11EJEMPLOS POR INDICADOR DE UNDECIMO GRADO ESTÁNDAR DE CONTENIDO 1: NUMERACIÓN Y OPERACIÓN 1.0 Aplica los conceptos de los vectores en dos dimensiones para representar, interpretar y resolver problemas. N.SN.11.1.1 Define vectores en dos dimensiones como objetos que tienen magnitud, dirección y su representación geométrica. Ejemplo: uu ur Determinar el vector estándar OP con el punto inicial A ( 8 , -3) y el punto final B (4 , 5). N.SO.11.1.2 Reconoce los vectores como sistema que tiene algunas de las propiedades de los números reales. Ejemplo: Encuentra la magnitud del vector v = < v = a 2 + b2 N.OE.11.1.3 Ilustra y aplica las propiedades de suma de vectores y multiplicación por un escalar para representar, investigar y resolver problemas. Juzga la razonabilidad de los cómputos con vectores. Ejemplo: Si u = < 4 , -3 > y v = < 2 , 3 >, encuentre u + v ESTÁNDAR DE CONTENIDO 2: ÁLGEBRA El estudiante es capaz de realizar y representar operaciones numéricas que incluyen relaciones de cantidad, funciones, análisis de cambios, empleando números, letras (variables) y signos. El estudiante: 2.0 -2 , 4 > y Investiga el comportamiento de las funciones con sus respectivas ecuaciones. Compara y contrasta las propiedades de las diferentes familias de funciones. A.PR.11.2.1 Determina el dominio y el alcance de las funciones a partir de sus 11. simetría (funciones pares e impares) y relaciona conceptos con la gráfica de la función.PR. las asíntotas. la naturaleza y el número de ceros de la función y su representación simbólica.2.2. Ejemplo: Para la función f(x) = x2 + 2x – 15. hallar los ceros. g(x) = x2 + 2x + 1 A.5x2 .11.2 Identifica y aplica las relaciones entre los puntos importantes de una función (ceros. racionales.9x + 45 = 0 la estos A. puntos máximos. f(x) = 3x2 d. puntos mínimos). representadas de múltiples formas. radicales. . f(x) = 3cos(x – 3) Clasifica las funciones en polinómicas. racionales. potencia.4 Reconoce y describe la continuidad. A. logarítmicas. f(x) = x + 1 c. su comportamiento en los infinitos. A. el punto máximo o mínimo. potencias. g(x) = log a (x – 2) c. f(x) = 3x + 5 b. logarítmicas y trigonométricas: .PR. Ejemplo: a. y = 3 sen x b.PR. Ejemplo: Hallar el dominio de: a.2. h(x) = e 2x e. radicales. la gráfica de la función. Ejemplo: Determina las asíntotas verticales y horizontales 2x −1 para la función racional R(x) = y hallar su 3x + 2 dominio. el vértice y los intervalos donde es creciente y decreciente.PR.2. trigonométricas y funciones definidas por partes.diferentes representaciones.3 Determina el número y la naturaleza de soluciones de una ecuación polinomial con coeficientes reales sobre los números complejos Ejemplo: Halla la solución de la ecuación polinómica x3 .5 Compara y contrasta las características de las diferentes familias de las funciones: polinómicas.11.11. Usando la notación de Intervalo. el intervalo donde es creciente. h(x) = 3sen x 3.11. determina su dominio.x + 2 + 3 para x ≥ -2 A. a y las funciones trigonométricas básicas. Ejemplo: Dadas las funciones g(x) = x – 9 y h(x) = hallar h(g(x)) determinar el dominio de h(g(x)) x.3. Ejemplo: Halla el dominio. g(x) ≠ 0 A. f(x) = 2x c. b. interceptos con los ejes.PR. d.1 Encuentra. g(x) = x3 + 5 d.3. f(x) = cos (x + 2) e. e . hallar la a. su alcance y su gráfica.11. A.0 Examina y aplica las transformaciones básicas de las funciones e investiga la composición y descomposición de las funciones dentro de un contexto real.3. Utiliza la composición de funciones para determinar si las funciones son inversas.2. decreciente o constante y asíntotas: a.PR.11. la resta.PR. c. x x ln x. la multiplicación y la división (cuando existe) de dos funciones.3 Describe las condiciones bajo las cuales una relación inversa es una función Determina y grafica la inversa de una función . b. y = ln (x +2) b. log a x . recorrido.6 Describe y contrasta funciones elementales comunes f. (f + g) (x) (f – g) (x) (f g) (x) f ( )(x) g . incluyendo x . Ejemplo: Dadas f(x) = 3x + 2 y