Ecuaciones DiferencialesTexto: Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. Novena edición. Cengage Learning Sección 1.1 7. Establezca el orden de la ecuación diferencial ordinaria dada. Determine si la ecuación es lineal o no, comparando con la siguiente ecuación: La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado. Todos los coeficientes están en función de la variable independiente Solución: La anterior ecuación es una ecuación lineal ordinaria de orden 3. 39. construya una ecuación diferencial que no tenga ninguna solución real. Esta ecuación tiene solución imaginaria. Esta ecuación no tiene solución. 40. Construya una ecuación diferencial que usted asegure tenga solo la solución trivial y=0. Explique su razonamiento. y´=y Razonamiento: ; Condición inicial: y(0) = 0 Ln l y l= x + c Y= Y(0)=0 0=c 0=c 0=c Y=0 Y=0 41. ¿Qué función conoce de cálculo tal que su primera derivada sea ella misma? ¿Que su primera derivada sea un múltiplo constante K de ella misma? Escriba cada respuesta en la forma de una ecuación diferencial de primer orden de solución. Y(x)= Y´(x)= Y(x)= Y´(x)= Sección 1.3 5. Una taza de café se enfría de acuerdo con la ley de enfriamiento de newton. Utilice los datos de la gráfica de la temperatura T(t)para estimar las constantes Tm , To y K en un modelo de la forma de un problema con valores iniciales de primer orden: 9. Suponga que un tanque grande de mezclado contiene inicialmente 300 galones de agua en los que se disolvieron 50 libras de sal. Entra agua pura a una razón de 3 gal/ min y cuando la solución está bien revuelta, sale a la misma razón. Determine una ecuación diferencial que exprese la cantidad A (t) de sal que hay en el tanque al tiempo t. ¿cuánto vale A (0)? .X=AGUA A=SAL Xo=300 GALONES Ao=50 Lb CANTIDAD DE AGUA PURA QUE ENTRA---SALIDA SOLUCION----- CANTIDAD QUE ENTRA DE SAL= (0)( ) CANTIDAD QUE SALE DE SAL= . determine una ecuación diferencial para la cantidad de sal A (t) que se encuentra en el tanque en el instante t. y cuando la solución está bien agitada. Otra solución de salmuera se bombea hacia el depósito a razón de 3 galones por minuto. suponga que en un principio un gran depósito de mezclado contiene 300 galones de agua en la que se han disuelto 50 libras de sal. Flujo de entrada 3 gal/min de solución 2 lb/ gal de concentración 300 gal de agua + 50 lb de sal Flujo de Salida 3 gal/min de solución ¿Cuál es la cantidad de sal (A) en el tanque en un tiempo t? .+ =0 HACIENDO VARIABLES SEPARABLES DT Ln lAl = A(t)= C A(0)=50 lb 10. se bombea hacia afuera sólo 2 galones por minuto. Si la concentración de la solución entrante es 2 libras por galón. está dada por la cantidad de soluto (sal) sobre la cantidad de solvente (agua). y está última varía con el tiempo porque el flujo de salida es menor que el de entrada.SOLUCIÓN: Sabemos que la cantidad de sal (A) que se encuentra en el tanque en un tiempo t. entonces tenemos que: =6Llevando la ecuación a la forme estándar: + =6 . matemáticamente esto es expresado como: = R entrada – R salida Donde la cantidad de sal que entra (R entrada) está dada por: R entrada= 3 *2 =6 Donde el primer término de esta expresión es la velocidad de entrada de la solución. Y la cantidad de sal que sale es: R salida = ( ) (2 )= En esta expresión el primer término es la concentración de sal en el flujo de salida. Retomando tenemos que: = R entrada – R salida =6 - Para resolver está ecuación diferencial. está dado por la cantidad de sal que entra al recipiente y la cantidad de sal que sale de este. y el segundo es la concentración de este flujo. la concentración de esta. la fricción y la contracción de la corriente cerca del agujero reducen el volumen de agua que sale del tanque por segundo a . Cuando el agua sale a través del agujero. donde c es una constante empírica.Entonces: P(x)= = f(x)=6 = (300+ t)2 Factor Integrante: = Extrapolando con la solución estándar encontramos que: A (t) = A (t) = Simplificando: + + dt A (t) = + 2(300+t) 13. Suponga que está saliendo agua de un tanque a través de un