102.6.- Ecuaciones del Comportamiento de Afluencia para Yacimientos de Gas. 2.6.1.- Ecuaciones Aplicadas para Pozos Verticales. Ecuación de Forchheimer. Philippe Forchheimer (1901) mientras trabajaba con flujo de gas en capas de carbón descubrió la relación entre el caudal de flujo y el gradiente de potencial, la cual no es lineal a altas velocidades y a incrementos de caudal de flujo. Inicialmente Forchheimer atribuyó ese incremento no lineal a la turbulencia en el flujo del fluido (actualmente el incremento no lineal es debido a los efectos inerciales en el medio poroso). La caída de presión adicional debido a las pérdidas inerciales se debe a los efectos de aceleración y desaceleración del fluido por el movimiento tortuoso a través del medio poroso. La caída de presión total es dada por el modelo tradicional de flujo desarrollado por Forchheimer, como; . 2 v v k dx dP ⋅ ⋅ + · ρ α µ (2.182) La ecuación general desarrollada para predecir el comportamiento de afluencia en pozos de gas se muestra en su forma general para flujo radial y en semi - estado estable: . 1 1 10 16 . 3 472 . 0 ln 424 . 1 2 2 18 2 2 g e w g w e g wf ws q r r h T Z s r r h k q T Z P P ⋅ , ` . | − ⋅ ⋅ ⋅ × + , ` . | + , ` . | ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ · − − γ β µ (2.183) La Ec. (2.183) se puede re-escribir como: 11 . 2 g g q D C q P ⋅ + · ∆ (2.184) El término Darcy es . 472 . 0 ln 424 . 1 , ` . | + , ` . | ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ · s r r h k q T Z C w e g µ (2.185) Como 1/rw es un valor muy pequeño, el término de turbulencia es: . 1 10 16 . 3 2 18 , ` . | ⋅ ⋅ ⋅ × · ⋅ − w g g r h T Z q D γ β (2.186) Un grafico de ∆ P 2 /qg versus qg tiene una pendiente D, y g 2 0 q q P lim C g ∆ · → . Ecuación Rawlins y Schellhardt. El método de flujo tras flujo para pruebas de pozos de gas fue desarrollado por Rawlins y Schellhardt en 1936. Para ello, usaron 582 pruebas de pozos. Se elaboró un gráfico del caudal de flujo versus la diferencia de los cuadrados de la presión de cierre y la presión de fondo fluyente (en la cara de la arena), Ps 2 -Pwf 2 , en coordenadas logarítmicas. La relación se representa en la Fig. 2.22 como una línea recta . 12 Figura 2.22. Prueba multipunto donde ser muestra el desempeño de un pozo. (Rawlins y Schellhardt, 1936). La prueba de flujo tras flujo o también llamado, prueba multipunto, requiere de una serie de caudales de flujo y su correspondiente medida de presión. Estas pruebas se obtienen bajo condiciones de estabilización o para ciertos intervalos de tiempo. Las pruebas se inician idealmente con la presión estática de yacimiento, y luego se va disminuyendo, cambiando el tamaño del estrangulador sin cerrar el pozo. Estas pruebas se diseñaron para pozos con estabilización rápida y donde se alcanza el flujo de estado estable durante los períodos de las pruebas de flujo. En la Fig. 2.23 (a) se muestra que el caudal de flujo es estable al final de cada período. De igual forma, en la Fig. 2.23 (b) la presión es estable al final de cada período de flujo cuando ocurre el cambio de estrangulador. La ecuación de Rawlins y Schellhardt usada para el análisis de pozos de gas viene dada por: 13 ( ) . 2 2 n wf s g P P C q − ⋅ · (2.187) Siendo C el coeficiente de desempeño y n el exponente de flujo. Figura 2.23. Prueba flujo tras flujo, caudal de flujo versus tiempo y presión versus tiempo. (Rawlins y Schellhardt, 1936). Método de Cullender. Existe un gran número de pozos que han sido completados en yacimientos de baja permeabilidad, los cuales exhiben características de “baja estabilización”. Esto trae un problema al momento de determinar las características reales de estos pozos. Debido a ese problema, Cullender (1955) desarrolló el método isocronal para determinar las características de flujo en pozos de gas. El término “isocronal” se adoptó para describir el método, debido a que las condiciones existentes son el resultado de una simple perturbación en el pozo de duración constante. La expresión “simple perturbación de duración constante” se propuso para definir estas condiciones alrededor del pozo como resultado de un caudal de flujo constante para un período de tiempo específico de condiciones de cierre. Un gradiente de presión se estableció alrededor del pozo, resultando en dos o más cambios mecánicos del caudal de flujo a las condiciones de cierre. El procedimiento empleado para obtener los datos necesarios consistió en abrir el pozo luego del cierre, obteniendo los datos de caudal y de presión a intervalos de tiempo específicos, durante el período de flujo sin perturbación del caudal. Después de obtener suficientes datos, el (a) (b) 14 pozo se cierra para volver a las condiciones de cierre iníciales. El pozo se abre de nuevo a un caudal diferente, al mismo intervalo de tiempo de la primera apertura. El procedimiento se puede repetir tantas veces como sea necesario para obtener el número de puntos deseados. Las suposiciones se hicieron para justificar la presentación de las características de un pozo de gas como una serie de curvas paralelas con una pendiente constante (n) y un coeficiente (C) constante solamente con respecto a un intervalo de tiempo específico. En la Fig. 2.24 se muestra las distintas curvas con la misma pendiente para el método isocronal. Las suposiciones para este método fueron: − La pendiente, n, de la curva de un pozo de gas es independiente del área de drenaje. Se establece casi inmediatamente después de abrir el pozo. − Bajo simples condiciones de gradiente, la variación del coeficiente C con respecto al tiempo es independiente del caudal de flujo y el nivel de presión. La ecuación usada para el análisis es: ( ). 2 2 s wf g P P C q − ⋅ · (2.188) Siendo Ps la presión de cierre. 15 Figura 2.24. Curvas isocronales de un pozo de gas. (Cullender, 1955). Correlación de Mishra y Caudle. 16 Mishra y Caudle (1984) presentaron un método para predecir las curvas IPR en pozos de gas, eliminando la necesidad de usar pruebas multipuntos convencionales. Usaron la solución analítica para flujo de gas real bajo condiciones estables, y un amplio rango de las propiedades roca-fluido; desarrollando una relación empírica para calcular el desempeño de pozos de gas. Las premisas usadas fueron: − Yacimiento no fracturado, homogéneo e isotrópico con un límite cerrado. − Penetración completa y simple. − Predomina las condiciones estables, por ejemplo, ecuaciones de estado seudo-estable pueden ser usado para describir el flujo de gas en el yacimiento. − Los efectos de flujo turbulento son caracterizados por un factor de turbulencia constante D, y el caudal dependiente del daño D·q. La ecuación de caída de presión, en unidades de campo se encuentra dada por: ( ) ( ) . 2 2458 . 2 ln 2 1 ln 2 1 1422 2 g DA A w g wf i q D s t C r A h k T q P m P m ⋅ + + ⋅ + , ` . | + , ` . | · ] ] ] ] ] ] ⋅ ⋅ − π (2.189) Para volumen de drenaje cerrado, del balance de materiales se tiene: ( ) ( ) . 2 1422 DA g i t h k T q P m P m ⋅ · ] ] ] ] ] ] ⋅ ⋅ − π (2.190) Combinando las Ecs. (2.189) y (2.190), 17 ( ) ( ) . 2458 . 2 ln 2 1 ln 2 1 1422 2 g A w g wf q D S C r A h k T q P m P m ⋅ + + , ` . | + , ` . | · ] ] ] ] ] ] ⋅ ⋅ − (2.191) La Ec. (2.191) se puede reescribir como ( ) ( ) , 2 g g wf q b q a P m P m ⋅ + ⋅ · − (2.192) siendo a y b constantes. Resolviendo la Ec. (2.192) y tomando la raíz positiva, se tiene ( ) ( ) [ ] . 2 4 2 b P m P m b a a q wf g ⋅ − ⋅ + + − · (2.193) El caudal máximo de flujo corresponde cuando la presión en la cara de la arena es cero; por lo tanto, la ecuación es: ( ) . 2 4 2 max b P m b a a q g ⋅ ⋅ + + − · (2.194) Dividiendo la Ec. (2.193) y (2.194), resulta: ( ) ( ) [ ] ( ) . 