Resolver E.D.O.aplicando la Transformada de Laplace Elaborado por Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 1 Aplicar la transformada de Laplace para resolver cada una de las ecuaciones diferenciales con valores iniciales: 1) ( ) 5 2 0 3 t dy y e dt y ¦ − = ¦ ´ ¦ = ¹ 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ´´ 4 sin3 0 0 ´ 0 0 y t y t t y y ¦ + = ¦ = ´ ¦ = ¹ 3) ( ) ( ) 2 2 2 8 0 0 3 ´ 0 6 y y y t t y y ¦∂ ∂ − − = ¦ ∂ ∂ ¦ ¦ = ´ ¦ = ¦ ¦ ¹ 4) ( ) ( ) 2 2 2 sin 0 0 ´ 0 0 t d y y e t dt y y − ¦ + = ¦ ¦ ¦ = ´ ¦ = ¦ ¦ ¹ 5) ( ) ( ) '' 5 ' 4 0 0 1 ' 0 0 y y y y y ¦ + + = ¦ = ´ ¦ = ¹ 6) ( ) ( ) 16 '' 8 ' 17 1 0 0 ' 0 1 y y y y y ¦ − + = ¦ = ´ ¦ = ¹ 7) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 4 5 2 10cos 0 0 ' 0 0 '' 0 3 d y d y dy y t dt dt dt y y y ¦ + + + = ¦ ¦ ¦ = ´ ¦ = ¦ ¦ = ¹ 8) ( ) ( ) ( ) ''' 5 '' 7 ' 3 20sin 0 0 ' 0 0 '' 0 2 y y y y t y y y − + − = ¦ ¦ = ¦ ´ = ¦ ¦ = − ¹ Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de Laplace Elaborado por Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 2 1 ) ( ) 5 2 0 3 t dy y e dt y ¦ − = ¦ ´ ¦ = ¹ Solución: Dicho problema se encuentra resuelto en el texto UNA Matemática V. Tomo II .Ingeniería. Página 805. Usare 4 pasos fundamentales para explicar lo que se quiere encontrar, la solución única de la ecuación diferncial, revísalos, analízalos y apréndelos para que ataques los problemas propuestos 1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada: ( ) { } { } 5 2 t dy L L y t L e dt ¦ ¹ − = ´ ` ¹ ) (A) Donde: { } ( ) ( ) ( ) { } ( ) { } { } 5 ( ) 0 3 1 1 ya que: 5 t at dy L sL y t y sy s dt L y t y s L e L e s s a ¦ ¹ = − = − ´ ` ¹ ) = = = − − 2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así: ( ) { } { } ( ) [ ] ( )( ) ( ) 5 2 1 ( ) 3 2 ( ) 5 Sacando factor común, luego 1 1 3 15 ( ) 2 3 sumando fracciones algebraica 5 5 3 14 ( ) Despejando a ( ) 5 2 t dy L L y t L e dt sy s y s s s y s s s s s y s y s s s ¦ ¹ − = ´ ` ¹ ) − − = − | | + − − = − = | − − \ ¹ − = − − Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de Laplace Elaborado por Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 3 3°) Debemos ahora calcular ( ) { } ( ) 1 L y s y t − = Primeramente debemos descomponer en fracciones parciales (Caso I) para luego usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa) ( )( ) ( ) ( ) 3 14 5 2 5 2 s s s s A B s − = + − − − − Para hallar el valor de A, multiplicamos por (s-5) ambos miembros, simplificamos y luego evaluamos para s=5 ( ) 5 s − ( ) 3 14 5 s s − − ( ) ( ) 5 2 s s = − − ( ) 5 A s − ( ) ( ) 5 3 3 14 3(5) 14 1 2 5 1 2 3 3 s s s A s B A + − − − − ∴ = = = → = − − Para hallar el valor de B, multiplicamos por (s-2) ambos miembros, simplificamos y luego evaluamos para s=2 ( ) 2 s − ( ) ( ) 3 14 5 2 s s s − − − ( ) ( ) ( ) 2 2 5 s s s A = − + − − ( ) 2 B s − ( ) 3 14 3(2) 14 8 8 5 2 5 8 3 3 3 s B s B − − − ∴ = = = → − − = = − 4°) Una vez encontrado los valores de A y B, expresamos como transformada inversa dicha descomposición { } ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 5 2 5 2 1 Como: ( ) ( ) 3 14 5 2 5 2 Usamos tablas 1 1 8 1 3 5 3 2 1 8 3 3 1 8 ( ) (So 3 3 1/ 3 8/ 3 1 at t t t t L e L y s y t s a s L L L s s s s L L s s e e y t e e − − − − − − − = ¦ ¹ ¦ ¹ ¦ ¹ − ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ = + ´ ` ´ ` ´ ` − − − − ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ) ¹ ) ¹ ) | | ¦ ¹ ¦ ¹ | ¦ ¦ ¦ ¦ = + ´ ` ´ ` | − − ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¹ = ´ ` ) ¹ ) | \ ¹ = + ¹ ∴ − ) = + lución de la ecuación diferencial) Podemos ver que también es cierta y(0)=3…. Verifícalo Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de Laplace Elaborado por Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 4 (2) ( ) ( ) ( ) ( ) ´´ 4 sin3 0 0 ´ 0 0 y t y t t y y ¦ + = ¦ = ´ ¦ = ¹ Solución: 1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada: ( ) { } { } 2 2 4 sin3 d y L L y t L t dt ¦ ¹ + = ´ ` ¹ ) (A) Donde: { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) { } { } 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) . 0 ' 0 0 0 4 4 3 sin3 ya que: sin 9 d y L s L y t s y y s y s s y s dt L y t y s b L t L bt s s b ¦ ¹ = − − = − − = ´ ` ¹ ) = = = + + 2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) 2 2 2 2 2 2 1 3 4 9 3 4 Factor común 9 3 Despejando a 9 4 s y s y s s y s s s y s y s s s L y s y t − + = + ( + = ¸ ¸ + → + = = + 3°) Debemos ahora calcular ( ) { } ( ) 1 L y s y t − = Podemos descomponer en fracciones parciales o bien usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa) Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de Laplace Elaborado por Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 5 ( ) { } ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 9 4 1 1 sin sin 3 9 4 3 L y s L s s a bt b at L L s s s a s b ab a b − − − − ¦ ¹ ¦ ¦ = ´ ` + + ¦ ¦ ¹ ) ¦ ¹ ¦ ¹ − ¦ ¦ ¦ ¦ = → = ´ ` ´ ` + + + + − ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ) ¹ ) = 3sin 2 2sin3 3 t t − ( ) 3sin 2 2sin3 10 .2 9 4 t t ( − = ( − ( ¸ ¸ ( ) { } ( ) 1 3sin 2 2sin3 10 t t L y s y t − − = = La solución de la ecuación diferencial viene hacer: ( ) 3sin 2 2sin3 10 t t y t − = Verificamos las condiciones iniciales ( ) ( ) 3sin 2 2sin3 3sin 2 sin3 Si 0 0 0 10 10 5 t t t t y t t y − = = − ⇒ = → = ( ) ( ) ( ) 6cos 2 6cos3 3 ' cos 2 cos3 Si 0 ' 0 0 10 5 t t y t t t t y − = = − ⇒ = → = Tal que: ( ) ( ) ´´ 4 sin3 6 9 sin 2 sin3 4 5 5 y t y t t t t + = ( − + + ( ¸ ¸ 3sin 2 2sin3 10 t t − 6 sin 2 5 t ( = ( ¸ ¸ − 9 6 sin3 sin 2 5 5 t t + + 4 sin3 5 9 4 sin3 sin3 5 5 t t t − = | | − = | \ ¹ 3) ( ) ( ) 2 2 2 8 0 0 3 ´ 0 6 y y y t t y y ¦∂ ∂ − − = ¦ ∂ ∂ ¦ ¦ = ´ ¦ = ¦ ¦ ¹ Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de Laplace Elaborado por Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 6 Solución: 1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada: ( ) { } 2 2 2 8 0 y y L L L y t t t ¦ ¹ ∂ ∂ ¦ ¹ − + = ´ ` ´ ` ∂ ∂ ¹ ) ¹ ) (A) Donde: { } ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) 2 2 2 2 ( ) . 0 ' 0 3 6 2 2 ( ) 0 2 3 2 6 8 8 y L s L y t s y y s y s s t y L sL y t y sy s sy s t L y t y s ¦ ¹ ∂ = − − = − − ´ ` ∂ ¹ ) ∂ ¦ ¹ ( ( = − = − = − ´ ` ¸ ¸ ¸ ¸ ∂ ¹ ) = 2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 6 2 6 8 0 2 8 3 6 s y s s sy s y s s y s sy s y s s − − − − − = − − − − 6 + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 0 Eliminando paréntesis, simplifando . 