Ejercicio de Diseminacion y Tanques

Bloque IV.Ecuaciones Diferenciales de primer orden Tema 3 Aplicaciones de E. D. de primer orden Ejercicios resueltos IV.3-1 Una solución de salmuera de sal fluye a razón constante de 6L/min. hacia el interior de un depósito que inicialmente contiene 50L de solución de salmuera en la cual se disolvieron 5kg de sal. La solución contenida en el depósito se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior con la misma rapidez. Si la concentración de sal en la salmuera que entra en el depósito es de 0.5kg/L, determinar la cantidad de sal presente en el depósito al cabo de t minutos. ¿Cuándo alcanzará la concentración de sal en el depósito el valor de 0.3kg/L? Solución x (t) = Kg. de sal dentro del depósito en el instante t 6L/min dx xü = 6 * 0.5 - 6 ïïï dt 50  ïï x (0) = 5 ïï 50L 0.5kg/L x(0) = 5kg 6L/min dx 75 - 3x dx dt 1 t =  =  - ln 75 - 3x = +C dt 25 75 - 3x 25 3 25 ln 75 - 3x = - 3t -3t 25 -3t 25 + C  75 - 3x = Ce  x (t ) = 25 + Ce 25 x (0) = 5  5 = 25 + C  C = -20  x (t ) = 25 - 20e -3t 25 Así, la concentración será igual a: C (t ) = x (t ) 1 2 -3t 25 = - e 50 2 5 0.3 = 0.5 - 0.4e G3w -3t 25  -0.2 = -0.4e Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA -3t 25  0.5 = e -3t 25 t = 25 ln 2 3 Bloque IV. Ecuaciones Diferenciales de primer orden. Tema 3. Aplicaciones © Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Ejercicios resueltos 1 Ecuaciones Diferenciales de primer orden.1 = 0. Si la concentración de sal en la salmuera que entra en el depósito es de 0.1kg/L? Solución x (t) = Kg. determinar la cantidad de sal presente en el depósito al cabo de t minutos.IV.8  m (t ) = e 100+t = (100 + t ) + dt 100 + t (100 + t ) x (t ) = 0.2 (100 + t ) - 2 * 107 2 * 107 x (t ) ( ) 0.2 .1 = 4 4  (100 + t ) = 2 * 10  t = 100 ( 2 . Tema 3.3 dt 100 + t ï ïï x (0) = 0 ïï 0.2  C t = = 3 4 (100 + t ) (100 + t ) 100 + t 0. La solución contenida en el depósito se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior a razón de 3L/min.2kg/L.1) (100 + t ) (100 + t ) Matemáticas.3-2 Una solución de salmuera de sal fluye a razón constante de 4L/min. hacia el interior de un depósito que inicialmente contiene 100L de agua.2kg/L 100L x(0) = 0kg 3L/min 3 dt dx 3 ò 3 x = 0. Primer curso del Grado de CTA Bloque IV.2 - G3w 2 * 107 2 * 107 4 8 4  0.8 ò (100 + t ) dt + C = 0. ¿En qué momento la concentración de sal contenida en el depósito será de 0.Universidad Zaragoza Ejercicios resueltos 2 . de sal dentro del depósito en el instante t 4L/min dx x ïü ï = 4 * 0.8 3 3 4 (100 + t ) +C 4 x (t ) = 0.2 (100 + t ) + C 3 (100 + t ) x (0) = 0  0 = 20 + C  C = -20 * 1003 = -2 * 107 3 100 x (t ) = 0. Aplicaciones © Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco MATEMÁTICA APLICADA. 