4 4 2 2 max P m b a a P m P m b a a q q wf g g ⋅ + + − − ⋅ + + − · ] ] ] ] (2.195) La Ec. (2.194) se puede expresar en la forma ( ) ( ) . max ] ] ] ⋅ · ] ] ] ] P m P m F q q wf g g (2.196) 18 Se realizaron gráficos de m(Pwf)/m( P ) versus qg/qgmax para distintos casos, desarrollando una correlación empírica a través de un ajuste de regresión. La correlación que mejor se ajusto a las condiciones de estudio fue: ( ) ( ) . 5 1 4 5 1 max ¹ ¹ ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ ' ¹ − · ] ] ] ] − P m P m g g wf q q (2.197) Para calcular la pseudo presión, se usa la Ec. de Al Hussainy y Ramey: ( ) . 2 0 ∫ ⋅ ⋅ · P g dP Z P P m µ (2.198) Correlación de Chase y Williams. Chase y Williams (1986) extendieron el trabajo de Mishra y Caudle para desarrollar curvas IPR adimensionales para pozos de gas con daño que tienen fracturas verticales inducidas hidráulicamente. El procedimiento empleado fue el mismo que Mishra y Caudle. Se realizaron distintas sensibilidades de forma aleatoria de los distintos parámetros de yacimiento. Dos tendencias se observaron en el grafico, una lineal y otra no lineal. Las propiedades de roca, fluido y fractura fueron cuidadosamente estudiadas, revelando que solo el factor de daño era la diferencia entre la tendencia lineal y la curvilínea. En formaciones estimuladas con un factor de daño cero o negativo, la tendencia de la curva IPR adimensional siguió la misma encontrada por Mishra y Caudle, dada por la Ec. (2.197). En pozos de gas estimulados con factores de daño positivo se mostró una tendencia lineal de la forma: 19 ( ) ( ) . 1 max ] ] ] − · ] ] ] ] P m P m q q wf g g (2.199) Correlación de Chase y Alkandari. Chase y Alkandari (1993) presentaron un trabajo relacionado con el análisis de la curva IPR de pozos de gas fracturados. Para ello, tomaron la ecuación de Forchheimer sustituyendo distintos parámetros de entrada y usando la herramienta de simulación de Monte Carlo. Se calculó series de valores del coeficiente de pérdida de presión para flujo laminar, a, y coeficiente de pérdida de presión turbulento-inercial, b. Se usó aproximadamente mil combinaciones de datos de entrada para cada relación de longitud de fractura (Xe/Xf). Estos cálculos se repitieron para relaciones de longitud de fractura que variaban desde 1 hasta 10 8 . En pozos fracturados se utilizó la ecuación para calcular el radio aparente del pozo, equivalente a una fractura uniforme. Este valor reemplaza el radio del pozo solamente en la ecuación para a, el coeficiente laminar. Las siguientes ecuaciones se usaron para calcular las series de valores de a y b: , 75 . 0 ln 2996 . 1 , ` . | + − , ` . | ⋅ ⋅ · s r r h k T a wa e (2.200) , 2996 . 1 h k D T b ⋅ ⋅ ⋅ · (2.201) , 10 237 . 1 2 10 p w g h r h D ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ · − µ γ (2.202) . 37 . 0 s f wa e X r ⋅ ⋅ · (2.203) 20 Con los cómputos de a y b, se calculo 1 X / X max@ f e q · , que se refiere al caudal de flujo cuando la relación de la longitud de fractura es 1 y la presión de fondo fluyente es cero. Los cómputos de a y b también se utilizaron para calcular el caudal de flujo para cada presión de fondo fluyente y así, construir curvas de pseudo presión adimensionales ( ) ( ) P m P m wf versus caudal de flujo adimensional 1 X / X max@ f e q q · . Se realizó el ajuste de los resultados obtenidos, derivando la siguiente correlación: ( ) ( ) . 1 1 / max@ N X X wf f e q q M P m P m , ` . | ⋅ − · · (2.204) Siendo M y N: ( ) . log 00039 . 0 log 00989 . 0 log 143212 . 0 004865 . 0 log 3 2 ] ] ] ] , ` . | ⋅ + ] ] ] ] , ` . | ⋅ − , ` . | ⋅ + · f e f e f e X X X X X X M (2.205) ( ) . log 0004278 . 0 log 00874 . 0 log 0618 . 0 296498 . 0 log 3 2 ] ] ] ] , ` . | ⋅ − ] ] ] ] , ` . | ⋅ + , ` . | ⋅ − · f e f e f e X X X X X X N (2.206) Siendo Xe el radio del yacimiento o radio de investigación, y Xf el radio de la fractura uniforme. Para relaciones de Xe/Xf>10 8 , el trabajo de West & Chase recomiendan el uso de las siguientes ecuaciones para calcular M y N, ( ) . 311663 . 0 log 057871 . 0 log + , ` . | ⋅ · f e X X M (2.207) 21 ( ) . 159624 . 0 log 002712 . 0 log + , ` . | ⋅ − · f e X X N (2.208) Las correlaciones de Chase y Alkandari también se pueden usar para pozos de gas no fracturados, o para pozos donde no se conoce la longitud de fractura. La relación de la longitud de fractura Xe/Xf se puede calcular usando el factor de daño aparente. . 37 . 0 ' , ` . | ⋅ ⋅ · w s e f e r e X X X (2.209) Para usar la Ec. (2.209) se requiere de una prueba de restauración de presión, la cual proporciona el radio de la fractura (Xf) o el daño aparente, s’. El procedimiento a emplear necesita de los parámetros: caudal de flujo, la presión de fondo fluyente y la presión promedio del yacimiento. Con los datos de entrada, se calcula el caudal máximo de flujo, 1 X / X max@ f e q · . Luego, con la Ec. (2.204) se puede predecir la curva IPR o se puede resolver los coeficientes de la ecuación de Rawlins- Schellhardt (C y n) o los coeficientes de la ecuación Forchheimer (a y b). Chase y colaboradores determinaron el caudal máximo en la cara de la arena para 25 pozos de gas en Canadá, arrojando un error de 9.2% con una desviación estándar de 8.7%. 2.6.2.- Ecuaciones aplicadas para pozos horizontales. 22 Ecuación de Joshi. En un pozo horizontal, el modelo para yacimientos de gas se deriva de forma similar que para pozos de petróleo. Las modificaciones necesarias para usar la ecuación de Joshi (1988), viene dada por el factor volumétrico de gas de formación y las unidades del caudal de flujo. Los pozos de gas generalmente tienen alta velocidad; por lo tanto, se toman en consideración los efectos de flujo no Darcy. En primer lugar, la unidad de la ecuación IPR para pozos de petróleo se necesita convertir para pozos de gas (de BNPD a MPCND), como sigue: ( ) ( ). 575 . 25154 615 . 5 1000 10 08 . 7 1 3 MPCND q BNPD MPCND BNPD q g o ⋅ · , ` . | ⋅ ⋅ ⋅ − (2.210) Ahora, se necesita relacionar el factor volumétrico de gas de formación, β g, a presión y temperatura. Por la Ley de Gases Reales: , ca c a ca g P T R n Z P T R n Z ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ · β (2.211) donde Tca y Pca son la presión y temperatura a las condiciones normales. Si la presión y temperatura a condiciones normales son 14.7 lpca y 520 ºR respectivamente, y el factor de compresibilidad del gas, Z, a condiciones atmosféricas es 1; se puede reescribir el factor volumétrico del gas como . 0283 . 0 P T Z g ⋅ ⋅ · β (2.212) De la Ec. (2.212), el factor volumétrico del gas se calcula por el factor de compresibilidad del gas, la temperatura, y la presión promedio entre el yacimiento y el 23 fondo del pozo. El término correspondiente de la Ec. (2.115) para pozo de petróleo, 3 o o 10 08 . 7 q − × β ⋅ , se puede cambiar para pozos de gas como: ( ) ( ) ( ) . 1424 2 0283 . 0 575 . 25154 wf e g wf e g P P T Z q P P T Z q + ⋅ ⋅ ⋅ · , ` . | + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (2.213) Sustituyendo la Ec. (2.213) en la Ec. (2.115) y cambiando la viscosidad de petróleo por la viscosidad de gas a la presión promedio, la ecuación IPR para pozo horizontal de gas se puede expresar como: ( ) ( ) , 2 ln ln 1424 2 2 ] ] ] ] + , ` . | ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ · s r h I L h I T Z P P h k q w ani ani g wf e H g α µ (2.214) Con, V H ani k k I · , , 2 2 2 2 L L a a , ` . | − + · α (2.111) . 5 . 0 4 1 2 1 2 4 , ` . | ⋅ + + ⋅ , ` . | · L r L a eH (2.114) Usando la función seudo-presión de un gas real presentada por Al Hussainy y Ramey, ( ) , 2 dP Z P P m P P g o ∫ ⋅ ⋅ · µ (2.198) 24 donde Po es la presión referencia y se puede usar a la presión base. La ecuación IPR para pozos horizontales de gas en términos de seudo-presión de un gas real viene dada por: ( ) ( ) ( ) ( ) . 