Matemáticas IIejer-plos 1 Arquímedes de Siracusa ( 287 a. C. – 212 a. C.) fue físico, ingeniero, inventor, astrónomo y matemático. Es considerado uno de los científicos más importantes de la antigüedad clásica griega. Entre sus avances en física se encuentran sus fundamentos en hidrostática, estática y la explicación del principio de la palanca. Más específicamente, en su obra Sobre el equilibrio de los planos, Arquímedes explica las leyes de la palanca y usa los principios derivados para calcular las áreas y los centros de gravedad de varias figuras geométricas, incluyendo triángulos, paralelogramos y parábolas. El manuscrito más antiguo que se conserva con una mención a la palanca forma parte de la Colección matemática de Pappus de Alejandría, una obra en ocho volúmenes que se estima fue escrita alrededor del año 340; allí aparece la famosa cita de Arquímedes: Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo. La imagen de portada corresponde a un grabado publicado en Londres en 1824, en la revista Mechanics Magazine y hace referencia a la referida frase. MATEMÁTICAS II - UNIMET 2 EJER - PLOS 1 INTEGRALES INDEFINIDAS SUMAS DE RIEMANN INTEGRALES DEFINIDAS ► INTEGRALES INDEFINIDAS◄ EJEMPLO - A Determine la antiderivada más general de la función definida por: F(x) 2- x y verifique que el x2 2 resultado obtenido es correcto. SOLUCIÓN Sea: G(x) G(x) Sea: u x2 2 G(x) 2- x dx x2 2 2 x x 2 2 x 2 2 dx 2 1 du x dx 2 2 x arctg 2 2 La antiderivada más general de F(x) es: MATEMÁTICAS II - UNIMET 1 dx x 2 2 x dx x 2 2 1 1 2 x 1 du arctg - Ln u C u 2 2 2 2 G(x) 2 x 1 arctg - Ln x 2 2 C 2 2 2 3 Para verificar el resultado considero la derivada de G(x), así: G(x) 2 2 1 x 1 2 G(x) 1 2 2 2 x2 2 - - 1 1 2x 0 2 x2 2 1 x2 1 2 x 2-x F(x) x 2 2 x2 MATEMÁTICAS II - UNIMET 2 - x x2 2 1 2 x2 2 - x x2 2 ¡ y queda verificado ¡ 4 Ejercicio 1 7 Sen(x) y verifique que el Cos2 (x) Determine la antiderivada más general de la función definida por: F(x) resultado obtenido es correcto. Ejercicio 2 Calcular las siguientes integrales 2.1. 2.3. 2.5. 2.7. 2.9. 2.11. 2.13. 2.15. 2.17. 2.19. 3 x 3 2 1 e 3x dx 3x 2.4. dx 2.6. dx 2.8. dx 2.10. e 1 2 x 3 e e 2.2. dx x 1 x 4x 4x 2 4 x 4 x dx x 4 Ln(x) 2 Lnx3 dx 8 x 2Lnx 5 2.12. 2.14. dx 5e 6x 3 Sen(x) 2 3 Cos (x) 2x 2 x 2 2.16. dx dx MATEMÁTICAS II - UNIMET 2.18. 2.20. 1 3x 7 5e x dx 5 4x dx 3 1 ln x 2 x 9 ln x dx 2 Sen x cosx 6 7 3 Sen x 2x 5 2 4x 3 x 14 e dx dx 5 x 3 dx Tg(x) dx 2 Cos (x) 3 Sen (2x) Cos(2x) dx 1 - 4x dx 3x 2 3 tg(x) 2 1 sen (x) dx 5 44. 2. 2. dx 2.37.31.38.33. x3 dx x2 1 X 2X 3 dx x x 3 dx x x 5 dx ex dx e x 1 Ln e x 1 11 10 4 Cos(x) Sen(x) e 5 11 x Sen tg bx a bx a 4 x 2 5 dx 2x 3 2 Cos x dx x 3x Ln2 x 2 3x dx 3 Sen Sen 2 ( x ) dx 2 tg (bx) 1 a tg(bx) 3 Sec(x) sen 2 (x) 1 dx Sen(x)dx x11 7 x 4 dx 6 .35.29. x Ln(x)dx 2 4 Ln(x) MATEMÁTICAS II .43.41. arctg 2 dx x 2 2. 2.26. 3 x 8x 6 1 1 Sen(x) 6 dx Sen(x) Cos(x) 2 dx x 2.25. 2.22. 2.32.40.39.UNIMET 2. 2. Sec (x) Tg(x)dx 2.24. x 4 2 3 x 2x 4 x 3 8 4 3x 2 dx 2. 3 dx 2. 10 dx 2. 2.36. 2.23.2. 2.42.28.27.21. 2. 2.30. 8 x 4 3 2 Sen ( 2x) Cos( 2x) dx 1 x 5 1 1 x 2 dx Sec(x) Tg(x) 10 Sec(x) dx 2.34. 2. 2. 2. 3 3 2 C 2 4 1 2 C C 9 2 Conclusión: La ecuación de la curva pedida es: MATEMÁTICAS II .2 y tal que la pendiente de la recta tangente en el punto (x.y) viene dada por: Ln(x 3) xy 3x 3y 9 SOLUCIÓN Sea y = F(x) la ecuación de la curva en cuestión. así: 22 32 2 Ln e .2 .UNIMET y2 3y 2 Ln x 3 2 2 9 2 7 .B Determina la ecuación de la curva que contiene al punto e 3. dy De acuerdo al enunciado se cumple que: dx Ln(x 3) xy 3x 3y 9 Separando variables e integrando en la ecuación diferencial queda: dy Ln(x 3) dx xy 3x 3y 9 dy Ln(x 3) dx y 3 x 3y 3 Sea: u Ln x 3 du y2 u2 3y 2 2 y 3 dy 1 dx x 3 C dy Ln(x 3) dx y 3 x 3 Ln(x 3) dx x 3 y dy 3 y2 3y 2 dy u du Ln x 3 2 C 2 Para calcular “C” considero el punto e 3.► INTEGRALES INDEFINIDAS Y PROBLEMAS DE VALOR INICIAL◄ EJEMPLO . 3. Ejercicio 5 Hallar una función g(x) tal que. 2 xy y dx 2 3. y(1) 2 Ejercicio 4 La gráfica de f(x) contiene al punto (0.2x e 2x . Ejercicio 3 Resolver los siguientes problemas de valor inicial: dy 3.) y la pendiente de la recta tangente a dicha gráfica en el punto 1 (x. x para x= e. la curva correspondiente a dicha función corte al eje “y” en 2 y la pendiente de la recta tangente en cualquier punto esté dada por la expresión: 1 e 2x 1 MATEMÁTICAS II .1.5.6. y = 1 dy 3. x dy dx dx 3x2 4 e x y 2 y 2 xy 2y 2 para : x= 0.UNIMET 8 .2. y( 2) 4 para x= 0. dx xy y 3. y = 1/e dy dx Ln( x 3) xy 3 x 3 y 9 . Encuentra una ecuación para la curva en mención. f(x)) es e . dy dx xy 5x y 5 xy 3x 3y 9 . y = e2 3. y = 1 para x= 1. dy xy 3x y 3 xy 2x 4y 8 3.4. y) viene dada por y x 4e 2 Ejercicio 10 Encuentra la ecuación de la curva que contiene al punto (0. la pendiente de la recta .1) y tal que la pendiente de la recta tangente en el punto (x.UNIMET y Ln y 16 2x 2 9 .y) viene dada por 6 3y 2 x Ln 3 x Ejercicio 9 Encuentra la ecuación de la curva que contiene al punto (0.e) y tal que la pendiente de la recta tangente en el punto (x.y) viene dada por MATEMÁTICAS II . 2 y tal que la pendiente de la recta tangente en el punto (x. e 2 2 Encuentra la ecuación de la curva que contiene al punto tangente en el punto (x. 2 y tal que la pendiente de la recta tangente en el punto (x. Ejercicio 6 7 y tal que.y) viene dada por 10 5y2 x Ln 4 x Ejercicio 8 Encuentra la ecuación de la curva que contiene al punto e.y) viene dada por: y 2 Ln 3 y2 7 4x2 Ejercicio 7 Determina la ecuación de la curva que contiene al punto e. 5 horas. Obtén una expresión para “V(t)” mediante la antiderivada de dV dt dV dt . Se quiere que establezcas cuánto líquido habrá en el tanque 5 horas después de iniciado el escape. SOLUCIÓN Parte (a) Como el agua escapa del tanque. la variable “V(t)” disminuye con el tiempo y en consecuencia: dV 0 dt Por otro lado: 25 t 2 0 t 0. c.5 Por lo tanto: dV 25 t 2 dt litros hora (1) Esta expresión responde a lo pedido sin embargo aprovecharemos el ejemplo para recordar o establecer algunas nociones de interés. Calcula el valor de la constante obtenida del proceso de antiderivación haciendo uso del dato proporcionado en el problema –los 150 litros inicialesd. para lo cual debes proceder de la siguiente forma: a. determina los litros de agua que contendrá el tanque al tiempo pedido.C De un tanque escapa agua a razón de 25 t litros hora 2 para t 0. Considera la variable “V(t)” como aquella que mide la cantidad de litros de agua que contiene el tanque.PROBLEMAS DE DERRAMES Y OTROS ◄ EJEMPLO .► INTEGRACIÓN INDEFINIDA . Inicialmente el tanque contiene 150 litros de agua. La expresión (1) se dice que es una “Ecuación Diferencial” con lo cual se quiere resaltar el hecho de que en la ecuación aparece una derivada. MATEMÁTICAS II .UNIMET 10 . . Finalmente. “t” horas después de iniciado el escape y obtén una expresión para b. V.6 litros 3 3 MATEMÁTICAS II . Parte (b) Separando variables en la ecuación diferencial (1) e integrando resulta: dV V(t) 25 .I.UNIMET 11 . la cantidad de agua que contendrá el tanque después de 5 horas será: 1 200 V(5) 25 5 53 150 66. En este caso. la problemática planteada se traduce al P. en consecuencia V(0) = 150.25 t dt 2 dt t 2 dt 1 V(t) 25 t t 3 C 3 (2) Parte (c) Como V(0) = 150 entonces: 1 150 . A este dato se le denomina “Condición Inicial” y a la combinación de dicho dato con la ecuación diferencial se le denomina “Problema de valor inicial” (P.25 0 03 C 3 C 150 1 V(t) 25 t t 3 150 3 Parte (d) Finalmente. inicialmente el tanque contiene 150 litros de agua.I. definido por: dV 25 t 2 dt V(0) 150 .Adicionalmente y de acuerdo al enunciado.V.). MATEMÁTICAS II . a los “t” min de sacarla del horno.UNIMET 12 . Asumiendo que la torta se enfría según la Ley de enfriamiento de Newton ¿cuánto tiempo tardará en alcanzar los 100 F? SOLUCIÓN Sea “X” la temperatura de la torta en ºF. X(3) 250 Ln X 70 k t C1 X = 70 + Cekt 350 = 70 + C. siempre que ésta diferencia no sea demasiado grande”.t → k= 1 180 Ln ≈ -0.EJEMPLO .147277 → t ≈ 15.15 minutos para que la torta alcance una temperatura de 100 °F.e0 250 = 70 + 280 e3k → C = 280 → 100 = 70 + 280 e-0. La temperatura del recinto donde es colocada para que repose es 70 F y 3 minutos después de ser ubicada allí.70 . dX k (X 70) dt dX X .16 min Conclusión: Se requerirá aproximadamente 15. Una torta de pan es sacada del horno cuando éste se encuentra a una temperatura de 350 F. X(0) 350 k dt . la temperatura de la torta desciende a 250 F.147277 3 280 t= Ln (30/280) 0.147277.D La Ley de enfriamiento de Newton afirma que: “La rapidez de enfriamiento de un objeto es proporcional a la diferencia de temperatura entre el objeto y sus alrededores. se ha determinado que crece a razón de: F(t) 2000 50 t 2 animales año para t 0. cuando t = 0 años. ha sido calibrada para