Institut für Soziologie Professur für empirische Sozialforschung Prof. Dr. Johannes Kopp pp Dr.Daniel Lois Einführung in die Mehrebenenanalyse (und Anwendung in Mplus / SPSS) Stand: März 2010 Inhaltsverzeichnis 1. Mehrebenenanalyse: Grundlagen 2. Mehrebenenanalyse in Mplus 3. Mehrebenenanalyse in SPSS 4. Exkurs: Fixed oder Random? 5 Hinweise 5. 6. Literaturempfehlungen 3 26 54 64 74 76 Mehrebenenanalyse 2 Mehrebenenanalyse: Grundlagen Eine Mehrebenenstruktur liegt vor, wenn Daten einer Analyseebene hierarchisch e a c sc in e einer e zweiten e te gesc geschachtelt ac te t s sind d Die nächste Folie zeigt hierzu drei Beispiele: Personen (Ebene 1) sind der übergeordneten Ebene „Land“ oder „Haushalt“ zugeordnet Auch Längsschnitt- bzw. Paneldaten lassen sich als Mehrebenendaten auffassen; hier entspricht Ebene 1 den Messzeitpunkten und die übergeordnete Ebene 2 sind Personen, bei denen eine Variable mehrfach gemessen wird Die Beispiele beschränken sich auf 2 Ebenen; grundsätzlich sind jedoch auch komplexere Hierarchien mit 3 oder mehr Ebenen denkbar (z.B. Ebene 3 = Länder, Ebene 2 = Haushalte, Ebene 1 = Personen) Mehrebenenanalyse 3 Mehrebenenanalyse: Grundlagen Beispiel 1: Personen (Ebene 1) gruppieren sich in Ländern (Ebene 2) Beispiel 2: Personen (Ebene 1) gruppieren sich in Haushalten (Ebene 2) Beispiel 3: Messzeitpunkte (Ebene 1) gruppieren sich in Personen (Ebene 2) Land 1 Land 2 Person 1 Person 2 Person 3 Person 4 Haushalt 1 Haushalt 2 Person 1 Person 2 Person 3 Person 4 Person 1 Person 2 Zeitpunkt 1 Zeitpunkt 2 Zeitpunkt 1 Zeitpunkt 2 Mehrebenenanalyse 4 . ( Personenebene) e so e ebe e) nicht c tu unabhängig ab ä g g voneinander. können Schätzungen von Zusammenhängen. Verfahren für dichotome AV. eine metrische abhängige Variable und Querschnittdaten Erweiterungen (3 oder mehr Ebenen. was as bei der Datenanalyse zu berücksichtigen ist Geschieht dies nicht. sind die einzelnen Beobachtungen auf Ebene au be e 1 (z. V i Varianzen und d Signifikanzniveaus Si ifik i verfälscht fäl ht werden d Das folgende Skript beschäftigt sich einführend mit Verfahren zur Analyse von Mehrebenendaten.Mehrebenenanalyse: Grundlagen Wenn hierarchische Daten vorliegen. MultiLevel-Panelanalyse) Level Panelanalyse) sind der genannten Literatur zu entnehmen Mehrebenenanalyse 5 . behandelt werden das Prinzip und die praktische Umsetzung in den Programmen Mplus und SPSS Die Darstellung beschränkt sich auf 2 Ebenen. o e a de .B. ob die Beziehungen zwischen Variablen auf der Individualebene auf Gruppenebene variieren und ob diese Variabilität durch Gruppenmerkmale erklärt werden kann Mehrebenenanalyse 6 . können sich aber zwischen Schulklassen unterscheiden Daneben kann von Interesse sein.B. B Erfahrung des jeweiligen Lehrers) analysiert werden Merkmale auf Klassenebene sind für alle Schüler einer Klasse gleich. muss die Leistung eines Schülers als Funktion von Einflüssen auf individueller Ebene (etwa kognitive Fähigkeiten) und auf Klassenebene (z (z.Mehrebenenanalyse: Grundlagen Mehrebenenanalysen sind vor allem zum Zweck der Analyse von Individuen in Gruppen entwickelt worden Da z.B. Schüler in Schulklassen geschachtelt sind. 61) eingetragen Das einfache Regressionsmodell trifft die Wirklichkeit jedoch nicht bzw. berechnet wurde eine einfache lineare Regression Auf der Regressionsgeraden sind der Gesamtmittelwert (5.Mehrebenenanalyse: Grundlagen Ein Beispiel: Es geht um den Zusammenhang zwischen sozialer Herkunft und Schulleistung für einen Datensatz mit 40 Personen aus zwei Schulklassen Auf der folgenden Folie ist der positive Zusammenhang der beiden Variablen dargestellt.27) und die Steigung der Geraden (b = 1. führt zu falschen Schlussfolgerungen Mehrebenenanalyse 7 . Mehrebenenanalyse: Grundlagen Quelle: Ditton (1998: 22) Mehrebenenanalyse 8 . wobei es hier mehrere Möglichkeiten gibt: Zum einen kann das Leistungsniveau in den beiden Klassen unterschiedlich sein Zum anderen kann auch der Zusammenhang zwischen sozialer Herkunft und Leistung in der einen Klasse stärker oder schwächer sein als in der anderen Zu beiden Fragestellungen bietet die zuvor durchgeführte Analyse mittels einer einzigen linearen Regression keine Informationen. Gefahr dass Unterschiede verdeckt geblieben sind Mehrebenenanalyse 9 . ob bedeutsame Unterschiede zwischen den Schulklassen bestehen. es besteht vielmehr die Gefahr.Mehrebenenanalyse: Grundlagen Es bleibt offen. Mehrebenenanalyse: Grundlagen Quelle: Ditton (1998: 24) Mehrebenenanalyse 10 . ist die Berechnung von zwei getrennten Regressionen Mehrebenenanalyse 11 .45 gegenüber 3. diesmal sind jedoch – getrennt für beide Klassen – zwei Regressionsgeraden eingezeichnet und es werden gravierende Unterschiede deutlich: Es ist zu erkennen.80) als in Klasse 1 (b = 0. um die Unterschiede zwischen den Klassen aufzuzeigen. dass der Zusammenhang zwischen sozialer Herkunft und Schulleistung in Klasse 2 viel stärker ist (b = 2.10 in Klasse 1) Der zweite Unterschied besteht darin. erkennen dass die Schüler aus der zweiten Schulklasse deutlich höhere Schulleistungen erzielen (der Mittelwert in Klasse 2 beträgt 7.66) Eine einfache Methode.Mehrebenenanalyse: Grundlagen Auf der vorangehenden Folie ist das Streudiagramm erneut dargestellt. also durch einen individuellen Faktor. eleganter) sie soll hier aus didaktischen Gründen jedoch