Semana de la Ciencia 2014¿Dónde? “Ecuaciones diofánticas” Tenemos el siguiente problema: Un hombre va a una tienda de ropa y compra 12 trajes, unos negros y otros grises, por 1200 €. Si los trajes negros valen 30 € más que los grises y ha comprado el mínimo posible de estos últimos, ¿cuántos trajes ha comprado de cada color? Vamos a plantearlo: x: 12-x: Número de trajes negros Número de trajes grises y: y+30: Precio de un traje gris Precio de un traje negro La ecuación queda: x(y+30)+(12-x)y=1200 Operando nos queda la siguiente ecuación: 30x + 12y = 1200 Nos ha quedado una única ecuación lineal con dos incógnitas. ¿Nos faltan datos? No. Podemos resolverla. Buscamos soluciones enteras, en este caso, positivas. ¿Dónde? En Z. ¡Bienvenidos al maravilloso mundo de las ecuaciones diofánticas! Semana de la Ciencia 2014 “Ecuaciones diofánticas lineales” Teorema a, b, c ∈ Z ax+by=c tiene solución entera si y sólo si mcd(a,b) / c Por ejemplo, la ecuación 4x + 10y = 3 no tiene solución entera y en cambio la ecuación 2x + 5y = 1 sí tiene solución entera que, en este caso, resulta bastante fácil de encontrar, x = 3 e y = -1 … aunque hay más. algoritmo. (Quizá del lat. tardío *algobarismus, y este abrev. del ár. clás. ḥisābu lḡubār 'cálculo mediante cifras arábigas'). 1. m. Conjunto ordenado y finito de operaciones que permite hallar la solución de un problema. Semana de la Ciencia 2014 “Algoritmo de Euclides” El algoritmo de Euclides sirve para hallar el máximo común divisor de dos números enteros Ejercicio: Halla el mcd(12378,3054) utilizando el algoritmo de Euclides 12378 3054 4 162 138 24 18 6 18 1 5 1 3 Por tanto, mcd(12378,3054) = 6 0 Semana de la Ciencia 2014 “Ecuaciones diofánticas lineales” Resolución 12378 3054 4 162 138 24 18 6 18 1 5 1 3 0 Ejercicio: Resuelve la ecuación diofántica 12378x + 3054y = 6 6 = 24 - 1·18 = 24 - (138 - 5·24) = 6·24 - 138 = 6·(162 - 1·138) - 138 = = 6·162 - 7·138 = 6·162 - 7·(3.054 - 18·162) = 132·162 - 7·3.054 = = 132·(12.378 - 4·3.054) - 7·3.054 = 132·12.378 - 535·3.054 = = 132·12.378 + (-535)·3.054 Luego x= 132 e y = -535 Semana de la Ciencia 2014 “Ecuaciones diofánticas lineales” Resolución Resolvemos la ecuación 30x + 12y = 1200 30 12 6 2 2 0 Luego mcd(30,12) = 6 que divide a 1200, por tanto tiene solución entera. 6 = 30 - 2·12 Multiplicamos ambos miembros por 200: 1200 = 200·30 – 400·12 = 200·30 + (-400)·12 Luego x= 200 e y = -400 ¡Buscamos soluciones positivas! ¿Hay más soluciones? Semana de la Ciencia 2014 “Ecuaciones diofánticas lineales” Teorema a, b, c ∈ Z Si ax+by=c tiene una solución entera (x0,y0) entonces tiene infinitas soluciones que son de la forma: con t ∈ Z y d = mcd(a,b) Solución de la ecuación 30x + 12y = 1200: x = 200 + 2t e y = – 400 – 5t con t ∈ Z Aplicando las condiciones del enunciado t = -95 Por tanto, ha comprado 2 trajes grises y 10 trajes negros. Semana de la Ciencia 2014 “Ecuaciones diofánticas no lineales” 2 x + 2 y = 2 z Las soluciones enteras de esta ecuación se conocen como ternas pitagóricas que ya eran conocidas en Mesopotamia (tablilla Plimpton 322, 1900 a.C.) y en Grecia. ( p2 - q 2 )2 + ( 2 p q ) 2 = ( p 2 + q 2 ) 2 (n(p2 - q2 ))2 + ( 2 n p q )2 = (n( p2 + q2 ))2 Por ejemplo: (3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (9,40,41) (11,60,61) (15,8,17) (15,112,113) (21,20,28) Semana de la Ciencia 2014 “Ecuaciones diofánticas no lineales” Teorema de Fermat – Wiles (último teorema de Fermat) La ecuación diofántica xn + yn = zn con n > 2 no tiene solución Fermat aseguró tener la demostración pero anotó la siguiente frase en el margen de una página del libro “Aritmética” de Diofanto: “Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet” Andrew Wiles anunció en junio de 1993 que había logrado demostrar la conjetura de Shimura Taniyama, lo cual implicaría la demostración completa del último teorema de Fermat. Pero en diciembre tuvo que admitir un error encontrado en su demostración. Corregir ese error, con ayuda de otro matemático, Richard Taylor, que era alumno suyo, le llevó algo más de un año de trabajo. Finalmente, en septiembre de 1994, el último teorema de Fermat quedó demostrado.