 t 3 60 = V(t) a) Calcular sus máximos y mínimos relativos. b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Esbozar la gráfica de la función. 22.- Dada la función R R : f ÷ , definida por: ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ s s 1 > x , 1 1 x < 0 , 2 x 0 x , x 2 - 1 f(x) = a) Representar gráficamente la función. b) ¿En qué puntos la función no es continua? ¿En qué puntos no es derivable? c) ¿Tiene máximo o mínimo la función f? 23.- Dadas las funciones: 3x e 4x = p(x) ; 2 x - 1 + = h(x) ; t 3 3 - t 4 5 = g(t) ; x l n - 6 3x = f(x) · Calcular: a) f'(2) ; b) g'(1) ; c) h'(0) ; d) p'(0) 24.- Se ha estudiado la evolución de la ganancia "y", en pesetas, en cada instante, desde un tiempo inicial, hasta pasados cinco años, por la fabricación de un determinado producto y se ha modelizado funcionalmente dicha evolución así: Durante el primer año: y = 2 t 2 I.E.S. “LOS CERROS” Dto. de Matemáticas Aplicaciones de las Derivadas Pág.6 Durante el segundo y tercer año: y = 4t - 2 Durante el resto: y = e 3-t a) Construir la gráfica que muestra la evolución de la ganancia. b) Explicar la continuidad y derivabilidad de la función. 25.- a) Determinar, si es posible, una función polinómica f de segundo grado que satisfaga simultáneamente las condiciones siguientes: i) que la gráfica de f corte al eje de abscisas en los puntos x=1 y x=8. ii) que la tangente a la gráfica en el punto ( 3, f(3) ) tenga de pendiente 3. b) Si esa función existe, represéntala gráficamente. 26.- La siguiente función | . | \ | 1600 - 100x + 2 x - 90 1 = f(x) representa el beneficio, expresado en millones de pesetas, que obtiene una empresa por la fabricación de x unidades de un determinado producto. a) Representa gráficamente dicha función. b) ¿Cuántas unidades hay que fabricar para que no se produzcan pérdidas? c) ¿Cuál es el mayor beneficio posible? ¿Cuántas unidades deben fabricarse para obtenerlo? 27.- Calcule la derivada de las siguientes funciones: a) cos(x) 3 x 2 = f(x) ; b) (5x) Ln 3 2 = g(x) ; c) 3 - 5x e 2 1 = h(x) 28.- Dada la función ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ > 0 x si 2 x - 2 0 < x si 2 - x 4 = f(x) a) Estudie la continuidad de esa función y analice su comportamiento en los posibles puntos de discontinuidad. b) Calcule la función derivada de f(x). c) Represente gráficamente la función. 29.- Dada la función ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ > 1 x si 2 x - 4x 1 < x si x - 2 3 = f(x) a) Estudie la continuidad de la función. b) Represéntela gráficamente, determinando previamente: cortes con los ejes, crecimiento, extremos y I.E.S. “LOS CERROS” Dto. de Matemáticas Aplicaciones de las Derivadas Pág.7 asíntotas. 30.- Dada la función ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ s s x < 2 , a + x 2 x < 0 , 1 + 2 x 0 x , x - 3 = f(x) donde "a" es un parámetro real. a) Calcule el valor de "a" para que f sea continua en x = 2. b) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f cuando a = 3. c) Dibuje la gráfica de la función que se obtiene cuando a = 2. 31.- Dada la función ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ > ÷ s < + s ÷ = 2 x , 3 x 1 2 x 0 , 3 ax 0 x , 2 x f(x) (a: constante real) a) Razone si para algún valor de “a” la función es continua en x = 0. b) Obtenga, si las hay, las asíntotas, horizontales y verticales, de la función. c) Dibuje la gráfica de la función para a = 0. 32.- Sea R {2} - R : f ÷ , definida por 2 + x 1 + 3 = f(x) , con 2 - x = . a) Calcule los puntos de la gráfica de dicha función donde la tangente tiene pendiente -1. b) Explique, razonadamente, si puede existir algún punto de tangente horizontal en esta función. c) Represente gráficamente la función, indicando asíntotas, crecimiento y decrecimiento. A la vista de la gráfica, indique los intervalos de concavidad y convexidad. 33.- Una empresa de automóviles ha estimado que su beneficio B, en millones de pesetas, depende del tiempo t, en minutos, que dedica diariamente a publicidad, según la función B(t)= - 1.5 t 2 + 168 t - 954 a) Calcule los minutos diarios que debe dedicar a publicidad para obtener un beneficio máximo. ¿Cuál es ese beneficio? b) Calcule en qué intervalo debe estar comprendido el tiempo diario dedicado a publicidad para que la empresa obtenga beneficio positivo? c) Dibuje la gráfica de la función B(t). 