ESTADISTICA2012 Ejercicios 1. Cierta variable asigna los valores 1,4 y 9 a las unidades estadísticas E1, E2 Y E3 respectivamente en una escala de intervalos. Si de la misma escala se asigna 1 a E1 y -8 a E2 ¿Qué valor se le asigna a E3? Solución: 2. Al medir cierta característica en una población a las unidades estadísticas E1, E2 y E3 se les asigna los valores 2, 5 y 17 respectivamente usando una escala A. En cambio, usando una escala B, se asignan los valores 5 y 29 a E2, y E3 respectivamente, a) ¿Podría afirmarse que A y B son la misma escala de razón? b) ¿Qué podría afirmar sobre el valor deis, usando la escala B, si se sabe que ambas escalas son nominales?, son ordinales?, son la misma de intervalo? Solución: Escuela Profesional de Ingeniería Civil 1 ESTADISTICA 2012 3. Se revisaron 20 lotes de 48 artículos cada uno y se encontró el siguiente número i de artículos defectuosos por lote: 3, 2, 5. 0, 1, 3, 2, 1, 0,1, 3, 4, 2, 4. 4, 3, 4, 3, 2, 3. Construir la distribución de frecuencias relativas y frecuencias relativas! acumuladas. Graficar. ¿Qué porcentaje de lotes tienen dos o más pero menos de 4 artículos defectuosos? Solución: Conteo [0 [1 [2 [3 [4 1) 2) 3) 4) 5] 2 3 4 6 5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 2 3 4 6 5 20 √ 2 5 9 15 20 0.1 0.15 0.2 0.3 0.25 1 0.1 0.25 0.45 0.75 1 Como en el ejercicio nos dice 2 o más pero menores que 4 la respuesta es 50% 4. Determinar los intervalos de la distribución de frecuencias en cada uno de los siguientes casos: a) Datos enteros, Xmin= 10, X max = 50, y k = 8 intervalos. b) Datos con dos decimales, Xmin =2.55, Xmax = 3.86, y k = 6 c) Datos con tres decimales, Xmin =0,282, Xmax = 0.655, y k = 6. Solución: a [10 [15 [20 [25 [30 [35 [40 [45 15) 20) 25) 30) 35) 40) 45) 50] [2.55 [2.74 [2.93 [3.12 [3.31 [3.50 [3.69 b 2.74) 2.93) 3.12) 3.31) 3.50) 3.69) 3.88] [0.282 [0.345 [0.408 [0.471 [0.534 c 0.345) 0.408) 0.471) 0.534) 0.597) a) b) c) ̂ Escuela Profesional de Ingeniería Civil 2 125 0. resultando los siguientes: a) Construir una distribución de frecuencias de 6 intervalos de igual amplitud y a partir de ésta Escuela Profesional de Ingeniería Civil 3 .05 46 6. La inversión anual.15 0.825 0.1 0.55 0.25 0.025 0.05 1 0. en miles de dólares.275 0.95 1 0.ESTADISTICA 2012 5.025 4 10 0. a) Determinar el porcentaje de empresas con una inversión entre 14 mil y 20 mil dólares. de una muestra de 40 pequeñas empresas fueron: 31 17 27 20 28 10 34 25 4 24 15 39 18 30 41 26 12 46 18 23 36 19 29 37 33 27 27 24 26 31 25 28 33 28 22 23 31 29 35 21 Construir una distribución de frecuencias de 7 intervalos de clase.275 34 0.3 0. Solución: Conteo [4 [10 [16 [22 [28 [34 [40 10) 16) 22) 18) 34) 40) 46) 1 3 6 12 11 5 2 7 13 19 25 31 37 43 1 3 6 12 11 5 2 40 1 4 10 22 33 38 40 0.15 20 22 0.075 0.3 28 0.075 14 16 0. Se registra el tiempo en minutos que utilizan 30 alumnos para ejecutar una tarea.125 40 0.025 0. 