RAZONAMIENTO MATEMÁTICOECUACIONES DE PRIMER GRADO. Identidad: Es una igualdad algebraica que se cumple para cualquier valor que le demos a las variables. x 2 2 x 2 4x 4 Ejemplo: , si damos valores a “x” construiríamos la siguiente tabla: x -2 -1 0 1 2 x 2 2 0 1 4 9 16 x 2 4x 4 0 1 4 9 16 Como puedes observar, se obtiene siempre el mismo valor en ambos miembros de la igualdad, por lo tanto se trata de una identidad. Variable: Es toda letra que figura en la expresión. Miembros de una ecuación: Son las expresiones que se encuentran a ambos lados de la igualdad. El que está a la izquierda es el 1er miembro, y el que está a la derecha es el 2º miembro. Clasificación de las ecuaciones: Por el número de variables: De una, dos, tres, etc.... variables. (nº de letras) Por el grado del término de mayor grado: De 1er grado, 2º grado, 3er grado, etc.... Una ecuación de primer grado: Es una igualdad algebraica que solo se cumple para determinados valores de la variable, y ésta está elevada a exponente uno. 2x 3 x 5 Ejemplo: MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Para resolver una ecuación de primer grado, lo primero que hay que hacer es llegar a obtener la expresión general de una ecuación de 1er grado del apartado anterior aplicando los principios de equivalencia y los fundamentos del cálculo en general: 2 x-1 x4 x 2 3 1 x 3 15 5 Sea la ecuación: . Hallar “x”. 1 Lic. VIRGINIA BEATRIZ HUILLCA VARGAS 2x = . 2x – 12 = . 2x – 12 = .3 48. 2x = 3 49. x – 2 = 14 22. VIRGINIA BEATRIZ HUILLCA VARGAS . 2x = 12 35.6 44.6 46. 2x + 12= 14 12.23 28. x + 2 = 3 15. ECUACIONES 58.3 17. x + 12 = .6 32. x – 2 = .8 56.7 52. x + 2 = . si las variables. 2x + 2= 8 55. x – 2 = 3 18.12 38. 2x = . x + 2 = 14 19.36 40.14 57. Ejemplo: algebraica que se cumple para x 2 2 x 2 4x 4 cualquier valor que le demos a . 2x .7 54. -12x = . 2x = 7 53. x – 12 = . 12x = 6 43. 2x = 6 33.2 = 14 6.2x = 12 37. 2x + 12= 4 8. x – 12 = 3 26.6 34. -2x = . 2x + 2= . -2x = . 2x = 7 51. 2x – 2 = .3 25. x + 2 = .14 21. -12x = 36 41.14 13.4 11. 2x . RAZONAMIENTO MATEMÁTICO En efecto Quitar paréntesis: (Propiedad distributiva) 2 x-1 x4 3 x 2 1 x 3 15 5 Quitar denominadores: (Reducir a común denominador) 10x 10 x 4 15 15x 9x 18 15 15 Reducir términos semejantes en ambos miembros: 9x 1 6x 18 Transponer términos: 9x 6x 18 1 Reducir términos semejantes en ambos miembros: 3x 17 Despejar la variable: 17 x 3 EJERCICIOS PROPUESTOS Nivel I 1. x + 12 = . x + 12 = 23 27. x – 12 = . -12x = .12 = 4 10. 12x = 36 39. 2x – 2 = .2 = 8 2.12 36. 2x + 2= . 2 Lic. 2x = 3 47. 2x + 12= . 2x . Identidad: Es una igualdad 59.12 = 14 14.23 29. 2x = 6 31.8 3. -2x = . 2x = . . 2x = . x – 2 = .14 20.3 24.36 42.3 16. -12x = 6 45. x – 12 = 33 30.3 50. 2x + 12= . 12x = .14 5.4 9. 2x .14 7. 12x = . 2x = . x + 12 = 3 23. 2x + 2= 14 4. etc. 73. 88. y ésta está elevada a 72. 87. Miembros de una ecuación: una ecuación de 1er grado del Son las expresiones que se apartado anterior aplicando los encuentran a ambos lados de la principios de equivalencia y los igualdad. Por el número de variables: . dos. (nº de letras) Quitar paréntesis: (Propiedad distributiva) 3 Lic. VIRGINIA BEATRIZ HUILLCA VARGAS . Hallar “x”. Ejemplo: 78. lo primero que figura en la expresión. 77.. tres. etc. Una ecuación de primer x 62. 74. 76. 71. 61.. Por el grado del término de construiríamos la siguiente mayor grado: De 1er grado. y general: el que está a la derecha es el 2º miembro. 60.. 64.. MÉTODO DE en ambos miembros de la RESOLUCIÓN DE UNA igualdad.. Como puedes observar. 