agujero circular de área Ao que está en el fondo. tenemos . El radio del agujero es de 2 pulg y Partimos de: En primer lugar podemos obtener el volumen del tanque: Como la altura y el volumen varían con respecto al tiempo. Determine una ecuación diferencial para la altura h del agua al tiempo t para el tanque cubico que se muestra en la figura. VL=L E(t): iR + L E(t):R +L . la inductancia es L y el voltaje aplicado es E(t). un circuito en serie tiene un resistor y un inductor como se muestra en la figura.Pero Sustituyendo Pero como el nivel del agua está disminuyendo concluimos. Caídas de voltaje: VR= iR . Determine la ecuación diferencial para la corriente i(t) si la resistencia es R. 15. Caída libre y resistencia del aire Para movimientos de gran rapidez en el aire. Como la corriente i (t) está relacionada con la carga q (t) en el capacitor mediante . como el de un paracaidista.16. Un circuito en serie de contiene un resistor y un capacitor como se ilustra en la Figura. que está cayendo antes de que se abra el paracaídas la resistencia del aire es cercano a una potencia de la velocidad instantánea v(t). De acuerdo a la segunda ley de kirchhoff el voltaje aplicado E (t) a un circuito cerrado debe ser igual a la suma de las caídas respectivas de voltaje en el circuito. Determine una ecuación diferencial para la carga q (t) en el capacitor se la resistencia es R. si la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea. Caída del resistor Caída capacitor . la capacitancia es C y el voltaje impreso es E (t). . Sumamos: 17. Determine una ecuación diferencial para la velocidad v(t) de un cuerpo de masa m que cae. hacia arriba y hacia abajo. está flotando en agua como se muestra en la figura 1. Use el Principio de Arquímedes: la fuerza de flotación o hacia arriba que ejerce el agua sobre el barril el igual al peso del agua desplazada. que la densidad de masa del agua es 62. a lo largo de la vertical. Después de un hundimiento inicial el barril presenta un movimiento oscilatorio.3. Un barril cilíndrico de s pies de diámetro y w lb de peso. si se supone que el origen está en el eje vertical y en la superficie del agua cuando el barril está en reposo.3. Utilizando la figura 1.4lb/pies3 y que no hay resistencia entre el barril y el agua. defina una ecuación diferencial para establecer el desplazamiento vertical y(t).Kv2 ��� Dirección positiva mg Utilizando la segunda ley de Newton Igualo sumatorias de fuerza 18.16b. Suponga que la dirección hacia abajo es positiva. .16a. Solución.15. Suponga que la dirección hacia abajo es positiva y que el movimiento se efectúa en una recta vertical que pasa por el centro de gravedad de la masa y que las únicas fuerzas son el . sea que X (t) denote la distancia dirigida del punto de equilibrio a la masa. = 32 pies/seg² y w= el peso del barril en libras 19. Después el sistema masa-resorte se pone en movimiento. Después de que se fija una masa M a un resorte. Según el Principio de Arquímedes se tiene: La fuerza ascendente del agua sobre el barril = Peso del agua desplazada = (62.4) =15.6 + s² y =0.4) x (Volumen de agua desplazada) = (62.6 (s/2)2 y s 2y Utilizando la segunda ley de Newton tenemos: = . este se estira S unidades y cuelga en reposo en la posición de equilibrio. Utilicé la ley de Hooke: la fuerza de restauración de un resorte es proporcional a su elongación total. Condición de equilibrio: Mg = k S Aplicando la segunda ley de Newton ∑F = Ma . donde a = Obtenemos Mg – k (x + S ) = M Mg – kx – kS = M Teniendo en cuenta la condición de equilibrio obtenemos la siguiente ecuación Mg – kx – Mg = M . Determine una ecuación diferencial del desplazamiento X (t) al tiempo t.peso de la masa y la fuerza restauradora del resorte estirado. . Homogénea 20. Ordinaria 2.