ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL No.11 EPO 11 CUAUTITLAN CUAUTITLAN IZCALLI, IZCALLI, MEX. MEX. EJERCICIO 3 Frecuencia acumulada de un intervalo: se obtiene sumando la frecuencia de ese intervalo con la frecuencia de los intervalos anteriores. La frecuencia acumulada del último intervalo, corresponde al número total de datos. Se representa con la letra F. Frecuencia relativa: se obtiene dividiendo la frecuencia del intervalo entre el número total de datos. La suma de todas las frecuencias relativas de un conjunto de datos es igual a uno. Si la frecuencia relativa de un intervalo se multiplica por 100 se llama frecuencia porcentual y su valor representa el porcentaje de datos que contiene cada intervalo. Frecuencia relativa acumulada: se obtiene dividiendo la frecuencia acumulada de cada intervalo, entre el número total de datos. La frecuencia relativa acumulada de un intervalo multiplicada por 100, se llama frecuencia porcentual acumulada y su valor representa el porcentaje acumulado de datos que se encuentran hasta un cierto intervalo. 1.- Considerando los datos siguientes acerca del número de accidentes que ocurren diariamente en un estacionamiento.Elabore una distribución de frecuencias acumuladas 6 5 3 4 5 9 4 8 7 1 2 4 8 5 2 7 4 4 3 3 0 4 4 7 6 8 2 4 1 0 2 5 7 3 5 5 6 7 8 6 4 3 6 0 6 2 7 5 6 3 2.- Acontinuación se presentan las edades de 50 miembros de un programa de servicio social 83 65 44 38 91 51 87 55 88 71 66 68 78 76 83 61 64 69 99 80 82 51 98 84 68 65 70 67 47 65 54 75 82 60 51 56 66 77 42 56 92 74 79 66 73 60 68 62 74 55 Utilicelos para construir una distribución de frecuencias relativas mediante siete intervalos iguales. EJERCICIO 4 Marca de clase: Se le llama así al valor correspondiente al punto medio del intervalo, la marca de clase es igual al limite superior más el limite inferior sobre dos. Ls Li 2 Limite de clases reales: son valores que evitan huecos entre un intervalo y el siguiente, resultando que el límite real superior de un intervalo es igual al límite real inferior del intervalo siguiente. 1.- INSTRUCCIONES: de los siguientes conjuntos de datos obtenga la marca de clase 1) INTERVALO 100-140 150-190 200-240 250-290 300-340 350-390 400-440 450-490 500-540 2) INTERVALO 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 550-590 2.- INSTRUCCIONRES de los siguientes conjuntos de datos determine la frecuencia acumulada. Marca de clase INTERVALO 10-17 18-25 26-33 34-41 42-49 50-57 58-65 FREC 15 38 57 41 22 16 11 INTERVALO 1000-1999 2000-2999 3000-3999 4000-4999 5000-5999 6000-6999 7000-7999 FREC 4 16 51 68 88 102 110 3.- INSTRUCCIONRES de los siguientes conjuntos de datos determine la frecuencia relativa, la frecuencia porcentual. INTERVALO 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 20-22 22-24 FREC 5 10 17 19 11 4 6 INTERVALO 0-1 2-3 4-5 6-7 8-9 10-11 12-13 FREC 5 11 16 13 5 7 3 EJERCICIO 5 Grafica de barras: consiste en una serie de rectángulos cuyas bases se encuentran sobre un eje horizontal correspondiendo a cada uno de los intervalos o categorías de la distribución de frecuencia y su altura, marcada en un eje vertical, es proporcional a la frecuencia de cada intervalo. Histograma de frecuencia: es una grafica muy similar a la de barras, la diferencia radica en que el histograma se localiza con los limites reales de clase en el eje horizontal (en la gráfica de barras se localizan los límites de clase). Polígono de frecuencia: Es una gráfica de línea que generalmente se traza sobre el histograma de frecuencia, representa la distribución de un conjunto de datos construida sobre sus marcas de clase. Se obtiene con el siguiente procedimiento: a) Se traza el histograma de frecuencia. b) Se agrega un intervalo antes y uno después del conjunto de datos con el mismo tamaño y frecuencia cero. c) Se localizan en el eje horizontal las marcas de clase de cada intervalo y se proyectan estas a la parte superior de los rectángulos. d) Se trazan rectas para unir estos puntos, obteniéndose el Polígono de frecuencia. Ojiva: es una gráfica que se obtiene localizando en el eje vertical la frecuencia acumulada o frecuencia relativa acumulada. Se tienen dos tipos de ojivas en los cuales solo se agregan un solo intervalo con frecuencia cero en el eje horizontal. Ojiva “o más”: es una gráfica en la cual se tienen las frecuencias acumuladas de todos los valores mayores o iguales que el límite real inferior de cada intervalo. Ojiva “menor que”: es una gráfica que se obtiene localizando en el eje vertical las frecuencias acumuladas hasta el límite real superior de cada intervalo. Circulograma (gráfica circular): es una gráfica que consiste en un círculo, se utiliza para representar datos, que por lo general son cualitativos, a cada atributo se le asigna una parte del círculo (sector circular) que corresponde al porcentaje que representa del total de los datos. Para construir un circulograma, se determina la frecuencia relativa porcentual y se obtiene el valor de la magnitud del ángulo en grados del sector circular que le corresponde a cada atributo. ANGULO = 360( F ) n 1.