Ecuaciones de Lagrange

Mecánica de Maquinaria IIEcuaciones de Lagrange Ing. Eduardo Orcés P. 2015-I Ing. Eduardo Orcés Julio 2015 TEMAS Obtención de las ecuaciones del movimiento de sistemas mecánicos  Ecuaciones de Lagrange  Ing. Eduardo Orcés 2015-I entre los que se cuentan los siguientes: 1) Ecuaciones de Newton-Euler 2) Métodos energéticos (Trabajo Virtual.Obtención de las Ecuaciones del Movimiento de Sistemas • Las ecuaciones que rigen el movimiento de los sistemas mecánicos se las puede obtener por diferentes métodos.) 3) Ecuaciones de Lagrange 4) Ecuaciones de Kane 5) Métodos especializados (usados en Robótica. etc. 2015-I . Ing. Eduardo Orcés P. por ejemplo). cargada como se muestra en la figura. • Fuerza de inercia:  Ml  δU = − θ δθ  3  2 • Fuerza del resorte:  l l  2 2 δU = − k θ  δθ • Fuerza del amortiguador: δU = −(c lθ ) lδθ Ing.• Ejemplo: Usando el Principio de Trabajo Virtual. Eduardo Orcés P. determine la ecuación del movimiento para pequeñas oscilaciones de la viga rígida de masa M. y se le da un desplazamiento virtual δθ. 2015-I . Calculamos el trabajo virtual hecho por cada fuerza. Solución: Se dibuja la viga en la posición de equilibrio θ. Eduardo Orcés P. 2015-I . se obtiene la ecuación del movimiento angular de la viga alrededor de la posición de equilibrio estático:  Ml 2   l2 l2 2   θ + (cl )θ + k θ = po f (t ) 4 2  3  Ing.l2 δU = ∫ ( po f (t )dx) xδθ = po f (t ) δθ 0 2 l • Carga distribuida: • Sumando los trabajos virtuales. e igualando a cero. El sistema es de 1 GDL con respecto a la coordenada θ. Ing. 2015-I . Aplicando Trabajo Virtual. como se muestra en la figura. Eduardo Orcés P. determine la ecuación del movimiento del sistema y su frecuencia natural.• Ejercicio 1: Dos péndulos simples están conectados entre sí. con la masa en el extremo inferior restringida a moverse en una guía vertical. …. el ángulo de inclinación θ constituye una coordenada generalizada. Applied Mechanics: Dynamics • Expresa las ecuaciones del movimiento en términos de coordenadas generalizadas.y) de la masa en el extremo. q2. en el caso de un péndulo. 2015-I .qn ) son un conjunto de coordenadas iguales en número a los grados de libertad del sistema. se cumple que n – c = GDL. Eduardo Orcés P. • Las coordenadas generalizadas (q1.Ecuaciones de Lagrange Ref. mientras que las coordenadas (x. necesitan la ecuación de constricción adicional √(x2 + y2) = constante. En general.: Housner/Hudson. • Por ejemplo. Ing. se obtiene los desplazamientos δx.z) al sistema (q1. Eduardo Orcés P. q2. δz: ∂x ∂x ∂x δx = δq1 + δq2 + δq3 ∂q1 ∂q2 ∂q3 ∂y ∂y ∂y δy = δq1 + δq2 + δq3 ∂q1 ∂q2 ∂q3 (2) ∂z ∂z ∂z δz = δq1 + δq2 + δq3 ∂q1 ∂q2 ∂q3 Ing.y. q3) de coordenadas generalizadas.• Para el caso de una partícula. δy. se puede escribir la ecuación de trabajo virtual: Fxδx + Fyδy + Fzδz = mxδx + myδy + mzδz (1) • Haciendo la transformación de coordenadas de (x. 2015-I . y que δq2 = δq3 = 0. δz = δq1 ∂q1 ∂q1 ∂q1 (3) • Substituyendo estos valores en (1). ∂x ∂y ∂z δx = δq1 . Definimos la fuerza generalizada Q1: ∂x ∂y ∂z Q1 = Fx Ing. (4). asumamos que solo se varía δq1. es el trabajo total realizado por las fuerzas externas durante el desplazamiento δq1. Eduardo Orcés P. se obtiene:   ∂x ∂y ∂z  ∂y ∂z  ∂x δq1 =  mx δq1  Fx + my + mz + Fy + Fz ∂q1  ∂q1 ∂q1  ∂q1  ∂q1  ∂q1 (4) • El lado de la izquierda de la Ec.• Para simplificar. ∂q1 + Fy ∂q1 + Fz ∂q1 2015-I (5) . δy = δq1 . (7) 2015-I . (4): d  ∂x  ∂x d  ∂x    − x  x =  x dt  ∂q1  ∂q1 dt  ∂q1  d  ∂x  ∂x  − x =  x dt  ∂q1  ∂q1 (6) d  ∂  x 2  ∂  x 2      − =  dt  ∂q1  2  ∂q1  2  • Substituyendo en la Ec.