Universidad del TolimaFacultad de Ciencias Básicas Matemáticas con en énfasis en Estadística Ecuaciones Diferenciales Taller 2: Aplicaciones y Ecuaciones diferenciales de segundo orden I. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de Bernoulli 1. y 2 dx + (xy −x 3 )dy = 0 2. xy −y = x 3 y 4 3. dy dx + 2 2 x y = 2y 1 2 cos 2 (x) 4. dy dx −ytan(x) = −y 2 cos(x) 5. x dy dx + y = y 2 Ln(x) 6. dy dx − 2 3x y + x 2 + 2 3 y 2 = 0 7. 3(1 + x 2 ) dy dx = 2xy(y 3 −1) 8. e −x (y −y) = y 2 9. y 2 dx + (xy −x 3 )dy = 0 10. 5y 3 dx −y 2 (−2x + y 2 x 4 )dy = 0 11. xy(1 + xy 2 ) dy dx = 1, y(1) = 0 12. y 1 2 dy dx + y 3 2 = 1, y(0) = 4 II. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de Ricatti 1. dy dx = −2 −y + y 2 , ϕ(x) = 2 2. dy dx = 1 −x −y + xy 2 , ϕ(x) = 1 3. dy dx = − 4 x 2 − 1 x y + y 2 , ϕ(x) = 2 x 4. dy dx = 2x 2 + 1 x y −2y 2 , ϕ(x) = x 5. dy dx = e 2x + (1 + 2e x )y + y 2 , ϕ(x) = −e x 6. dy dx = sec 2 (x) −(tan(x))y + y 2 , ϕ(x) = tan(x) 7. dy dx = 3y + y 2 −4, ϕ(x) = 1 8. dy dx = 1 x y + 1 x 2 y 2 −1, ϕ(x) = x 9. dy dx = y 2 − 1 x y + 1 − 1 4x 2 , ϕ(x) = 1 2x + tan(x) 10. dy dx = csc 2 (x) + ycot(x) + y 2 , ϕ(x) = −cot(x) III. Resolver las siguientes ecuaciones Diferenciales de Clariut p = dy dx 1. y = (px + x 2 )Ln(x) + (px + x 2 ) 2 − x 2 2 2. y = pxLn(x) + p 2 x 2 3. y = 5xp + 5x 2 + p 2 4. y = p 2 x 4 −px 5. 2y = 8xp + 4x 2 + 3p 2 IV. Deduzca la solución a la ecuación de Lagrange y = xf(p) + g(p), p = dy dx y de un ejemplo. V. Hallar la familia de curvas ortogonales a la familia dada 1. y = Cx 2. C = x + y 3. y 2 = 4(x −C) 4. x 2 + 2y 2 = C 5. x 2 + y 2 −2Cy = a 2 6. x 2 + Cy 2 = 1 V. Resolver los siguientes problemas 1. Se sabe que la población aumenta en un instante cualquiera con una rapidez proporcional al número de personas presentes de dicho instante si la población se duplica en 5 años. Cuánto demora en triplicarse?. Cuánto demora en cuadruplicarse?. 2. Suponga que se sabe que la población de la comunidad del problema 1 es de 10.000 habitantes después de tres años. Cuál era la población inicial?. Cuál será la población en 10 años? 1 3. La población de una ciudad crece en un instante cualquiera con una rapidez proporcional a la cantidad de habitantes en dicho instante. La población inicial de 500 aumenta en 15 % en 10 años. Cual será la población dentro de 30 años?. 4. La cantidad de bacterias de un cultivo crece en un instante cualquiera con una rapidez proporcional al número que ellas haya en dicho instante. Después de tres horas se observa que se tienen 400 bacterias y que al cabo de 10 horas hay 2000. Cuál es el número inicial de bacterias?. 5. El isótopo radioactivo de plomo-209 se desintegra, en un instante cualquiera con rapidez proporcional a la cantidad presente en dicho instante y tiene una semivida (o periodo medial) de 3,3 horas. Si inicialmente hay 1 gramo de plomo. Cuánto tiempo transcurrirá para que se desintegre el 90 % de dicho elemento? 6. Un circuito en serie en el cual la resistencia es de 200Ω y la capacitancia es de 10 −4 F se aplica una tensión de 100V. Calcule la carga q(t) en el capacitor si q(0) = 0 y Obtenga la corriente i(t). VI. Resolver las siguientes ecuaciones usando el método de reducción de orden 1. x 2 y −7xy + 16y = 0, y 1 = x 4 2. x 2 y + 2xy −6y = 0, y 1 = x 2 3. xy + y = 0, y 1 = Ln(x) 4. xy −xf(x)y + f(x)y = 0 5. (1−2x−x 2 )y +2(1+x)y −2y = 0, y 1 = x+1 6. (1 −x 2 )y + 2xy = 0, y 1 = 1 VII. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas 1. y + 9y = 0 2. y −4y + 5y = 0 3. 3y + 2y + y = 0 4. y −10y + 25y = 0 5. y −y = 0 6. y −4y −5y = 0 7. y −5y + 3y + 9y = 0 8. y (4) −2y + y = 0 9. y(4) + y + y = 0 10. u (5) + 5u (4) −2u (3) −10u + u + 5u = 0 11. 2y (5) −7y (4) + 12y (3) + 8y = 0 12. 2y −3y + 4y = 0 VIII. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de coeficientes indeterminados 1. y + 3y + 2y = 0 2. y −10y + 25y = 30x + 3 3. 1 4 y + y + y = x 2 −2x 4. y + 3y = −48x 2 e 3x 5. y + 4y = 3sen(2x) 6. y + y = 2xsen(x) 7. y −2y + 5y = e x cos(2x) 8. y + 2y + y = sen(x) + 3cos(2x) 9. y (4) −8y +16y = xsenh(2x) 10. y +y +y +y = xcosh(−x) IX. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de Variación de parámetros 1. y −5y + 6y = e 2x 2. y −2y + y = x 2 + 1 3. y −4y + 4y = e 2x + e −2x 4. y + y = e −x 5. y + 3y + 2y = 8xe x 6. y −y −2y = 9xe x 7. y −8y + 12y = 4xsenh(2x) 8. y + 4y −5y = 12cosh(x) 9. y + 5y + 5y = (x + 1) 2 10. y −y −12y = 28(coshx) 2 11. y −2y −3y = 9(x + 1) 12. y + y −y −y = senh(x) 13. y −2y −y + 2y = (x + 1) 2 14. y + 2y −y −2y = cosh(x) 15. y + 3y −y −3y = e x + e −3x X. Resolver las siguientes Ecuaciones de Cauchy-Euler 1. 25x 2 y + 25xy + y = 0 2. x 2 y −3xy −2y = 0 3. x 2 y + 5xy + 4y = 0 4. x 3 y + xy −y = 0 5. xy (4) −6y = 0 6. x 4 y (4) + 6x 3 y + 9x 2 y + 3xy + y = 0 2