23 0.9) 3 4 5 8 6 4 9.3 [11. Que porcentaje de las personas emplearon entre 9 y 11.6 [20.4 [14.7) 23. Solución: Conteo [8.ESTADISTICA b) Calcular el tiempo debajo del cual se encuentran el 25% de las tareas.27 0.4 0.05 19.67 0.13 0. en minutos.35 3 4 5 8 6 4 30 2 7 12 20 26 30 0.7 [23.17 0.8 11.8) 26. que utilizaron 65 personas para realizar una prueba de aptitud aparece representada en el siguiente histograma.6) 20.85 12.5 minutos Solución: Total = 65 Escuela Profesional de Ingeniería Civil 4 .2 0.87 1 2012 a) √ b) ( ) ( ) ( ) 7.1 0.4) 14.25 25.15 22.95 16. La distribución de los tiempos.13 1 0.5) 17.5 [17.1 0. 3 0.ESTADISTICA 2012 8.2 0.25 0. el sueldo mínimo y máximo de 200 empleados es de $150 y $300 respectivamente. 180 ganan menos de $270 y el 10% restante de empleados gana a lo más $300. Una compañía. reconstruir la distribución y graficar su polígono de frecuencias. 110 ganan menos de $240.55 0.1 0. 60 ganan menos de 210$.35 0. Si se sabe que 20 empleados ganan al menos 150$. Solución: [150 [180 [210 [240 [270 180) 210) 240) 270) 300] 165 195 225 255 285 20 40 50 70 20 200 20 60 110 180 200 0. pero menos de $180.1 1 0.1 0. Tales sueldos se tabulan en una distribución de frecuencias de 5 intervalos de igual amplitud.9 1 Escuela Profesional de Ingeniería Civil 5 . 4 0.ESTADISTICA 2012 9. ¿Qué porcentaje de ingresos son superiores a $285 Solución: 125+A [125 175) 150 200 250 300 350 hi= 0.2 0. Los ingresos mensuales de una muestra de pequeños comerciantes se tabularon en una distribución de frecuencias simétrica de 5 intervalos de igual amplitud resultando: Ingreso mínimo $125. Si el 8% de los ingresos son menores que $ 165 y el 70% de los ingresos son menores a $275.2 0. marca de clase del cuarto intervalo m4 = $300.1 30% 125+A 125+2A 125125+1A [175 225) 125+2A 125+3A [225 275) 125125+1A 125+3A 125+4A 125125+1A [275 325) 0.1 1 40% 70% 30% [325 375] hi 125 165 175 ( ) Escuela Profesional de Ingeniería Civil 6 . la frecuencia absoluta: f2 = 2f1 + 5 . Completar la distribución de frecuencias. y si se sabe que el 85% de los obreros demoran menos de 12 minutos. ?]. que tardaron 100 obreros para ejecutar cierta tarea. Si el intervalo I1 = [6.ESTADISTICA hi 275 285 325 2012 ( ) 10. Solución: 6+A [6 8) 7 9 11 13 𝑓 15 𝑓 35 15 50 85 100 6+A 6+2A [8 125125+1A 10) 6+2A 6+3A [10 125125+1A 12) 6+3A 6+4A 125125+1A 14] [12 𝑓 35 𝑓 15 100 𝑛 𝑃 𝐿𝑠 𝐴 𝐹𝑘 𝐹𝑘 ) 𝐴 𝐹𝑘 ( 𝑎 𝑨 𝟐 Escuela Profesional de Ingeniería Civil 7 . en minutos. ha dado una tabla de frecuencias de cuatro intervalos de iguala amplitud cuyo histograma correspondiente es simétrico. La organización del tiempo. Si se tienen: marcas de clase m2 =40 y m4 = 80. h3=h5. Los puntajes de una prueba de aptitud se tabularon en una distribución de frecuencias de 6 intervalos de igual amplitud. y F6 = 60. Solución: X X+A [10 30) 20 40 60 80 100 120 60 90 120 150 120 60 600 XA X+2A 125125+1A 50) [30 X+2A X+3A 125125+1A 70) [50 X+3A X+4A 125125+1A 90) [70 [90 [110 110] 130] Escuela Profesional de Ingeniería Civil 8 . h2 = h4 – h1.ESTADISTICA 2012 11.25. h4 = 0. completar la distribución de frecuencias absolutas y graficar el polígono. frecuencias: h1=h6. h3 = h1+ 0.10. 