- Construya la gráfica de barras, histograma de frecuencia y polígono de frecuencia para el siguiente conjunto de datos. INTERVALO FRECUENCIA 1–5 15 6 – 10 12 11 – 15 13 16 – 20 8 21 – 25 11 26 – 30 7 31 – 35 6 36 – 40 10 2. Trace el histograma de frecuencia para los siguientes conjuntos de datos: INTERVALO FRECUENCIA 0 – 10 9 10 – 20 11 20 – 30 7 30 – 40 14 40 – 50 16 50 – 60 12 60 – 70 8 70 – 80 8 80 - 90 6 1. Con el siguiente conjunto de datos trazar la ojiva “o más” y la ojiva “o menos” INTERVALO 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 - 70 70 – 80 80 – 90 FRECUENCIA 5 12 17 21 16 13 6 3. Construya el circulograma y la grafica de barras para el siguiente conjunto de datos: COLOR Rojo Verde Azul Negro Blanco FRECUENCIA 21 12 35 3 9 5. Al efectuarse una encuesta acerca del tipo de transporte que utilizan los alumnos de sexto semestre para trasladarse a la escuela, se obtuvieron los siguientes datos. Autobús Carro Taxi Caminando Carro Motocicleta Bicicleta Caminando Carro Caminando Taxi Caminando caminando Bicicleta Motocicleta Motocicleta Bicicleta Caminando Bicicleta Motocicleta motocicleta Caminando Bicicleta carro Carro Taxi Carro Taxi Micro Micro Carro Taxi Taxi carro Taxi carro Micro Taxi Carro carro Construya una distribución de frecuencias y trace una gráfica circular. EJERCICIO 8 Medidas de tendencia central: indican mediante un valor o atributo la localización central de la distribución de frecuencia. Los promedios se conocen como medidas de tendencia central. Siendo las mas comunes la media aritmética, la mediana y la moda. Media aritmética: también llamada media o promedio, es una de las mediadas mas usadas por la estadística. Se denota por X . La principal aplicación que se obtiene de la media es que significa, que todos los datos tuvieran ese mismo valor y esto lo hace representativo de todo el conjunto de datos. Media aritmética para datos no agrupados se define como la suma de todos los datos dividida entre el número de datos n X = (x 1 + x 2 + x 3 + …..+ x n ) / n o bien X = x i 1 i n Media aritmética para datos agrupados: el valor de la media, se obtiene en forma aproximada debido a que se considera que el valor de todos los datos de un intervalo es igual a la marca de clase. k k = número de intervalos n = número total de datos X = fMf i i 1 i i = es la frecuencia del i-ésimo intervalo M i = es la marca de clase del i-ésimo intervalo n 1. Juan pescó 4 peces con longitudes de 20, 23, 36 y 19 ¿Cuál es la longitud media de los peces? 2. Obtenga el promedio de calificaciones correspondiente al quinto semestre. 3. Obtenga el valor de la media para el siguiente conjunto de datos. 4 13 28 15 23 12 6 7 14 25 31 6 8 34 4. Cinco grupos de trabajadores ganan $10, $14, $20, $30, y $50 por hora de trabajo Determine la media del salario por hora. 5. Determine el valor de la media para el siguiente conjunto de datos INTERVALO 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 - 70 FRECUENCIA 15 22 27 31 26 6. Determine el valor de la media para el siguiente conjunto de datos : INTERVALO FRECUENCIA 0 - 10 2 10 – 20 10 20 – 30 17 30 – 40 23 40- 50 28 50 – 60 31 60 – 70 25 70 – 80 19 80 – 90 14 90 - 100 9 7. Determine la media para el siguiente conjunto de datos. CLASE 30 – 39 40 – 49 50 - 59 60 – 69 70 – 79 80 - 89 90 - 100 FRECUENCIA 3 7 1 8 15 21 5 8. Se realizo una prueba de resistencia física, que consistió en medir el tiempo en minutos que podían correr sin escalas. 35 23 43 18 72 47 32 53 47 31 37 43 27 50 21 37 42 31 30 20 28 41 27 45 28 10 45 78 35 64 ¿Cuál es la media para datos no agrupados? y ¿Cuál seria la media si se agrupan los datos? EPO 11 ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL No. 11 CUAUTITLAN IZCALLI, MEX. EJERCICIO 9 Moda: también llamada modo, es el valor que a parece con mayor frecuencia en un conjunto de datos. Se representa por Xˆ . Existen casos donde hay dos modas a lo que se le llama bimodal, otros en los cuales se tiene más de dos modas a los cuales se les llama multimodales y algunos no tiene moda, se les llama amodales. Moda para datos no agrupados: cuando los datos no están agrupados, solo se busca el dato que aparece más veces y ese corresponde a la moda. Moda para datos agrupados: En datos presentados mediante una distribución o tabla de frecuencias se considera que el valor de la moda se encuentra en el intervalo de mayor frecuencia L = Límite real inferior del intervalo que contiene la moda 1 = Es la diferencia entre la frecuencia del intervalo que contiene a la moda y la 1 C Xˆ = L + 1 2 frecuencia del intervalo anterior 2 = Es la diferencia entre la frecuencia del intervalo que contiene a la moda y la frecuencia del intervalo siguiente. C = Es el tamaño del intervalo que contiene a la moda Mediana: para un conjunto de datos ordenados en forma ascendente o descendente, la mediana es el