que permita el paso de combustible a razón de: G(t) t e 4t 2 barriles min para t 0 min. Determina cuánta agua se habrá derramado durante los primeros 2 minutos. Determina cuánto tiempo tomará para que el recipiente quede vacío. Una de las piezas de la turbina deberá tener capacidad para contener 40 cm3.UNIMET 13 .en la zona de la reserva se habían censado un total de 10. de un lubricante que saldrá de la pieza a través de una válvula de escape a razón de: MATEMÁTICAS II . Obtén la cantidad de barriles de combustible que habrán pasado a través de la válvula en mención. Ejercicio 13 Una de las válvulas reguladoras de un oleoducto.10 años. ¿Cuántos animales habitarán la región 6 años después de iniciado el proceso de control poblacional descrito? Ejercicio 12 La base de un recipiente que contiene 9 litros de agua.000 animales entre todas las especies. presenta un orificio con un mecanismo que permite la salida del liquido a razón de F(t) 10 3t litros min. Ejercicio 11 La población de animales salvajes “P(t)” en una cierta región del país considerada como reserva. en los primeros 5 minutos de iniciado su funcionamiento. b. Al inicio del proceso de monitoreo –esto es. a. Ejercicio 14 ¡Felicitaciones! has ganado la licitación en la que participaste para obtener el derecho a diseñar la turbina del jet TEMINU 1. a.3 horas y que inicialmente se tenía una muestra de 2 gramos ¿Cuánto tiempo transcurrirá para que se desintegre el 80 % de la muestra? MATEMÁTICAS II . Obtén la expresión algebraica de la función P(t) que da la potencia eléctrica consumida en esta ciudad para 0 ≤ t ≤ 24 horas y grafícala. ¿En cuánto se incrementará la contaminación en el lago durante los próximos 2 años? Ejercicio 17 El Pb-209 es un isótopo radiactivo del plomo. Sabiendo que la Vida Media del isótopo Pb-209 es de 3. ¿Permite la válvula mencionada el escape total del lubricante que contendrá la pieza? b.5 miles de personas año dt Los especialistas en medio ambiente han encontrado que el nivel de contaminación en el lago aumenta a una razón aproximada de 5 unidades por cada 1. ¿Cuánto tiempo tardaría en vaciarse la pieza? Ejercicio 15 El consumo de potencia eléctrica en una cierta ciudad en un día tal como hoy aumenta linealmente de 400 megavatios a 800 megavatios durante las primeras 12 horas del día. b. Ejercicio 16 Se estima que dentro de “t” años la población “P(t)” de cierta comunidad a la orilla de un lago cambiará a una tasa de: dP 0.2 t 0.G(t ) t e 2t 2 cm 3 min a.000 personas. para luego descender linealmente a 500 megavatios en las siguientes 12 horas. el cual se desintegra a una razón proporcional a la cantidad presente en cualquier momento. con respecto al tiempo “t”. Teniendo en cuenta que la potencia ”P” es la tasa de cambio de la energía “E”.6 t 2 0. determina el total de energía usada durante ese día por la ciudad en mención.UNIMET 14 . la temperatura del café ha descendido a 80 ºC Asumiendo que “la rapidez de enfriamiento de un objeto es proporcional a la diferencia de temperatura entre el objeto y sus alrededores” [Ley de enfriamiento de Newton] determina cuánto tiempo será necesario para que la temperatura del café llegué a los 50 ºC Ejercicio 19 Se desea preparar un platillo muy exótico que requiere de temperaturas especiales para su elaboración. Para ello es necesario someterlo a baño de María a 150 °C por espacio de varias horas. Ejercicio 20 El ritmo al que decrece la concentración de un medicamento en el flujo sanguíneo de un cierto organismo es proporcional a la concentración.UNIMET 15 . Se sabe que esta exquisitez debe consumirse antes de que alcance los 30°C. ya que por debajo de esta temperatura endurece de tal modo que se considera “saca-muelas”. Inmediatamente después se adorna y se sirve. Cuando adquiere la consistencia adecuada se retira del fuego y se deja enfriar en un recipiente previamente acondicionado a 25°C hasta que alcanza una temperatura de 40°C para lo cual demora aproximadamente media hora. Ejercicio 18 Suponga que acaba de servir una taza de café recién preparado a una temperatura de 95 ºC. a. b. en un cuarto donde la temperatura es de 20 ºC y que 5 minutos después. ¿De cuánto tiempo disponen los comensales para degustar tan complicado platillo? Para determinar este tiempo. ¿Cuál será la concentración después de dos horas? MATEMÁTICAS II . Se sabe que inicialmente la concentración era de 50 mgr Cm3 y una hora después ésta se redujo en un 20%. siempre que ésta diferencia no sea demasiado grande”. asume que el platillo en mención se enfría según la Ley de Enfriamiento de Newton la cual afirma que: “la rapidez de enfriamiento de un objeto es proporcional a la diferencia de temperatura entre el objeto y sus alrededores. Exprese la concentración del medicamento en el flujo sanguíneo de dicho organismo como una función del tiempo. 000 y su valor disminuyó a $ 30. Por otra parte. La maquinaria se compró nueva por $ 40. después de 30 minutos de estudio. a. la cantidad total de un tema que debe memorizar en una prueba experimental es de 500 ideas claves. b. Obtén una expresión que permita calcular el número de habitantes de la mencionada población en cualquier época. Supón que para una persona en particular. ¿Cuánto tiempo de estudio necesitará el sujeto del experimento para lograr almacenar en su memoria la mitad de las ideas claves? MATEMÁTICAS II .UNIMET 16 . Ejercicio 21 La población de cierta ciudad se duplicó en 60 años desde 1890 hasta 1950. Calcula la población de esta ciudad para el año 2005. se determinó que esta persona había logrado memorizar 50 nuevas ideas. ¿Cuánto valdrá la maquinaria cuando tenga 8 años? Ejercicio 23 En una Teoría sobre el aprendizaje humano se supone que la rapidez con que se memoriza algo es proporcional a la cantidad que queda por memorizar. Estime en qué año aproximadamente la ciudad alcanzará un millón de habitantes. de las cuales inicialmente ésta persona ya estaba familiarizada con 50 de tales ideas y por lo cual se consideran como que ya estaban almacenadas en su memoria al momento de comenzar el experimento. Ejercicio 22 El valor de reventa de cierta maquinaria industrial decrece a un ritmo proporcional a la diferencia entre su valor actual y su valor residual el cual es de $ 5.000 4 años después. Se sabe que la tasa de crecimiento natural de esta población es proporcional a la cantidad de habitantes presentes de cualquier época. c. la población en 1950 era de 60 mil habitantes.000. Además. ¿Cuánto tiempo requerirá el sujeto SP1 para lograr almacenar en su memoria un 80% de los ideogramas de la PM-1? Ejercicio 25 Cuando un rayo de luz atraviesa perpendicularmente un medio transparente. a 15 pies bajo la superficie del mar? MATEMÁTICAS II . la memorización de 150 ideogramas. Locus: a.UNIMET 17 . Locus ha estado ensayando mediante diversos experimentos su última Teoría sobre la memoria humana. al iniciar la PM-1.es proporcional al cuadrado de la cantidad de éstos signos que quedan por memorizar en un instante cualquiera del proceso de memorización. Uno de los experimentos típicos desarrollados por Locus –la prueba PM-1. según las notas de Locus.la cantidad de ideogramas con los que inicialmente el sujeto ya está familiarizado. Uno de los sujetos de estos experimentos –el SP1.estaba familiarizado. 20 minutos después de la aplicación de la PM-1 se determinó que esta persona había logrado memorizar 40 nuevos ideogramas. En agua de mar. ¿Cuál es la intensidad del rayo. Previamente a la aplicación de la PM-1 se verifica –a través de un test diagnóstico.la rapidez con que un hombre o una mujer memorizan y reconocen un conjunto de ideogramas –signos usados por Locus en sus pruebas. ¿Cuál es la fórmula que expresa el número de ideogramas memorizados en función del tiempo? b.consiste en solicitar al sujeto de la prueba. la tasa con que su intensidad “Y" disminuye es proporcional a la misma intensidad “Y(x)”. Ejercicio 24 El Dr. De acuerdo a sus revolucionarios descubrimientos –así los califica él. expresada en términos del valor “Y 0 “. con 40 de estos ideogramas y por lo cual los consideró como que ya estaban almacenados en su memoria al momento de comenzar la prueba. la intensidad a 3 pies bajo la superficie es un 25% de la intensidad inicial “Y0 “ del rayo incidente. Según la teoría del Dr. en donde “x” representa el espesor del medio que ha sido cruzado en pies. UNIMET 18 . Los estudios indican que en un instante “t”. Cuando se detecta el brote epidémico 800 personas de la comunidad tenían la enfermedad y hacia finales de la primera semana el total de infectados ascendía a 1500. Ejercicio 26 Una comunidad de 15000 residentes ha sido afectada por una epidemia que se expande a nivel mundial. el ritmo al que se propaga la epidemia en esta comunidad es proporcional a dos variables: el número de residentes que no ha sido infectado y el tiempo “t” transcurrido desde el momento en que se inició la epidemia. después de cuántas semanas de iniciada la epidemia en la comunidad la mitad de los residentes estarán infectados. MATEMÁTICAS II . De acuerdo al modelo descrito. 