69. x 2 4x 4 2x 3 x 5 85. exponente uno. 75. para determinados valores de la 67. grado: Es una igualdad 66. Variable: Es toda letra que primer grado.. 63. hay que hacer es llegar a obtener la expresión general de 80. Clasificación de las 2 x-1 x4 x 2 3 1 x ecuaciones: 3 15 5 82. 84. De una. 89. 65. x 2 2 variable. 70. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO damos valores a “x” 83. 3er grado. por lo tanto se trata ECUACIÓN de una identidad. En efecto variables. se obtiene siempre el mismo valor 86. 2º tabla: grado. Para resolver una ecuación de 79. El que está a la fundamentos del cálculo en izquierda es el 1er miembro. Sea la ecuación: 81. algebraica que solo se cumple 68. 3(2x − 2) = 2(3x + 9) 10x 10 x 4 15 15x 9x 18 27. 2(-4x -2) + 4(3+x)=7x+4 2 x 3x 4 x 3 6x 16. 2 (x + 1) = 3x 3x 5 2 x 1 x 3 5x 1 8.5x 36. VIRGINIA BEATRIZ HUILLCA VARGAS .2x 5. -3 (-3x . 3 (2 . -3(-8x–2)+2(3+x)=-3x+1 20. 5 (3 . 9x 1 6x 18 1 1 5 92. 3 4 3 3 x 2 x 1 x 8 5 10 2 96. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 90. x x 3 3 2 6 Transponer términos: 29. 4(2 − 3x) = −2x – 27 denominador) 25.2x) = 6 . 3 (-3x . 2 + 3 (1 .x) = 2 + x x 3 x 4 1 x 1 2x 1 4.6) + 2(6 + x) = -2x + 6 38. 5(7 − x) = 31 – x Quitar denominadores: (Reducir a común 24. -3(-6x+5) =-3x +9 -2 (8+x) 14.6) + 2(6 + x) = -2x + 6 2 x-1 x4 x 2 3 1 x 21.8 4 9 2 4 9 6. 2 (3 . 11. 31. 9 − 2(x + 4) − 10(25 − x + 4) = 5 − 15 15 3x − 4(x + 1) 1 1 Reducir términos semejantes en ambos x x5 2 3 miembros: 28. 95.2x) = -4 . Despejar la variable: 5 x 3 7 2 2 17 x x x x 6 18 4 12 9 3 3 32. 2 (4x + 5) = -4x + 1 -2(-6+x) 37. 7. 6x − 8 = 4(−2x + 5) 91. EJERCICIOS DE 33.x) = 5x .2x) = 2 (2 + 3x) -3 5 4 3 3 10 13. -2 (-8x-5) = 9x + 5 -2(9+x) 3 15 5 22. 2 (4x + 5) = -4x + 1 -2(-6+x) 7 8 9 1 31 7 x 15. 3 (4 – x) = 6 35. APLICACIÓN 34. -2 (-8x-5) = 9x + 5 -2(9+x) 18. -3(-6x+5) =-3x +9 -2 (8+x) 10. 19. x 2 x 1 4 6 Reducir términos semejantes en ambos 30.2x) = 2 (2 + 3x) -3 1 2 3 4 8 9. 2 (3 . 26. 2 + 3 (1 . 3x + 5 = 5x – 13 23. miembros: x x 2x 3x 17 6 3 2 4 5 94. 2(-2x – 9) + 4(-1+x) = 8x +5 4 Lic. 2(-4x -2) + 4(3+x)=7x+4 3x 8 x 1 7 x 4 x 8x 5 12. 17. 9x 6x 18 1 3 5 93. 4 x 5 8x 3 5 3x 3 5x 3 1. 2 (x + 2) = 6 8 6 3 2 4 2. 3. 97. 99.8x 1. 49. 47. 46. 98.6 x 2x 3 x 3 43.5x x 3 2x 44. 3 5 13 11 1. 5 3 3 3 5 0 x 2 x x2 2 40. VIRGINIA BEATRIZ HUILLCA VARGAS . 5 Lic.25 0 0. 48. 45. 101. 5 7 16 x 4 2x 5 0 0.6 x 3 1. 1 1 1 1 13 2 3 0 8x 9x 12x 24 x 72 x 1 x 1 41. 3 5 8 1 1 11 3x 2 6x 0 4 x 14 7 x x 4 14 x 3x 1 6 x 1 42. 100. 50. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 11 3 7 2 2 x x x 3 39. . 124. Proceder con los pasos establecidos para la resolución analítica de una ecuación de 1 er grado. 134. 102. 120. El doble de un número: 113. número. Comprobar que la solución no carece de sentido y cumple con el planteamiento del problema. es igual a 15 142. El cubo de un número es 143. una para ver de que va. Debemos plantear el problema correctamente. 140. cuadrados de dos números consecutivos. Una diferencia de cuadrados: 125. 110. El cuadrado de un número: 119. 118. parte de un número. 122. 9 144. 108. consecutivos. 104. al menos tres veces. Establecer la igualdad correspondiente. para ello: Leer atentamente el enunciado. 106. El anterior a un número: 115. PLANTEO DE ECUACIONES 107. número. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES. número. El doble del cubo de un 145. 109. 112. - 103. 105. 126. El cuadrado de una 127. 116. La cuarta parte más la quinta 133. 