valor ~. central de los datos, se representa por X Mediana para datos no agrupados: Si el número de datos es impar, la mediana es igual al valor que se encuentra en el centro de la distribución una vez que estos se han ordenado en forma ascendente o descendente. Si el número de datos es par, la mediana es igual al promedio de los dos datos que se encuentran en el centro de la distribución una vez que estos se han ordenado en forma ascendente o descendente. Mediana para datos agrupados: Si el conjunto de datos se presenta mediante una distribución de frecuencias, la mediana se obtiene en forma aproximada con la siguiente formula. n Fa C 2 fx ~ =L+ X L = Límite real inferior del intervalo que contiene la mediana n = Es el número de datos. F a = Es la frecuencia acumulada del intervalo anterior al que contiene la mediana fx = Es la frecuencia del intervalo que contiene a la mediana C = Es el tamaño del intervalo que contiene a la mediana. 1. Obtenga la moda para el siguiente conjunto de datos: 4 3 7 2 5 6 3 2 5 7 3 6 4 3 2. Obtenga la moda para el siguiente conjunto de datos. 10 15 13 14 10 8 13 10 21 13 7 6 1 0 3. Determine La moda de los siguientes datos no agrupados : 104 110 126 112 124 104 128 105 120 129 121 113 118 105 112 132 103 122 112 128 115 106 125 127 107 127 127 129 114 108 4. Obtener la mediana del siguiente conjunto de datos 4 13 12 17 7 4 8 7 125 119 109 103 112 121 17 125 111 122 19 104 123 123 129 110 129 13 126 123 125 14 126 107 115 25 115 101 105 118 130 124 8 111 127 121 23 5. Obtener la mediana del siguiente conjunto de datos 150 28 330 42 12 50 63 30 85 35 26 43 75 50 78 140 3 81 60 165 150 105 128 121 201 187 103 200 37 133 6. Un alumno obtuvo las siguientes calificaciones en una materia cocurricular ¿Cuál es su calificación final? MB B R B R E B 7. Obtener el valor de la moda para el siguiente conjunto de datos No. INTERVALO FRECUENCIA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 - 1000 1000-2000 2000-3000 3000-4000 4000-5000 5000-6000 6000-7000 7000-8000 8000-9000 9000-10000 12 37 72 47 65 55 96 80 54 41 No. INTERVALO FRECUENCIA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100-110 110-120 120-130 130-140 140-150 150-160 160-170 170-180 180-190 190-200 4 11 22 39 64 97 127 148 164 171 8. Obtener el valor de la moda para el siguiente conjunto de datos : No. INTERVALO FRECUENCIA 1 2 3 4 5 6 7 8 1.0-1.9 2.0-2.9 3.0-3.9 4.0-4.9 5.0-5.9 6.0-6.9 7.0-7.9 8.0-8.9 13 43 28 24 12 6 5 2 9. Determine la mediana para el siguiente conjunto de datos. 10. Determine la mediana conjunto de datos para el siguiente No. INTERVALO FRECUENCIA 1 2 3 4 5 6 7 8 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40 2 15 21 18 26 19 13 4 EJERCICIO 10 Medidas de dispersión: indican que tan alejados o dispersos se encuentran los datos. Las principales medidas de dispersión son el rango, la desviación media, la varianza y la desviación estándar. Desviación media: es el promedio de los valores absolutos de la desviación de los datos con respecto a la media. Indica en promedio el número de unidades en que cada dato se encuentra alejado de la media. Desviación media para datos no agrupados: DM = xi = es el valor del i-ésimo dato x x x = es la media del conjunto de datos n = número total de datos i n Desviación media para datos agrupados: DM = f x M i xn = número total de datos i f i = es la frecuencia del i-ésimo intervalo es la media del conjunto de datos M i = es la marca de clase del i-ésimo intervalo n Varianza: se define como el promedio de los cuadrados de las desviaciones de los datos con respecto a la media. Su valor indica la forma en que están distribuidos los datos respecto a la media. Se representa mediante 2 xi = es el valor del i-ésimo dato Varianza para datos no agrupados. 2 = x i x 2 x = es la media del conjunto de datos n = número total de datos n Varianza para datos agrupados 2 = f M i n nx= número total de datos x 2 i f i = es la frecuencia del i-ésimo intervalo es la media del conjunto de datos M i = es la marca de clase del i-ésimo intervalo Desviación estándar o típica: se define como la raíz cuadrada de la varianza, se denota por xi = es el valor del i-ésimo dato Desviación estándar para datos no agrupados. = x i x n Desviación estándar para datos agrupados. 2 x = es la media del conjunto de datos n = número total de datos = f M i n xn = número total de datos 2 i f i = es la frecuencia del i-ésimo intervalo x es la media del conjunto de datos M i = es la marca de clase del i-ésimo intervalo 1. Determine el valor de la desviación de la media para el siguiente conjunto de datos. 4 14 12 8 12 6 16 8 2. Determine el valor de la desviación de la media para el siguiente conjunto de datos. 0.3 2.1 7.2 4.3 5.7 8.3 4.4 6.5 3.2 4.0 3. Obtenga el valor de la varianza para el siguiente conjunto de datos. 5 14 29 16 24 13 8 7 15 26 32 7 9 35 4. Determine el valor de la desviación estándar para el siguiente conjunto de datos. 