vorläufig genügen Wenn also Unterschiede zwischen den Klassen im Hinblick auf die Konstanten und die Regressionsgewichte bestehen stellt sich die Frage: wie können diese Unterschiede erklärt werden? Denkbar wäre. erklärbar sind Mehrebenenanalyse 12 .Mehrebenenanalyse: Grundlagen Der Unterschied zwischen den Schulklassen äußert sich dann a) in den unterschiedlichen Regressionskonstanten (intercepts) und b) in den unterschiedlichen Regressionsgewichten (slopes) Diese Vorgehensweise wird bei steigender Zahl von Level 2-Einheiten unpraktikabel (Verfahren zur Mehrebenenanalyse lösen dies eleganter). wäre dass die Leistungsunterschiede zwischen den Klassen durch unterschiedliche kognitive Fähigkeiten der Schüler. die zu Unterschieden im Leistungsniveau oder zu einer größeren Selektivität beitragen? Mehrebenenanalyse 13 . Damit entsteht eine Fragestellung.Mehrebenenanalyse: Grundlagen Über solche Erklärungen auf der Individualebene hinaus könnten aber auch Merkmale der Schulklassen selbst. die eine Mehrebenenanalyse erfordert: Gibt es über den Effekt individueller Faktoren hinaus Bedingungen und Prozesse in den Schulklassen.B. des Lehrers oder des Unterrichts. sein.B. für die Unterschiede zwischen den Klassen verantwortlich sein Im Hinblick auf den unterschiedlichen Zusammenhang zwischen Herkunft und Leistung könnte es z. dass durch Vorurteile der Lehrer Kinder aus oberen Schichten in der einen Klasse bevorzugt werden in der anderen dagegen weniger stark werden. z. sind unbefriedigend und können irreführend sein Zumindest müssen bei dieser Datenstruktur die folgenden beiden Fragen gestellt werden: Gibt es Differenzen in den Mittelwerten der Level 2-Einheiten (Regressionskonstanten)? Gibt es Differenzen in den Beziehungen zwischen den Variablen innerhalb der Level 2-Einheiten (Regressionssteigungen)? Verfahren zur Mehrebenenanalyse können diese Fragen beantworten. dass Phänomene auf unterschiedlichen Analyseebenen y (Individual( und Aggregatebene) gg g )g gleichzeitig g untersucht werden Mehrebenenanalyse 14 . ihr Grundprinzip ist.Mehrebenenanalyse: Grundlagen Das einfache Beispiel hat verdeutlicht: Analysen für hierarchisch strukturierte Daten. welche die Mehrebenenstruktur der Daten ignorieren. B. um Analysen auf nur einer Ebene durchzuführen können) Seit den 1980er Jahren stehen leistungsfähige Verfahren zur Verfügung. Verfügung die für hierarchisch strukturierte Datensätze angemessen sind Behandelt werden im Folgenden Mehrebenenmodelle mit Zufallskoeffizienten (multilevel random coefficient modeling. in denen die Koeffizienten einer Analyseebene zur abhängigen Variablen auf der nächsten Analyseebene werden (deshalb wird oft auch von „hierarchischen hierarchischen linearen Modellen Modellen“ (HLM) gesprochen) Mehrebenenanalyse 15 . die Aggregation oder Disaggregation der Daten.Mehrebenenanalyse: Grundlagen Daten mit Mehrebenenstrukturen wurden lange Zeit mit suboptimalen Verfahren analysiert (dazu zählt z. MRCM) Diese Verfahren kann man sich konzeptuell als eine Reihe geschachtelter Regressionsanalysen vorstellen vorstellen. Modell 1) In diesem Modell wird die kontinuierliche Variable Y für i Individuen in j Gruppen gemessen Die Regressionskonstante (intercept) β0j gibt den Mittelwert von Y für jede Gruppe j an Die Variable Y wird auf Ebene 1 als Funktion der Regressionskonstante für j jede Gruppe pp (β0j) und des Fehlers rij modelliert. modellieren nur den Mittelwert auf jeder Ebene (siehe Tabelle nächste Folie.Mehrebenenanalyse: Grundlagen Im Rahmen der „systems of equations“-Notation werden diese Modelle durch separate Gleichungen für jede Analyseebene beschrieben (so auch im Folgenden) Die einfachsten Analysen. die Varianz von rij entspricht der Varianz der abhängigen Variablen auf Ebene 1 Mehrebenenanalyse 16 . die als Nullmodell bezeichnet werden. B. Länder) Mehrebenenanalyse 17 . um ICC zu berechnen Yij = β oj + rij Yijj = βojj + β1 jX ijj + rijj β1 j = γ10 Level 2: β0 j = γ 00 + u 0 j Level 1: Level 2: β0 j = γ 00 + u 0 j 2 Random I t Intercept t Level 1: 3 Level 2: Yij = β oj + rij β0 j = γ 00 + γ 01Wj + u 0 j Fokus liegt auf Erklärung von Unterschieden zwischen Level 2Einheiten (z.Mehrebenenanalyse: Grundlagen Klasse Unkonditioniert ( Nullmodell“) („Nullmodell ) Nr Nr. Level 1: 1 Gleichungen Anmerkung Wird benutzt. Nullmodelle geben also – als erster Schritt in der Analyse – Aufschluss darüber. wie die Varianz auf die einzelnen Analyseebenen verteilt ist Das Hauptinteresse wird jedoch meist auf Modellen mit Prädiktoren liegen Die nächste Modellklasse wird unter dem Begriff „Random Random Intercept Intercept“ zusammengefasst Mehrebenenanalyse 18 . die Varianz von u0j ist die Varianz der abhängigen Variablen auf Ebene 2 Die Gesamtvarianz von Y entspricht der Summe der Varianzen auf Ebene 1 und 2.Mehrebenenanalyse: Grundlagen Die Regressionskonstante β0j wird in diesem Modell nur als Funktion des Gesamtmittelwertes (γ00) und des Fehlers (u0jj) modelliert. der Effekt einer oder mehrerer Level 1-Variablen X sich aber nicht zwischen den Level 2Einheiten unterscheidet (siehe Folie 22) In Modell Nr. die Level 2-Modellierung entspricht hier dem unkonditionierten Modell Dieses Modell ähnelt einer einfachen OLS-Regression.Mehrebenenanalyse: Grundlagen Ein solches Modell ist anzuwenden. die Gleichung auf Level 1 entspricht dem