000 .t ) x = 10 ò (100 .x 100 100 1.t ) dt + C = -2 -2 10 +C 100 . Primer curso del Grado de CTA Bloque IV.000e -t 100 En el otro caso: 5L/min dx x ïüï = 5 * 2 .5t ï ïï x (0) = 0 ïï 500L 2g/L x(0) = 0 10L/min 2 dt dx 2 2   x  10   t   e 100t  100  t  dt 100  t (100 .1  x (t ) = 10 (100 . Solución x (t) = gramos de sal en el interior en el instante t dx x ü ï ï = 5*2-5 dt 500 ï  ï ï x (0) = 0 ï ï  5L/min 500L 2g/L x(0) = 0 5L/min dx dx dt t 1. Resolver este mismo problema suponiendo que la solución se extrae con una rapidez de 10L/min. Hallar el número de gramos de sal que hay en el depósito en un instante cualquiera. Una salmuera que contiene 2 gramos de sal por litro se bombea al interior a razón de 5L/min.000 .1.000 + 10.t ) G3w Matemáticas..Universidad Zaragoza Ejercicios resueltos 3 .000 . Ecuaciones Diferenciales de primer orden.000 + Ce -t 100 x (0) = 0  0 = 1.t 2 x (t ) = 10 (100 . Aplicaciones © Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco MATEMÁTICA APLICADA.000 .t ) + C (100 .1 (100 .10 dt 500 .000C  C = -0. y calcular cuánto tiempo pasará para que se vacíe el depósito.000 . la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia fuera con la misma rapidez.000 + C  C = -1.3-3 Un gran depósito está lleno con 500 litros de agua pura. Tema 3.t ) 2 x (0) = 0  0 = 1.000  x (t ) = 1.x = +C dt 100 1.t ) .IV.x =  =  ln 1..0.x (t ) = Ce -t 100  x (t ) = 1. 000 = 1ï x (0) = ï ï 100 ï  10.ln 5 .000 = 1 9 t = 2..002% de cloro es igual a 0.000 50 100.9731  0.000 ln 9 = 4.002% de cloro? Solución x (t) = litros de cloro dentro de la alberca en el instante t 5L/min 10-3 dx x ü ï ï = 5* -5 ï 100 10. IV.9  x (t ) = 0.01 * 10. Empezando en t = 0. 45 minutos = 73. Tema 3.50x dx dt 1 t =  =  . y el agua de la alberca fluye hacia el exterior a la misma velocidad.1 + 0. Aplicaciones © Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco MATEMÁTICA APLICADA. esto es.2 litros.001% 0.Universidad Zaragoza Ejercicios resueltos 4 .Para que se vacíe el depósito: V(t) = 500 – 5t = 0.3-4 Una alberca cuyo volumen es de 10.50x 100.1 + C  C = 0.9e -t 2.000 + C  5 .000 x (0) = 1  1 = 0.1 + 0. ¿Cuál es el porcentaje de cloro en la alberca al cabo de 1 hora? ¿Cuándo tendrá el agua de la alberca 0. que se alcanzará cuando: 0.000 -t 2.000 ln 5 . Ecuaciones Diferenciales de primer orden.000 ï dt  ï 0.01% 5L/min dx 5 .9e -t 2.1 + Ce 2.000 Al cabo de una hora se tiene: x (60) = 0.50x = - t -t 2.000 5 .50x = +C dt 100. t = 100 minutos.24 horas G3w Matemáticas. desde la ciudad se bombea agua que contiene 0.000L contiene agua con el 0.394.000L 0.2 = 0.001% de cloro.000 e -t 2.01% de cloro.50x = Ce  x (t ) = 0. Primer curso del Grado de CTA Bloque IV.0097% El 0. hacia el interior de la alberca a razón de 5L/min. 2 .1 gr./cm3? Solución x (t) = gramos de medicamento en el instante t dx x üï ï = 3 ⋅ 0. Tema 3.01%: x(t) =768*10-4. 04ï ï ï 100  768m3 0 3% 100m3/min. Ecuaciones Diferenciales de primer orden.Universidad Zaragoza Ejercicios resueltos 5 . 