12 25 8 15 5 18 26 14 9 10 5. Determine el valor de la desviación de la media para el siguiente conjunto de datos INTERVALO FRECUENCIA 10 - 20 13 20 – 30 2 30 – 40 11 40 – 50 19 50 – 60 21 60 - 70 35 70 - 80 30 80 - 90 28 90 - 100 20 6. Determine el valor de la desviación de la media para el siguiente conjunto de datos : INTERVALO 0–9 10 – 19 20 – 29 30 – 39 40- 49 50 – 59 60 – 69 FRECUENCIA 7 15 23 18 20 16 9 7. Determine la varianza para el siguiente conjunto de datos. CLASE 0-50 50-100 100-150 150-200 200-250 250-300 300-350 350-400 400-450 FRECUENCIA 7 15 28 22 11 13 9 25 10 8. Determine la varianza del siguiente conjunto de datos. INTERVALO FRECUENCIA 20-2 12 2-4 35 4-6 43 6-8 31 8-10 22 10-12 17 12-14 11 14-16 4 9. Obtenga el valor de la desviación estándar para el siguiente conjunto de datos INTERVALO 1-6 6-11 11-16 16-21 21-26 26-31 31-36 36-41 41-46 FRECUENCIA 1 4 12 20 31 22 14 7 2 10. Del siguiente conjunto de datos obtenga: la media, moda, mediana, desviación de la media, varianza, la desviación estándar. INTERVALO 0-10 10 - 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 - 70 70 - 80 80 - 90 90 - 100 FRECUENCIA 3 1 4 17 23 35 19 24 13 6 EJERCICIO 11 Coeficiente de variación: es una medida relativa de dispersión, que resulta de utilidad al comparar la cantidad de variación en grupos de datos que posean medidas diferentes. Se relaciona la desviación estandar y la media. x Desviación estandar x = Media aritmetica 1. El tecnico A realiza un promedio de 60 analisis con una desviación estándar de 7.5. El tecnico B efectúa un promedio de 190 análisis diario con una desviación estandar de 22.5 ¿Cuál de los dos técnicos muestra menos variabilidad? 2. El peso de los integrantes del equipo de futbol americano profesional Baltimore tiene una media de 224 libras con una desviación estandar de 18 libras, mientras que los mismos datos correspondientes a su oponente del próximo domingo, los Traiblazers, son 195 y 12 ¿Cuál de los dos equipos muestra mayor dispersión relativa con respecto al peso de sus integrantes? 3. En Bassar Electronics están pensando en adoptar uno de los dos programas de entrenamiento. Dos grupos fueron entrenados para realizar el mismo trabajo. El grupo 1 se ocupó un tiempo promedio de 32.11 horas para entrenar a cada empleado, con una varianza de 68.09. Para el segundo, el tiempo promedio fue de 19.75 horas de entrenamiento para cada empleado, con uan varianza de 71.14 ¿Qué programa de entrenamiento tiene variabilidad relativa en su desempeño? 4. La edad de los estudiantes regulares que acuden a un cierto curso en los turnos matutino y vespertino del nivel de licenciatura de la UNAM se describe en estas dos muestras: Matutino 23 29 27 22 24 21 25 26 27 24 Vespertino 27 34 30 29 28 30 34 35 28 29 Si la homogeneidad de la clase es un factor positivo en el aprendizaje, utilice una medida de variabilidad relativa para sugerir cuál de los dos grupos será más fácil enseñar. 5. La junta directiva de la empresa Gothic Products está considerando adquirir una o dos compañías y está examinando minuciosamente la administración de cada compañía, con el fin de hacer una transacción menos riesgosa posible. Durante los pasados 5 años, la primera de las compañias tuvo una recuperación promedio de los invertido de 28% con una desviación estandar de 5.3%. La otra compañía yuvo una recuperación promedio de lo invertido de 37.8%, con una desviación estandar de 4.8%. Si consideramos riesgoso asociarse con una compañía que tenga una alta dispersión relativa en la recuperación ¿Cual de estas compañías ha estado desempeñando una estrategia más riesgosa? 6. Una compañía de ventas al mayoreo de aparatos de sonido, está contemplando la posibilidad de convertirse en proveedor de tres distribuidores, pero debido a un bajo inventario, la compañía se ha visto forzada a considerar sólo uno de los distribuidores. El director de crédito de la cía. Está evaluando el registro de créditos de los tres distribuidores. Durante los cinco años anteriores, las cuentas pendientes de los distribuidores han estado sin pagar durante el número promedio de días que se presentan a continuación. Basandose en la dispersión relativa ¿Qué distribuidor sería mejor cliente? Lee 62.2 61.8 63.4 63.0 61.7 Forrest 62.5 61.9 62.8 63.0 60.7 Davis 62.0 61.9 63.0 63.9 61.5 EJERCICIO 12 1. La siguiente distribución de frecuencias se obtuvo de entrevistar 100 estudiantes para identificar su nivel de ingles hablado. ¿En promedio qué porcentaje de alumnos hablan ingles? Determine el nivel hablado de los estudiantes (mediana). ¿Cuál es el dominio de ingles de la mayoria de los estudiantes? Intervalo 5 - 13 13 - 21 21 - 29 frecuencia 35 16 2 29 - 37 37 - 45 45 - 53 53 - 61 61 - 69 69 - 77 77 - 85 85 - 93 93 - 101 10 5 9 1 0 3 10 4 5 2. Tomando la siguiente distribución de frecuencias determine: la media, moda, mediana, desviación de la media, varianza, desviación estandar y coeficiente de variación. MI x fI M I x M I x2 fI M I x INTERVALO FREC MI 1–6 6 – 11 11 – 16 16 – 21 21 – 26 26 – 31 31 - 36 36 – 41 41 - 46 2 4 9 25 31 21 19 8 1 3.5 7 -21 -42 42 441 882 13.5 18.5 23.5 28.5 33.5 38.5 43.5 121.5 462.5 728.5 598.5 636.5 308 43.5 -11 -6 -1 4 9 14 19 -99 -150 -31 84 171 112 19 99 150 31 84 171 112 19 121 36 1 16 81 196 361 1089 900 31 336 1539 1568 361 fI M I fi M i x 2 3. En una fiesta en el Jefe el promedio de edades fue de 19 años y la desviación estandar de 2.5 años, mientras que en el salón Rojo, el promedio de edades fue de 25 años y la desviación estandar de 4 años ¿En que fiesta hubo menor variación de edades? 