-kx = M + =0 Esta ecuación diferencial representa un movimiento armónico simple. Segunda Ley de Newton y ley de Hooke. Esta es una ecuación diferencial : 1. lineal 4. De orden 2 3. la fuerza de restauración del resorte estirado y una fuerza de amortiguamiento sobre el sistema masa resorte que es proporcional a la velocidad . sea que denote la distancia dirigida del punto de equilibrio de la masa. Suponga que la dirección hacia abajo es positiva y que el movimiento se efectúa en una recta vertical que pasa por el centro de gravedad de la masa y que las fuerzas que actúan sobre el sistema son el peso de la masa. Después el sistema resorte/ masa se pone en movimiento.Después de que se fija una masa a un resorte. éste se estira unidades y cuelga en resorte en la posición de equilibrio como se muestra en la figura. r=R y a=g. la aceleración a es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde el centro de la tierra a=k/r2 donde K es la constante de proporcionalidad. Mas bien. Utilice el hecho de que en la superficie de la tierra. la ecuación diferencial viene ser La ecuación diferencial es: 21. la aceleración de caída libre es a Si donde. De acuerdo con la ley de la gravitación universal de Newton. Segunda ley de newton y la ley de la gravitacion universal. para determinar K. la aceleración de caída libre a de un cuerpo. la ecuación diferencial es: Con una fuerza de amortiguamiento proporcional a la velocidad. que está cayendo desde una gran distancia hacia la superficie no es la constante g. tal como el satélite que se muestra en la figura. Si la dirección positiva se considera hacia arriba. K= Constante de proporcionalidad . Utilice la Ley de Hooke: la fuerza de restauración de un resorte es proporcional a su elongación total. Determine una ecuación diferencial del desplazamiento . utilice la segunda ley de Newton y la ley de la gravitación universal para encontrar. Según la ley de la gravitación universal. una ecuación diferencial para la distancia r. Sin una fuerza de amortiguamiento.instantánea de la masa y actúa en dirección contraria al movimiento. es decir. va en dirección contraria a nuestro eje positivo) Pero como .r= Distancia desde el centro de la tierra Si (En la superficie de la tierra) Para la superficie de la tierra (La dirección vertical hacia arriba es el eje positivo y el contrario sería el negativo) Si Despejando a K 2 Constante de Proporcionalidad en la superficie de la tierra Según la Segunda Ley de Newton F = ma Si la fuerza neta del objeto es igual a la fuerza que ejerce el peso del objeto (La fuerza del peso del objeto es negativa porque el objeto va cayendo. modela la población humana. La ecuación diferencial . En otras palabras. ¿Qué tipo de población piensa que describe esta ecuación diferencial? Solución: Para la solución del ejercicio podemos observar que la ecuación diferencial es de primer orden y de variables separables.2 La Ecuación diferencial para la distancia r es: 31. Modelo de población. P (t). debido a que sus dos variables P (población) y t (tiempo) se pueden factorizar como el producto de una función de t por una función de P así: Separamos las variables: Integramos: . Analice e interprete la solución de esta ecuación. donde k es una constante positiva. de cierta comunidad. P(o)=Po Po: población inicial Aplicamos las C. t=0.I: Gráficamente. el comportamiento de la población que describe esta solución es el siguiente: . la población presente va a ser una población inicial puesto que es necesario partir con una cantidad establecida.1 (Propiedades de exponentes) Haciendo C igual a se obtiene: Condiciones iniciales: En la desarrollo de una dinámica poblacional se supone que para el tiempo en el cual se aplica el modelo (t=0). Crecimiento poblacional: Se sabe que la población de una comunidad crece con una razón proporcional al número de personas presentes en el tiempo t.Análisis e interpretación: Mediante la gráfica podemos observar que la solución de la ecuación diferencial representa a una población con comportamiento periódico.1 1. pero en el momento en que estos comienzan a escacear. ciclos circadianos. Otro tipo de población de seres vivos que describiría sería por ejemplo una población de conejos al acecho de zorros depredadores. Este tipo de comportamiento en los seres vivos describe algunos fenómenos