2 8 3 Sacamos Factor común Despejando y factorizando 3 3 el denominador 4 2 2 8 y s s s s s s y s s s s s = ( − − = ¸ ¸ | | = = | − + ( − − \ ¹ ¸ ¸ 3°) Nuestro propósito es calcular ( ) { } ( ) 1 L y s y t − = Lo primero es descomponer en fracciones parciales y(s) , para luego usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa) Ahora bien, descomponemos en fracciones parciales, para hallar los Coeficientes Indeterminados A y B –Método de sustitución ( )( ) ( ) ( ) 3 4 2 4 2 A s s B s s s = + − + − + • Usaremos el método corto, Para hallar el valor de A, Multiplicamos por ( ) 4 s − ambos miembros simplificamos y luego evaluamos para 4 s = Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de Laplace Elaborado por Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 7 ( ) 4 s − ( ) 3 4 s s − ( ) ( ) 4 2 s s = − + ( ) 4 A s − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Multiplicamos y 4 simplificamos por 2 4 3 4 12 2 Evaluamos para 4 4 2 6 2 B A s s s A s | | | + − | + | − \ = ¹ = = = → = + • Del mismo modo, para encontrar el valor de B, multiplicamos por ( s +2) ambos miembros , simplificamos y evaluamos para 2 s = − ( ) 2 s + ( ) ( ) 3 4 2 s s s − + ( ) ( ) ( ) 2 2 4 s s s A = + + + − ( ) 2 B s + ( ) ( ) ( ) ( ) Multiplicamos y simplificamos por 2 3 2 6 1 Evaluamos para 2 2 4 6 1 s B B s | | | | | + \ ¹ − − = = = → = − − − = − 4°) Una vez encontrado los valores de A y B, expresamos como transformada inversa dicha descomposición: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 4 2 4 2 3 Como: 4 2 4 2 Por tablas de Transformada 1 1 2 1 inversa 4 2 2 2 1 2 at t t t t s L L L L y s y t s s s s L L L e s s s a e e y t e e − − − − − − − − − ¦ ¹ ¦ ¹ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ = + = ´ ` ´ ` ´ ` − + − + ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ) ¹ ) ¹ ) | | ¦ ¹ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ¦ | = + ´ ` ´ ` ¦ ¹ | = − + ´ ` ¦ ¦ ¦ ¦ | ¹ ) ¹ ) − ¹ ) \ ¹ = + ∴ = + Verifiquemos la solución particular encontrada, bajo las condiciones iniciales dadas: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 0 0 4 2 4 2 2 Por tanto Si 0 0 2 2 1 3 ' 2 (4) ( 2) 8 2 Por tanto Si 0 ' 0 0 3 6 6 ' 8 0 2 t t t t t t y t e e t y e e y t e e y y y e e t − − − = = + = → = + = + = = + − = − = → = − = = Dejaremos al estudiante verificar que al encontrar la 2° derivada podemos ver si es cierta la ecuación diferencial '' 2 ' 8 0 y y y − − = Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de Laplace Elaborado por Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 8 4) ( ) ( ) 2 2 2 sin 0 0 ´ 0 0 t d y y e t dt y y − ¦ + = ¦ ¦ ¦ = ´ ¦ = ¦ ¦ ¹ Solución: 1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada: ( ) { } { } 2 2 2 sin t d y L L y t L e t dt − ¦ ¹ + = ´ ` ¹ ) (A) Donde: { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) { } ( ) { } ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) . 0 ' 0 0 0 1 1 sin ya que: sin 4 5 2 1 t at d y L s L y t s y y s y s s y s dt L y t y s b L e t L e bt s s s s a b − ¦ ¹ = − − = − − = ´ ` ¹ ) = = = = + + + + − + 2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 4 5 1 1 Sacamos factor común 4 5 1 Despejando 4 5 1 s y s y s s s y s s s s y s y s s s s + = + + ( + = ¸ ¸ + + = + + + 3°) Nuestro propósito es calcular ( ) { } ( ) 1 L y s y t − = Lo primero es descomponer en fracciones parciales y(s) , para luego usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa) Descomponemos en fracciones parciales, (Estamos en presencia del Caso II) para hallar los Coeficientes Indeterminados A, B, C y D ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 4 5 1 4 5 1 A B s s s s C s s s s D + + = + + + + + + + Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de Laplace Elaborado por Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 9 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 1 4 5 Sumando fracciones 1 algebraicamente 4 5 1 4 5 1 Como los numeradores son iguales, 1 1 4 5 aplicamos la propiedad distributiva 1 A B C D A B C D s s s s s s s s s A A B s s s s s s s s s s s B C C + + + + + + | | = | + + + + + + \ ¹ | | = + + + + + + | \ ¹ = + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 1 Sumando términos 5 4 5 5 se 4 mejantes 5 C D D D A C B C D A C D s s s s D s B s s + + + + + + + + + + + + + = ( ) Se forma el sistema siguiente: 0 0 5 4 0 5 1 Supongamos que: 0 0 1 En la ecuación II 0 Al sustituirlo en IV 5 1 4 A C A C B C D A C D B D A C B D B D D D D ¦ + = → = − ¦ + + = ¦ ´ + + = ¦ ¦ + = ¹ = → = → + = → = − − + = → = 4°) Sustituimos los coeficientes A=C=0, D=1/4 y B= -1/4 y tenemos que la expresión buscada es: ( ) { } ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 Como: 1 1/ 4 1/ 4 4 5 1 4 5 1 1 1 1 1 4 4 4 5 1 1 1 1 1 4 4 1 2 1 1 1 sin sin 4 4 t L y s y t L L L s s s s s s L L s s s L L s s e t t − − − − − − − − − = ¦ ¹ ¦ ¹ ¦ ¹ − ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ = + ´ ` ´ ` ´ ` + + + + + + ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ) ¹ ) ¹ ) ¦ ¹ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ¦ = − + ´ ` ´ ` + + + ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ) ¹ ) ¦ ¹ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ¦ = − + ´ ` ´ ` + + + ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ) ¹ ) = − + Hemos aplicado las propiedades de transformadas inversas siguientes ( ) 1 1 2 2 2 2 sin sin at b b L e bt L bt s b s a b − − ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ¹ = = ´ ` ´ ` + ¹ ) − + ¦ ¦ ¹ ) Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de Laplace Elaborado por Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 10 La solución a la ecuación diferencial buscada es ( ) 2 1 1 sin sin 4 4 t y t e t t − = − + Verifiquemos las condiciones iniciales en cada ecuación: ( ) ( ) 2 1 1 sin sin 0 0 4 4 t y t e t t y − = − + → = ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 ' sin cos cos ' 0 0 2 4 4 4 4 t t y t e t e t t y − − = + − → = − = 5) ( ) ( ) '' 5 ' 4 0 0 1 ' 0 0 y y y y y ¦ + + = ¦ = ´ ¦ = ¹ Solución: 1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada: ( ) { } 2 2 5 4 0 y y L L L y t t t ¦ ¹ ∂ ∂ ¦ ¹ + + = ´ ` ´ ` ∂ ∂ ¹ ) ¹ ) (A) Donde: { } ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) { } ( ) 2 2 2 2 . ( ) . 