EJERCICIOS PRIMER PARCIAL1. Dados los vectores , hallar el vector combinación lineal 2. El vector , ¿se puede expresar como combinación lineal de los vectores: ? 3. Calcular el valor de k sabiendo que donde 4. Dados los vectores =(2, k) y = (3, - 2), calcula k para que los vectores y sean: a) Perpendiculares. b) Paralelos. c) Formen un ángulo de 60° 5. Hallar k si el ángulo que forma = (3, k) con = (2, -1) vale: a) 90° b) 0° c) 45° 6. Suponiendo que respecto de la base ortonormal { , } del plano los vectores tienen como expresiones: Calcular el valor de k para que los dos vectores sean ortogonales. 7. Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6,0), B(3,5), C(-1,-1). 8. Calcula la proyección del vector sobre el vector . 9. Calcula la proyección del vector sobre el , siendo A(6,0), B(3,5), C(-1,-1). 10. Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados AB y AC del triángulo: A(3,5), B(-2,0), C(0,-3), es paralelo al lado BC e igual a su mitad. Si es paralelo a sus componentes son proporcionales. También se puede determinar teniendo en cuenta que si los vectores son paralelos el ángulo que forman entre si es 0 0 11. Si { , } forma una base ortonormal, calcular: a) . . = 1 · 1 · cos 0° = 1 b) 2 · . = 1.1. cos 90° = 0 c) · · = 1 · 1 · cos 90° = 0 d) · · = 1 · 1 · cos 0° = 1 12. Hallar el simétrico del punto A(3, - 2) respecto de M(- 2, 5). 13. Dados dos vértices de un triángulo A (2, 1), B(1, 0) y el baricentro (El baricentro de un triángulo es el punto de intersección de las medianas de dicho triángulo, siendo una mediana el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto) G(2/3, 0), calcular el tercer vértice. 14. Dados los puntos A (3, 2) y B(5, 4) halla un punto C, alineado con A y B, de manera que se obtenga 15. Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(-1, -2), B(4, -1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo. 16. Si M 1 (2, 1), M 2 (3, 3) y M 3 (6, 2) son los puntos medios de los lados de un triángulo, ¿cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo? x 1 = 7 x 5 = 7 x 3 = −1 y 1 = 4 y 5 = 0 y 3 = 3 A(7, 4) B(5, 0) C(−1, 2) 17. Normalizar los siguientes vectores: = (1, ), = (-4, 3) y = (8. -8). 18. Calcula la proyección del vector sobre el , siendo A(6,0), B(3,5), C(-1,-1). 19. Dados los vectores = (1, 4), = (1, 3) que constituyen una base. Expresar en esta base el vector = (−1. −1). (−1. −1) = a (1, 4) + b (1, 3) −1 = a +b a = −1 −b a= 2 −1 = 4a +3b −1 = 4( −1 −b) +3b b = −3 = 2 − 3 20. Calcular el valor de a para que los vectores = 3 + 4 y = a − 2 formen un ángulo de 45°. 21. Expresa el vector = (1, 2, 3) como combinación lineal de los vectores: = (1, 0, 1), = (1, 1, 0) y = (0, 1, 1). 22. Siendo = (1, 0, 1), = (1, 1, 0) y = (0, 1, 1), demostrar que dichos vectores son linealmente independientes y expresa el vector = (1, 2, 3) como combinación lineal de dichos vectores. 23. Dados los vectores = (1, 2, 3), = (2, 1, 0) y = (−1, −1, 0), demostrar que dichos vectores forman una base y calcula las coordenadas del vector (1, −1, 0) respecto de dicha base. 24. Hallar dos vectores de módulo la unidad y ortogonales a (2, −2, 3) y (3, −3, 2). 25. Hallar un vector perpendicular a y , y que sea unitario. 26. Dados los vectores y , hallar: El producto vectorial de y · 27. Un vector unitario ortogonal a y · 28. El área del paralelogramo que tiene por lados los vectores y · 29. Dados los vectores y , hallar el producto y comprobar que este vector es ortogonal a y a . Hallar el vector y compararlo con . 30. Dados los vectores , y , hallar el producto mixto . ¿Cuánto vale el volumen del paralelepípedo que tiene por aristas los vectores dados? 31. Dados los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 1) y C(1, 6, a), se pide, Hallar para qué valores del parámetro a están alineados. Si A, B y C están alineados los vectores y tienen la misma dirección, por lo que son linealmente dependientes y tienen sus componentes proporcionales. 32. Hallar si existen valores de a para los cuales A, B y C son tres vértices de un paralelogramo de área 3 y, en caso afirmativo, calcularlos. El módulo del producto vectorial de los vectores y es igual al área del paralelogramo construido sobre y . 33. 34. 35. 36. 37. En estos tres ejercicios usaremos la notación para indicar el vector diferencia B – A. Tenemos así que A + = B 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. Supongamos que estamos sobre el punto P (-1, 5, 8) en una colina cuya ecuación es z=f (x, y)=74− x 2 −7xy−4 y 2 . El eje Y señala hacia el norte y el eje X hacia el este, y las distancias se miden en metros. Demostrar que para subir por la máxima pendiente desde el punto P me tengo que mover hacia el suroeste. Se tiene que f (-1,5) = 8, luego el punto P (-1, 5, 8) verifica la ecuación z=f(x, y)= 74− x 2 −7xy−4 y 2 (está en la colina). Además f x' (x, y)=−2x−7y ⇒ f x' (−1, 5)=−33 f y' ( x, y )=−7x−8y ⇒ f y' ( −1, 5)=−33 Luego la dirección donde hay máxima pendiente es la del vector unitario que es un vector que tiene las dos componentes negativas, está dirigido hacia el suroeste. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. CALCULAR EL VECTOR GRADIENTE DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES: 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. en el punto (-2, 1, 3) 84. en el punto (0, -2) 85. 86. 87. 88. 89. 90. 91. 92. 93. 94. 95. 96.
Report "Ejemplos y Ejercicios de Calculo Vectoria. Primer Parcial 2013i"