0768 = 23. .3 125 ï dt ïï x (0) = 0 ïï G3w Matemáticas.2 gr. y sale de él a la misma velocidad.01% de monóxido de carbono? Solución x (t) = m3 de monóxido de carbono en el instante t V = 12x8x8=768m3 100m3/min. Si el aire del cuarto sale al exterior a través de una abertura a la misma velocidad. 04  x (t ) = 23. ¿cuándo tendrá el aire del interior del cuarto 0. Así pues. Empezando en t = 0. dx 100 25 -25t 192 dt  ln x = t + C  x (t ) = Ce =x 768 192 x (0) = 23. ü dx x ï ï = -100 ï dt 768 ï  ï 3 x (0) = * 768 = 23. 04  C = 23. 805 minutos 300 IV. 04e -25t 192 Calculamos el 0. ¿cuál es la concentración del medicamento en el órgano en el instante t si inicialmente no había vestigio alguno del medicamento? ¿Cuándo la concentración del medicamento en el órgano será de 0.IV./cm3. Aplicaciones © Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco MATEMÁTICA APLICADA. Si la concentración del medicamento en la sangre que entra en el órgano es de 0.3-5 El aire del interior de un pequeño cuarto con dimensiones de 12 por 8 por 8 metros contiene 3% de monóxido de carbono. el tiempo transcurrido será: 0. hacia el interior del cuarto a razón de 100m3/min. Primer curso del Grado de CTA Bloque IV. 04e -25t 192 e -25t 192 = 1  t = 43. El órgano tiene un volumen líquido de 125 cm3.3-6 La corriente sanguínea lleva un medicamento hacia el interior de un órgano a razón de 3 cm3/seg. se sopla aire fresco que no contiene monóxido de carbono. Ecuaciones Diferenciales de primer orden.ln 75 .1  C (t ) = 12. 125 25 3 25 IV.3x = - 3t 3t 3t + C  75 . 5 miligramos c) x (t ) = 25  25 = 50e -0. Si inicialmente hay 50 miligramos de material presente y después de dos horas se observa que el material ha perdido el 10% de su masa original.3x 1 = 0.25e C (t ) = 0. hallar: a) una expresión para la masa de material presente en un momento t b) la masa después de cuatro horas c) el tiempo para el cual el material se ha desintegrado en la mitad de su masa inicial.Universidad Zaragoza Ejercicios resueltos 6 .3x = +C dt 125 125 75 .dx x dx dt t 75 .0526803⋅4 = 40. 5 = 25e - 3t 125 - - 3t 125 3t x (t ) x (t ) x (t ) =  0. Tema 3.3 =  =  . G3w Matemáticas.0526803t  e -0. 5 125 12.25e 125 125 125 V (t ) 3t 12. 5 = 25 . 5 ln = ln t == 28.0526803t = 0.0526803t b) x (4) = 50e -0.3x 125 3 125 ln 75 .1576 horas. Solución a) x (t) = miligramos de material en el instante t ü dx = -kx (t )ïïï dx dt = -kdt  ln (x (t )) = -kt + C  x (t ) = Ce -kt  ï x (t ) x (0) = 50 ïï ï üï ü 50 = C x (0) = 50ï ï ï  45 = 50e -2k  -2k = ln 45  k = 0. 5  t = 13. 6 . Primer curso del Grado de CTA Bloque IV.3x = Ce 125  x (t ) = 25 + Ce 125 125 x (0) = 0  0 = 25 + C  C = -25  x (t ) = 25 . Aplicaciones © Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco MATEMÁTICA APLICADA.0526803  x (2) = 45ïï 45 = Ce -2k ïï 50 ï  ï x (t ) = 50e -0.8811 segundos.3-7 Se sabe que un cierto material radioactivo se desintegra proporcionalmente a la cantidad presente.1 =  x (t ) = 12. 