136. La raíz cuadrada de un 139. 3. y en su caso discutir el significado de ésta. La mitad de un número más 129. igual a 27. 111. otra para anotar lo que nos dan y una tercera para elegir la o las incógnitas o variables de nuestra ecuación. 132. 130. Una suma de cuadrados: 123. El doble de un número más 3 141. Traducir toda la información a lenguaje matemático o algebraico. 138. El triple del cuadrado de un 135. 114. diferencia: 128. Un número par: 117. Tres números pares 131. La diferencia entre los 137. El cuadrado de una suma: 121. ¿Cuánto mide el lado? 162. 13) La edad de Pedro excede a la de su amigo Santiago en 4 años y a la de su amigo Juan en 2 años. 8) Si el lado de un cuadrado se duplica. Si se casaron hace 10 años y la edad de la novia era de la edad de la novia. ¿Cuáles son los números? 156. 5) El doble de un número más el triple de su sucesor. DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA 152. 157. 14) La edad de María es el triple de la de Ester y excede en 5 años a la edad de Isabel. Hace 6 años la razón entre sus edades era 2:3:4. 161. su perímetro se triplica. el padre tendrá el doble de la edad del hijo. Calcular la medida del lado del cuadrado. ¿Cuál es el número? 153. Si las edades de Ester e Isabel suman 23 años. 15) Guiso tiene la cuarta parte de la edad de su padre Andrés y el triple de la edad de su hermano David. 10) Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8 unidades. los lados y . 4) Tres números impares consecutivos suman 81. El cubo del doble de un 147. ¿Cuántos años tiene cada uno actualmente? 163. Hallar el número. 7) En el triángulo ABC. número. NM1: PROBLEMAS DE PLANTEO SOBRE ECUACIONES 151. 9) Las dimensiones de un rectángulo están en la razón 3 : 5 y su perímetro es 140 m. ¿Cuál es el número? 155. su perímetro aumenta 40 m. 1) Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por 6 da 55. 150. ¿Cuánto mide cada lado? 159. Hallar la edad de cada una. Si su perímetro es 84 m. 160. 6) La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103. 166. 2) ¿Qué número se debe restar de p+2 para obtener 5? 154. Dentro de 12 años. 12) Las edades de un matrimonio suman 62 años. ¿Cuáles son los números? 158. 149. 11) Un padre tiene 20 años más que su hijo. ¿Qué edad tienen actualmente? 165. si sus edades suman 48 años? . Calcular el largo y en ancho.146. ¿Qué edad tienen actualmente? 164. más el doble del sucesor de éste es 147. ¿Qué edad tiene cada uno. 3) El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. 148. la suma de los cuocientes sea 12. 178. 29) Hallar tres números enteros consecutivos. 173. Hallar la edad actual del padre e hijo. 180. 32) Separa el número 180 en dos partes tales que dividiendo la primera por 11 y la segunda por 27. 24) Hallar dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea 194. 31) La diferencia entre dos números es 38. ¿Cuánto dinero tiene cada uno? 171. 177. 27) Dividir 1080 en dos partes tales que la mayor disminuida en 132 equivalga a la menor aumentada en 100. 21) El numerador de una fracción excede en dos unidades al denominador. 22) Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 103. 28) Dividir 85 en dos partes tales que el triple de la parte menor equivalga al doble de la mayor. 181. La mayor tiene 20 años más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Si se divide el mayor de los números por el menor. los tres quedarían con igual cantidad. En 10 años más tendrá sólo el doble. Hallar los números. ¿Cuánto cuesta cada material? 