Ecuaciones de La Recta.

MATEMÁTICA BÁSICAECUACIONES DE LA RECTA LA RECTA y2) dos puntos cualesquiera sobre la recta. El ángulo de inclinación es tal que 0. P2(x2. entonces: y2  y1 m  tan(  )  x 2  x1 Observe que: si =/2. tales que x1x2.DEFINICIONES BÁSICAS ÁNGULO DE INCLINACIÓN: El ángulo de inclinación () de una recta es el ángulo entre la parte positiva del eje x y la recta. y1). medido en sentido antihorario. Siendo P1(x1. m no está definida. PENDIENTE DE LA RECTA: La pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación. este caso corresponde a x1=x2 . denotada comúnmente por m. a0 ó b0. a ) .ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA TEOREMA: “A toda recta L del plano está asociada al menos una ecuación de la forma: ax + by + c = 0. en donde a.y) representa un punto genérico de L” La Recta es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen una ecuación de la forma: ax  by  c  0 NOTA: El vector de la recta corresponde a Ecuación Cartesiana o Implícita de la Recta L u ( b . y (x. b y c son números reales. de acuerdo a los datos que se tengan a la mano. y1). diferente al punto dado P1(x1. y) un punto cualquiera de la recta.ECUACIONES DE LA RECTA Aunque la ecuación de la recta es única. puede adoptar varias formas: ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE: Sea P(x. De acuerdo a la definición de pendiente: m y  y1 x  x1 De la cual se obtiene la siguiente ecuación: y  y1  m( x  x1 ) Ecuación Punto-Pendiente de la Recta . el punto cuyas coordenadas son (0.b) y tiene pendiente m: y  y1  m( x  x1 ) y  b  m( x  0) y  mx  b Ecuación Explícita de la Recta . es decir.ECUACIONES DE LA RECTA ECUACIÓN DE LA RECTA DADA SU PENDIENTE Y SU ORDENADA EN EL ORIGEN: Considere una recta. cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen.b) está sobre la recta. Esto es un caso particular de la ecuación anterior. puesto que tenemos que la recta pasa por (0. es b. Como se conoce b. su intersección con el eje Y. ECUACIONES DE LA RECTA ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS: Geométricamente. Analíticamente. y  y1  y2  y1 ( x  x1 ) x2  x1 Reemplazando el punto 1 Primero se deberá hallar la pendiente y2  y1 y  y2  ( x  x2 ) x2  x1 Reemplazando el punto 2 . la ecuación de una recta también queda perfectamente determinada conociendo las coordenadas de dos cualesquiera de sus puntos. una recta queda perfectamente determinada por dos cualesquiera de sus puntos. se trata de una Recta Vertical. ECUACIÓN DE LA RECTA HORIZONTAL: Si la recta es paralela al eje X su ecuación es de la forma: yk  k  R .ECUACIONES DE LA RECTA ECUACIÓN DE LA RECTA VERTICAL: Si la recta es paralela al eje Y su ecuación es de la forma: xk  k  R Es decir.  k  R OX  OP  PX P(x1. el vector PX tiene igual dirección que v (vector de dirección). y1 )  k (v1 . y )  ( x1 . v2 )  Si conocemos un punto P(x1.y1) OX  OP  k v X(x. y1) es un punto de la recta r.y)  v r v 0 ( x. y )  ( x1 . y1) y un vector de dirección v. y1 )  k (v1 . La Ecuación vectorial de la recta será: u ( x.ECUACIONES DE LA RECTA ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA: Si P(x1. luego es igual a v multiplicado por un escalar: PX  k v. v2 ) . y )  ( x1  kv1 .ECUACIONES DE LA RECTA ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA: A partir de la Ecuación Vectorial y realizando las operaciones indicadas podemos obtener las Ecuaciones Paramétricas de la recta. ( x. y )  ( x1 . tenemos:  x  x1  kv1   y  y1  kv2 Ecuaciones Paramétricas de la Recta . y1 )  k (v1 . v2 ) ( x. y1  kv2 ) Por la igualdad de vectores. EJERCICIOS RESUELTOS: 1 Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos: P1(4.2) y P2(-5.7) Solución: Primero hallamos la pendiente: m  72 5 5   54 9 9 Luego calculamos el valor de b: y  mx  b  La ecuación de la recta es: y   5 