75% de las familias lo usaron menos de 17 horas y el 85% menos de 19 horas. Solución: [2 [6 [10 [14 [18 6) 10) 14) 18) 22] 165 195 225 255 285 12 18 36 30 24 120 12 30 66 96 120 12% 15% h3 =30% h4 =25% h5 =20% 100% ( ) ( ) Escuela Profesional de Ingeniería Civil 9 . (en horas) de 120 familias que utilizan su computadora se tabularon en una distribución de frecuencias de 5 intervalos de amplitud iguales a 4. determine Infrecuencias. el tiempo mínimo de uso 2 horas. siendo. la primera y segunda frecuencias iguales a 10% y 15% del total de casos respectivamente. "El tiempo. Si el 73.ESTADISTICA 2012 12. ESTADISTICA ( ) ( ) ( ) 2012 13. siendo las frecuencias: f2 = 25. se tabularon en una distribución de frecuencias simétrica de 6 intervalos. F5 = 130. El consumo mensual de agua de 150 hogares. Si el límite inferior del sexto intervalo igual a 60.5m3 completar la distribución de frecuencias Solución: 𝑄 60-5A 60-4A [35 125125+1A 40) 60-4A 60-3A [40 125125+1A 45) 60-3A 60-2A [45 125125+1A 50) 60-2A 60-A [50 125125+1A 55) 60-A 60 125125+1A 60] [55 60 60+A [60 125125+1A 65] 20 25 30 30 25 20 150 20 45 75 105 130 150 𝑨 𝟓 𝐴 ( 𝐴 ( 𝐴 𝐴 ) 𝐴 𝐴 ) 𝐴 Escuela Profesional de Ingeniería Civil 10 . y si el 5% de los consumos son mayores de 43. F3=75. y un alumno tiene 18. ¿qué nota promedio es?¿es el promedio adecuado?¿cuanto es el promedio adecuado? Solución: Escuela Profesional de Ingeniería Civil 11 . en miles de toneladas.ESTADISTICA 2012 14. Trazar un gráfico para Año" 1995 1996 1997 1998 1999 Gran minería 30 50 80 60 50 Mediana minería 30 50 60 40 45 Pequeña minería 30 30 43 42 40 a) Mostrar la evolución de las exportaciones. b) Ver el tipo de minería que determina principalmente la tendencia de las| exportaciones. c) Mostrar la proporción de cada tipo de minería respecto al total déíj exportaciones por año. 200 180 160 140 120 PEQUEÑA MINERIA 100 MEDIANA MINERIA GRAN MINERIA 80 60 40 20 0 1995 1996 1997 1998 1999 15. El volumen de exportación de cobre. Si se indica como nota promedio 13. durante el período: 95-99 se dan en la tabla que sigue. En la evaluación a 5 alumnos tienen cada uno nota 12. 2.2. ascendieron a la cantidad de $ 1’650.2. en cierto periodo. 16.7. ¿cuántos metros cúbicos de agua se requieren mensualmente si el consumo promedio por familia permanece igual? Solución: ̅ ̅ 17.ESTADISTICA 2012 16. 23. resultando los siguientes consumos en metros cúbicos: 11. 19. 75 a cada uno. 13.6. b) 15% de su sueldo más 10 soles a cada uno.000 para pagar sueldos. 