2 ln ln 1424 ] ] ] ] + , ` . | ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ · s r h I L h I T P m P m h k q w ani ani wf e x g α (2.215) Para pozos de gas, la velocidad de flujo es generalmente más grande que la de un pozo de petróleo, principalmente en la cercanía del pozo. Estas altas velocidades causan una caída de presión adicional, lo cual se conoce como efecto de flujo no Darcy. Estas caídas de presión adicional es una función del caudal de flujo, y se puede adicionar en la Ec. (2.215). El coeficiente de flujo no-Darcy, D, explica la turbulencia debido a la altos caudales, cerca del flujo del hoyo. El término D·qo se adiciona en la Ec. (2.215) y produce un caudal dependiente del factor de daño. El valor del coeficiente no Darcy, D, se puede obtener de data experimental de laboratorio o de correlaciones. La ecuación presentada por Thomas y colaboradores para flujo no Darcy para un pozo horizontal de gas se encuentra dada por: ( ) . 1 1 1 1 10 2 . 2 2 2 15 ] ] ] ] , ` . | − ⋅ , ` . | + , ` . | − ⋅ , ` . | ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ × · − e d d w d wf g z x g r r L r r L P k k L D β β µ γ (2.216) Siendo, . h a r e ⋅ · (2.217) A es la extensión de drenaje del pozo en la dirección x. 25 El factor de turbulencia para zonas no dañadas y dañadas, β y β d, se puede estimar por, ( ) 2 . 1 z x 10 k k 10 6 . 2 ⋅ × · β , (2.218) ( ) . 10 6 . 2 2 . 1 10 d z x d k k ⋅ × · β (2.219) La ecuación IPR queda definida como: ( ) ( ) ( ) ( ) . 2 ln ln 1424 ] ] ] ] ⋅ + + , ` . | ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ · g w ani ani wf e x g q D s r h I L h I T P m P m h k q α (2.220) Ecuación de Babu y Odeh. Según el trabajo realizado por Thomas y colaboradores, la caída de presión adicional debido al flujo no Darcy viene dada por: . skin noskin total P P P ∆ + ∆ · ∆ (2.221) Siendo, ( ) . 75 . 0 ln ln 2 . 141 z x R H w o o o noskin k k b s C r A q P ⋅ , ` . | + − + , ` . | ⋅ ⋅ ⋅ · ∆ µ β (2.222) ( ). 2 . 141 o d z x o o o skin q D s k k L q P ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ · ∆ µ β (2.223) 26 El término de daño mecánico, sm abarca el daño debido a: la zona dañada/estimulada, a la geometría de la perforación, y a la zona cruzada que rodea las perforaciones. Solamente se considera el daño debido a la zona dañada/estimulada, sd. Este daño es positivo si resulta de la invasión de lodo en la perforación, o negativo si resulta de un ácido o trabajo de fractura. Se calcula como sigue: ( ) . ln 0 . 1 , ` . | ⋅ ] ] ] ] − ⋅ ⋅ · w d d z x z x d r r k k k k s (2.224) El daño debido a la geometría de la perforación es generalmente pequeño y se fija igual a cero. Adicional, los pozos horizontales se asumen con completaciones a hoyo abierto y así, el daño debido al cruce y compactación de la formación alrededor de las perforaciones se fija de igual forma a cero. Las Ecs. (2.222) y (2.223) se combinan para obtener la caída de presión total del sistema: ( ) ( ). 2 . 141 75 . 0 ln ln 2 . 141 o d z x o o o z x R H w o o o total q D s k k L q k k b s C r A q P ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ , ` . | + − + , ` . | ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ · ∆ µ β µ β (2.225) Reordenando caudal en función de las variables, ( ) ( ) ( ) . 75 . 0 ln ln 10 08 . 7 3 , ` . | ⋅ + + + − + , ` . | ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ × · − o d R H w o o wf z x o q D s L b s C r A P P k k b q µ β (2.226) Cuando b es igual a L, el pozo penetra la longitud total del yacimiento y no hay efecto de penetración parcial. Cuando L es menor que b, el pozo está parcialmente penetrado y el caudal de flujo disminuye por efecto del daño. 27 En pozos de petróleo no se considera el flujo no darcy; en cambio, en pozos de gas se debe considerar. La ecuación de Babu y Odeh (1989), se aproxima a pozos de gas siguiendo el procedimiento empleado en la ecuación de Joshi (1988); por lo tanto, se tiene: ( ) ( ) ( ) . 75 . 0 ln ln 1424 2 1 2 2 ] ] ] ] ⋅ + + + − + , ` . | ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ · g d R H w g wf z x g q D s L b s C r A T Z P P k k b q µ (2.227) Las propiedades del gas se estiman a la presión promedio, entre la presión promedio de yacimiento y la presión de fondo fluyente. Para usar la seudo presión de un gas real, la ecuación se convierte en ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 75 . 0 ln ln 1424 2 1 ] ] ] ] ⋅ + + + + − + , ` . | ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ · o d R H w wf z x g q D s L b s C r A T P m P m k k b q (2.228) Ecuación de Butler. La ecuación de Butler (1994) para pozos de gas en pseudo presión, viene dada por: ( ) ( ) ( ) ( ) . 14 . 1 1 ln 1424 ] ] ] ] ⋅ + + ⋅ − ⋅ ⋅ + , ` . | ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ · g ani b w ani ani ani wf e y g q D s I h y r I h I I T P m P m L k q π (2.229) Ecuación de Furui. 28 La ecuación de Furui para pozos de gas en pseudo presión, viene dada por: ( ) ( ) ( ) ( ) . 224 . 1 1 ln 1424 ] ] ] ] ⋅ + + − ⋅ ⋅ + , ` . | ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ · g b w ani ani ani wf e g q D s h y r I h I I T P m P m L k q π (2.230) Correlación de Billiter, Lee y Chase. Billiter, Lee y Chase (2001) presentaron un trabajo sobre la curva del comportamiento de afluencia de pozos de gas horizontales no fracturados, como una función de la permeabilidad horizontal, la presión de yacimiento promedio, la altura del yacimiento, y del área de drenaje del yacimiento. Se basaron en el trabajo de Babu y Odeh para flujo horizontal en un pozo de petróleo bajo condiciones de semi - estado estable. Dichas ecuaciones se modificaron para explicar los efectos del flujo no-Darcy y los efectos de daño mecánico. Las ecuaciones de pseudo presión se solucionaron usando los métodos analíticos y la simulación Monte Carlo para producir las curvas IPR adimensionales. La Ec. (2.228) es cuadrática en términos del caudal de flujo de gas; por lo tanto, se tiene: ( ) ( ) . 2 g pss g pss wf q b q a P m P m ⋅ + ⋅ · − (2.231) Siendo, ( ) ( ) , 75 . 0 ln ln 1424 z x d R H w pss k k b s L b s C r A T a ⋅ ⋅ ] ] ] ] , ` . | + + − + , ` . | ⋅ ⋅ · (2.232) 29 . 1424 z x pss k k b D L b T b ⋅ ⋅ ] ] ] ⋅ ⋅ · (2.233) Resolviendo la Ec. (2.231) ( ) ( ) ( ) . 2 4 2 pss wf pss pss pss g b P m P m b a a q − + + − · (2.234) El caudal máximo de flujo, qgmax, se obtiene cuando Pwf es cero. ( ) . 2 4 2 max pss pss pss pss g b P m b a a q + + − · (2.235) Siguiendo el mismo procedimiento de Mishra y Caudle, se adimensionalizaron las variables para graficar las curva IPR. De tal modo, que se realizaron varias corridas con distinta variaciones en los parámetros estudiados. Se demostró que la curva IPR adimensional propuesta para pozos sin fractura, es básicamente independiente de todas las variables, excepto de la permeabilidad horizontal, la presión promedio del yacimiento, el espesor del yacimiento, y el área de drenaje del yacimiento. De un total de 384 curvas IPR, se realizó un análisis de regresión para determinar la mejor correlación de ajuste. La correlación con el mejor ajuste viene dada por: ( ) ( ) . 1 max n wf g g P m P m q q , ` . | − · (2.236) Siendo, , 0406 . 1 10 3976 . 1 10 5565 . 1 10 5828 . 4 1 2 1 3 2 + × − × − × · − − − sum sum sum z z z n (2.237) ( ) , ln P k h b sum z z z z z x + + + · (2.238) , 2860 . 1 10 4706 . 3 10 8162 . 2 10 0163 . 1 4 2 8 3 12 + × − × + × − · − − − b b b z b (2.239) , 6772 . 1 10 4975 . 3 10 0375 . 2 10 3049 . 4 2 2 4 3 7 − × + × − × · − − − h h h z h (2.240) 30 ( ) ( ) ( ) ( ) , 0269 . 1 ln 10 3956 . 3 ln 10 5431 . 1 1 2 3 ln − × + × · − − x x k k k z x (2.241) . 5325 . 1 10 9398 . 5 10 1620 . 7 10 5563 . 3 4 2 8 3 12 − × + × − × · − − − P P P z P (2.242) 2.7.