EJEMPLOS: 1.- Una fábrica textil elabora prendas de punto de calidades A y B. Las de calidad A se fabrican con 1 unidad de lana y 2 unidades de fibra sintética y las de calidad B con 2 unidades de lana y 1 de fibra sintética. Los beneficios obtenidos en la venta de prendas son de 15 dólares para la calidad A y 10 dólares para la calidad B. Sabiendo que sólo se dispone de 180 unidades de lana y 240 de fibra sintética, se pide. A). Determinar cuantas prendas de cada tipo deben elaborarse para obtener un beneficio máximo si la producción no puede ser superior a 1.000 prendas. B). ¿A cuánto ascenderá dicho beneficio?. TIPO DE CALIDAD UNID. DE LANA UNID. DE FIBRA SINTÉTICA BENEFICIO (dólares) A B TOTAL DISPONIBLE 1 2 180 2 1 240 15 10 SOLUCIÓN: 1.-) X = número de prendas de calidad A. Y= número de prendas de calidad B. VARIABLES DE DESCISIÓN: 2.-) Maximizar Z = 15 X + 10 Y FUNCIÓN OBJETIVO: 3.-) SUJETO A: X + 2Y ≤ 180 2X + Y ≤ 240 X≥0 RESTRICCIONES Y≥0 2.- Un taller fabrica lavadoras y lavavajillas con una producción diaria máxima total de 180 unidades. El beneficio obtenido con la producción y venta de cada lavadora es de 50 dólares y 80 dólares el obtenido con cada lavavajillas. Sabiendo que por las limitaciones de la cadena de montaje no es posible fabricar diariamente más de 150 lavadoras ni más de 80 lavavajillas, se pide: A). Determinar la producción de cada artículo a fin de obtener un beneficio máximo, teniendo en cuenta que el número de lavadoras ha de ser como mínimo el doble que el de lavavajillas, con objeto de poder atender la demanda existente. B). ¿Cuál será el valor de dicho beneficio?. SOLUCIÓN: 1.-) VARIABLES DE DESICIÓN: X = Producción diaria de lavadoras. Y = Producción diaria de lavavajillas. 2.-) FUNCIÓN OBJETIVO: Maximizar Z = 50 X + 80 Y 3.-) RESTRICCIONES: SUJETO A: X + Y ≤ 180 X ≤ 150 Y ≤ 80 X ≥ 2Y X≥0 Y≥0 3.- Un matadero industrial sacrifica diariamente cerdos, corderos y terneros. Para ello dispone dos líneas de trabajo. En la primera se sacrifican y despiezan cada hora 3 cerdos, 4 corderos y 1 ternero y en la segunda también cada hora 6 cerdos, 2 corderos y 1 ternero, siendo el coste por hora de la primera línea 1000 pesos y de la segunda 1500 pesos. Sabiendo que el mercado de la ciudad necesita cada día para su abastecimiento 30 cerdos, 20 corderos y 8 terneros, se pide: a) ¿Qué número de horas debe funcionar cada línea para abastecer cada día el mercado con un coste mínimo? b) ¿Cuál será el valor de dicho coste mínimo? LÍNEA 1 2 ABASTO PARA EL MERCADO (ANIM./DIA) CERDOS / HORA 3 6 30 CORDEROS / HORA 4 2 20 TERNERO / HORA 1 1 8 SOLUCIÓN: 1.-) VARIABLES DE DESICIÓN: X = N° de horas en la línea 1 Y = N° de horas en la línea 2 2.-) FUNCIÓN OBJETIVO: Minimizar Z = 1000 X + 1500 Y 3.-) RESTRICCIONES: SUJETO A: 3X + 6Y ≥ 30 4X + 2Y ≥ 20 X + 2Y ≥ 10 2X + Y ≥ 10 X+Y≥8 X≥0 Y≥0 4.-) Una peña de aficionados de un equipo de fútbol encarga a una empresa de transportes el viaje para llevar a los 1200 socios a ver la final de su equipo. La empresa dispone de autobuses de 50 plazas y de microbuses de 30 plazas. El precio de cada autobús es de 252 euros y el de cada microbús es de 180 euros. Sabiendo que la empresa sólo dispone de 28 conductores, se pide: a) ¿Qué número de autobuses y microbuses deben contratarse para conseguir el mínimo coste posible? b) ¿Cuál será el valor de dicho coste mínimo? SOLUCIÓN 1.-) VARIABLES DE DESICIÓN: X = N° de autobuses. Y = N° de microbuses. 2.-) FUNCIÓN OBJETIVO: Minimizar Z = 252 X + 180 Y 3.-) RESTRICCIONES: SUJETO A: 50X + 30Y ≥ 1200 X + Y ≤ 28 X≥0 Y≥0 5.-) Una inmobiliaria desea promocionar una nueva urbanización mediante una campaña publicitaria. Para ello dispone de 5 tipos de anuncios: anuncio a en televisión local al mediodía (tvm), anuncios en televisión local a la noche (tvn), anuncios en periódico local (per), anuncios en suplemento dominical local (sup) y anuncios en radio local por la mañana (rad). La empresa ha reunido datos sobre la cantidad de clientes potenciales a los que se destina cada tipo de anuncio y el coste de cada anuncio en euros. Además, se ha llevado a cabo una valoración de la calidad que tiene cada anuncio de acuerdo al medio en e que se expone, en una escala de 0 a 100 (0 nula, 100 excelente). Los datos se recogen en la siguiente tabla: ANUNCIOS tvm tvn per sup rad CLIENTES POTENCIALES 1000 2000 1500 2500 300 COSTE (EUROS) 1500 3000 400 1000 100 CALIDAD EXPOSICIÓN 65 90 40 60 20 El número máximo de anuncios que se pueden emitir es 15, 10, 25, 4 y 30 de tvm, tvn, per, sup, y rad respectivamente. La inmobiliaria, aconsejada por una agencia de publicidad, decide utilizar al menos 10 anuncios en la televisión, alcanzar por lo menos 50000 clientes potenciales, no gastar más de 18000 euros en anuncios en televisión y si se hacen anuncios en el periódico entonces no hacer anuncios en la televisión por la noche. El presupuesto máximo para la campaña publicitaria es de 30000 euros. Modelizar, sin resolver, mediante programación lineal entera el problema de cómo debe planificar la campaña si se desea maximizar la calidad de la exposición de todos los anuncios de la campaña publicitaria. SOLUCIÓN: 1. X1 = N° de anuncios a emitir en tvm. X2 = N° de anuncios a emitir en tvn. X3 = N° de anuncios a emitir en per. X4 = N° de anuncios a emitir en sup. X5 = N° de anuncios a emitir en rad. Y = “1” si se hacen anuncios per, y “0” en caso de no hacerse anuncios per. VARIABLES DE DESICIÓN: 2.-) FUNCIÓN OBJETIVO: Maximizar Z = 65X1 + 90X2 + 40X3 + 60X4 + 20X5 3.-) RESTRICCIONES: X1 ≤ 15 X4 ≤ 4 X5 ≤ 30 X1 + X2 ≥ 10 1500 X1 + 3000 X2 ≤ 18000 X3 ≤ 25Y Y = 0,1 1000 X1 + 2000 X2 + 1500 X3+ 2500 X4 + 300 X5 ≥ 50000 1500 X1 + 3000 X2 + 400 X3 + 1000 X4 + 100 X5 ≤ 30000 X2 ≤ 10(1-y) X(1,2,3,…n.) ≥ 0