4142 2 19 . n Lím n i1 x i* Sec arctg(xi* ) 1 (xi* )2 Δx .UNIMET xi* Sec arctg(xi* ) 1 (xi* )2 Δx 2 1 0.C.1 SOLUCIÓN Por definición.1 . es posible rescribir el límite propuesto de la siguiente forma: n L Lím n i 1 xi* Sec arctg(xi* ) 1 (xi* )2 Δx x Secarctg(x) 1 1 x 0 2 dx Por ser continua la función a integrar para x 0.► SUMAS DE RIEMANN E INTEGRALES DEFINIDAS ◄ EJEMPLO .F. con x 0.E Exprese el siguiente límite como una integral definida y calcule la integral. es posible aplicar el T. así: Sea: u arctg(x) 1 dx du 1 x2 x tg(u) x0 x 1 u0 u 4 Sustituyendo queda: L 4 Tg(u)Secu du Sec(u) 0 4 Sec 4 Sec(0) 1 2 0 1 2 2 1 2 Conclusión: n n Lím i 1 MATEMÁTICAS II . 1 4 2 Δx con x .1 20 . para x 0.UNIMET 2 xi* 2 Δx con x 0.3 i 1 MATEMÁTICAS II .4 Δx n 27. con x 1 . 1 cos xi 6 4 4 5 xi* 2 xi* Δx Ln 32 14 .1 Lím n x i* Ctg arsen(xi* ) 1 (x ) * 2 i i1 n 27. Ejercicio 27 Calcular: n 27.1 4 xi* 8 i 1 n 27.2 L Lím n i 1 L Lím n L Lím n . SOLUCIÓN Parte (a) Una Suma de Riemann de orden 5 implica el proceso descrito a continuación. 1. 2. Se quiere establecer cuánto líquido habrá escapado del tanque 5 horas después de iniciado el escape. Calcula aproximadamente cuanta agua habrá escapado del tanque pasadas 5 horas mediante el planteamiento una suma de Riemann de orden 5 ( R5 ).2 . t 2* 2 . b.5 horas. tomando el extremo derecho de cada subintervalo como punto muestra. sus extremos derechos según se pide.UNIMET 21 .1.F De un tanque escapa agua a razón de F(t) 25 t 2 litros hora para t 0. 3.5 Para cada uno de estos subintervalos se toma un valor representativo.3. para lo cual deberás proceder de la siguiente forma: a.5 en 5 subintervalos de igual ancho -esto es lo que se llama una partición regular. c. a tales valores se les denomina “puntos muestra” y se denotan así: t1* 1. Inicialmente el tanque contiene 150 litros de agua. Calcula aproximadamente cuanta agua habrá escapado del tanque pasadas 10 horas mediante el planteamiento una suma de Riemann de orden 10 ( R10 ). t 3* 3 .4 y 4. Calcula la cantidad total de agua perdida durante las 5 horas correspondientes al modelo descrito expresándola en términos de la suma de Riemann Rn y calculando mediante el Teorema fundamental del Cálculo.► INTEGRALES DEFINIDAS Y APLICACIONES ◄ EJEMPLO .conformándose de esta manera los subintervalos: 0. Se considera dividir el intervalo correspondiente a t 0. tomando el extremo derecho de cada subintervalo como punto muestra. t 4* 4 y t 5* 5 Este proceso podemos esquematizarlo de la siguiente forma: MATEMÁTICAS II . Ilustra gráficamente. habrán salido 24 litros de agua en este subintervalo. lo cual significa que en esa primera hora estaremos suponiendo que el agua sale a razón constante de 24 litros por hora y de ésta manera.UNIMET 22 . se habrá derramado más litros de agua que los obtenidos esto es así. lo que significa que representan menos litros de los que realmente son. Aplicando la misma lógica para los demás subintervalos.t1* t 2* t3* t 4* t5* 1 2 3 4 5 t 0 Para cada uno de los subintervalos considerados. podemos estimar entonces el total de litros de agua “V” que habrá escapado en cinco horas.1] asumiremos que el agua escapa a F( t1* ) = F(1) = 24 lts/h. calculando lo que escapa de forma aproximada cada hora y efectuando la suma respectiva. V 70lts. MATEMÁTICAS II . tal como se presenta a continuación: V R5 F(t1* ) Δt F(t *2 ) Δt F(t 3* ) Δt F(t *4 ) Δt F(t 5* ) Δt A la expresión planteada se le denomina “Suma de Riemann de orden 5” y se denota por “R5”. Este valor indica que se habrá escapado alrededor de 70 litros de agua en esas cinco horas aunque realmente. el agua escapa de manera variable sin embargo. asumiremos que el agua escapa de forma constante para cada uno de estos y según el valor que tome F(t) en los puntos muestra escogidos de esta forma: Para el subintervalo [0. que también puede escribirse asì: 5 V R5 F(t i* ) Δt i 1 Continuando con los cálculos resulta: V R5 F(1) 1 F(2) 1 F(3) 1 F(4) 1 F(5) 1 lts lts lts lts V R5 24 lts h 1h 21 h 1h 16 h 1h 9 h 1h 0 h 1h 70lts. ya que en cada caso se tomaron las menores velocidades de escape determinándose en cada caso las menores cantidades de litros de agua que escapan en cada subintervalo. Decimos entonces que este valor -los 70 lts.constituye una “aproximación por defecto” de la cantidad de litros de agua que ha escapado del tanque en cinco horas. .75 lts/h. . lo cual significa que para la primera media hora estaremos suponiendo que el agua se derrama a razón de 24.375 litros de agua en esa primera media hora.1 2 2 1. el agua escapa de manera variable y sin embargo. para cada uno de los subintervalos considerados.5 Para cada uno de estos subintervalos tomaremos nuevamente como sus valores representativos los extremos derechos de éstos. según se muestra a continuación: MATEMÁTICAS II . 9 2 9 2 2 .Gráficamente la situación corresponde a lo mostrado en el siguiente esquema: F 25 20 15 10 5 1 2 3 4 5 x 6 Parte (b) Se mejora ahora la aproximación considerando dividir el intervalo correspondiente a t 0. como segunda aproximación. Aplicando la misma lógica para los demás subintervalos. .UNIMET 23 .(0. 3 4. los ya denominados “puntos muestra”. así por ejemplo: asumiremos que el agua escapa a F( t ) = F( Para t 0. podemos estimar entonces el total de litros de agua “V” que escapa en las cinco horas. esto podemos esquematizarlo así: t1* t 2* t3* 1/2 3/2 * * t 4* t5* t6* t7 t8 * t9* t10 t 0 1 2 5/2 3 7/2 4 9/2 5 Como ya advertimos. . que el agua escapa de forma constante para cada uno de estos subintervalos según el valor que tome F(t) en los puntos muestra escogidos. 1 1 . habrá salido (24.75 lts/h). .75 lts por hora y de ésta manera. nuevamente asumiremos.5 en 10 subintervalos de igual ancho a saber: .5 horas) = 12. y 0. . 1 2 * 1 1 2 ) = 24. 5 h 24 ltsh 0.5 h 21 ltsh 0.75 ltsh 0. el valor obtenido constituye una aproximación por defecto.5 h 16 ltsh 0.V R10 10 F(t ) Δt i 1 * i V R10 F(t 1* ) Δt F(t *2 ) Δt F(t 3* ) Δt F(t *4 ) Δt F(t 5* ) Δt * F(t *6 ) Δt F(t 7* ) Δt F(t 8* ) Δt F(t 9* ) Δt F(t 10 ) Δt V R10 F( 12 ) 21 F(1) 21 F( 32 ) 21 F(2) 21 F( 52 ) 21 F(3) 21 F( 72 ) 21 F(4) 21 F( 92 ) 21 F(5) 21 V R10 24.UNIMET 2 3 4 5 6 x 24 .75 ltsh 0. Este valor constituye una mejor aproximación de la cantidad de agua que escapó en esas cinco horas ya que al reducir el ancho de los subintervalos. V 76. Gráficamente la situación corresponde a lo mostrado en el siguiente esquema: F 25 20 15 10 5 1 MATEMÁTICAS II . las velocidades de escape tomadas fueron las menores de esos subintervalos.5 h 12.5 h 76.75 ltsh 0.5 h 4.875 lts.5 h 18.875lts.5 h 9 ltsh 0. Nuevamente.5 h 0 ltsh 0.5 h 22. ya que en cada caso.75 ltsh 0.75 ltsh 0. se reduce la diferencia entre los valores escogidos como velocidades de escape y las diversas velocidades que se tienen en cada subintervalo. particionamos en “n” subintervalos de ancho t cada uno. podemos estimar entonces el total de litros de agua “V” que habrá escapado en cinco horas. lo cual corresponde a: n V Lim F(t i* ) Δt n (1) i 1 Esta expresión se acostumbra reescribir de forma alternativa como: V MATEMÁTICAS II . según se muestra a continuación: V Rn F t1* t F t *2 t F t 3* t F t n* 1 t F t n* t O bien V Rn n F(t i 1 * i ) Δt Y en consecuencia.t 2 0 dt (2) 25 . lo cual permite establecer que durante éste habrá salido F( t i* ) t itros de agua.Parte (c) Tal como lo hemos vivenciado. En todos los subintervalos la lógica de cálculo es la misma y así. Además. el valor exacto se logrará cuando consideramos infinitos subintervalos. así por ejemplo: Para el subintervalo número “i” asumiremos que el agua escapa a F( t i* ) lts/h. para cada uno de estos subintervalos tomaremos sus extremos derechos como “puntos muestra”. al intervalo [0.5] horas. el proceso de aproximación mejorará en la medida en que consideremos un número mayor de subintervalos y el valor exacto se logra considerando infinitos subintervalos. Nos propondremos ahora obtener la cantidad de litros de agua que habrá escapado del tanque durante cinco horas para lo cual. El siguiente esquema sintetiza la partición mencionada: t1* t i* t 2* t3* tn* t 5 0 En cada uno de los subintervalos nuevamente asumiremos que el agua escapa de forma constante según el valor que tome F(t) en los puntos muestra respectivos.UNIMET 5 0 F(t) dt 5 25 . 5 . de la siguiente forma: 1 V 25 t .el cual es aplicable.(0)3 3 3 V MATEMÁTICAS II . Para calcular el valor del límite (1) se utiliza el llamado “Teorema Fundamental del Cálculo ” –se sugiere consultar alguna nota teórica en relación a este importante teorema.3 lts 3 26 .t 3 3 5 0 1 1 25 (5) .