14. Solución: ̅̅̅ ̅̅̅ Escuela Profesional de Ingeniería Civil 12 .1.000 y algunos carros usados con un precio de $5000 en promedio.5.4. Se proponen dos' alternativas de aumento.3. Las ventas de un distribuidor de automóviles. Para calcular el suministro de agua que una ciudad requiere mensualmente se escogen 15 familias de la ciudad.7. 94. 22. 16. 14. 18. vendiendo. a) S/. ¿cuál alternativa es más conveniente? Solución: ̅ ̅ a) b) ̅ 18.9.000 familias. 18.000.8. 15.8. Si la empresa dispone a lo más de S/. 50 automóviles nuevos a un precio promedio de $ 13. 18. 32. ¿Cuál es el promedio de los precios de todos los automóviles que se vendieron?.0. Si en la ciudad hay 5.5. El sueldo promedio de 200 empleados de una empresa es S/400. 21. Escuela Profesional de Ingeniería Civil 13 .4 minutos. 40 llamadas de menos de 10 minutos pero no menos de 3 minutos.3 minutos. En el presente mes. En tres grupos distintos de 100. De una central telefónica salieron 70 llamadas de menos de 3 minutos. 42% y 40%. Solución: ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ 21.000 y 20. promediando 2.ESTADISTICA 2012 a) b) 19. 9 vendedores realizaron las siguientes ventas en dólares: Vendedor 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Venta ($) 800 700 500 400 1000 1200 820 750 450 a) Cuánto es la media de las ventas? b) ¿Quien es el vendedor promedio?. el porcentaje de personas con educación superior es 21%. y 10 llamadas de al menos 10 minutos. Calcular el porcentaje promedio de personas con educación superior Solución: 20. promediando 6. Calcular la duración promedio de todas las llamadas. respectivamente.000. promediando 15 minutos. 90.000 personas. siendo la puntuación mínima 25. A una muestra se aplicó un test para medir autoestima y los puntajes se tabularon en una distribución de frecuencias de 5 intervalos de igual amplitud. 25. y 30% de casos en el primer.?. ¿a partir de que sueldo se paga el impuesto?. a) Calcule los diferentes indicadores de tendencia central. segundo y tercer intervalo respectivamente. la tercera marca de clase 62. 20%. b) Si se aplica un impuesto a los sueldos localizados en el cuarto superior. 15. ¿qué porcentaje de la muestra no tiene autoestima normal.5. Si las frecuencias en porcentajes del primero al tercero son: 5. y 80 puntos. b) Si se considera normal una autoestima comprendida entre ¿8.ESTADISTICA Solución: 2012 ̅ ̅ 400 450 500 700 750 800 820 1000 1200 750 corresponde al vendedor 8 22. Escuela Profesional de Ingeniería Civil 14 . y si y el 90% de las puntuaciones son menores que 85 a) calcule el promedio adecuado. Los sueldos en una empresa varían de $300 a $800 distribuidos en forma simétrica en 5 intervalos de igual amplitud. con el 15%. Solución: 𝐴 300 300+A [300 125125+1A400) 300+A 300+2A 𝑨 𝟏𝟎𝟎 15% 20% 30% 20% 15% 100% 15% a) [400 [500 [600 [700 500) 600) 700) 800] 35% 65% 85% 100% 300+2A 300+3A 300+3A 300+4A 