Edo r.benazic

Tópicos de Ecuaciones DiferencialesOrdinarias Renato Benazic Cap´ıtulo 1 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 1.1 Introducci´ on El mejor lenguaje creado por la raza humana para entender el mundo que lo rodea se llama Matemática. Esta es una de las razones por la cual el estudio de esta ciencia ocupa un papel preponderante en nuestra moderna sociedad. Haciendo un poco de historia, a comienzos del siglo XVI, el gran f´ısico italiano Galileo Galilei (1564-1642) llegó a la conclusión de que “la nat- uraleza esconde sus secretos en el lenguaje de las matemáticas”. Algunos a˜ nos más tarde el inglés Isaac Newton (1642-1727) y el alemán Wilhelm Gottfried Leibnitz (1646-1716) elaboraron un nuevo tipo de matemática: el Cálculo Diferencial e Inte- gral, que permitió a los cient´ıficos de la época, resolver muchos problemas f´ısicos y geométricos. En particular, esta nueva her- ramienta fue indispensable para que Newton estableciera sus tres inmortales leyes del movimiento de los cuerpos por acción 1 2 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias del campo gravitatorio (por ejemplo trayectoria de planetas, satélites y cometas as´ı como también el movimiento de proyec- tiles, conectando de esta manera la f´ısica de los cielos con la f´ısica terrestre). En el siglo siguiente se establecieron leyes similares que gobiernan los fenómenos de electricidad y magnetismo. Todas estas leyes ten´ıan algo en com´ un: el fenómeno que se de- sea conocer (el cual es modelado matemáticamente por el concepto de función) estaba escondido bajo la operación de difer- enciación. Resolver un Sistema de Ecuaciones Diferenciales Or- dinarias (E.D.O.) consiste justamente en determinar tal función o funciones incógnitas. Por ejemplo el movimiento de un péndulo no amortiguado de longitud está gobernado por el sistema ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ x (t) = y y (t) = − g sen x (1.1) en donde g representa la aceleración de la gravedad. Si en cambio consideramos el péndulo amortiguado, con una constante de amortiguamiento c > 0, la ecuación que gobierna su movimiento es dada por ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ x (t) = y y (t) = − c m y − g sen x (1.2) Como segundo ejemplo consideremos el problema del rapaz y la presa, el cual es uno de los problemas fundamentales de la ecolog´ıa matemática. Sean x(t) e y(t) las poblaciones, en cualquier instante t de dos especies una de las cuales (y el rapaz) devora a la otra (x la presa). Se supone que en ausencia de rapaces, el n´ umero de presas crecer´ıa ilimitadamente, mientras que en ausencia de presas, la población de rapaces decrecer´ıa. T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 3 Alrededor de 1925 el biof´ısico americano Alfred Lotka (1880- 1949) y el matemático italiano Vito Volterra (1860 - 1940) pro- pusieron el siguiente modelo matemático para que las especies se mantengan en equilibrio. ¸ ¸ ¸ ¸ x (t) = ax −bxy y (t) = −cy +dxy (1.3) en donde a, b, c y d son constantes reales positivas. Como tercer ejemplo, suponga que se tienen dos especies semejantes que compiten por un alimento com´ un el cual es lim- itado. Sean x(t) e y(t) el n´ umero de individuos de cada especie en cualquier instante t. El modelo matemático propuesto que rige el crecimiento de las poblaciones x e y viene dado por ¸ ¸ ¸ ¸ x (t) = a 1 x −a 2 x 2 −a 3 xy y (t) = b 1 y −b 2 y 2 −b 3 xy (1.4) en donde a 1 , a 2 , a 3 , b 1 , b 2 y b 3 son constantes reales positivas. Como ejemplo final, mencionaremos el sistema masa resorte. Consideremos un resorte de masa m sujeto a un resorte de constante de estiramiento k el cual está conectado a un mecanismo cuya constante de amortiguación es c. Suponga además que a la masa que pende del resorte se le aplica una fuerza exterior periódica del tipo f(t) = cos wt (donde w es el per´ıodo de la fuerza f). El modelo matemático que gobierna el movimiento del sistema masa-resorte viene dado por el sistema ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ x (t) = y y (t) = − k m x − c m y + 1 m cos wt (1.5) Todos los ejemplos presentados son casos particulares de Sis- temas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden, 4 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias concepto que pasamos a definir y estudiar a partir de la próxima sección. Note el lector la Teor´ıa de las Ecuaciones Diferenciales Ordi- narias no sólo interesa al matemático, sino que es ´ util a cualquier ciencia que pueda expresar sus leyes en lenguaje matemático. La F´ısica, la Qu´ımica, la Biolog´ıa, la Ecolog´ıa y la Econom´ıa son algunos ejemplos de tales disciplinas. 1.2 Sistemas Aut´ onomos y no Aut´ onomos Definimos a continuación nuestro principal objeto de estudio. Definición 1.2.1 Un Sistema de n Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.) de primer orden es una expresión del tipo ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ x 1 = F 1 (t, x 1 , x 2 , . . . , x n ) x 2 = F 2 (t, x 1 , x 2 , . . . , x n ) . . . . . . . . . x n = F n (t, x 1 , x 2 , . . . , x n ) (1.6) en donde t es una variable independiente que denota al tiempo, x 1 , x 2 , . . . , x n son variables que dependen de t que toman valores reales y F 1 , F 2 , . . . , F n son funciones real valoradas definidas en un subconjunto de D de R n+1 . Los ejemplos dados en la sección anterior son casos particulares del sistema (1.6). En efecto, en el modelo de Lotka-Volterra (1.3) tenemos que x 1 = x, x 2 = y, F 1 (t, x 1 , x 2 ) = ax 1 −bx 1 x 2 y F 2 (t, x 1 , x 2 ) = −cx 2 +dx 1 x 2 . T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 5 Mientras que en el modelo matemático (1.5) propuesto para el sistema masa-resorte se tiene x 1 = x, x 2 = y, F 1 (t, x 1 , x 2 ) = x 2 y F 2 (t, x 1 , x 2 ) = − k m x 1 − c m x 2 + 1 m cos wt. En diversas ocasiones sucede que las funciones F 1 , F 2 , . . . , F n sólo dependen de las variables x 1 , x 2 , . . . , x n y no de la variable temporal t, en este caso (1.6) toma la forma ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ x 1 = F 1 (x 1 , x 2 , . . . , x n ) x 2 = F 2 (x 1 , x 2 , . . . , x n ) . . . . . . x n = F n (x 1 , x 2 , . . . , x n ) (1.7) Decimos que (1.7) es un Sistema Autónomo de Ecuaciones Difer- enciales Ordinarias, mientras que (1.6) es llamado Sistema no Autónomo. Los modelos (1.1), (1.2), (1.3) y (1.4) son ejemplos de sistemas autónomos, mientras que el modelo masa-resorte (1.5) es un ejemplo de sistema no autónomo. A continuación, vamos a precisar lo que se entiende por solución de un sistema de E.D.O. Definición 1.2.2 Una Solución de (1.6) es un conjunto de n funciones ϕ 1 , ϕ 2 , . . . , ϕ n , con valores reales y definidas en un mismo intervalo abierto J de la recta real tales que satisfacen las dos condiciones siguientes: 1. (t, ϕ 1 (t), ϕ 2 (t), . . . , ϕ n (t)) ∈ D, para todo t ∈ J. 6 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 2. Cada ϕ i es diferenciable en J y para cada t ∈ J se cumple ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ϕ 1 (t) = F 1 (t, ϕ 1 (t), ϕ 2 (t), . . . , ϕ n (t)) ϕ 2 (t) = F 2 (t, ϕ 1 (t), ϕ 2 (t), . . . , ϕ n (t)) . . . . . . ϕ n (t) = F n (t, ϕ 1 (t), ϕ 2 (t), . . . , ϕ n (t)) (1.8) En el caso de sistemas autónomos, si denotamos por U ⊆ R n al dominio com´ un de las funciones F 1 , F 2 , . . . F n , tenemos el siguiente caso particular de la Definición (1.8). Definición 1.2.3 Una Solución del sistema autónomo (1.7) es un conjunto de n funciones ϕ 1 , ϕ 2 , . . . , ϕ n , con valores reales y definidas en un mismo intervalo abierto J de la recta real tales que satisfacen las dos condiciones siguientes: 1. (ϕ 1 (t), ϕ 2 (t), . . . , ϕ n (t)) ∈ U, para todo t ∈ J. 2. Cada ϕ i es diferenciable en J y para cada t ∈ J se cumple ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ϕ 1 (t) = F 1 (ϕ 1 (t), ϕ 2 (t), . . . , ϕ n (t)) ϕ 2 (t) = F 2 (ϕ 1 (t), ϕ 2 (t), . . . , ϕ n (t)) . . . . . . . . . ϕ n (t) = F n (ϕ 1 (t), ϕ 2 (t), . . . , ϕ n (t)) (1.9) 1.3 Repaso de Matrices y Transfor- maciones Lineales En lo sucesivo, K denotará al campo de los n´ umeros reales R o al de los n´ umeros complejos C y sus elementos serán llamados T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 7 escalares. Sean m y n dos enteros positivos, denotemos por I m,n al conjunto de todos los pares ordenados (i, j) tales que 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Una matriz de m filas y n columnas con coeficientes en K o simplemente K-matriz m n, es cualquier función A que a cada par (i, j) ∈ I m,n le asocia un elemento A(i, j) = a ij ∈ K llamado la entrada ij de la matriz A. Se acostumbra disponer los valores a ij de la matriz A en un arreglo de m filas y n columnas, de la manera siguiente A = _ ¸ ¸ ¸ _ a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n . . . . . . . . . a m1 a m2 a mn _ ¸ ¸ ¸ _ = [a ij ]. El conjunto de todas las K-matrices mn será denotado por K m×n . Si m = n, A se llama matriz cuadrada. Si A ∈ K 1×n entonces A se llama matriz fila mientras que si A ∈ K m×1 entonces A es una matriz columna. Dos matrices A = [a ij ], B = [b ij ] ∈ K m×n son iguales, lo que denotamos A = B, si y sólo si a ij = b ij , para todo par (i, j) ∈ I m,n . Sean A = [a ij ], B = [b ij ] ∈ K m×n y c ∈ K, definimos la suma de las matrices A y B y el producto del escalar c por la matriz A, denotados respectivamente por A+B y cA, como A +B = [a ij +b ij ], cA = [ca ij ] Con las operaciones de suma de matrices y producto de un escalar por una matriz, K m×n se torna un K-espacio vectorial de dimensión mn. Denotaremos por θ a la matriz cero. Si E ij ∈ K m×n denota la matriz que tiene todas sus entradas iguales a cero, excepto la entrada ij la cual es igual a uno, entonces el conjunto ¦E ij ; (i, j) ∈ I m,n ¦ es una base de K m×n 8 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias llamada base canónica. Por ejemplo las matrices E 11 = _ 1 0 0 0 _ , E 12 = _ 0 1 0 0 _ , E 21 = _ 0 0 1 0 _ , E 22 = _ 0 0 0 2 _ forman la base canónica de K 2×2 . Como K m×n es un K-espacio vectorial de dimensión mn, entonces él es isomorfo a K mn , v´ıa el isomorfismo _ ¸ ¸ ¸ _ a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n . . . . . . . . . a m1 a m2 a mn _ ¸ ¸ ¸ _ ←→ (a 11 , . . . , a 1n , . . . , a m1 , . . . , a mn ) (1.10) En particular una matriz fila A ∈ K 1×n (respectivamente una matriz columna B ∈ K m×1 ) puede identificarse con un vector de K n (respectivamente de K m ), v´ıa el isomorfismo anterior, es decir A = _ a 11 a 12 a 1n ¸ ←→ (a 11 , a 12 , . . . , a 1n ) y _ ¸ ¸ ¸ _ a 11 a 21 . . . a m1 _ ¸ ¸ ¸ _ ←→ (a 11 , a 21 , . . . , a m1 ) A lo largo del texto usaremos frecuentemente el isomorfismo anterior. Sea A = [a ij ] ∈ K m×n la transpuesta de A, denotada por A t , es definida por A t = [a ji ] = _ ¸ ¸ ¸ _ a 11 a 21 a m1 a 12 a 22 a m2 . . . . . . . . . a 1n a 2n a mn _ ¸ ¸ ¸ _ T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 9 es decir, la matriz obtenida de A intercambiando filas por columnas. Es claro que A t ∈ K n×m Sean A = [a ij ] ∈ K m×n y B = [b jk ] ∈ K n×p . El producto de las matrices A y B, denotado por A B o simplemente AB, es la matriz de K m×p definida por AB = [c ik ], donde c ik = n j=1 a ij b jk . El producto de matrices satisface las siguientes propiedades: 1. Propiedad Asociativa: A(BC) = (AB)C, ∀A ∈ K m×n , ∀B ∈ K n×p , ∀C ∈ K p×r . 2. Propiedad Distributiva a derecha: (A +B)C = AC +BC, ∀A, B ∈ K m×n , ∀C ∈ K n×p . 3. Propiedad Distributiva a izquierda: A(B +C) = AB +AC, ∀A ∈ K m×n , ∀B, C ∈ K n×p . En el espacio de matrices cuadradas K n×n , definimos I = [δ ij ] = _ ¸ ¸ ¸ _ 1 0 0 0 1 0 . . . . . . . . . 