(5)3 25 (0) .UNIMET 250 83. dada la continuidad de F(t) para t 0.Entiéndase: (2) es simplemente otra forma de denotar dicho límite. a. así: Considera una partición regular de 10 subintervalos de 1 minuto cada uno para t 0. ¿Qué representa esta cantidad? b. para lo cual deberás considerar ahora una partición regular de “n” subintervalos. Ejercicio 28 De un estanque gotea aceite a razón de: G(t) 2t gal min. MATEMÁTICAS II . repetir los cálculos antes descritos y hacer finalmente el paso al límite y a la integral definida respectiva Ejercicio 29 La base de un recipiente que contiene 9 litros de agua. Calcula ahora los valores " G t i* " . presenta un orificio con un mecanismo que permite la salida del liquido a razón de F(t) 10 3t litros min. Determina ahora cuánta agua se habrá derramado exactamente durante los primeros 2 minutos del bote. Determina ahora cuánto aceite se habrá derramado exactamente durante los primeros 10 minutos del bote. Asume como constante la cantidad derramada durante cada uno de estos 10 subintervalos e igual a la derramada al inicio de cada uno de los períodos de la partición. Se quiere establecer la cantidad de galones de aceite derramados después de 10 minutos de haberse iniciado el derrame. a. b.UNIMET 27 . Determina cuánto tiempo tomará para que el recipiente quede vacío. Realiza una primera estimación de cuál será la cantidad de agua que se ha derramado durante los primeros 2 minutos del escape mediante una suma de Riemann de orden 4 y tomando los puntos medios de cada subintervalo como los puntos muestra. repetir los cálculos antes descritos y hacer finalmente el paso al límite y el planteamiento de la integral definida correspondiente.10 minutos. Realiza una primera estimación de cuál será la cantidad de aceite que se ha derramado durante los primeros 10 minutos del escape. esto es. ¿Qué representan estas cantidades? Obtén ahora la sumatoria de los valores obtenidos previamente. para lo cual deberás considerar ahora una partición regular de “n” subintervalos. toma como punto muestra " t i* " para cada subintervalo. al extremo izquierdo del mismo. c. haciendo luego el paso al límite y a la integral definida.5 minutos y tomando como puntos muestra los extremos derechos de cada subintervalo. tomando los puntos muestra según el criterio antes descrito. Determina en cuántos animales habrá crecido la población. Ejercicio 31 Una de las válvulas reguladoras de un oleoducto. Determina ahora la cantidad exacta de combustible. Determina cuánto tiempo tomará para que el recipiente quede vacío. considerando una partición regular de 10 subintervalos para t 0. presenta un orificio con un mecanismo que permite la salida del líquido a razón de: F(t) 4t 2 litros t 2 1 min.UNIMET 28 . Se quiere establecer la cantidad de barriles de combustible que ha atravesado a la válvula en mención en los primeros 5 minutos de iniciado su funcionamiento. Calcula luego la cantidad de combustible mediante el teorema fundamental del cálculo. considerando una partición regular de “n” subintervalos. para lo cual se quiere que procedas de acuerdo al siguiente esquema: a. Ejercicio 30 La base de un recipiente que contiene 15 litros de agua. b. para t 0 min . ha sido calibrada para que permita el paso de combustible a razón de: G(t) t e4t 2 barriles min.10 años. Realiza una primera estimación de cuál será la cantidad de combustible que ha pasado a través de la válvula. durante los primeros 6 años. Ejercicio 32 La población “P(t)” de ganado vacuno en una hacienda apureña es controlada de modo que la misma se estima que crecerá a razón de: dP 200 50 t cabezas año dt para t 0. para lo cual procede así: MATEMÁTICAS II . Ilustra gráficamente e interpreta el resultado. Determina ahora exactamente.usando como puntos muestra los puntos medios de cada subintervalo. esto es: P(t) dE . (1) y (4) desde una perspectiva física. Ejercicio 34 La densidad lineal de una varilla de 4 metros de longitud es: (x) 9 2 x Kgm donde “x” se mide en metros desde un extremo de la varilla. Interpreta físicamente el resultado. Traza la gráfica de F(t) dP dt versus “t” y calcula el valor de R6 –la suma de Riemann de orden 6. b. c. Determina en cuánto aumenta la población exactamente entre el año 0 y el año 6 mediante el planteamiento de una integral definida. Calcula el valor de R4 –la suma de Riemann de orden 4. primero los extremos derechos de cada subintervalo y a continuación los extremos izquierdos.tomando los extremos izquierdos de cada subintervalo como puntos muestra. Obtén la expresión algebraica de la función P(t) que da la potencia eléctrica consumida en esta ciudad para 0 ≤ t ≤ 24 horas y grafícala. Calcula el valor de R6 –la suma de Riemann de orden 6. interpreta físicamente el resultado antes obtenido. Calcula ahora la masa total de la varilla mediante el planteamiento de una integral definida. b. MATEMÁTICAS II . ¿Qué puedes asegurar sobre la masa de la varilla? c. b. dt d. Traza la gráfica de (x) e interpreta los valores (0) . el total de energía usada durante ese día por la ciudad en mención. a.a.UNIMET 29 .usando como puntos muestra. mediante el planteamiento y resolución de una ecuación diferencial. Teniendo en cuenta que la potencia ”P” es la tasa de cambio de la energía “E”. c. para luego descender linealmente a 500 megavatios en las siguientes 12 horas. a. Ejercicio 33 El consumo de potencia eléctrica en una cierta ciudad en un día tal como hoy aumenta linealmente de 400 megavatios a 800 megavatios durante las primeras 12 horas del día. Calcula ahora cuánto aumenta la población exactamente entre el año 0 y el año 6. La zona sur.4 Sea: f(y) y 2 4 y 2 4 2y 4 x 2y 4 y2 2 y 0 g(y) . Se considerará: Partición de “n” subintervalos para y . Determinar el área total de la superficie que ocupa la zona industrial referida. 2y x 4 con “x” e “y” en kilómetros. se ha improvisado la demarcación de dicho campo en dos zonas a través de la recta y = k. se ha producido un importante derrame de crudo.4 x2 0 El gráfico de la superficie que ocupa la zona industrial aparece en la siguiente página. Tu labor consistirá en: a.G Debido a la ruptura de una tubería en el centro de operaciones de un campo petrolero. Con el fin de optimizar esfuerzos.0 Ancho de cada subintervalo: ∆y Puntos muestra: yi* (Puntos medios de c/subintervalo . Establecer el valor de “k” en mención. el área del rectángulo # i es: A i g(y i* ) f( y i* ) Δy MATEMÁTICAS II . b.optativo) Por lo cual. La zona norte. la zona donde ocurre el siniestro tiene la forma correspondiente a la región limitada por: x y2 4 . que se encuentra por arriba de y = k. Según los planos topográficos del ministerio de energía. será controlada por el cuerpo de bomberos de la ciudad más cercana. que se encuentra por debajo de y = k.2.► CÁLCULO DE ÁREAS ◄ EJEMPLO . será controlada por los empleados del campo.2y 4 y1 0 y2 2 x1 .UNIMET 30 . la cual lo divide en dos subregiones de igual área. SOLUCIÓN Parte (a) Sea: x y2 4 2y x . 2y 4 y 4 dy 0 -2 y 2 2y dy Dada la continuidad de la función integrando.0 y de acuerdo a lo planteado en la parte anterior resulta: MATEMÁTICAS II .Y g(y) = .4 Por lo tanto.4 -4 X y i* Zona Norte Zona Sur -2 Y=K f(y) = y2 .UNIMET 31 . el área “A” de la superficie que ocupa la zona industrial es: n A Lím g(yi*) f( yi*) Δy n i 1 O bien: A 0 g(y) f(y) dy -2 0 -2 2 .2 y . así: A 1 3 y y2 3 A 0 8 4 3 A 0 2 4 Km 2 3 Parte (b) Se considerará ahora una partición de “n” subintervalos para y k. es posible la aplicación del Teorema fundamental del Cálculo. 732 k 1 32 .732 . k 3 2.1 y3 y2 3 0 k 4 3 2 1 3 2 2 k k 3 3 (0) 2 1 3 k k2 3 3 k 3 3k 2 2 0 Para resolver esta ecuación utilizamos una calculadora o bien aplicamos el método de Ruffini tal como se muestra a continuación: 1 -1 1 3 0 -2 -1 -2 2 2 -2 0 Esto indica que: k1 1 y además: k 2 2k 2 0 Conclusión: De acuerdo al esquema el resultado es: MATEMÁTICAS II .UNIMET k 2 0. los funcionarios de la gobernación disponen que represará el agua tendrá la forma correspondiente a la delimitada por las curvas: x y2 y . Ejercicio 36 Un terreno triangular ha sido motivo de litigio entre dos alcaldias vecinas.tiene un terreno que sus asesores han definido como delimitado por las curvas: y 9 x2 y y x 3 donde “x” e “y” se miden en Km.