300+4A 300+5A b) 𝑄 𝐿𝑖 ( 𝐻𝑘 𝐻𝑘 𝐻𝑘 ) 𝐴 𝑄 𝑄 ( ) 23. ESTADISTICA Solución: 𝐴 𝐴 𝐴 2012 25 25+A [25 125125+1A 40) 25+A 25+2A 32. a) Calcule los promedios de rendimiento.5 62. el 25% menos del 30%.5 47. Sí el 65%de los bonos rinden menos del 40%. el 90% menos del 50%y el 95% al menos 20%.5 5% 15% 25% 45% 10% 100% 5% 20% 45% 90% 100% ( 58 𝑨 𝒙 ( 𝟏𝟓 ) [40 25+2A 55) 25+3A [55 25+3A 70) 25+4A 25% 58 70 80 45% [70 25+4A 85) 25+5A 58 [85 100] ) ( ) 24. un estudio comparativo del porcentaje de rendimiento de ciertos bonos se laboró una distribución de frecuencias de 5 intervalos de amplitud iguales.5 77. b) Si el 50% de los bonos de mayor rendimiento deben pagar un impuesto ¿a partir de que rendimiento corresponde pagar el impuesto? c) ¿Es la media el punto medio entre los cuartiles 1 y 3? Solución: X X+A [10 20) 125125+1A X+A X+2A 15 25 35 45 55 h1=5% h2=20% h3=40% h4=25% h5=10% 100% 5% 25% 65% 𝑥 𝐿𝑖 [20 X+2A 30) X+3A a) 𝑥̅ ( ̅ 𝒙 𝟑𝟔 𝟓 𝐻𝑘 ) 𝐴 𝐻𝑘 ( ) [30 X+3A 40) X+4A [40 X+4A 50) X+5A 90% 100% 𝒙 𝒙 ∆ ∆ 𝒙 𝐻𝑘 𝟑𝟔 𝟐𝟓 ( ∆ ∆ [50 60] 𝐿𝑖 ∆ ) 𝐴 ( ) 𝒙 b) 𝑄 𝑥 Escuela Profesional de Ingeniería Civil 15 . siendo las marcas de clase primera y quinta 15 y 55 respectivamente.5 92. 5 20.50. para las casi optimas y 5 u.m. Los salarios que ofrece una empresa a los practicantes varían entre $150 y 270$. siendo las frecuencias relativas respectivas del primero al tercero 0.24. b) Si las utilidades por cada caja es de 30 unidades monetarias (u. el 80% tiene salarios menores o iguales que $225 y el 15% tienen salarios mayores que $232. para el resto ¿Cuánto es la utilidad promedio por caja? Solución a) 10 10+A [10 125125+1A 13) 10+A 10+2A ( 𝟒𝟒 ) 11. b) Si el ingreso mínimo se fija en $240 y la empresa aumenta una misma cantidad a todos los practicantes de modo que el 20%supere el ingreso mínimo ¿Cuánto seria el aumento? Solución Escuela Profesional de Ingeniería Civil 16 .5 17.ESTADISTICA 2012 25.5 23.5 14. 0.m. una caja se considera óptima si el porcentaje de defectuosos no supera el 17% y casi optima si no supera el 20%.36. El porcentaje de artículos defectuosos encontrados en un número determinado de cajas recibidas varían de 10 a 25 y han sido tabulados en una distribución de frecuencias simétricas de 5 intervalos de igual amplitud.) para las optimas y 15 u. Si los salarios se agrupan en cuatro intervalos de clase de longitudes iguales de manera que el 40% de los practicantes tienen salarios menores o iguales que $195. 0.5 8% 24% 36% 24% 8% 100% 8% 32% 68% 92% 𝟏𝟗 𝟐 ( ) [13 10+2A 16) 10+3A [16 10+3A 19) 10+4A 𝟑𝟐 b) [19 10+4A 22) 10+5A [22 25] 100% 26. a) Calcule el porcentaje de cajas óptimas y casi óptimas.m.08. a) Que porcentaje de practicantes tiene un salario superior al salario medio. moda igual a 4 y desviación estándar igual a 3. c) Si a cada uno se sube 4 puntos ¿se ha logrado vajar el las dispersión de las notas? Solución ̅ ̂ a) Escuela