g(x) = operación y el dominio de: 2 x − 1 .11. interpreta y traza la gráfica de la suma. a.PR. g(x) = n (representadas simbólicamente y gráficamente).2 Compone y descompone dos funciones. A. Define los ángulos en el plano (en posición estándar.0 Utiliza las transformaciones de las funciones trigonométricas. A.PR.PR.11. f(x) = x 2 + 2x – 8.PR. c.4. sus propiedades y sus gráficas para crear modelos y resolver ecuaciones trigonométricas y una variedad de problemas.PR. las asíntotas y los intervalos donde es creciente o decreciente). a la forma f(x) = a (x – h)² + k y trazar la gráfica.4.4. determinar un ángulo coterminal a θ. b. los lados co-terminales y el ángulo de referencia). f(x) = a (x – h)² + k e interpreta los resultados de estas transformaciones verbalmente.2 Define el círculo unitario A. Ejemplo: Convierta la función. 7π . gráficas. determinar la inversa (si 1 existe) y construir la gráfica de f y de f − .PR. los cuadrantes. el recorrido. expresiones verbales y ecuaciones. gráficamente y numéricamente. Evalúa funciones trigonométricas para un número real dado. Dado f(x) = 0.35 cos ( π x ).4 Aplica las transformaciones básicas de las funciones.11. ¿porqué f (0) no es cero? A.1 Identifica ángulos en posición estándar y asocia su medida con la rotación del lado terminal.11.4 Trazar la gráfica de funciones de la forma: .11.0. 4] . las intersecciones con los ejes.3 Representa las funciones trigonométricas por medio de tablas. trazar la gráfica en el siguiente intervalo para x. hallar el ángulo de referencia A.4. los valores máximos y mínimos. A.Ejemplo: Dada la función f (x) = 2x + 3. 6 Ejemplo: a. considerando f(x) como un modelo que explica el mecanismo de la respiración en seres humanos. Reconoce las características principales de cada una de las funciones trigonométricas (el dominio. Ejemplo: Dado el ángulo θ = a. b. 2 hallar f(0). [0 .45 .3. 4.11. B. frecuencia. Ejemplo: Traza la gráfica de y = -2 π ≤ x ≤ 2π A.4.4.PR. en el intervalo A.25 cos 2(θ .PR. Ejemplo: ¿Será la gráfica de y = sen θ periódica? Explicar.11. 2 π ] 1 4 cos x.PR. . la cuerda forma una línea vertical.11.6 Describe y hace predicciones sobre fenómenos periódicos de la vida real usando la información de la gráfica. y b.11.PR.PR. periodo. C y D en términos de amplitud. Ejemplo: Resuelve la ecuación 2cos2x + cos x = 1 [0. Al moverse el péndulo oscila de izquierda a 1 derecha con una frecuencia de y alcanza un ángulo 12 máximo de 23° a cada lado A.5 Identifica las características de un fenómeno periódico usando la información provista por la gráfica.90°) – 1.9 Utiliza funciones trigonométricas para construir modelos y resolver problemas matemáticos y del mundo real. deslizamiento vertical y cambio de fase.7 Traduce entre la representación gráfica y la algebraica para las funciones generalizadas seno y coseno. A.4. ¿qué cambios se producen? A. Ejemplo: Un péndulo está en reposo.4. a. Utilizar una función trigonométrica para modelar los datos.f (t ) = A sin ( Bx + C ) + D e interpreta A.4.11.8 Resuelve ecuaciones trigonométricas. la profundidad del agua varía con las olas al final del puerto. Ejemplo: Con ayuda de la tecnología construye la gráfica de y = -0. Encuentra la profundidad a las 9am y 3pm. La tabla muestra la profundidad en pies a las distintas horas en la mañana.11. Ejemplo: Durante el día. Hora Media Noche Profundidad 3. propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno físico. funciones secante. características.11. cosecante. hallar tan2 θ y cot 2 θ 1 − tan 2 x 2. Ejemplo: 1.1 Desarrolla y aplica la definición de las funciones seno y coseno para resolver triángulos. Ejemplo: Halla la Longitud del lado x.2 ESTÁNDAR DE CONTENIDO 3: GEOMETRÍA El estudiante es capaz de identificar formas geométricas. las inversas de la función y su representación gráfica.FG.5. de suma y diferencia. Demuestre la Identidad: cos 2x = 1 + tan 2 x 3. los cuales utiliza para simplificar expresiones trigonométricas y resolver triángulos.11.2 x Desarrolla las identidades pitagóricas trigonométricas fundamentales.5. analizar sus estructuras.1 12m 1. 