como la actividad del corazón. respiración. gran parte de la población comenzará a sufrir enfermedades hasta el punto en el que algunas personas mueren. ¿En cuántos años se triplicará y cuadruplicará? Solución: Para responder a estas preguntas lo primero que se debe es plantear una ecuación diferencial de crecimiento poblacional como la siguiente: . ya que mientras tengan una cantidad de alimentos suficientes para satisfacer sus necesidades van a encontrarse con buena salud. Un tipo de población que describiría esta ecuación diferencial seria la población que padece de tiempos de hambrunas. mestruación etc cuyas representaciones gráficas son del tipo sinusoidal. es decir que crece y decrece en intervalos de tiempo. Si la población inicial P0 se duplicó en 5 años. Sección 3. = en la cual se sustituye x por P: = P en donde reagrupando términos obtenemos una ecuación diferencial separable de primer orden como se muestra: − =0 Forma estándar de la E. se Sabiendo que la población se duplicó en cinco años se puede despejar K como sigue: P=2Po.D De la cual tenemos P(t)=-k y F(t)=0 donde el Factor integrante para esta ED es: (F. t=5 2Po=Po ln(2)=5k k= La solución de la ecuación diferencial original viene dada por: P(t)= .I): = Obteniéndose una familia uniparamétrica de soluciones: P= C Ahora haciendo uso de las condiciones iniciales t=0 y P puede obtener C Po=C Donde C=P0 P(t)= (0)=Po. Si la razón de decaimiento. t=? 3Po= ln(3)= t= t 7. Después de 6 horas la masa disminuyó 3%.97(100) . determine la cantidad que queda después de 24 horas.c=100mg T=6H-------C=0. es proporcional a la cantidad de la sustancia presente al tiempo t. Ln l c l= kt+c-------------. t=? 4Po= ln(4)= t= t=10 años 7.9 años b) P(t)=4Po . en cualquier momento. Inicialmente había 100 miligramos de una sustancia radiactiva.c(t)= T=0--------.a) P(t)=3Po. C(T)=100 Y T=0 100=C 100= c C(t)=100 97=100 Ln =6k * t K=-5.076* C(t)=100 Si c(t) C=co C(t)=Co T=? C(t)= /Co= Ln( =kt -Ln2=kt T =- . Usamos el hecho de la ecuación (1). Sea la cantidad de C-14 presente en la madera que quedo a través del tiempo. Francia. Sea Ao la muestra de C-14 encontrada en la pieza de madera.5% del C-14.5% de su C-14 encontrado en los arboles vivos del mismo tipo se había desintegrado. encontradas en un lugar para datar pinturas prehistóricas de paredes y techos de una caverna en lascaux. El método se basa en que se sabe que la vida media del C-14 radiactivo es aproximadamente 5600 años.T=T=136. Precise la edad aproximada de una pieza de madera quemada. Como se desintegro el 85. de donde Al reemplazar se obtiene: . si se determino que 85. Se soluciona el problema con valores iniciales. entonces resta un 14. entonces tenemos.5%. Los arqueólogos utilizan piezas de madera quemada o carbón vegetal. (1) Partiendo de Necesitamos hallar el valor de la constante.55 h 11. Si se sabe que 5600 es la vida media del C-14. matemáticamente: αx Para llevar esta expresión a una igualdad es necesario agregar una constante de proporcionalidad. Solución: La cantidad de carbono presente en la tela depende de la cantidad original de este. entonces tenemos: = kx Llevando la ecuación diferencial a la forma estándar: – kx = 0 Donde: P(x)= -k f(x)=0 Factor Integrante: = = . 12. en este caso es la constante de desintegración. Tres laboratorios independientes analizaron la tela y concluyeron que el sudario tenía alrededor de 660 años de antigüedad. una edad consistente con su aparición histórica. En 1988 el Vaticano otorgó el permiso para fecharlo con carbono.Respuesta: la madera hallada en la caverna data de hace 15600 años. es la mortaja de Jesús de Nazareth. que muestra el negativo del cuerpo de un hombre que al parecer fue crucificado. Muchos creen que la Sábana Santa de Turín. Con esta edad determine qué porcentaje de C-14original permanecía en la tela en 1988. tenemos: X (t) = Xo La cantidad inicial de C-14 en la tela era el 100% y el tiempo t=660 años. Trasladando esto a términos matemáticos: = Xoe5600k Simplificando y despejando tenemos que k: K= K=1. reemplazando