http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursoslinea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap1geo/node15.html |Instituto Tecnológico de Costa Rica|Escuela de Matemática| M. Sc. Geovanni Figueroa M. ECUACIONES DIFERENCIALES Introducción Muchas de las leyes de la naturaleza, en física, química o astronomía, encuentran su expresión más natural en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales. Son asimismo abundantes en la propia matemática, especialmente en la geometría. Es fácil comprender la razón que se oculta tras la amplia gama de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Recuerde que si es una función, su derivada se puede interpretar como la razón de cambio de con respecto a . En cualquier proceso natural, las variables involucradas y sus razones de cambio están relacionadas entre sí por medio de los principios científicos básicos que gobiernan dicho proceso. Al expresar tal conexión en el lenguaje matemático, el resultado es con frecuencia una ecuación diferencial ([2]). El siguiente ejemplo ilustra lo anterior. Por la segunda ley de Newton, la aceleración de un cuerpo de masa es proporcional a la fuerza total , que actúa sobre él con o sea, como constante de proporcionalidad, de modo que , (1.1) Supongamos, por ejemplo, que un cuerpo de masa cae bajo la sola influencia , donde es de la gravedad. En tal caso la única fuerza que actúa sobre él es la aceleración de la gravedad 1.1. Si es la altura medida hacia abajo desde una es la razón de cambio cierta posición prefijada, entonces su velocidad es de su posición. Por otro lado su aceleración es la razón de cambio de la velocidad. Con esta notación, ecuación 1.1 se convierte en (1.2) Si alteramos la situación, admitiendo que el aire ejerce una fuerza de resistencia proporcional a la velocidad, como se muestra en la figura 1 , la fuerza total que actúa sobre el cuerpo es y la ecuación 1.1 se reduce a (1.3) Las ecuaciones diferenciales 1.2 y 1.3 expresan las características esenciales de los procesos físicos considerados. Figura 1 ¿ Qué es una ecuación diferencial ? Definición [Ecuación Diferencial] Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria , por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial . La frase de manera no trivial que hemos usado en la definición anterior tiene como propósito descartar ecuaciones diferenciales que satisfacen la definición, pero son realmente identidades, es decir, son siempre verdaderas sin importar quién sea la función desconocida. Un ejemplo de tal tipo de ecuaciones es: Esta ecuación es satisfecha por cualquier función en una variable que sea derivable. Otro ejemplo es Es claro que lo que está detrás de esta ecuación es la fórmula notable ; por lo que la ecuación es satisfecha por cualquier función derivable. Nuestra atención se centrará sobre ecuaciones diferenciales ordinarias . Una ecuación diferencial ordinaria es aquella que tiene a como variable dependiente y a como variable independiente se acostumbra expresar en la forma (1.4) para algún entero positivo . Si podemos despejar de esta ecuación la derivada más alta, obtenemos una o más ecuaciones de orden de la forma Ejemplo La ecuación es equivalente a las dos ecuaciones diferenciales como ya vimos. como podría pensarse. con .Las ecuaciones diferenciales se clasifican en varias categorías. o según su linealidad u orden.5) donde los coeficientes para son funciones reales. según su tipo en ordinarias y parciales. Definición [ Orden de una ecuación diferencial] El orden de una ecuación diferencial es igual al de la derivada de más alto orden que aparece de manera no trivial en la ecuación. la frase de manera no trivial tiene el fin de evitar situaciones como la siguiente cuyo orden es uno y no tres. Una ecuación diferencial ordinaria que no se pueda expresar de esta forma es no lineal. Definición [Ecuación Diferencial lineal] Una ecuación diferencial ordinaria de orden de la forma es lineal si se puede escribir (1. De nuevo. como veremos. . Por otro lado. Ejemplo La ecuación diferencial es de primer orden. decimos que es con coeficientes variables. Todos estos tipo se ecuaciones diferenciales serán estudiados posteriormente con más detalle.5 es lineal con coeficientes constantes si las funciones son