5ïï 2. ¿cuánto tardará en deshacerse el cubo de hielo? Solución A (t) = área de superficie en el instante t V (t) = volumen en el instante t l (t) = lado en el instante t dV (t ) 3 2 dl (t ) ü ïï ü dV (t ) ï = kA (t )ïï V (t ) = (l (t ))  dt = 3 (l (t )) dt ïï dt   ï dA (t ) dl (t )ï 2 ï ï l (0) = 3 ï ï  A (t ) = 6 (l (t ))  dt = 12 (l (t )) dt ïïï 2 3 (l (t )) dl (t ) dl (t ) 2 = k 6 (l (t ))  = 2k  dl (t ) = 2kdt  l (t ) = 2kt + C dt dt ü l (0) = 3 ïü 3 =C ï ï ï    2.000 habitantes. Ecuaciones Diferenciales de primer orden.071 habitantes IV.5 cms. 5 = 2k + 3  k = -0. 06 » 7. Aplicaciones © Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco MATEMÁTICA APLICADA.000 = x 0e 3⋅0. Al cabo de un minuto su lado es de 2. 5 = 2k + C ï ï  ï G3w Matemáticas.25  l (t ) = -0.071.000 = Ce 3k ïï ï  ï x (0) = x 0 20.000ïï 20. Solución x (t) = población en el instante t ü dx = kx (t )ïïï dx dt = kdt  ln (x (t )) = kt + C  x (t ) = Ce kt  ï x (t ) x (0) = x 0 ïï ï üï ü x0 = C ï ïï ï ï ï ï 2k x (2) = 2x 0 ï  2x 0 = Ce 2k ï  2 = e  2k = ln 2  k = 0. Suponiendo que se deshace a un ritmo proporcional al área de su superficie (constante = K). Tema 3.346574 ïï ïï x (3) = 20.3-9 Un camarero introduce en un vaso de "cuba-libre" un cubito de hielo de 3 cms de lado. 5t + 3 l (1) = 2. Si después de dos años la población se ha duplicado y después de tres años la población es de 20.346574  x 0 = 7.3-8 Se sabe que la población de cierto país aumenta de una forma proporcional al número de habitantes actuales.Universidad Zaragoza Ejercicios resueltos 7 . hallar el número de habitantes que había inicialmente en el país.IV. Primer curso del Grado de CTA Bloque IV. 3-11 En una población de 5.000) t2 = ln (1. Ecuaciones Diferenciales de primer orden.2 ⋅ P (t ) ⋅ (5000 . con una constante de proporcionalidad 0.Universidad Zaragoza Ejercicios resueltos 8 . Se supone que la rapidez con la que el virus se propaga es proporcional al producto del nº de animales contagiados y el tiempo transcurrido.000 = e 0.14391⋅t  8k  x (4) = 10ïï 10 = Ce ïï 8 ï ï 2 x (t ) = 1.000 habitantes.P (t ))ïï dt  ïï P (0) = 10 ïï G3w Matemáticas. 5t + 3  t = 6 minutos IV. Escribe y resuelve la ecuación diferencial correspondiente.000) » 48  t = 6.14391⋅t  0. Aplicaciones © Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco MATEMÁTICA APLICADA.3-10 En una explotación ganadera de 1. Hallar el momento en el cual todos los animales han sido contagiados si se observa que después de 4 días hay 10 anímales con el virus. (Modelo de Verhulst o ecuación logística) Solución P(t) = población en el instante t P(0) = 10 üï dP (t ) = 0.000 cabezas de ganado se detecta un animal contagiado de un virus.2.000  1. diez de ellos tienen una enfermedad contagiosa. 0.14391 ⋅ t 2 = ln (1. Solución x(t) = número de animales contagiados en el instante t x(0) = 1 x(4) = 10 dx (t ) dx = k ⋅ x (t ) ⋅ t  = ktdt  dt x ò dx = x ò ktdt 2 t k t2 ln (x ) = k + C  x (t ) = Ce 2 2 üï x (0) = 1 ïü 1 = C 2 1 ï ï  10 = e 8k  k = ln 10 » 0. 