0 ' 0 . ( ) 0 1 y L s L y t s y y s y s s t y L s L y t y sy s t L y t y s ¦ ¹ ∂ = − − = − ´ ` ∂ ¹ ) ∂ ¦ ¹ = − = − ´ ` ∂ ¹ ) = 2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así: ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 Como: 5 4 0 Propiedad de linelidad . 5 . 1 4 ( ) 0 Laplaciano de una derivada . 5 4 5 0 Sacando factor común Despejando ( ) y factoriza 5 5 5 4 4 1 y y L L L y t t t s y s s s y s y s y s s s s y s s s y s s s s s ¦ ¹ ∂ ∂ ¦ ¹ + + = ´ ` ´ ` ∂ ∂ ¹ ) ¹ ) − + − + = ( + + − − = ¸ ¸ + + = = + + + + ndo el denominador | | | \ ¹ Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de Laplace Elaborado por Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 11 3°) Nuestro propósito es calcular ( ) { } ( ) 1 L y s y t − = Por tanto, en primer lugar debemos es descomponer en fracciones parciales y(s) , para luego usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa) Descomponemos en fracciones parciales, (Estamos en presencia del Caso I) ( )( ) ( ) ( ) 5 4 1 4 1 s s s s A B s + = + + + + + Usamos el método corto o de sustitución descrito anteriormente, ( ) ( ) 5 4 5 1 1 4 1 3 5 1 5 4 4 1 4 3 s A s s B s + − + = = = − + − + + − + = = = + − + 4°) Hemos hallado los coeficientes Indeterminados, así que sustituyendo A,B , tenemos ( )( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 4 4 1/ 3 4/ 3 1 4 5 ya que: 4 1 4 1 1 1 1 como: 4 1 1 4 3 3 La sol 1 4 Asi que: ( ) 3 3 3 3 at t t t t s L L L L y s y t s s s s L L L e s s s a e e y t e e − − − − − − − − − − − − ¦ ¹ ¦ ¹ ¦ ¹ + ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ = + = ´ ` ´ ` ´ ` + + + + ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ) ¹ ) ¹ ) ¦ ¹ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ = + = ´ ` ´ ` ´ ` + + − ¹ ) ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ) ¹ = − − ) + = − + ución de la ecuación diferencial buscada | | | \ ¹ 6) ( ) ( ) 16 '' 8 ' 17 1 0 0 ' 0 1 y y y y y ¦ − + = ¦ = ´ ¦ = ¹ Solución: 1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada: ( ) { } { } 2 2 16. 8 17 1 d y dy L L L y t L dt dt ¦ ¹ ¦ ¹ − + = ´ ` ´ ` ¹ ) ¹ ) (A) Donde: Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de Laplace Elaborado por Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 12 { } ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) { } 2 2 2 2 2 ( ) . 0 ' 0 0 1 1 ( ) 0 0 . 1 1 d y L s L y t s y y s y s s y s dt dy L sL y t y sy s s y s dt L y t y s L s ¦ ¹ ( ( = − − = − − = − ´ ` ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ ) ¦ ¹ ( ( = − = − = ´ ` ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ ) = = 2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así: ( ) { } { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 Como: 16. 8 17 1 1 Entonces 16. 1 8 ( ) 17 Sacamos factor común 1 16 8 17 16 y sumando fracciones 1 16 Despejando ( ) 16 8 17 d y dy L L L y t L dt dt s y s sy s y s s y s s s s s y s y s s s s ¦ ¹ ¦ ¹ − + = ´ ` ´ ` ¹ ) ¹ ) | | − − + = | \ ¹ | | ( − + = + | ¸ ¸ \ ¹ + = − + Si intentamos factorizar 2 16 8 17 s s − + , podemos ver que tiene raíces imaginarias por lo tanto, completamos cuadrados para expresarla como: 2 2 ( ) s a b − + 2 2 2 2 2 2 2 1 1/ 2 1 1 16 8 17 16 17 Como: 2 2 4 16 1 Sumamos y restamos 1 16 17 4 2 para completar 1 cuadrados Al factorizar el trinomio 1 16 17 c 16 uadrado 6 p 4 1 1 1 s s s s s s s | | | | | | − + ≡ − + = = | | | \ ¹ \ ¹ \ ¹ | | | | | | | | ≡ − + + \ ¹ | | \ ¹ | \ ¹ | | ≡ − + | \ ¹ − − ( ) 2 2 erfecto 1 1 16 16 16 1 Sacamos factor común 4 4 s s | | | \ ¹ ( | | | | ≡ − + ≡ − + ( | | \ ¹ \ ¹ ( ¸ ¸ 3°) Nuestro propósito es calcular ( ) { } ( ) 1 L y s y t − = Por tanto, en primer lugar debemos es descomponer en fracciones parciales y(s), para luego usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa) Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de Laplace Elaborado por Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 13 Descomponemos en fracciones parciales, (Estamos en presencia del Caso II) para hallar los Coeficientes Indeterminados A, B y C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 Sumamos fracciones 1 16 algebraicamente 16 8 17 16 8 17 16 8 17 Como el Numerador y 1 16 el denominador son igu 16 ales 8 17 16 8 17 16 8 17 1 16 Ap s s s s s s s s s s s s s s s s s s A B C A s s s s s B C A A A B Cs | | + + = + | − + − + \ ¹ − + + + | | + = | − + − + \ ¹ + = − + + + ( ) licando propiedad distributiva ( ) ( ) ( ) 2 1 16 Agrupando términos semejante Igualamos los coeficientes, obtenemos el sistema siguiente 16 0 8 16 16 8 1 1 17 1 17 7 : s s s A B C A B C A A A A A + = + + ¦ + = ¦ ¦ − = ´ ¦ = → − = ¹ + ¦ ( ) Sustituimos el valor de A, en la ecuación II 8 280 280 8 1/17 16 16 17 17 17 C C C − = → = + = → = Sustituimos el valor de A 1 17, en la ecuación I 16 16 0 17 A B B = − + = → = ( ) 2 2 1 16 280 1 1 17 1 1 16 1 16 16 8 17 16 7 17 1 1 7 1 7 7 8 s s s s s s s s s − + = + = + − + − + 280 s − 16 ( ) ( ) 2 Completando cuadrados 2 1 1 17 1/ 4 1 35 1 2 1/ 4 17 1 s s s s ( − + ¸ ¸ − = + − + 4°) Hemos hallado los coeficientes Indeterminados, así que sustituyendo A, B y C, tenemos : Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de Laplace Elaborado por Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 14 ( ) ( ) ( ) { } ( ) 1 1 1 1 2 2 1 1 1 16 1 1 1 35/ 2 ya que: 17 17 16 8 17 1/ 4 1 1 1 1 1 Donde: ; 1 17 17 s s L L L L y s y t s s s s s L L s s − − − − − − ¦ ¹ ¦ ¹ + − ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ = − = ´ ` ´ ` ´ ` ( − + ¹ ) − + ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ) ¸ ¸ ¹ ) ¦ ¹ ¦ ¹ = = ´ ` ´ ` ¹ ) ¹ ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 69 1 35/ 2 1 4 4 17 17 1/ 4 1 1/ 4 1 1 1 69 1 4 17 68 1/ 4 1 1/ 4 1 s s L L s s s L L s s − − − − ¦ ¹ ¦ ¹ − − ¦ ¦ − ¦ ¦ − = − ´ ` ´ ` ( ( − + − + ¦ ¦ ¦ ¦ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ ) ¹ ) ¦ ¹ ¦ ¹ − ¦ ¦ ¦ ¦ = − + ´ ` ´ ` ( ( − + − + ¦ ¦ ¦ ¦ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ ) ¹ ) ( ) ( ) 1 / 4 1 2 2 2 1 1 1 4 cos cos 17 17 1/ 4 1 t at s s a L e t L e bt s s a b − − ¦ ¹ ¦ ¹ − ¦ ¦ − ¦ ¦ − = − = ´ ` ´ ` ( ( − + − + ¦ ¦ ¦ ¦ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ ) ¹ ) ( ) ( ) 1 / 4 1 2 2 2 69 1 69 sin sin 68 68 1/ 4 1 t at b L e t L e bt s s a b − − ¦ ¹ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ¦ = = ´ ` ´ ` ( ( − + − + ¦ ¦ ¦ ¦ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ ) ¹ ) ( ) { } ( ) ( ) 1 / 4 / 4 1 1 69 cos sin 17 17 68 t t L y s y t y t e t e t − = → = − + Verificamos las condiciones iniciales para t = 0, ( ) ( ) ( ) / 4 / 4 1 1 69 1 1 cos sin 0 0 0 17 17 68 17 17 0 0 t t y t e t e t y y = − + → = − = = + ( ) / 4 / 4 / 4 / 4 / 4 / 4 1 1 69 ' cos sin 17 17 68 1 cos 69 sin 0 sin cos 17 4 68 4 1 69 68 '(0) 1 17 68 68 '(0) 1 t t t t t t t y t D e t e t e t e t e t e t y y ( = − + ( ¸ ¸ | | | | = − − + + | | \ ¹ \ ¹ = − + = = → = Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de Laplace Elaborado por Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 15 7) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 4 5 2 10cos 0 0 ' 0 0 '' 0 3 d y d y dy y t dt dt dt y y y ¦ + + + = ¦ ¦ ¦ = ´ ¦ = ¦ ¦ = ¹ Solución: 1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada: { } { } 3 2 3 2 4 5 2 ( ) 10 cos d y d y dy L L L y t L t dt dt dt ¦ ¹ ¦ ¹ ¦ ¹ + + + = ´ ` ´ ` ´ ` ¹ ) ¹ ) ¹ ) Donde: ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } ( ) { } { } 3 3 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 0 ' 0 ' 0 3 0 ' 0 0 ( ) cos ya que; cos 1 d y L s L y t s y s y y s y s dt d y L s L y t sy y s y s dt dy L sL y t y s y s dt L y t y s s s L t L bt s s b ¦ ¹ = − − − = − ´ ` ¹ ) ¦ ¹ = − − = ´ ` ¹ ) ¦ ¹ = − = ´ ` ¹ ) = = = + + 2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así: { } { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 3 2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 2 3 2 Como: 4 5 2 ( ) 10 cos 10 entonces: 3 4 5 2 1 10 4 5 2 3 1 3 10 3 1 4 5 2 d y d y dy L L L y t L t dt dt dt s s y s s y s s y s y s s s y s s s s s s s y s s s s s ¦ ¹ ¦ ¹ ¦ ¹ + + + = ´ ` ´ ` ´ ` ¹ ) ¹ ) ¹ ) − + + + = + ( + + + = + ¸ ¸ + + + = + + + + Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de Laplace Elaborado por Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 16 Factorizamos la expresión ( ) 3 2 4 5 2 s s s + + + en el denominador usando la regla de Ruffini los divisores de 2 son 1, 2 ± ± ( ) ( ) 2 3 2 4 5 2 1 . 2 s s s s s + + + = + + De esta manera: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 2 3 10 3 3 10 3 1 4 5 2 1 1 2 s s s s y s s s s s s s s + + + + = = + + + + + + + 3°) Nuestro propósito es calcular ( ) { } ( ) 1 L y s y t − = Por tanto, en primer lugar debemos es descomponer en fracciones parciales y(s) , para luego usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa) Descomponemos en fracciones parciales, (Estamos en presencia del Caso II y I) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 3 10 3 1 2 1 1 1 2 1 s s s s s s s s s A B s C C D + + + = + + + + + + + + + + Calculemos C 2 y D por el método corto o de sustitución: Para hallar C 2 , multiplicamos ambos miembros de la ecuación por ( ) 2 1 s + , simplificamos y luego evaluamos para 1 s = − ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 3 10 3 3( 1) 10( 1) 3 3 10 3 4 2 2 1 2 1 2 ( 1) 1 ( 1) 2 2 C s s C s s + + − + − + − + − = = = = = − → + + + − + = − − Para hallar D, multiplicamos ambos miembros de la ecuación por ( ) 2 s + , simplificamos y luego evaluamos para 2 s = − ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 3 10 3 3( 2) 10( 2) 3 12 20 3 5 1 5 1 5 1 1 ( 1 ) 1 1 2) ( 2 s D s D s s + + − + − + − + − = = = = = − → + + − + − = − + Hemos hallado dos coeficientes, ahora usemos el método tradicional, sumamos las fracciones, igualamos los numeradores y los coeficientes para resolver el sistema luego, como veremos a continuación: Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de Laplace Elaborado por Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 17 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 10 3 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 C C A s s s s s s s s s s s s B A B s s s + + + + = + + + − = + − − + + + + + + + + + + + − ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 3 10 3 2 1 1 2 1 1 1 2 1 Sumando fracciones algebraicamente 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 3 10 3 1 1 2 1 1 2 Los numeradores y los coeficientes son iguales s s s s s s s s s s s C A B A B s s s s s s s s s s s s s s s C s s + + + = + − − + + + + + + + + + + + + + + − + + − + + + + = + + + + + + ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 4 3 2 3 2 4 3 2 1 1 , ya que los denominadores tambien lo son. 3 10 3 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 Desarrollemos el miembro derecho: 4 5 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 1 Aplicando l s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s A B C A B s C s + + = + + + + + + + − + + − + + ⇒ + + + + + + + + + − + + + − + + + + ( ) ( ) ( ) 1 1 4 3 2 3 2 4 3 2 3 2 4 3 2 1 1 1 1 1 4 4 5 2 a propiedad distributiva y ordenando de forma decreciente: 2 Sumamos luego términos semejantes 2 4 2 4 2 2 2 4 5 2 3 3 3 4 3 1 1 4 s s s s s s s s s s s s s s A A A A B B B B C C C C C A s s s s s A s C B C ⇒ + + + + + + + + + + + − − − − − − − − − − + + − + + ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 3 2 1 2 6 4 5 Igualamos los coeficientes anteriores con la expresión 3 10 3 y tenem 5 4 3 2 5 os e 3 2 2 l siguiente sistema 1 0 4 0 6 3 4 10 5 4 3 5 4 3 2 5 3 3 2 2 : s s s s A B C A B C B C A C A B C A B C A B C B C + − + − + − + + − = ¦ ¦ − = ¦ ¦ − = ´ ¦ − = + + + + + + + + + + + + − = ¹ + ¦ ¦ ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 9 14 8 4 Sustituimos 1 y 4 en la ecuación II 4 4 1 4 3 4 4 4 4 3 4 1 2 4 8 4/ 2 4 3 5 4 3 2 5 3 2 2 4 3 2 C C A C A C A B C A B C A B C B C B C A C B C A B C C C C C A C C C C ¦ = → = − ¦ = ¦ ¦ ⇒ = ´ ¦ = ¦ ¦ = → ¹ = − = ( − + − + = ( − + − + = = − ( ( − = − ⇒ + + + + + + + + = − ( ( = − − ( = ( ¸ ¸ = − + + 1 4 1 2 1 4 2 2 1 2 B C A B A B = − = − = − ⇒ = − = = − = Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de Laplace Elaborado por Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 18 La expresión buscada quedaría así: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 10 3 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 s s s s s s s s s s + + − + = + − − + + + + + + + 4°) Hemos hallado los coeficientes Indeterminados, así que sustituyendo A, B , C 1 , C 2 y D tenemos: ( ) { } ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 3 10 3 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 L y s y t s s s L L L L L s s s s s s s s L L L L L s s s s − − − − − − − − − − − = ¦ ¹ ¦ ¹ ¦ ¹ ¦ ¹ ¦ ¹ + + − + ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ = + − − ´ ` ´ ` ´ ` ´ ` ´ ` + + + + + + + ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ) ¹ ) ¹ ) ¹ ) ¹ ) ¦ ¹ ¦ ¹ ¦ ¹ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ = − + + − − ´ ` ´ ` ´ ` ´ ` + + + + ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ) ¹ ) ¹ ) ¹ ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 Donde usando la transformada inversa cos ya que: 1 1 sin ya que: 1 1 ya que: 1 cos sin 1 : t at s s L t s L t s L s L bt s b b L bt s b L e e a s s − − − − − − − ¦ ¹ = ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ` + ¦ ¦ ¹ ) ¦ ¹ ¦ ¦ = ´ ` + ¦ ¦ ¹ ) ¦ ¹ ¦ ¦ = ´ ` + ¦ ¦ ¹ ) ¦ ¹ ´ ` + ¹ ) ¦ ¹ = ´ ` + ¹ ) ¦ ¹ = ´ ` − ¹ ) = ´ ` + ¹ ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 2 1 1 ya que: 1 1 ya que: 2 Tenemos entonces que : cos 2sin 2 ! 