Nullmodell Mehrebenenanalyse 19 . dass es zwar Unterschiede im Y-Mittelwert zwischen den Level 2Einheiten gibt (die intercepts also variieren). wenn davon ausgegangen wird. 3 wird eine Level 2-Variable W als Prädiktor verwendet. das Subscript j zeigt allerdings. dass je ein Level 1-Modell pro Level 2-Einheit geschätzt wird In Modell Nr. 2 ist eine Individualvariable X als Prädiktor enthalten. indem die Signifikanz des γ01-Koeffizienten getestet wird. wenn man davon ausgeht. ob der mittlere Y-Wert einer Level 2Einheit mit dem Level 2-Prädiktor W zusammenhängt.Mehrebenenanalyse: Grundlagen In diesem Modell wird überprüft. erklärt werden sollen also Unterschiede zwischen Level 2-Einheiten Die Modelle Nr Nr. dass sich nicht nur Unterschiede im mittleren Y-Wert zwischen den Level 2-Einheiten ergeben. 4 erhöhen die Komplexität weiter weiter. 3 und Nr Nr. weil es nun einen Random Intercept und zusätzlich einen Random Slope gibt Derartige „slopes as outcome“-Modelle sind anzuwenden. sondern dass zusätzlich der Effekt eines Level 1-Prädiktors X zwischen den Level 2-Einheiten variiert (zur Verdeutlichung siehe auch das Diagramm übernächste Folie) Mehrebenenanalyse 20 . Level 1: 3 Level 2: Gleichungen Anmerkung Intercepts und Slopes varrieren zwischen Level 2-Einheiten.Mehrebebenanalyse: Grundlagen Typ Nr Nr. diese Variabilität wird aber nicht durch L2Prädiktoren erklärt Level-1 Intercept und Slope werden als Funktion von Level 2 2Variablen modelliert Yij = βoj + β1 jX j + rij Random Intercept + Random Slope 4 β0 j = γ 00 + u 0 j β1 j = γ10 + u ij Yij = β oj + β1 jX j + rij Level 1: Level 2: β0 j = γ 00 + γ 01Wj + u 0 j β1 j = γ10 + γ11Wj + u1 j Mehrebenenanalyse 21 . Mehrebenenanalyse: Grundlagen Quelle: Luke (2004: 12) Mehrebenenanalyse 22 . sondern auch die Unterschiede zwischen den slopes Mehrebenenanalyse 23 . ist der mittlere Effekt von X auf Y signifikant Sowohl β0jj (intercept) als auch β1jj (slope) werden als Zufallseffekte modelliert. 4 wird für jede der j Level 2-Einheiten ein Koeffizient β1jj (slope) geschätzt. 3 und Nr. wenn dieser Koeffizient sich signifikant von Null unterscheidet.Mehrebenenanalyse: Grundlagen In den Modellen Nr. u1j) zugeordnet. 4 wird nun versucht versucht. der jeweils Auskunft über ihre (Residual-)Varianz gibt In Modell Nr Nr. nicht nur die Unterschiede zwischen den Level 2-Einheiten bei den intercepts durch einen Level 2-Prädiktor W zu erklären. entsprechend ist beiden ein Zufallsfehlerterm (u0j. 3 wird der Mittelwert der Regressionssteigungen durch γ10 repräsentiert. der den Effekt von X auf Y in jeder Gruppe repräsentiert In Modell Nr. dass Interaktionseffekte modelliert werden. die zu derselben Level 2-Einheit gehören.: sich ähnlich) sind Mehrebenenanalysen führen also – im Gegensatz zu einfachen OLSRegressionen – zu einer unverzerrten Schätzung der Standardfehler und Signifikanzniveaus in hierarchischen Datensätzen Mehrebenenanalyse 24 . der Level 2-Variablen W zwischen den Level 2-Einheiten variiert (siehe das Diagramm nächste Folie) Alle zuletzt dargestellten Modelle tragen zudem der Tatsache Rechnung. statistisch nicht unabhängig voneinander (d.Mehrebenenanalyse: Grundlagen Dies bedeutet. dass die Level 1-Einheiten.h. nämlich Interaktionen von Prädiktoren auf der Individualebene und der Kontextebene (sog. „cross-level interaction“) Konkret gibt die Stärke und Signifikanz des Effektes γ11 darüber Auskunft inwieweit der Effekt einer Level 1-Variablen X in Abhängigkeit Auskunft. Mehrebenenanalyse: Grundlagen Mehrebenenanalyse 25 . Geschlecht. Wohnfläche des Haushaltes in qm qm. Bildung (casmin).Mehrebenenanalyse in Mplus Nach der formellen Einführung soll das Verfahren nun anhand eines emprischen Beispiels erläutert werden Die Datengrundlage bildet die 1999er-Welle des SOEP. Kinder 0 0-1 1 Jahre im Haushalt (ja/nein) (ja/nein). hier stellen Personen Level 1 und Haushalte Level 2 dar. Personen sind also innerhalb von Haushalten gruppiert Die abhängige Variable ist die allgemeine Lebenszufriedenheit (1 = sehr niedrig bis 10 = sehr hoch) Folgende allgemeine soziodemografischen Variablen sind unabhängig: Level 1: Alter. Ost/West. Familienstand Level 2: Haushaltseinkommen (gewichtet). Anzahl der Kinder 2-4 Jahre im Haushalt Mehrebenenanalyse 26 . dass Level 11 Prädiktoren und Level 2-Prädiktoren in separaten Dateien gespeichert werden. in einem Haushalt zusammen lebende Personen werden über eine gemeinsame Haushaltsnummer identifiziert.B. (z B aus SPSS) siehe die nächste Folie Zur Datenstruktur: Die Zeilen des Datensatzes stellen Personen dar. Mplus). SAS. dies ist in Mplus oder SPSS nicht notwendig Mehrebenenanalyse 27 . R.Mehrebenenanalyse in Mplus Zur Durchführung von Mehrebenenanalysen stehen verschiedene Programmpakete zur Verfügung (spezialisierte Programme wie HLM und MLwiN sowie allgemeine Programme wie STATA. SPSS. im Folgenden wird zunächst die Anwendung in Mplus erläutert Zum Import der Daten in Mplus (z. alle Personen mit missings wurden entfernt Manche Mehrebenen-Programme Mehrebenen Programme (z (z. B HLM) erfordern erfordern.B. Mehrebenenanalyse in Mplus Mehrebenenanalyse 28 . Mehrebenenanalyse in Mplus Der erste Analyseschritt ist die Überprüfung der Frage. 