4. Hugo y Paco son hermanos y estan en diferente año en la escuela preparatoria, discutían con su papá sobre que grupo había salido mejor en matemáticas, como la discusión se estaba acalorando cada vez más y la mamá se estaba inclinando hacia su hijo favorito, el padre que tenía altos conocimientos en estadistica, resolvió este problema familiar utilizando el coeficiente de variación. El promedio de calificaciones de trigonometría del grupo que cursa Hugo fue 6.23 con una desviación estandar de 1.34 El promedio del grupo de Paco que cursa calculo diferencial fue 7.58 con una desviación estandar de 1.39 ¿Qué grupo salio mejor? 5. Obtenga la varianza para el siguiente grupo de datos no agrupados 101 143 125 135 127 150 133 86 6. En una jornada del fútbol mexicano, en el estadio Azteca, se tuvo un promedio de edad de 25 años y una desviación estándar de 7 años, mientras que en la Bombonera se tuvo un promedio de 26 años y una desviación estandar de 11 años ¿A qué partido asistieron más niños? ( es decir, en que estadio se tuvo más variación en edad? 7. Obtenga la mediana para el siguiente grupo de datos 10 -15 0 17 -3 8 14 9 10 13 bueno, regular, bueno, excelente, malo, regular, bueno, excelente, regular, excelente, bueno, bueno, malo, regular, excelente, malo, regular, bueno, bueno 8. Determine la desviación de la media, la varianza y el coeficiente de variación para el siguiente conjunto de datos: 118 90 42 65 23 69 48 65 EPO 11 ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL No. 11 CUAUTITLAN IZCALLI, MEX. 4 12 8 25 9 10 9. Cual es la moda de los siguientes datos: 4 14 12 8 12 6 4 16 8 12 14 6 14 12 4 Bueno, regular, bueno, malo, malo, regular, bueno, bueno, malo, regular, malo, regular, bueno, malo, bueno, malo, regular, regular, regular, malo, malo, regular. 10. Obtenga la desviación de la media de las calificaciones obtenidas por un alumno en el semestre anterior. Materia Calculo Quimica Fisica Ingles Derecho Ciencias Calificación 6.9 7.5 10.0 6.3 9.2 8.7 11. Obtenga el coeficiente de variación para el siguiente conjunto de datos agrupados Clase 5.0 – 5.4 5.5 – 5.9 6.0 – 6.4 6.5 – 6.9 7.0 – 7.4 7.5 – 7.9 frecuencia 20 36 43 58 78 65 12. Obtenga la desviación de la media, moda y mediana para la siguiente distribución Clase 0 – 100 100 – 200 200 – 300 300 – 400 400 – 500 500 - 600 600 – 700 700 – 800 800 – 900 900 - 1000 frecuencia 3 8 17 36 46 38 33 30 21 15 EJERCICIO 14 Permutación: Es una ordenación de un conjunto de n objetos en un orden determinado. Es una forma en la que pueden presentarse los objetos o eventos, y en la que el orden de aparición es muy importante, por ejemplo los dígitos 2, 5 y 8 pueden formar los números 258, 285, 528, 582, 825 y 852; cada uno de ellos es una permutación de los dígitos 2, 5 y 8 y reflejan valores muy diferentes entre sí. Lo mismo puede decirse con las letras A, V y E: AVE EVA y VEA son palabras diferentes. Permutar algunos objetos, de todos diferentes. El número de formas diferentes en que se pueden ordenarse n objetos, cuando se toman algunos de estos (r), es el número de permutaciones. n = es el número total de objetos. n! Permutaciones de n objetos tomados de r en r n pr n r ! r = es el número de objetos que se desea considerar Permutar todos los objetos de todos diferentes. El número de formas diferentes en que pueden ordenarse n objetos diferentes cuando se toman de uno en uno es el factorial de n n pn n! Permutar todos los objetos, de algunos repetidos. El número de formas diferentes en que pueden ordenarse n 1 , n 2 , n 3 …, y n r n! n pn n n n1!n2 !nr ! 1 2 r 1. En una caja hay cuatro canicas (azul, negra, roja y verde). Si se extraen de la caja dos de ellas, ¿en que orden pueden aparecer? ¿De cuantas maneras? 2. Determinar el número de permutaciones de 4 letras tomadas 3 a la vez. 3. En una carrera de 7 caballos ¿Cuántas ordenaciones de 1°, 2° y 3° lugar son posibles? 4. La mesa directiva (presidente, secretario y tesorero) de una asociación va a elegirse de entre cinco candidatos, identificados con las letras A, B, C, D, y E. Suponga que cualquier de ellos es apto para cualquier puesto y determine el número de formas diferentes en que pueden quedar integrados. 5. En una caja hay un billete de $ 100.00, otro de $ 500.00 y uno de $ 200.00. Tres personas tomarán cada una un billete, sin ver. Determine las formas en que pueden distribuirse los billetes y cuantas maneras hay de hacerlo. 