- Ecuaciones del Comportamiento de Afluencia para Yacimientos de Gas Condensado. Correlación de Jokhio y Tiab. Jokhio y Tiab (2002) crearon un método para establecer la relación del comportamiento de afluencia para pozos de gas condensado. Este método utiliza datos de prueba de presión transiente para estimar la permeabilidad efectiva como función de la presión, y sus aplicaciones son convertir datos de la producción BHFP en pseudo presión para establecer el comportamiento del pozo. La permeabilidad efectiva de cualquier fase se puede utilizar para predecir la producción de una segunda fase. Se han desarrollado modelos matemáticos para estudiar la pérdida de producción del pozo debido a la acumulación de liquido cuando se alcanza la presión del punto de rocío, así como también el aumento de la productividad debido a la movilidad del condensado, cuando se alcanza la P*. Se han desarrollado las curvas de pseudo presión para ambas fases de petróleo y gas para la conversión rápida de los datos de presión entre los datos de pseudo presión. Las curvas de permeabilidad relativa de ser disponible también pueden ser usadas, sin embargo, el conocimiento de la saturación tiene que ser determinado en todas las etapas de agotamiento para poder hacer uso de éstas. 31 Figura 2.25. Fase del comportamiento de los fluidos condensados. (Jokhio y Tiab, 2002) 32 Figura 2.28. Distribución de presión y fluido alrededor del pozo horizontal penetrado completamente. (Jokhio y Tiab, 2002). Figura 2.26. Tres regiones en un yacimiento de gas condensado con pozo vertical. (Jokhio y Tiab, 2002) Figura 2.27. Tres regiones indicando flujo bifásico alrededor del pozo horizontal, flujo monofásico con liquido buildup, y el flujo de gas libre en la región más lejana. 33 Los yacimientos de gas-condensado son inicialmente yacimientos de gas. Como la presión declina con el agotamiento, las condiciones de la presión del yacimiento pueden ir por debajo del punto de rocío y el líquido comienza a acumularse. Tales yacimientos pueden ir bajo acumulación líquida sin demostrar ningún rastro de la producción líquida. La pérdida repentina de la producción y las estimaciones muy altas del factor de daño de pruebas de presión son indicadores fuertes de la acumulación líquida. Las características PVT como el diagrama de fase ayudan a identificar también el problema. Cuando las condiciones críticas son alcanzadas, tales yacimientos llegan a ser bifásicos por naturaleza. La predicción del comportamiento de pozos de gas condensado es un desafío y una necesidad al mismo tiempo, para la optimización de la producción. Los sistemas de gas condensado retrógrado no han sido tratados tan intensamente como han sido los yacimientos de gas en solución. La razón principal es el comportamiento de la fase (C1-C1O) de hidrocarburos ligeros en los yacimientos. Los yacimientos de gas condensado retrogrado son primeramente yacimientos de gas. Una zona del líquido comienza a formarse mientras que se alcanza la presión del punto de rocío. El líquido se mantiene acumulado y no fluye hasta que se alcanza la saturación líquida crítica. La presión a este punto en el yacimiento se llama P*. Por otra parte, este líquido puede re-vaporizarse. Este comportamiento de la re-vaporización de la fase de petróleo es llamado “comportamiento retrógrado.” La pérdida de la producción en tales condiciones es principalmente debido a dos razones: a) Fase liquida experimentando gas; b) Disminución de la permeabilidad a causa de la fase líquida. El nuevo método de proyectar el comportamiento de pozos de gas condensado se introduce para integrar datos de presión transiente de la prueba de pozos y datos de prueba de la producción. Los datos de prueba del pozo se usan para estimar la permeabilidad efectiva de cada fase (gas y condensado) y después se utilizan para convertir los datos de la presión de la producción en datos de pseudo presión. 34 La permeabilidad efectiva de una fase se puede también utilizar para convertir los datos de presión en pseudo presión de otra fase. Esto es muy útil en caso de que solamente un dato de la producción de una fase esté disponible. Finalmente, se muestra un procedimiento paso a paso para calcular la curva de comportamiento de afluencia IPR en yacimientos de gas condensado. 1. Se seleccionan los datos de presión. 2. Se deben convertir los datos de presión seleccionados en pseudo presión sin el termino Krg, Esto es igual a mP/Mg. Usando la Ec. (2.243) ( ) ( ) ( ) ] ] ] ] − − , ` . | · ∫ S P S O P P P w f g g g R R R R R B m P 1 * 1 * µ (2.243) donde g µ es la viscosidad del gas, g B representa el factor volumétrico del petróleo, P R simboliza la producción de RGP ( p g q q / ) y S R define la solución de RGP. 3. Utilizando los mismos datos de presión se debe evaluar usando la ecuación integral dada en Fig. 2.29. Este es el termino Mg. 35 Figura 2.29. Integral de la permeabilidad efectiva del gas extrapolada a cero presión. (Jokhio y Tiab, 2002) 4. Luego se calcula el valor final de pseudo presión multiplicando mP/Mg con Mg para obtener mP. 5. Seguidamente se traza mP Vs. Tasa de flujo sobre un trazo de log-log y calcular n, e interceptar C. Los parámetros se estiman separadamente para las fases de petróleo y gas. 6. Finalmente se establece la IPR usando la ecuación de Rawlins y Schellhardt. Fase gas: ( ) n g g mP C q ∆ · Fase petróleo: ( ) n o o mP C q ∆ · 2.8.- Ecuaciones del Comportamiento de Afluencia para Casos Especiales. 36 Si la presión de fondo fluyente está por debajo de la presión de burbuja, el caudal de petróleo que produce el pozo, ya no es una función lineal de la diferencia de presión entre la presión de yacimiento y la presión de fondo fluyente. Analíticamente, el problema no es sencillo ya que se introduce un complejo patrón de flujo en el yacimiento, siendo difícil estimar la permeabilidad efectiva de los fluidos y donde pueden existir fenómenos complejos de turbulencia. Se han desarrollado diferentes ecuaciones para predecir la capacidad de afluencia de un pozo produciendo en flujo de dos fases. Ecuación de Standing. Vogel (1968) observó en su estudio que el efecto de daño en el pozo causa un enderezamiento en la curva del comportamiento de afluencia. Esa observación la estudió Standing en 1970 a través del perfil presión-distancia de un pozo con daño como se muestra en la Fig. 2.30. Cuando un pozo está dañado, existe una caída de presión adicional alrededor del mismo; provocando que la presión de fondo fluyente sea menor a la real. Esto significa, que se puede obtener el mismo caudal a una presión de fondo fluyente mayor, pudiendo mejorar de forma eficaz la producción del pozo. De la Fig. 2.30 se puede deducir la eficiencia de flujo (EF) del sistema formación-pozo, y que viene dada por la relación: . wf y s wf y P P P P P EF − ∆ − − · (2.243) Gráficamente, para EF≤1, la EF es la distancia ′ − wf y P P dividida por la distancia wf y P P − . , wf y wf y P P P P EF − ′ − · (2.244) 37 donde Pwf’ es la presión de fondo fluyente del pozo sin daño. P y P wf ’ P wf ∆P daño P r e s ió n , P r s 0.47r e Ln (r) N o f l u j o h k q m ⋅ ⋅ ⋅ · β µ 2 . 141 P y P wf ’ P wf ∆P daño P r e s ió n , P r s 0.47r e Ln (r) N o f l u j o h k q m ⋅ ⋅ ⋅ · β µ 2 . 141 Figura 2.30. Perfil de presión del pozo con daño en un área de drenaje circular. (Standing, 1970). Para un pozo con un volumen de drenaje cilíndrico y cerrado, la eficiencia de flujo se puede expresar como: , 47 . 0 47 . 0 s r r Ln r r Ln EF w e w e + , ` . | ⋅ , ` . | ⋅ · (2.245) donde s es el factor adimensional de daño. La EF también expresa la relación del caudal de un pozo con daño al caudal de un pozo sin daño; es decir: . 