9282 » 7 días. Tema 3.14391 IV.l (t ) = 0  0 = -0. Primer curso del Grado de CTA Bloque IV. La velocidad a que se propaga la enfermedad es proporcional al producto de personas contagiadas por las no contagiadas todavía.28782  x (t ) = e 0. T (t ) .000t  1 + C = 500  C = 499  P (t ) = 1.2t + C 1 P (5.3-12 Al sacar un pastel del horno.T (t )]  = kdt dt 70 . Tema 3.T (t ) = Ce -kt  T (t ) = 70 + Ce -kt ü 300 = 70 + C T (0) = 300ïü ï ï ï  C = 230  130 = 230e -4k  k = 0. Tres minutos después.000 .000 .000 ⋅ e 1.000 ln P 5.P ) 5. Solución T(t) = temperatura en el instante t G3w Matemáticas. IV. Si después de 5 minutos la temperatura del cuerpo es de 60º F.2 ⋅ dt  (lnP .142636t T (t ) = 70  70 = 70 + 230e -0.P e +C P (0) = 10  10 = 5.142636t  230e -0.T (t )] = k [70 . Ecuaciones Diferenciales de primer orden. ¿Cuánto tiempo tardará en enfriarse hasta una temperatura ambiente de 70 grados F? Solución T(t) = temperatura en el instante t T(0) = 300 T(3) = 200 dT (t ) dT (t ) = k [M (t ) .000 5.000t = 5. cuando t tienda a infinito.3-13 Un cuerpo a una temperatura de 50º F se coloca al aire libre donde la temperatura es de 100º F.142636t = 0 . Aplicaciones © Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco MATEMÁTICA APLICADA. encontrar: a) tiempo que tardará en tener la temperatura de 75º F b) la temperatura después de 20 minutos.P )) = 0. su temperatura es de 200 grados F.2 ⋅ t + C 2  P (t ) = 1.000 ⋅ 0.ln (70 .Universidad Zaragoza Ejercicios resueltos 9 .000t 5.000 .000 ⋅ e 1. Primer curso del Grado de CTA Bloque IV.142636  T (4) = 200ïï 200 = 70 + Ce -4k ïï ï ï  T (t ) = 70 + 230e -0.dP (t ) 1 = 0.T (t )) = kt + C  70 . su temperatura es de 300 grados F.ln (5.000t 1 +C e + 499 IV. 3-14 Siendo la temperatura del aire de 20ºC.50e -0.0693147  -10k  T (10) = 60ï 60 = 20 + Ce ï ï ï ï ï T (t ) = 20 + 80e -0.5314 minutos.0446287t  50e -0.0446287*20 = 79.0446287  -5 k  T (5) = 60ïï 60 = 100 + Ce ïï ï ï  T (t ) = 100 . Halla la temperatura después de 40 minutos.T(0) = 50 T(5) = 60 dT (t ) dT (t ) = k [M (t ) .T (t ) = Ce -kt  T (t ) = 20 + Ce -kt T (0) = 100ïü 100 = 20 + C ü ï ï ï  C = 80  40 = 80e -10k  k = 0. en 10 minutos.0693147*40 = 25 G3w Matemáticas.Universidad Zaragoza Ejercicios resueltos 10 .T (t )) = kt + C  20 . Primer curso del Grado de CTA Bloque IV.T (t )]  = kdt dt 100 .T (t )) = kt + C  100 .T (t )] = k [20 .0446287t T (t ) = 75  75 = 100 .T (t )]  = kdt dt 20 .0446287t = 25  t = 15.T (t )] = k [100 .ln (100 .T (t ) = Ce -kt  T (t ) = 100 + Ce -kt ü 50 = 100 + C T (0) = 50üï ï ï ï  C = -50  -40 = -50e -5k  k = 0. 52 IV.T (t ) . Solución T(t) = temperatura en el instante t T(0) = 100 T(10) = 60 dT (t ) dT (t ) = k [M (t ) . Tema 3. se enfría una sustancia desde 100ºC hasta 60º C.T (t ) . Aplicaciones © Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco MATEMÁTICA APLICADA. Ecuaciones Diferenciales de primer orden.ln (20 . T (20) = 100 .0693147t T (40) = 20 + 80e -0.50e -0.50e -0. 905t 2 + C   0 = C  x (t ) = 4. 