34.- Dada la función I.E.S. “LOS CERROS” Dto. de Matemáticas Aplicaciones de las Derivadas Pág.8 ¦ ¹ ¦ ´ ¦ s s s 3 x < 0 , 3 + 2x + 2 x - 0 x 3 - , x 3e = f(x) a) Represéntala gráficamente. b) ¿Es continua en x = 0? c) Calcule su máximo y su mínimo, absolutos, en su dominio de definición. 35.- Una persona está aprendiendo a nadar. Después de t horas de prácticas, es capaz de nadar, en un minuto, una distancia f(t) metros, dada por la función | . | \ | 0,04t - e - 1 3 50 = f(t) a) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función. b) Calcule, si existen, las asíntotas horizontales y verticales de la función f. c) Con los resultados de las cuestiones anteriores, ¿qué conclusiones obtiene sobre la influencia del número de horas de práctica en la distancia que recorre el nadador por minuto? 36.- Dada la función ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ s s x 4 , 1 + ) 3 4 - (x 4 < x < 0 , 4x + x 2 - 0 x , 0 = f(x) a) Represente gráficamente f. b) Estudie su continuidad y su derivabilidad. c) Obtenga los valores de f'(1) y f'(5). 37.- (Junio 99) De dos funciones, f y g, se sabe que la representación gráfica de sus funciones derivadas es una recta que pasa por los puntos (0,2) (para la derivada de f) y una parábola que corta al eje OX en (0,0) y (4,0) y tiene por vértice (2,1) (para la derivada de g). Utilizando las gráficas de tales derivadas: a) Estudie el crecimiento y decrecimiento de f y g. b) Determine, si existen, máximos y mínimos de f y g. 38.- (Junio 99) Sea ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ > + ÷ s s ÷ + ÷ < + + = 2 x , 8x 2 x 2 x 1 , 2 2x 1 x , 1 2x 2 x f(x) a) Estudie su continuidad y derivabilidad. b) Represente gráficamente la función y, a la vista de su gráfica, determine sus máximos y mínimos relativos, así como el crecimiento y decrecimiento. 39.- (Septiembre 99) Calcule las funciones derivadas de las siguientes funciones, simplificando su expresión cuando sea posible: I.E.S. “LOS CERROS” Dto. de Matemáticas Aplicaciones de las Derivadas Pág.9 a) 0 x para 3 x 3x 1 f(x) = ÷ = ; b) 0 x para (4x) l n 3 1 g(x) > = ; c) R x para sen(x) cos(x) h(x) e · = 40.- (Septiembre 99) Los dueños de un manantial de agua mineral calculan que, si venden cada botella de agua a un precio de x pta, tendrán una ganancia diaria (en miles de pesetas): 1500 25x 10 2 x g(x) ÷ + ÷ = a) Represente gráficamente la función g(x). b) ¿Cuál es el precio con el que se alcanza el máximo de ganancia? c) ¿Cuál es la ganancia máxima diaria que puede obtenerse? 41.- (Reserva 98-99) Sea la función c bx 2 ax 3 x f(x) + + + = , a) Determine el valor que deben tomar los parámetros a, b, c para que f(x) tenga un máximo en x = 1, un punto de inflexión en x = 2 y corte al eje OY en el punto de ordenada - 1. b) Represente gráficamente la función g(x) = x 3 – 3x, determinando los puntos de corte con los ejes y los máximos y los mínimos. 42.- (Reserva 98-99) Sea la función R R : f ÷ definida por: ( ) ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ > + ÷ s < s + = 3 x , 2 2 4 x 3 x 1 , 4 1 x , 3 2 x f(x) a) Represéntela gráficamente. b) Estudie la continuidad de f. c) Estudie la derivabilidad de f. 43.- (Reserva 98-99) Sea la función 5 2x 25 320x f(x) + + = a) Estudie la continuidad de f y calcule su función derivada f’. b) Razone si existen o no extremos relativos de la función f. c) Calcule las asíntotas de dicha función. 44.- (Reserva 98-99) a) La gráfica de la función c bx 2 ax 3 x f(x) + + + = pasa por el punto (-1,0) y tiene un máximo relativo en el punto (0,4). Halle los coeficientes a, b y c. b) Obtenga los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión de la función 20 2 x 6 3 x g(x) + ÷ = . 45.