0 , 0 , · ≠ · S o S o q q EF (2.246) 38 En la Fig. 2.31(a), la relación entre el caudal de producción y el máximo caudal de producción es la misma para las relaciones de presión. En la Fig. 2.31(b) se observa que para un mismo caudal tenemos la diferencia entre las presiones de fondo fluyente de las curvas del comportamiento de afluencia para un pozo con daño y un pozo sin daño. Figura 2.31. Comportamiento de afluencia para un mismo pozo a distintas eficiencias de flujo usando la ecuación de Vogel. (a) curvas adimensionales, (b) curvas IPR. (Standing, 1970). Conocida la EF, se puede usar la ecuación de Vogel para obtener la curva IPR de un pozo con daño. Para ello, se calcula la presión de fondo fluyente sin daño y se encuentra la relación de presiones; siguiendo con el cálculo del máximo caudal de flujo. Si existiese un pozo con más de una prueba de flujo, se realiza un promedio de los máximos caudales. A continuación se muestra los pasos a seguir para obtener el comportamiento de afluencia de un pozo: (a) (b) 39 a. Se calcula la presión de fondo fluyente sin daño para cada prueba (si la hubiere), despejando Pwf’ de la Ec. (2.244). b. Para cada prueba de flujo (si la hubiere), se calcula la relación de caudal de producción entre el máximo caudal de producción, qo/qo,max, usando la ecuación de Vogel (2.22). c. Para cada prueba (si la hubiere), se calcula el máximo caudal de producción, qo,max(EF≠ 1). d. Se promedia el máximo caudal de producción, ( ) 1 max, ≠ EF o q . e. Se divide la presión desde cero hasta la presión promedia del yacimiento. f. Para cada P, se calcula la presión de fondo fluyente del pozo sin daño (Pwf’); la cual será usada para estimar la relación qo/qo,max. Conocido ( ) 1 max, ≠ EF o q , se estima el qo para el pozo con la EF≠ 1. La Fig. 2.32 muestra curvas desarrolladas con el procedimiento explicado, para eficiencias de flujo entre 0.5 y 1.5. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 , 5 0 , 6 0 , 7 0 , 8 0 , 9 1 , 0 1 , 1 1 , 2 1 ,3 Eficiencia de flujo P w f / P y q o /q o,max 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 , 5 0 , 6 0 , 7 0 , 8 0 , 9 1 , 0 1 , 1 1 , 2 1 ,3 Eficiencia de flujo P w f / P y q o /q o,max Figura 2.32. Curvas IPR para pozo con daño y estimulación produciendo en un yacimiento con empuje por gas en solución. (Standing, 1970). 40 11 ∆P 2 = C + D ⋅ qg . qg (2.184) El término Darcy es C= 1.424µ ⋅ Z ⋅ T ⋅ q g r ln 0.472 e + s . k⋅h rw (2.185) Como 1/rw es un valor muy pequeño, el término de turbulencia es: 3.16 × 10 −18 β ⋅ γ g ⋅ Z ⋅ T 1 D ⋅ qg = r h2 w . (2.186) 2 lim Un grafico de ∆ P2/qg versus qg tiene una pendiente D, y C = qg →0 ∆P qg . Ecuación Rawlins y Schellhardt. El método de flujo tras flujo para pruebas de pozos de gas fue desarrollado por Rawlins y Schellhardt en 1936. Para ello, usaron 582 pruebas de pozos. Se elaboró un gráfico del caudal de flujo versus la diferencia de los cuadrados de la presión de cierre y la presión de fondo fluyente (en la cara de la arena), Ps2-Pwf2, en coordenadas logarítmicas. La relación se representa en la Fig. 2.22 como una línea recta . 12 Figura 2.22. Prueba multipunto donde ser muestra el desempeño de un pozo. (Rawlins y Schellhardt, 1936). La prueba de flujo tras flujo o también llamado, prueba multipunto, requiere de una serie de caudales de flujo y su correspondiente medida de presión. Estas pruebas se obtienen bajo condiciones de estabilización o para ciertos intervalos de tiempo. Las pruebas se inician idealmente con la presión estática de yacimiento, y luego se va disminuyendo, cambiando el tamaño del estrangulador sin cerrar el pozo. Estas pruebas se diseñaron para pozos con estabilización rápida y donde se alcanza el flujo de estado estable durante los períodos de las pruebas de flujo. En la Fig. 2.23 (a) se muestra que el caudal de flujo es estable al final de cada período. De igual forma, en la Fig. 2.23 (b) la presión es estable al final de cada período de flujo cuando ocurre el cambio de estrangulador. La ecuación de Rawlins y Schellhardt usada para el análisis de pozos de gas viene dada por: Esto trae un problema al momento de determinar las características reales de estos pozos. Existe un gran número de pozos que han sido completados en yacimientos de baja permeabilidad. El procedimiento empleado para obtener los datos necesarios consistió en abrir el pozo luego del cierre. (2. caudal de flujo versus tiempo y presión versus tiempo. Prueba flujo tras flujo. durante el período de flujo sin perturbación del caudal. Un gradiente de presión se estableció alrededor del pozo. resultando en dos o más cambios mecánicos del caudal de flujo a las condiciones de cierre. Después de obtener suficientes datos. El término “isocronal” se adoptó para describir el método.187) Siendo C el coeficiente de desempeño y n el exponente de flujo. La expresión “simple perturbación de duración constante” se propuso para definir estas condiciones alrededor del pozo como resultado de un caudal de flujo constante para un período de tiempo específico de condiciones de cierre. (Rawlins y Schellhardt. los cuales exhiben características de “baja estabilización”.23. obteniendo los datos de caudal y de presión a intervalos de tiempo específicos. Debido a ese problema. (a) (b) Figura 2. Método de Cullender. el . 1936). Cullender (1955) desarrolló el método isocronal para determinar las características de flujo en pozos de gas. debido a que las condiciones existentes son el resultado de una simple perturbación en el pozo de duración constante.13 q g = C ⋅ Ps − Pwf ( 2 2 n ). Siendo Ps la presión de cierre. ( 2 2 ) (2. al mismo intervalo de tiempo de la primera apertura. El procedimiento se puede repetir tantas veces como sea necesario para obtener el número de puntos deseados. En la Fig.188) .14 pozo se cierra para volver a las condiciones de cierre iníciales. Las suposiciones se hicieron para justificar la presentación de las características de un pozo de gas como una serie de curvas paralelas con una pendiente constante (n) y un coeficiente (C) constante solamente con respecto a un intervalo de tiempo específico. La ecuación usada para el análisis es: q g = C ⋅ Pwf − Ps . la variación del coeficiente C con de drenaje. Las suposiciones para este método fueron: − − La pendiente.24 se muestra las distintas curvas con la misma pendiente para el método isocronal. de la curva de un pozo de gas es independiente del área Bajo simples condiciones de gradiente. 2. n. El pozo se abre de nuevo a un caudal diferente. Se establece casi inmediatamente después de abrir el pozo. respecto al tiempo es independiente del caudal de flujo y el nivel de presión. . 1955). Correlación de Mishra y Caudle.24. (Cullender. Curvas isocronales de un pozo de gas.15 Figura 2. . (2. La ecuación de caída de presión. por ejemplo. en unidades de campo se encuentra dada por: m( Pi ) − m( Pwf qg ⋅T 1422 k ⋅ h ) = 1 A ln 2 rw 2 1 2. ecuaciones de estado Los efectos de flujo turbulento son caracterizados por un factor de seudo-estable pueden ser usado para describir el flujo de gas en el yacimiento. Usaron la solución analítica para flujo de gas real bajo condiciones estables. turbulencia constante D.190). homogéneo e isotrópico con un límite cerrado.190) Combinando las Ecs. eliminando la necesidad de usar pruebas multipuntos convencionales. Predomina las condiciones estables.16 Mishra y Caudle (1984) presentaron un método para predecir las curvas IPR en pozos de gas. desarrollando una relación empírica para calcular el desempeño de pozos de gas. Penetración completa y simple. Las premisas usadas fueron: − − − − Yacimiento no fracturado.189) Para volumen de drenaje cerrado.189) y (2. (2. y un amplio rango de las propiedades roca-fluido. qg ⋅T 1422 k ⋅ h (2.2458 + ln 2 C A + 2π ⋅ t DA + s + D ⋅ q g . y el caudal dependiente del daño D·q. del balance de materiales se tiene: m( P ) − m ( P ) i = 2π ⋅ t DA . m( P ) (2.196) .194) Dividiendo la Ec.17 m( P ) − m( Pwf q g ⋅T 1422 k ⋅ h ) = 1 A ln 2 rw 2 1 2.194). (2. (2. por lo tanto. Resolviendo la Ec. 2 ⋅b (2. (2.192) siendo a y b constantes. la ecuación es: q g max = − a + a 2 + 4b ⋅ m( P ) . resulta: q g − a + a 2 + 4b ⋅ m( P ) − m( Pwf = q g max − a + a 2 + 4b ⋅ m( P ) [ )] .191) La Ec.193) y (2. (2. (2. (2. se tiene qg = − a + a 2 + 4b ⋅ m( P ) − m( Pwf 2⋅b [ )] .193) El caudal máximo de flujo corresponde cuando la presión en la cara de la arena es cero.192) y tomando la raíz positiva.2458 + ln 2 C A + S + D ⋅ qg .191) se puede reescribir como m( P ) − m( Pwf ) = a ⋅ q g + b ⋅ q g .194) se puede expresar en la forma qg q g max m( Pwf ) =F ⋅ . (2. 