ecuaciones

Sabemos que𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 𝜔, la cuál consideramos constante en la entrada, entonces 𝜃2 = 𝜃𝑖𝑛 = 𝜔𝑖𝑛 . 𝑡 , al renombrar. 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃4 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝜃4 + 𝐶 = 0 En donde: (7) 𝐴= 2𝑟4 �𝑟1 𝑐𝑜𝑠𝜃1 − 𝑟2 cos (𝜔𝑖𝑛 . 𝑡)� 𝐵 = 2𝑟4 �𝑟1 𝑠𝑖𝑛𝜃1 − 𝑟2 sin (𝜔𝑖𝑛 . 𝑡)� 𝐶 = 𝑟12 + 𝑟22 − 𝑟32 + 𝑟42 − 2𝑟1 𝑟2 𝑐𝑜𝑠�𝜃1 − (𝜔𝑖𝑛 . 𝑡)� (8) Se puede observar en la ecuación (7) que 𝜃4 es la única incógnita, y al ser un argumento de dos funciones trigonométricas diferentes nos apoyamos de las ecuaciones en (8) para poder asociarla a una misma función trigonométrica 𝑐𝑜𝑠𝜃= Por lo que tenemos Y finalmente 𝜃 1 − 𝑡𝑎𝑛2 � � 1+ 2 𝜃 2 𝑡𝑎𝑛 � � 2 , 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝜃 2𝑡𝑎𝑛 � � 1+ 2 𝜃 𝑡𝑎𝑛2 � � 2 𝜃4 𝜃4 (𝐶 − 𝐴)𝑡𝑎𝑛2 � � + 2𝐵𝑡𝑎𝑛 � � + (𝐶 + 𝐴) = 0 2 2 𝜃4 = 2𝑡𝑎𝑛−1 � −2𝐵 ± 2√𝐴2 + 𝐵2 − 𝐶 2 � 2(𝐶 − 𝐴) (9) (10) (11) Siguiendo el mismo procedimiento realizado para determinar la ecuación de 𝜃4 se calcula 𝜃3 de tal forma que tenemos 𝜃3 = 2𝑡𝑎𝑛−1 � En donde: −2𝐸 ± 2√𝐷2 + 𝐸 2 − 𝐹 2 � 2(𝐹 − 𝐷) 𝐷= 2𝑟3 (𝑟2 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑖𝑛 . 𝑡) − 𝑟1 cos 𝜃1 ) 𝐸 = 2𝑟3 (𝑟2 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑖𝑛 . 𝑡) − 𝑟1 sin 𝜃1 ) 𝐹 = 𝑟12 + 𝑟22 + 𝑟32 − 𝑟42 − 2𝑟1 𝑟2 𝑐𝑜𝑠�(𝜔𝑖𝑛 . 𝑡) − 𝜃1 � (12) (13) Cabe mencionar que las ecuaciones (11) y (12) determinadas tienen dos raíces cada una. y 𝑣 es la velocidad correspondiente 1 .1. donde 𝑚 corresponde a la masa del eslabón a analizar. para la cual corresponden los siguientes signos para las ecuaciones (11) y (12) respectivamente 𝜃4 = 2𝑡𝑎𝑛 −1 −𝐵 − √𝐴2 + 𝐵2 − 𝐶 2 � � (𝐶 − 𝐴) 𝜃3 = 2𝑡𝑎𝑛−1 � −𝐸 + √𝐷2 + 𝐸 2 − 𝐹 2 � (𝐹 − 𝐷) 3. dicho signo determina el tipo de configuración (abierta o cerrada) del mecanismo de cuatro barras. nuestro caso pertenece a la configuración abierta [REF]. debido al signo que antecede a la raíz cuadrada contenida en estas. Calculo de la velocidad angular del balancín Para determinar