0 0 1 _ ¸ ¸ ¸ _ donde δ ij es la delta de Kronecker, es decir δ ij = 0 si 1 ≤ i ,= j ≤ n y δ ii = 1. Se cumple AI = IA = A, ∀ A ∈ K n×n , es decir I es la matriz identidad (multiplicativa) de K n×n . No es dif´ıcil probar que el conjunto de las matrices cuadradas K n×n con 10 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias las operaciones de suma de matrices y producto de matrices es un anillo no conmutativo con elemento identidad. Si A ∈ K n×n y k ≥ 0, definimos la potencia k-ésima de A, denotada A k por inducción como sigue: A 0 = I, A 1 = A, A k = A A k−1 , ∀ k ≥ 2. Decimos que A ∈ K n×n es una matriz no singular (o matriz inversible) si y sólo si existe B ∈ K n×n tal que AB = BA = I. En caso de existir tal matriz B, se prueba que ella es ´ unica y recibe el nombre de inversa de A. Usaremos la notación A −1 para representar a la matriz inversa de A. Las matrices que no son inversibles son llamadas singulares. El conjunto de todas las matrices no singulares se llama grupo lineal de K n y será denotado por GL(K n ). Queda como ejercicio para el lector, probar que GL(K n ) con la multiplicación de matrices tiene estructura de grupo (no abeliano). Un concepto fuertemente relacionado con el de matriz es el de transformación lineal. Una función T : K n → K m es una Transformación Lineal si y sólo si se cumple T(αx +βy) = αT(x) +βT(y), ∀ x, y ∈ K n , ∀ α, β ∈ K. Denotaremos por L(K n ; K m ) al conjunto de todas las transformaciones lineales de K n en K m . Con las operaciones usuales de suma de funciones y producto de un n´ umero real por una transformación lineal, el conjunto L(K n ; K m ) se torna un K- espacio vectorial de dimensión mn. Observe que como K m×n y L(K n ; K m ) son K-espacios vectoriales de la misma dimensión, ellos son isomorfos (de ahora en adelante usaremos la notación V ≈ W para establecer que los K-espacios vectoriales V y W, son isomorfos). Conviene dar expl´ıcitamente el isomorfismo entre K m×n y L(K n ; K m ). Denotemos por e 1 = (1, 0, . . . , 0), Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 11 e 2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , e k = (0, . . . , 0, 1) la base canónica de K k , (k = n, m). Como T(e j ) ∈ K m , existen ´ unicos escalares a 1j , . . . a mj (j = 1, 2, . . . , n) tales que: T(e 1 ) = a 11 e 1 +a 21 e 2 + +a m1 e m T(e 2 ) = a 12 e 1 +a 22 e 2 + +a m2 e m . . . . . . T(e n ) = a 1n e 1 +a 2n e 2 + +a mn e m Los n´ umeros reales a ij forman una matriz, cuya transpuesta que denotamos por A T recibe el nombre de matriz asociada (en las bases canónicas de K n y K m ) a la transformación lineal T, es decir A T = _ ¸ ¸ ¸ _ a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n . . . . . . . . . a m1 a m2 a mn _ ¸ ¸ ¸ _ . Rec´ıprocamente, dada A = [a ij ] ∈ K m×n , definimos la transfor- mación lineal T A : K n →K m mediante T A (x) = Ax, es decir T A (x 1 , . . . , x n ) = (a 11 x 1 + +a 1n x n , . . . , a m1 x 1 + +a mn x n ) . Es claro que la matriz asociada a T A (en las bases canónicas de K n y K m ) es A. As´ı, es fácil probar que la función ψ que asocia a T ∈ L(K n ; K m ) la matriz ψ(T) = A T ∈ K m×n es un isomorfismo entre los K-espacios vectoriales L(K n ; K m ) y K m×n . De ahora en adelante usaremos indistintamente la letra A (o la T) para denotar matrices o transformaciones lineales. El n´ ucleo de la transformación lineal A ∈ L(K n ; K m ), el cual es denotado por Nu(A), es definido como el conjunto de todos los x ∈ K n tales que Ax = 0. Es claro que Nu(A) es un K-espacio vectorial. 12 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Sea A ∈ K n×n , decimos que λ ∈ K es un autovalor de A, si y sólo si existe un vector no nulo x ∈ K n tal que Ax = λx. El vector no nulo x es llamado autovector de A asociado al autovalor λ. No es dif´ıcil probar que λ ∈ K es un autovalor de A si y sólo si A −λI es singular si y sólo si Nu(A −λI) ,= ¦0¦. Además se cumple que si x 1 y x 2 son autovectores de A asociados a los autovalores λ 1 y λ 2 respectivamente (λ 1 ,= λ 2 ), entonces x 1 y x 2 son linealmente independientes. Para calcular los autovalores de una matriz, necesitamos in- troducir el concepto de determinante. Sea A = [a ij ] ∈ K n×n , escribiremos A = [A 1 A 2 . . . A n ], donde A j denota la j-ésima columna de la matriz A, es decir A j = _ ¸ ¸ ¸ _ a 1j a 2j . . . a mj _ ¸ ¸ ¸ _ 1 ≤ j ≤ n. El determinante es una función que a cada matriz cuadrada A ∈ K n×n le asocia el escalar det(A) y que satisface las siguientes propiedades: 1. det es una función n- lineal, es decir para cada j = 1, 2, . . . , n se cumple det[A 1 . . . αA j +βA j . . . A n ] = αdet[A 1 . . . A j . . . A n ] + +β det[A 1 . . . A j . . . A n ], 2. Si A i = A j (con 1 ≤ i ,= j ≤ n) entonces det[A 1 . . . A n ] = 0. 3. det(I) = 1. Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 13 Por ejemplo la función det : K 2×2 →K definida por det _ a 11 a 12 a 21 a 22 _ = a 11 a 22 −a 12 a 21 es un determinante, puesto que satisface las 3 condiciones anteriores. Se puede demostrar que ella es la ´ unica función determinante en K 2×2 . Si A, B ∈ K n×n entonces no es dif´ıcil probar que det(AB) = det(A) det(B). Una consecuencia del resultado anterior es que A ∈ GL(K n ) si y sólo si det(A) ,= 0. De esta manera λ es un autovalor de A ∈ K n×n si y sólo si det(A−λI) = 0. Note que det(A−λI) es un polinomio de grado n con coeficientes en K en la variable λ, el cual es llamado el polinomio caracter´ıstico de la matriz A y al que denotaremos por P A (λ). Las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico son los autovalores de A. Concluimos que toda matriz cuadrada A ∈ K n×n posee n autovalores (contando multiplicidad). 1.4 Nociones de Cálculo Matricial Una función definida en un intervalo J de la recta real con valores en R m×n es llamada función matricial. En virtud del isomorfismo (1.10) cualquier función matricial Φ : J −→ R m×n t −→ Φ(t) = _ ¸ ¸ ¸ _ a 11 (t) a 12 (t) a 1n (t) a 21 (t) a 22 (t) a 2n (t) . . . . . . . . . a m1 (t) a m2 (t) a mn (t) _ ¸ ¸ ¸ _ = [a ij (t)] 14 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias puede ser observada como un camino en R mn Φ : J −→ R nm t −→ Φ(t) = (a 11 (t), . . . , a 1n (t), . . . , a m1 (t), . . . , a mn (t)) As´ı, dada una función matricial Φ(t) = [a ij (t)] ∈ R nm quedan automáticamente determinadas una colección de nm funciones reales de variable real a ij llamadas funciones coordenadas de A. Observe que a ij : J → R, ∀ (i, j) ∈ I m,n . Las propiedades comunes a estas funciones coordenadas, caracterizan las propiedades de la función matricial Φ. Definición 1.4.1 Sea Φ : J →R m×n una función matricial tal que Φ(t) = [a ij (t)], ∀ t ∈ J. Si t 0 ∈ J, decimos que la matriz A = [a ij ] ∈ R m×n es el l´ımite de Φ(t) cuando t tiende a t 0 , lo que denotamos por lim t→t 0 Φ(t) = A si y sólo si lim t→t 0 a ij (t) = a ij , ∀ (i, j) ∈ I m,n . No es dif´ıcil probar que se cumplen las reglas usuales del álgebra de l´ımites (ver ejercicios al final del cap´ıtulo). La continuidad de funciones matriciales se definen también en término de sus funciones coordenadas. Definición 1.4.2 Sea Φ : J →R m×n una función matricial tal que Φ(t) = [a ij (t)], ∀ t ∈ J. Decimos que Φ es continua en t 0 ∈ J si y sólo si cada a ij es continua en t 0 . Definición 1.4.3 Sea Φ : J → R m×n , donde J es un intervalo abierto. Decimos que Φ es diferenciable en t 0 ∈ J si y sólo si existe el siguiente l´ımite: lim t→t 0 1 t −t 0 [Φ(t) −Φ(t 0 )] . En caso afirmativo, denotamos por Φ (t 0 ) al l´ımite anterior. Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 15 El lector no tendrá dificultad en demostrar el siguiente resultado. Proposición 1.4.1 Sea Φ : J → R m×n una función matricial tal que Φ(t) = [a ij (t)], ∀ t ∈ J. Φ es diferenciable en t 0 ∈ J si y sólo si a ij es diferenciable en t 0 , ∀ (i, j) ∈ I m,n . En caso afirmativo se cumple que Φ (t 0 ) = [a ij (t 0 )]. Decimos que la función matricial Φ : J → R m×n es de clase C 1 en el intervalo J si y sólo si Φ es diferenciable en J y la función derivada Φ es continua en J. Procediendo por in- ducción, decimos que Φ es de clase C k (k > 1) en el intervalo J si y sólo si Φ (k−1) es diferenciable en J y la función derivada k-ésima Φ (k) es continua en J. En cuanto a la integral de una función matricial, tenemos Definición 1.4.4 Sea Φ : [a, b] → R m×n una función matricial tal que Φ(t) = (a ij (t)), ∀ t ∈ [a, b]. Decimos que Φ es integrable en [a, b] si y sólo si cada a ij es integrable en [a, b]. En caso afirmativo se tiene que _ b a Φ(t)dt = __ b a a ij (t)dt _ . Naturalmente muchas de las reglas del calculo diferencial e integral que conocemos pueden ser extendidas al cálculo matricial. En los ejercicios al final del cap´ıtulo, se le pide al lector que demuestre estas reglas. 16 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Volviendo al estudio de los sistemas de Ecuaciones Diferen- ciales Ordinarias, resulta claro ahora que si denotamos x = _ ¸ ¸ ¸ _ x 1 x 2 . . . x n _ ¸ ¸ ¸ _ , F(t, x 1 , . . . , x n ) = _ ¸ ¸ ¸ _ F 1 (t, x 1 , . . . , x n ) F 2 (t, x 1 , . . . , x n ) . . . F n (t, x 1 , . . . , x n ) _ ¸ ¸ ¸ _ , entonces el sistema (1.6) se escribe de manera más compacta como x = F(t, x) (1.11) Análogamente, una solución de (1.11) es una función ϕ = (ϕ 1 , . . . , ϕ n ) : J →R 1×n ≈ R n diferenciable en J tal que 1. (t, ϕ(t)) ∈ D, ∀ t ∈ J. 2. ϕ (t) = F(t, ϕ(t)). 1.5 Sistemas Lineales Un caso particularmente importante de Sistema de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias viene dado cuando las funciones F 1 , . . . F n son del tipo F i (t, x 1 , x 2 , . . . , x n ) = a i1 (t)x 1 +a i2 (t)x 2 + +a in (t)x n +b i (t), en donde a ij y b i (1 ≤ i, j ≤ n) son funciones dadas definidas en un cierto intervalo J de la recta real R y con valores en R. En este caso el sistema (1.6) toma la forma Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 17 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ x 1 = a 11 (t)x 1 +a 12 (t)x 2 + +a 1n (t)x n +b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 +a 22 (t)x 2 + +a 2n (t)x n +b 2 (t) . . . . . . x n = a n1 (t)x 1 +a n2 (t)x 2 + +a nn (t)x n +b n (t) (1.12) El sistema (1.12) recibe el nombre de Sistema de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales. Si denotamos x = _ ¸ ¸ ¸ _ x 1 x 2 . . . x n _ ¸ ¸ ¸ _ , b(t) = _ ¸ ¸ ¸ _ b 1 (t) b 2 (t) . . . b n (t) _ ¸ ¸ ¸ _ y A(t) = _ ¸ ¸ ¸ _ a 11 (t) a 12 (t) a 1n (t) a 21 (t) a 22 (t) a 2n (t) . . . . . . . . . a n1 (t) a n2 (t) a nn (t) _ ¸ ¸ ¸ _ entonces (1.12) toma la forma x = A(t)x +b(t) (1.13) Definición 1.5.1 Sean A : J →R n×n y b : J →R n×1 funciones matriciales. Una función ϕ : I → R n×1 es una solución de la E.D.O. (1.13) si y sólo si ϕ es diferenciable en el intervalo I ⊆ J y se cumple: ϕ (t) = A(t)ϕ(t) +b(t), ∀ t ∈ I. 18 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ejemplo 1.5.1 Determine una solución del Sistema x = A(t)x +b(t) en donde A(t) = _ 1 0 0 t _ y b(t) = _ t 0 _ , ∀ t ∈ R. Solución. El sistema dado es equivalente a ¸ ¸ ¸ ¸ x 1 = x 1 +t x 2 = tx 2 Usando los métodos estudiados en un primer curso de Ecua- ciones Diferenciales, no es dif´ıcil ver que la solución de x 1 = x 1 +t viene dada por ϕ 1 (t) = −t − 1 + C 1 e t , ∀ t ∈ R y la solución de x 2 = tx 2 es ϕ 2 (t) = C 2 e 1 2 t 2 , ∀ t ∈ R. Luego, la solución del sistema propuesto es: ϕ(t) = _ −t −1 +C 1 e t C 2 e 1 2 t 2 _ , ∀ t ∈ R. En el ejemplo anterior se observa que existen infinitas soluciones del sistema dado (basta darle cualquier valor real a las constantes C 1 y C 2 ), y que cada solución es una curva diferenciable en R 2 . Esto es un hecho general: Dadas las funciones matriciales A : J → R n×n y b : J → R n×1 , el sistema (1.13) tiene infinitas soluciones siendo todas ellas curvas diferenciables en R n . (Note el lector, que estamos identificando geométricamente el espacio de matrices R n×1 con el espacio vectorial R n . De ahora en adelante, usaremos esta identificación sin más comentarios). En las aplicaciones a menudo se busca una solución de (1.13) que cumpla una condición inicial es decir que tome un valor determinado x 0 ∈ R en un instante t 0 dado. Esto se conoce como un Problema de Valor Inicial. Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 19 Definición 1.5.2 Sean A : J →R n×n y b : J →R n×1 funciones matriciales. Un Problema de Valor Inicial (P.V.I.) o Problema de Cauchy asociado a la E.D.O. lineal (1.13) es una expresión del tipo: ¸ ¸ ¸ ¸ x = A(t)x +b(t) x(t 0 ) = x 0 (1.14) en donde t 0 ∈ J y x 0 ∈ R n×1 son dados. Una función ϕ : I → R n×1 definida en el intervalo abierto I ⊆ J es una solución del P.V.I. (1.14) si y sólo si ϕ es diferenciable en I, t 0 ∈ I y se cumple: ϕ (t) = A(t)ϕ(t) +b(t), ∀ t ∈ I. ϕ(t 0 ) = x 0 . La interpretación geométrica de la solución del P.V.I. (1.14) es que de entre todas las soluciones (curvas diferenciables en R n ) del sistema dado, escogemos aquella que en el instante t 0 pase por el punto x 0 del espacio R n . Ejemplo 1.5.2 Determine una solución del P.V.I. ¸ ¸ ¸ ¸ x = A(t)x +b(t) x(t 0 ) = x 0 en donde A(t) y b(t) son como en el Ejemplo 1.5.1, t 0 = 0 y x 0 = _ 0 1 _ Soluci´ on. Sabemos que para cualquier par de n´ umeros reales C 1 y C 2 , la función ϕ(t) = _ −t −1 +C 1 e t C 2 e 1 2 t 2 _ , ∀ t ∈ R. 20 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias es solución de la E.D.O. dada. Usando las condiciones iniciales: _ 0 1 _ = ϕ(0) = _ −1 +C 1 C 2 _ de donde C 1 = 1 y C 2 = 1, luego la solución del P.V.I. propuesto es ϕ(t) = _ −t −1 +e t e 1 2 t 2 _ , ∀ t ∈ R. Con respecto al ejemplo anterior, surge una pregunta natural: ¿Es la función hallada la ´ unica solución del P.V.I. dado?, dicho de otra manera ¿Es posible que el P.V.I. del Ejemplo 1.5.2 admita más de una solución? Por la interpretación geométrica de una solución del P.V.I. que dimos l´ıneas arriba, nosotros podr´ıamos responder que ¡no! puesto que de entre todas las soluciones posibles (las cuales son curvas en R 2 ), hemos elegido aquella que en el instante t = 0 pase por el punto (0, 1). Nótese que este razonamiento es correcto si supiéramos que las soluciones de un sistema son disjuntas (es decir curvas que no se intersectan). En el caso de nuestro ejemplo, uno podr´ıa probar con un poco de paciencia, que esto es cierto, dos soluciones de la E.D.O. dada o son iguales o bien son disjuntas. ¿Esta propiedad se cumplirá para cualquier E.D.O.? De manera más general: ¿Todo P.V.I. del tipo (1.14) admite solución? Si la respuesta es afirmativa, ¿esta solución es ´ unica? en caso contrario ¿bajo qué condiciones un P.V.I. admite solución? El Teorema de Existencia y Unicidad para un Sistema Lineal de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias responde a todas estas interrogantes. Uno de los objetivos del próximo cap´ıtulo es probar el Teorema de Existencia y Unicidad. Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 21 1.6 Ecuaciones de Orden Superior Hasta el momento sólo hemos visto el caso en que la función (o funciones) incógnita están afectadas por una derivación, sin embargo, como ya el lector debe haber estudiado en un primer curso de Ecuaciones Diferenciales, en muchas aplicaciones se presentan modelos matemáticos en donde la función incógnita está afectada por una doble derivada (como ocurre en f´ısica cuando tenemos como dato la aceleración) e inclusive por derivadas de orden más alto. Tales ecuaciones son llamadas de orden superior. Definición 1.6.1 Sea D ⊆ R n+1 y f una función definida en D y con valores reales. La Ecuación Diferencial Ordinaria de orden n, asociada a la función f es una expresión del tipo x (n) = f(t, x, x , . . . , x (n−1) ) (1.15) en donde t es una variable independiente que denota al tiempo, x depende de t y x (j) = d j x dx j , (1 ≤ j ≤ n). Como ejemplo consideremos la E.D.O. de segundo orden mx +cx +kx = cos wt (1.16) la cual describe el movimiento de una masa m suspendida de un resorte de constante de elasticidad k, sujeta a un mecanismo que ejerce una amortiguación constante igual a c y tal que se ejerce sobre la masa una fuerza exterior periódica cos wt. En este caso f es una función definida en todo R 3 y su regla de correspondencia viene dada por f(t, x 1 , x 2 ) = 1 m cos wt − k m x 1 − c m x 2 . 22 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Un caso interesante de la E.D.O. (1.15) ocurre cuando la función f : J R n →R es de la forma: f(t, x 1 , . . . , x n ) = b(t) −a 1 (t)x n −a 2 (t)x n−1 − −a n (t)x 1 (1.17) en donde a 1 , a 2 , . . . , a n y b son funciones a valores reales definidas en un mismo intervalo J ⊆ R y x 1 , x 2 , . . . , x n son variables reales. La E.D.O. de orden n asociada a la función (1.17) es x (n) +a 1 (t)x (n−1) + +a n−1 (t)x +a n (t)x = b(t), (1.18) la cual se llama Ecuación Lineal no Homogénea de orden n. Como ocurre con los sistemas, para las E.D.O.’s de orden n existe también un concepto de Problema de Valor Inicial y el de su correspondiente solución. Definición 1.6.2 Sean D ⊆ R n+1 , f : D →R y (t 0 , x 0 0 , x 1 0 , . . . , x n−1 0 ) ∈ D. 1. El Problema de Valores Iniciales (P.V.I.) o Problema de Cauchy asociado a f es dado por ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ x (n) = f(t, x, x , . . . , x (n−1) ) x(t 0 ) = x 0 0 , x (t 0 ) = x 1 0 , . . . , x (n−1) (t 0 ) = x n−1 0 . (1.19) 2. Una solución del P.V.I. (1.19) es una función ϕ : J → R n-veces diferenciable en el intervalo J ⊆ R tal que: (a) t 0 ∈ J. (b) _ t, ϕ(t), ϕ (t), . . . , ϕ (n−1) (t) _ ∈ D, ∀ t ∈ J. (c) ϕ (n) (t) = f(t, ϕ(t), ϕ (t), . . . , ϕ (n−1) (t)), ∀ t ∈ J. Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 23 (d) ϕ(t 0 ) = x 0 0 , ϕ (t 0 ) = x 1 0 , . . . , ϕ (n−1) (t 0 ) = x n−1 0 . Como mostramos a continuación, existe una ´ıntima relación entre Ecuaciones Diferenciales de orden n y sistemas de E.D.O.’s. En efecto, consideremos el P.V.I. (1.19) y definamos la función F : D →R n como F(t, x 1 , x 2 , . . . , x n ) = (x 2 , . . . , x n , f(t, x 1 , x 2 , . . . , x n )). (1.20) Observe que el P.V.I. asociado a la función F es ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ x 1 = x 2 , x 1 (t 0 ) = x 0 0 x 2 = x 3 , x 2 (t 0 ) = x 1 0 . . . . . . x n−1 = x n , x n−1 (t 0 ) = x n−2 0 x n = f(t, x 1 , x 2 , . . . , x n ), x n (t 0 ) = x n−1 0 (1.21) Proposición 1.6.1 Resolver el P.V.I. de orden n (1.19) es equivalente a resolver el P.V.I. (1.21). Demostración. Sea ϕ : J → R solución del P.V.I. de orden n (1.19). Consideremos φ : J →R n definida por φ(t) = (ϕ(t), ϕ (t), . . . , ϕ (n−1) (t)) un fácil cálculo muestra que φ es solución del P.V.I. (1.21). Rec´ıprocamente, si φ = (φ 1 , φ 2 , . . . , φ n ) : J → R n es solución (1.21), entonces no es dif´ıcil ver que la primera coordenada φ 1 : J → R es solución de (1.19). Dejamos los cálculos para el lector. 24 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ejemplo 1.6.1 Dada la E.D.O de segundo orden (1.16), hacemos el cambio de coordenadas ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ x 1 = x x 2 = 1 m cos wt − k m x 1 − c m x 2 y obtenemos el sistema ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ x (t) = y y (t) = − k m x − c m y + 1 m cos wt Compare el lector con (1.5). Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineales de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con Coeficientes Constantes En el presente cap´ıtulo, nos proponemos estudiar Problemas de Valores Iniciales del tipo ¸ ¸ ¸ ¸ x = Ax +b(t) x(t 0 ) = x 0 (2.1) en donde A ∈ R n×n es una matriz dada, b : J → R n×1 es una función matricial definida en el intervalo J, t 0 ∈ J, y x 0 ∈ R n×1 . Note que el P.V.I. (2.1) es un caso particular de (1.14) (basta considerar la función matricial constante A(t) = A, ∀ t ∈ J). La E.D.O. x = Ax +b(t) (2.2) 25 26 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes es llamada Sistema Lineal no Homogéneo de Ecuaciones Difer- enciales Ordinarias con Coeficientes Constantes y (2.1) es su P.V.I. asociado. Cuando b : J → R n×1 es la función matricial constante cero, decimos que (2.2) es un Sistema Lineal ho- mogéneo. Vamos a empezar estudiando estos sistemas. 2.1 Sistemas Lineales Homogéneos En la presente sección, consideraremos P.V.I.’s del tipo ¸ ¸ ¸ ¸ x = Ax x(t 0 ) = x 0 (2.3) en donde A ∈ R n×n es una matriz fijada y t 0 ∈ R, x 0 ∈ R n×1 son dados. La E.D.O. x = Ax es llamada Sistema Lineal Homogéneo de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con Coeficientes Con- stantes y (2.3) es su P.V.I. asociado. Observe que cuando n = 1, A y x 0 son matrices 1 1, es decir, n´ umeros reales. Si denotamos por a ∈ R a la matriz A ∈ R 1×1 , entonces el P.V.I. (2.3) toma la forma: ¸ ¸ ¸ ¸ x = ax x(t 0 ) = x 0 (2.4) Como es bien conocido, la ´ unica solución del P.V.I. escalar (2.4) es dada por ϕ(t) = x 0 e a(t−t 0 ) , (2.5) la cual esta definida para todo t ∈ R. En los ejemplos siguientes, veremos como este resultado puede ser usado para resolver algunos sistemas de P.V.I. Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 27 Ejemplo 2.1.1 Resolver el siguiente P.V.I.: ¸ ¸ ¸ ¸ x 1 = 2x 1 , x 1 (0) = 1 x 2 = −3x 2 , x 2 (0) = −1 Soluci´ on. De acuerdo a (2.5) las soluciones de los P.V.I.’s ¸ ¸ ¸ ¸ x 1 = 2x 1 x 1 (0) = 1 y ¸ ¸ ¸ ¸ x 2 = −3x 2 x 2 (0) = −1 son, respectivamente ϕ 1 (t) = e 2t y ϕ 2 (t) = −e −3t las cuales están definidas en todo R, luego la solución del P.V.I. dado es: ϕ : R → R 2 t → ϕ(t) = (e 2t , −e −3t ) Ejemplo 2.1.2 Resolver el P.V.I.: ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ x 1 = λ 1 x 1 , x 1 (0) = x 1 0 x 2 = λ 2 x 2 , x 2 (0) = x 2 0 . . . . . . . . . . . . x n = λ n x n , x n (0) = x n 0 Soluci´ on. Desde que ϕ i (t) = x i 0 e λ i t , ∀ t ∈ R es solución de ¸ ¸ ¸ ¸ x i = λ i x i x i (0) = x i 0 en donde 1 ≤ i ≤ n, tenemos que la solución del P.V.I. propuesto es ϕ : R → R n t → ϕ(t) = (x 1 0 e λ 1 t , x 2 0 e λ 2 t , , x n 0 e λnt ). 28 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes Ejemplo 2.1.3 Resolver el P.V.I.: ¸ ¸ ¸ ¸ x 1 = 2x 1 + 3x 2 , x 1 (0) = 0 x 2 = −2x 2 , x 2 (0) = 1 Solución. En primer lugar, observe que este ejemplo difiere un poco de los dos anteriores puesto que ahora el P.V.I. ¸ ¸ ¸ ¸ x 1 = 2x 1 + 3x 2 x 1 (0) = 0 (2.6) no es del tipo (2.4), sin embargo la solución de ¸ ¸ ¸ ¸ x 2 = −2x 2 x 2 (0) = 1 es dada por ϕ 2 (t) = e −2t , ∀ t ∈ R. Reemplazando este resultado en (2.6), tenemos ¸ ¸ ¸ ¸ x 1 = 2x 1 + 3e −2t x 1 (0) = 0 cuya solución (usando los métodos que se dan en un primer curso de Ecuaciones Diferenciales) es dada por ϕ 1 (t) = − 3 4 e −2t + 3 4 e 2t , ∀ t ∈ R. De esta manera, la solución del P.V.I. propuesto es dada por: ϕ : R → R 2 t → ϕ(t) = (− 3 4 e −2t + 3 4 e 2t , e −2t ). Observaciones: 1. Los tres ejemplos anteriores podr´ıan dejar al lector la im- presión de que las técnicas aprendidas en un curso básico Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 29 de Ecuaciones Diferenciales, son suficientes para resolver P.V.I.’s del tipo (2.3). Nada más falso, en efecto, trate de resolver como en los ejemplos anteriores, el P.V.I. ¸ ¸ ¸ ¸ x 1 = 5x 1 + 3x 2 , x 1 (0) = x 1 0 x 2 = −6x 1 −4x 2 , x 2 (0) = x 2 0 2. Las matrices asociadas a los P.V.I’s de los Ejemplos 2.1.1, 2.1.2 y 2.1.3 son, respectivamente: _ 2 0 0 −3 _ , _ ¸ ¸ ¸ _ λ 1 0 0 0 λ 2 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 λ n _ ¸ ¸ ¸ _ y _ 2 3 0 −2 _ mientras que la matriz asociada al P.V.I. de la Observación 1 es _ 5 3 −6 −4 _ . Inmediatamente se observa que las tres primeras matrices son triangulares superiores (inclusive las dos primeras son matrices diagonales) mientras que la cuarta no lo es. El hecho que una matriz no sea triangular trae como consecuencia que en su P.V.I. asociado, las funciones incógnitas x 1 , x 2 , . . . , x n estén “mezcladas entre s´ı” lo cual hace que no se pueda aplicar el método usado en los 3 ejemplos dados en la sección. 3. Prestemos por una vez más nuestra atención al P.V.I. de la Observación 1. Considerando el cambio lineal de coordenadas L : R 2 → R 2 (x 1 , x 2 ) → L(x 1 , x 2 ) = (2x 1 +x 2 , −x 1 −x 2 ) = (y 1 , y 2 ) 30 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes tenemos: y 1 = 2x 1 +x 2 = 2(5x 1 + 3x 2 ) + (−6x 1 −4x 2 ) = 4x 1 + 2x 2 = 2(2x 1 +x 2 ) = 2y 1 y y 2 = −x 1 −x 2 = −(5x 1 + 3x 2 ) −(−6x 1 −4x 2 ) = x 1 +x 2 = −(−x 1 −x 2 ) = −y 2 Luego el cambio de coordenadas lineal L transforma el P.V.I. dado en el P.V.I. ¸ ¸ ¸ ¸ y 1 = 2y 1 , y 1 (0) = y 1 0 y 2 = −y 2 , y 2 (0) = y 2 0 donde (y 1 0 , y 2 0 ) = L(x 1 0 , x 2 0 ) = (2x 1 0 +x 2 0 , −x 1 0 −x 2 0 ), cuya solución es dada por: ϕ : R → R 2 t → ϕ(t) = (y 1 0 e 2t , y 2 0 e −t ) Desde que L es una transformación lineal inversible cuya inversa L −1 es dada por L −1 : R 2 → R 2 (y 1 , y 2 ) → L −1 (y 1 , y 2 ) = (y 1 +y 2 , −y 1 −2y 2 ) = (x 1 , x 2 ) podemos retornar a las variables originales x 1 y x 2 usando L −1 y obtenemos: ψ(t) = L −1 (ϕ(t)) = L −1 _ y 1 0 e 2t , y 2 0 e −t _ = _ y 1 0 e 2t +y 2 0 e −t , −y 1 0 e 2t + 2y 2 0 e −t _ . Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 31 De esta manera ψ : R → R 2 t → ψ(t) dada por ψ(t) = _ _ (2x 1 0 +x 2 0 )e 2t −(x 1 0 +x 2 0 )e −t −(2x 1 0 +x 2 0 )e 2t + 2(x 1 0 +x 2 0 )e −t _ _ es solución del P.V.I. original. El lector debe guardar en mente que, por un cambio adecuado de coordenadas (en este caso lineal) L, hemos trans- formado un P.V.I. en donde sus incógnitas “están mezcladas” en otro P.V.I. tal que su matriz asociada sea diagonal (y por lo tanto pueden usarse las técnicas elemen- tales de los ejemplos anteriores). Surgen de manera in- mediata las siguientes preguntas: ¿Cómo se obtuvo la Transformación Lineal L?, ¿existe una manera sistemática de obtener L? ¿Este método puede ser generalizado a cualquier P.V.I. con cualquier n´ umero de variables? Todas estas preguntas serán respondidas conforme avancemos en este cap´ıtulo. Volviendo a nuestro estudio, estamos interesados en saber si el P.V.I. (2.3) admite solución ´ unica. Ya sabemos que cuando n = 1, la solución es dada por ϕ(t) = x 0 e at , procediendo por analog´ıa (un método muy usado en matemática), es de esperar que para el caso en que A ∈ R n×n , una función del tipo ϕ(t) = x 0 e tA sea solución de (2.3), pero ¿tiene sentido la expresión anterior? Observe que si A es una matriz n n, también lo es tA (para cualquier t ∈ R) luego e tA es la exponencial de una matriz 32 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes cuadrada. Se deduce que si queremos que nuestro método tenga éxito, lo primero que debemos hacer es definir lo que entende- mos por exponencial de una matriz. Con este objetivo en mente, recordemos que si a ∈ R (ó a´ un en C) entonces el n´ umero real (o complejo) e a queda definido por una serie de potencias del tipo e a = ∞ k=0 1 k! a k = 1 +a + 1 2! a 2 + 1 3! a 3 + la cual es convergente para cualquier a. ¿La serie anterior tiene sentido si reemplazamos el n´ umero real a por una matriz cuadrada A? En primer lugar, sabemos que R n×n es un anillo con elemento identidad I = _ ¸ ¸ ¸ _ 1 0 0 0 1 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 1 _ ¸ ¸ ¸ _ . En este anillo de matrices cuadradas se cumple que si A ∈ R n×n y c ∈ R entonces cA ∈ R n×n , luego si A ∈ R n×n y k ∈ Z + , entonces 1 k! A k ∈ R n×n , se desprende que m k=0 1 k! A k = I +A + 1 2! A 2 + + 1 m! A m ∈ R n×n para todo m ∈ Z + (estamos usando la notación A 0 = I). Si la sucesión de matrices cuadradas m k=0 1 k! A k tuviera l´ımite cuando m tiende al infinito, entonces este l´ımite ser´ıa el candidato a ser la exponencial de la matriz A. Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 33 En resumen, una manera de resolver el P.V.I. (2.3) ser´ıa in- troduciendo el concepto de exponencial de una matriz cuadrada y para ello necesitamos estudiar la noción de convergencia de sucesiones y series de matrices. Esto es justamente lo que haremos en la próxima sección. 2.2 Sucesiones y Series de Matrices En la presente sección solamente vamos a trabajar con matrices cuadradas de orden n, sin embargo, todos los resultados obtenidos pueden ser generalizados sin dificultad a matrices n m. Sea [ [ una norma en R n (puede ser la euclidiana), sabemos que la bola unitaria cerrada B 1 [0] = ¦x ∈ R n ; [x[ ≤ 1¦ es un subconjunto compacto de R n . Dada A ∈ R n×n , consideremos su transformación lineal asociada T A : R n −→ R n x −→ T A (x) = Ax, claramente T A es una función continua en R n , luego [T A (x)[ alcanza su máximo sobre la bola B 1 [0], denotemos por | A | a este máximo, i.e. | A |= max¦[Ax[; x ∈ B 1 [0]¦ Observe que a cada matriz A ∈ R n×n le hemos asociado el n´ umero real | A |. Proposición 2.2.1 Se cumplen las siguientes propiedades: 1. | A | ≥ 0, ∀ A ∈ R n×n . 34 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes 2. | A | = 0 =⇒ A = θ. 3. | rA | = [r[ | A |, ∀ A ∈ R n×n , ∀ r ∈ R n . 4. | A +B | ≤| A | + | B |, ∀ A, B ∈ R n×n . Demostración. Probaremos solamente (3.) las demás quedarán como ejercicio para el lector. | rA | = max¦[(rA)x[; x ∈ B 1 [0]¦ = max¦[r[ [Ax[; x ∈ B 1 [0]¦ = [r[ max¦[Ax[; x ∈ B 1 [0]¦ = [r[ | A | Observación: De acuerdo a la proposición anterior, la función | | : R n×n −→ R A −→ | A |= max¦[Ax[; x ∈ B 1 [0]¦, es una norma sobre R n×n la que llamaremos Norma Uniforme en R n×n asociada a [ [. Lema 2.2.1 Sea [ [ : R n → R una norma en R n . Entonces la norma uniforme | | en R n×n asociada a [ [, satisface las siguientes propiedades: 1. [Ax[ ≤| A | [x[, ∀ A ∈ R n×n , ∀ x ∈ R n . 2. | AB | ≤| A | | B |, ∀ A, B ∈ R n×n . 3. | A m | ≤| A | m , ∀ A ∈ R n×n , ∀ m ∈ N. El siguiente resultado establece una relación entre la norma de una matriz y la norma de sus entradas. Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 35 Lema 2.2.2 Dada A = [a ij ] ∈ R n×n , existen constantes positivas C 1 y C 2 (independientes de la matriz A) tales que C 1 [a ij [ ≤ |A| ≤ C 2 n i,j=1 [a ij [. Como (R n×n , | |) es un espacio normado, podemos definir el concepto de l´ımite de una sucesión de matrices. Definición 2.2.1 Una sucesión de matrices en R n×n es una función que a cada n´ umero natural k le asocia una matriz A k ∈ R n×n llamada el k-ésimo término de la sucesión. En este caso escribiremos (A k ) ⊆ R n×n . Ejemplo 2.2.1 Dada A ∈ R n×n definimos A k = 1 k! A k , ∀ k ≥ 0. Luego (A k ) ⊆ R n×n . Definición 2.2.2 Dados (A k ) ⊆ R n×n y A ∈ R n×n , decimos que A es el l´ımite de la sucesión (A k ), lo que denotaremos por lim k→∞ A k = A, si y sólo si para todo > 0 existe un k 0 ∈ N tal que si k ≥ k 0 entonces |A k − A| < . Cuando una sucesión de matrices tiene l´ımite, decimos que es convergente, en caso contrario se le llama divergente. El siguiente resultado establece que una condición necesaria y suficiente para que una sucesión de matrices tenga l´ımite es que todas sus entradas formen sucesiones convergentes de n´ umeros reales. Teorema 2.2.2 Sean (A k ) ⊆ R n×n y A ∈ R n×n tales que A k = [a k ij ] y A = [a ij ]. Se cumple lim k→∞ A k = A ⇐⇒ lim k→∞ a k ij = a ij , ∀ (i, j) ∈ I n,n . 36 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes A toda sucesión (A k ) ⊆ R n×n , le podemos asociar una nueva sucesión (S k ) ⊆ R n×n , definida por: S 0 = A 0 , S 1 = A 0 + A 1 , S 2 = A 0 +A 1 +A 2 , en general: S k = k j=0 A j , ∀ k ≥ 0. (S k ) ⊆ R n×n es llamada sucesión de sumas parciales asociada a (A k ) ⊆ R n×n . Para hacer notar que (S k ) ⊆ R n×n depende de la sucesión original (A k ) ⊆ R n×n , denotaremos (S k ) = k,0 A k , k,0 A k es llamada serie de matrices. Decimos que la serie k,0 A k es convergente si y sólo si la sucesión de sumas parciales (S k ) ⊆ R n×n es convergente y a su l´ımite lo denotaremos por ∞ k=0 A k . Damos a continuación una caracterización bastante ´ util del concepto de convergencia de una serie de matrices. Teorema 2.2.3 (Criterio de Cauchy) Sea (A k ) ⊆ R n×n . Las afirmaciones siguientes son equivalentes: 1. k,0 A k es convergente. 2. Dado > 0, existe un k 0 ∈ N tal que si m, k ≥ k 0 entonces _ _ _ _ _ m j=0 A j − k j=0 A j _ _ _ _ _ < . Finalizamos la sección con un criterio bastante ´ util de convergencia. Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 37 Teorema 2.2.4 Si (A k ) ⊆ R n×n es tal que la serie de n´ umeros reales k,0 |A k | es convergente, entonces la serie de matrices k,0 A k también es convergente y se cumple _ _ _ _ _ ∞ k=0 A k _ _ _ _ _ ≤ ∞ k=0 |A k |. 2.3 Exponencial de una Matriz El objetivo central de esta sección, es definir el concepto de exponencial de una matriz cuadrada y estudiar sus principales propiedades. Teorema 2.3.1 La serie j,0 1 j! A j es convergente, ∀ A ∈ R n×n . Demostración. Dado j ≥ 0 se cumple: _ _ _ _ 1 j! A j _ _ _ _ = 1 j! |A j | ≤ 1 j! |A| j Como la serie de n´ umeros reales j,0 |A| j j! es convergente, por el Criterio de Comparación j,0 _ _ _ _ A j j! _ _ _ _ es convergente, y por el Teorema 2.2.4, concluimos que la serie de matrices j,0 1 j! A j es convergente. 38 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes Definición 2.3.1 Dada la matriz A ∈ R n×n , la exponencial de A, denotada por exp(A) ó e A , es la matriz de R n×n definida por exp(A) = ∞ j=0 1 j! A j Ejemplo 2.3.1 Si A = _ _ 0 1 0 0 0 1 0 0 0 _ _ ∈ R 3×3 , determine e A . Solución: Es fácil ver que A 2 = _ _ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 _ _ y A j = _ _ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 _ _ , ∀ j ≥ 3, luego: e A = I +A + 1 2 A 2 = _ _ 1 1 1 2 0 1 1 0 0 1 _ _ . Observaciones: 1. La exponencial es una función que a una matriz le asocia una nueva matriz, es decir: exp : R n×n −→ R n×n A −→ exp(A) = e A 2. | exp(A)| ≤ e A , ∀ A ∈ R n×n . 3. e θ = I. Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 39 4. Si A ∈ R 1×1 entonces A puede ser identificado con un n´ umero real, luego la exponencial de una matriz cuadrada es la generalización natural de la función exponencial que se estudia en el Cálculo. Sabemos que la función exponencial cumple la propiedad: e (a+b) = e a e b , ∀ a, b ∈ R. Teorema 2.3.2 Sean A, B ∈ R n×n , Se cumplen las siguientes afirmaciones: i) e PAP −1 = Pe A P −1 , ∀ P ∈ GL(R n ). ii) Si AB = BA entonces e A+B = e A e B . iii) (e A ) −1 = e −A . Ejemplo 2.3.2 En lo sucesivo, denotaremos por diag [λ 1 , λ 2 , , λ n ] ∈ R n×n a las matrices diagonales _ ¸ ¸ ¸ _ λ 1 0 . . . 0 0 λ 2 . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . λ n _ ¸ ¸ ¸ _ Afirmo que si D = diag [λ 1 , λ 2 , , λ n ] ∈ R n×n entonces: e D = diag [e λ 1 , e λ 2 , , e λn ]. En efecto, por inducción, es fácil probar que: D j = diag [λ j 1 , λ j 2 , , λ j n ], ∀ j ∈ N, 40 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes luego, para cualquier m ≥ 0 dado, tenemos m j=0 1 j! D j = m j=0 1 j! diag [λ j 1 , λ j 2 , , λ j n ] = m j=0 diag _ 1 j! λ j 1 , 1 j! λ j 2 , , 1 j! λ j n _ = diag _ m j=0 1 j! λ j 1 , m j=0 1 j! λ j 2 , , m j=0 1 j! λ j n _ Entonces e D = ∞ j=0 1 j! D j = lim m→∞ m j=0 1 j! D j = diag _ ∞ j=0 1 j! λ j 1 , ∞ j=0 1 j! λ j 2 , , ∞ j=0 1 j! λ j n _ = diag [e λ 1 , e λ 2 , , e λn ], lo cual prueba la afirmación. Como caso particular, observe que la matriz identidad I ∈ R n×n puede escribirse como matriz diagonal I = diag [1, 1, , 1] y si λ ∈ R entonces λI = diag [λ, λ, , λ], luego e λI = diag [e λ , e λ , , e λ ] = e λ diag [1, 1, , 1] = e λ I. Ejemplo 2.3.3 Decimos que A ∈ R n×n es una matriz nilpotente si y sólo si existe n ∈ N tal que A n = θ. Dada A ∈ R n×n nilpotente, sea r = min¦n ∈ A n = θ¦, es decir A j ,= θ para todo 0 ≤ j < r y A r = θ. Este n´ umero r es llamado orden de nilpotencia de la matriz A. Si A ∈ R n×n una matriz nilpotente de orden de nilpotencia r, entonces se cumple e A = I +A + 1 2! A 2 + + 1 (r −1)! A r−1 . Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 41 Ejemplo 2.3.4 Sea A = _ a b −b a _ ∈ R 2×2 . Con la finalidad de calcular e A , consideremos r = √ a 2 +b 2 . Entonces existe un ´ unico θ ∈ [0, 2π[ tal que a +ib = re iθ = r(cos θ +i sen θ) = r cos θ +ir sen θ. Luego A = r _ cos θ sen θ − sen θ cos θ _ . Dado j ∈ N, se sigue que A j = r j _ cos jθ sen jθ − sen jθ cos jθ _ Entonces e A = lim k→∞ k j=0 A j j! = lim k→∞ k j=0 r j j! _ cos jθ sen jθ − sen jθ cos jθ _ = lim k→∞ _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ k j=0 r j j! cos jθ k j=0 r j j! sen jθ − k j=0 r j j! sen jθ k j=0 r j j! cos jθ _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ Luego e A = _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ ∞ j=0 r j j! cos jθ ∞ j=0 r j j! sen jθ − ∞ j=0 r j j! sen jθ ∞ j=0 r j j! cos jθ _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ (2.7) 42 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes Por otro lado: e a+ib = ∞ j=0 (a +ib) j j! = ∞ j=0 (re iθ ) j j! = ∞ j=0 r j e ijθ j! , esto implica e a (cos b +i sen b) = ∞ j=0 r j j! (cos jθ +i sen jθ), de donde e a cos b = ∞ j=0 r j j! cos jθ, e a sen b = ∞ j=0 r j j! sen jθ. (2.8) Reemplazando (2.8) en (2.7), obtenemos e A = _ e a cos b e a sen b −e a sen b e a cos b _ = e a _ cos b sen b − sen b cos b _ . Por lo tanto hemos probado que si A = _ a b −b a _ ∈ R 2×2 entonces e A = e a _ cos b sen b − sen b cos b _ . Ejemplo 2.3.5 Sea A = _ λ 1 0 λ _ ∈ R 2×2 , vamos a calcular e A . En primer lugar, observe que A = λI +N, donde N = _ 0 1 0 0 _ . Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 43 Es fácil ver que N 2 = θ (es decir N es una matriz nilpotente con orden de nilpotencia 2) y que λI y N conmutan, luego: e A = e λI+N = e λI e N = (e λ I)(I +N) = e λ _ 1 1 0 1 _ . 