17ff) die sich vor allem bei einer überschaubaren Anzahl von Level 2-Einheiten anbieten. σr = Level 1Varianz): σ u20 ρ= 2 (σ u 0 + σ r2 ) Mehrebenenanalyse 29 . besteht ein formeller Test in der Berechnung des sog. Luke 2004: 17ff). ob die Anwendung eines Mehrebenenmodells überhaupt notwendig und angemessen ist Neben verschiedenen grafischen Analysemöglichkeiten (siehe z.B. Intraklassenkorrelationskoeffizienten (ICC) Dieser gibt den Anteil der Level 2-Varianz an der Gesamtvarianz in der abhängigen Variablen wieder (σu0 = Level 2-Varianz. die Syntax im entsprechenden Syntaxfile ist auf der nächsten Folie dargestellt Mit „TYPE = TWOLEVEL“ wird festgelegt. dass eine Mehrebenenanalyse berechnet wird. hier: Personen) und für Ebene 2 (between.Mehrebenenanalyse in Mplus Zur Berechnung des ICC in Mplus muss ein unkonditioniertes Modell (Nullmodell) geschätzt werden. hier: Haushalte) spezifiziert Bei einem Nullmodell wird auf beiden Ebenen lediglich die abhängige Variable ( („zufried zufried“) ) angegeben Mehrebenenanalyse 30 . mit „CLUSTER CLUSTER = hhnr hhnr“ wird angegeben. angegeben dass die Level 2-Einheiten anhand der Haushaltsnummer (hhnr) zu indentifizieren sind In Mplus wird das Modell getrennt für Ebene 1 (within. Mehrebenenanalyse in Mplus Mehrebenenanalyse 31 . der grundsätzliche Informationen über die Datenstruktur liefert Es gibt 7132 Level 2-Einheiten (Haushalte).Mehrebenenanalyse in Mplus Auf der nächsten Folie ist der Teil des Outputs dargestellt. die Haushaltebene. in unserem Fall ist sie jedoch unbedingt erforderlich. wäre eine Mehrebenenanalyse nicht angemessen. knapp 50% der Varianz der Lebenszufriedenheit geht also auf Unterschiede zwischen Haushalten zurück. der Rest entfällt auf Unterschiede zwischen Personen Würde der ICC einen Wert nahe 0 annehmen. die durchschnittliche Clustergröße beträgt 1.h. zurückgeht Mehrebenenanalyse 32 .884 Personen. d. Im Durchschnitt leben also knapp 2 Personen in einem Haushalt Der ICC beträgt für diesen Datensatz 0. da ein vergleichsweise großer Varianzanteil auf die Aggregatebene.477. Mehrebenenanalyse in Mplus Mehrebenenanalyse 33 . dies ergibt in Summe die Level 1-Varianz zwischen Personen (1.520 + 1. 520).953). der Gesamtmittelwert der Lebenszufriedenheit (6.673) = 0. dies ist γ00 in Modell Nr.Mehrebenenanalyse in Mplus Die nächste Folie zeigt die Ergebnisse des Nullmodells: Geschätzt wird nur ein fester Effekt Effekt. dies ist u0j Der ICC berechnet sich dann als: 1.520). dies ergibt die Level 2-Varianz zwischen Haushalten (1 (1. dies ist rijj Parallel werden die quadrierten Abweichungen der Haushaltsmittelwerte vom Gesamtmittelwerte berechnet.520 / (1.673). 1 auf Folie 17 Außerdem werden die quadrierten Abweichungen der personenspezifischen Werte von diesem Gesamtmittelwert berechnet.477 Mehrebenenanalyse 34 . Mehrebenenanalyse in Mplus Mehrebenenanalyse 35 . Mehrebenenanalyse in Mplus Der nächste Schritt besteht darin. ausgewiesen sind standardisierte Koeffizienten (Betas) Die Regressionskoeffizienten (β1j in Modell Nr Nr. Alter. wir beschränken uns zunächst auf Merkmale der Individuen (X) auf Ebene 1 Im Mplus-Input werden dazu im Menü „Variable“ die Merkmale Geschlecht Alter Geschlecht. 2 auf Folie 17) zeigen folgende Effekte: Ältere und geschiedene (im Vergleich zu ledigen) Personen sind signifikant unzufriedener. Prädiktoren in das noch leere Modell aufzunehmen. westdeutsche und hochgebildete Personen signifikant zufriedener Mehrebenenanalyse 36 . Bildung. Bildung Ost/West und Familienstand (mit der Referenz ledig) als within-Variablen definiert und auch unter „Model“ im within-Teil angegeben Die Ergebnisse sind auf der übernächsten Folie dargestellt. Mehrebenenanalyse in Mplus Mehrebenenanalyse 37 Mehrebenenanalyse: Grundlagen Mehrebenenanalyse 38 Mehrebenenanalyse in Mplus Die Residualvarianz der Lebenszufriedenheit auf Ebene 1 (rij in Modell Nr. 2 auf Folie 17) beträgt 0,934 Da es sich um standardisierte Ergebnisse handelt, sind die Level 1- und Level 2-Varianz auf 1 normiert; das R² auf Level 1 beträgt daher: 1-0,934 = 0,066; 0 066; 6,6% 6 6% der Unterschiede zwischen Personen werden also durch das Modell erklärt Die standardisierte Varianz auf Level 2 (u0jj) beträgt 1,0, da keine Erklärungsfaktoren auf Level 2 im Modell enthalten sind; Unterschiede zwischen Haushalten bleiben also unaufgeklärt Mehrebenenanalyse 39 die Wohnfläche des Haushaltes und die Anzahl der Kinder im Haushalt Diese Merkmale sind für alle Mitglieder eines Haushaltes gleich. hierbei handelt es sich um das Haushaltseinkommen. wohn.Mehrebenenanalyse in Mplus Im nächsten Schritt werden nun auch Level 2-Prädiktoren (W) in das Modell eingefügt. k1. k2) werden im Menü „Variable“ als between-Variablen definiert und auch in der Modellspezifikation im between-Teil angegeben Mehrebenenanalyse 40 . sie können sich aber zwischen den Haushalten unterscheiden Die Level 2-Prädiktoren (hhek2. Mehrebenenanalysein Mplus Mehrebenenanalyse 41 . Mehrebenenanalyse: Grundlagen Mehrebenenanalyse 42 . dass alle Level 1. diese entsprechen γ01 in Modell Nr.934.68) ) bezieht sich wie g gewohnt auf den Fall.Mehrebenenanalyse in Mplus Im Output sind nun auch für die Level 2-Prädiktoren Regressionsgewichte angegeben. 3 auf Folie 17 Personen in Haushalten mit hohem Einkommen. da vor allem der Bildungseffekt nicht mehr signifikant ist. mit großer Wohnfläche und mit Kindern im Alter von 0-1 Jahren sind hiernach signifikant zufriedener Die standardisierte Residualvarianz auf Level 2 (u0j) beträgt nun 0. ist Effekte von Level 1 1-Prädiktoren Prädiktoren lassen sich also durch Level 2-Prädiktoren erklären Der Intercept p ( (5. 