170. Hallar los números. tales que el doble del menor más el triple del mediano. la cola a un cuarto del peso y el resto del cuerpo pesa 4 kg. 19) Hernán tiene el doble de dinero que Gladis y el triple que María. Hallar las edades respectivas.167. más $ 8. 184. 600 gramos. 20) Una persona puede pintar una muralla en 5 horas. otra lo hace en 6 horas y una tercera persona tarda 12 horas en pintar la misma muralla. 16) Hace 6 años un padre tenía el cuádruplo de la edad de su hijo. 183. más $ 20 y cada lápiz cuesta el doble de cada goma. Si al numerador se le suma 3. 17) Un padre tiene 52 años y su hijo 16. ¿Hace cuántos años el hijo tenía la séptima parte de la edad del padre? 169. 179. 26) La suma de las edades de tres personas es 88 años. Hallar la fracción.900. la fracción queda equivalente a . 23) Tres números enteros consecutivos suman 204. más el cuádruple del mayor equivalgan a 740. ¿Cuánto pesa el pez? 182. 174. Si cada cuaderno cuesta el triple de cada goma. Determina los números. 25) La suma de tres números impares consecutivos es 99. 168. 176. el cuociente es 2 y queda un resto de 8. 175. 32 cuadernos y 24 gomas de borrar y se cancela por ello $ 16. Si Hernán regalara $ 14 a Gladys y $ 35 a María. 30) La cabeza de un pez corresponde al tercio de su peso total. 18) Se compran 25 lápices. ¿Cuánto tardarían si la pintaran entre las tres? 172. 33) ¿Qué número debe sumarse al numerador y al denominador de la fracción y simultáneamente restarse del numerador y del denominador de para que las fracciones resultantes sean equivalentes? . 34) Un trozo de alambre de 28 cm. de papas. Problemas: 193. ascendiendo el total de la cuenta a 144 monedas. la cuarta parte estudia Física. eligió a su consorte entre tres pretendientes. Se pregunta cuántos hombres y cuántas mujeres son” 190. si uno de los lados del ángulo formado mide 12 cm. ¿Cuántos metros 5 . 35) Al preguntársele a Pitágoras por el número de sus alumnos. 6. Calcula los precios respectivos. y un abrigo en $ 5. Si entre los dos suman 48 años. Después de caminar 1500 m me queda para llegar al colegio tiene el trayecto? 3 del camino. si con esto el canasto se vació. la séptima parte aprende Filosofía y aparte de éstos hay tres niños muy chicos” ¿Puedes deducir cuántos alumnos tenía el famoso matemático griego? 187. Determina la distancia entre ambos extremos del alambre. ¿Cuánto vale el ordenador si me faltan sólo 318€ para 3 comprarlo? 198. Determinar tres números consecutivos que suman 444.050. 38) En un tratado del álgebra escrito por el célebre matemático Leonhard Euler. Tengo 2 de lo que vale un ordenador. sabiendo que es $ 14 más caro que el kilo de papas? 188. 191. 2. ¿Cuántos niños asistieron a la función? 189. y $ 25.185. La recaudación arrojó un resultado de 280 asistentes y fue de $ 14. publicado en 1770 aparece el siguiente problema: “En una hostería se alojan 20 personas entre hombres y mujeres. una dueña de casa pagó $ 119. de tomates y 4 Kg. para el segundo la mitad de lo que quedó y una ciruela más y para el tercero la mitad de lo que entonces quedaba y tres ciruelas más. 36) Al comprar 3 Kg. y el abrigo. planteándoles el siguiente problema: ¿cuántas ciruelas contenía un canasto del cual ella sacó la mitad del contenido y una ciruela más para el primer pretendiente. 194. la reina Libussa de Bohemia. una falda. del mismo valor. 5. 186. dio la siguiente respuesta: “La mitad de mis alumnos estudia Matemática. Un padre tiene 3 veces la edad de la hija. de largo se ha doblado en forma de ángulo recto. 