30 m 30 ° G. Investiga las propiedades de las funciones trigonométricas.7 4am 11. Utiliza la formula de doble ángulo para reescribir la ecuación y = 4cos2 x – 2 .8 10am 0.3 6am 9.4 (pies) 2am 8. tangente y cotangente.0 Resuelve triángulos aplicando las funciones trigonométricas. Dado sen2 θ + cos2 θ = 1. G.1 8am 3. El estudiante: 5.FG. doble ángulos. 5 cm y 8 cm respectivamente. Su lado mayor mide 120 m.FG.11. cos -1 x con dominio de [-1 .FG. Traza la gráfica de: 1. Determine la altura del árbol. sen -1 x con dominio de [-1 .11. Calcula los valores de las funciones trigonométricas inversas. 1] 2. Ejemplo: Un punto A se encuentra a 10m de un árbol y forma un ángulo de elevación con el tope del árbol. G. tan -1 x con dominio todos los reales G. Define y traza la gráfica de las funciones trigonométricas inversas con dominios restringidos apropiadamente. de 40°.5.11. Encuentra el arccos 2 y tan-1 (-1) 2 b.3 Conoce los dominios restringidos de las funciones seno. Ejemplo: A C B . Halle las medidas de sus otros dos lados. Ejemplo: a. Ejemplo: Las medidas de dos ángulos de un triángulo son 28 y 45 grados.5. tienen radios de 2 cm.FG. Encuentre las medidas de los ángulos formados por las rectas que unen sus centros. para poder definir sus inversas. B y C con circunferencias tangentes entre sí.5 Desarrolla la Ley de Seno. coseno y tangente. 1] 3. la Ley de Coseno y las utiliza para hallar las medidas desconocidas de lados y los ángulos en el triángulo.G.4 Resuelve triángulos rectángulos y usa los resultados para resolver problemas concretos.5. Tres círculos A. entonces tiene diagonales congruentes.11.6. Ejemplo: Indica si la desigualdad x ≤ x2 es cierta o falsa.6. Ejemplo: Si el ∠ 1 es un ángulo exterior del ∆ MNP . indica la relación entre la suma de los ángulos exteriores de éstos. Prueba que m ∠ 1 > m ∠ 4 y m ∠ 1 > m ∠ 3 M 1 2 N 3 4 P G.6.FG.6. Dada la siguiente afirmación: Si una figura fuera un rectángulo.5 Organiza y presenta pruebas directas e indirectas.4 Formula e investiga la validez del recíproco de proposiciones condicionales. Indica si su recíproco es cierto o falso.FG. Justifica tu respuesta. Si fuese falsa.FG.FG. G. G. utilizando tablas de dos columnas. ofrezca un contraejemplo. párrafos y flujogramas Ejemplo: Dado: ∆RAB es isósceles con el ángulo del vértice Ejemplo: - .6.6.FG.0 Desarrolla y aplica los métodos generales de prueba en la solución de problemas y formula las justificaciones para los teoremas básicos de la Geometría Euclidiana G.11.11. G.11.3 Desarrolla un contraejemplo para refutar una proposición inválida.1 Establece conjeturas basadas en la exploración de situaciones geométricas con o sin tecnología Ejemplo: Después de dibujar varios polígonos convexos.11.2 Establece la prueba directa ó indirecta para determinar si una proposición matemática es cierta. t segundos después) y = 80 – 4. abastece el estanque con peces sobrevolando esa área en su avión y arrojándolos.1 Utiliza ecuaciones paramétricas para representar situaciones que involucran movimiento en el plano.LR.7. Discuta la curva definida paramétricas x = 3t2 -2 ≤ t ≤2 y = 2t por las expresiones 2.7.11.0 Aplica los métodos paramétricos para representar e interpretar el movimiento de objetos en un plano. a. Escribe una ecuación para y en términos de x G.3 Investiga curvas planas.11. Continuación del ejercicio anterior: b. incluyendo a aquellas en forma paramétrica Ejemplo: 1. t segundos después). G. Grafique la curva plana dada en forma paramétrica por: x = 8cosθ y = 4senθ Identifique la curva eliminando el parámetro θ ESTÁNDAR DE CONTENIDO 4: MEDICIÓN .2 Traduce una par de ecuaciones paramétricas a una ecuación rectangular e interpreta la situación en el contexto.LR.0t2 (la altura sobre el terreno.LR. EA es la bisectriz del ∠ RAB Prueba: EA es una mediana 7. el movimiento de un proyectil y el movimiento de los objetos en órbitas. Ejemplo: Un piloto del cuerpo de vigilantes.en RAB.11.7. La ruta de los peces se modela con estas ecuaciones paramétricas: x = 120t (distancia horizontal desde donde fueron tirados. ¿A qué distancia deben ser tirados los peces para que caigan dentro del estanque? G. incluyendo movimiento en una línea. 