2.4 POBLACIÓN FINITA UN SERVIDOR, COLA FINITA El sistema que se analizó en la sección anterior supone que el número de clientes que requieren servicio en un periodo de tiempo determinado es infinito. Este caso no corresponde a la realidad ya que una población es, por regla, de tamaño finito. Este caso no corresponde a la realidad ya que una población es, por regla, de tamaño finito. Esta consideración, en vez de simplificar el desarrollo de fórmulas que describen cuantitativamente al sistema, lo complica. Por ello, se refiere trabajar con el supuesto de población infinita y no con el real. Suponiendo que una población finita de m elementos (o<m<∞) requiriera servicios de un sistema similar al de la sección anterior, las series infinitas analizadas para la sección 3.4 se convierten en series finitas y generan de manera análoga los siguientes resultados. Si m es la población que pudiera requerir un servicio determinado y n (n < m) elementos de esa población piden ese servicio, entonces P 0 (t) se calcula mediante el uso simultáneo de las expresiones 3.20 y 3.21, determinadas a continuación9-1: ƛ n ¿ µ P n(t) m! = ¿ P0 (t) ( m−n ) ! P0 (t )= m ∑ n=0 1 P n(t) P0 (t) Una vez conocida L=m− ƛ+ µ (1−P0 ( t )) ƛ W =L+ ( 1−P0 ( t ) ) s=¿ (3.20) L µ (1−P0 ) T¿ (3.21) Po (t) se calcula L, W, Ts, Tw de: (3.22) (3.23) (3.24) m=4 . Durante el periodo de mantenimiento el avión no vuela. Los datos indican que las fallas de cualquier turbina de cualquier avión es una variable aleatoria y que el tiempo promedio entre dos fallas consecutivas de cualquier avión es de un año. donde n es el número de . ∞ 9−1 ∑ Pn ( t )=1 n=0 P n(t) ∞ ∑ P ( t ) =1 P0 (t) n=0 n ∞ P0 (t ) ∑ n=0 Pn (t) P0 (t) Si se toma como unidad de tiempo un año. primero que se le sirve”. El tiempo promedio de revisión y compostura de la falla de la turbina es de 45 días (un octavo de año). las fallas de las turbinas. entonces 1 1 1 ƛ=1. =1. ƛ µ 8 Como ƛ 1 ρ= = <1 . en especial. Solamente se tienes un equipo humano de expertos para dar servicios y se proporciona servicio bajo la política de “primero que entra al taller. 4 y m = 4. 1. Describa cuantitativamente al sistema de espera. Se ha venido observando el comportamiento de estos aviones desde 1971 y.T w =T s+ 1 µ (3.20 para n = 0. se aplica los conceptos anteriores.26) Ejemplo 4 Suponga que en la flota de Aeroméxico existen cuatro aviones del tipo jumbo 747. 2.25) Obviamente. conocida P0 (t) se calcula Pn (t) de 3. = .20 de la siguiente manera: ƛ n ¿ µ Pn (t )=P0 ( t ) m! ¿ ( m−n ) ! (3. Se calcula la µ 8 expresión 3. 3. La probabilidad de que se encuentre un avión en mantenimiento y otro en espera es: .74024 n=0 0 Por lo tanto.2 ƛ n ¿ µ P n(t) m! = ¿ P0 (t) ( m−n ) ! P (t) ∑ Pn (t) =1.aviones que esperan compostura y m es la flota de jumbos 747 de Aeroméxico. se tiene: P0 (t )= 4 ∑ n=0 1 1 = =0.0000 8 ¿ 1.00195 8 ¿ 0.12500 8 ¿ 0.04688 4 4 4! =24 0! 1 4 ¿ =0.00576 4 Tabla 3. n m m! ( m−n ) ! ƛ n ¿ µ ¿ 0 4 4! =1 4! 1 0 ¿ =1.00000 1 4 4! =4 3! 1 1 ¿ =0.50000 2 4 4! =12 2! 1 2 ¿ =0.57463 Pn (t) 1.00024 8 ¿ 0.18750 3 4 4! =24 1! 