6. En una caja hay cuatro canicas (blanca, negra, amarilla y café), Si se extraen una por una de la caja ¿de cuantas maneras se puede hacer? 7. En una caja hay dos canicas rojas y cinco verdes. Si se extraen una por una de la caja. De cuantas formas pueden aparecer estas canicas 8. Cuantas ordenaciones diferentes se pueden hacer con las letras RRUUNURR 9. 4 libros diferentes de matemáticas 6 de física y 2 de química han de ser colocados en una estantería ¿Cuantas colocaciones distintas se admiten? EJERCICIO 15 Combinaciones: Es una forma en la que pueden presentarse los objetos o eventos, y en la que el orden de aparición no importa; por ejemplo la multiplicación de los dígitos 2,5 y 8 pueden hacerse de muchas formas diferentes como 2 x 5 x 8, ó 8 x 2 x 5, ó 5 x 8 x 2, ó 2 x 8 x 5, ó 8 x 5 x 2, ó 5 x 2 x 8, pero en todos los casos el resultado será el mismo. Combinaciones de n objetos tomados de r en r = n n! nCr r !nr r! n = es el número total de objetos o eventos r = es el número de objetos que se desea considerar 1. En un grupo hay 5 personas, las que pueden identificarse con las letras A, B, C, D, y E De ellas se van a seleccionar 3 para una misión especial ¿De cuantas formas diferentes se pueden seleccionar las tres personas? 2. En una bolsa hay seis monedas, marcadas con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Se van a tomar al azar cuatro monedas ¿De cuantas formas diferentes se pueden tomar las monedas? 3. Una preselección de fútbol está formada por 25 jugadores. ¿De cuantas formas diferentes puede el entrenador integrar un equipo de 11 jugadores? 4. De un total de 5 hombres y 4 mujeres se formará un comité de 3 hombres y 2 mujeres ¿de cuantas formas puede quedar integrado? 5. Determine El número de combinaciones que se pueden obtener con las vocales utilizando 4 de ellas. 6. Determine el número de combinaciones de los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, y 6 7. Cuantos equipos de 3 personas se pueden formar de un grupo de 10 8. El propietario de un rancho compra 2 vacas y 3 borregos a un vecino que tiene 6 vacas y 5 borregos ¿Cuántas maneras de elección tiene el propietario del rancho? 9. Cuantos manojos de flores constituidos por 4 variedades se pueden formar con 10 variedades diferentes. 1. 2. 3. 4. 5. 6. Si hay 3 candidatos para gobernador y 5 para alcalde, de cuantas maneras se peden ocupar los dos puestos. El número de permutaciones que se pueden dar de las letras a,b,c tomadas de 2 en dos. El número de permutaciones de las letras de la palabra statistics El número de combinaciones de los números 1,2,3 ¿De cuantas maneras se pueden poner en fila 5 fichas de colores distintos? ¿De cuantas maneras se pueden sentar 10 personas en un banco si hay 4 sitios disponibles? 7. Evaluar: a) 8 p3 , b) 6 p4 y c) 15 p3 8. Hay que colocar a 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los lugares pares ¿ de cuántas maneras pueden hacerse? 9. ¿De cuantas maneras se pueden formar con 9 personas una comisión de 5 miembros? 10. De entre 5 matemáticos y 7 físicos hay que formar una comisión de 2 matemáticos y 3 físicos ¿De cuantas formas podrá hacerse si: a) todos son elegibles, b) dos matemáticos en concreto tiene prohibido pertenecer a la comisión. 11. Calcular: a) 7 4 , b) 6 5 y c) 4 4 12. Calcular el número de resultados posibles de contestar 3 preguntas con cuatro opciones. 13. Supóngase que hay cuatro equipos de béisbol en un campeonato ¿En cuántas formas pueden quedar los marcadores finales? Imaginese que se tiene que llenar cuatro casillas: ganador, segundo, tercero y último lugar. 14. ¿De cuantas formas se pueden ordenar tres objetos de un grupo de siete? 15. ¿Cuántas ordenaciones diferentes se pueden hacer utilizando las letras RRRRUUUN? 16. Las placas de matricula de automóvil de un estado tienen tres letras seguidas de cuatro números. ¿Cuántas placas diferentes serían posibles si se utilizan todas las letras y números? 17. Las parejas para un baile escolar se eligen colocando los nombres de las chicas enana urna, y el de los muchachos, en otra. Si hay 10 jóvenes y 10 chicas de cuantas parejas diferentes se pueden formar? 18. ¿De cuantas formas diferentes puede un supervisor seleccionar un equipo de de 5 de 8 personas que trabajan para él? 19. En una pizzería se en lista la variedad de pizzas de 30 cm: jamón, champiñones, pimiento, salami y queso. Usted sólo tiene dinero para comprar dos ( todas cuestan lo mismo) ¿Entre cuántas pizzas habrá de escoger? 20. ¿De cuantas maneras se pueden sentar 6 personas en una mesa redonda? Y en una banca. 21. Cinco parejas van a ir al cine ¿de cuantas maneras diferentes se pueden sentar las 5 parejas si se quieren sentar los 10 en la misma fila, sin que tengan que cambiar de pareja? 22. Un equipo de futbol a de elegir los 11 jugadores que alineara el próximo partido de entre 5 jugadores extranjeros y 10 nacionales ¿De cuantas maneras se puede formar el equipo (sin limitar el número de extranjeros)? ¿De cuantas maneras si se alinea 3 extranjeros y 8 nacionales? ¿De cuantas maneras si todos son nacionales o extranjeros? 