los datos: .23*10-4 Volviendo a nuestra ecuación y reemplazando el valor de k. El tiempo de vida media es el tiempo necesario para que una determinada sustancia se desintegre hasta la mitad de la cantidad original. para esto conocemos un dato importante. utilizamos la siguiente condición inicial: X (0) = Xo C = Xo La ecuación queda del siguiente modo: X (t) = Xo Para nuestro problema esta será la ecuación que vamos a emplear: Vamos a hallar primero el valor de la constante de desintegración del carbono.Extrapolando de la solución estándar tenemos: X (t)= c Para hallar el valor de C. el tiempo de vida media del carbono es de 5600 años. 20% 14. donde la temperatura del aire es 5° F y después de 5min indica 30° F ¿Cuál era la temperatura inicial de la habitación? t min T °F = K(T . T= +5 0 1 55 5 30 Si t=5 y T=30° 30= 2.Tm) = [ Ln (T-5) = Kt + C ]* e T-5= 1. Un termómetro se lleva de una habitación hasta el ambiente exterior. = +5 Si t=1 y T=55° 55= 50= ( +5 ) .X (t)=100* X (t)= 92. describa con palabras como espera que sea la temperatura T (t) de la sustancia química a corto plazo. La temperatura inicial de la sustancia química en el tubo de ensayo es de 80 °F.1 en la ecuación (2). El baño liquido tiene un temperatura controlada (medida en grados Fahrenheit) dada por . Antes de resolver el PVI. Al tiempo t=0 un tubo de ensayo sellado que contiene una sustancia química está inmerso en un baño liquido.5 +5 18.1733 3 en 2 = = 59.5 T= TO = TO =64. Y a largo plazo. ¿las graficas concuerdan con sus predicciones del inciso a)? Según la ley de enfriamiento de Newton se tiene que: . a) Suponga que k=-0.[ = ]*ln 3.5 +5 * 59. t≥0. K=-0. Use un programa grafico para trazar la grafica de T (t) en diferentes intervalos de tiempo. b) Resuelva el problema con valores iníciales. donde t se mide en minutos. Porque tiende a cero cuando el tiempo aumenta.Separando diferenciales e integrando tenemos: Dado que la Tm está dada por: . por ende la temperatura de la sustancia tiende a 100 para este caso. para t≥0 Podemos concluir la formula de esta manera: a) Para k=-0. Y partiendo del planteamiento anterior de las funciones exponenciales. b) Resolviendo el problema con valores iníciales podemos concluir: .1 la formula queda: Dado que el problema presenta en su desarrollo funciones exponenciales se esperaría que la temperatura a corto plazo varié notablemente. podemos afirmar que la temperatura a largo plazo casi no varía o tiende a estabilizarse. Entonces la ecuación queda: T= Grafica general En el intervalo t=0s a t=40s . Al tiempo del descubrimiento la temperatura del corazón del cadáver se determinó de 85 °F.Grafica en el intervalo t=0 a t=200 19.6 °F. la variación de la temperatura con respecto al tiempo. Determine cuantas horas pasaron antes de que se encontrara el cadáver. =K( ) = 70°F se tiene que: Teniendo en cuenta que la . es directamente proporcional al diferencial de temperaturas (TEMP del medio y TEMP del objeto en estudio) por una constante. Según el modelo de enfriamiento de NEWTON. Suponga que el tiempo de la muerte corresponde a t = 0 y que la temperatura del corazón era en ese momento de 98. Un cadáver se encontró dentro de un cuarto cerrado en una casa donde la temperatura era constante a 70 °F. Una hora después una segunda medición mostro que la temperatura del corazón era de 80 °F. 70 = .6°F .= Resolviendo las integrales: =Kt+C Aplicando T – 70 = → T. tenemos las dos siguientes ecuaciones: → (1) (2) 85= 70 + 28.6 = 70 + 98. entonces T(0)= 98. donde = obtenemos: Así pues: T(t) = 70 + Teniendo en cuenta las condiciones iniciales : T(0) = 98.6 = 1 .6 80 = 70 + 28. se tienes que: Como la temperatura a la hora del descubrimiento T( )= 85°F y una hora después del descubrimiento la temperatura T( +1)= 80°F.6 = 70 + →T(t) = 70 + → . como = 28.6 . 