2.4 El Teorema de Existencia y Uni- cidad de E.D.O. Lineales En la presente sección presentamos la demostración del Teorema de existencia y unicidad para un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes reales constantes. Para ello, necesitamos algunas definiciones y propiedades previas. Dada la matriz A ∈ R n×n , para cualquier t ∈ R es claro que tA ∈ R n×n y por consiguiente e tA ∈ R n×n . Luego podemos definir Φ A : R → R n×n t → Φ A (t) = e tA Observe que Φ A es un camino en el espacio de matrices cuadradas n n. El siguiente resultado nos dice que Φ A es diferenciable, más espec´ıficamente: Proposición 2.4.1 Si A ∈ R n×n , entonces Φ A (t) = e tA A = Ae tA , ∀ t ∈ R. Demostración. Por definición de derivada: Φ A (t) = lim h→0 Φ A (t +h) −Φ A (t) h = lim h→0 e (t+h)A −e tA h = lim h→0 e tA+hA −e tA h = lim h→0 e tA e hA −e tA h 44 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes Luego Φ A (t) = lim h→0 e tA (e hA −I) h (2.9) Pero e hA −I = hA + 1 2! (hA) 2 + 1 3! (hA) 3 + , luego e hA −I h = A + 1 2! hA 2 + 1 3! h 2 A 3 + Reemplazando en (2.9): Φ A (t) = lim h→0 e tA _ A + 1 2! hA 2 + 1 3! h 2 A 3 + _ = e tA A. Análogamente se prueba que Φ A (t) = Ae tA . Corolario. La función Φ A : R →R n×n es de clase C ∞ en R. Teorema 2.4.2 (Teorema de Existencia y Unicidad) Si A ∈ R n×n y x 0 ∈ R n , entonces la ´ unica solución del P.V.I. ¸ ¸ ¸ ¸ x = Ax x(0) = x 0 (2.10) es dada por ϕ : R → R n t → ϕ(t) = e tA x 0 . Demostración. Por la Proposición 2.4.1: ϕ (t) = (Ae tA )x 0 = A(e tA x 0 ) = Aϕ(t), ∀ t ∈ R, además ϕ(0) = e 0A x 0 = e θ x 0 = x 0 . Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 45 Por lo tanto ϕ es solución del P.V.I. (2.10). Para probar la unicidad, sea ψ : R → R n otra solución del P.V.I. (2.10). Defino f : R → R n t → f(t) = e −tA ψ(t). Se cumple f (t) = e −tA (−A)ψ(t) +e −tA ψ (t) = −e tA Aψ(t) +e −tA Aψ(t) = 0 luego f (t) = 0, ∀ t ∈ R. Se sigue que f(t) = C ∈ R n , ∀ t ∈ R. En particular C = f(0) = e −0A ψ(0) = Ix 0 = x 0 , de donde f(t) = x 0 . De esta manera e −tA ψ(t) = x 0 , es decir ψ(t) = e tA x 0 = ϕ(t), ∀ t ∈ R. Se debe observar que en el teorema anterior, el instante inicial t = 0 puede ser reemplazado por cualquier t = t 0 ∈ R, esto es precisamente lo que nos dice el siguiente corolario cuya demostración es dejada al lector. Corolario 1. Si A ∈ R n×n , x 0 ∈ R n y t 0 ∈ R, entonces la ´ unica solución del P.V.I. ¸ ¸ ¸ ¸ x = Ax x(t 0 ) = x 0 (2.11) es dada por ϕ : R → R n t → ϕ(t) = e (t−t 0 )A x 0 . Corolario 2. El P.V.I. lineal homogéneo de orden n ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ x (n) +a 1 x (n−1) + +a n−1 x +a n x = 0 x(t 0 ) = x 0 0 , x (t 0 ) = x 1 0 , . . . , x (n−1) (t 0 ) = x n−1 0 . (en donde a 1 , . . . , a n ∈ R, y t 0 , x 0 0 , . . . x n−1 0 ∈ R), admite una ´ unica solución definida en R. 46 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes 2.5 Formas can´ onicas y cálculo de la exponencial de una matriz Hasta ahora sólo sabemos calcular la exponencial de algunas matrices especiales (ver los ejemplos de la sección 2.3). Vamos a agregar a esa lista algunos otros casos más. Ejemplo 2.5.1 Sea A ∈ R n×n de la forma A = _ ¸ ¸ ¸ _ A 1 θ n 1 ×n 2 θ n 1 ×nm θ n 2 ×n 1 A 2 θ n 2 ×nm . . . . . . . . . . . . θ nm×n 1 θ nm×n 2 A m _ ¸ ¸ ¸ _ donde A i ∈ R n i ×n i , ∀ 1 ≤ i ≤ m, θ n i ×n j es la matriz cero de R n i ×n j y n 1 + n 2 + + n m = n. Tales matrices son llamadas matrices diagonales por bloques y las denotaremos por diag [A 1 , A 2 , , A m ]. No es dif´ıcil probar que si A = diag [A 1 , A 2 , , A m ] entonces para cualquier k ∈ N se tiene: A k = diag [A k 1 , A k 2 , , A k m ], luego: e A = diag [e A 1 , e A 2 , , e Am ]. (Compare con el Ejemplo 2.3.2). Ejemplo 2.5.2 Sea A ∈ R n×n de la forma: A = λI + N n en Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 47 donde λ ∈ R y N n = _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 0 1 0 0 0 0 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 1 0 0 0 0 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ ∈ R n×n Observe que N 2 n = _ ¸ ¸ ¸ _ 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 0 _ ¸ ¸ ¸ _ , . . . , N n−1 n = _ ¸ ¸ ¸ _ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 0 _ ¸ ¸ ¸ _ y N n n = θ, es decir N n es una matriz nilpotente con orden de nilpotencia n. Para calcular e A en primer lugar observamos que (λI)N n = λ(N n I) = N n (λI), luego e A = e λI+Nn = e λI e Nn (2.12) Sabemos que e λI = e λ I (2.13) Por otro lado e Nn = I +N n + 1 2! N 2 n + + 1 (n −1)! N n−1 n = _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 1 1 1 2! 1 (n−2)! 1 (n−1)! 0 1 1 1 (n−3)! 1 (n−2)! . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ (2.14) 48 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes Reemplazando (2.13) y (2.14) en (2.12) obtenemos: e A = e λ _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 1 1 1 2! 1 (n−2)! 1 (n−1)! 0 1 1 1 (n−3)! 1 (n−2)! . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ (Compare con el Ejemplo 2.3.5). Ejemplo 2.5.3 Denotemos I 2 (a; b) = _ a b −b a _ ∈ R 2×2 . Por el Ejemplo 2.3.4 tenemos e I 2 (a;b) = e a _ cos b sen b − sen b cos b _ = e a R 2 (b). Llamemos J 2n (a, b) = diag [I 2 (a; b), I 2 (a; b), , I 2 (a; b)] ∈ R 2n×2n . Sea A ∈ R 2n×2n matriz de la forma A = J 2n (a, b) +N 2 2n , donde N 2 n = _ ¸ ¸ ¸ _ 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 0 _ ¸ ¸ ¸ _ = _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ θ I θ θ θ θ I θ . . . . . . . . . . . . . . . θ θ θ I θ θ θ θ _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 49 No es dif´ıcil probar que J 2n (a, b)N 2 2n = N 2 2n J 2n (a, b); luego: e A = e J 2n (a,b) e N 2 2n = diag [e I 2 (a;b) , , e I 2 (a;b) ]e N 2 2n = diag [e a R 2 (b), , e a R 2 (b)]e N 2 2n = e a diag [R 2 (b), , R 2 (b)]e N 2 2n Concluimos que e A = e a diag [R 2 (b), , R 2 (b)]e N 2 2n . En resumen, los ejemplos anteriores nos muestra como calcular la exponencial de A, cuando A es una matriz de la forma: • Diagonal por bloques, • λI +N n , • J 2n (a, b) +N 2 2n . ¿Cómo calcular la exponencial de cualquier matriz A ∈ R n×n ? Un resultado bien conocido del álgebra lineal (el cual enunciare- mos a continuación), establece que no necesitamos más esfuerzo, puesto que toda matriz cuadrada real puede reducirse a alguno de los tres tipos anteriores. Teorema 2.5.1 (Forma Canónica de Jordan para matrices reales) Si A ∈ R n×n , entonces existe una matriz P ∈ GL(R n ) tal que PAP −1 = J A = diag [J 1 , J 2 , , J m ], donde cada J i es una matriz cuadrada de la forma: 1. J i = λ i I +N n i , si λ i es un autovalor real de A. 50 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes 2. J j = J 2n j (a j , b j )+N 2 2n j , si a j +ib j es un autovalor complejo de A. Además, la suma de los órdenes de los bloques de la forma λ i I+N n i es igual a la multiplicidad de λ i como ra´ız del polinomio caracter´ıstico de A mientras que la suma de los órdenes de los bloques de la forma J 2n j (a j ; b j ) + N 2 2n j es igual al doble de la multiplicidad de a j +ib j como ra´ız del polinomio caracter´ıstico de A. La matriz J A ∈ R n×n es llamada Forma Canónica de Jordan (Real) de A y ella es ´ unica salvo el orden de los bloques y el signo de la parte imaginaria b j de las ra´ıces complejas del polinomio caracter´ıstico de A. Observe que J A es una matriz diagonal por bloques y que sus bloques son matrices del tipo λ i I + N n i , ó J 2n j (a j , b j ) + N 2 2n j . De los ejemplos del inicio de la sección, se sigue que podemos calcular sin mayores dificultades la exponencial de J A . Finalmente, para determinar e A hacemos uso del Teorema 2.3.2 - (i). En efecto, sabemos que A = P −1 J A P, luego e A = e P −1 J A P = P −1 e J A P. 2.6 Sistemas Lineales no Homogéneos Finalizamos el cap´ıtulo estudiando las soluciones de los Sistemas Lineales no Homogéneos con Coeficientes Constantes. Como veremos a continuación, la manera de resolver tales E.D.O.’s es completamente análoga al caso escalar que se estudia en los cursos básicos de Ecuaciones Diferenciales. Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 51 Consideremos el P.V.I. ¸ ¸ ¸ ¸ x = Ax +b(t) x(t 0 ) = x 0 (2.15) en donde A ∈ R n×n es una matriz dada, b : J → R n×1 es una función matricial continua en el intervalo J, t 0 ∈ J, y x 0 ∈ R n×1 . Supongamos que φ : J → R n es solución de (2.15), multiplicando ambos miembros de φ (t) = Aφ(t) +b(t) por el “factor integrante” e −tA y operando, tenemos d dt _ e −tA φ(t) _ = e −tA b(t), ∀ t ∈ J (2.16) Luego si integramos ambos miembros de (2.16) entre t 0 y t ∈ J, por el Teorema Fundamental del Cálculo, se llega a e −tA φ(t) −e −t 0 A φ(t 0 ) = _ t t 0 e −sA b(s)ds. Multiplicando por e tA y operando, se obtiene φ(t) = e (t−t 0 )A x 0 +e tA _ t t 0 e −sA b(s)ds (2.17) Un fácil cálculo nos lleva a concluir que la función φ : J →R n cuya regla de correspondencia es dada por (2.17) es solución del P.V.I. (2.15). ¿Esta solución es ´ unica? Supongamos que ψ : J → R n es otra solución de (2.15), no es dif´ıcil probar que ψ −φ : J →R n es solución del P.V.I. homogéneo ¸ ¸ ¸ ¸ x = Ax x(t 0 ) = 0 (2.18) Pero la ´ unica solución de (2.18) es la función constante cero, concluimos que ψ = φ y de ésta manera (2.15) admite una ´ unica solución. Resumimos los resultados obtenidos en el siguiente teorema. 52 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes Teorema 2.6.1 Sea A ∈ R n×n es una matriz dada, b : J → R n×1 es una función matricial continua en el intervalo J, t 0 ∈ J, y x 0 ∈ R n×1 . Entonces la ´ unica solución del P.V.I. ¸ ¸ ¸ ¸ x = Ax +b(t) x(t 0 ) = x 0 es dada por φ : J →R n donde φ(t) = e (t−t 0 )A x 0 +e tA _ t t 0 e −sA b(s)ds, ∀ t ∈ J. Corolario. El P.V.I. lineal no homogéneo de orden n ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ x (n) +a 1 x (n−1) + +a n−1 x +a n x = b(t) x(t 0 ) = x 0 0 , x (t 0 ) = x 1 0 , . . . , x (n−1) (t 0 ) = x n−1 0 . (en donde a 1 , . . . , a n ∈ R, b 0 : J → R es una función continua definida en el intervalo J y t 0 , x 0 0 , . . . x n−1 0 ∈ R), admite una ´ unica solución definida en J. Observaciones: 1. Sean las funciones φ h , φ p : J → R n definidas por φ h (t) = e (t−t 0 )A x 0 y φ p (t) = e tA _ t t 0 e −sA b(s)ds. Observe que φ h es solución del P.V.I. homogéneo ¸ ¸ ¸ ¸ x = Ax x(t 0 ) = x 0 mientras que φ p (t) es una solución del P.V.I. ¸ ¸ ¸ ¸ x = Ax +b(t) x(t 0 ) = 0 Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 53 2. No obstante tener una fórmula expl´ıcita para resolver Prob- lemas de Valores Iniciales Lineales no Homogéneos con Coeficientes Constantes, los cálculos envueltos son muy engorrosos y en muchos casos no es posible obtener soluciones expl´ıcitas. Esto sucede a´ un en el caso n = 2. Cap´ıtulo 3 Teor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales Por lo hecho en el cap´ıtulo anterior, el lector podr´ıa pensar que ya no habr´ıa nada más que hacer en cuanto a los sistemas lineales con coeficientes constantes, puesto que sabemos que su solución existe, es ´ unica, tenemos una fórmula expl´ıcita para su solución e incluso, con auxilio del álgebra lineal podemos pasar a un sistema de coordenadas en el que la matriz asociada al nuevo P.V.I. sea una matriz diagonal por bloques (forma canónica de Jordan) en donde los bloques son tales que resulta fácil calcular su exponencial y finalmente volver al sistema de coordenadas originales. Entonces ¿por qué seguir estudiando los sistemas lineales con coeficientes constantes?. La respuesta a esta interrogante es bastante simple: para poder encontrar la forma canónica de Jordan de una matriz A ∈ R n×n necesitamos antes que nada conocer sus autovalores los cuales, como sabemos, son ra´ıces del polinomio caracter´ıstico P A (λ). Ahora bien, P A (λ) es 54 Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 55 un polinomio de grado n y como el lector debe saber, no existe una fórmula (por radicales) que nos permita hallar todas las ra´ıces de un polinomio de grado mayor que o igual a 5. Una consecuencia de la no existencia de esta fórmula es que, salvo en casos particulares, sólo podemos conocer los autovalores de la matriz A ∈ R n×n (n ≥ 5) de una manera aproximada se deduce que los autovectores (y por lo tanto la matriz P −1 ) también serán aproximados y la propia forma canónica de Jordan es una matriz aproximada. ¿Cuánto se diferencia la “solución aproximada” de la “solución teórica”? Intuitivamente podemos ver que en las vecindades del instante inicial t 0 la “solución aproximada” representa bastante bien a la “solución teórica”, pero esto deja de ser válido para valores de t muy lejanos del t 0 . El Análisis Numérico nos proporciona técnicas para estudiar la “solución aproximada” y controlar el error cometido al usar esta aproximación para predecir el valor teórico. No pretendemos en estas notas estudiar estos métodos numéricos, puesto que existe una bibliograf´ıa extensa sobre el tema que el lector interesado puede consultar, estudiaremos a cambio un método alternativo al Análisis Numérico que nos permita predecir fenómenos modelados por sistemas Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Este método alternativo fue llamado por Poincaré como “Teor´ıa Geométrica de las Ecuaciones Diferenciales” y su objetivo es obtener propiedades cualitativas de las soluciones de una E.D.O. a´ un sin conocer expl´ıcitamente estas soluciones. En el presente cap´ıtulo iniciamos el estudio de la Teor´ıa Geométrica de las E.D.O.’s lineales homogéneas con coeficientes constantes. Algunos de los resultados obtenidos en esta sección serán posteriormente generalizados a los sistemas no lineales. Cabe mencionar que el estudio cualitativo de las E.D.O.’s forma una parte importante de la Teor´ıa de los Sistemas Dinámicos, rama de la matemática que ocupa en la actualidad el interés de 56 Teor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales muchos cient´ıficos y es motivo de investigación. 