6.6% der Unterschiede zwischen Haushalten werden also durch die Level 2-Prädiktoren erklärt Auch auf Level 1 ergeben sich Unterschiede.und Level 2-Prädiktoren den Wert 0 annehmen Mehrebenenanalyse 43 . wobei s ein vom Benutzer frei wählbarer Name ist Mehrebenenanalyse 44 . dass der Effekt des Lebensalters auf die Zufriedenheit zwischen den Haushalten variiert (die Varianz der Slopes zwischen Haushalten wird also geschätzt) In der Mplus-Syntax ist bei Random Slopes unter „Analysis“ „TYPE = TWOLEVEL RANDOM“ anzugeben Der Random Slope wird im within-Teil mit der Befehlszeile „s | zufried ON alter“ definiert. in dem ein Modell mit Random Slope berechnet wird In diesem Modell wird zugelassen.Mehrebenenanalyse in Mplus Nun wird die Komplexität weiter gesteigert. Mehrebenenanalysein Mplus Mehrebenenanalyse 45 . 3 auf Folie 21) ist hochsignifikant (t = 11. 3 auf Folie 21) wird unter „Means Means“ angegeben und beträgt b = -0.011 -0 011 Der Sinn des Modells besteht nun darin zu testen. eingegangen wird im Folgenden nur auf die neuen Elemente Der mittlere Effekt des Alters auf die Zufriedenheit über alle Personen und Haushalte hinweg (γ10 in Model Nr. ob es also eine signifikante Varianz der Slopes gibt Dies ist der Fall: Die haushaltsspezifische Varianz des Slopes für den Effekt des Alters auf die Zufriedenheit (uij in Modell Nr Nr.562) Mehrebenenanalyse 46 .Mehrebenenanalyse in Mplus Der Output ist auf der nächsten Folie dargestellt. ob dieser mittlere Alterseffekt überzufällig zwischen den Haushalten variiert. Mehrebenenanalyse: Grundlagen Mehrebenenanalyse 47 . cross-level-interaction Mehrebenenanalyse 48 . dass die Stärke des Zusammenhangs zwischen Alter und Lebenszufriedenheit davon abhängt abhängt. Von welchen Haushaltsmerkmalen hängt es also ab. über wie viel Einkommen der Haushalt insgesamt verfügt In Mplus wird dazu der über Haushalte variierende Effekt des Alters auf Zufriedenheit (s) durch den Level 2-Prädiktor Haushaltseinkommen erklärt („s on hhek2“). die Varianz der Slopes zu erklären. dass der Effekt des Alters in bestimmten Haushalten stärker oder schwächer ist? Es wird die Hypothese formuliert.Mehrebenenanalyse in Mplus Der nächste Schritt besteht nun darin. dies ist eine sog. Mehrebenenanalyse in Mplus Mehrebenenanalyse 49 . dass das Haushaltseinkommen den Wert 0 annimmt Da ein Haushaltseinkommen von 0 ein empirisch nicht vorkommender theoretischer Wert ist.011 Dieser Effekt bezieht sich zudem auf den Fall.Mehrebenenanalyse in Mplus Der mittlere Effekt des Alters auf die Zufriedenheit über alle Personen und Haushalte hinweg (γ01 in Model Nr. wurde das Haushaltseinkommen um seinen Gesamtmittelwert zentriert (siehe Folie 50. 4 auf Folie 21) wird nun unter „Intercepts“ angegeben und beträgt b = -0. der Befehl lautet „CENTERING = GRANDMEAN (hhek2)“) Der mittlere Effekt des Alters auf Zufriedenheit von b = -0.011 0 011 bezieht sich also zudem auf ein mittleres Haushaltseinkommen Mehrebenenanalyse 50 . Mehrebenenanalyse: Grundlagen Mehrebenenanalyse 51 . 4 auf Folie 21) bleibt hochsignifikant (t = 11. wie die cross-level-interaction (b = 0.549) Mehrebenenanalyse 52 . ein Level 2-Merkmal beeinflusst demnach tendenziell die Stärke des Effektes eines Level 1-Merkmals Dennoch kann durch diese cross-level-interaction die Varianz der Slopes zwischen den Haushalten nicht sichtbar aufgeklärt werden: Die Residualvarianz des Random Slope (u1j in Modell Nr Nr. 4 auf Folie 21) Der über alle Haushalte und bei mittlerem Einkommen negative Effekt des Alters wird also mit steigendem Haushaltseinkommen positiver.002) zeigt (diese entspricht γ11 in Model Nr.Mehrebenenanalyse in Mplus Der Effekt des Alters wird ferner tatsächlich tendenziell durch das Einkommen des Haushaltes moderiert. zeigt wie ein Nullmodell per Syntax angefordert wird Mehrebenenanalyse 53 . wie Mehrebenenanalysen in SPSS durchgeführt werden. Random Intercept.und RandomSlope-Modell Mehrebenenanalysen sind in SPSS seit Version 12 im Rahmen des MIXED-Moduls (gemischte Modelle) möglich Im Folgenden wird die – für SPSS-Verhältnisse recht übersichtliche – Syntax vorgestellt. behandelt werden wie zuvor ein Null-. alternativ kann man die Modelle auch per Menü unter „Analysieren – gemischte Modelle“ klicken Die folgende Folie zeigt.Mehrebenenanalyse in SPSS Im Folgenden wird anhand desselben Beispiels zur Lebenszufriedenheit kurz erläutert. dass der Mittelwert der Lebenszufriedenheit über verschiedene Level 2-Einheiten (Haushalte) variieren soll (Random Intercept) Die dritte Befehlszeile fordert eine Maximum-Likelihood-Schätzung an In der vierten Befehlszeile werden bestimmte Elemente des Outputs angefordert. die für die Berechnung des ICC benötigt werden Mehrebenenanalyse 54 . die in SPSS nur metrisch sein darf Mit der zweiten Befehlszeile wird festgelegt.Mehrebenenanalyse in SPSS MIXED zufried /RANDOM = INTERCEPT | SUBJECT(hhnr) /METHOD = ML /PRINT = G SOLUTION TESTCOV. Der übergreifende Befehl für Mehrebenenmodelle lautet „MIXED“. gefolgt von der abhängigen Variablen. EXECUTE. 