11. Ejemplo: Se tiene unja polea atada a dos rolos como se muestra en la figura.8. .1 Determina la medida de los ángulos en grados y en radianes y establece las conversiones entre ambas unidades e medida. organizar. .11. π y sus múltiplos. El estudiante: 8. . 3 r = 5 cm M.π 6 4 3 2 M. para los puntos π π π π 0. Ejemplo: Halla el área de un sector de un círculo con radio de 5π 25 m.UM.TM. herramientas y técnicas de medición para establecer conexiones entre conceptos espaciales y numéricos.El estudiante es capaz de utilizar sistemas.8. calcula las revoluciones del 2π rolo mayor.11.8. Dado S = θr.4 Determina el área de un sector circular.11.8. 6 4 3 2 Ejemplo: Encuentre el valor exacto de las seis funciones trigonométricas. . M.2 Desarrolla y aplica los valores de las funciones trigonométricas en: π π π π 0. . . y limitado por un ángulo de 6 ESTÁNDAR DE CONTENIDO 5: ANÁLISIS DE DATOS Y PROBABILIDAD El estudiante es capaz de utilizar diferentes métodos de recopilar. .3 Calcula longitudes de arco.UM.TM. Ejemplo: a) b) 2π 3 Establecer la conversión de ángulos en radianes a grados: 5 ¶ 6 M. .0 Determina la medida de los ángulos en grados y radianes y determina la longitud de arco. . 9.5 530.11.11. E. ¿cuánto debe pesar la calabaza en el 2005 a partir del 1983? E.IP. E.3 Calcula y grafica los residuales de la línea de regresión por cuadrados mínimos.9.0 Juzga la asociación entre datos numéricos de dos variables y utiliza el coeficiente de correlación para determinar su asociación lineal.IP.99 x + 437. Desarrolla modelos para tendencias de datos de dos variables por medio de líneas de regresión de cuadrados mínimos.5 490 614 470 617.2. Ejemplo: Pesos de calabazas que ganaron premios Año 1984 1985 1086 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 Peso 433 515.IP.5 604. juzga el ajuste del modelo lineal.11.2 Interpreta y describe la correlación y señala las fortalezas y debilidades del coeficiente como una medida de asociación lineal.1 Determina la correlación utilizando la tecnología.9.) 66 64 63 63 65 E. Ejemplo: A continuación.11. El estudiante: 9.interpretar y presentar datos para hacer inferencias y conclusiones.4 Interpola utilizando las tendencias observadas en el diagrama de dispersión y juzga cuando las tendencias extrapoladas son apropiadas. la tabla que incluye el tiempo en segundos y la edad de los jóvenes que cualificaron . Ejemplo: entre dos variables numéricas Peso y estatura de cinco estudiantes de séptimo grado Peso (lbs) 150 135 140 167 160 Estatura (pulg.5 718 698 (en libras) a. Traza la gráfica de puntos b.IP.9. Explique esa situación. Ejemplo: Hay una correlación fuerte durante el verano entre comer mantecado e incidentes de ataque de tiburón en las playas. Si la ecuación de regresión para los datos anteriores es y = 23. 000 es la población en el año 2000. como contraejemplos o casos únicos.6 Analiza la importancia potencial de los valores extremos como avisos para errores posibles en los datos. desarrolla técnicas básicas y avanzadas para analizar datos. evalúa .6.9. Ejemplo: E. Investiga y describe los efectos de los valores extremos en el coeficiente de correlación.1.000. a. la pendiente y los interceptos de la línea de regresión.000. métodos y resultados de un estudio estadístico. ¿Es este modelo apropiado para hallar este tiempo luego de extrapolar? Examina la influencia de los valores extremos en la correlación y en los modelos de tendencias.11. Justifique como se determinaría la población para el 1930. donde 4. Trazar la gráfica de puntos (dispersión) b.00(1. determine la población estimada para el año 2011. dispersión. asociación y tendencias.08)n. especialmente cuando se describen tendencias sociales.IP.para competir en correr una milla.0 Examina los efectos de las transformaciones en las medidas de tendencia central.IP. ¿Tiene sentido la respuesta? 