3.1 El flujo asociado a una E.D.O. lineal Sea A ∈ R n×n y x 0 ∈ R n , por el Teorema 2.4.2 sabemos que la ´ unica solución del P.V.I. ¸ ¸ ¸ ¸ x = Ax x(0) = x 0 (3.1) es dada por: ϕ x 0 : R → R n t → ϕ x 0 (t) = e tA x 0 Haciendo variar la condición inicial x 0 en todo R n , obtenemos todas las soluciones de la E.D.O. x = Ax. El objetivo de este cap´ıtulo es estudiar las propiedades geométricas que tienen estas soluciones y para ello necesitamos del concepto de flujo. Definición 3.1.1 Sea A ∈ R n×n , el flujo asociado a la E.D.O. lineal x = Ax es dado por ϕ A : R R n → R n (t, x) → ϕ A (t, x) = e tA x Ejemplo 3.1.1 Dada la E.D.O. ¸ ¸ ¸ ¸ x 1 = 5x 1 + 3x 2 x 2 = −6x 1 −4x 2 Su matriz asociada es A = _ 5 3 −6 −4 _ ∈ R 2×2 . Luego el flujo asociado a esta E.D.O. es la función ϕ A : RR 2 →R 2 definida Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 57 por ϕ A (t, x 1 , x 2 ) = _ (2x 1 +x 2 )e 2t , (x 1 +x 2 )e −t _ Ejemplo 3.1.2 Dada la E.D.O. ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ x 1 = x 2 +x 3 x 2 = x 1 +x 3 x 3 = x 1 +x 2 Su matriz asociada es A = _ _ 0 1 1 1 0 1 1 1 0 _ _ ∈ R 3×3 . Luego el flujo asociado a la E.D.O. es la función ϕ A : R R 3 → R 3 definida por ϕ A (t, x 1 , x 2 , x 3 )= 1 3 (x 1 +x 2 +x 3 )e 2t (1, 1, 1) + + 1 3 (2x 1 −x 2 −x 3 , −x 1 + 2x 2 −x 3 , −x 1 −x 2 + 2x 3 )e −t Observaciones: 1. Toda matriz A ∈ R n×n determina una E.D.O. lineal x = Ax y rec´ıprocamente. Luego podemos decir indistintamente que ϕ A es el flujo “asociado a la matriz A” o “es el flujo asociado a la E.D.O. x = Ax”. 2. Si A ∈ R n×n , entonces su flujo asociado ϕ A es una función que depende de n+1 variables: una variable temporal t y n variables espaciales x = (x 1 , . . . , x n ). 3. A cada matriz A ∈ R n×n (o equivalentemente, a cada E.D.O. x = Ax), le estamos asociando un flujo ϕ A , el 58 Teor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales cual es una función definida en RR n con valores en R n . ¿Qué podemos decir con relación a la rec´ıproca? es decir ¿toda función F : RR n →R n es un flujo? si no lo fuera ¿bajo qué condiciones una función F : R R n → R n es el flujo asociado a una matriz? Intentaremos responder estas interrogantes, demostrando algunas propiedades de los flujos. Proposición 3.1.1 Si A ∈ R n×n , entonces su flujo asociado ϕ A : R R n →R n satisface las siguientes propiedades: i) ϕ A (0, x) = x, ∀x ∈ R n . ii) ϕ A (t +s, x) = ϕ A (t, ϕ A (s, x)), ∀t, s ∈ R, ∀x ∈ R n . Demostración. Sabemos que ϕ A (t, x) = e tA x, luego ϕ A (0, x) = e 0A x = Ix = x. lo cual prueba (i). Por otro lado ϕ A (t +s, x) = e (t+s)A x = e tA+sA x = (e tA e sA )x = e tA (e sA x) = ϕ A (t, e sA x) = ϕ A (t, ϕ A (s, x)). Observaciones: 1. Sea ϕ A : R R n → R n el flujo asociado a la matriz A ∈ R n×n . Fijando un t 0 ∈ R podemos definir la función (ϕ A ) t 0 : R n →R n , como (ϕ A ) t 0 (x) = ϕ A (t 0 , x) = e t 0 A x. (3.2) Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 59 Resulta claro que (ϕ A ) t 0 ∈ GL(R n ), más a´ un _ (ϕ A ) t 0 ¸ −1 = (ϕ A ) −t 0 . Tenemos entonces que ¦(ϕ A ) t ¦ t∈R es una familia en GL(R n ) indexada por el parámetro t ∈ R. Más a´ un, de la Proposición 3.1.1 se desprende que (a) (ϕ A ) t 1 +t 2 = (ϕ A ) t 1 ◦ (ϕ A ) t 2 , para todo t 1 , t 2 ∈ R. (b) (ϕ A ) 0 = I luego la función Ξ A : R → GL(R n ) definida por Ξ A (t) = (ϕ A ) t es un monomorfismo del grupo aditivo de los reales en GL(R n ). 2. Conocida la posición inicial de todas las part´ıculas, el isomorfismo lineal (ϕ A ) t 0 se interpreta geométricamente como la posición de las part´ıculas en el instante t 0 que fluyen a lo largo de las soluciones de la E.D.O. x = Ax, tal como se muestra en la Figura 3.2. 3. Sea ϕ A : R R n → R n el flujo asociado a la matriz A ∈ R n×n . Si fijamos un x 0 ∈ R n podemos ahora definir la función (ϕ A ) x 0 : R →R n , como (ϕ A ) x 0 (x) = ϕ A (t, x 0 ) = e tA x 0 (3.3) Es decir, (ϕ A ) x 0 es la solución de la E.D.O. x = Ax que en el instante 0 pasa por el punto x 0 . 4. Existe la derivada parcial ∂ϕ A ∂t en todo punto de R R n . 60 Teor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales De las observaciones anteriores concluimos que si ϕ A es el flujo asociado a la matriz A ∈ R n×n entonces ϕ A es una función que admite derivada parcial con respecto a t en todo R R n y que satisface las siguientes propiedades: 1. (ϕ A ) t ∈ GL(R n ), para todo t ∈ R. 2. (ϕ A ) t 1 +t 2 = (ϕ A ) t 1 ◦ (ϕ A ) t 2 , para todo t 1 , t 2 ∈ R. 3. (ϕ A ) 0 = I Estas son las propiedades que caracterizan a los flujos asociados a matrices cuadradas. Más espec´ıficamente, tenemos el siguiente resultado: Proposición 3.1.2 Si la función F : RR n →R n satisface las siguientes propiedades: i) Existe la derivada parcial ∂F ∂t en R R n . ii) F t ∈ L(R n ), para todo t ∈ R. iii) F t 1 +t 2 = F t 1 ◦ F t 2 , para todo t 1 , t 2 ∈ R. iv) F 0 = I. Entonces existe una ´ unica matriz A ∈ R n×n tal que F es su flujo asociado. Observaciones: 1. De las propiedades ii), iii) y iv) se deduce que F t ∈ GL(R n ), ∀ t ∈ R. Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 61 2. Existe una correspondencia biun´ıvoca entre las matrices A ∈ R n×n , las E.D.O.’s lineales homogéneas con coeficientes constantes x = Ax y las funciones F : RR n →R que satisfacen las 4 condiciones de la Proposición 3.1.2. De esta manera, además del álgebra lineal, podemos valernos del análisis en varias variables reales para obtener infor- mación cualitativa sobre el sistema x = Ax. A continuación veremos que las soluciones de la E.D.O. x = Ax generan una partición del espacio R n . Dado x ∈ R n , la órbita o trayectoria del punto x a través del flujo ϕ A denotada por O A (x) se define como el conjunto O A (x) = ¦ϕ A (t, x); t ∈ R¦ Proposición 3.1.3 Sean A ∈ R n×n y ϕ A su flujo asociado. Se cumplen las siguientes propiedades: 1. Dados x, y ∈ R n entonces o bien se cumple que O A (x) ∩ O A (y) = ∅ o bien O A (x) = O A (y). 2. x ∈ Nu(A) si y sólo si O A (x) = ¦x¦. En particular O A (0) = ¦0¦. El conjunto T A formado por todas las órbitas O A (x), (donde x ∈ R n ) es llamado foliación por curvas de R n generada por la matriz A ∈ R n×n (o por la E.D.O. lineal x = Ax). Note que la foliación T A es el conjunto formado por todas las soluciones de la E.D.O. x = Ax la cuales pueden ser puntos o curvas de R n . Como una primera consecuencia de esto, tenemos que dos soluciones de una E.D.O. lineal o bien coinciden o bien son disjuntas. En las secciones siguientes, vamos a estudiar las propiedades geométricas de los elementos de una foliación. 62 Teor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales 3.2 Conjugaci´ on de Sistemas Lineales El flujo ϕ A (o equivalentemente, la foliación T A ) nos proporciona toda la información cualitativa necesaria sobre las soluciones de la E.D.O. x = Ax, por este motivo vamos a iniciar en esta sección un estudio sistemático del mismo. Una manera de iniciar este estudio es clasificar los flujos de acuerdo a “ciertas propiedades comunes” que nos interese investigar. Clasificar ob- jetos de acuerdo a “propiedades comunes” es una práctica usual no sólo en matemática sino también en otras disciplinas, por ejemplo la taxonom´ıa es una rama de la ciencia que se encarga en clasificar a los seres vivientes, la especie es considerada la unidad de clasificación animal. Las especies relacionadas con- stituyen un género. Los generos similares se combinan para formar una familia, familias similares se agrupan para formar un orden, órdenes similares para formar una clase y clases similares para formar un phylum. El phylum es la primera etapa de clasificación del reino animal, por ejemplo al phylum cordados pertenecen la clase de los peces, de los anfibios, de los reptiles, de las aves y de los mam´ıferos. La propiedad com´ un de todos ellos es la presencia de una notocorda o ”columna vertebral”. Conforme vamos descendiendo en la clasificación, tenemos más “propiedades comunes” entre los individuos hasta llegar a la especie. Imitando al taxónomo, vamos a clasificar los flujos (o equivalentemente las matrices cuadradas) de acuerdo a ciertas propiedades geométricas comunes, pero ¿cuáles son estas “propiedades comunes” que tantas veces hemos mencionado? veamos: en primer lugar sabemos que los elementos de una foliación T A son curvas las cuales resuelven la E.D.O. x = Ax, si queremos clasificar foliaciones, entonces debemos caracterizar las propiedades es- enciales de las curvas que la componen. Desde este punto de Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 63 vista, podr´ıamos ensayar el siguiente criterio de clasificación: “Decimos que las foliaciones T A y T B están relacionadas si y sólo si existe un homeomorfismo h : R n → R n tal que h lleva órbitas de T A en órbitas de T B ” dicho de otra manera “las soluciones de la E.D.O. x = Ax son homeomorfas a las soluciones de la E.D.O. x = Bx”. Recordemos que h : R n → R n es un homeomorfismo si y sólo si h es biyectiva, continua y su inversa también es continua. Los homeomorfismos preservan todas las propiedades topológicas de las curvas (por ejemplo compacidad, conexidad, etc.), sin embargo, si estamos interesados en preser- var propiedades diferenciables de las curvas (tales como concavi- dad, puntos de inflexión, etc.) entonces un difeomorfismo es lo adecuado. Recordemos que h : R n → R n es un difeomorfismo de clase C r (con 1 ≤ r ≤ ∞) si y sólo si h es biyectiva, de clase C r y su inversa también es de clase C r . Finalmente, si estamos interesados en las propiedades algebraicas de las curvas entonces debemos imponer que h sea un isomorfismo. Vamos a formalizar las ideas acabadas de dar, en la siguiente definición. Definición 3.2.1 Sean A, B ∈ R n×n y consideremos sus flujos asociados ϕ A y ϕ B . Decimos que las matrices A y B (o sus respectivas E.D.O’s asociadas x = Ax y x = Bx) son topológicamente conjugadas, lo que denotamos A ≡ top B si y sólo si existe un homeomorfismo h : R n → R n llamado conju- gación topológica tal que h(ϕ A (t, x)) = ϕ B (t, h(x)), ∀t ∈ R, ∀x ∈ R n . (3.4) En el caso que h sea un difeomorfismo de clase C r (1 ≤ r ≤ ∞), entonces decimos que A y B son C r conjugados y h es llamado conjugación C r . Por ´ ultimo, si h es un isomorfismo lineal, entonces A y B son linealmente conjugados y en este caso h es llamado conjugación lineal. Usaremos la notación A ≡ C r 64 Teor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales B, (respectivamente A ≡ lin B), para decir que A y B son C r conjugados (respectivamente linealmente conjugados). Observaciones: 1. Las conjugaciones topológicas respetan el parámetro t y por tanto la orientación de las órbitas. 2. A y B son conjugadas si y sólo si el siguiente diagrama es conmutativo: ϕ A R R n −−−→ R n id ↓ ↓ h ↓ h R R n −−−→ R n ϕ B 3. Si fijamos un x 0 ∈ R n , entonces la conjugación h : R n → R n satisface la siguiente propiedad: h[O A (x 0 )] = O B (h(x 0 )). En efecto, sea y ∈ h[O A (x 0 )], entonces existe un x ∈ O A (x 0 ) tal que y = h(x). Como x ∈ O A (x 0 ), tenemos que existe un t 0 ∈ R tal que x = ϕ A (t 0 , x 0 ). Luego y = h(x) = h(ϕ A (t 0 , x 0 )) = ϕ B (t 0 , h(x 0 )) es decir y ∈ O B (h(x 0 )). El otro contenido es análogo, basta intercambiar h por h −1 . De esta manera, hemos demostrado que las conjugaciones lleva órbitas en órbitas (ver Figura 3.3). Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 65 4. Por definición de ϕ A , (3.4) es equivalente a h(e tA x) = e tB h(x), ∀t ∈ R, ∀x ∈ R n . A continuación, demostramos que las conjugaciones topológicas, C r y lineales generan particiones en el espacio de matrices cuadradas de orden n. Proposición 3.2.1 “≡ top ”, “≡ C r ” y “≡ lin ” son relaciones de equivalencia en R n×n . Demostración. Probaremos que “≡ lin ” es una relación de equivalencia en R n×n , las otras dos quedan como ejercicio para el lector. i) Reflexividad: I(ϕ A (t, x)) = ϕ A (t, x) = ϕ A (t, I(x)), ∀x ∈ R n , ∀t ∈ R, de donde A ≡ lin A, ∀ A ∈ R n×n . ii) Conmutatividad: A ≡ lin B, entonces existe L ∈ GL(R n ) tal que L(ϕ A (t, x)) = ϕ B (t, L(x)), ∀t ∈ R, ∀x ∈ R n . Luego para L −1 ∈ GL(R n ), se tiene L −1 (ϕ B (t, y)) = ϕ A (t, L −1 (y)), ∀t ∈ R, ∀y ∈ R n de donde B ≡ lin A. 66 Teor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales iii) Transitividad: Sean A ≡ lin B y B ≡ lin C, luego existen L 1 , L 2 ∈ GL(R n ) tales que para todo t ∈ R y para todo x, y ∈ R n se tiene L 1 (ϕ A (t, x)) = ϕ B (t, L 1 (x)) y L 2 (ϕ B (t, y)) = ϕ B (t, L 2 (y)). De esta manera L 2 ◦ L 1 ∈ GL(R n ) y L 2 ◦ L 1 (ϕ A (t, x)) = L 2 (ϕ B (t, L 1 (x)) = ϕ C (t, L 2 (L 1 (x))) = ϕ C (t, L 2 ◦ L 1 (x)), ∀t ∈ R, ∀ x ∈ R n . As´ı A ≡ lin C. Observaciones: 1. De la proposición anterior, podemos construir los conjuntos cocientes R n×n / ≡top , R n×n / ≡ C r y R n×n / ≡ lin . Sus elementos son clases de equivalencia de matrices. Si por ejemplo [A] ∈ R n×n / ≡top , entonces B ∈ [A] si y sólo si las órbitas de B son homeomorfas (por un mismo homeomorfismo) a las órbitas de A. 2. Denotando por Hom(R n ) (respectivamente Diff r (R n )) al conjunto de todos los homeomorfismos (respectivamente difeomorfismos de clase C r ) de R n , del análisis en varias variables reales se tiene la siguiente cadena de contenidos estrictos GL(R n ) ⊂ Diff ∞ (R n ) ⊂ ⊂ Diff 1 (R n ) ⊂ Hom(R n ) Se sigue que la clasificación “más fina” es la lineal mientras que la más “gruesa” es la topológica. Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 67 3. Para estudiar las propiedades cualitativas de las soluciones de una E.D.O. homogénea con coeficientes constantes, basta considerar cualquier representante de su clase y analizarlo. ¿Cómo debemos elegir tal representante?. Una manera natural de hacerlo es eligiendo aquella matriz de la clase de equivalencia cuya exponencial sea fácil de ser calculada, pero ¿cada clase de equivalencia (ya sea topológica, C r o lineal) admitirá tal representante? Responderemos a esta interrogante dentro de poco. El siguiente resultado nos dice esencialmente que las matrices cuadradas de orden n sólo admiten dos clasificaciones: la topológica y la lineal. Proposición 3.2.2 Sean A, B ∈ R n×n , las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. A ≡ C 1 B. 2. Existe P ∈ GL(R n ) tal que PA = BP. 3. A ≡ lin B. Observaciones: 1. De la demostración de la proposición anterior, se desprende que toda h ∈ Diff 1 (R n ) conjugación C 1 entre A y B induce una conjugación lineal entre A y B la cual viene dada por h (0) ∈ GL(R n ). 2. En álgebra lineal se dice que dos matrices A, B ∈ R n×n son similares si y solamente si existe P ∈ GL(R n ) tal que PA = BP. La equivalencia 2. ⇔ 3. de la Proposición anterior nos dice que A ≡ lin B si y sólo si A y B son similares. 68 Teor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales 3. Por el Teorema 2.5.1, sabemos que toda matriz A ∈ R n×n es similar a su forma canónica de Jordan J A ∈ R n×n . Luego cada clase de equivalencia lineal admite un representante “simple” en el sentido que su exponencial (y por lo tanto su regla de correspondencia) queda expl´ıcitamente determinada. Esto responde la interrogante planteada antes de enunciar la Proposición 3.2.2. 3.3 Sistemas Lineales Bidimensionales Con el objetivo de fijar ideas y motivar futuras generalizaciones, en esta sección vamos a estudiar el flujo generado por las matrices cuadradas de orden 2. Sea A ∈ R 2×2 , de acuerdo a la Proposición 3.2.2, para entender el comportamiento cualitativo de las soluciones de la E.D.O. x = Ax, basta estudiar su Forma Canónica de Jordan J A . Ahora bien, si denotamos por λ 1 y λ 2 a los autovalores de A, entonces se presentan las siguientes posibilidades: 1) λ 1 , λ 2 ∈ R, con λ 1 ,= λ 2 . 2) λ 1 = λ 2 = λ. 3) λ 1 = a +ib, λ 2 = a −ib. Vamos a analizar cada una de ellas. 1) Si las ra´ıces son reales y distintas, la forma canónica es dada por J A = _ λ 1 0 0 λ 2 _ , luego el flujo asociado a J A en cualquier punto p 0 = (x 0 , y 0 ) ∈ R 2 viene dado por ϕ J A (t, p 0 ) = _ e λ 1 t x 0 , e λ 2 t y 0 _ , ∀t ∈ R. Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 69 Es claro que O J A ((0, 0)) = ¦(0, 0)¦. Además, para puntos ubicados sobre los ejes coordenados (cuando λ 1 ,= 0 y λ 2 ,= 0) tenemos: O J A ((x 0 , 0)) = _ _ _ ]0, +∞[ ¦0¦ si x 0 > 0 ] −∞, 0[ ¦0¦ si x 0 < 0 O J A ((0, y 0 )) = _ _ _ ¦0¦]0, +∞[ si y 0 > 0 ¦0¦] −∞, 0[ si y 0 < 0 Para determinar el comportamiento geométrico de las demás órbitas, observamos que si hacemos ¸ ¸ ¸ ¸ x = e λ 1 t x 0 y = e λ 2 t y 0 t ∈ R, x 0 ,= 0, y 0 ,= 0 tenemos y = y 0 ¸ ¸ ¸ ¸ x x 0 ¸ ¸ ¸ ¸ λ 2 /λ 1 ó x = x 0 ¸ ¸ ¸ ¸ y y 0 ¸ ¸ ¸ ¸ λ 1 /λ 2 seg´ un λ 1 ,= 0 ó λ 2 ,= 0 respectivamente. De esta manera las órbitas están contenidas en curvas del plano del tipo: f(x) = C[x[ α cuya traza depende del signo de C y del valor de α. Como el comportamiento geométrico de las órbitas depende de los signos de los autovalores λ 1 y λ 2 , se presentan los siguientes casos: 70 Teor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales a) Si λ 1 < λ 2 < 0, entonces lim t→+∞ ϕ J A (t, p 0 ) = (0, 0), para todo p 0 ∈ R 2 −¦(0, 0)¦. Por otro lado lim t→−∞ ϕ J A (t, p 0 ) = _ ¸ ¸ _ ¸ ¸ _ (+∞, +∞), si x 0 > 0, y 0 > 0 (−∞, +∞), si x 0 < 0, y 0 > 0 (−∞, −∞), si x 0 < 0, y 0 < 0 (+∞, −∞), si x 0 > 0, y 0 < 0 De esta manera, todas las trayectorias vienen del infinito y tienden al origen cuando t → +∞a excepción del origen que permanece fijo, tal como se muestra en la Figura. En este caso decimos que 0 ∈ R 2 es un atractor o pozo. b) Si λ 1 < λ 2 = 0 se tiene que Nu(J A ) = ¦(0, y); y ∈ R¦ luego O J A (0, y 0 ) = ¦(0, y 0 )¦. Para determinar las otras órbitas, consideremos x 0 ,= 0. Como ϕ J A (t, p 0 ) = _ e λ 1 t x 0 , y 0 _ , se tiene lim t→+∞ ϕ J A (t, p 0 ) = (0, y 0 ) lim t→−∞ ϕ J A (t, p 0 ) = _ (+∞, y 0 ), si x 0 > 0 (−∞, y 0 ), si x 0 < 0 Concluimos que las órbitas están contenidas en rectas horizontales que se acercan al eje vertical y orientadas de acuerdo a la Figura 3.6-(b). c) Si λ 1 < 0 < λ 2 tenemos lim t→+∞ ϕ J A (t, p 0 ) = _ (0, +∞), si y 0 > 0 (0, −∞), si y 0 < 0 lim t→−∞ ϕ J A (t, p 0 ) = _ (+∞, 0), si x 0 > 0 (−∞, 0), si x 0 < 0 Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 71 De esta manera las órbitas son curvas que tienen un comportamiento geométrico muy parecido a las hipérbolas y están orientadas de acuerdo a la Figura . Decimos que el origen es un punto silla. d) Si 0 = λ 1 < λ 2 se tiene que Nu(J A ) = ¦(x, 0); x ∈ R¦ luego O J A (x 0 , 0) = ¦(x 0 , 0)¦. Para determinar las otras órbitas, consideremos y 0 ,= 0. Como ϕ J A (t, p 0 ) = _ x 0 , e λ 2 t y 0 _ , se tiene lim t→−∞ ϕ J A (t, p 0 ) = (x 0 , 0) lim t→+∞ ϕ J A (t, p 0 ) = _ (x 0 , +∞), si y 0 > 0 (x 0 , −∞), si y 0 < 0 Concluimos que las órbitas están contenidas en rectas verticales que se alejan del eje horizontal y orientadas de acuerdo a la Figura. e) Si 0 < λ 1 < λ 2 tenemos lim t→−∞ ϕ J A (t, p 0 ) = (0, 0) lim t→+∞ ϕ J A (t, p 0 ) = _ ¸ ¸ _ ¸ ¸ _ (+∞, +∞), si x 0 > 0, y 0 > 0 (−∞, +∞), si x 0 < 0, y 0 > 0 (−∞, −∞), si x 0 < 0, y 0 < 0 (+∞, −∞), si x 0 > 0, y 0 < 0 De esta manera, todas las trayectorias emanan del origen y tienden al infinito, a excepción del origen que permanece fijo. En este caso decimos que 0 ∈ R 2 es un repulsor o fuente. 2) Si las ra´ıces son reales e iguales, entonces la Forma Canónica de Jordan viene dada por J A = _ λ 0 0 λ _ ó J A = _ λ 1 0 λ _ 72 Teor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales Analicemos cada caso. a) Si J A = _ λ 0 0 λ _ y λ < 0, entonces el flujo en el punto p 0 = (x 0 , y 0 ) es ϕ J A (t, p 0 ) = _ e λt x 0 , e λt y 0 _ = e λt p 0 , se sigue que O J A ((0, 0)) = ¦(0, 0)¦ y todas las demás órbitas son rectas, además lim t→+∞ ϕ J A (t, p 0 ) = (0, 0) y lim t→−∞ [ϕ J A (t, p 0 )[ = +∞. Luego se tiene el comportamiento geométrico de la Figura. b) Si J A = _ λ 0 0 λ _ y λ > 0, entonces como en el caso anterior ϕ J A (t, p 0 ) = e λt p 0 , pero ahora lim t→+∞ [ϕ J A (t, p 0 )[ = +∞ y lim t→−∞ ϕ J A (t, p 0 ) = (0, 0). c) Si J A = _ λ 1 0 λ _ y λ < 0 entonces el flujo viene dado por ϕ J A (t, p 0 ) = e λt (x 0 + ty 0 , y 0 ). Se observa que O J A ((0, 0)) = ¦(0, 0)¦, O J A ((x 0 , 0)) = _ _ _ ]0, +∞[ ¦0¦ si x 0 > 0 ] −∞, 0[ ¦0¦ si x 0 < 0 todas las demás órbitas se encuentran en la curva que es gráfica de la función x = x 0 y + 1 λ y ln ¸ ¸ ¸ ¸ y y 0 ¸ ¸ ¸ ¸ Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 73 y se tiene lim t→+∞ ϕ J A (t, p 0 ) = (0, 0) y lim t→−∞ [ϕ J A (t, p 0 )[ = +∞. Este comportamiento geométrico se bosqueja en la Figura. d) Si J A = _ λ 1 0 λ _ y λ > 0 entonces el flujo es el mismo que en el caso anterior, pero ahora se tiene lim t→−∞ ϕ J A (t, p 0 ) = (0, 0) y lim t→+∞ [ϕ J A (t, p 0 )[ = +∞. e) En el caso que λ = 0 tenemos que J A = _ 0 1 0 0 _ . Observe que Nu(J A ) = ¦(x, 0); x ∈ R¦, luego O J A (x 0 , 0) = ¦(x 0 , 0)¦. Para determinar las otras órbitas, consideremos y 0 ,= 0. Como ϕ J A (t, p 0 ) = (x 0 +ty 0 , y 0 ), se tiene lim t→+∞ ϕ J A (t, p 0 ) = _ (+∞, y 0 ), si y 0 > 0 (−∞, y 0 ), si y 0 < 0 lim t→−∞ ϕ J A (t, p 0 ) = _ (−∞, y 0 ), si y 0 > 0 (+∞, y 0 ), si y 0 < 0 Concluimos que las órbitas son rectas horizontales (excepto el eje X) orientadas de acuerdo a la Figura. 3) Si las ra´ıces son complejas conjugadas λ = a + ib, ¯ λ = a − ib, entonces su forma canónica de Jordan viene dada por no existe autoespacio en el plano real y el flujo viene dado por J A = _ a −b b a _ , no existe autoespacio en el plano real y el flujo viene dado por ϕ J A (t, p 0 ) = e at (x 0 cos bt −y 0 sen bt, x 0 sen bt +y 0 cos bt). 74 Teor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales Se presentan los siguientes casos: a) Si a = 0 (ra´ıces imaginarias puras) entonces la órbita O J A (p 0 ) es una circunferencia de radio [p 0 [ 2 = (x 0 ) 2 + (y 0 ) 2 , orientada de acuerdo al signo de b. En este caso decimos que el origen es un centro. b) Si a < 0 entonces las órbitas son espirales que tienden al origen cuando t → +∞. c) a > 0 entonces las órbitas son espirales que emanan del origen. Observaciones: 1. El lector debe haber notado que el comportamiento de las órbitas no es tan simple cuando la matriz A no es inversible (vea los casos 1b, 1d y 2e). 2. Al igual que en el caso 1a, en los casos 2a, 2c y 3b el origen es la ´ unica órbita puntual la cual puede ser vista como un atractor. Análogamente, en los casos 2b, 2d y 3b el origen puede ser visto como un repulsor. 3. El comportamiento de centro sólo ocurre en el caso 3a. 3.4 Atractores y Repulsores de Sis- temas Lineales En la sección anterior hemos observado algunos comportamien- tos geométricos comunes para las órbitas asociadas a matrices 22 (repulsor, atractor). En esta sección vamos a caracterizar- los y generalizarlos a dimensión cualquiera. Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 75 Decimos que un punto p es un atractor (resp. repulsor) de una matriz A si y sólo si cualquier part´ıcula que se desplaza a lo largo de las órbitas de A después de un tiempo suficientemente grande se encuentra muy cerca (resp. muy lejos) del punto p. Más espec´ıficamente, tenemos la siguiente definición. Definición 3.4.1 Sea A ∈ R n×n , y consideremos su flujo asociado ϕ A . i) Decimos que 0 ∈ R n es un atractor (o pozo) de A si y sólo si lim t→+∞ ϕ A (t, x) = 0, ∀x ∈ R n . ii) Decimos que 0 ∈ R n es un repulsor (o fuente) de A si y sólo si lim t→+∞ [ϕ A (t, x)[ = +∞, ∀x ∈ R n −¦0¦. Observación: De la definición se sigue directamente que 0 ∈ R n es un atractor de A ∈ R n×n si y sólo si 0 es un repulsor de −A. Teorema 3.4.1 Dada la matriz A ∈ R n×n , las siguientes afirmaciones son equivalentes: i) A ≡ top −I. ii) 0 ∈ R n es un atractor de A. iii) Todos los autovalores de A tienen parte real negativa. iv) Existen constantes µ > 0 y K ≥ 1 tales que [ϕ A (t, x)[ ≤ Ke −µt [x[, ∀x ∈ R n , ∀t ≥ 0. 