1 2 t t t t t n at n at L te s L e s y t t n L t e s a L e s a t e te e − − − + − − − − − − ¦ ¹ ¦ ¦ = ´ ` − ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ = ´ ` + ¦ ¦ ¹ ) ¦ ¹ = ¦ ¹ ) ¦ ¹ = ´ ` + ¹ ) = − + + − − − ´ ` ¹ ) La solución de la ecuación diferencial es ( ) 2 cos 2sin 2 2 t t t y t t t e te e − − − = − + + − − Verifica las condiciones iniciales dadas calcula la primera y la segunda derivada de y(t) y evalúalas para t = 0 , comprueba que si es cierto. Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de Laplace Elaborado por Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 19 8) ( ) ( ) ( ) ''' 5 '' 7 ' 3 20sin 0 0 ' 0 0 '' 0 2 y y y y t y y y − + − = ¦ ¦ = ¦ ´ = ¦ ¦ = − ¹ Solución: En estos momentos ya estás en capacidad de resolver las cuentas tu mismo: Al aplicar la transformada en ambos miembros de la ecuación, luego al despejar y(s) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 2 2 10 1 2 20 2 ( ) 1 5 7 3 1 1 3 s s s s y s s s s s s s s + + + + = = + − + − + − − Descomponiendo en fracciones parciales y hallando los coeficientes indeterminados obtenemos ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 10 1 3 3 6 2 1 3 1 1 1 3 1 s s s s s s s s s s + + + = − − + − − + + − − − Al aplicar la transformada inversa de y(s), encontramos y(t) , es decir, ( ) { } ( ) 1 L y s y t − = La solución de la E.D.O es: ( ) 3 cos 3sin 3 6 2 t t t y t t t e te e = + − − + Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de Laplace Elaborado por Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 20 Problemas Propuestos: Aplicar la transformada de Laplace para resolver cada una de las ecuaciones diferenciales con valores iniciales: ( ) ( ) ( ) 3 .1 '' 4 ' 6 3 ; 0 1, ' 0 1 t t A y y e e y y − + = − = = − ( ) ( ) ( ) .2 '' 2 sin 2 ; 0 10, ' 0 0 A y y t y y + = = = ( ) ( ) ( ) .3 '' 9 ; 0 0, ' 0 0 t A y y e y y + = = = ( ) ( ) ( ) ( ) .4 2 ''' 3 '' 3 ' 2 ; 0 0, ' 0 0, '' 0 1 t A y y y y e y y y − + − − = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) .5 ''' 2 '' ' 2 sin3 ; 0 0, ' 0 0, '' 0 1 A y y y y t y y y + − − = = = = Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de Laplace dy 5t − 2y = e 1 ) dt y ( 0) = 3 Solución: Dicho problema se encuentra resuelto en el texto UNA Matemática V. Tomo II .Ingeniería. Página 805. Usare 4 pasos fundamentales para explicar lo que se quiere encontrar, la solución única de la ecuación diferncial, revísalos, analízalos y apréndelos para que ataques los problemas propuestos 1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada: dy L − 2 L { y ( t )} = L {e5t } (A) dt Donde: dy L = sL { y (t )} − y ( 0 ) = sy ( s ) − 3 dt L { y ( t )} = y ( s ) L {e5t } = 1 s −5 ya que: L {e at } = 1 s−a 2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así: dy L − 2 L { y ( t )} = L {e5t } dt 1 ( sy( s) − 3) − 2 y (s) = s −5 1 1 + 3s − 15 −3 = y ( s ) [ s − 2] = s −5 s −5 y (s) = 3s − 14 ( s − 5)( s − 2 ) Sacando factor común, luego sumando fracciones algebraica ( Despejando a y (s) ) http://elimath.jimdo.com/ Elaborado por Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. Página 2 simplificamos y luego evaluamos para s=5 ( s − 5) ∴A= 3s − 14 ( s − 5) ( s − 2) = ( s − 5) A ( s − 5) + ( s − 5) B ( s − 3) 3s − 14 3(5) − 14 1 1 = = → A= 5−2 3 3 s−2 Para hallar el valor de B. Montoya Z.jimdo.D.O. http://elimath. expresamos como transformada inversa dicha descomposición Como: L−1 { y ( s )} = y (t ) 3s − 14 −1 8 / 3 −1 1/ 3 L−1 =L + L ( s − 5 )( s − 2 ) ( s − 5) ( s − 2) 1 1 8 −1 1 = L−1 + L 3 ( s − 5) 3 ( s − 2 ) 1 8 = e 5t + e 2 t 3 3 1 8 ∴ y (t ) = e5t + e 2t (Solución de la ecuación diferencial) 3 3 Podemos ver que también es cierta y(0)=3…. aplicando la Transformada de Laplace 3°) Debemos ahora calcular L−1 { y ( s )} = y ( t ) Primeramente debemos descomponer en fracciones parciales (Caso I) para luego usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa) 3s − 14 A B = + ( s − 5)( s − 2 ) ( s − 5) ( s − 2 ) Para hallar el valor de A.com/ Usamos tablas L−1 1 = e at s − a Página 3 .Resolver E. multiplicamos por (s-5) ambos miembros. Verifícalo Elaborado por Lcdo. simplificamos y luego evaluamos para s=2 ( s − 2) ∴B = 3s − 14 ( s − 5) ( s − 2) = ( s − 2) A B + ( s − 2) ( s − 5) ( s − 2) 3s − 14 3(2) − 14 −8 8 = = = → B=8 3 2−5 −3 3 ( s − 5) 4°) Una vez encontrado los valores de A y B. Eliezer A. multiplicamos por (s-2) ambos miembros. jimdo. aplicando la Transformada de Laplace y´´( t ) + 4 y ( t ) = sin 3t (2) y ( 0 ) = 0 y´( 0 ) = 0 Solución: 1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada: d2 y L 2 + 4 L { y ( t )} = L {sin 3t } (A) dt Donde: d 2 y L 2 = s 2 L { y (t )} − s. Eliezer A. y ( 0 ) − y ' ( 0 ) = s 2 y ( s ) − 0 − 0 = s 2 y ( s ) dt 4 L { y ( t )} = 4 y ( s ) L {sin 3t} = 3 s +9 2 ya que: L {sin bt} = b s + b2 2 2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así: s2 y ( s ) + 4 y ( s ) = 3 s +9 3 y ( s ) s 2 + 4 = 2 s +9 2 ( Factor común ) 3 2 y (s) = (s 2 + 9 )( s + 4 ) ( Despejando a y ( s ) ) → L−1 { y ( s )} = y ( t ) 3°) Debemos ahora calcular L−1 { y ( s )} = y ( t ) Podemos descomponer en fracciones parciales o bien usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa) Elaborado por Lcdo. http://elimath.Resolver E.com/ Página 4 .O. Montoya Z.D. D.O. aplicando la Transformada de Laplace 3 L−1 { y ( s )} = L−1 2 2 ( s + 9 )( s + 4 ) 1 1 a sin bt − b sin at −1 = 3L−1 2 → L 2 = 2 2 2 2 ab ( a 2 − b 2 ) ( s + 9 )( s + 4 ) ( s + a )( s + b ) 3sin 2t − 2 sin 3t 3sin 2t − 2sin 3t = 3 = 10 3 . Montoya Z. Eliezer A.jimdo.Resolver E.com/ Página 5 . http://elimath.2 ( 9 − 4 ) L−1 { y ( s )} = y ( t ) = 3sin 2t − 2sin 3t 10 La solución de la ecuación diferencial viene hacer: y ( t ) = Verificamos las condiciones iniciales y (t ) = y ' (t ) = Tal que: 3sin 2t − 2 sin 3t 10 3sin 2t − 2sin 3t 3sin 2t sin 3t = − 10 10 5 ⇒ Si t = 0 → y ( 0) = 0 6 cos 2t − 6 cos 3t 3 = ( cos 2t − cos 3t ) ⇒ Si t = 0 → y ' ( 0 ) = 0 10 5 y´´( t ) + 4 y ( t ) = sin 3t 3sin 2t − 2sin 3t 9 6 = − 5 sin 2t + 5 sin 3t + 4 10 6 9 6 4 − sin 2t + sin 3t + sin 2t − sin 3t = 5 5 5 5 9 4 5 − 5 sin 3t = sin 3t ∂2 y ∂y 2 − 2 −8y = 0 ∂t ∂t 3) y ( 0 ) = 3 y´( 0 ) = 6 Elaborado por Lcdo. Montoya Z.D. para luego usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa) Ahora bien. simplifando ) (Sacamos Factor común ) Despejando y factorizando 3s 3s = el denominador s − 2 s − 8 ( s − 4 )( s + 2 ) 3°) Nuestro propósito es calcular L−1 { y ( s )} = y ( t ) Lo primero es descomponer en fracciones parciales y(s) . para hallar los Coeficientes Indeterminados A y B –Método de sustitución 3s A B = + ( s − 4 )( s + 2 ) ( s − 4 ) ( s + 2 ) • Usaremos el método corto. y ( 0 ) − y ' ( 0 ) = s 2 y ( s ) − 3s − 6 ∂t ∂y 2 L = 2 sL { y (t )} − y ( 0 ) = 2 sy ( s ) − 3 = 2 sy ( s ) − 6 ∂t 8 L { y ( t )} = 8 y ( s ) 2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así: ( s y ( s ) − 3s − 6 ) − ( 2sy ( s ) − 6 ) − 8 y ( s ) = 0 2 s 2 y ( s ) − 2 sy ( s ) − 8 y ( s ) − 3s −6 +6 = 0 y ( s ) . aplicando la Transformada de Laplace Solución: 1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada: ∂2 y ∂y L 2 − 2 L + 8L { y ( t )} = 0 ∂t ∂t Donde: (A) ∂2 y 2 L 2 = s L { y (t )} − s.com/ Página 6 . Eliezer A. Para hallar el valor de A.Resolver E. s 2 − 2 s − 8 = 3s y (s) = 2 ( Eliminando paréntesis.O.jimdo. http://elimath. descomponemos en fracciones parciales. Multiplicamos por ambos miembros simplificamos y luego evaluamos para s = 4 ( s − 4) Elaborado por Lcdo. com/ Página 7 .D. bajo las condiciones iniciales dadas: y ( t ) = 2e 4t + e−2t Por tanto Si t = 0 → y ( 0 ) = 2e0 + e0 = 2 + 1 = 3 y ( 0 ) = 3 y ' ( t ) = 2e4t (4) + e−2t (−2) = 8e 4t − 2e −2t Por tanto Si t = 0 → y ' ( 0 ) = 8 − 2 = 6 y ' ( 0 ) = 6 Dejaremos al estudiante verificar que al encontrar la 2° derivada podemos ver si es cierta la ecuación diferencial y ''− 2 y '− 8 y = 0 Elaborado por Lcdo.Resolver E. aplicando la Transformada de Laplace Multiplicamos y simplificamos por ( s − 4) B = ( s − 4) + ( s − 4) ( s − 4) ( s + 2) ( s − 4) ( s + 2) ( s − 4) A= 3 ( 4) = 12 =2 6 → A=2 3s A ( 4) + 2 ( Evaluamos para s = 4 ) • Del mismo modo. http://elimath. Eliezer A. para encontrar el valor de B.O. multiplicamos por ( s +2) ambos miembros . expresamos como transformada inversa dicha descomposición: 2 −1 1 3s −1 L−1 =L + L ( s − 4 )( s + 2 ) ( s − 4) ( s + 2) 1 −1 1 = 2L + L ( s − 4) ( s + 2) −1 Como: L−1 { y ( s )} = y ( t ) Por tablas de Transformada inversa L−1 1 = e at s − a = 2e 4t + e −2t ∴ y ( t ) = 2e 4 t + e − 2 t Verifiquemos la solución particular encontrada. Montoya Z. simplificamos y evaluamos para s = −2 A B = ( s + 2) + ( s + 2) ( s + 2) ( s − 4) ( s − 4) ( s + 2) ( s + 2) B= 3 ( −2 ) = −6 =1 −6 → B =1 3s Multiplicamos y simplificamos por ( s + 2) ( −2 ) − 4 ( Evaluamos para s = −2 ) 4°) Una vez encontrado los valores de A y B.jimdo. aplicando la Transformada de Laplace d 2 y −2 t 2 + y = e sin t dt 4) y ( 0 ) = 0 y´( 0 ) = 0 Solución: 1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada: d2 y L 2 + L { y ( t )} = L {e −2t sin t} (A) dt Donde: d 2 y L 2 = s 2 L { y (t )} − s.com/ Página 8 . B. para luego usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa) Descomponemos en fracciones parciales. Eliezer A. (Estamos en presencia del Caso II) para hallar los Coeficientes Indeterminados A. Montoya Z.O.jimdo. http://elimath.Resolver E.D. y ( 0 ) − y ' ( 0 ) = s 2 y ( s ) − 0 − 0 = s 2 y ( s ) dt L { y ( t )} = y ( s ) L {e −2t sin t} = 1 ( s + 2) 2 +1 = 1 s + 4s + 5 2 ya que: L {eat sin bt} = b (s − a) 2 + b2 2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así: s2 y ( s ) + y ( s ) = 1 s + 4s + 5 1 y ( s ) s 2 + 1 = 2 s + 4 s + 5 ( Sacamos factor común ) 1 y (s) = 2 ( Despejando y ( s ) ) ( s + 4s + 5)( s 2 + 1) 2 3°) Nuestro propósito es calcular L−1 { y ( s )} = y ( t ) Lo primero es descomponer en fracciones parciales y(s) . C y D 1 As + B Cs + D = 2 + 2 2 ( s + 4s + 5)( s + 1) ( s + 4s + 5) ( s + 1) 2 Elaborado por Lcdo. D. D=1/4 y B= -1/4 y tenemos que la expresión buscada es: Como: L−1 { y ( s )} = y ( t ) 1 4 −1/ 4 1 −1 1/ 4 L−1 2 = L−1 2 + L 2 2 ( s + 4 s + 5 )( s + 1) ( s + 4s + 5 ) ( s + 1) 1 1 1 1 −1 = − L−1 2 + L 2 4 ( s + 4s + 5 ) 4 ( s + 1) 1 −1 1 1 1 = − L−1 + L 2 2 4 ( s + 2) + 1 4 ( s + 1) 1 1 = − e −2 t sin t + sin t 4 4 Hemos aplicado las propiedades de transformadas inversas siguientes at b L−1 = e sin bt 2 2 ( s − a) + b b L−1 2 = sin bt 2 s +b Elaborado por Lcdo. Montoya Z. Eliezer A.com/ Página 9 . aplicando la Transformada de Laplace ( As + B ) ( s 2 + 1) + ( Cs + D ) ( s 2 + 4s + 5) 1 = ( s 2 + 4s + 5)( s 2 + 1) ( s 2 + 4s + 5)( s 2 + 1) Sumando fracciones algebraicamente Como los numeradores son iguales.Resolver E. 1 = ( As + B ) ( s 2 + 1) + ( Cs + D ) ( s 2 + 4 s + 5 ) aplicamos la propiedad distributiva 1 = As 3 + As + Bs 2 + B + Cs 3 + Cs 2 + 5Cs + Ds 2 + 4 Ds + 5 D 1 = ( A + C ) s 3 + ( B + C + D ) s 2 + ( A + 5C + 4 D ) s + ( B + 5 D ) ( Sumando términos semejantes ) Se forma el sistema siguiente: A + C = 0 B + C + D = 0 A + 5C + 4 D = 0 B + 5D = 1 → A = −C Supongamos que: A = 0 → C = 0 En la ecuación II → B + D = 0 → B = − D Al sustituirlo en IV ( − D ) + 5 D = 1 → D = 4°) Sustituimos los coeficientes A=C=0.O. http://elimath.jimdo. O.L { y (t )} − y ( 0 ) = sy ( s ) − 1 ∂t L { y ( t )} = y ( s ) 2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así: ∂2 y ∂y Como: L 2 + 5L + 4 L { y ( t )} = 0 ∂t ∂t 2 ( Propiedad de linelidad ) ( s . y ( s ) − s ) + 5 ( s. http://elimath.D. y ( s ) − 1) + 4 y(s) = 0 ( Laplaciano de una derivada ) y ( s ) . Montoya Z.Resolver E. aplicando la Transformada de Laplace 1 1 La solución a la ecuación diferencial buscada es y ( t ) = − e −2t sin t + sin t 4 4 Verifiquemos las condiciones iniciales en cada ecuación: 1 