constantes para toda . en caso contrario. Ejemplo La ecuación . La variable representa el nivel de habilidad del individuo como una función del tiempo . si la función es nula decimos que la ecuación diferencial ordinaria lineal es homogénea y en caso contrario no homogénea. Las constantes y dependen del individuo considerado y de la naturaleza de la tarea que se este aprendiendo. Esta ecuación surge en sicología y representa un modelo del aprendizaje.Algunas veces decimos que la ecuación 1. no lineal y no homogénea. al cual se aplica una fuerza electromotriz . no lineal y no homogénea. La ecuación es de segundo orden. Ejemplo La ecuación es de orden 3. un resistor y un capacitor . El concepto de orden también se extiende a las ecuaciones parciales como se muestra en el siguiente ejemplo. lineal con coeficientes constantes y homogénea. . La ecuación es de primer orden. lineal con coeficientes constantes y no homogénea.es de segundo orden. lineal con coeficientes variables y no homogénea. Esta ecuación diferencial surge en el estudio de circuitos eléctricos que consisten de un inductor . La ecuación y de segundo se conoce como la ecuación de Laplace y es de segundo orden en La ecuación e . las ecuaciones diferenciales parciales aparecen en problemas relacionados con campos eléctricos. . En general. dinámica de fluidos. Las ecuaciones de Laplace. y .Ejemplo La ecuación se conoce como la ecuación de calor y es de primer orden en orden en . de calor y de onda poseen un importante significado en física teórica y su estudio ha estimulado el desarrollo de muchas ideas matemáticas relevantes. se conoce como la ecuación de onda y segundo orden en . junto con el campo o área en la cual surgen. 7. 6. 1. 8. proporcione el orden e indique las variables independientes y las dependientes. (problema de braquistocrona. epidemiología y economía) (aerodinámica y análisis de esfuerzos) (conductividad térmica) (Ecuación de Poisson) (flujo de un líquido que sale a través de un (Vibración mecánica. Clasifique cada una de ellas como ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales. sismología) 2. 5.difusión y movimiento ondulatorio. 9. Ejercicios A continuación se presenta una lista de algunas ecuaciones diferenciales. cálculo de variaciones) (Deflexion de vigas) (Fisión nuclear) (curva logística. 4. lineal o no lineal. recipiente) 3. circuitos eléctricos y SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL Definición [ Solucion de una ecuación diferencial] . Su teoría es muy diferente de la de las ecuaciones diferenciales ordinarias y notablemente más difícil en casi todas sus facetas. obtenemos que es solución de la ecuación diferencial ordinaria Derivando la función Ejemplo La función toda . y sustituyendo obtenemos que es solución de la ecuación diferencial para Derivando la función .Decimos que intervalo si es una solución de la ecuación diferencial 1. es una función definida en algún intervalo que al sustituirla en la ecuación la transforma en una identidad para todo . Es decir. en el para toda . una solución.4. Ejemplo La función para toda . Ejemplo La función parcial es solución de la ecuación diferencial en todo . Calculando las derivadas parciales Al sustituir obtenemos una igualdad . Ejemplo La función es una solución de la ecuación . pues el lado derecho es negativo y el lado izquierdo positivo. obtenemos Derivando implícitamente de nuevo. De aquí en adelante vamos a suponer que las soluciones que buscamos son reales y que el intervalo es el adecuado que permita que la solución tenga sentido.Recuerde que no toda ecuación diferencial que se nos ocurra tiene solución. para la ecuación diferencial no existe una función real derivable que la satisfaga. Derivando implícitamente con respecto a . para calcular la segunda derivada . por ejemplo. Sustituyendo Ejemplo La función .Hasta este momento hemos visto ejemplos en los cuales la solucióón esta dada en formas explícita o implícita. Ejemplo La curva dada en forma paramétrica por es solución de la ecuación diferencial Calculemos . En los siguientes ejemplos se muestran situaciones un tanto diferentes. Ejemplo La familia de curvas ecuación diferencial que y . mientras son soluciones particulares. es la solución general de la .2 Sustituyendo Si la solución de una ecuación