81t  ï dt ï ( ) v 0 =0 ï ï m x (t ) = ò t2 x (0)=0 9. 81 + C = 4. Ecuaciones Diferenciales de primer orden. 5  30. 905t 2 2 x (t ) = 30. Primer curso del Grado de CTA Bloque IV. 49362 G3w Matemáticas.3-16 Un cuerpo de masa 73 Kg.IV. y después de 40 minutos la temperatura del cuerpo es de 20º F.21814  t = 2. 81  v (t ) = 9. 81tdt = 9. Si después de 20 minutos la temperatura del cuerpo es 40º F. Asumiendo que no hay resistencia del aire hallar: a) una expresión para la velocidad del cuerpo en un momento t b) una expresión para la posición del cuerpo en un momento t c) el tiempo requerido por el cuerpo para llegar al suelo. se suelta a una altura de 30.ln (T (t )) = kt + C  T (t ) = Ce -kt üï T (0) = T0 ïüï T0 = C ïï ïï ï T (20) = 40ï  40 = Ce -20k ï  2 = e 20k  k = 0. Tema 3. 5 = 4. hallar la temperatura inicial de éste. Solución ü dv = mg ïïï dv v (0)=0 dt = 9. 905t 2  t 2 = 6.T (t )] = k [-T (t )]  = kdt dt -T (t ) .5..3-15 Un cuerpo a una temperatura desconocida se pone en un refrigerador a una temperatura constante de 0º F. Solución T(t) = temperatura en el instante t T(0) = T0 T(20) = 40 T(40) = 20 dT (t ) dT (t ) = k [M (t ) . 81t + C   0 = C  v (t ) = 9.Universidad Zaragoza Ejercicios resueltos 11 .0346574 ïï ïï T (40) = 20ïï 20 = Ce -40k ïï ï ï C = 40e 20k = 80  T0 = 80 IV. Aplicaciones © Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco MATEMÁTICA APLICADA. Universidad Zaragoza Ejercicios resueltos 12 . d) Una expresión para la posición del cuerpo en un momento t.000 metros. 05v  = 2. 4525dt  ï 9.3-17 Un cuerpo de masa m se lanza verticalmente en el aire a una velocidad inicial de v0 . 81 (9. Aplicaciones © Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco MATEMÁTICA APLICADA. 905 çç 0 ÷÷ + v 0 0 = v0 = 2 2 v0 çè 9.81 m/seg2) Solución ü dv = mg . Encontrar las ecuaciones de la velocidad y la posición para cualquier instante. En su trayectoria encuentra una fuerza de rozamiento producida por el viento proporcional a la velocidad que lleva en cada instante. Hallar: a) La ecuación del movimiento. 81) 2 4. 81t + v 0 v (t ) = 0  0 = -9. Primer curso del Grado de CTA Bloque IV. 905t 2 + v0t 2 æ v ö æ v ö (-4. 905 2 v x (tm )  x çç 0 ÷÷ = -4. 81  v (t ) = -9. Solución ü dv = -mg ïïï dv dt = -9. 81t + C  ï dt ïï v (0) = v0 ï m v (0) = v0  v 0 = C  v (t ) = -9. con constante de proporcionalidad igual a 0. 81t + v )dt = -4. 05 v ïï v (0) = 0 ï m G3w Matemáticas.IV. 05v ïïï 4 dv dv dt = 4 . Ecuaciones Diferenciales de primer orden. c) El momento tm en el cual llega el cuerpo a su altura máxima. 81t + v 0  tm = x (t ) = ò (-9.05. 81 2 + v0t + C x (0) = 0  0 = C  x (t ) = -4. b) Una expresión para la velocidad del cuerpo en un momento t. 81) IV. 81) (9. 81 dt 4 0. 905t 0 v0 9. El cuerpo no encuentra resistencia del aire. Tema 3. 905 + 9.0. 81÷ø çè 9. ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que alcanza una velocidad de 73 m/seg? ¿A qué altura se encuentra del suelo en ese instante? (Considerar la aceleración de la gravedad como g = 9.0. e) La altura máxima alcanzada por el cuerpo. 