2 (2.195) La Ec. El procedimiento empleado fue el mismo que Mishra y Caudle. se usa la Ec. En pozos de gas estimulados con factores de daño positivo se mostró una tendencia lineal de la forma: . En formaciones estimuladas con un factor de daño cero o negativo. (2. fluido y fractura fueron cuidadosamente estudiadas. q g max 4 (2. La correlación que mejor se ajusto a las condiciones de estudio fue: m ( Pwf ) −1 qg 5 m( P ) = 1 − 5 . la tendencia de la curva IPR adimensional siguió la misma encontrada por Mishra y Caudle. desarrollando una correlación empírica a través de un ajuste de regresión. revelando que solo el factor de daño era la diferencia entre la tendencia lineal y la curvilínea.198) Correlación de Chase y Williams. Chase y Williams (1986) extendieron el trabajo de Mishra y Caudle para desarrollar curvas IPR adimensionales para pozos de gas con daño que tienen fracturas verticales inducidas hidráulicamente. dada por la Ec.18 Se realizaron gráficos de m(Pwf)/m( P ) versus qg/qgmax para distintos casos.197). µg ⋅ Z (2. Se realizaron distintas sensibilidades de forma aleatoria de los distintos parámetros de yacimiento. de Al Hussainy y Ramey: m( P ) = 2 ⋅ ∫ 0 P P dP. Dos tendencias se observaron en el grafico. Las propiedades de roca. una lineal y otra no lineal.197) Para calcular la pseudo presión. 37 ⋅ X ⋅ es. 1.2996 ⋅ T ⋅ D . Este valor reemplaza el radio del pozo solamente en la ecuación para a.2996 ⋅ T k ⋅h b= re ln r wa − 0. Se usó aproximadamente mil combinaciones de datos de entrada para cada relación de longitud de fractura (Xe/Xf).199) Correlación de Chase y Alkandari.203) rwa = 0. k ⋅h D = 1. Estos cálculos se repitieron para relaciones de longitud de fractura que variaban desde 1 hasta 108. y coeficiente de pérdida de presión turbulento-inercial. Chase y Alkandari (1993) presentaron un trabajo relacionado con el análisis de la curva IPR de pozos de gas fracturados. Para ello. equivalente a una fractura uniforme. Las siguientes ecuaciones se usaron para calcular las series de valores de a y b: a= 1. Se calculó series de valores del coeficiente de pérdida de presión para flujo laminar.200) (2. En pozos fracturados se utilizó la ecuación para calcular el radio aparente del pozo. .75 + s .237 ⋅ 10 −10 ⋅ γg ⋅h µ ⋅ rw ⋅ h p f 2 (2. tomaron la ecuación de Forchheimer sustituyendo distintos parámetros de entrada y usando la herramienta de simulación de Monte Carlo.19 qg q g max m( Pwf ) =1 − .201) . b.202) (2. (2. el coeficiente laminar. a. m( P ) (2. Los cómputos de a y b también se utilizaron para calcular el caudal de flujo para cada presión de fondo fluyente y así. se calculo qmax@ Xe / Xf = 1 .00989 ⋅ log X e Xf + 0.207) .143212 ⋅ log e X f − 0. que se refiere al caudal de flujo cuando la relación de la longitud de fractura es 1 y la presión de fondo fluyente es cero.00039 ⋅ log X e Xf 2 .296498 − 0. (2.00874 ⋅ log X e Xf − 0. derivando la siguiente correlación: m( Pwf m( P ) ) q =1 − M ⋅ q max@ X / X =1 e f . X log ( M ) = 0. Para relaciones de Xe/Xf>108.057871 ⋅ log e X f + 0. 3 (2. construir curvas de pseudo presión adimensionales m( Pwf ) m( P ) versus caudal de flujo adimensional q qmax@ X e / X f =1 .004865 + 0.311663 .204) N Siendo M y N: X log ( M ) = 0.0618 ⋅ log e X f + 0.206) Siendo Xe el radio del yacimiento o radio de investigación. y X f el radio de la fractura uniforme. (2. Se realizó el ajuste de los resultados obtenidos.20 Con los cómputos de a y b. 3 (2. el trabajo de West & Chase recomiendan el uso de las siguientes ecuaciones para calcular M y N.0004278 2 X ⋅ log e Xf .205) X log ( N ) = 0. 209) Para usar la Ec.209) se requiere de una prueba de restauración de presión.6.2% con una desviación estándar de 8. qmax@ Xe / Xf = 1 . Con los datos de entrada. se calcula el caudal máximo de flujo. Xe = 0.204) se puede predecir la curva IPR o se puede resolver los coeficientes de la ecuación de RawlinsSchellhardt (C y n) o los coeficientes de la ecuación Forchheimer (a y b).Ecuaciones aplicadas para pozos horizontales.7%. La relación de la longitud de fractura Xe/Xf se puede calcular usando el factor de daño aparente.21 X log ( N ) = −0.208) Las correlaciones de Chase y Alkandari también se pueden usar para pozos de gas no fracturados. con la Ec. El procedimiento a emplear necesita de los parámetros: caudal de flujo. la cual proporciona el radio de la fractura (Xf) o el daño aparente. Chase y colaboradores determinaron el caudal máximo en la cara de la arena para 25 pozos de gas en Canadá.002712 ⋅ log e X f + 0. la presión de fondo fluyente y la presión promedio del yacimiento. (2.37 ⋅ X e Xf e s' ⋅ r w . Luego. s’. arrojando un error de 9. .2.159624 . (2. o para pozos donde no se conoce la longitud de fractura.. 2. (2. (2. 7 lpca y 520 ºR respectivamente. Los pozos de gas generalmente tienen alta velocidad.08 ⋅ 10 (2. el factor volumétrico del gas se calcula por el factor de compresibilidad del gas. por lo tanto. P (2. Si la presión y temperatura a condiciones normales son 14. se toman en consideración los efectos de flujo no Darcy.210) Ahora. En un pozo horizontal. Z. y la presión promedio entre el yacimiento y el .0283 ⋅ Z ⋅T . la unidad de la ecuación IPR para pozos de petróleo se necesita convertir para pozos de gas (de BNPD a MPCND). a presión y temperatura.575 ⋅ q g ( MPCND ).212). viene dada por el factor volumétrico de gas de formación y las unidades del caudal de flujo. se puede reescribir el factor volumétrico del gas como β g = 0. y el factor de compresibilidad del gas.211) donde Tca y Pca son la presión y temperatura a las condiciones normales. Pca (2. En primer lugar.212) De la Ec. la temperatura. a condiciones atmosféricas es 1. −3 5.22 Ecuación de Joshi. Las modificaciones necesarias para usar la ecuación de Joshi (1988). como sigue: 1 1000 MPCND ⋅ q o ( BNPD ) ⋅ = 25154 . (2. se necesita relacionar el factor volumétrico de gas de formación.615 BNPD 7. el modelo para yacimientos de gas se deriva de forma similar que para pozos de petróleo. Por la Ley de Gases Reales: βg = Z ⋅ n⋅ R⋅T Z ca ⋅ n ⋅ R ⋅ Tc a P . β g. 5 ⋅ L 2 2 4 (2. la ecuación IPR para pozo horizontal de gas se puede expresar como: qg = k H ⋅ h ⋅ Pe − Pw f ( 2 2 ) I ⋅h I ⋅h 1424⋅ Z ⋅ µ g ⋅ T ⋅ ln( α ) + ani ⋅ ln ani + s 2r L w (2.213) en la Ec.115) y cambiando la viscosidad de petróleo por la viscosidad de gas a la presión promedio. El término correspondiente de la Ec. (2. 2 .111) (2.08 × 10 −3 . m( P ) = 2 ⋅ ∫ Po P P dP . Con.198) . 4 0.114) Usando la función seudo-presión de un gas real presentada por Al Hussainy y Ramey. se puede cambiar para pozos de gas como: ⋅ ( 25154 . (2.213) Sustituyendo la Ec. L 2 1 reH L 1 a = ⋅ + + .23 fondo del pozo. µg ⋅ Z (2.115) para pozo de petróleo.214) Iani = kH kV 2 . (2. (2.575 ⋅ q g ) ⋅ 0. q o ⋅ βo 7.0283 ⋅ ( P Z PT ) e + wf 2 qg ⋅ Z ⋅ T = 1424 ⋅ ( Pe + Pwf ) . L a+ a − 2 α= . 215). El término D·qo se adiciona en la Ec. Estas caídas de presión adicional es una función del caudal de flujo. Estas altas velocidades causan una caída de presión adicional. D.2 × 10 −15 ⋅ L ⋅ γ g ⋅ k x ⋅ k z β d 1 1 β 1 1 ⋅ 2 ⋅ − + 2 ⋅ − . D.216) Siendo. La ecuación presentada por Thomas y colaboradores para flujo no Darcy para un pozo horizontal de gas se encuentra dada por: D = 2. (2. se puede obtener de data experimental de laboratorio o de correlaciones. (2. . Para pozos de gas.24 donde Po es la presión referencia y se puede usar a la presión base. y se puede adicionar en la Ec. (2. µ g ( Pwf ) L rw rd L rd re (2. lo cual se conoce como efecto de flujo no Darcy.217) A es la extensión de drenaje del pozo en la dirección x.215) . la velocidad de flujo es generalmente más grande que la de un pozo de petróleo. principalmente en la cercanía del pozo. cerca del flujo del hoyo. La ecuación IPR para pozos horizontales de gas en términos de seudo-presión de un gas real viene dada por: qg = k x ⋅ h ⋅ ( m( Pe ) − m( Pwf ) ) I ⋅h I ⋅h 1424⋅ T ⋅ ln( α ) + ani ⋅ ln ani + s 2r L w (2. explica la turbulencia debido a la altos caudales. El valor del coeficiente no Darcy.215) y produce un caudal dependiente del factor de daño. re = a ⋅ h . El coeficiente de flujo no-Darcy. 