diferencial de orden tiene constantes diferentes.es solución de la ecuación diferencial Observe que para calcular . Si asignamos valores a algunas o todas esas constantes obtenemos lo que se conoce como una solución particular . debemos usar el teorema fundamental del cálculo1. diremos que dicha solución es la solución general de la ecuación diferencial . Algunas veces. Ejemplo La familia de parábolas diferencial Derivando implícitamente . . a una solución de una ecuación diferencial se le llama integral de la ecuación y a su gráfica curva integral o curva solución. Esto quiere decir que una ecuación diferencial tiene una cantidad infinita de soluciones que corresponden a la elección ilimitada de esos paramétros. es la solución general de la ecuación Sustituyendo En la figura 2 se muestran algunas curvas solución. Como la solución general de una ecuación diferencial de orden tiene constantes se acostumbra llamarlafamilia n-paramétrica de soluciones y se denota por . 9. Compruebe si expresión dada es solución de la ecuación diferencial. .Figura 2 Ejercicios 1. 6. 4. 3. 2. con y son constantes. Donde sea adecuado suponga que 1. 7. 8. 5. 10. 11. Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales encuentre el valor o valores de de forma tal que diferencial dada. 2. Ejemplo La familia de rectas . . 3. no es una solución particular. 1. Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales encuentre el valor o valores de de forma tal que diferencial dada.2. es decir. La parábola es la solución general de la ecuación diferencial es una solución singular. En la figura 3 se muestra la solución singular y varias soluciones particulares. sea una solución de la ecuación sea una solución de la ecuación SOLUCIONES SINGULARES Definición [ Solucion singular de una ecuación diferencial] Una solución de una ecuación diferencial se llama singular si no se puede obtener de la solución general al sustituir las constantes por valores. No es difícil comprobar que ambas son solución de la ecuación diferencial dada. 1. 3. 2. como parábola es la envolvente de la familia de rectas se indica en la siguiente definición. de la envolvente de la familia. o el total. Definición [Envolvente] Cualquier curva tangente a un número infinito de miembros de una familia infinita de curvas. . es una parte. cuando sucede esto decimos que la .Figura 3 Observe que la parábola es tangente en cada uno de sus puntos a una curva de la familia de rectas . y que por lo menos es tangente en cada uno de sus puntos a una de dichas curvas. La envolvente de una familia de curvas satisface el sistema lo cual nos permite hallarla. En lafigura 5 se muestran las soluciones singulares y varias soluciones particulares. Al sustituir en la ecuación de la familia obtenemos que la envolvente está formada por las rectas . . Las rectas son la envolvente de la familia de parábolas . Figura 4 Ejemplo La familia de parábolas diferencial es la solución general de la ecuación y las rectas son soluciones singulares. La envolvente y algunos miembros de la familia se muestran en la figura 4.Ejemplo Para hallar la envolvente de la familia de circunferencias resolvemos el sistema . Fácilmente se comprueba que ambas son soluciones de ecuación diferencial. obteniendo que . . Discuta la relación entre estas soluciones. 4. Compruebe que si soluciones e . Dibuje en un mismo sistema de coordenadas la solución singular y algunas soluciones particulares. Dibuje en un mismo sistema de coordenadas la solución singular y algunas soluciones particulares. 2. Compruebe que la familia de rectas diferencial es solución de la ecuación de forma . donde tiene soluciones tiene . Compruebe que la familia de curvas es solución de la ecuación diferencial . Discuta los casos y . Compruebe que la familia de rectas ecuación diferencial es solución de la .Figura 5 Ejercicios 1. Examine los casos especiales . Demuestre que el círculo es una solución singular de la ecuación diferencial dada. 3. Determine una solución singular para la ecuación diferencial. Determine un valor de que sea una solución singular de la ecuación diferencial dada. Dibuje en un mismo sistema de coordenadas la solución singular y algunas soluciones particulares. Existen otras soluciones además de las dadas. la idea básica veces la ecuación de la a partir del cual podemos obtener la ecuación diferencial buscada.ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UNA FAMILIA DE CURVAS En esta sección discutimos un poco acerca del proceso inverso que nos ocupará a lo largo del curso.6) Derivando dos veces la ecuación de la familia (1. obtenemos . ahora trataremos de determinar una ecuación diferencial cuya solución general sea una familia de curvas dada. la cual es una familia de curvas . Recuerde que nuestro objetivo principal es determinar la solución general de una ecuación diferencial.6). Ejemplo Determine una ecuación diferencial cuya solución general sea la familia de curvas (1. sin embargo. para esto derivamos familia y formamos el siguiente sistema . Dada una familia de curvas -paramétrica es eliminar las constantes . sería una solución de la ecuación diferencial de cuarto orden .Y observe que es la ecuación diferencial buscada. Observación Dada una familia de curvas -paramétrica. La familia de círculos se muestra en la figura 6. Observe que por estar centrados sobre la recta los círculos también deben ser tangentes al eje . pero por supuesto que esta no es la solución general de la ecuación diferencial. por lo general es fácil obtener una ecuación diferencial de orden mayor que tenga a ésta familia como solución. . Por ejemplo. como muestran los siguientes ejemplos. Algunas veces la familia de curvas se nos presenta en forma de un enunciado a partir del cual debemos obtener la ecuación. Ejemplo Encontrar una ecuación diferencial cuya solución general sea la familia de círculos con centros sobre la recta y tangentes al eje . 7) Desarrollando las fórmulas notables obtenemos Derivando implícitamente con respecto a (1. la ecuación de la (1.8) .Figura 6 Como los círculos están centrados en familia sería y tienen radio . 7obtenemos la ecuación diferencial buscada Ejemplo Encontrar una ecuación diferencial cuya solución general sea la familia de círculos con radio 1 y centro en .10) y sustituyéndolo en la ecuación de la familia (1.8 y sustituyéndolo en el ecuación de la familia 1. y radio 1 es La ecuación de la familia de círculos con centro en (1.10) Despejando el término de la ecuación (1.Despejando de la ecuación 1.9) Derivando implícitamente respecto a (1.9) obtenemos . Encuentre una ecuación diferencial cuya solución general sea la familia de curvas dada. despejemos el De donde.11) Observe que el lado derecho de la ecuación (1. 1. 2. Para eliminar la constante .la cual no contiene a constante término . Ejercicios 1. 5. 6. derivando implícitamente y simplificando obtenemos la ecuación diferencial deseada (1.11) es la fórmula de curvatura y efectivamente la curvatura de los círculos es 1. . 4. 3. 5. 4. 3. Encuentre una ecuación diferencial cuya solución general sea la familia de parábolas que pasan por el origen con el eje como su eje común.2. donde y son constantes arbitrarias. ¿ Clasificaría usted esta solución como una solución general de la ecuación diferencial ? PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y DE FRONTERA En la mayoría de las aplicaciones estamos interesados no en la solución general de una ecuación diferencial. sino en una solución particular que satisfaga ciertas condiciones dadas. Es decir Ejemplo . Encuentre una ecuación diferencial cuya solución general sea la familia de círculos centrados en el origen y de radio . Definición [ Problema de valor inicial] Un problema de valor inicial o de Cauchy consta de una ecuación diferencial de orden y de condiciones iniciales impuestas a la función desconocida y a sus Es decir primeras derivadas en un valor de la variable independiente. Encuentre una ecuación diferencial de tercer orden que tenga como solución . Encuentre una ecuación diferencial cuya solución general sea la familia de elipses con centro en el origen y ejes sobre los ejes coordenados. Esto da origen a los problemas de valor inicial o de frontera. Una partícula se mueve a lo largo del eje está dada por de manera tal que su aceleración . suponiendo que inicialmente y está viajando a una velocidad de . Encuentre la en cualquier tiempo posición de la partícula en cualquier tiempo . De donde el problema de valor inicial sería Integrando con respecto a obtenemos y usando la condición podemos hallar