477 477 an Mehrebenenanalyse 55 .522) können der Tabelle „Kovarianzparameter“ entnommen werden Der ICC nimmt entsprechend erneut den Wert 0 0.671) und zwischen Haushalten (1.95) findet sich in der Tabelle „feste Parameter“ Die Varianz zwischen Personen (1.Mehrebenenanalyse in SPSS Der auf der nächsten Folie dargestellte Output ist anders strukturiert als in Mplus. enthält aber dieselben Elemente und Ergebnisse: Der Gesamtmittelwert der Lebenszufriedenheit (6. 773 Signifikanz .671 + 1.952630 T-Statistik 370.724 33 046 33.046 a Sig.522519 .000 a.434845 1 615550 1. bj kt PHHNR] Abhängige Variable: Lebenszufriedenh. Wald Z 55.613950 1.522) = 0.000 .477 Mehrebenenanalyse 56 . . b f i d h gegenwaertig.-Fehler Residuum 1.989389 Parameter Konstanter Term Schätzung 6.Mehrebenenanalyse in SPSS Schätzungen fester Parameter a Standardf ehler . Abhängige Abhä i V Variable: i bl L Lebenszufriedenh. gegenwaertig.030000 Konstanter Term Varianz 1 522519 1.000 000 Konfidenzintervall 95% Untergrenze Obergrenze 1. ti Schätzungen Sc ät u ge von o Kovarianzparametern o a a pa a ete Parameter Schätzung Std.522 / (1.018752 Freiheits grade 6674.046072 046072 [S a.602 Konfidenzintervall 95% Untergrenze Obergrenze 6.915870 6.731573 1 434845 1.615550 Intraklassenkorrelation (ICC): 1.671727 . Mehrebenenanalyse in SPSS Auf der nächsten Folie wird per Syntax ein Random-Intercept-Modell mit Prädiktoren auf beiden Ebenen spezifiziert Nach dem Befehl „MIXED zufried“ werden kategoriale Prädiktoren auf beiden Ebenen (in SPSS Faktoren genannt) nach dem Befehl „BY“ aufgelistet während metrische Kovariaten nach dem Befehl „WITH aufgelistet. WITH“ aufgeführt werden Die für die einzelnen Prädiktoren auf beiden Ebenen zu schätzenden Regressionskoeffizienten werden in der Befehlszeile „/FIXED“ angefordert Außerdem wird wieder festgelegt. festgelegt dass die mittlere Lebenszufriedenheit zwischen Haushalten variieren soll (Zeile „/RANDOM = INTERCEPT“) Mehrebenenanalyse 57 . berechnet wird vielmehr nur die Varianz der Intercepts. weil eben nicht für jeden Haushalt die mittlere Lebenszufriedenheit „fixed“ (z. Zur Wiederholung: Der Random Intercept ist kein fester. d.Mehrebenenanalyse in SPSS MIXED zufried BY sex verheiratet geschieden verwitwet k1 ow WITH alter bild k2 hhek wohn /FIXED = sex verheiratet geschieden verwitwet k1 ow alter bildung k2 hhek wohn /RANDOM = INTERCEPT | SUBJECT(hhnr) /METHOD = ML /PRINT = G SOLUTION TESTCOV.h. die Abweichungen der Haushaltsmittelwerte vom Gesamtmittelwert Mehrebenenanalyse 58 . EXECUTE. über eine Dummy-Variable pro Haushalt) geschätzt wird. sondern ein zufälliger Effekt.B. dass im Mplus-Output standardisierte Koeffizienten ausgewiesen wurden (Betas).und Level 2-Prädiktoren (nächste Folie) entsprechen in ihrer Richtung den Mplus-Ergebnissen (Folie 43) Die Abweichungen in der Höhe der Koeffizienten erklären sich dadurch. sind auch die tWerte in beiden Programmen exakt identisch Mehrebenenanalyse 59 . letztere stimmen exakt zwischen SPSS und Mplus überein Die Abweichungen in der t-Statistik zwischen den beiden Programmen erklären sich dadurch. im SPSS-Output dagegen unstandardisierte Koeffizienten. dass Mplus als Standard eine robuste MLSchätzung verwendet.Mehrebenenanalyse in SPSS Die in SPSS geschätzten Effekte der Level 1. die für eine schiefe Verteilung der Variablen korrigiert wird Wird in Mplus eine normale ML-Schätzung angefordert. 480 -1.000 .737 7768.000 .499677 -.144 . 13259. 1. -. .073695 073695 . 6915 763 6915.008528 .579 .016446 -.00] [ow=.872 6487.51 . -. .084756 . Dieser redundante Parameter wird auf null gesetzt.333323 . -6.17 .853 .093584 093584 0a -. b. .052058 0a . 6785.809 .021 12.566820 0a .585 Signifikanz .00] [verheiratet=1.009118 .003777 .061218 .35 12837. 12676.00] alter bild k2 hhek wohnqm Schätzung 6.118736 . -.011123 -.037171 . . g g Mehrebenenanalyse 60 .538307 -.333323 -.442 .763 .023944 0 .000 .416500 -.381 . .001679 . . 10658.00] it t 00] [verwitwet=1.018333 .003682 a.Mehrebenenanalyse in SPSS Schätzungen fester Parameter Standardf ehler .001324 . -9 816 -9.002725 T-Statistik 32. . . 8.100781 0 .253 .211 b Parameter Konstanter Term [sex=0] [sex=1] [verheiratet=.273 273 . .882 5.121278 .00] [k1=1.416500 0a -.000 .001271 .024913 . -3.983 .000 Konfidenzintervall 95% Untergrenze Obergrenze 5. Abhängige g g Variable: Lebenszufriedenh.097 .006463 .499677 . .992753 6.377651 -.000488 Freiheits grade 10303.114 .816 .584 .037819 0a .260864 260864 .12 7745. 1 097 1.69 .762548 -.00] [ [verwitwet=. .28 6813. 12791 51 12791.064023 0 .042431 042431 0 . . .001769 .00] [k1=.001 . .00] [ow 00] [ow=1.021623 .008892 .559 .143182 .664 .085340 085340 0 .141287 .00] [geschieden=1.005933 -.441327 . g gegenwaertig.692314 .340744 0a .196357 .00] [geschieden=.000 000 .045522 0 . -. 000 000 Konfidenzintervall 95% Untergrenze Obergrenze 1. .042927 042927 [S a.586830 1.