MODELOS DE PROBLEMASRESUELTOS Profesor: Jorge Bravo Chacón Nombre Alumno: Diego Pereira Peña Fecha: 23 de septiembre de 2013 Tabla de contenidos Granjas Modelo Dorian auto Bibliografía 3 6 10 2 . las variables de decisión del modelo se definen como sigue: X1 = lb de maíz en mezcla diaria X2 = lb de soya en mezcla diaria La función objetivo trata de minimizar el costo (en dolares) diario total de la mezcla de alimentos.30 Soya 0. Granjas Modelo desea determinar las proporciones de alimento que produzcan un costo diario minimo. que es una mezcla de maíz y soya.90 Las necesidades dietéticas del alimento especial son un mínimo de 30% de proteínas y un máximo de 5% de fibras.06 0. Como la mezcla de alimentos consiste en maíz y soya. y en consecuencia se expresa como sigue: 3 .Granjas Modelo En Granjas Modelo se usa diariamente un mínimo de 800 libras (LB) de un alimento especial.02 0.09 0.60 0. con las composiciones siguientes: Lb por lb de alimento Alimento Proteínas Fibras Costo ($/lb) Maiz 0. 06x2 <= 0. Esta cantidad debe ser cuando menos igual al 30% de la mezcla total de alijmentos.9x2 4 . esto es 0.09x1 + 0. la cantidad de proteína que contienen x1 lb de maiz y x2 lb de soya es (0. la restricción correspondiente se puede expresar como sigue: x1 + x2 >= 800 En cuanto a la restricción dietética de necesidades de proteína.6x2>= 0.3x1 + 0. Así. la restricción de la fibra se define como 0.3 (x1+x2) De manera similar. el modelo completo viene a ser Minimizar z= 0. (x1+x2) lb. para que solo quede una constante en el lado derecho.02x1 + 0.3x1 + 0.05 (x1 + x2) Las restricciones se simplifican agrupando todos los terminos en x1 y x2 y pasandolos al lado izquierdo de cada desigualdad.09x1 + 0.6x2) lb. Como Granjas Modelo necesita un minimo de 800 lb diarias de alimento.Minimizar z = 0.9x2 Las restricciones del modelo reflejan la cantidad diaria necesaria y los requerimientos dieteticos. 30x2 <=0.03x1 – 0.6 + 0. se necesita reducir lo más posible el valor de Z.21x1 – 0.64 diarios. se encuentra en la intersección entre la recta x1 + x2 >= 800 y la recta 0.4 = 437.01x2 >= 0 x1. Así se obtienen los resultados x1 = 470. 5 .6 lb y x2 = 329. lo cual se puede ver fácilmente en la gráfica.3 * 470.x1 + x2 >= 800 0.30x2 <=0 0.9 * 329.4 lb. Ya que en el modelo se busca minimizar la función objetivo.21x1 – 0.x2 >=0 La figura a continuación se obtiene al graficar cada una de las ecuaciones obtenidas. El costo mínimo corresponde a z = 0. Dorian debe decidir cuantos anuncios en los programas de comedia y en el de fútbol debe comprar. Dorian adquiere minimizar el costo total de los anuncios (en miles de dólares). Dorian auto ha emprendido una ambiciosa campaña publicitaria por TV. 6 . y decidió comprar comerciales de un minuto en dos tipos de programas: programas de comedia y juegos de fútbol americano. La compañía opina que sus clientes más idóneos son hombre y mujeres de altos ingresos. por lo que las variables de decisión son: X1 =numero de anuncios de un minuto comprados en programas de comedia X2 = numero de anuncios de un minuto comprados en los juegos de fútbol Luego. Un anuncio de un minuto en los programas de comedia cuesta 50000 dólares y un comercial de un minuto en un juego de futbol cuesta 100000 dólares. Utilice la programación lineal para determinar como Dorian puede alcanzar sus objetivos publicitarios al mínimo costo. Dos millones de mujeres de altos ingresos y 12 millones de hombres de altos ingresos ven cada comercian en juegos de fútbol. Para llegar a estos grupos. Cada comercial en programas de comedia lo ven 7 millones de mujeres de altos ingresos y 2 millones de hombres también de altos ingresos.Dorian auto Dorian Auto fabrica automóviles de lujo y camiones. A Dorian le gustaría que por lo menos 28 millones de mujeres de altos ingresos y 24 millones de hombres de altos ingresos vieran sus comerciales. Restricción 2. Los anuncios deben alcanzar por lo menos. a 28 millones de mujeres de altos ingresos. Los anuncios deben llegar por lo menos a 24 millones de hombres de altos ingresos. sea MAI las mujeres televidentes de altos ingresos y HAI los hombres televidentes de altos ingresos (en millones). MAI = (MAI/anuncios en programas de comedia) (total de anuncios en programas de comedia) + (MAI/anuncios en el fútbol) (total de anuncios en el futbol) 7 .Costo total de los anuncios = costo de los anuncios en programas de comedia + costo de los anuncios en juegos de fútbol = (costo / anuncio en programas de comedia) ( total de anuncios en programas de comedia) + (costo / anuncio en el fútbol) (total de anuncios en el fútbol) = 50X1 + 100X2 Entonces. Para expresar las limitaciones 1 y 2 en términos de x 1 y de x2. la función objetivo de Dorian es: Min z = 50X1 + 100X2 Dorian se enfrenta a las siguientes limitaciones: Restricción1. 8 .x2 >= 0 Se procede a graficar las ecuaciones obtenidas y se obtiene lo siguiente.=7X1+ 2X2 HAI = (HAI/anuncios en programas de comedia) (total de anuncios en programas de comedia) + (HAI/anuncios en el futbol) (total de anuncios en el futbol) = 2X1+12X2 La restricción 1 ya se puede expresar como 7x1 + 2x2 >= 28 La restricción 2 se podría expresar como 2x1+12x2>= 24 Las restricciones de signo X1 >= 0 y X2 >=0 son necesarias. Donde la el trazo AB es una parte de la recta 7x1 + 2x2 = 28 y el trazo CD una parte de la recta 2x 1 + 12x2 = 24). así que el PL de Dorian está dada por: Mi z = 50 X1 + 100x2 7x1 + 2x2 >= 28 2x1 + 12x2 >= 24 X1. Dado que Dorian desea minimizar el costo total de los anuncios. Para encontrar la solución óptima. Se escoge en forma arbitraria la recta de isocostos que pasa por el punto (x1 = 4. Una recta de isocostos es cualquier recta en la cual todos los puntos tienen el mismo valor z (el mismo costo). Para este punto. El último punto en la región factible que cruza una recta de isocostos será el punto de la región factible que tiene el valor más pequeño de z. 9 . x2 = 4). En la figura se puede ver que el punto E tiene el valor de z más pequeño. la solución optima del problema es el punto que tenga valor z más pequeño en la región factible. z = 50(4) + 100(4) = 600 y se grafica la recta de isocostos z = 50x 1 + 100 x2 = 600. es necesario trazar una recta de isocostos que cruza la región factible. Luego se consideran las rectas paralelas a la isocosto en dirección en que z decrece (suroeste). Aplicaciones y algoritmos. Mexico: International Thomson Ediciones. “Introducción a la programación lineal”. Taha. Edición. Investigación de Operaciones. 4ª. “Introducción a la programación lineal”. 60 – 62. 10 . Edición. Wayne L.Bibliografía Hamdy A. Mexico: Pearson Educación. Winston. 2005. 2004. 18 – 19. Investigación de Operaciones. 7ª.