6 horas antes de que se encontrara al cadáver.6 Entonces: = → .6 Entonces.De la ecuación (1) = Aplicando K=Reemplazo K en la ecuación (2): 80 = 70 + 28. pasaron aproximadamente 1. . al aplicar ln obtenemos: → =K y despejando K tenemos que: = → = ≡ 1. Suponga que dos tazas A y B están llenas de café al mismo tiempo. El área superficial del café en la taza B es el doble del área superficial del café en la taza A. Después de 30 minutos la temperatura del café de la taza A es de 100F. Por lo tanto se debe resolver el problema . LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO /CALENTAMIENTO La razón con la que un cuerpo se enfría también depende de su área superficial expuesta S. Inicialmente la temperatura del café es de 150 F.20. Si S es una constante. entonces una modificación a la ecuación de la ley de enfriamiento/calentamiento es donde k<0 y Tm es una constante. Si Tm=70 F. entonces ¿Cuál es la temperatura del café de la taza B después de 30 minutos? Se identifica que con valores iniciales: . Así cuando Por consiguiente Por último. Así cuando . la medición de conduce a Ahora bien. Se obtiene Y por consecuencia.Taza de café A: Y determinar el valor de de modo que La ecuación es tanto lineal como separable. podemos utilizar este valor para encontrar el valor de para el café de la taza B La ecuación es tanto lineal como separable. Se obtiene Y por consecuencia. siendo k una constante de proporcionalidad. es de 81. 21.Por tanto obtenemos RTA: La temperatura del café de la taza B. la solución bien mezclada sale del tanque con la misma razón. Encuentre la cantidad A(t)de gramos de sal que hay en el tanque al tiempo t. Por la ecuación Concentración de sal en el efluente Razón de entrada de la salmuera Razón de entrada de la sal Concentración de sal en el efluente .2529 . después de 30 minutos. Un tanque contiene 200 litros de un líquido en el que se han disuelto 30g de sal que tiene 1g de sal por litro entra al tanque con una razón de 4Lt/min. Razón de salida de la salmuera Razón de salida de la sal Entonces Si la cantidad inicial de sal en el tanque es A(0)=30g Entonces el factor integrante de esta ecuación es: Derivando Integrando dt . Esta variación es igual a la diferencia entre la razón de entrada y la razón de salida de la sal. Solución: Para el desarrollo de este ejercicio debemos establecer una ecuación diferencial cuya solución me permita determinar la cantidad A(t) de sal en el tanque a un tiempo establecido. Como el flujo de salida de la solución final es igual al que está entrando.Si se divide entre el Factor Integrante Si t=0 A=30 Entonces: 22. Encuentre la cantidad A(t) de gramos de sal que hay en el tanque al tiempo t. Un tanque contiene 200L de un líquido en el que se han disuelto 30g de sal. la solución bien mezclada sale del tanque con la misma razón. y la cantidad de sal A(t). Agua pura entra al tanque con una razón de 4L/min. por lo cual las variables en juego son el tiempo t. Mezcla de dos soluciones. se supone que el volumen dentro del tanque va a ser siempre el mismo pero va a haber una variación de la cantidad de sal en este con el paso del tiempo. . como el volumen del tanque se mantiene constante debido a que la solución sale de este con la misma razón con la que entra.Tenemos entonces: La razón de entrada de la sal al tanque es el producto de la concentración de entrada de la sal por la razón de entrada del fluido. la concentración de sal en el tanque así como en el flujo de salida es: Por lo tanto la razón de salida es: La ecuación queda entonces: . Tenemos entonces: Rentra= (0 g/L).(4 L/min) = 0 g/min de sal Ahora. es decir 30 g.Separamos las variables: Integramos: (Propiedades de exponentes) Haciendo C igual a se obtiene: Condiciones iniciales: Definimos el instante t=0 como el tiempo en el cual empieza a entrar agua pura al tanque para lo cual la cantidad de sal que hay en este es aquella presente en la solución inicial. t=0. A(o)=30 g . si i(o)=o .Aplicamos las C.Determine la corriente conforme . Determinar la corriente i(t).I: Gráficamente se tiene: 29. Se aplica una fuerza electromotriz de 30v a un circuito en serie LR con 0.1 henrys de inductancia y 50 ohms de resistencia. Condiciones iníciales Voltaje de caída en el inductor y en el resistor Por leyes de