-Fehler Residuum 1.346182 a Varianz-Komponenten a Abhängige a. b f i d h gegenwaertig. bj kt PHHNR] Abhängige Variable: Lebenszufriedenh.702582 1 264622 1.360 Sig. gegenwaertig.Mehrebenenanalyse in SPSS Schätzungen von Kovarianzparameterna Parameter Schätzung Std.346182 .000 .675 31 360 31.643688 .264622 1 433003 1. Wald Z 55. Abhä i V Variable: i bl L Lebenszufriedenh. ti Mehrebenenanalyse 61 .433003 Kovarianzstruktur mit zufälligen Effekten (G) Konstanter Term | PHHNR Konstanter Term | PHHNR 1.029523 Konstanter Term Varianz 1 346182 1. dass nicht nur der Intercept. wie ein Random Slope-Modell mit cross-level-interaction in SPSS spezifiziert wird. ob der Effekt des Alters auf die Zufriedenheit in Abhängigkeit vom Haushaltseinkommen variiert Daher wird nun zusätzlich zum einen ein Interaktionseffekt zwischen Alter und Haushaltseinkommen unter „/FIXED“ angefordert (alter*hhek) Zum anderen wird festgelegt. die entsprechende Syntax ist auf der nächsten Folie dargestellt Das Ziel der Analyse besteht erneut in der Überprüfung der Frage. sondern auch der Effekt des Alters auf Zufriedenheit zwischen Haushalten variiert („/RANDOM = alter | SUBJECT (hhnr)“) Mehrebenenanalyse 62 .Mehrebenenanalyse in SPSS Abschließend wird demonstriert. Die von SPSS für dieses Modell geschätzten Regressionskoeffizienten (nicht dargestellt) stimmen exakt mit den MPlus-Ergebnissen (Folie 52) überein Mehrebenenanalyse 63 . TESTCOV EXECUTE.Mehrebenenanalyse in SPSS MIXED zufried BY sex k1 ow WITH alter bild k2 hhek wohn /FIXED = sex k1 ow alter bildung k2 hhek wohn alter*hhek /RANDOM = INTERCEPT | SUBJECT(hhnr) /RANDOM = alter | SUBJECT(hhnr) /METHOD = ML /PRINT = G SOLUTION TESTCOV. Exkurs: Fixed oder Random? In der Mehrebenenanalyse können sowohl Fixed-Effects (FE). die abhängige Variable ist das Haushaltsnettoeinkommen (bedarfsgewichtet) und die unabhängigen Variablen auf Level 1 sind das Bildungsniveau der Frau und ihre Autonomie beruflichen Handelns (Nichterwerbstätige = 0) Das Level 2 wird über die Bundesländer definiert.als auch Random-Effects(RE).Modelle geschätzt werden. wo die Unterschiede liegen und wann welche Variante verwendet werden sollte Gegeben ist als Beispiel eine Stichprobe von etwa 7 7. die 7000 Frauen sind also gruppiert in 16 Level 2-Einheiten Mehrebenenanalyse 64 . im Folgenden wird kurz diskutiert.000 000 Frauen Frauen. der Einfachheit halber zunächst ein Random Intercept-Modell Hier werden die Mittelwertunterschiede zwischen den einzelnen Bundesländern wie beschrieben als eine zufällige Fehlerkomponente aufgefasst deren Varianz geschätzt wird (Random Effect) aufgefasst. indem man für jedes Bundesland bis auf eines (Referenz) eine DummyVariable in eine normale OLS-Regression aufnimmt Die Effekte dieser Dummy-Variablen sind die Fixed Effects Zum anderen kann – wie weiter unten dargestellt wurde – ein Random Effects-Modell spezifiziert werden.Exkurs: Fixed oder Random? Zum einen kann man nun ein Fixed Effects-Modell spezifizieren. Mehrebenenanalyse 65 . sind REModelle vorzuziehen Das FE-Modell erklärt. alle Unterschiede zwischen den Level 2-Einheiten (hier: Bundesländer) auf (es bleibt also keine Varianz zwischen den Gruppen übrig) Dies bedeutet.a. durch die Verwendung von Dummy-Variablen. folgende Empfehlungen: Wenn es sich bei den Level 2-Einheiten um eine reale oder hypothetische Stichprobe aus einer Population handelt und man inferenzstatistisch etwas über diese Population aussagen will.Exkurs: Fixed oder Random? Wann sind nun Random Effects angemessen und wann sind ihnen Fixed Effects vorzuziehen? In der Literatur finden sich u. dass im FE-Modell keine Level 2-Prädiktoren gleichzeitig mit den Level 2 Dummy-Variablen in das Modell aufgenommen werden können. zur Analyse der Effekte von Level 2 2-Prädiktoren Prädiktoren empfiehlt sich also ein RE-Modell Mehrebenenanalyse 66 . dies hat vor allem Konsequenten für die Anwendbarkeit von RE-Modellen bei Panelanalysen: RE-Modelle sind zwar grundsätzlich auch zur Analyse von Paneldaten geeignet (das im entsprechenden Skript genannte „Random EffectsModell“ ist ein Random Intercept-Modell) Die oben genannte Annahme (Unkorreliertheit von zufälligen Level 2Effekten und Level 1-Prädiktoren) führt jedoch dazu.Exkurs: Fixed oder Random? Im RE-Modell wird u. dass die Level 1-Prädiktoren nicht mit den als zufällig definierten Level 2-Effekten korrelieren. dass RE-Modelle nicht für Kausalanalysen eingesetzt werden sollten. da sie anfällig für Selbstselektion sind (die größere Teststärke von RE-Modellen ist hier ein schwaches Argument).a. angenommen. Für Kausalanalysen mit Paneldaten sollten also FE-Modelle verwendet werden Mehrebenenanalyse 67 . in der Literatur finden sich bestimmte Minimalanforderungen an die Zahl der Level 2Einheiten Nach neueren Simulationsstudien werden für die Identifizierung von Kontexteffekten (Random Intercept) mindestens 30 Level 2-Einheiten und für eine korrekte Schätzung der Standardfehler mindestens 50 Level 2 Einheiten benötigt (Netzlek et al.anstelle von REModellen einzusetzen Mehrebenenanalyse 68 .Exkurs: Fixed oder Random? Mehrebenenanalysen mit Zufallskoeffizienten (RE) wurden traditionell für die Anwendung mit sehr großen Stichproben entwickelt. FE. 2-Einheiten al 2006) Bei wenigen Level 2-Einheiten wird empfohlen. ignoriert da Niveauunterschiede im Haushaltseinkommen zwischen Bundesländern gar nicht (weder mit FE oder RE) modelliert werden Allerdings ist die Mehrebenen-Struktur eher schwach ausgeprägt. da laut Intraklassen-Korrelation nur etwa 3% der Gesamtvarianz auf Unterschiede zwischen den Bundesländern zurückgehen Bei den Level 1-Prädiktoren zeigen sich positive Effekte des Bildungsniveaus und der beruflichen Autonomie Mehrebenenanalyse 69 . auf der nächsten Folie sind insgesamt vier Modelle dargestellt Im ersten Modell (einer normalen OLS-Regression) wird die Mehrebenen-Struktur der Daten ignoriert.Exkurs: Fixed oder Random? Im Folgenden werden für das genannte Beispiel verschiedene Schätzvarianten mit RE und FE präsentiert. 