38 x 9 9 5 xb 9 5 2 ( 4)  b 9  20 2 b 9 38 b 9  y . EJERCICIOS RESUELTOS: 2 2 5 y   x  Escribir la ecuación de la recta: en su forma 3 2 implícita. Solución: La ecuación de la recta en su forma implícita es: ax  by  c  0 Trabajemos la ecuación dada. sacamos MCM: 2 5 y   x 3 2  4 x  15 y 6 6 y  4 x  15  La ecuación de la recta en su forma implícita es: 4 x  6 y  15  0 . EJERCICIOS RESUELTOS: 3 Calcular el área del triángulo que forma la recta: 3x .h 2 b.4y – 12 = 0 con los ejes coordenados.h (4)( 3) 12 A    6 2 2 2 A  6 u 2  El área del triángulo es: . Solución: Primero hallamos los puntos de corte con los ejes: Corte con el eje “x” y0 Y 4  3 x  4(0)  12  0 3 x  12 x4 Corte con el eje “y” x0  3(0)  4 y  12  0 0  12  4 y y  3 X Entonces área del triángulo: A  -3 b. m.8/3) y por la intersección de las rectas: 3x-4y-2=0.a. 0) x  Hallando la pendiente m y el valor de b. tenemos:12 x  15 y  8  0 .EJERCICIOS RESUELTOS: 4 Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A=(4. 9x-11y-6=0 Solución: Bastará hallar el punto de intersección de las rectas dadas:  3x  4 y  2   9 x  12 y  6    9 x  11 y  6   9 x  11 y  6 s.m. y0 2 3 Entonces el punto de intersección es: (2/3. v2 ) ( x.5) Solución: Como tenemos un punto y un vector de dirección. y1 )  k (v1 .5)  Las ecuaciones paramétricas de la recta son:  x  1  2k   y  3  5k . y )  (1.3) y tiene un vector de dirección v=(2. entonces la recta es: ( x. y )  ( x1 .3)  k (2.EJERCICIOS RESUELTOS: 5 Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto A(-1. RECTAS PARALELAS SI DOS RECTAS SON PARALELAS  SUS PENDIENTES SON IGUALES Y 1 L1 2 1   2 tan 1  tan  2 m1  m2 L2 X Pendientes Iguales L1 : y  mx  b1 L2 : y  mx  b2 . m1  1 m2  1 0 2 X 1 m1 L1 : y  mx  b1 L2 : y   1 x  b2 m .RECTAS PERPENDICULARES SI DOS RECTAS SON PERPENDICULARES  EL PRODUCTO DE SUS PENDIENTES ES -1 Y 90° L2 L1 1 180-2 m2 . tg1 0 tg 2  tg1   1  tg 2 .m1  1  m2  tg 2  tg1 1  1  tg 2 .tg1 Es decir: 1 m1 L1  L2  m2  1 m1 .tg1 sen cos Esto implica: 1  tg 2 .tg1  0  2 tg 2 .tg1  1 2 m2 .RECTAS PERPENDICULARES DEMOSTRACIÓN:    2 90°  1     2  2  1   2  1   1 2  180-2 2     2 tg   2  1   tg  tg 2  tg1  1  tg 2 . .7 = 0 pasa por el punto A(3.-1) y es perpendicular a la recta que tiene por ecuación 5x+3y-1=0 4.3) y (1.0) y (0.- Demuestre que la ecuación de la recta que contiene a los puntos (A.- B La recta r : 3x + ny .- Hallar la ecuación general de la recta que contiene al punto (-2.2) y es paralela a la recta s : mx + 2y -13 = 0.- Hallar la ecuación general de la recta que contiene al punto (7. Calcula m y n.PARA RESOLVER 1.-2) 2.- Hallar la ecuación general de la recta que contiene a los puntos (-2.3) y es paralela a la recta que tiene por ecuación 3x+y+1=0 3.B) es: x  y  1 A 5. 6) 7.15 min con un mínimo de $ 15.- Hallar la ecuación general de la recta que contiene a los puntos (0.El alquiler de un auto cuesta 20 soles por día y 7 centavos el kilómetro.PARA RESOLVER 6. 9.05 min. escríbase una fórmula para los cargos de alquiler en términos de la distancia recorrida. c) Hablo más de 150 min. ¿Cuánto tiempo laboró si cobró S/. La compañía C me ofrece una cuota de $ 0. a razón de 10 soles por cada hora. más el tiempo que trabaja.- Compañías Telefónicas: La compañía A me ofrece una cuota fija de $ 15 al menos más $ 0.00? 8.Un fontanero cobra 12 soles por ir a domicilio.47.-3) y (4.25 min. de forma proporcional. . ¿Qué compañía me conviene si al mes: a) Hablo 50 min.. Halla la ecuación que calcula el coste en función del tiempo que tarda en hacer el trabajo.. La compañía B me ofrece cobrar sólo por el consumo a $ 0. Supóngase que se alquila el auto por un solo día. b) Hablo 120 min. Información: ECUACIONES DE LA RECTA Presentación realizada por: Julio César Moreno Descalzi Univ. Santo Toribio de Mogrovejo MATEMÁTICA BÁSICA .