6 × 1010 kx ⋅ kz ) 1. (2. Según el trabajo realizado por Thomas y colaboradores.2 ⋅ q o ⋅ β o ⋅ µ o ln r + ln ( C H ) − 0.2 .75 + s R w = . se puede estimar por. (2.2 ⋅ q o ⋅ β o ⋅ µ o L ⋅ kx ⋅ kz ( sd + D ⋅ q o ).222) ∆Pskin = 141. β= ( 2.221) Siendo.2 d La ecuación IPR queda definida como: qg = k x ⋅ h ⋅ ( m( Pe ) − m( Pwf ) ) I ⋅h I ⋅h 1424⋅ T ⋅ ln( α ) + ani ⋅ ln ani + s + D ⋅ q g 2r L w . (2.220) Ecuación de Babu y Odeh. la caída de presión adicional debido al flujo no Darcy viene dada por: ∆Ptotal = ∆Pnoskin + ∆Pskin .223) .25 El factor de turbulencia para zonas no dañadas y dañadas.6 × 10 10 kx ⋅kz ) 1.219) βd = ( 2. b kx ⋅ kz ∆Pnoskin (2. (2. (2.218) . β y β d. A 141. Adicional. (2.08 × 10 −3 b ⋅ k x ⋅ k z ⋅ ( P − Pwf ) A b β o ⋅ µ o ⋅ ln r + ln( C H ) − 0. (2.2 ⋅ q o ⋅ β o ⋅ µ o ⋅ ln rw 141. sm abarca el daño debido a: la zona dañada/estimulada. Este daño es positivo si resulta de la invasión de lodo en la perforación.226) Cuando b es igual a L.2 ⋅ q ⋅ β ⋅ µ o o o ( s d + D ⋅ q o ).26 El término de daño mecánico.0 ⋅ ln d rw .223) se combinan para obtener la caída de presión total del sistema: A + ln( C H ) − 0.75 + s R 141.75 + s R + L ( s d + D ⋅ q o ) w . sd. el pozo penetra la longitud total del yacimiento y no hay efecto de penetración parcial. Cuando L es menor que b. Se calcula como sigue: sd = ( kx ⋅ kz kx ⋅ kz ) d r − 1. y a la zona cruzada que rodea las perforaciones. Solamente se considera el daño debido a la zona dañada/estimulada. o negativo si resulta de un ácido o trabajo de fractura. qo = 7. .222) y (2. los pozos horizontales se asumen con completaciones a hoyo abierto y así. Las Ecs. = + b kx ⋅ kz L ⋅ kx ⋅ kz ∆Ptotal (2. a la geometría de la perforación.224) El daño debido a la geometría de la perforación es generalmente pequeño y se fija igual a cero. el daño debido al cruce y compactación de la formación alrededor de las perforaciones se fija de igual forma a cero. el pozo está parcialmente penetrado y el caudal de flujo disminuye por efecto del daño. (2.225) Reordenando caudal en función de las variables. 75 + s + b ( s + D ⋅ q ) 142 4⋅ µ g ⋅ Z ⋅ T ⋅ ln H R d g L rw (2.75 + s + + b ( s + D ⋅ q ) ln 1424⋅ T ⋅ H R d o L rw . Para usar la seudo presión de un gas real.229) Ecuación de Furui.27 En pozos de petróleo no se considera el flujo no darcy. (2. La ecuación de Babu y Odeh (1989). La ecuación de Butler (1994) para pozos de gas en pseudo presión.14 ⋅ I ani + s + D ⋅ q g ( I + 1) ⋅ r h w ani . en pozos de gas se debe considerar. . (2.228) Ecuación de Butler. por lo tanto.227) . se tiene: qg = b ⋅ k x ⋅ k z ⋅ P 2 − Pw f ( 2 ) A 12 + ln( C ) − 0. entre la presión promedio de yacimiento y la presión de fondo fluyente. la ecuación se convierte en qg = b ⋅ k x ⋅ k z ⋅ ( m( P ) − m( Pwf ) ) A 12 + ln( C ) − 0. Las propiedades del gas se estiman a la presión promedio. en cambio. viene dada por: qg = k y ⋅ L ⋅ ( m( Pe ) − m( Pw f ) ) I ani ⋅ h π ⋅ y b + 1424⋅ T ⋅ I ani ⋅ ln ⋅ − 1. se aproxima a pozos de gas siguiendo el procedimiento empleado en la ecuación de Joshi (1988). viene dada por: qg = k ⋅ L ⋅ ( m( Pe ) − m( Pwf ) ) I ani ⋅ h π ⋅ y b + 1424⋅ T ⋅ I ani ⋅ ln ⋅ − 1. y del área de drenaje del yacimiento. Lee y Chase.230) Correlación de Billiter. (2. se tiene: m( P ) − m( Pwf ) = a pss ⋅ q g + b pss ⋅ q g . Lee y Chase (2001) presentaron un trabajo sobre la curva del comportamiento de afluencia de pozos de gas horizontales no fracturados. (2.28 La ecuación de Furui para pozos de gas en pseudo presión. Las ecuaciones de pseudo presión se solucionaron usando los métodos analíticos y la simulación Monte Carlo para producir las curvas IPR adimensionales.224 + s + D ⋅ q g ( I + 1) ⋅ r h w ani .75 + s R + ( s d ) 1424 ⋅ T ⋅ ln L rw b ⋅ kx ⋅ kz a pss = . la presión de yacimiento promedio.232) . (2. Billiter. como una función de la permeabilidad horizontal.estado estable.228) es cuadrática en términos del caudal de flujo de gas. 2 (2.231) Siendo. Dichas ecuaciones se modificaron para explicar los efectos del flujo no-Darcy y los efectos de daño mecánico. La Ec. por lo tanto. Se basaron en el trabajo de Babu y Odeh para flujo horizontal en un pozo de petróleo bajo condiciones de semi . A b + ln( C H ) − 0. la altura del yacimiento. La correlación con el mejor ajuste viene dada por: qg q g max m( Pwf =1 − mP ( ) 2 ) n . el espesor del yacimiento. 3 (2. n = 4.4706 × 10 −4 b + 1. (2.3049 × 10 −7 h 3 − 2. De un total de 384 curvas IPR.0163 ×10 −12 b 3 + 2. (2.234) El caudal máximo de flujo. (2. (2.240) .0375 × 10 −4 h 2 + 3. q g max = − a pss + a pss + 4b pss m P 2b pss 2 ( ) .235) Siguiendo el mismo procedimiento de Mishra y Caudle.233) Resolviendo la Ec.4975 × 10 −2 h − 1. se adimensionalizaron las variables para graficar las curva IPR. Se demostró que la curva IPR adimensional propuesta para pozos sin fractura. y el área de drenaje del yacimiento.5828 × 10 −2 z sum − 1. (2.239) z h = 4. (2. la presión promedio del yacimiento.8162 ×10 −8 b 2 − 3.29 b pss b 1424 ⋅ T ⋅ D L = .237) z sum = z b + z h + z ln ( k x ) + z P .5565 × 10 −1 z sum − 1.0406. se obtiene cuando Pwf es cero. (2.2860 .231) qg = − a pss + a pss + 4b pss m P − m( Pwf 2 ( ( ) )) 2b pss .236) Siendo. qgmax. b ⋅ kx ⋅ kz (2. es básicamente independiente de todas las variables. excepto de la permeabilidad horizontal. se realizó un análisis de regresión para determinar la mejor correlación de ajuste.3976 × 10 −1 z sum + 1. que se realizaron varias corridas con distinta variaciones en los parámetros estudiados.238) z b = −1.6772 . De tal modo. 0269. 2 (2. Este método utiliza datos de prueba de presión transiente para estimar la permeabilidad efectiva como función de la presión.1620 ×10 −8 P 2 + 5. La permeabilidad efectiva de cualquier fase se puede utilizar para predecir la producción de una segunda fase. y sus aplicaciones son convertir datos de la producción BHFP en pseudo presión para establecer el comportamiento del pozo.30 z ln ( k x ) = 1. .5563 ×10 −12 P 3 − 7. Correlación de Jokhio y Tiab. Jokhio y Tiab (2002) crearon un método para establecer la relación del comportamiento de afluencia para pozos de gas condensado.5431× 10 −3 ( ln( k x ) ) + 3. Se han desarrollado modelos matemáticos para estudiar la pérdida de producción del pozo debido a la acumulación de liquido cuando se alcanza la presión del punto de rocío.9398 ×10 −4 P −1.242) z P =3. así como también el aumento de la productividad debido a la movilidad del condensado.5325 .Ecuaciones del Comportamiento de Afluencia para Yacimientos de Gas Condensado.3956× 10 −1 ln( k x ) − 1. Las curvas de permeabilidad relativa de ser disponible también pueden ser usadas. 2. el conocimiento de la saturación tiene que ser determinado en todas las etapas de agotamiento para poder hacer uso de éstas.7. cuando se alcanza la P*. Se han desarrollado las curvas de pseudo presión para ambas fases de petróleo y gas para la conversión rápida de los datos de presión entre los datos de pseudo presión. sin embargo.241) (2.. Fase del comportamiento de los fluidos condensados.25.31 Figura 2. 2002) . (Jokhio y Tiab. 32 Figura 2. Tres regiones indicando flujo bifásico alrededor del pozo horizontal. (Jokhio y Tiab. Tres regiones en un yacimiento de gas condensado con pozo vertical. flujo monofásico con liquido buildup. y el flujo de gas libre en la región más lejana. Figura 2.28.27. 2002). 