que velocidad en cualquier tiempo sería . con lo cual la Integrando de nuevo . la partícula está localizada en Recuerde que la primera derivada de la posición nos da la velocidad y la segunda derivada la aceleración. ¿ Hallar el miembro de esta familia que pasa El problema de valor inicial asociado es .y usando la condición podemos determinar que posición de la partícula en cualquier tiempo y obtener la En la figura 7 se muestra la gráfica de la posición de la partícula versus tiempo. Figura 7 Ejemplo Una familia de curvas tiene la propiedad de que la pendiente de la recta tangente en el punto por el punto está dada por ? . Figura 8 Definición [ Problema de valor frontera] Un problema de valores en la frontera o de Dirichlet consta de una ecuación diferencial ordinaria de orden y de condiciones de frontera impuestas sobre la función desconocida en valores de la variable independiente.Para resolver la ecuación diferencial debemos separar variables e integrar Y usando la condición inicial curva buscada es obtenemos que . . la cual se muestra en la figura 8. con lo cual la .Es decir . El problema de valores de frontera asociado es Integrando dos veces obtenemos que la posición de la partícula está dada por Evaluando las condiciones de frontera obtenemos el siguiente sistema . Encuentre la en cualquier tiempo posición de la partícula en cualquier tiempo .Ejemplo Una partícula se mueve a lo largo del eje está dada por de manera tal que su aceleración . suponiendo que inicialmente la partícula está localizada en y en está en . será única ? 3. cabe esperar los mismos resultados. Existencia: ¿Existirá una solución al problema ? 2. la existencia y unicidad de la solución es de suma importancia. siempre y cuando el modelo sea determinístico. pues. Y así la posición de la partícula en cualquier tiempo La gráfica de la posición se muestra en la figura 7. Ejemplo Dado el problema de valor inicial . Por lo tanto. al considerar un problema de valor inicial es natural preguntarse por: 1. debido a que físicamente algo debe suceder. Determinación: ¿En caso de que exista solución. como la determinamos ? En ésta sección nos ocuparemos de las dos primeras interrogantes: existencia y unicidad y dejamos la determinación de solución para el próximo capítulo. EXISTENCIA Y UNICIDAD Cuando un problema de valor inicial modela matemáticamente una situación física.de donde está dada por y . Por otra parte. pues si repetimos el experimento en condiciones idénticas. Unicidad: ¿En caso de que exista solución. se supone que la solución sea única. con seguridad se espera tener una solución. Si y son y . con lo cual la . En conclusión. entonces existe un intervalo abierto . Teorema Sea continuas en una función tal que . pues separando variables e Y usando la condición inicial solución sería obtenemos que . en este caso una solución singular. Observe que al resolver la ecuación diferencial dividimos por lo cual supone que . el problema de valor inicial dado tiene solución pero no es única. el siguiente teorema nos da una respuesta parcial.no resulta difícil comprobar que integrando obtenemos que es solución. centrado en definida en . pero podemos verificar que es solución. como poder predecir este comportamiento sin tener que resolverlo. que satisface el problema de valor inicial . que tenga solución única o varias soluciones. es decir. las cuales son .Ejemplo: En el ejemplo anterior tenemos que continual en el semiplano definido por garantiza que para cada punto con y . Así por ejemplo. por consiguiente. Ejemplo: Hallar los valores de y para los cuales el teorema de existencia y unicidad garantiza que el problema de valor inicial tiene solución única. como sucedió en el ejemplo anterior. . el teorema de ese semiplano. sin resolverlo sabemos que el problema de valor inicial tiene solución única. podría suceder cualquier cosa: que no tenga solución. hay un intervalo centrado en en el cual la ecuación diferencial tiene una solución única. mientras que para los problemas en donde el teorema no garantiza nada. Determine una región del plano para la cual la ecuación diferencial tenga solución única en el punto . 3. 3. 