76 Teor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales Teorema 3.4.2 Sea A ∈ R n×n . Las siguientes afirmaciones son equivalentes: i) A ≡ top I. ii) 0 ∈ R n es un repulsor de A. iii) Todos los autovalores de A tienen parte real positiva. iv) Existen constantes µ > 0 y K ≥ 1 tales que [ϕ A (t, x)[ ≥ K −1 e µt [x[, ∀t ≥ 0, ∀x ∈ R n . 3.5 Sistemas Lineales Hiperb´ olicos Nos proponemos generalizar los resultados de la sección anterior en una teor´ıa que englobe los casos 1a, 1c, 1e, 2a, 2b, 2c, 2d, 3b y 3c de la Sección 3.3. Definición 3.5.1 Sea A ∈ R n×n i) Decimos que la matriz A (o su sistema asociado x = Ax) es hiperbólico si y sólo si todos los autovalores de A tienen parte real distinta de cero. ii) Si A es una matriz hiperbólica, El ´ındice de estabilidad de A, denotado por i(A) es el n´ umero de autovalores de A (contando multiplicidad) con parte real negativa. Ejemplo 3.5.1 Sea A ∈ R n×n , se cumple 1. 0 ∈ R n es un atractor de A si y sólo si i(A) = n. Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 77 2. 0 ∈ R n es un repulsor de A si y sólo si i(A) = 0. Ejemplo 3.5.2 Sea A = _ _ 0 1 1 1 0 1 1 1 0 _ _ ∈ R 3×3 . Sabemos que los autovalores de A son λ 1 = 2 y λ 2 = −1 (con multiplicidad 2), luego A es una matriz hiperbólica y i(A) = −2. De ahora en adelante, denotaremos por Hip(R n ) al conjunto de todas las matrices A ∈ R n×n que son hiperbólicas. Observación: Hip(R n ) ⊆ GL(R n ). Definición 3.5.2 Sea A ∈ Hip(R n ) i) El subespacio estable de A, denotado por E s (A), es el subespacio vectorial de R n que es generado por los autovectores correspondientes a los autovalores con parte real negativa. ii) El subespacio inestable de A, denotado por E u (A), es el subespacio vectorial de R n que es generado por los autovectores correspondientes a los autovalores con parte real positiva. Ejemplo 3.5.3 Sea A ∈ R n×n , se cumple 1. Si 0 ∈ R n es un atractor de A entonces E s (A) = R n y E u (A) = ¦0¦. 2. Si 0 ∈ R n es un repulsor de A, entonces E u (A) = R n y E s (A) = ¦0¦. 78 Teor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales Ejemplo 3.5.4 Si A = _ _ 0 1 1 1 0 1 1 1 0 _ _ ∈ R 3×3 , entonces v 1 = (1, 1, 1) es un autovector asociado al autovalor λ 1 = 2 y que v 2 = (1, 0, −1), v 3 = (0, 1, −1) son autovectores asociados al autovalor λ 2 = −1, luego E s (A) = ¸(1, 0, −1), (0, 1, −1)) = ¦(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 ; x 1 +x 2 +x 3 = 0¦ E u (A) = ¸(1, 1, 1)) = ¦(α, α, α); α ∈ R¦. Las conjugaciones lineales respetan los espacios estables e inestables. Más espec´ıficamente, tenemos el siguiente resultado. Lema 3.5.1 Sean A, B ∈ Hip(R n ). Si h ∈ GL(R n ) es una con- jugación lineal entre A y B entonces i(A) = i(B) y h[E s (A)] = E s (B) y h[E u (A)] = E u (B). Teorema 3.5.1 Sean A, B ∈ Hip(R n ). Se cumple A ≡ top B ⇐⇒ i(A) = i(B). Corolario. Sea A ∈ Hip(R n ) con i(A) = m. Entonces A ≡ top diag[I m , −I n−m ] en donde I m e I n−m son las matrices identidad de R m×m y R (n−m)×(n−m) respectivamente. Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 79 3.6 Estabilidad Estructural de Cam- pos Lineales En la sección anterior hemos clasificado topológicamente las matrices hiperbólicas de R n×n . Debemos mencionar que no existe a la fecha una clasificación topológica de matrices que tengan alg´ un valor con parte real 0. Por esta razón es relevante pre- guntar “que tan grande” es el conjunto R n×n −Hip(R n ). Eso es justamente lo que haremos a continuación. En lo sucesivo, denotaremos por D r (z 0 ) ⊆ C (resp. D r [z 0 ] ⊆ C) al disco abierto (resp. cerrado) centrado en z 0 ∈ C y de radio r > 0, es decir D r (z 0 ) = ¦z ∈ C; [z−z 0 [ < r¦ y D r [z 0 ] = ¦z ∈ C; [z−z 0 [ ≤ r¦ Asimismo, denotaremos por Σ(A) al conjunto de todos los autovalores de la matriz A ∈ R n×n . Este conjunto es llamado espectro de A. Nuestro primer resultado establece que para que los autovalores de B ∈ R n×n estén tan cercanos cuanto querramos de los autovalores de una matriz A, es suficiente tomar B cerca de A. Lema 3.6.1 Sean A ∈ R n×n . Dado > 0, existe un δ > 0 tal que si B ∈ R n×n y |B −A| < δ entonces Σ(B) ⊆ _ λ∈Σ(A) D (λ) Demostración. En primer lugar, observe que si A ∈ R n×n y λ ∈ Σ(A) entonces [λ[ ≤ |A|. Afirmo que si B ∈ R n×n es tal 80 Teor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales que |B − A| < 1 entonces Σ(B) ⊆ D A+1 [0] = D. En efecto, si tomamos µ ∈ Σ(B) entonces [µ[ ≤ |B| ≤ |B −A| +|A| < 1 +|A| y esto prueba la afirmación. Dado > 0, denotemos V = _ λ∈Σ(A) D (λ). Observe que si z ∈ D−V entonces det(A−zI) ,= 0. Esto nos induce a definir la función Φ : C R n×n → C (z, M) → Φ(z, M) = det(M −zI) Si en C R n×n consideramos la norma del máximo |(z, M)| = max¦[z[, |M|¦ entonces Φ es continua en su dominio. Como observamos anteri- ormente, si z ∈ D−V entonces Φ(z, A) ,= 0, por la continuidad de Φ existe δ z > 0 tal que si [w − z[ < δ z y |M − ˜ A| < δ z entonces det(M −wI) = Φ(w, M) ,= 0, es decir w / ∈ Σ(M). Por otro lado, es claro que D −V ⊆ _ z∈D−V D δz (z) y como D−V es compacto, se tienen que existen z 1 , z 2 , . . . , z r ∈ D −V tal que D −V ⊆ D δz 1 (z 1 ) ∪ ∪ D δzr (z r ) Tomando δ = min¦δ z 1 , . . . , δ zr , 1¦, dado B ∈ R n×n tal que |B − A| < δ, tenemos que si µ ∈ D − V entonces existe j ∈ ¦1, 2, . . . , r¦ tal que µ ∈ D δz j (z j ) y como |B −A| < δ z j de lo anterior tenemos que µ / ∈ Σ(B), es decir D−V ⊆ D−Σ(B) y desde que Σ(B) ⊆ D, se tiene Σ(B) ⊆ V . Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 81 Teorema 3.6.1 Hip(R n ) es un subconjunto abierto y denso de R n×n . Demostración. Probemos primeramente que Hip(R n ) es abierto en R n×n . Sea A ∈ Hip(R n ) y tomemos 0 < < min¦[Re(λ)[; λ ∈ Σ(A)¦. Por el Lema 3.6.1, ∃δ > 0 tal que si B ∈ R n×n y |B −A| < δ entonces Σ(B) ⊆ _ λ∈Σ(A) D 2 (λ) Si µ ∈ Σ(B) entonces existe un λ ∈ Σ(A) tal que [µ − λ[ < 2 . Como [Re(λ)[ = [Re(λ −µ) +Re(µ)[ ≤ [Re(µ −λ)[ +[Re(µ)[, se tiene [Re(µ)[ ≥ [Re(λ)[ −[Re(µ−λ)[ ≥ [Re(λ)[ −[µ−λ[ > − 2 = 2 De esta manera ning´ un autovalor de B tiene parte real distinta de cero. Hemos probado que ∃δ > 0 tal que si B ∈ R n×n y |B −A| < δ entonces B ∈ Hip(R n ). Probemos ahora que Hip(R n ) es denso en R n×n . Sean B ∈ R n×n y > 0. Debemos probar que existe A ∈ Hip(R n ) tal que |B −A| < . Para ello, defino los conjuntos Σ 1 = ¦λ ∈ Σ(B); Re(λ) = 0¦ y Σ 2 = ¦λ ∈ Σ(B); Re(λ) ,= 0¦ Es claro que Σ(B) = Σ 1 ∪ Σ 2 . Sea δ = min¦[Re(λ)[; λ ∈ Σ 2 ¦, consideremos 0 < r < min¦, δ¦ y A = B +rI. Es claro que λ ∈ Σ(B) ⇔ λ +r ∈ Σ(B +rI) = Σ(A) 82 Teor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales Si λ ∈ Σ(A) entonces λ −r ∈ Σ(B). Existen dos alternativas: Si λ −r ∈ Σ 1 entonces Re(λ −r) = 0, luego Re(λ) = r > 0. Si λ−r ∈ Σ 2 entonces Re(λ−r) ,= 0, luego [Re(λ−r)[ ≥ δ. Se sigue que [Re(λ)[ = [Re(λ −r) +r[ ≥ [Re(λ −r)[ −r ≥ δ −r > 0 En cualquiera de los dos casos, tenemos que Re(λ) ,= 0. Luego |B −A| = r < y A ∈ Hip(R n ). Del resultado anterior se desprende que el conjunto de las matrices que no son hiperbólicas forman un subconjunto “muy fino” de R n×n puesto que su complemento (o sea Hip(R n )) es abierto y denso en el espacio de las matrices cuadradas. Una idea geométrica de este comportamiento esta dada en la siguiente figura, en donde las l´ıneas representa Hip(R n ). Definimos a continuación el importante concepto de matriz estructuralmente estable. Definición 3.6.1 Decimos que la matriz A ∈ R n×n es estructuralmente estable si y sólo si existe δ > 0 tal que si B ∈ R n×n con |B −A| < δ entonces B ≡ top A. Observación: Intuitivamente una matriz es estructuralmente estable si al perturbarla un poco, la configuración de sus órbitas no se altera, salvo homeomorfismos. En lo que resta de la sección, demostraremos que existe una estrecha relación entre hiperbolicidad y estabilidad estructural. Sea A ∈ R n×n y λ ∈ Σ(A). El n´ umero entero positivo m = m(λ) denotará la multiplicidad algebraica del autovalor λ. Del Teorema de la Descomposición Espectral se tiene que si λ ∈ Σ(A) es tal que m(λ) = m entonces dim Nu((A −λI) m ) = m. Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 83 No es dif´ıcil probar que Nu((A − λI) k ) = Nu((A − λI) m ), ∀ k ≥ m. Lema 3.6.2 Sean A ∈ R n×n y λ ∈ Σ(A) con m(λ) = m. Ex- isten constantes 0 > 0 y δ 0 > 0 tales que si B ∈ R n×n y |B −A| < δ 0 entonces µ∈Σ(B)∩D 0 (λ) m(µ) ≤ m Demostración. Procediendo por contradicción, supongamos que ∀ > 0 y ∀δ > 0 existe B δ ∈ R n×n tal que |B δ −A| < δ y µ∈Σ(B δ )∩D(λ) m(µ) > m Tomando = δ = 1/k (k ∈ N) tenemos que existe B k ∈ R n×n tal que |B k −A| < 1 k y µ∈Σ(B k )∩D 1 k (λ) m(µ) > m De esta manera, hemos construido una sucesión (B k ) ⊆ R n×n tal que lim k→∞ B k = A y µ k,1 , µ k,2 , . . . , µ k,m k ∈ Σ(B k ) ∩ D1 k (λ) (repetidos de acuerdo a su multiplicidad) y m k > m, ∀ k ∈ N. Sea m = min¦m k ; k ∈ N¦ > m. Para k ∈ N, denotemos C k = (B k −µ k,1 I) (B k −µ k,m I) Podemos suponer que dim Nu(C k ) = m y consideramos ¦e k,1 , . . . , e k,m ¦ una base ortonormal de Nu(C k ). Desde que (e k,1 ), . . . , (e k,m ) ⊆ S n−1 y S n−1 es compacto, entonces tomando subsucesiones si es 84 Teor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales necesario, podemos suponer que lim k→∞ e k,j = e j , ∀ 1 ≤ j ≤ m . Sea N el subsepacio vectorial de R n generado por e 1 , e 2 , . . . , e m . Observe que lim k→∞ C k = (A −λI) m = C Afirmo que N ⊆ Nu(C), en efecto desde que [Ce j [ ≤ [Ce j −C k e j [ +[C k e j −C k e k,j [ +[C k e k,j [ ≤ |C −C k | [e j [ +|C k | [e j −e k,j [ Tomando l´ımite cuando k → ∞ tenemos que Ce j = 0, ∀ 1 ≤ j ≤ m , esto prueba la afirmación. Finalmente, concluimos que m = dim N ≤ dim Nu(C) = dim ((A−λI) m ) = dim ((A−λI) m ) = m lo cual es una contradicción. Teorema 3.6.2 Sean A ∈ R n×n y Σ(A) = ¦λ 1 , . . . , λ k ¦ con m(λ j ) = m j . Dado > 0, existe un δ > 0 tal que si B ∈ R n×n con |B −A| < δ entonces µ∈Σ(B)∩D(λ j ) m(µ) = m j , ∀ 1 ≤ j ≤ k Demostración. Procediendo por contradicción, supongamos que existe 1 > 0 tal que para todo δ > 0 existe B δ ∈ R n×n con |B δ −A| < δ y existe j 0 ∈ ¦1, . . . , k¦ tal que µ∈Σ(B δ )∩D 1 (λ j 0 ) m(µ) ,= m j 0 (Hip. Aux.). Por el Lema 3.6.2, existen constantes 0 > 0 y δ 0 > 0 tales que si B ∈ R n×n y |B −A| < δ 0 entonces µ∈Σ(B)∩D 0 (λ j ) m(µ) ≤ m j , ∀ 1 ≤ j ≤ k Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 85 Tomando = min¦ 0 , 1 ¦ tenemos µ∈Σ(B δ )∩D(λ j 0 ) m(µ) < m j 0 , además por el Lema 3.6.1 existe un δ > 0 tal que si B ∈ R n×n y |B −A| < δ entonces Σ(B) ⊆ k _ j=1 D (λ j ) ⊆ k _ j=1 D 1 (λ j ). Para el B δ ∈ R n×n de la hipótesis auxiliar tenemos n = µ∈Σ(B δ ) m(µ) = k j=1 _ _ µ∈Σ(B δ )∩D(λ j ) m(µ) _ _ < m j 0 + k j=1,j=j 0 _ _ µ∈Σ(B δ )∩D 0 (λ j ) m(µ) _ _ ≤ k j=1 m j = n lo cual es una contradicción. Corolario. Si A ∈ Hip(R n ) entonces existe δ > 0 tal que si B ∈ R n×n con |B −A| < δ entonces i(B) = i(A). Demostración. Sean λ 1 , . . . , λ k ∈ Σ(A) con m(λ j ) = m j , ordenados de tal manera que los r primeros tienen parte real negativa. Tomando 0 < < min¦[Re(λ j )[; 1 ≤ j ≤ k¦, observe que para esta elección del se tiene que si z ∈ D (λ j ) entonces Re(z) < 0 para 1 ≤ j ≤ r y Re(z) > 0, ∀ r+1 < j ≤ k. Además por el Teorema anterior, existe δ > 0 tal que si |B − A| < δ entonces µ∈Σ(B)∩D(λ j ) m(µ) = m j Se sigue que i(B) = i(A). Teorema 3.6.3 A ∈ Hip(R n ) si y sólo si A es estructuralmente estable. 86 Teor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales Demostración. (⇒) Se sigue del Corolario anterior y el Teo- rema 3.5.1. (⇐) Sea A / ∈ Hip(R n ), consideremos los conjuntos Σ 1 = ¦λ ∈ Σ(A); Re(λ) = 0¦ y Σ 2 = ¦λ ∈ Σ(A); Re(λ) ,= 0¦ y sea δ = min¦[Re(λ)[; λ ∈ Σ 2 ¦. Si 0 < r < δ entonces las matrices A + rI y A − rI son hiperbólicas y de ´ındices distin- tos, por lo tanto no son conjugadas. Se sigue que en cualquier vecindad abierta de A podemos encontrar matrices que no son conjugadas a A, es decir A no es estructuralmente estable.

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