23. En una tienda un cliente quiere comprar 2 reloj y 2 anillos, si en el mostrador hay 6 modelos de reloj y 4 anillos diferentes ¿Cuántas formas de elección tiene? 24. De cuantas maneras se pueden poner 10 plumines de colores diferentes en un bote en forma circular 25. ¿Cuantos manojos de flores constituidos por 4 se pueden formar con 10 variedades de flores diferentes? 26. En un zoológico se exhibirán en 8 jaulas cinco panteras numerados del 1 al 5 y tres osos numerados del 1 al 3 ¿De cuantas formas diferentes pueden colocarse? Si los tigres deben estar en jaulas continuas ¡de cuántas formas podrán exhibirse los leones y los tigres? 27. Un cono de nieve se forma colocando al azar, una sobre otra, tres bolas de nieve diferentes de un total de ocho sabores disponibles. ¿cuántas formas diferentes pueden crearse? Considerando que un cono es diferente de otro con los mismos sabores, si éstos están en posiciones diferentes. Considerando que un cono es igual a otro con los mismos sabores, aunque éstos estén en posiciones diferentes. 2. Una pintura abstracta se forma utilizando tres litros de pintura diferentes de un total de diez colores disponibles. ¿Cuántos colores diferentes pueden crearse? 3. Un pastel puede elaborarse con tres tipos de harina diferentes, con o sin nueces, con cinco tipos de betún, y adornado con una o doce flores, o sin ellas. ¡Cuántas variedades de pastel pueden elaborarse? 4. Las placas de un vehículo se forman mediante tres dígitos seguidos de dos de las 27 letras del alfabeto, a condición de que no se presenten tres dígitos iguales o dos letras iguales. ¿cuántas placas diferentes pueden contener esa serie de placas? Probabilidad: Disciplina que se encarga de analizar situaciones en las que interviene el azar. Es la relación entre el número de resultados exitosos respecto al total de resultados posibles. Las probabilidades se utilizan para expresar cuán probable es determinado evento. La probabilidad de algún evento A, representada como P(A), es un número que va del 0 al 1, y que indica cuán probable es la ocurrencia del evento A; cuánto más se acerca al valor de 1 tanto mayor es la probabilidad de que dicho evento A ocurra; cuánto más cercano se encuentre el número del 0 menor es la probabilidad de que el evento A ocurra. Las probabilidades se pueden expresar en múltiples formas, incluyendo decimales, 1 fracciones y porcentajes; así que el 25% es lo mismo que y es lo mismo que 0.25. 4 Tipos de probabilidad: Objetiva: Es el resultado de relacionar el número de resultados de éxito respecto al total de resultados posibles. o Enfoque clásico o Enfoque de Frecuencia relativa Subjetiva o de juicio personal: es una forma de cuantificar, por medio de factores de ponderación individuales, la probabilidad de que ocurra cierto evento, cuando no es posible cuantificarla de otra manera más confiable. Refleja la percepción de quien la emite. Enfoque clásico: Supone que todos los eventos tienen la misma probabilidad de ocurrir. Los juegos de azar como el tiro de monedas, dados o juegos de cartas; presentan la característica de tener resultados igualmente probables. P(cada resultado) = P(A) = 1. 2. 3. 4. 5. 1 número..de..resultados .. posibles Número de resultados asociados con el evento A Número total de resultados posibles La probabilidad de que caiga sol al lanzar una moneda una vez. La probabilidad de sacar un dos al tirar un dado. La probabilidad de tirar un dado y obtener un valor de tres o menor. La suma de dos dados sea siete Con una sola carta de un mazo de 52 cartas bien barajado, señale la probabilidad de obtener las siguientes: Una sota Una carta roja Un diez de tréboles Una carta con figura Un diamante Un nueve rojo o un ocho negro Enfoque empírico o de Frecuencia relativa: Es aquel que requiere de llevar acabo varios experimentos para poder obtener la probabilidad. Es la relación entre el número de eventos favorables obtenidos, respecto al total de intentos. Probabilidad del evento A = P(A) = Número...de...eventos...exitosos total ...de... int entos Ejemplo: Los registros de una compañía de bienes raíces la frecuencia de casas vendidas en un periodo de 16 días. Casas vendidas No. de días 0 3 1 2 2 5 3 6 De esta manera la probabilidad de que venda 2 casas en un día cualquiera es de P(2) = 5 16 Subjetiva o de juicio personal: es una forma de cuantificar, por medio de factores de ponderación individuales, la probabilidad de que ocurra cierto evento, cuando no es posible cuantificarla de otra manera más confiable. Refleja la percepción de quien la emite. Existen numerosas situaciones en las que los resultados no son igualmente probables y tampoco se dispone de datos históricos. Como ¿Se podrá recobrar una persona gravemente enferma? 