-2). B(3. siendo “k” una constante. Calculus. la pared que x 2y 2 12 Realiza un esquema representativo de la represa e indique si es posible construirla en el espacio asignado. ¿Cuál fue el valor de “k” determinado por el Dr. Ejercicio 35 Los funcionarios de infraestructura de la Gobernación de un estado han contratado los servicios de una empresa especialista en represas con la intención de que desarrollen.7) y C(3. Juan desea repartir este terreno entre dos de sus hijos a partes iguales mediante la división de la parcela por una cerca que quedará definida –según los asesores. donde “x” e “y” se miden en km.1). El juez de la causa -el Dr. en un terreno de 20 km 2. Por consideraciones topográficas. Los vertices que definen esta extensión tienen las siguientes coordenadas: A(-1. ¿Cuál es el valor de “k” propuesto por los fulanos asesores? MATEMÁTICAS II . tomando en cuenta tan sólo el área disponible.ha decidido dividir el terreno en dos parcelas de igual área mediante una cerca ubicada en Y = k. Calculus? -Justifica tu respuesta mediante el uso del cálculo integral- Ejercicio 37 El sr. Juan –potentado hacendado. con “k” constante.por la recta x = K.UNIMET 33 . un proyecto para complementar el embalse de abastecimiento de aguas de la ciudad capital. Ejercicio 39 Los Ingenieros de PDVSA han diseñado un tanque para almacenar el crudo correspondiente a la producción del ZH-5. ¿A qué conclusión llegó el Dr. despejó y listo. decidió pedir ayuda a su vecino. El tanque está formado por 2 caras paralelas idénticas. según éstos. el cual es explotado sistemáticamente cada mes. La producción de este pozo asciende a los 200 m 3 de crudo al mes. Terco como es. el Dr. aplicó el Teorema Fundamental del Cálculo.UNIMET 34 . Por limitaciones del terreno en el en cual se colocará el tanque. Ejercicio 38 El Sr. igualó el resultado a una integral… ¡una sola!. Calculus. y x3 . ¿Cuál es el área de la parcela que determinó Don Chocho? Reproduzca los cálculos realizados por el abuelo tomando los extremos derechos como los puntos muestra. se perdieron. Calculus. es decir. a. A continuación. y 12 x 2 con “x” e “y” en metros.. con lo cual decide emprender la obtención del área. ya algo derruido. quiere hacer los cálculos por si mismo ¡tiempo es lo que le sobra! y emprende dicha labor… busca en sus baúles y encuentra los planos del terreno. un pozo ubicado en Monagas. y repasa todo lo relativo a cómo llevar adelante el cálculo del área de la parcela… un solo detalle. a fin de lograr el reparto equitativo para sus nietos… pero agotado del esfuerzo antes realizado. distantes entre si 10m y unidas por una pared vertical que se adapta a la forma de las caras. Chocho es dueño de un terrenito en las afueras de la ciudad. que desea obsequiar a dos de sus nietos en herencia. los capítulos relacionados al Teorema Fundamental del Cálculo se los llevó el tiempo. donde x e y se miden en kilómetros. Calculus tomó el valor obtenido por el abuelo. que en los planos del terreno correspondería a una recta horizontal y tal que permita dividir la parcela en dos lotes de igual área. éste ha sido diseñado de modo que sus caras paralelas corresponden a la región limitada en el primer cuadrante por x 0. A continuación saca el viejo libro de cálculo. lo dividió por 2. la parcela está delimitada por las curvas x y y 2 y x y 3 . b. Don Chocho se propuso dividir la parcela mediante el trazado de una cerca.. para que le resolviera el nuevo problema. y Don Chocho tan sólo ha logrado recordar los conceptos relativos a sumas de Riemann y la definición básica de integral definida. ¿Podrá contener el tanque diseñado la producción mensual del ZH-5 o será necesaria la construcción de un depósito adicional? MATEMÁTICAS II . Le dio el resultado a Chocho en menos de 10 minutos… Chocho por supuesto quedó asombrado. cuál es la ecuación de la recta por él obtenida? Reproduzca en detalle las operaciones realizadas por nuestro eminente matemático. El Dr. Ejercicio 41 Una valla publicitaria ha sido diseñada de forma que su superficie corresponde a la región limitada por: y 4 x . Así mismo. x y3 x 12 y2 . Calcula ahora el área exacta de la valla. MATEMÁTICAS II . b. Determina el área del terreno. con partición sobre el eje “y” y tomando como puntos muestra los extremos superiores de cada subintervalo. El arquitecto del proyecto ha decidido dividir el espacio del que se dispone en dos sectores de igual área mediante la recta x = 6. se ha diseñado un sistema de riego para el sector Este de modo que. lo cubra de rocío a razón de: F(t) 100 t k t2 Km 2 siendo " k" una constante positiva hora a.26 y levantar así la construcción sólo en la zona Oeste (región a la izquierda de la recta referida). Justifica las integrales planteadas. Con “x” e “y” en metros a. Determina el valor de la constante “k” de modo que el sistema de riego cubra de rocío la cuarta parte de la superficie del sector Este en 1 hora.► EJERCICIOS MISCELÁNEOS ◄ Ejercicio 40 Para el desarrollo de un complejo habitacional se dispone de un terreno en una zona parcialmente boscosa la cual.UNIMET 35 . el eje “x” y la recta tangente a la curva en el punto donde x = -8. planteando la integral definida correspondiente y haciendo uso del Teorema fundamental del Cálculo. b. con “x” e “y” en kilómetros. Calcula un aproximado del área de la valla usando una suma de Riemann de orden 4. . manteniendo el bosque en la parte Este (región a la derecha de la recta). según los planos del proyecto está delimitada por: y0 . Calcule el área de la región . para lo cual debe especificar: a. es proporcional a la cantidad de dichos elementos que no ha sido memorizado. El área de la región como límite de una Suma de Riemann y como una integral definida d.UNIMET 36 . x g( y ) y 2 1 con “x” e “y” en cm. se considera que ya estaban almacenados en su memoria al momento de iniciar el experimento. se determinó que esta persona había logrado memorizar 50 nuevos elementos. el ritmo al que se propaga la epidemia en esta comunidad es proporcional a dos variables: el número de residentes que no ha sido infectado y el tiempo “t” transcurrido desde el momento en que se inició la epidemia. el arquitecto a cargo elaboró el esquema del mismo considerando la región que denotaremos y que está limitada por las gráficas de las funciones: x f (y ) 9y 2 1 . MATEMÁTICAS II . Ejercicio 42 En el diseño del emblema de un centro comercial. de los cuales. ¿Cuánto tiempo requerirá el sujeto del experimento para lograr almacenar en su memoria la mitad de los elementos publicitarios del comercial? Ejercicio 44 Una comunidad de 15000 residentes ha sido afectada por una epidemia que se expande a nivel mundial. De acuerdo al modelo descrito. ésta persona ya estaba familiarizada con 50 de tales elementos publicitarios y por lo cual. después de 30 minutos de ver el comercial. Los estudios indican que en un instante “t”. Las gráficas de las funciones f y g b. la cantidad total de elementos publicitarios de un comercial de TV que debe memorizar en una prueba experimental es 500. Supón que para una persona en particular. El cálculo de la integral definida aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo Ejercicio 43 Una Teoría sobre Mercadeo y Publicidad asume como hipótesis que: la rapidez con que se memorizan los diversos elementos publicitarios de una propaganda o de una cuña. después de cuántas semanas de iniciada la epidemia en la comunidad la mitad de los residentes estarán infectados. Además. inicialmente. Cuando se detecta el brote epidémico 800 personas de la comunidad tenían la enfermedad y hacia finales de la primera semana el total de infectados ascendía a 1500. El área A i del rectángulo número i c. x 2 Ejercicio 46 Un lote de afiches ha sido diseñado de manera que la zona de impresión de cada uno de ellos. la superficie de éstos recibe la acción de diversos agentes abrasivos que se depositan en dicha superficie a razón de: F(t) t e a t2 cm2 mes siendo “a” una constante a.1 y tal que.x y 1. tendrá la forma correspondiente a la región limitada por las gráficas de x + y2 = 9 y y2 = x + 3y con “x” e “y” en cm. Según el criterio de la empresa. ésta persona ya estaba familiarizada con 10 de estos elementos publicitarios y por lo cual. Justifica la integral. Determina el área de la zona de impresión. se considera que ya estaban almacenados en su memoria al momento de iniciar el experimento. después de 30 segundos de ver la propaganda. se determinó que esta persona había logrado memorizar 20 nuevos elementos. la cantidad total de elementos de un cierto mensaje institucional que debe memorizar en una prueba experimental es 200. de los cuales inicialmente. Además. Justifica la integral. Se ha determinado que por estar a la intemperie. “t” meses después de instalado el afiche. Ejercicio 45 Determina la ecuación de la curva que contiene al punto tangente en el punto (x. los afiches se reemplazan si las tres cuartas partes de su área está contaminada por los agentes abrasivos. la pendiente de la recta arccos(x) . ¿Cuánto tiempo requerirá el sujeto del experimento para lograr retener en su memoria el 40% de los elementos del mensaje? MATEMÁTICAS II .UNIMET 37 . Determina la constante “a” de modo que a los 2 meses los afiches deban ser reemplazados.y) viene dada por: 0. es proporcional a la cantidad de dichos elementos que no han sido memorizado y al tiempo transcurrido desde que el anuncio fue recibido. b. Supón que para un sujeto en particular. Ejercicio 47 Según los estudios de campo realizados por una reconocida ONG: la rapidez con que se memorizan los diversos elementos de un mensaje institucional. UNIMET 38 . 