- (Reserva 98-99) Los ingresos I(x) y los costes anuales C(x), en millones de pesetas, de una fábrica de bolígrafos, dependen del precio de venta x de cada bolígrafo (en pesetas) según las funciones: I(x) = 4x – 9 y C(x) = 0.01 x 2 + 3x El beneficio anual es B(x) = I(x) – C(x). a) ¿Cuál debe ser el precio de venta para obtener el máximo beneficio? b) ¿Cuál es ese beneficio máximo? I.E.S. “LOS CERROS” Dto. de Matemáticas Aplicaciones de las Derivadas Pág.10 c) Represente gráficamente la función beneficio. d) Razone (sobre la gráfica o con la función B(x)) para qué precios de venta tendría pérdidas esta empresa. 46.- (Reserva 98-99) Siendo R R : f ÷ la función dada por la expresión: ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ s ÷ < s + < + = x 2 , 4 2 x 2 x 0 , 3 2 bx 0 x , 5a 3x f(x) a) Estudie la continuidad de f según los valores de las constantes a y b. b) Represente la gráfica de esta función para a = 1, b = – 1 e indique los intervalos de crecimiento de dicha gráfica. c) Justifique si la función del apartado b) presenta, en el intervalo (2,+ ·) algún punto de tangente horizontal. 47.- (Reserva 98-99) Una compañía que fabrica bolígrafos lanza al mercado un nuevo producto. Se supone que la relación entre el precio por unidad (x) del nuevo bolígrafo y el beneficio en millones de pesetas b(x) viene dado por la función b(x) = – x 2 + 130x – 3000. a) ¿Qué beneficio obtiene cuando vende cada bolígrafo a 50 pesetas? b) ¿Entre qué valores debe fijar el precio de venta de cada bolígrafo para obtener un beneficio positivo? c) Calcule a qué precio debe vender cada bolígrafo para que el beneficio sea máximo. 48.- (Reserva 98-99) Sea la función ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ > + s s ÷ + ÷ < = 1 x , x l n 1 1 x 1 , 3 x 4 1 x , x e f(x) a) Estudie su continuidad. b) Estudie su derivabilidad, obteniendo la función derivada. c) Calcule, si es posible, f’(0) y f’(2). 49.- (Junio 2000) a) Calcule la derivada de cada una de las funciones: x 1 g(x) ÷ = ; x sen x h(x) = . b) Estudie el crecimiento y decrecimiento de una función cuya derivada viene dada gráficamente por la recta que pasa por los puntos (-1,0) y (0,1). 50.- (Junio 2000) Dada la función ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ > s < ÷ + ÷ ÷ s + = 1 x , x L 1 x 1 , 2 2 x 1 x , a 2x f(x) ( L indica logaritmo neperiano) a) Calcule el valor de “a” para que f sea continua en x = – 1. b) Represente gráficamente la función anterior si a = 3. c) Justifique la existencia o no de derivada en los puntos x = – 1 y x = 1 para la función del apartado anterior. 51.- (Septiembre 2000) El beneficio de una empresa viene dado por la función 2 x 2 1 20x 2 225 f(x) ÷ + = , donde x I.E.S. “LOS CERROS” Dto. de Matemáticas Aplicaciones de las Derivadas Pág.11 representa el gasto en publicidad. a) Calcule el gasto x a partir del cual la empresa no obtiene beneficios. b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de esa función. c) Represente gráficamente la función f. d) Calcule el valor de x que produce máximo beneficio. ¿Cuánto es ese benéfico máximo? 52.- (Septiembre 2000) Sea la función ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > + ÷ < + = 2 x , 17 8x 2 x 2 x , 1 2x f(x) a) Represéntela gráficamente y estudie su continuidad y derivabilidad. b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos. c) Los extremos hallados anteriormente, ¿son puntos donde f’(x) = 0? Razone la respuesta. 53.- (Reserva 99-00) La derivada de una función f definida de R en R es: f’(x) = x 2 + x – 6. a) Determine, si es posible, para qué valores de x alcanza f su máximo y su mínimo relativos. b) Calcule un punto de inflexión de esta función y determine si es único o pueden existir otros. c) Sabiendo que f(0) = 3, deduzca razonadamente si es f(1) < 3 o es f(1) > 3. 54.- (Reserva 99-00) Dada la función: ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ < ÷ s s ÷ = x 2 , x 1 2 x 0 , 4 x f(x) a) Dibuje la gráfica de esta función. b) Estudie su continuidad, asíntotas, monotonía y extremos. 55.- (Reserva 99-00) a) Dada la función f(x) = x 3 + ax 2 + b, calcule a y b para que f(x) tenga un punto de inflexión en (– 1,2). b) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = x 3 – 1 en cada uno de los puntos en los que la pendiente sea igual a 3. 