1 3 ¿ =0.01563 8 ¿ 0.74024 P0 (t) Que significa que existe un 5704% de probabilidad de que no se encuentre ningún avión jumbo 747 en el sistema de compostura de turbinas en el tiempo t. y de acuerdo con 3.21. de 2 mil cuando está en tierra y de 5 mil cuando está en mantenimiento.017 aviones 1 Mientras que el número promedio de aviones en el sistema (esperando en la cola y en el taller) es: W =0.175 de año 8 O sea casi 64 días: ¿Qué representa esto en costo? Suponga que el costo de 1 hora de vuelo de un 747 es de 10 mil pesos.57463 )=0.05 de año 8(1−0. El costo de la espera para componer las fallas de la turbina de un avión es.17+ ( 1−0.57463) O sea aproximadamente 18 días.60 aviones El tiempo promedio de espera en la cola para recibir servicio es: T s= 0.17 =0. la suma de los siguientes costos: a) Tiempo muerto del avión mientras espera y le reparan la turbina.11 8 4! P2 ( t ) = ¿ ( 4−2 ) ! El número promedio de aviones de aviones que esperan servicio en 1 año es de: L=4− ( 1+8 ) ( 1−0.57463 )=. (Tw).05+ =0. 14 horas por día y por cada mil horas de vuelo se les proporcionaría mantenimiento preventivo (independiente de las composturas de falla de turbina) que dura en promedio 100 horas. Se supone que estos aviones vuelan.57463=0.1 2 ¿ 0. Se supone que el sueldo mensual del personal especializado de reparación es de 200 mil pesos y el costo mensual del equipo de reparación (luz.. en promedio. por lo tanto. . seguros. depreciación.) es de 125 mil pesos. etc. mientras que el tiempo promedio en el sistema (espera más servicio) es de: 1 T w =0. en el sistema de compostura de turbinas. Si en un año año existen 8760 horas. el costo del tiempo muerto de la tripulación asociado a la compostura de una turbina será: . el costo asociado a este tiempo muerto es: (59.b) Tiempo muerto de la tripulación cuando el avión se encuentra en el taller por compostura de turbinas.48 año−avion millones de pesos avion El sueldo mensual de una tripulación es de 400 mil pesos (4. es decir Tw – Ts.9 millones de pesos año−avion Si un avión de este tipo pasa T w = 0.175 años) = 10. Como la unidad de tiempo es un año. En un año (365 días) el avión vuela: 365 dias horas horas ∗14 =5110 año dias año Por lo que recibe 5 mantenimientos preventivos de 100 horas cada uno.9 millones de pesos ) (0.8 millones de pesos por año). lo anterior quiere decir que: 8760 – (5110 + 500) = 3150 horas año Estará parado el avión en tierra. se deben convertir todos los costos unitarios a costo por año. horas para un total de 500 de servicio de mantenimiento.175 de año (64 días). c) Tiempo de reparación de la turbina (sin incluir refacciones). Entonces el costo total anual para cada avión será de: (5110 horas de vuelo pesos ∗10. por lo tanto.000 año hora de vuelo ) + (500 horas de mantenimiento año * 5000 pesos hora de mantenimiento ) + (3150 horas en tierra ∗¿ año 2000 pesos hora en tierra ) = 59. Por lo tanto.49 ) millones de pesos avion El costo total de tener a un avión en el sistema de compostura es: (10.05 )( 3.175 años ) 4.21 ( millones de pesos año 4 aviones ( 0.8 ) = aviones numero de año ¿ 0.58 millones de pesos avion Este resultado motiva las siguientes preguntas: ¿Conviene aumentar el equipo especializado de reparación de turbinas a 2 o 3? Si es así.9 año−avion = ( 0. el costo del tiempo de reparación por avión.9 ) ( ¿ 0.175−0.49) = 11. ¿En cuánto disminuiría el costo de la espera por avión en el sistema? ¿A cuánto aumenta el costo del equipo de reparación? ¿Cuál es un buen punto de equilibrio? . sin tomar en cuenta refacciones es: millones de pesos ( T w−T s ) año 3.8 ) millones de pesos avion La nómina mensual del equipo de reparación más sus costos mensuales suman 325 mil pesos (3.48 + 0.9 millones de pesos por año).21 + 0.T w ( 4.
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