Profesional de Ingeniería Civil 17 .ESTADISTICA ( 150 150+A [150 125125+1A180) 150+A 150+2A ) 𝟏 ( ) 𝟐 2012 165 195 225 255 100% ( [180 [210 [240 210) 240) 270) 150+2A 150+3A 150+3A 150+4A ) 𝟑 a) 20% 180 10% 270 204 210 240 ( ) 27. Además se sabe que le 25%de los alumnos tiene como máximo 11. mediana igual a 8. a) Describa y calcule la asimetría de la distribución. b) Determine la dispersión de la distribución mediante el rango intercuartil. La distribución de las notas resultantes de un examen de un examen de conocimientos tiene media igual a 10. Los sueldos de 100 empleados de una empresa tiene una media de 300$ y una desviación estándar de $50. Si el cuartil 1 de A es 5 y de B es 35 y si el cuartil 3 de A es 30 y de B es 50 ¿Cuál de los grupos de tiene aptitud homogénea? Solución 30. Un investigador califica a los grupos A y B que dan una pueba de actitud asignándoles valores de escala ordinal.ESTADISTICA b) R1=Q3-Q1 R1=11-02 𝐶𝑉 𝐶𝑉 𝑆 𝑥̅ 𝑆 𝑥̅ 𝑥 𝑛𝑥 𝑥 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛𝑥 𝑛 𝑛 2012 28. las medias aritméticas de las medidas es 38° en cada caso y los coeficientes de variación son 1% y 2% respectivamente ¿Cuál de los termómetros es más confiable? Solución ̅ 29. Se realizaron 10 mediciones con cada uno de dos termómetros A y B. Se proponen 02 alternativas de aumento i) $75 a cada uno ii) 15% del sueldo más $20 a cada uno ¿Cuál es la alternativa más conveniente? Solución ̅ ̂ Escuela Profesional de Ingeniería Civil 18 . Solución 𝐶𝑉 𝛾𝑥 𝛾𝑦 𝛾𝑦 Igualando 𝜇𝑥 𝛾𝑥 𝜇𝑥 𝜇𝑥 𝜇𝑦 𝜇𝑥 y 𝟑 𝛾𝑥 𝜇𝑥 𝝁𝒙 𝟐𝟎𝟎 𝜇𝑥 𝜸𝒙 𝟏𝟎 𝜸𝒚 𝝁𝒚 𝟏𝟐 𝟑𝟎𝟎 Escuela Profesional de Ingeniería Civil 19 . Los sueldos de 150 trabajadores de una empresa tiene un coeficiente de variación del 5% en el mes de agosto. Para el mes de setiembre hay un aumento a cada trabajador del 20% de su sueldo más una bonificación de $60 y el coeficiente de variación baja a 4%.ESTADISTICA a) 2012 b) 31. 15X+2. El costo inicial de producción. Suponga que el precio de venta de cada objeto de la muestra es proporcional al cuadrado del costo final de producción ¿Cuánto será la recaudación por la venta total de los 50 objetos? Solución 𝑥̅ ̂ ̅ ̅ ̅ ̅ 𝑥̅ 𝑥 𝑛 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥̅ 𝑥 𝑛 𝑥 𝑥 ̅ 𝒙 𝟐𝟑 Escuela Profesional de Ingeniería Civil 20 . La varianza de n. Si la suma d los datos es 40 y la suma de sus cuadrados es 560. el costo final de la producción esta dado por la relación Y=1. (n>4) datos de variable X es 40. X de una muestra de 50 objetos de cierto tipo tiene una tiene una desviación estándar de $3.ESTADISTICA 2012 32. La media del costo de producción es de $25 para v30 objetos de la muestra y de $20 para el resto. calcular el coeficiente de de variación de los datos des pues de la transformación Y=(3X+9)/10 Solución 𝑛 𝑛 𝒏 𝑛 𝟏𝟎 𝑛 ( 𝑛 ) √ ̅ 𝛾 𝑦 𝛾 𝛾𝑦 𝐶𝑉 𝑦 𝟎 𝟗𝟎𝟑 33. ESTADISTICA 2012 Escuela Profesional de Ingeniería Civil 21 .