56.- (Reserva 99-00) Sea ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ > ÷ < < ÷ + ÷ ÷ s = 2 x , 3 x 2 x 1 , 3 2 x 1 x , x 2 f(x) a) Represente gráficamente la función y, a la vista de su gráfica, determine sus máximos y mínimos relativos, así como su crecimiento y decrecimiento. b) Estudie su continuidad y derivabilidad. 57.- (Junio 2001) Calcule las funciones derivadas de las siguientes: a) 2 x Lx f(x) = (Lx indica logaritmo neperiano de x). b) x cos 2 x 1 g(x) | . | \ | ÷ = I.E.S. “LOS CERROS” Dto. de Matemáticas Aplicaciones de las Derivadas Pág.12 c) x 3 e 1 5x 4x h(x) + ÷ = 58.- (Junio 2001) Sea la función: ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ > ÷ + ÷ s < + ÷ s ÷ = 3 x si 30 16x 2x 3 x 1 si 9 12x 3x 1 x si x 1 f(x) 2 2 2 . a) Dibuje su gráfica y, a la vista de ella, estudie su monotonía y extremos. b) Estudie su continuidad y derivabilidad. 59.- (Septiembre 2001) Las ganancias de una empresa, en millones de pesetas, se ajustan a la función 5 2x 100 50x f(x) + ÷ = , donde x representa los años de vida de la empresa, cuando 0 x > . a) Represente gráficamente la función y=f(x), para ( ) +· ÷· e , x , indicando: dominio, corte con los ejes, asíntotas, crecimiento y decrecimiento. b) ¿A partir de qué año la empresa deja de tener pérdidas? c) A medida que transcurre el tiempo, ¿están limitados sus beneficios? En caso afirmativo, ¿cuál es su límite? 60.- (Septiembre 2001) Dada la función ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ > s < ÷ ÷ s ÷ = 2 x si x 2 x 2 si a 2 x si 2 ax f(x) 2 ( ) 9 e a . a) Calcule el valor de “a” para que f sea continua en x=-2. b) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f cuando a=2. c) Dibuje la gráfica de la función que se obtiene cuando a=2. 61.- (Reserva 2000-2001) Un objeto se lanza hacia arriba de modo que la altura “h” (en metros) a la que se encuentra en cada instante “t” (en segundos) viene dada por la expresión: 40t 5t h(t) 2 + ÷ = a) ¿En qué instante alcanza la altura máxima? ¿Cuál es esa altura? b) Represente gráficamente la función h(t). c) ¿En qué momento de su caída se encuentra el objeto a 60 metros de altura? d) ¿En qué instante llega al suelo? 62.- (Reserva 2000-2001) Determine los valores de “a” y “b” para que la función: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > + < + = 1 x si 7 - 6x ax 1 x si b 4x f(x) 2 sea derivable. 63.- (Reserva 2000-2001) Sea la función ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > ÷ < + = 0 x si x x 0 x si x x f(x) 2 2 . a) Represéntela gráficamente. I.E.S. “LOS CERROS” Dto. de Matemáticas Aplicaciones de las Derivadas Pág.13 b) Estudie su continuidad. c) Obtenga, si existe, la derivada de f en x=1/2, x=-1/2 y x=0. d) Indique si posee máximos y mínimos relativos y en qué puntos. 64.- (Reserva 2000-2001) El estudio de la rentabilidad de una empresa revela que la inversión de x millones de pesetas produce una ganancia de f(x) millones de pesetas, siendo: ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ > s s ÷ + = 5 x si 2x 5 5 x 0 si 5 8 25 8x 50 x f(x) 2 . a) Represente la función f(x). b) Halle la inversión que produce la máxima ganancia. c) Halle el valor de la inversión que produce ganancia nula. d) Razone lo que ocurre con la rentabilidad si la inversión se incrementa indefinidamente. 65.- (Junio 2002) Sea ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ s < + s s ÷ + ÷ < s + ÷ = 10 t 5 si 16 2t 5 t 3 si 9 12t t 3 t 0 si 5t t f(x) 2 2 3 . a) Estudie la continuidad y derivabilidad de f en t=3 y t=5. b) Razone si f posee algún punto de inflexión y calcúlelo, en caso afirmativo. 66.- (Junio 2002) Sea x, en euros, el precio de venta del litro de aceite de oliva virgen. Sea 1 x 4 2 f(x) + ÷ = , con 0 x > , la función que representa el balance económico quincenal, en miles de euros, de una empresa agrícola. a) Represente la función f. b) ¿A partir de qué precio de venta del litro de aceite empieza esta empresa a tener beneficios? c) ¿Están limitadas las ganancias de esta empresa? ¿Y las pérdidas? 67.