3. ¿Cuánto vale el kilo de tomates. ¿Puedes calcularlo tú? 192. 39) Silvia compra un pañuelo. 4. Cada hombre paga 8 monedas por su hospedaje y cada mujer 7. niños. adultos. 197. 37) La entrada para una función de teatro al aire libre vale $ 60. 40) Se cuenta que la legendaria fundadora de Praga. el triple de la falda.000. ¿qué edad tiene cada una? 195. si la falda vale 25 veces más que el pañuelo. Si entre los dos suman 73 años. ¿qué edad tiene cada uno? 196. Juana tiene 5 años más que Amparo. 20. 215. Dos obreros hacen un trabajo en 3 horas. Calcular el tiempo que tardarán en llenarla juntos. otro en 30 horas. Un padre tiene 42 años y sus hijos 7 y 5. Un pastor vende5 de las ovejas que tiene. ¿Cuántas ovejas tenía en un principio? 200. y el tercero en 20 horas. Mi padre tiene 6 años más que mi madre. si dentro de 9 años la suma de sus edades será 84 años? 203. . Una bicicleta sale de una ciudad con una velocidad de 25 km/h.199. La suma de tres números impares consecutivos es igual al doble del menor más 1. 14. 211. De los tres conductos que afluyen en una balsa. 209. ¿Cuánto tiempo tardará el coche en alcanzar a la bicicleta? 204. resulta 4 de cociente y 71 de resto.85€.000€ de beneficios. si el primero tiene que recibir 3 veces más que el segundo y el tercero dos veces más que el primero? 202. Determinar los números. 18. ¿Cuánto le tocará a cada uno. 7. 13. La diferencia entre dos números es 656. 212. 9. 19. 207. Determinar un número que sumado con su mitad y su tercera parte de 55. Un día compre 5 libretas y 8 bolígrafos y pagué 24€. 8. Determinar los números. 3 horas más tarde sale un coche a la velocidad de 120 km/h. ¿Cuánto pagaré otro día por 2 libretas y 3 bolígrafos? 213. 210. Determinar el tiempo que tardaría el otro solo. Al día siguiente compré 8 libretas y 5 bolígrafos y pagué 20. 10. 16. 206. ¿Qué edad tiene cada uno. 208. Encuentra dos números de forma que su diferencia sea 120 y el menor sea la quinta parte del mayor. Uno de ellos solo lo haría en 4 horas. uno la llena en 36 horas. 11. Determinar un número de dos cifras sabiendo que la suma de las cifras es 6 y que la diferencia entre este número y el que resulta de invertir el orden de las cifras es 18. 15. 17. ¿Cuántos años tienen que pasar para que la edad del padre sea igual que la suma de las edades de los hijos? 214. ¿Qué número tengo que sumar a los dos términos de la fracción 15 para que se convierta135 en 2 ?7 205. Después compra 60 y así tendrá el doble de las7 que tenía antes de la venta. Tres socios tienen que repartirse 3. Dividiendo el mayor entre el menor. 12. 201. Al comprar una camisa he pagado 27. 24. Calcula la edad de cada uno si entre los tres suman 58 años. Después de comprar las dos el mismo libro a Rosa le queda las 5/6 partes de lo que le queda a Juan. 23. 25. ¿Cuántas naranjas habrá en cada caja? 221. nos quedan todavía 50. 218. ¿Cuál es el precio del libro? 226. 220. 219. Juan tiene 400€ y Rosa tiene 350€. . Después de gastar las 4/7 partes de un depósito quedan 78 litros. Si de los tres quintos de los libros que tiene Juan le quitamos la mitad de los mismos. ¿Cuánto costaba la camisa antes de las rebajas? 225. Necesitamos repartir 27 naranjas en dos cajas de forma que en la primera haya 3 más que en la segunda. ¿Cuántos libros tiene Juan? 217. 227.216.59€. Ernesto tiene 3 años más que Mercedes y esta tiene 5 más que Luis. ¿Cuál es la capacidad del depósito? 223. 21. 224. 22. 26. 222. Si me han rebajado un 15%.