81÷ø 9.3-18 Un objeto de 4 N de peso se deja caer por su propio peso desde una altura de 1. 396 x (t ) = 80t + 652.122625t  0 = 80 + C  C = -80 v (t ) = 80 .1v ln 9.0. 56475 .122625t x (t ) = ò (80 . 56475 .24. 05v = -0.- 1 ln 4 . encontrar la ecuación del movimiento del objeto. Tema 3.0. 396 + C  C = -652.Universidad Zaragoza Ejercicios resueltos 13 . 6475 + C ⋅ e -0. x (19. inicialmente en reposo.1v = Ce -0. Ecuaciones Diferenciales de primer orden. 05 v (0)=0 4 . 8664 segundos.10v ïïï dv dv dt 40 = 981 . 525 .122625t )dt = 80t + 652.mg .80 ⋅ e -0. y se sumerge. Mientras la gravedad atrae al objeto hacia abajo. Si se supone que la resistencia del agua ejerce una fuerza sobre el objeto que es proporcional a la velocidad del propio objeto. Primer curso del Grado de CTA Bloque IV.1v   100 ï dt dt ïï v (0) = 0 ï m dv = dt  -10 ln 9.. se deja caer al agua desde un barco..10v  = 9.3-19 Un objeto con masa de 100 Kg. Aplicaciones © Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco MATEMÁTICA APLICADA.1t + C 9.0. 396 v (t ) = 73  73 = 80 . 56475 .0. 001 » 6 metros del suelo.652. una fuerza de boyanza igual a 1/40 del peso del objeto lo empuja hacia arriba (peso = mg). 396 ⋅ e -0. 05v = C ⋅ e -0.122625t + C x (0) = 0  0 = 652. 396 ⋅ e-0.1v = t + C 9. 4525t + C  ln 4 . 56475 .122625t  80 ⋅ e -0. 6475 + C  C = -95. con constante de proporcionalidad igual a 10 Kg. 001  1.80 ⋅ e -0.0.80 ⋅ e -0. IV.994. 8664) = 994./seg.000 .1t  v (t ) = 95.0. 6475 G3w Matemáticas.0.0. ¿Cuántos segundos transcurrirán para que la velocidad del objeto sea de 70 m/seg.? Solución ü dv 1 = mg . 56475 .122625t = 7  t = 19.122625t  v (t ) = 80 + C ⋅ e -0.1v = -0. 05v = 2.1t v (0) = 0  0 = 95.122625t + C 0.122625t . 26815  -0.0203588 38 T (t ) = 32 + 38e -0. Tema 3.1622 segundos IV.3-20 Un vino blanco a temperatura ambiente de 70º F se refrigera en hielo (32º F).1t v (t ) = 70  70 = 95. 38 Bloque IV.1t = 0. Si transcurren 15 minutos para que el vino se enfríe a 60º F.1t  95.0203588t T (t ) = 56  56 = 32 + 38e -0.T (t ) = Ce -kt  T (t ) = 32 + Ce -kt üï 70 = 32 + C T (0) = 70 ïü ï ï  C = 38  -15k  T (15) = 60ïï 60 = 32 + Ce ïï ï ï 60 = 32 + 38e -15k  28 = e -15k  k = 0. 6475 ⋅ e -0.v (t ) = 95. 6475 e -0.5717 minutos.0203588t = G3w Matemáticas. 6475 . 6475 .26815) = -1. Ecuaciones Diferenciales de primer orden.T (t )] = k [ 32 .T (t )]  = kdt dt 32 . Aplicaciones © Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco MATEMÁTICA APLICADA.T (t )) = kt + C  32 . 6475 ⋅ e -0.1t = ln (0.ln (32 .1t = 25.95. 6475 ⋅ e -0.95. ¿cuánto tiempo transcurrirá para que el vino alcance la temperatura de 56º F? Solución T(t) = temperatura en el instante t T(0) = 70 T(15) = 60 dT (t ) dT (t ) = k [M (t ) .Universidad Zaragoza Ejercicios resueltos 14 . Primer curso del Grado de CTA 24  t = 22.T (t ) . 31622  t = 13.0203588t  e -0.