- (Septiembre 2002) Calcule las funciones derivadas de las siguientes: a) 1 x e f(x) 3 5x ÷ = ; b) ( ) 1 3x L 4x g(x) + · = c) ( ) ( ) 2x x 1 x h(x) 3 2 + · ÷ = ; d) 2 x 2 x p(x) ÷ + = . 68.- (Septiembre 2002) a) Sea la función 2 bx x a f(x) + = . Calcule los valores de los parámetros a y b para que f tenga un extremo relativo en el punto (1,3). b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función Lx x g(x) · = en el punto de abscisa 1. 69.- (Junio 2003) a) Sea la función ( ) ( ) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > + ÷ s + ÷ ÷ = 2 x si 3 3 x a 2 x si b 1 x f(x) 2 2 . Halle a y b para que la función sea continua y derivable en x=2. I.E.S. “LOS CERROS” Dto. de Matemáticas Aplicaciones de las Derivadas Pág.14 b) Halle la función derivada de ( ) 2 1 2x 1 x e g(x) ÷ = + . 70.- (Junio 2003) Sea la función ( ) ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ > < < s + = 2 x si 4 x 2 x 0 si x 1 0 x si 1 x f(x) 2 . a) Represéntela gráficamente. b) Estudie su continuidad y derivabilidad. c) Calcule sus extremos y asíntotas horizontales y verticales. 71.- (Septiembre 2003) Sea la función 1 x x 3 f(x) ÷ ÷ = . a) Determine el dominio y asíntotas. Estudie su continuidad y derivabilidad. b) Determine sus máximos y mínimos relativos, si los hubiere. Estudie su crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad. c) Represéntela gráficamente. 72.- (Septiembre 2003) Sea la función ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ > ÷ s < s = 2 x si 2 1 x 2 x 1 si x 1 1 x si x f(x) 2 . a) Estudie la continuidad y derivabilidad de f en x=1 y en x=2. b) Represéntela gráficamente. 73.- (Junio 2004) La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un proceso viene dada en función del tiempo t, en horas, por la expresión: 2 10t 40t T(t) ÷ = con 4 t 0 s s a) Represente gráficamente la función T y determine la temperatura máxima que alcanza la pieza. b) ¿Qué temperatura tendrá la pieza transcurrida 1 hora? ¿Volverá a tener la misma temperatura en algún otro instante? 74.- (Junio 2004) a) Halle los valores de a y b para que la función b ax x f(x) 2 3 + + = tenga un extremo relativo en el (-2,3). b) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva 2 4x x y 3 + ÷ = en su punto de inflexión. 75.- (Septiembre 2004) Calcule las derivadas de las siguientes funciones (no es necesario simplificar el resultado): a) ( ) 3 2 x 5x x 1 3x f(x) ÷ ÷ ÷ = ; b) ( ) Lx 1 x g(x) 2 · ÷ = I.E.S. “LOS CERROS” Dto. de Matemáticas Aplicaciones de las Derivadas Pág.15 c) 5x 2 h(x) = ; d) ( ) ( ) 3 2 3 1 x 6x x i(x) + · ÷ = . 76.- (Septiembre 2004) De una función f se sabe que su función derivada es 6 9x 3x (x) f' 2 + ÷ = . a) Estudie su monotonía y la curvatura de f. b) Sabiendo que la gráfica de f pasa por (0,1), calcule la ecuación de la recta tangente en dicho punto. 77.- (Reserva 2003-2004) a) Dada la función bx ax f(x) 2 + = , calcule a y b para que la función tenga un extremo relativo en el punto (1,4). b) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función Lx x 2 g(x) + = en el punto x=1. 78.- (Reserva 2003-2004) Sea la función ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > ÷ + ÷ s ÷ = 3 x si 30 16x 2x 3 x si x 9 f(x) 2 2 . a) Estudie su continuidad y derivabilidad. b) Estudie su monotonía y calcule sus extremos relativos. c) Represéntela gráficamente. 79.- (Junio 2005) Sea la función ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ > < = 1 x si x 2 1 x si 2 f(x) x a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f. b) Calcule sus asíntotas. c) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2. 80.- (Junio 2005) El beneficio, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo t, en años, viene dado por: 7 t 4 31, 12t t f(t) 2 s s ÷ + ÷ = a) Represente la gráfica de la función f. b) ¿Para qué valor de t alcanza la empresa su beneficio máximo y a cuánto asciende? ¿Para qué valor de t alcanza su beneficio mínimo y cuál es éste? 81.- (Septiembre 2005) El valor, en miles de euros, de las existencias de una empresa en función del tiempo t, en años, viene dado por la función 8 t 1 15, t 6 t f(t) 2 s s ÷ + ÷ = 0 4 . a) ¿Cuál será el valor de las existencias para t = 2? ¿Y para t = 4? b) ¿Cuál es el valor máximo de las existencias? ¿En qué instante se alcanza? c) ¿En qué instante el valor de las existencias es de 185 miles de euros? 