10 Km 2 ya han sido afectados. se ha propagado hasta cubrir 20 Km 2 . el ritmo al que se expande el incendio es proporcional a dos variables: el número de Km 2 que no ha sido afectado y el tiempo “t” transcurrido desde el momento en que se detectó el incendio. Justifica tu respuesta mediante el planteamiento de una integral definida. después de 30 segundos de ver la propaganda. ¿Cuánto tiempo requerirá el sujeto del experimento para lograr retener en su memoria el 60% de los elementos del mensaje? Ejercicio 50 El instituto de investigaciones del cuerpo de bomberos de una ciudad utiliza un modelo de expansión de incendios según el cual. Determine en cuánto tiempo se habrá quemado la mitad del terreno. Inicialmente. Ejercicio 49 De acuerdo al modelo desarrollado por el departamento de mercadeo de una compañía en publicidad: la rapidez con que el público memoriza los diversos elementos de un mensaje institucional. Además. A los 10 minutos. Establece de dónde proviene dicha integral. se determinó que esta persona había logrado memorizar 10 nuevos elementos. “t” horas después de iniciado un incendio. razón por la cual se considera que los mismos ya estaban almacenados en su memoria. la persona sometida a dicho experimento ya estaba familiarizada con el 10% de estos elementos publicitarios. Ejercicio 48 Un terreno de 16000 Km 2 ha sido afectado por un incendio y cuando éste es detectado. MATEMÁTICAS II . el fuego se propaga de modo que. según el contexto. el área consumida por las llamas crece a razón de: F(t) t2 Km 2k 2t 3 2 siendo “k” una constante hora En base al modelo descrito. el sujeto debe memorizar un total de 50 elementos relacionados con un cierto mensaje institucional. determina el valor de “k” de modo que en una hora se queme una superficie de 100 km 2. En una prueba experimental. indicando el intervalo a particionar y el significado de cada uno de los factores que conforman la suma de Riemann respectiva. es proporcional a la cantidad de dichos elementos que no han sido memorizado y al tiempo transcurrido desde que el anuncio fue recibido. Los estudios indican que en un instante “t”. Ejercicio 51 Halle la antiderivada más general de la función f ( x ) 1 Ln x x 4 Ln2 x y verifique que el resultado obtenido es correcto. Justifica tu respuesta mediante el planteamiento de una integral definida. De acuerdo al modelo utilizado por los especialistas en este tipo de siniestros. MATEMÁTICAS II . Ejercicio 52 Un voraz incendio ha estado afectando el casco central de una ciudad. el crudo se esparce de modo que “t” horas después de iniciada dicha fuga. 2 Km 2 ya habían sido consumidos por las llamas y 10 minutos después. indicando el intervalo a particionar y el significado de cada uno de los factores que conforman la suma de Riemann respectiva. Ejercicio 53 Los funcionarios del ministerio del ambiente han confirmado el inicio de un derrame petrolero en las inmediaciones de una importante reserva acuífera de 150 Km 2. cuánto debe valer la constante “a” de modo que a las 7 horas haya sido cubierta de petróleo la tercera parte de la superficie de este cuerpo de agua. Establece de dónde proviene dicha integral.UNIMET 39 . Determine en cuánto tiempo se habrá quemado la mitad de la superficie de esta importante zona de 12 Km 2. en un instante “t”. el fuego se había propagado hasta cubrir 4 Km 2. De acuerdo al reporte de los funcionarios de la alcaldía. la superficie que habrá sido contaminada crece a razón de: e F(t) 3 3 t 1 Km at 1 2 2 siendo “a” una constante hora Según el modelo referido. Los especialistas de dicho ministerio han determinado que para este tipo de fugas. el ritmo al que se expande el incendio es proporcional a dos variables: el número de Km 2 que no ha sido afectado y el tiempo “t” transcurrido desde el momento en que se detectó el incendio. cuando el incendio fue detectado. según el contexto. Calcula el área superficial de la laguna. Compruebe que el área del terreno es de 52 Km2 3 b. y 12 x 2 con “x” e “y” en kilómetros. y levantar así la construcción sólo en la zona sur (región por debajo de la recta y = k). Determina la cantidad de agua consumida durante 1 hora de riego de la zona norte. Así mismo. NOTA: Este problema corresponde a la pregunta 3 del Parcial 1 de Septiembre de 2010. Ejercicio 55 Para el desarrollo de un complejo habitacional se dispone de una zona parcialmente boscosa la cual. 7:00 a. Ejercicio 54 El perímetro de una laguna está definido por las siguientes curvas: y . . Determina el valor de “k” de forma que se cumpla lo indicado en el proyecto. Trimestre 1011-1. se ha diseñado un sistema de riego que permite cubrir diariamente de rocío el sector norte y de acuerdo a las especificaciones técnicas. y x 3 . según los planos del proyecto está delimitada por: x0 . a. el arquitecto del proyecto ha decidido dividir el espacio del que se dispone en dos sectores de igual área mediante una recta de la forma y = k. MATEMÁTICAS II . manteniendo el bosque en la parte norte (región por encima de la recta y = k). Para disminuir el impacto ambiental que tendrá este asentamiento.y 0 y con “X” y “Y” en Km. Se sugiere realizarlo contra reloj en un tiempo no mayor de 45 minutos.m.5 Km 2 de la superficie de la laguna contaminados y se sabe que en los próximos años seguirá contaminándose a una tasa de 1Km 2/año.UNIMET 40 . haciendo uso del Cálculo Integral. dicho mecanismo bombea el agua a razón de: F(t) 100 t 2 4t 4t 2 2 lts. Actualmente hay 0. b. c. con “k” constante y 0 < k < 8. hora a.x3 0 4x . Suponiendo que la laguna no tiene capacidad para biodegradar agentes contaminantes determina. qué área superficial estará contaminada pasados 2 años. Ejercicio 57 Se ha determinado que cuando la emisión lumínica de un Laser atraviesa perpendicularmente un medio translúcido es decir.m. Se sugiere realizarlo contra reloj en un tiempo no mayor de 45 minutos. un sistema hidráulico será instalado para el eventual llenado de la laguna de modo que pueda verter agua a razón de: F(t) 1000 t 3 t8 4 litros hora a. con “x” e “y” en metros. Trimestre 1011-2. El autor presentó el diseño de una laguna artificial cuya forma queda definida por la región que limitan las curvas: x0 . MATEMÁTICAS II .m. ha sido utilizado en una prueba de laboratorio con cierto material translúcido y se ha determinado que dicha intensidad a 5 Cm por debajo de su superficie es un 40% de la intensidad “L(0)” del rayo incidente. NOTA: Este problema corresponde a la pregunta 3 del Parcial 1 de Septiembre de 2010. Trimestre 1011-1. Verifique que el área que ocupará la superficie de la laguna será de 52 m 2 .UNIMET 41 . En otro orden de ideas. y x3 . ¿Cuál es la intensidad del rayo a 20 cm por debajo de la superficie del material referido? NOTA: Este problema corresponde a la pregunta 2 del Parcial 1 de Febrero de 2011. 8:45 a. a una tasa que es proporcional a la misma intensidad luminosa “L(x)”. el tiempo requerido para llenarla es 1 hora. Ejercicio 56 La alcaldía de una ciudad ha encargado a un afamado artista el diseño de un complejo escultórico para un parque recreacional. c. Determine el valor de “a” para que se cumpla lo especificado por el diseñador. en el diseño se contempla separarla en dos sectores de igual área mediante una lamina transparente ubicada según la recta y = a. Un Laser cuya intensidad luminosa en el vacío (“L(0)”) es de 500 cd. con “a” constante y 0 < a < 8. un medio que sin ser transparente deja pasar la luz. Se sugiere realizarlo contra reloj en un tiempo no mayor de 20 minutos. Determine la cantidad de agua que contendrá la laguna si se sabe que utilizando el sistema hidráulico mencionado. la laguna tendrá dos tipos diferentes de materiales que producirán interesantes efectos visuales por lo cual. y 12 x 2 . su intensidad luminosa “L(x)" disminuye con respecto al espesor “x” del medio que ha sido atravesado. 3 b. Así mismo. 7:00 a. Trimestre 1011-2. La sustancia disuelta se denomina soluto. si la cuarta parte del área de su zona impresa está contaminada por los agentes abrasivos.m. Un modelo clásico que describe este proceso de disolución indica que después de ser colocada cierta cantidad de soluto en un recipiente con suficiente solvente. Se sugiere realizarlo contra reloj en un tiempo no mayor de 20 minutos. La sustancia donde se disuelve el soluto se denominada solvente. en el primer cuadrante. una solución es una mezcla homogénea de dos o más sustancias que no reaccionan entre sí. NOTA: Este problema corresponde a la pregunta 3 del Parcial 1 de Febrero de 2011. De acuerdo al modelo descrito ¿cuánta azúcar se habrá disuelto a los 10 minutos? NOTA: Este problema corresponde a la pregunta 2 del Parcial 1 de Febrero de 2011. deberá ser reemplazada una de estas vallas. Trimestre 1011-2. Se ha determinado que por estar a la intemperie.UNIMET 42 . x 1 y 2x 1 . en un recipiente con suficiente cantidad de un solvente como el agua.m. se han disuelto 20 gramos del soluto. 