2002) Figura 2.26. Distribución de presión y fluido alrededor del pozo horizontal penetrado completamente. (Jokhio y Tiab. . La pérdida repentina de la producción y las estimaciones muy altas del factor de daño de pruebas de presión son indicadores fuertes de la acumulación líquida. La predicción del comportamiento de pozos de gas condensado es un desafío y una necesidad al mismo tiempo.” La pérdida de la producción en tales condiciones es principalmente debido a dos razones: a) Fase liquida experimentando gas. Cuando las condiciones críticas son alcanzadas. La razón principal es el comportamiento de la fase (C1-C1O) de hidrocarburos ligeros en los yacimientos. Este comportamiento de la re-vaporización de la fase de petróleo es llamado “comportamiento retrógrado. El líquido se mantiene acumulado y no fluye hasta que se alcanza la saturación líquida crítica. Los sistemas de gas condensado retrógrado no han sido tratados tan intensamente como han sido los yacimientos de gas en solución. tales yacimientos llegan a ser bifásicos por naturaleza. este líquido puede re-vaporizarse. La presión a este punto en el yacimiento se llama P*. Los datos de prueba del pozo se usan para estimar la permeabilidad efectiva de cada fase (gas y condensado) y después se utilizan para convertir los datos de la presión de la producción en datos de pseudo presión.33 Los yacimientos de gas-condensado son inicialmente yacimientos de gas. Por otra parte. para la optimización de la producción. . las condiciones de la presión del yacimiento pueden ir por debajo del punto de rocío y el líquido comienza a acumularse. El nuevo método de proyectar el comportamiento de pozos de gas condensado se introduce para integrar datos de presión transiente de la prueba de pozos y datos de prueba de la producción. Los yacimientos de gas condensado retrogrado son primeramente yacimientos de gas. Las características PVT como el diagrama de fase ayudan a identificar también el problema. Una zona del líquido comienza a formarse mientras que se alcanza la presión del punto de rocío. b) Disminución de la permeabilidad a causa de la fase líquida. Tales yacimientos pueden ir bajo acumulación líquida sin demostrar ningún rastro de la producción líquida. Como la presión declina con el agotamiento. Se deben convertir los datos de presión seleccionados en pseudo presión sin el termino Krg. 1.34 La permeabilidad efectiva de una fase se puede también utilizar para convertir los datos de presión en pseudo presión de otra fase.243) donde µg es la viscosidad del gas. . Esto es igual a mP/Mg. Se seleccionan los datos de presión. 2. Finalmente. se muestra un procedimiento paso a paso para calcular la curva de comportamiento de afluencia IPR en yacimientos de gas condensado. Este es el termino Mg. B g representa el factor volumétrico del petróleo. Esto es muy útil en caso de que solamente un dato de la producción de una fase esté disponible.29.243) P * 1 R P ( 1 − RO R S ) m g = P ∫ (µ *B ) ( R − R ) P w gf g P S de RGP. (2. 2. (2. R P simboliza la producción de RGP ( q g / q p ) y R S define la solución 3. Usando la Ec. Utilizando los mismos datos de presión se debe evaluar usando la ecuación integral dada en Fig. e interceptar C. Seguidamente se traza mP Vs. . Tasa de flujo sobre un trazo de log-log y calcular n. 6.Ecuaciones del Comportamiento de Afluencia para Casos Especiales. Los parámetros se estiman separadamente para las fases de petróleo y gas. 5. Integral de la permeabilidad efectiva del gas extrapolada a cero presión. Finalmente se establece la IPR usando la ecuación de Rawlins y Schellhardt. n Fase gas: q g = C ( ∆mPg ) Fase petróleo: q o = C ( ∆mPo ) n 2.. (Jokhio y Tiab. Luego se calcula el valor final de pseudo presión multiplicando mP/Mg con Mg para obtener mP. 2002) 4.35 Figura 2.8.29. provocando que la presión de fondo fluyente sea menor a la real. Ecuación de Standing. siendo difícil estimar la permeabilidad efectiva de los fluidos y donde pueden existir fenómenos complejos de turbulencia.30. De la Fig. (2. EF = Py − Pwf Py − Pwf ′ . 2. existe una caída de presión adicional alrededor del mismo.36 Si la presión de fondo fluyente está por debajo de la presión de burbuja. y que viene dada por la relación: EF = Py − Pwf − ∆Ps Py − Pwf . ya no es una función lineal de la diferencia de presión entre la presión de yacimiento y la presión de fondo fluyente. Cuando un pozo está dañado.30 se puede deducir la eficiencia de flujo (EF) del sistema formación-pozo. para EF≤1. pudiendo mejorar de forma eficaz la producción del pozo. (2. el caudal de petróleo que produce el pozo. el problema no es sencillo ya que se introduce un complejo patrón de flujo en el yacimiento. que se puede obtener el mismo caudal a una presión de fondo fluyente mayor. Esto significa. Vogel (1968) observó en su estudio que el efecto de daño en el pozo causa un enderezamiento en la curva del comportamiento de afluencia.244) . la EF es la distancia Py −Pwf ′ dividida por la distancia Py −Pwf . 2.243) Gráficamente. Se han desarrollado diferentes ecuaciones para predecir la capacidad de afluencia de un pozo produciendo en flujo de dos fases. Analíticamente. Esa observación la estudió Standing en 1970 a través del perfil presión-distancia de un pozo con daño como se muestra en la Fig. La EF también expresa la relación del caudal de un pozo con daño al caudal de un pozo sin daño.37 donde Pwf’ es la presión de fondo fluyente del pozo sin daño. EF = 0.30. Perfil de presión del pozo con daño en un área de drenaje circular.47 ⋅ re +s Ln r w (2. (Standing. 1970). es decir: EF = q o .245) donde s es el factor adimensional de daño. S =0 . P ó Pwf’ ∆Pdaño Pwf rs 0. Ln (r) Para un pozo con un volumen de drenaje cilíndrico y cerrado. Py m = 141 . S ≠0 q o . la eficiencia de flujo se puede expresar como: 0.47r e Figura 2.246) No flujo .47 ⋅ re Ln r w . (2.2 q ⋅µ⋅β k ⋅h Presi n. A continuación se muestra los pasos a seguir para obtener el comportamiento de afluencia de un pozo: . siguiendo con el cálculo del máximo caudal de flujo.31. se calcula la presión de fondo fluyente sin daño y se encuentra la relación de presiones. Si existiese un pozo con más de una prueba de flujo. Conocida la EF. (a) curvas adimensionales. 2. En la Fig. (a) (b) Figura 2. (Standing. la relación entre el caudal de producción y el máximo caudal de producción es la misma para las relaciones de presión. Comportamiento de afluencia para un mismo pozo a distintas eficiencias de flujo usando la ecuación de Vogel. (b) curvas IPR. se puede usar la ecuación de Vogel para obtener la curva IPR de un pozo con daño.31(a).38 En la Fig. 2. Para ello.31(b) se observa que para un mismo caudal tenemos la diferencia entre las presiones de fondo fluyente de las curvas del comportamiento de afluencia para un pozo con daño y un pozo sin daño. 1970). se realiza un promedio de los máximos caudales. La Fig. qo. e. se calcula la relación de caudal de producción entre el máximo caudal de producción.4 0. despejando Pwf’ de la Ec. para el pozo con la EF≠ 1.39 a.0 .5 y 1. 0. Para cada prueba (si la hubiere). Para cada prueba de flujo (si la hubiere). 1. d.max.4 6 0. Se divide la presión desde cero hasta la presión promedia del yacimiento. ( EF ≠ ) 1 .2 0. b.6 0.8 1. Curvas IPR para pozo con daño y estimulación produciendo en un yacimiento con empuje por gas en solución. 2.22). la cual será usada para estimar la relación qo/qo. se calcula el máximo caudal de producción.1 . se calcula la presión de fondo fluyente del pozo sin daño (Pwf’).32 muestra curvas desarrolladas con el procedimiento explicado. qo/qo.8 0 0. Conocido q o max. se estima el qo eficiencias de flujo entre 0. Se promedia el máximo caudal de producción. o.max qo/q 0 0.7 0. q o max.6 1.0 0.9 0 0.0 1 1.244). 3 2 1. (Standing. Para cada P. (2.5 . .6 0. Se calcula la presión de fondo fluyente sin daño para cada prueba (si la hubiere).2 0 Figura 2.32. usando la ecuación de Vogel (2. 1970). f.max(EF≠ 1).max. c.8 Eficiencia de flujo Pwf/Py 0. para ( EF ≠ ) 1 .5. 0. 40 .