82.- (Septiembre 2005) Sea la función ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ > ÷ s ÷ = 4 x si 8 2x 4 x si 2 x 2x f(x) 2 . I.E.S. “LOS CERROS” Dto. de Matemáticas Aplicaciones de las Derivadas Pág.16 a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de esta función. b) Represéntela gráficamente e indique, a la vista de la gráfica, su monotonía y extremos. 83.- (Junio 2006) a) Halle los valores de a y b para que la gráfica de la función b 5x 3x ax f(x) 2 3 + ÷ + = pase por el punto (1,-3) y tenga el punto de inflexión en x = -1. b) Halle los intervalos de monotonía y los extremos relativos de la función definida por 7 3x x g(x) 2 3 + ÷ = . 84.- (Junio 2006) Sea la función f definida por ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ > + s ÷ = 0 x si x x 0 x si 1 2x x f(x) 2 . a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f. b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = 1. 85.- (Septiembre 2006) a) La gráfica de la función derivada de una función f es la parábola de vértice (0,2) que corta al eje de abscisas en los puntos (-3,0) y (3,0). A partir de dicha gráfica, determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f. b) Calcule los extremos relativos de la función 3x x g(x) 3 ÷ = . 86.- (Septiembre 2006) Se considera la función x 2 x 3 f(x) ÷ ÷ = . a) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa función en el punto de abscisa x = 1. b) Estudie su monotonía. c) Calcule sus asíntotas. 87.- (Junio 2007) Sea la función 9 ÷ 9 : f definida de la forma 240x 84x 8x f(x) 2 3 + ÷ = , determine: a) Su monotonía y sus extremos relativos. b) Su curvatura y su punto de inflexión. 88.- (Junio 2007) a) Halle los valores de a y b para que la recta tangente a la gráfica de b ax f(x) 2 ÷ = en el punto (1,5) sea la recta 2 3x y + = . b) Para ( ) 2 x L e g(x) x 1 + + = ÷ , calcule g’(1). 89.- (Septiembre 2007) Sea la función 9 ÷ 9 : f , definida de la forma ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > + + s = 1 x si 5 mx x 1 x si 2 f(x) 2 x . a) Calcule m para que la función sea continua en x = 1. b) Para ese valor de m, ¿es derivable la función en x = 1? c) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica en x = 0. 90.- (Septiembre 2007) a) Sea la función definida para todo número real x por bx ax f(x) 3 + = . Determine a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1,1) y que en ese punto la pendiente de la recta tangente es -3. I.E.S. “LOS CERROS” Dto. de Matemáticas Aplicaciones de las Derivadas Pág.17 b) Si en la función anterior 3 1 a = y 4 b ÷ = , determine sus intervalos de monotonía y sus extremos. 91.- (Junio 2008) Sea la función definida de la forma ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > ÷ < ÷ = 2 x si 10x 2x 2 x si 1 x 2x f(x) 2 . a) (0.5 puntos) Halle el dominio de f. b) (1.25 puntos) Estudie la derivabilidad de f en x=2. c) (1.25 puntos) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=0. 92.- (Junio 2008) Sea la función f definida mediante ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > < + + = 1 x si L(x) 1 x si b ax x f(x) 2 . a) (1.5 puntos) Determine a y b sabiendo que f es continua y tiene un mínimo en 1 x ÷ = . b) (1.5 puntos) Para 1 a ÷ = y 1 b = , estudie la derivabilidad de f en 1 x ÷ = y en 1 x = . 93.- (Septiembre 2008) a) (1.5 puntos) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función x 3 f(x) = en el punto de abscisa 1 x ÷ = . b) (1.5 puntos) Halle los valores de a y b para que la función x b ax g(x) + = tenga un extremo relativo en el punto (1,2). 94.- (Septiembre 2008) Dada la función 3 2 x 3x 4 f(x) + ÷ = , determine: a) (1.5 puntos) La monotonía y la curvatura de f. b) (0.5 puntos) Los puntos donde la función f alcanza sus extremos relativos. c) (1 punto) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 1 x ÷ = . 95.