10. Ejemplo: Si el crecimiento anual de la población de Puerto Rico responde al modelo siguiente 4. Edad (años) Tiempo (segundos ) 9 511 10 477 11 452 12 431 13 410 14 386 15 380 16 368 17 366 Si la ecuación de mínimos cuadrados es y = -18.11. Comunica los propósitos.5 Peso (libras) Estatura (pulgadas) Calcula la pendiente y el intercepto E. Extrapolar usando el modelo de mínimos cuadrados para hallar el tiempo de una persona de 25 años c.3x + 657. Ejemplo: Samuel recopiló información sobre el número de cajas de dulces que vendió cada uno de los miembros de su club de futbol y el numero de anos que cada miembro ha pertenecido al club. E. métodos y resultados de un estudio estadístico utilizando un lenguaje no técnico.11.11. resumen numérico) revelan diferentes características de un conjunto de datos.V. E. Ejemplo: E.3 Comunica en forma oral y escrita los propósitos.10.10. lineal.estudios reportados en los medios de comunicación.000 s = 40 s = 30 ¿Cuál es más consistente con la audiencia? 11.AD.2 Describe e ilustra cómo se seleccionan las escalas para analizar y presentar información y cómo las transformaciones pueden utilizarse en el desarrollo de modelos lineales. 3 22 4 20 1 20 2 20 1 15 3 19 4 23 5 26 2 22 2 18 Anos en el club Cajas vendidas 4 23 3 18 6 30 2 26 Hagamos un diagrama de dispersión para ver si existe alguna relación entre ambos factores.11.0 Resuelve problemas de conteo y de probabilidad relacionados. Ejemplo: Dos programas de T. E.1Demuestra y describe cómo las diferentes escalas (original. raíz cuadrada.11. logarítmica) pueden afectar los diagramas de dispersión. se van a evaluar y cuentan con una audiencia como se muestra: Programa 1 Programa 2 x = 1.000 x = 2.10. Reconoce un escenario de probabilidad binomial y halla la distribución de probabilidad .10.4 Evalúa los resultados de estudios informados en los medios de comunicación. gráficas. resume las estadísticas y muestra cómo las distintas representaciones (tablas.AD.RD.AD. 11.11. Describe las características de la distribución normal y utiliza la regla empírica para resolver problemas. 28 .11. E. E.PR.11. 31 .12.12.PR. 28 .2 Reconoce una escenario de probabilidad binominal.2Utiliza representaciones gráficas y la regla empírica para evaluar si el modelo normal es apropiado para un conjunto de datos. ¿Cuántos arreglos de dos cuadros se pueden formar con los cuadros? E.12. 33 . Tiempo que demoraron 25 personas en completar el mismo examen 30 .PR. 30 . 24 . Ejemplo: Ahora el director del museo decide utilizar solo dos de los cuatro cuadros disponibles para colocarlos sobre la pared de izquierda a derecha.11. Ejemplo: ¿Qué porciento de los datos de una distribución normal deben de encontrarse en dos desviaciones estándar de la media? de E. 34 . 30 . 27 . 34 . 29 . 32 .11. 28 E. 32 . ¿Cuál es la probabilidad de contratar a ocho hombres? 12.para un conteo binomial. Describe las características de la distribución normal. 32 . Ejemplo: Determina si los datos representan una distribución normal.0 Identifica escenarios donde la distribución normal es de utilidad.3 Utiliza la regla empírica para estimar la probabilidad . 26 .11.PR. 33 . 32 . 27 . y desarrolla y dibuja la gráfica de una distribución de probabilidad para un conteo binomial.1Utiliza las permutaciones. 30 . 28 .PR. 33 . combinaciones y la Regla de Multiplicación (Propiedad Fundamental de Conteo) para resolver problemas de conteo y de probabilidad. 31 . Ejemplo: Una compañía piensa contratar a diez personas.1Identifica escenarios donde la distribución normal es de utilidad. 34 . 884. Ejemplo: Si los sueldos de los alcaldes de Puerto Rico tienen una distribución normal con x = $68.001? . ¿qué porciento de los alcaldes tienen un salario anual entre $14.469 y $95.que un evento ocurrirá en un intervalo específico el cual puede describirse en términos de de la desviación estándar sobre la media.154 y σ = $26. Aproximadamente.