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Los informes de un laboratorio indican que cuando 25 ratones se les administro dosis iguales de un fármaco las lenguas de 20 de ellos se tornaron de color verde claro ¿Cuál es la probabilidad de que al administrar una dosis del fármaco la lengua se torne de color verde claro? Al lanzar una moneda 1000 veces 285 veces cayó águila ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzarla de nuevo caiga águila? Una moneda se lanzo 60 veces de las cuales 40 cayo águila ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar la moneda nuevamente sea sol? Una muestra aleatoria de 40 prisioneros indica que 10 tiene la presión alta. Estime la probabilidad que presentará otro presidiario, al ser examinado de tener la presión alta. Los datos reunidos por el administrador de un supermercado indican que 915 de 1500 compras dominicales exceden de $100.00. Calcule la probabilidad de que cualquier cliente dominical gastará más de $100.00 En una encuesta acerca del tránsito que hay de las 5 a las 6 am en una sección de una autopista estatal, se observo que de 200 automóviles sometidos a una revisión de seguridad, al azar, 25 tenían neumáticos en mal estado. Estime la probabilidad de que un auto que se detiene en ese lapso en la misma sección de la autopista no tenga neumáticos defectuosos. Los datos locales sobre el clima de los últimos cien años indican que la temperatura más alta registrada en el primer día de verano excede de 30°C en 79 años de los años examinados. Calcule la probabilidad de que este año el primer día de verano la temperatura exceda de 30°C Los registros del servicio de salas de emergencia de un hospital indican lo siguiente: ataque al corazón 12%, enfermedades respiratorias 20%, accidentes 32%, envenamiento 16%, otros 20% ¿Cuál es la probabilidad de que los pacientes no sufran una enfermedad respiratoria? Regla de la adición para eventos mutuamente excluyentes. Se utiliza cuando queremos conocer la probabilidad de que ocurra una cosa u otra, si se trata de eventos mutuamente excluyentes (son aquellos eventos que no pueden ocurrir al mismo tiempo). Y se utiliza la formula: P(A ó B) = P(A) +P(B) siendo lo mismo que P(A B) = P(A) +P(B) El símbolo de unión es y representa la agrupación de todos los elementos de A y B. Es sinónimo de “o” Ejemplo: cinco estudiantes de igual capacidad están esperando una entrevista de trabajo, de una compañía que ha anunciado que contratará únicamente a uno de cinco por selección aleatoria. El grupo lo integran Vicente, Elena, Juan, Sonia y Walter. ¿Cuál es la probabilidad de que Juan o Sonia sea el candidato? P(Juan o Sonia) = P(J S) = 1 1 2 40% 5 5 5 Regla de la adición para eventos que no son mutuamente excluyentes: Se refiere a eventos que pueden ocurrí al mismo tiempo en un acción determinada, para lo cual es necesario modificar la fórmula anterior, de lo contrario se estaría contando doble el evento. P(A ó B) = P(A) +P(B) – P(AB) ó P(A B) = P(A) +P(B) – P(A B) El símbolo de intersección es y significa que se desea sólo los elementos que se repiten de A y B. Es sinónimo de “y” Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta que tenga un as ó un corazón de una baraja? (hay que tomar en cuenta que se puede sacar en una sola carta el as de corazón, por ello es que se debe de realizar la sustracción de está carta en la formula, ya que de no hacerlo se contaría doble esta carta de la probabilidad de as y corazón) 4 13 1 16 4 P(as ó corazón) = 52 52 52 52 13 1. ¿Calcular la probabilidad de que al tirar un dado se obtenga un resultado de cinco o seis? 2. ¿Cuál será la probabilidad de sacar al primer intento una carta de corazones o una de tréboles de un mazo de 52 cartas? 3. Un paquete que contiene una mezcla de semillas de flores de distintos colores, contiene cuatro semillas para flores rojas, tres para amarillas, dos para moradas y una para color naranja. Si se selecciona una semilla de la mezcla, ¿Cuál es la probabilidad de que sea roja o naranja? 4. Una caja contiene 6 billetes de $500.00, 3 de $50.00 y 1 de $100.00. Determine la probabilidad de que, al extraer al azar uno de éstos, éste sea de $50.00 0 de $100.00 5. Se saca al azar una bola de una caja que contiene 6 bolas rojas, 4 blancas y 5 azules. Hallar la probabilidad e que la bola extraída sea: (a) roja, (b) blanca, (d) no roja, y (e) roja o azul. 6. De un grupo de 45 estudiantes universitarios, 28 estudian ingles y 16 estudian francés, además de que 12 no estudian idiomas. a) ¿Cuántos estudiantes estudian inglés y francés? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un estudiante al azar estudie solamente inglés? c) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante únicamente francés? 2. Los empleados de cierta empresa se han elegido para representar a la misma. ¿Cuál es la probabilidad de que el representante sea hombre o tenga más de 45 años? Sexo Masculino Masculino Femenino Femenino Masculino Edad 40 42 55 30 50 3. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una cuatro o un trébol en una baraja de 52 cartas?