1 y ( t ) = − e −2t sin t + sin t → y ( 0 ) = 0 4 4 y ' (t ) = 1 −2 t 1 1 1 1 e sin t + e −2t cos t − cos t → y ' ( 0 ) = − = 0 2 4 4 4 4 y ''+ 5 y '+ 4 y = 0 5) y ( 0 ) = 1 y ' ( 0) = 0 Solución: 1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada: ∂2 y ∂y L 2 + 5L + 4 L { y ( t )} = 0 ∂t ∂t Donde: (A) ∂2 y L 2 = s 2 . y ( 0 ) − y ' ( 0 ) = s 2 y ( s ) − s ∂t ∂y L = s.L { y (t )} − s. s 2 + 5s + 4 − s − 5 = 0 y (s) = 2 ( Sacando factor común ) Despejando y ( s) y factorizando el denominador s+5 s+5 = s + 5s + 4 ( s + 4 )( s + 1) Elaborado por Lcdo. Eliezer A.com/ Página 10 .jimdo. com/ Página 11 . para luego usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa) Descomponemos en fracciones parciales.Resolver E.jimdo.B .D.O. http://elimath. tenemos −1 4 / 3 s+5 −1 −1/ 3 L−1 =L + L ( s + 4 )( s + 1) ( s + 4) ( s + 1) ya que: L−1 { y ( s )} = y ( t ) 1 at como: L−1 =e s − a 1 1 4 −1 1 = − L−1 + L 3 ( s + 4) 3 ( s + 1) Asi que: 1 4 = − e −4 t + e − t 3 3 La solución de la ecuación 1 4 y (t ) = − e −4t + e− t diferencial buscada 3 3 16 y ''− 8 y '+ 17 y = 1 6) y ( 0 ) = 0 y ' (0) = 1 Solución: 1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada: d2 y dy 16. Eliezer A. Montoya Z.L 2 − 8L + 17 L { y ( t )} = L {1} (A) dt dt Donde: Elaborado por Lcdo. (Estamos en presencia del Caso I) s+5 A B = + ( s + 4 )( s + 1) ( s + 4 ) ( s + 1) Usamos el método corto o de sustitución descrito anteriormente. así que sustituyendo A. aplicando la Transformada de Laplace 3°) Nuestro propósito es calcular L−1 { y ( s )} = y ( t ) Por tanto. en primer lugar debemos es descomponer en fracciones parciales y(s) . A= B= s + 5 −4 + 5 1 = =− ( s + 1) −4 + 1 3 s+5 −1 + 5 4 = = ( s + 4 ) −1 + 4 3 4°) Hemos hallado los coeficientes Indeterminados. podemos ver que tiene raíces imaginarias por lo tanto. ( s 2 y ( s ) − 1) − 8 ( sy ( s ) ) + 17 y ( s ) = s Sacamos factor común 1 y ( s ) 16 s 2 − 8s + 17 = + 16 s y sumando fracciones 1 + 16 s y (s) = ( Despejando y (s) ) s (16 s 2 − 8s + 17 ) Si intentamos factorizar 16 s 2 − 8s + 17 .jimdo. y ( 0 ) − y ' ( 0 ) = s 2 y ( s ) − 0 − 1 = s 2 y ( s ) − 1 dt dy L = sL { y (t )} − y ( 0 ) = sy ( s ) − 0 = s. Montoya Z.Resolver E.L 2 − 8 L + 17 L { y ( t )} = L {1} dt dt 1 Entonces 16. Eliezer A.O. y ( s ) dt L { y ( t )} = y ( s ) L {1} = 1 s 2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así: Como: d2 y dy 16. para luego usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa) Elaborado por Lcdo.com/ Página 12 . en primer lugar debemos es descomponer en fracciones parciales y(s).D. http://elimath. completamos cuadrados para expresarla como: ( s − a ) 2 + b 2 1 16 s − 8s + 17 ≡ 16 s 2 − s + 17 2 2 1 1/ 2 1 Como: = 4 = 16 2 2 1 Sumamos y restamos 4 para completar cuadrados 2 2 1 1 1 ≡ 16 s 2 − s + − + 17 2 16 16 2 Al factorizar el trinomio 1 ≡ 16 s − + 17 − 1 4 cuadrado perfecto 2 2 1 1 ≡ 16 s − + 16 ≡ 16 s − + 1 4 4 (Sacamos factor común ) 3°) Nuestro propósito es calcular L−1 { y ( s )} = y ( t ) Por tanto. aplicando la Transformada de Laplace d2 y L 2 = s 2 L { y (t )} − s. O. Eliezer A. B y C A Bs + C 1 + 16s = + 2 2 s (16s − 8s + 17 ) s 16 s − 8s + 17 Sumamos fracciones algebraicamente Como el Numerador y el denominador son iguales A (16 s 2 − 8s + 17 ) + ( Bs + C ) s 1 + 16s = s (16s 2 − 8s + 17 ) s (16s 2 − 8s + 17 ) 1 + 16s = 16 As 2 − 8 As + 17 A + Bs 2 + Cs 1 + 16 s = (16 A + B ) s 2 + ( C − 8 A ) s + 17 A 16 A + B = 0 C − 8 A = 16 → A= 1 17 A = 1 17 Sustituimos el valor de A. Montoya Z. en la ecuación I 16 A + B = 0 → B = −16 17 1 16 280 s− 1 + 16 s 16 s − 280 17 = 1 1 + 1 = 17 + 172 2 s (16 s − 8s + 17 ) s 16 s − 8s + 17 17 s 17 16 ( s − 1/ 4 ) 2 + 1 Completando cuadrados = s − 35 1 1 1 2 + 17 s 17 ( s − 1/ 4 )2 + 1 4°) Hemos hallado los coeficientes Indeterminados. en la ecuación II C − 8 (1/17 ) = 16 → C = 16 + 8 280 280 = → C= 17 17 17 ( Aplicando propiedad distributiva ) ( Agrupando términos semejante ) Igualamos los coeficientes. http://elimath.D. aplicando la Transformada de Laplace Descomponemos en fracciones parciales. B y C. tenemos : Elaborado por Lcdo. así que sustituyendo A.Resolver E. (Estamos en presencia del Caso II) para hallar los Coeficientes Indeterminados A.com/ Página 13 . obtenemos el sistema siguiente: Sustituimos el valor de A = 1 17 .jimdo. http://elimath. 17 s 17 1 L−1 = 1 s ya que: L−1 { y ( s )} = y ( t ) 1 69 s− − 1 1 −1 s − 35 / 2 4 4 − L−1 =− L 2 2 17 17 ( s − 1/ 4 ) + 1 ( s − 1/ 4 ) + 1 1 s− 69 −1 1 −1 1 4 =− L + L 2 2 17 ( s − 1/ 4 ) + 1 68 ( s − 1/ 4 ) + 1 1 s− 1 −1 1 t /4 4 − L = − e cos t 2 17 17 ( s − 1/ 4 ) + 1 69 −1 1 69 t / 4 L = e sin t 2 68 ( s − 1/ 4 ) + 1 68 L−1 { y ( s )} = y ( t ) → y ( t ) = s−a at L = e cos bt 2 2 ( s − a ) + b −1 b at L = e sin bt 2 2 ( s − a ) + b −1 1 1 t/4 69 − e cos t + et / 4 sin t 17 17 68 Verificamos las condiciones iniciales para t = 0. Montoya Z. Eliezer A. aplicando la Transformada de Laplace 1 1 + 16 s s − 35 / 2 1 1 L−1 = L−1 − L−1 2 2 s 17 s (16 s − 8s + 17 ) 17 ( s − 1/ 4 ) + 1 Donde: 1 −1 1 1 L = .D.jimdo. y (t ) = 1 1 t/4 69 1 1 − e cos t + et / 4 sin t → y ( 0 ) = − + 0 = 0 17 17 68 17 17 y ( 0) = 0 69 1 1 y ' ( t ) = Dt − et / 4 cos t + et / 4 sin t 68 17 17 = 0− y '(0) = − 69 et / 4 sin t t / 4 1 et / 4 cos t t / 4 − e sin t + + e cos t 17 4 4 68 1 69 68 + = = 1 → y '(0) = 1 17 68 68 Elaborado por Lcdo.O.com/ Página 14 .Resolver E. Montoya Z.Resolver E.D. http://elimath. Eliezer A. L {cos bt} = s s + b2 2 2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así: d3y d 2 y dy Como: L 3 + 4 L 2 + 5 + 2 L { y (t )} = 10 L {cos t} dt dt dt 10 s entonces: ( s 3 y ( s ) − 3) + 4 ( s 2 y ( s ) ) + 5 ( s y ( s ) ) + 2 y ( s ) = 2 s +1 10 s y ( s ) s 3 + 4 s 2 + 5s + 2 = 2 s +1 + 3 3s 2 + 10 s + 3 y (s) = 2 ( s + 1)( s3 + 4s 2 + 5s + 2 ) Elaborado por Lcdo. aplicando la Transformada de Laplace 7) d3y d2y dy + 4 2 + 5 + 2 y = 10 cos t 3 dt dt dt y (0) = 0 y ' ( 0) = 0 y '' ( 0 ) = 3 Solución: 1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada: d3y d 2 y dy L 3 + 4 L 2 + 5 + 2 L { y (t )} = 10 L {cos t} dt dt dt Donde: d3y 3 L 3 = s L { y ( t )} − s 2 y ( 0 ) − s y ' ( 0 ) − y ' ( 0 ) = s 3 y ( s ) − 3 dt d2 y L 2 = s 2 L { y ( t )} − sy ( 0 ) − y ' ( 0 ) = s 2 y ( s ) dt dy L = sL { y ( t )} − y ( 0 ) = s y ( s ) dt L { y (t )} = y ( s ) L {cos t} = s s +1 2 ya que.jimdo.O.com/ Página 15 . ± 2 s 3 + 4s 2 + 5s + 2 = ( s + 1) . multiplicamos ambos miembros de la ecuación por luego evaluamos para s = −2 D= 3s 2 + 10 s + 3 = 3( −2) 2 + 10( −2) + 3 = ( s + 2 ) . igualamos los numeradores y los coeficientes para resolver el sistema luego.Resolver E. aplicando la Transformada de Laplace Factorizamos la expresión ( s 3 + 4 s 2 + 5s + 2 ) en el denominador usando la regla de Ruffini los divisores de 2 son ±1. multiplicamos ambos miembros de la ecuación por y luego evaluamos para s = −1 C2 = 3s 2 + 10 s + 3 3( −1) 2 + 10( −1) + 3 3 − 10 + 3 −4 = = = = −2 → C 2 = −2 s2 + 1 ( s + 2) ( −1) 2 + 1 ( ( −1) + 2 ) ( 2 )(1) 2 ( s + 1) 2 . Eliezer A. para luego usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa) Descomponemos en fracciones parciales. simplificamos ( ) ( ) Para hallar D. ahora usemos el método tradicional. http://elimath.jimdo.com/ Página 16 . simplificamos y (s 2 + 1) ( s + 1) 2 ( (−2) 2 + 1) ( ( −2) + 1) 2 12 − 20 + 3 −5 = = −1 → D = −1 5 ( 5 )(1) Hemos hallado dos coeficientes.D.O. sumamos las fracciones. (Estamos en presencia del Caso II y I) 3s 2 + 10 s + 3 = As + B C1 C2 D + + + 2 2 ( s + 1) ( s + 1) ( s + 1) ( s + 2 ) (s 2 + 1) ( s + 1) ( s + 2 ) 2 Calculemos C2 y D por el método corto o de sustitución: Para hallar C2 . Montoya Z. en primer lugar debemos es descomponer en fracciones parciales y(s) . como veremos a continuación: Elaborado por Lcdo. ( s + 2 ) 2 De esta manera: y ( s ) = 3s 2 + 10 s + 3 3s 2 + 10 s + 3 = 2 ( s 2 + 1)( s3 + 4s 2 + 5s + 2 ) ( s + 1) ( s + 1)2 ( s + 2 ) 3°) Nuestro propósito es calcular L−1 { y ( s )} = y ( t ) Por tanto. Eliezer A.O. ya que los denominadores tambien lo son.jimdo.D. Montoya Z.com/ Página 17 . http://elimath.Resolver E. 3s 2 + 10s + 3 = ( As + B )( s + 1) ( s + 2 ) + C1 ( s 2 + 1) ( s + 1)( s + 2 ) − 2 ( s 2 + 1) ( s + 2 ) − ( s 2 + 1) ( s + 1) 2 2 Desarrollemos el miembro derecho: ⇒ ( As + B ) ( s 3 + 4 s 2 + 5s + 2 ) + C1 ( s 4 + 3s 3 + 3s 2 + 3s + 2 ) − 2 ( s 3 + 2s 2 + s + 2 ) − ( s 4 + 2s 3 + 2 s 2 + 2 s + 1) Aplicando la propiedad distributiva y ordenando de forma decreciente: ⇒ As 4 + 4 As 3 + 5 As 2 + 2 As + Bs 3 + 4 Bs 2 + 5 Bs + 2 B C1s 4 + 3C1s 3 + 3C1s 2 + 3C1s + 2C1 − 2 s3 − 4s 2 −s 4 ( Sumamos luego términos semejantes ) − 2s − 4 − 2s − 1 − 2s 3 − 2s 2 ( A + C1 − 1) s 4 + ( 4 A + B + 3C1 − 4 ) s 3 + ( 5 A + 4 B + 3C1 − 6 ) s 2 + ( 2 A + 5B + 3C1 − 4 ) s + ( 2 B + 2C1 − 5) Igualamos los coeficientes anteriores con la expresión 3s 2 + 10s + 3 y tenemos el siguiente sistema: A + C1 − 1 = 0 4 A + B + 3C − 4 = 0 1 5 A + 4 B + 3C1 − 6 = 3 2 A + 5B + 3C − 4 = 10 2 B + 2C1 − 5 = 3 Sustituimos A = 1 − C1 y A + C1 = 1 → A = 1 − C1 4 A + B + 3C1 = 4 ⇒ 5 A + 4 B + 3C1 = 9 2 A + 5B + 3C = 14 1 2 B + 2C1 = 8 → B = 4 − C1 B = 4 − C1 en la ecuación II ( 4 A + B + 3C1 = 4 ) 4 (1 − C ) + ( 4 − C ) + 3C = 4 1 1 1 A = 1 − C1 B = 4 − C1 4 − 4C1 + 4 − C1 + 3C1 = 4 − 2C1 = 4 − 8 ⇒ A = 1 − 2 = −1 ⇒ B = 4 − 2 = 2 C1 = −4 / − 2 A = −1 B=2 C1 = 2 Elaborado por Lcdo. aplicando la Transformada de Laplace 3s 2 + 10 s + 3 = As + B C1 −2 −1 As + B C1 2 1 + + + = 2 + − − 2 2 2 ( s + 1) ( s + 1) ( s + 1) ( s + 2 ) ( s + 1) ( s + 1) ( s + 1) ( s + 2 ) (s (s 2 + 1) ( s + 1) ( s + 2 ) 2 3s 2 + 10 s + 3 2 + 1) ( s + 1) ( s + 2 ) 2 = As + B C1 2 1 + − − 2 2 ( s + 1) ( s + 1) ( s + 1) ( s + 2 ) 2 2 Sumando fracciones algebraicamente ( As + B )( s + 1) ( s + 2 ) + C1 ( s 2 + 1) ( s + 1)( s + 2 ) − 2 ( s 2 + 1) ( s + 2 ) − ( s 2 + 1) ( s + 1) = ( s 2 + 1) ( s + 1)2 ( s + 2 ) ( s 2 + 1) ( s + 1)2 ( s + 2 ) 3s 2 + 10 s + 3 Los numeradores y los coeficientes son iguales. Elaborado por Lcdo. Eliezer A.jimdo. http://elimath. aplicando la Transformada de Laplace La expresión buscada quedaría así: 3s 2 + 10s + 3 = −s + 2 2 2 1 + − − 2 2 ( s + 1) ( s + 1) ( s + 1) ( s + 2 ) (s 2 + 1) ( s + 1) ( s + 2 ) 2 4°) Hemos hallado los coeficientes Indeterminados. C1. comprueba que si es cierto. así que sustituyendo A. Montoya Z.D. C2 y D tenemos: L−1 { y ( s )} = y ( t ) 3s 2 + 10s + 3 −1 − s + 2 −1 2 −1 2 −1 1 −L L−1 2 = L 2 + L − L 2 2 ( s + 1) ( s + 2) ( s + 1) ( s + 1) ( s + 2 ) ( s + 1) ( s + 1) s 1 1 −1 1 1 −1 −1 −1 = − L−1 2 −L + 2L 2 + 2L − 2L 2 ( s + 1) ( s + 2) ( s + 1) ( s + 1) ( s + 1) Donde ( usando la transformada inversa ) : s ya que: L−1 2 = cos bt 2 s + b b ya que: L−1 2 = sin bt 2 s +b 1 at ya que: L−1 =e s − a n! n at ya que: L−1 =t e n +1 (s − a) 1 at ya que: L−1 =e s − a s L−1 2 = cos t ( s + 1) 1 L−1 2 = sin t ( s + 1) 1 −t L−1 =e s + 1 1 L−1 = te − t 2 ( s + 1) 1 −2t L−1 =e s + 2 Tenemos entonces que : y ( t ) = − cos t + 2sin t + 2e − t − 2te − t − e −2t La solución de la ecuación diferencial es y ( t ) = − cos t + 2sin t + 2e − t − 2te − t − e −2 t Verifica las condiciones iniciales dadas calcula la primera y la segunda derivada de y(t) y evalúalas para t = 0 . B .O.com/ Página 18 .Resolver E. luego al despejar y(s) 2 ( s 2 + 10 s + 1) 2 s 2 + 20 s + 2 y( s) = 2 = ( s + 1)( s3 − 5s 2 + 7 s − 3) ( s 2 + 1) ( s − 1)2 ( s − 3) Descomponiendo en fracciones parciales y hallando los coeficientes indeterminados obtenemos 2 ( s 2 + 10 s + 1) = s+3 3 6 2 − − + 2 2 ( s + 1) ( s − 1) ( s − 1) ( s − 3) (s 2 + 1) ( s − 1) ( s − 3) 2 Al aplicar la transformada inversa de y(s). es decir. encontramos y(t) .jimdo.O es: y ( t ) = cos t + 3sin t − 3et − 6tet + 2e3t Elaborado por Lcdo. L−1 { y ( s )} = y ( t ) La solución de la E.com/ Página 19 . Montoya Z. Eliezer A. aplicando la Transformada de Laplace y '''− 5 y ''+ 7 y '− 3 y = 20sin t y ( 0) = 0 8) y ' ( 0) = 0 y '' ( 0 ) = −2 Solución: En estos momentos ya estás en capacidad de resolver las cuentas tu mismo: Al aplicar la transformada en ambos miembros de la ecuación.D. http://elimath.Resolver E.O.D. Resolver E. y '' ( 0 ) = 1 Elaborado por Lcdo.com/ Página 20 . y ' ( 0 ) = 0 .1) y ''+ 4 y ' = 6e3t − 3e−t ( A.2 ) y ''+ y = . y ' ( 0 ) = −1 2 sin 2 t . y ( 0 ) = 1. http://elimath. y ' ( 0 ) = 0 ( A. y ( 0 ) = 0. y ( 0 ) = 0.4 ) 2 y '''+ 3 y ''− 3 y '− 2 y = e−t ( A.5) y '''+ 2 y ''− y '− 2 y = sin 3t . Montoya Z.3) y ''+ 9 y = et . y ' ( 0 ) = 0. y ( 0 ) = 0. y ( 0 ) = 10. aplicando la Transformada de Laplace Problemas Propuestos: Aplicar la transformada de Laplace para resolver cada una de las ecuaciones diferenciales con valores iniciales: ( A.O. Eliezer A.D. y ' ( 0 ) = 0. y '' ( 0 ) = 1 ( A.jimdo.