10:30 a. limitada por las gráficas de: y 5 . Determina el área de la zona de impresión. y=1 con “x” e “y” en metros. Justifica la integral. su superficie recibe la acción de diversos agentes abrasivos que se depositan en la zona de impresión antes descrita a razón de: F(t) m2 2 e t 2 mes t a. “t” meses después de instalada una de estas vallas. Ejercicio 59 En Química. b. Según el criterio de la empresa la valla se reemplaza. Se sugiere realizarlo contra reloj en un tiempo no mayor de 40 minutos. Suponga que 5 minutos después de colocar 100 gramos de un soluto como el azúcar. el soluto se disuelve a una razón que es proporcional a la cantidad de soluto sin disolver que queda en el envase. Justifica la integral. 7:00 a. Ejercicio 58 Una valla publicitaria ha sido diseñada de manera que la zona de impresión tendrá la forma correspondiente a la región. MATEMÁTICAS II . Determina cuánto tiempo después de instalada. Justifica la integral. con “X” y “Y” en Km. ¿Se deberá cambiar el afiche? MATEMÁTICAS II . Se ha determinado que por estar a la intemperie. Ejercicio 60 Los planos de cierta ciudad indican que su casco central presenta la forma definida. la expansión de las llamas es tal que “t” horas después de iniciado el incendio.m. Según el criterio de la empresa. por las curvas: y 12 x 22 . mediante una suma de Riemann de orden 4 y tomando los puntos muestra de cada subintervalo como los extremos izquierdos. y 2 1 x2 . Determina el área de la zona de impresión. Trimestre 1011-2. 10:30 a. y=6 a. y 3 2 con “x” e “y” en metros. su superficie recibe la acción de diversos agentes abrasivos que se depositan en la zona de impresión antes descrita a razón de: F(t) 1 t 2 m2 e 8 mes a. el fuego se propaga de modo que el área consumida por las llamas crece a razón de: F(t) t3 e5 t Km 4 2 hora b. Se sugiere realizarlo contra reloj en un tiempo no mayor de 40 minutos.UNIMET 43 . en el primer cuadrante. Ejercicio 61 Un afiche publicitario ha sido diseñado de manera que la zona de impresión tenga la forma correspondiente a la región. y x 1 . la zona en cuestión está siendo afectada por un incontrolable incendio. “t” meses después de instalado uno de estos afiches. En base al modelo descrito ¿en cuánto tiempo se quemará la mitad de la superficie del casco central de la ciudad? NOTA: Este problema corresponde a la pregunta 3 del Parcial 1 de Febrero de 2011. Justifica la integral. limitada por las gráficas de: y 1 x . un afiche se reemplaza si la cuarta parte del área de su zona impresa está contaminada por agentes abrasivos. Determina el área de la zona descrita. De acuerdo al último reporte del cuerpo de bomberos. b. cuántos metros cuadrados de uno de estos afiches se habrá contaminado después de 2 meses. Según el modelo que utilizan en esta institución. Determina aproximadamente. en el primer cuadrante. que se encarga de la limpieza del parque. en el primer cuadrante.m. Se ha determinado que por estar a la intemperie. Ejercicio 63 La superficie de una laguna artificial ubicada en un parque tiene la forma correspondiente a la región. basado en su amplia experticia. la cantidad “X” de ganado infectado aumenta a un ritmo que es proporcional a la raíz cuadrada del número de cabezas de ganado que no ha sido infectado y al cuadrado del tiempo transcurrido desde que se inició la epidemia. de 1000 cabezas de ganado. “t” meses después de realizada la última limpieza de esta laguna. Según el criterio de la empresa.NOTA: Este problema corresponde a la pregunta 3 del Parcial 1 de Mayo de 2011.m. ha postulado un modelo de dispersión de la infección según el cual: “t” semanas después de iniciada la epidemia. b. cuántos metros cuadrados de la superficie de la laguna se habrá contaminado transcurrido 1 mes. y x3 . Se sugiere realizarlo contra reloj en un tiempo no mayor de 40 minutos.m. ¿Se deberá limpiar la laguna? NOTA: Este problema corresponde a la pregunta 3 del Parcial 1 de Mayo de 2011. Trimestre 10113. Se sugiere realizarlo contra reloj en un tiempo no mayor de 40 minutos. que contaminan su superficie a razón de: F(t) e t Km2 10 t mes a. Este especialista. plumas de aves. Un experto epidemiólogo ha logrado establecer que el brote inicial fue de 10 ejemplares infectados y en tres semanas se duplicó. Determina el área de la superficie de la laguna. 10:30 a. y=4 con “x” e “y” en kilómetros. en su superficie se depositan diversos elementos orgánicos tales como hojas. un brote infeccioso se ha estado propagando en la población de ganado vacuno. MATEMÁTICAS II . 10:30 a.. Ejercicio 62 En una hacienda de los llanos venezolanos. Trimestre 10113. etc. Se sugiere realizarlo contra reloj en un tiempo no mayor de 20 minutos. Justifica la integral. 7:00 a. Determina aproximadamente. Trimestre 10113. ¿Qué tiempo ha de transcurrir para que el 12% de la población quede contagiado? NOTA: Este problema corresponde a la pregunta 2 del Parcial 1 de Mayo de 2011. la superficie de la laguna se deberá limpiar si la tercera parte de su área está contaminada por los agentes orgánicos.UNIMET 44 . mediante una suma de Riemann de orden 4 y considerando los puntos medios de cada subintervalo como los puntos muestra. limitada por las gráficas de: y 1 x . UNIMET 45 . mediante una suma de Riemann de orden 5 y tomando los puntos muestra de cada subintervalo como los extremos derechos. Basados en los registros sobre eventos similares en la Unimet. b. 8:45 a. Determina el área del sembradío. ¿Qué tiempo ha de transcurrir para que el 50% de la población estudiantil haya actualizado su carnet? NOTA: Este problema corresponde a la pregunta 2 del Parcial 1 de Octubre de 2011. el 5 % de las 5000 personas. Se sugiere realizarlo contra reloj en un tiempo no mayor de 40 minutos. MATEMÁTICAS II . Determina aproximadamente. Trimestre 1112-1. habrá tramitado su nuevo documento de identificación y que a las tres semanas esta cantidad habrá ascendido al 20 %.m. Trimestre 1112-1. Justifica la integral.x . Ejercicio 64 El departamento de seguridad de nuestra casa de estudios se propone cambiar. cuántos kilómetros cuadrados del sembradío se habrá desforestado después de 2 meses. el documento de identificación de todos los miembros de la comunidad. por otro más versátil. Los encargados de este plan de carnetización esperan que la primera semana del proceso. x 2y y 2 . Ejercicio 65 Un ingenio azucarero del país controla un extenso sembradío de caña de azúcar cuyo perímetro corresponde a la región limitada por las gráficas de: y 4. Se sugiere realizarlo contra reloj en un tiempo no mayor de 20 minutos. el jefe de dicha dependencia ha postulado un modelo según el cual: “t” semanas después de iniciado el proceso de actualización del carnet. NOTA: Este problema corresponde a la pregunta 3 del Parcial 1 de Octubre de 2011. la cantidad “X” de personas que habrá obtenido su nuevo documento de identificación aumenta a una tasa que es proporcional al número de personas que no lo ha obtenido y al cuadrado del tiempo transcurrido desde que se inició el proceso. éste se ha desforestado a razón de: Km2 F(t) Cos ( t) año 2 a. Se ha determinado que “t” meses después de iniciado el proceso de explotación controlado del sembradío. y0 con “x” e “y” en kilómetros.m. que actualmente hacen vida en el campus universitario. 10:30 a. m. Trimestre 11123. Justifica la integral. Determina el valor de “a” para que se cumpla lo especificado por el diseñador. y 2x 1 . MATEMÁTICAS II . 