- (Junio 2009) Sea la función ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ > + < + = 0 x si 1 x x 0 x si x x f(x) 2 . a) (2 puntos) Analice la continuidad y la derivabilidad de la función en su dominio. b) (0.5 puntos) Determine la asíntota horizontal, si la tiene. c) (0.5 puntos) Determine la asíntota vertical, si la tiene. 96.- (Junio 2009) Un estudio de la presencia de gases contaminantes en la atmósfera de una ciudad indica que el nivel de contaminación viene dado por la función: 25 t 0 25, 4t 0.2t C(t) 2 s s + + ÷ = (t = años transcurridos desde el año 2000) a) (1 punto) ¿En qué año se alcanzará un máximo en el nivel de contaminación’ b) (1 punto) ¿En qué año se alcanzará el nivel de contaminación cero? I.E.S. “LOS CERROS” Dto. de Matemáticas Aplicaciones de las Derivadas Pág.18 c) (1 punto) Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función C(t) en t = 8. Interprete el resultado anterior relacionándolo con el crecimiento o decrecimiento. 97.- (Septiembre 2009) La derivada de una función f viene dada por 9 12x 3x (x) ' f 2 + ÷ = . a) (1.5 puntos) Obtenga los intervalos de monotonía de la función f y los valores de x en los que dicha función alcanza sus extremos locales. b) (0.75 puntos) Determine los intervalos de concavidad y convexidad de la función f. c) (0.75 puntos) Sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (2,5), calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en dicho punto. 98.- (Septiembre 2009) Sea la función x bx ax f(x) 2 3 + + = . a) (1.5 puntos) Determine el valor de los parámetros a y b sabiendo que la función f tiene un máximo en x = 1 y que f(1) = 2. b) (1.5 puntos) Para a = b = 1, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0. 99.- (Junio 2010) Sea la función 3 2 x 3 1 2x f(x) ÷ = . Calcule: a) (1 punto) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) (1 punto) Las coordenadas de sus extremos relativos. c) (0.5 puntos) El punto de la gráfica en el que la pendiente de la recta tangente a dicha gráfica es 4. 100.- (Junio 2010) Calcule las derivadas de las siguientes funciones: a) (0.8 puntos) 2 3 1 f(x) x e x + = . b) (0.8 puntos) ( ) { } 2 3 1 ln g(x) x x + = . c) (0.9 puntos) 2 5 1 2 h(x) x x + = . 101.- (Septiembre 2010) Un consultorio médico abre a las 5 de la tarde y cierra cuando no hay pacientes. La expresión que representa el número medio de pacientes en función del tiempo en horas, t, que lleva abierto el consultorio es 2 4 N(t) t t ÷ = . a) (1 punto) ¿A qué hora el número medio de pacientes es máximo? ¿Cuál es ese máximo? b) (1 punto) Sabiendo que el consultorio cierra cuando no hay pacientes, ¿a qué hora cerrará? c) (0.5 puntos) Represente gráficamente 2 4 N(t) t t ÷ = , con 0 N(t) > . 102.- (Septiembre 2010) Sea la función ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > + ÷ s + ÷ = 1 x si 5 6x ax 1 x si 3 2ax x - f(x) 2 2 . a) (0.5 puntos) Calcule el valor de a para que f sea continua en x=1. b) (2 puntos) Para a=1, represente su gráfica y, a la vista de ella, indique su monotonía y las coordenadas de sus extremos locales. I.E.S. “LOS CERROS” Dto. de Matemáticas Aplicaciones de las Derivadas Pág.19 103.- (Junio 2011) a) (1 punto) Calcule la función derivada de ( ) 2 2 2x 2 x e f(x) + ÷ = ÷ . b) (1.5 puntos) Se sabe que la expresión que representa el número medio de clientes N(t) que acude un día a una cadena de almacenes, en función del número de horas t que llevan abiertos, es R b a, 8, t 0 t, b t a N(t) 2 e s s · + · = . Sabiendo que el máximo de clientes que han acudido ese año ha sido de 160 y que se ha producido a las cuatro horas de abrir, calcule a y b. 104.- (Junio 2011) Las funciones 51t 2t I(t) 2 + ÷ = y 96 3t t G(t) 2 + ÷ = con 0 ≤ t ≤ 18 representan, respectivamente, los ingresos y gastos de una empresa, en miles de euros, en función de los años, t, transcurridos desde su inicio y en los últimos 18 años. a) (0.5 puntos) ¿Para qué valores de t, desde su entrada en funcionamiento, los ingresos coincidieron con los gastos? b) (1 punto) Determine la función que refleje los beneficios (ingresos menos gastos) en función de t y represéntela gráficamente. c) (1 punto) ¿Al cabo de cuántos años, desde su entrada en funcionamiento, los beneficios fueron máximos? ¿Cuál es el valor de ese beneficio? 