• A continuación. se obtiene entonces:  d  ∂  x 2  ∂  x 2    −   Q1δq1 = m   dt  ∂q1  2  ∂q1  2  Ing. (4). Eduardo Orcés P. transformamos el lado derecho de la Ec. • Sumando expresiones similares para (y.z) se obtiene la energía cinética T de la partícula. podemos escribir ecuaciones de Lagrange para una partícula: d  ∂T  ∂T   − = Qi dt  ∂qi  ∂qi Ing. y se puede escribir la ecuación de Lagrange para la coordenada generalizada q1: d  ∂T  ∂T  −  = Q1 dt  ∂q1  ∂q1 (8) • En forma general. (i = 1.2 . Eduardo Orcés P.3 ) (9) 2015-I las . 2 .3.n) (10) • Donde: L = T – V = Función Lagrangiana Ing. 2015-I ... se introduce la energía potencial V . y las ecuaciones de Lagrange se pueden escribir de la siguiente forma: d  ∂L  ∂L   − =0 dt  ∂qi  ∂qi (i = 1. Eduardo Orcés P.• Para sistemas conservativos de n grados de libertad. está unido a un bloque sin masa el cual está restringido en su movimiento horizontal por un resorte de rigidez k. Ing. Obtenga las ecuaciones del movimiento del sistema. Eduardo Orcés P. usando las ecuaciones de Lagrange. 2015-I .• Ejemplo: Un péndulo simple formado por una masa concentrada m y un cable liviano de longitud L. y obtenga también la frecuencia para pequeñas oscilaciones del péndulo. Eduardo Orcés P. 2015-I .Solución: Usamos las coordenadas generalizadas (x. Las energías cinética y potencial en términos de estas coordenadas son: 1 1 T = mv 2 = m(x 2 + L2θ 2 + 2 xLθ cos θ ) 2 2 1 V = kx 2 + mgL(1 − cos θ ) 2 L = T −V Hallamos la ecuación de Lagrange para la coordenada x: ( ) d  ∂L  d 2        cos 0 cos = m x + mL θ θ − = m x + mL θ θ − mL θ senθ   dt  ∂x  dt ∂L = 0 − kx ∂x ∴ mx + mLθ cos θ − mLθ 2 senθ + kx = 0 (A) Ing.θ ). Eduardo Orcés P. Para esto. expresamos el sistema de ecuaciones en forma matricial: mL cos θ   x  − mLθ 2 senθ + kx  m =0     +  2 mL  θ   mgLsenθ  mL cos θ Ing. 2015-I .Para la coordenada θ: ( ) d  ∂L  d 2  2   cos 0 = + − = θ θ θ + mLx cos θ − mLxθsenθ mL mL x mL   dt  ∂θ  dt ∂L = −mLxθsenθ − mgLsenθ ∂θ ∴ mL2θ + mLx cos θ + mgLsenθ = 0 (B) La solución de las ecuaciones simultáneas no-lineales (A) y (B) se la puede obtener numéricamente usando Matlab. 2015-I . podemos definir las variables de estado. Eduardo Orcés P.  x  q1  θ      q2  {q} {y} =    =   =   = vector de estados  x  q3  {q} θ q4  El sistema de ecuaciones anterior se puede escribir entonces en la siguiente forma: q3  [M ]  + {F ({q}.Luego. {q})} = 0 q 4  Ing. Eduardo Orcés P. éste se convierte en un sistema de 4 ecuaciones diferenciales de 1º orden en las variables de estado. 2015-I . q1   q  q3   2  {y} =   = q4  = { f ({q}. usando la función ode23 de Matlab .• Substituyendo en el sistema original. por ejemplo. las cuales pueden ser integradas. {q})} q3    −1 q 4  − [M ] ⋅ {F } Ing. Para pequeñas oscilaciones del sistema. la cual es la de un movimiento armónico simple con frecuencia ω: θ + g θ =0 ∴ ω = mg   L+  k   Ing. y despreciando términos de 2º orden en los desplazamientos y velocidades. g mg L+ k 2015-I . cos θ ≈ 1. las ecuaciones se vuelven lineales y su solución se puede encontrar de manera relativamente fácil. Haciendo sen θ ≈ θ. se obtiene: m mL   x kx  1 L    +  gθ  = 0   θ    Eliminando x se obtiene la ecuación diferencial para θ (una ecuación similar se obtiene para x). Eduardo Orcés P. asuma que el bloque que se desplaza horizontalmente tiene una masa m1 y la masa concentrada en el extremo del péndulo es m2. Obtenga las ecuaciones del movimiento del sistema mediante: (a) Las ecuaciones de Newton. Eduardo Orcés P. (b) Las ecuaciones de Lagrange. 2015-I .• Ejercicio 2: En el ejemplo anterior. Ing. 3. que está en el el Sidweb: o Housner / Hudson. Secs.1 a 9. Ing.Cap.9.10 . Análisis de fuerzas dinámicas. Sec.Tareas  Leer las siguientes secciones del libro de Norton: . 11.  Leer material sobre las ecuaciones de Lagrange en el siguiente libro. Applied Mechanics: Dynamics. 11. 9. Cap. Eduardo Orcés 2015-I .