6 200.3) 50.4 189.3) OLS mit BL-Dummys OLS mit BLDummys + robuste SE 1949 4 1949.9) 1782 7 1782. Autonomie Bildungsniveau Random Effects Intercept (BL) 1880 6 1880.3 (9.6) 69.9) Random Intercept b-Koeffizient (t-Wert) 1949 4 1949.7 190.1 (22.5) 70.Exkurs: Fixed oder Random? StandardOLS Fixed Effects I t Intercept t Berufl. N = 7209 Frauen Mehrebenenanalyse 70 .9 (12.8) Schätzer (z (z-Wert) Wert) 45184 (2.3 (21.9 (12.6) AV = Haushaltsäquivalenzeinkommen.9 (4.9) 70.4 189.8 (12.8 (21. während der Netto. dass nun die gesamte Ländervarianz.bzw. kontrolliert wird Die Effekte der Level 1-Prädiktoren verändern sich dahingehend.Exkurs: Fixed oder Random? Im zweiten Modell werden zusätzlich für jedes Bundesland außer für eins Dummy-Variablen (also FE) in das Modell aufgenommen (Effekte der Dummys sind nicht dargestellt) Dies bedeutet. Individualeffekt der beruflichen Autonomie kleiner ist als der Effekt in Modell 1 Mehrebenenanalyse 71 . dass das Bildungsniveau nach Kontrolle von Level 2-Effekten an Bedeutsamkeit gewinnt. Haushaltseinkommen die auf Unterschiede zwischen Bundesländern zurückgehen. also Unterschiede im Haushaltseinkommen. die in demselben Bundesland leben.B.Exkurs: Fixed oder Random? Im dritten Modell werden zusätzlich robuste Standardfehler berechnet mit denen die Clusterung von Personen in Bundesländern berücksichtigt wird (verfügbar z. über die cluster-Option in STATA) Während die Regressionskoeffizienten sich nicht verändern. dass Personen. was in Modell 2 offensichtlich zu einer Unterschätzung der Standardfehler führt Da 16 Level 2-Einheiten streng genommen zu wenig für ein RE-Modell sind wäre Modell 3 die für diesen Fall empfehlenswerte (konservative) sind. sich überzufällig ähnlich sind. Spezifikation Mehrebenenanalyse 72 . ist eine deutliche Reduktion der t-Werte im Vergleich zu Modell 2 zu beobachten Dies deutet darauf hin. Exkurs: Fixed oder Random? Im vierten Modell wird ein Modell mit Random Intercept berechnet. auf dem 1%Niveau signifikant ist Die Effekte der Level 1-Prädiktoren liegen im RE-Modell insgesamt deutlich näher am FE-Modell (3) als an der OLS-Regression ohne FE (Modell 1) Inwieweit es bei den Level 1-Prädiktoren zu größeren Abweichungen zwischen der RE. die größeren t-Werte) Mehrebenenanalyse 73 . trotz nur 16 Level 2-Einheiten. welcher Anteil der Gesamtvarianz auf die jeweiligen Ebenen entfällt (siehe Skript zur Panelanalyse) Das RE-Modell weist darüber hinaus offensichtlich eine größere Teststärke auf als das FE-Modell (vgl. hängt auch davon ab.und der FE-Spezifikation kommen kann. dessen Varianz (45184). B. Es wird daher empfohlen. um Fehlinterpretationen der Effekte zu vermeiden (siehe z. Dieser Aspekt muss beachtet werden. gegeben die beim Literaturstudium besonders beachtenswert sein könnten: Ein wichtiges Thema in der Mehrebenenanalyse ist die Zentrierung der Prädiktoren um den Gruppen. Luke 2004: 48-53) Mehrebenenanalyse 74 .oder Gesamtmittelwert.Hinweise Mehrebenenanalysen sind ein komplexes Thema. sich mit der am Ende angegebenen (einführenden) Literatur zu beschäftigen Im Folgenden werden einige Hinweise zu Aspekten gegeben. das durch das vorliegende Skript nur angerissen werden kann. Es sind daher alternative Vorgehensweisen zur Beurteilung des Modell-Fits vorgeschlagen worden (siehe z. im Rahmen von Ereignisdatenanalysen) berechnet werden Mehrebenenanalyse 75 . STATA oder Mplus auch für dichotome AV (und damit auch z. da hier die Aufnahme zusätzlicher Prädiktoren sogar zu einer Reduzierung des R² für eine Ebene führen kann.B.B. B HLM HLM. die Übertragung dieser Interpretation auf Mehrebenenanalysen ist nicht unproblematisch. Luke 2004: 33-37) Mehrebenenanalysen sind nicht auf metrische abhängige Variable beschränkt sondern können mit geeigneten Programmen wie z beschränkt. z.B.Hinweise In normalen OLS-Regressionen wird R² als Anteil aufgeklärter Varianz interpretiert. G. Mehrebenenanalyse: Eine Einführung für Forschung und Praxis. U. Multilevel analysis. J. London: Sage. (2004). Vorteile und Möglichkeiten der Mehrebenenmodellierung mit Zufallskoeffizienten. Wiesbaden: Verlag für Sozialwissenschaften. Mehrebenenanalyse 76 . 143. Hierarchical linear models: Applications and data analysis methods. I. Mahwah. S. An introduction to basic and advanced multilevel modelling. (2002): Multilevel Analysis. G. 213-223. A. Weinheim: Juventa. & Schütz. Sage University paper series in quantitative applications in the social sciences. Netzlek. (1998). Mehrebenenanalyse. Psychologische Rundschau. Opladen: Westdeutscher Verlag. T. S. A. Kreft. & Bosker. Newbury Park. (1998). (1999). H. Einführung in die Mehrebenenanalyse. Techniques and Applications. Grundlagen und Anwendungen des Hierarchisch Linearen Modells. A. Weiterführende Literatur: Langer. J. Engel. Newbury Park. W. Bryk. Multilevel modeling. D. Auswertungsverfahren und praktische Beispiele. M.B. (1992). CA: Sage. Schröder Abé. & de Leeuw. & Raudenbush. J. Grundlagen. Snijders. W. New Jersey: Lawrence Erlbaum. Thousand Oaks: Sage Ditton. (1998). 57. Hox. (2004). CA: Sage.. R.Literaturempfehlungen Einführungen / Überblicksliteratur: Luke. Mehrebenenmodelle in der psychologischen Forschung. Introducing multilevel modeling. (2006).