105.- (Septiembre 2011) a) (1.25 puntos) Halle el dominio, los puntos de corte con los ejes, y las asíntotas de la función 1 2x 4x f(x) + = b) (1.25 puntos) Halle los intervalos de monotonía, los extremos relativos, los intervalos de curvatura y los puntos de inflexión de la función g(x) = x 3 + 3x 2 + 3x. 106.- (Septiembre 2011) Sea la función ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > ÷ s + ÷ = 2 x si x a 4 2 x si 4 3x x f(x) 2 a) (1.5 puntos) Halle el valor de a para que dicha función sea continua y estudie la derivabilidad de f para ese valor de a. b) (1 punto) Para a = 1, ¿existe alguna asíntota vertical de esa función? ¿Y horizontal? Razone las respuestas y calcule, en caso afirmativo, dichas asíntotas. 107.- (Reserva 2011) Tras un test realizado a un nuevo modelo de automóvil, se ha observado que el consumo de gasolina, c(x) , expresado en litros, viene dado por la función c(x) = 7.5 - 0.05x + 0.00025x 2 , siendo x la velocidad en km/h y 25 ≤ x ≤ 175. a) (0.5 puntos) Determine el consumo de gasolina a las velocidades de 50 km/h y 150 km/h. b) (1 punto) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función c(x) . c) (1 punto) ¿A qué velocidades de ese intervalo se obtiene el mínimo consumo y el máximo consumo y cuáles son éstos? 108.- (Reserva 2011) Se considera la función dada por ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ > ÷ s + ÷ = 0 x i 2 2 0 x si 2 2 f(x) s x x a) (1.5 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f . b) (1 punto) Halle las ecuaciones de las asíntotas de esta función. I.E.S. “LOS CERROS” Dto. de Matemáticas Aplicaciones de las Derivadas Pág.20 109.- (Reserva 2011) Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(x), en miles de euros, viene dada en función de la cantidad, x, que se invierte, también en miles de euros, por la siguiente expresión: R(x) = -0.001x 2 + 0.4x + 3.5, con x ≥ 10 a) (0.5 puntos) Calcule la rentabilidad para una inversión de 100000 euros. b) (1.5 puntos) Deduzca y razone qué cantidad habría que invertir para obtener la máxima rentabilidad. c) (0.5 puntos) ¿Qué rentabilidad máxima se obtendría? 110.- (Reserva 2011) Sea la función ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ > ÷ + ÷ s < + ÷ s ÷ = 3 x si 15 8x x 3 x 1 si 3 2ax x 1 x si x 1 f(x) 2 2 2 a) (0.75 puntos) Calcule el valor de a para que f sea continua en x = 1. b) (1.75 puntos) Para a =2 estudie la continuidad y la derivabilidad de f. 111.- (Reserva 2011) El beneficio, en miles de euros, alcanzado en una tienda de ropa el pasado año, viene dado por la función B(t) expresada a continuación ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ s < + s s + ÷ = 12 t 6 si 2 1 t 6 t 0 si 5 t t 8 1 f(x) 2 , t es el tiempo transcurrido en meses. a) (1 punto) Estudie la derivabilidad de la función al cabo de 6 meses. b) (0.5 puntos) ¿Cuándo fue mínimo el beneficio? ¿Cuál fue dicho beneficio? c) (1 punto) Represente gráficamente la función B(t). ¿Cuándo fue máximo el beneficio? ¿A cuánto ascendió? 112.- (Reserva 2011) a) (1.5 puntos) La gráfica de la función derivada, f ´, de una función f es una parábola que corta al eje OX en los puntos (-1,0) y (3,0) , y tiene su vértice en (1,- 4) . Estudie, a partir de ella, la monotonía de la función f e indique la abscisa de cada extremo relativo. b) (1 punto) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g(x) = -2e 3x en el punto de abscisa x=0. 113.- (Reserva 2011) Sea la función ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ > + ÷ < s < + ÷ = 4 x si 1 4x x 4 x 2 si 4 2 x si 4 f(x) 2 x x a) (1 punto) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f. b) (0.5 puntos) Determine los extremos locales de f. c) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = 3. I.E.S. “LOS CERROS” Dto. de Matemáticas Aplicaciones de las Derivadas Pág.21 114.- (Reserva 2011) (2.5 puntos) Calcule las derivadas de las siguientes funciones: x x 2 f(x) 2 x + = ; ( ) ( ) 4 e ln 1 x g(x) 3x 2 2 + · + = ; 2 x 5 3x 1 h(x) 2 ÷ ÷ =
Report "Ejercicios Aplicaciones de Las Derivadas Selecttividad 2012"