8:45 a. un sistema hidráulico será instalado para el eventual llenado de la laguna de modo que pueda verter agua a razón de: F(t) 1000 t 3 t 4 8 litros hora a. con “a” constante y 0 < a < 8. x 12 y2 . y0 . NOTA: Este problema corresponde a la pregunta 3 del Parcial 1 de Febrero de 2012.UU. 7:00 a. Trimestre 1112-2. En otro orden de ideas. el tiempo requerido para llenarla es 1 hora. la laguna tendrá dos tipos diferentes de materiales que producirán interesantes efectos visuales por lo cual. se producían a razón de F(t) 8 hora t 4 Determina la cantidad de lava expulsada durante la primera hora de la erupción. Calcula el área de la región afectada. según el modelo desarrollado por este especialista en volcanes.) ocurrida el 18 de mayo de 1980. b. Así mismo. a. NOTA: Este problema corresponde a la pregunta 3 del Parcial 1 de Mayo de 2012. Por otro lado. 3 b. Ejercicio 66 La alcaldía de una ciudad ha encargado a un afamado artista el diseño de un parque recreacional.m. en la erupción del Monte Santa Helena ubicado en el estado de Washington (EE. Determina la cantidad de agua que contendrá la laguna si se sabe que utilizando el sistema hidráulico mencionado. las emisiones de 1000 t 3 Miles de Toneladas lava al momento de la erupción. en el diseño se contempla separarla en dos sectores de igual área mediante una lamina transparente ubicada en la dirección de la recta x = a. El autor presentó el diseño de una laguna artificial cuya forma queda definida por la región que limitan las curvas: con “x” e “y” en metros. x y3 . c.UNIMET 46 . la región afectada en las inmediaciones del volcán corresponde a la zona del plano x-y delimitada por las curvas de ecuaciones: y 5 x 1 . y=1 con “x” e “y” en Km. Se sugiere realizarlo contra reloj en un tiempo no mayor de 45 minutos. Ejercicio 67 De acuerdo al modelo desarrollado por un experto vulcanólogo. Verifica que el área que ocupará la superficie de la laguna será de 52 m 2 . Se sugiere realizarlo contra reloj en un tiempo no mayor de 45 minutos. te comisionó para la realización de dos tareas: Tarea 1: De acuerdo a las observaciones realizadas.1 6t 5e 3 años. Ejercicio 68 Los brotes de rayos gamma (BRG) son destellos asociados con explosiones extremadamente energéticas en galaxias distantes y representan los eventos electromagnéticos más luminosos que ocurren en el universo. Tarea 2: En base a las teorías físicas del momento. medida en años-luz2. Trimestre 1213-1. y 1 8 x2 . una zona del espacio similar a la región delimitada en el cuarto cuadrante por: y 2 x . MATEMÁTICAS II . Tu primera tarea consiste en determinar el área de la región descrita mediante el planteamiento de una integral definida debidamente justificada. considerando la rapidez de propagación indicada y mediante el planteamiento de una integral definida debidamente justificada. Se sugiere realizarlo contra reloj en un tiempo no mayor de 45 minutos.UNIMET 47 . después de iniciado el BRG Tu segunda tarea consiste en determinar qué cantidad del BRG.m. NOTA: Este problema corresponde a la pregunta 1 del Parcial 1 de Octubre de 2012. x 1 con “x” e “y” en años-luz. 7:00 a. Ejercicio 69 Un grupo de estudiantes de nuestra universidad ha decidido ofertar cursos básicos en mecánica automotriz a toda la comunidad universitaria. Un centro de estudios astronómicos que detectó un BRG. se habrá inscrito en dicho curso y que a los 2 meses esta cantidad se habrá duplicado. El ejecutivo de mercadeo ha estimado que el día de la apertura del curso el 10 % de las 5000 personas que conforman nuestra comunidad universitaria. el destello lumínico del BRG abarcó en las fotografias tomadas con el telescopio del centro astronómico.luz2 min “t” min. se determinó que el destello del BRG se esparció de modo que cubrió la zona antes descrita a razón de: f(t) 0. se esparció después de 1 minuto. Determina el área de la superficie de la laguna. que contaminan su superficie a razón de: t2 F(t) 3 e t3 k Km2 día siendo “k” una constante a. Determina la constante “k” de modo que a los 10 días la superficie de la laguna deba ser limpiada.m. Ejercicio 70 La superficie de una laguna artificial ubicada en un parque tiene la forma correspondiente a la región limitada por las gráficas de: x y2 4 y y2 x 2y con “x” e “y” en kilómetros. Trimestre 1213-1. b. por algo más de cien años. el siguiente modelo de distribución geográfica: MATEMÁTICAS II . ¿Qué tiempo ha de transcurrir para que el 50% de la población tome el curso? NOTA: Este problema corresponde a la pregunta 2 del Parcial 1 de Octubre de 2012. Según el criterio de la empresa.m. plumas de aves. etc.. la superficie de la laguna se deberá limpiar si la tercera parte de su área está contaminada por los agentes orgánicos referidos. 8:45 a. Ejercicio 71 La especie denominada Rinoceronte Blanco del sur de África estuvo en serio peligro de extinción debido a su caza indiscriminada para obtener su codiciado cuerno. Justifica la integral. Según un estudioso de la especie la cantidad de Rinocerontes Blancos del sur ha cumplido. Justifica la integral. la cantidad “X” de personas que se ha inscrito aumenta a un ritmo que es proporcional al número de personas que no lo ha tomado y al cuadrado del tiempo transcurrido desde que se ofertó por primera vez. 8:45 a. Trimestre 12132. Se sugiere realizarlo contra reloj en un tiempo no mayor de 30 minutos. “t” días después de realizada la última limpieza de esta laguna. Se ha establecido que por estar a la intemperie. en su superficie se depositan diversos elementos orgánicos tales como hojas.UNIMET 48 . NOTA: Este problema corresponde a la pregunta 1 del Parcial 1 de enero de 2013. que se encarga de la limpieza del parque. Se sugiere realizarlo contra reloj en un tiempo no mayor de 40 minutos.Este ejecutivo ha postulado un modelo según el cual: “t” meses después de ofertado este curso en la Unimet. Determinar el área inicial del lunar en mención. la superficie “S” del territorio que dicha especie habita ha estado aumentando a un ritmo que es inversamente proporcional a 4S 2 9 . 8:45 a. Ejercicio 72 Un nevo piloso congénito es un tipo de lunar presente al nacimiento que puede aparecer en cualquier parte del cuerpo y se clasifica en función del tamaño en: pequeño. que presenta un lunar de este tipo. Aunque a menudo es benigno. Justifica la integral. Justifica la integral. Determinar el área del lunar en mención pasadas 4 semanas de la aplicación del tratamiento descrito en la Etapa 2.32 x 9 con “x” e “y” en milímetros.“t” años después de iniciado el control poblacional en 1. Un laboratorio especializado en el tratamiento de este tipo de afecciones cutáneas realiza un estudio a un paciente voluntario. Trimestre 12132. Etapa 2 del estudio: Al paciente voluntario se le prescribió el uso de un parche médico que suministra en forma controlada cierto medicamento capaz de disminuir el área afectada por el lunar a razón de: F(t) m m2 1 e 0.m. de acuerdo a lo especificado en la Etapa 1. De acuerdo al modelo ¿en qué año la superficie ocupada por el Rinoceronte Blanco ascenderá a 8. MATEMÁTICAS II .000 Km 2. es posible que el lunar se convierta en un melanoma maligno (canceroso) y es mejor tratarlo a una edad temprana. dicha superficie y proporcional a la expresión Para el año crítico 1895. el estudioso en cuestión estima que el territorio ocupado por la entonces casi extinta población de Rinocerontes era de 10 Km 2 y que para el 2011 asciende a 5.02 t Semana Tu labor consiste en: a.000 Km2? NOTA: Este problema corresponde a la pregunta 2 del Parcial 1 de enero de 2013. según las siguientes etapas: Etapa 1 del estudio: Iniciado el estudio se determinó que el paciente voluntario presentaba un lunar característico de este mal cuya forma correspondió a la región del plano delimitada por las curvas de ecuaciones: x 2y2 12y y y . Se sugiere realizarlo contra reloj en un tiempo no mayor de 30 minutos.02 t e 0. mediano o grande.895. b.UNIMET 49 . Trimestre 12133. se han disuelto 80 kilogramos de esta arena. El balance de esta regulación tiene como resultado una retención neta de todos estos materiales en forma de sedimentos.UNIMET 50 . presentes en el estanque. Ejercicio 73 Los embalses son infraestructuras que “regulan”. Un ingeniero hidráulico está desarrollando un modelo de laboratorio según el cual se considera un embalse como una mezcla homogénea de dos sustancias que no reaccionan entre sí. los materiales en suspensión se disuelven a una tasa que es proporcional a la cantidad de dichos materiales en suspensión. Trimestre 12133. mediante el flujo del agua. los aportes de materiales en suspensión transportados por los ríos. MATEMÁTICAS II . Se sugiere realizarlo contra reloj en un tiempo no mayor de 45 minutos. Se sugiere realizarlo contra reloj en un tiempo no mayor de 20 minutos.NOTA: Este problema corresponde a la pregunta 1 del Parcial 1 de mayo de 2013. que no se han disuelto aún. De acuerdo al modelo este proceso de disolución se desarrolla así: “t” minutos después de ser vertida cierta cantidad “X” de materiales en suspensión en un estanque con suficiente agua. La sustancia donde se disuelven los materiales referidos corresponde al agua. en una piscina llena de agua y especialmente preparada para simular las condiciones de un embalse. 8:45 a. De acuerdo al modelo descrito ¿cuánta arena en total se habrá disuelto en la piscina 1 hora después del vertido inicial de ésta? NOTA: Este problema corresponde a la pregunta 2 del Parcial 1 de mayo de 2013. La sustancia disuelta en su modelo corresponde a los materiales en suspensión como la arena. 8:45 a.m. Suponga que 30 minutos después de colocar 500 kilogramos de arena.m.