Kirchhoff Forma estándar Donde Factor integrante Resolviendo por la ecuación lineal Siendo y=i . i(o)=o. Resuelva la ecuación (7) suponiendo que que o.Reemplazando las condiciones iníciales. obtengo el valor de C Reemplazando en la ecuación lineal Cuando 30. Ecuación (7) = y . Reemplazando = Se lleva la ecuación a la forma Entonces Donde Se determina el factor de integración De lo anterior se tiene + + Se desarrolla la integral y se tiene = . Realizando de nuevo la integración por partes se tiene: = Finalmente se reducen términos y se halla la integral: + Reemplazando condiciones iníciales 0+ 0 Entonces: . Determine la carga q(t) del capacitor. Se aplica una fuerza electromotriz de 100 voltios a un circuito en serie RC.31.0001 Faradios. si q(0)=0. en el que la resistencia es de 200 Ohmnios y la capacitancia es de 0.0001 (F) Para plantear el modelo matemático usaremos la segunda ley de Kirchhoff donde establece que “El voltaje aplicado a un circuito en serie es igual a la suma de las caídas de voltaje en el circuito” Caída de voltaje en un resistor: Caída de voltaje en un capacitor: Donde hemos utilizado Llevamos la ecuación diferencial a la forma estándar al dividir entre Se reconoce que y . R=200 (Ω) E(t)=100(V) C=0. Encuentre la corriente i (t). Entonces el factor integrante es igual La solución como tal es En particular indefinida se obtiene: es una constante y al solucionar la integral Como se puede apreciar es una familia de soluciones de un parámetro para conocer el valor de este ( ) utilizamos la condición inicial En general se obtiene la siguiente solución como respuesta al problema Al derivar la carga con respecto al tiempo podemos hallar la corriente . Resuelva la ecuación sujeta a la condición inicial . a. La dirección positiva se toma hacia abajo. 1 2 . Ecuación diferencial que describe la velocidad v de una masa sujeta que cae sujeta a una resistencia del aire proporcional a la velocidad instantánea es: Donde es una constante de proporcionalidad. Si la distancia s. medida desde el punto en el que se suelta la masa se relaciona con la velocidad v por . b. Utilice la solución anterior para determinar la velocidad limite o terminal de la masa. determine una expresion explicita para s(t) si SOLUCIÓN Analizamos la ecuación.Al reemplazar los distintos valores de las constantes finalmente se obtiene: y 35. c. Entonces.a. igualando 1 y 2 Resolviendo: Reemplazando: . Tenemos que: c. 45. Integrando tenemos que.12 se muestra un marcapasos de corazón. el interruptor S está en la posición P como se muestra .1. Marcapasos de corazón: En la figura 3. una batería. Ahora si s(0)=0. que consiste en un interruptor.b.3 vimos que durante este tiempo que se están aplicando estímulos eléctricos al corazón. cuando S esta en Q el capacitor de descarga. Cuando el interruptor S esta en P. el capacitor se carga. el voltaje E a través del corazón satisface la ED lineal a) Suponga que el intervalo de tiempo de duración . entonces. un capacitos y el corazón como un resistor. En el problema 47 de los ejercicios 2. enviando estímulos eléctricos al corazón. los intervalos de carga y descarga de duraciones y . Utilice un programa de graficación para trazar la grafica de la solución del PVI del inicio a) para . enviando un impulso al corazón durante el intervalo de tiempo de duración Por lo que el intervalo inicial de carga descarga el voltaje en el corazón se modela realmente por la ecuación diferencial definida por tramos. Cuando el interruptor se mueve a la posición Q al tiempo el capacitor se descarga. se repiten indefinidamente. Determine para b) Suponga para ilustrar que . Al moverse S entre P y Q.en la figura 3. etc.12 y el capacitor se está cargando. Suponga que s.1. 10 .Solución parte a : Para . y POR MEDIO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES TENEMOS: Entonces tenemos: . el . y voltaje no está siendo aplicado en el corazón y Para los otros tiempos . . la ecuación diferencial está dada por: . Solución parte b : .
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