2. Ejercicios 1.Como la derivada parcial punto conjunto donde y son continua en todo . Determine los valores de y de forma que el problema de valor inicial . Por lo tanto el hecho de que no se cumplan las hipótesis no nos permite concluir nada. El teorema de existencia y unicidad nos da una condición suficiente. Discuta sobre la relación de estas soluciones con el teorema de existencia y unicidad. Muestre que y son soluciones de la ecuación diferencial . quizás. Use el teorema de existencia y unicidad para determinar si existen soluciones únicas para cada uno de los siguientes problemas de valores iniciales 1. aunque el teorema nos asegure la existencia no nos garantiza que exista un método para llegar a ella. 2. 4. 4. Por otro lado. el teorema garantiza que existe una solución en el . lo mejor que podamos hacer sea aproximarla. 12) Observe en la figura 9 que la pendiente de la recta tangente a la curva está dada por secante y es aproximadamente igual a la pendiente de la recta (1. Suponga que se desea aproximar la solución del problema de valor inicial (1. o de las rectas tangentes.5.13) . ¿ Que dice el teorema de existencia unicidad respecto a la solución del problema de valor inicial MÉTODO DE EULER Una de las técnicas más simples para aproximar soluciones de una ecuación diferencial es el método de Euler. siempre y cuando sea pequeño. De esta forma generamos la sucesión de los cuales es de esperar que se encuentren cercanos a los puntos Figura 9 . De aquí obtenemos que Con lo cual podemos usar el punto punto puntos: para construir el siguiente y así sucesivamente. 13 en la ecuación diferencial del problema de valor inicial 1.Al sustituir el valor aproximado de la derivada 1. Veamos el siguiente ejemplo Ejemplo Una resistencia de 5 generador de corriente en el instante y un inductor de 1 Henrio se conectan en serie con un voltios.12 obtenemos el método de Euler SOLUCIÓN NUMÉRICA Para facilitar el trabajo y evitar la tarea de programación del método. podemos usar una hoja de cálculo como Microsoft Excel (en Windows) o Gnumeric (en Linux).14) Fácilmente podemos comprobar que su solución general esta dada por a . Si la corriente es 0 en segundos ? . ¿ calcule la la Usando las ley de Kirchhoff modelamos la situación anterior con el siguiente problema de valor inicial (1. . con lo cual es aproximandamente igual . Ahora coloquemos los valores iniciales en la celda correspondiente En la celda A2 escribimos el valor inicial del tiempo. . es decir. En la celda B3 escribimos la fórmula que construirá la sucesión de valores para . digamos 0. es decir. =B2 + C$2*(10*Cos(5*A2) . dada por el método de Euler. En la celda B2 escribimos el valor inicial de la corriente.Ahora vamos usar una hoja de cálculo y el método de Euler para aproximar la solución del problema de valor inicial anterior.5*B2) y la arrastramos hasta alcanzar el valor de en la columna A(el signo de dólares $ se usa para evitar que el valor se actualize conforme arrastramos la celda). en nuestro caso 0. En la celda A3 escribimos la fórmula que construirá los valores de . 0 En la celda C2 escribimos el valor de . es decir.01. Una vez generados los valores para las columnas A y B podemos observar que que es similar al valor real ya encontrado ( ) . En la figura 10 se muestra este proceso junto con una gráfica de la solución aproximada obtenida a partir de las columnas A y B y en el mismo sistema de coordenadas la gráfica de la solución exacta . La celda C representará el paso de avance . =A2 + C$2 y arrastramos ésta celda hasta alcanzar el valor de . Primero pongamonos de acuerdo con los contenidos de cada columna La columna A representará el tiempo . La columna B representará la aproximación de la corriente . c.14) . y0.b. El siguiente código muestra una función implementada para la TI92que calcula el valor aproximado de euler(a. While x0 < c para el problema de valor inicial anterior (1. pero existen muchas otras opciones que podemos usar.Figura 10 Usar una hoja de cálculo para aproximar la solución de una ecuación diferencial resulta sencillo.h) Func local x0. 0.0.01).y0) -> y0 x0 + h -> x0 EndWhile Return y0 EndFunc Antes de usar la función Euler debemos definir la función .5.y0 + h*f(x0. Al hacerlo obtenemos el valor que está muy cerca de valor real.0. . y para ejecutarla escribimos en la ventana Home: euler(0.
Report "ECUACIONES DIFERENCIALES Instituto Tecnologico de Costa Rica"