la velocidad angular del balancín procedemos a derivar la ecuación (3) 𝑑𝜃2 𝑑𝜃3 𝑑𝜃4 (14) 𝑗𝑟2 𝑒 𝑗𝜃2 + 𝑗𝑟3 𝑒 𝑗𝜃3 = 𝑗𝑟4 𝑒 𝑗𝜃4 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Y como sabemos que 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 𝜔 .2. entonces la ecuación (14) toma la siguiente forma 𝑗𝜔𝑖𝑛 𝑟2 𝑒 𝑗𝜃2 + 𝑗𝜔3 𝑟3 𝑒 𝑗𝜃3 = 𝑗𝜔4 𝑟4 𝑒 𝑗𝜃4 (15) 𝜔𝑖𝑛 𝑟2 𝑒 𝑗(𝜃2−𝜃3) + 𝜔3 𝑟3 = 𝜔4 𝑟4 𝑒 𝑗(𝜃4−𝜃3) (16) Dividiendo (15) entre 𝑗𝑒 𝑗𝜃3 tenemos 𝑣𝑦2 = 𝑙2 (𝑐𝑜𝑠 𝑥1 )𝑥2 𝑣𝑥3 = −𝑟2 (𝑠𝑖𝑛 𝑥1 )𝑥2 − 𝑙3 (𝑠𝑖𝑛 𝑥3 )𝑥4 𝑣𝑦3 = 𝑟2 (𝑐𝑜𝑠 𝑥1 )𝑥2 + 𝑙3 (𝑐𝑜𝑠 𝑥3 )𝑥4 𝑣𝑥4 = −𝑟2 (𝑠𝑖𝑛 𝑥1 )𝑥2 − 𝑟3 (𝑠𝑖𝑛 𝑥3 )𝑥4 + 𝐸4 (𝑠𝑖𝑛 𝑥5 )𝑥6 𝑣𝑦4 = 𝑙4 (𝑐𝑜𝑠 𝑥5 )𝑥6 Sabemos que la energía cinética se expresa como 𝐶 = 1 2 𝑚𝑣 2 . a su centro de masa de dicho eslabón. entonces calculamos las velocidades al cuadrado de la siguiente manera: 𝑣2 2 = (−𝑙2 (𝑠𝑖𝑛 𝑥1 )𝑥2 )2 + (𝑙2 (𝑐𝑜𝑠 𝑥1 )𝑥2 )2 𝑣2 2 = 𝑙2 2 𝑥2 2 𝑣3 2 = (−𝑟2 (𝑠𝑖𝑛 𝑥1 )𝑥2 − 𝑙3 (𝑠𝑖𝑛 𝑥3 )𝑥4 )2 + (−𝑟2 (𝑐𝑜𝑠 𝑥1 )𝑥2 − 𝑙3 (𝑐𝑜𝑠 𝑥3 )𝑥4 )2 𝑣3 2 = 𝑙3 2 𝑥4 2 + 2�𝑐𝑜𝑠 (𝑥1 − 𝑥3 )� + 𝑙3 𝑟2 𝑥2 𝑥4 + 𝑟2 2 𝑥2 2 𝑣4 2 = (−𝑟2 (𝑠𝑖𝑛 𝑥1 )𝑥2 − 𝑟3 (𝑠𝑖𝑛 𝑥3 )𝑥4 + 𝐸4 (𝑠𝑖𝑛 𝑥5 )𝑥6 )2 + (𝑙4 (𝑐𝑜𝑠 𝑥5 )𝑥6 )2 𝑣4 2 = 𝐸4 2 𝑥6 2 𝑠𝑖𝑛2 𝑥5 − 2𝐸4 𝑟2 𝑥2 𝑥6 𝑠𝑖𝑛 𝑥1 𝑠𝑖𝑛 𝑥5 − 2𝐸4 𝑟3 𝑥4 𝑥6 𝑠𝑖𝑛 𝑥3 𝑠𝑖𝑛 𝑥5 + 𝑙4 2 𝑥6 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥5 + 𝑟2 2 𝑥2 2 𝑠𝑖𝑛2 𝑥1 + 2𝑟2 𝑟3 𝑥2 𝑥4 𝑠𝑖𝑛 𝑥1 𝑠𝑖𝑛 𝑥3 + 𝑟3 2 𝑥4 2 𝑠𝑖𝑛2 𝑥3 Calculamos a continuación las energías cinéticas correspondientes 1 𝐶2 = 𝑚2 (𝑙2 2 𝑥2 2 ) 2 1 𝐶3 = 𝑚3 �𝑙3 2 𝑥4 2 + 2�𝑐𝑜𝑠 (𝑥1 − 𝑥3 )�𝑙3 𝑟2 𝑥2 𝑥4 + 𝑟2 2 𝑥2 2 � 2 1 𝐶4 = 𝑚4 �𝐸4 2 𝑥6 2 (𝑠𝑖𝑛2 𝑥5 ) − 2𝐸4 𝑟2 𝑥2 𝑥6 (𝑠𝑖𝑛 𝑥1 )(𝑠𝑖𝑛 𝑥5 ) − 2𝐸4 𝑟3 𝑥4 𝑥6 (𝑠𝑖𝑛 𝑥3 )(𝑠𝑖𝑛 𝑥5 ) 2 + 𝑙4 2 𝑥6 2 (𝑐𝑜𝑠 2 𝑥5 ) + 𝑟2 2 𝑥2 2 (𝑠𝑖𝑛2 𝑥1 ) + 2𝑟2 𝑟3 𝑥2 𝑥4 (𝑠𝑖𝑛 𝑥1 ) (𝑠𝑖𝑛 𝑥3 ) + 𝑟3 2 𝑥4 2 (𝑠𝑖𝑛2 𝑥3 )� También calculamos las energías potenciales de cada eslabón como sigue: 𝑃2 = 𝑚2 𝑔(𝑙2 (𝑠𝑖𝑛 𝑥1 )) 𝑃3 = 𝑚3 𝑔(𝑟2 (𝑠𝑖𝑛 𝑥1 ) + 𝑙3 (𝑠𝑖𝑛 𝑥3 )) 𝑃4 = 𝑚4 𝑔(𝑙4 (𝑠𝑖𝑛 𝑥5 )) Por lo que ahora podemos calcular el lagrangiano a continuación: 1 1 𝐿 = 𝑚2 �𝑙2 2 𝑥2 2 � + 𝑚3 �𝑙3 2 𝑥4 2 + 2�𝑐𝑜𝑠 (𝑥1 − 𝑥3 )�𝑙3 𝑟2 𝑥2 𝑥4 + 𝑟2 2 𝑥2 2 � 2 2 1 + 𝑚4 �𝐸4 2 𝑥6 2 (𝑠𝑖𝑛2 𝑥5 ) − 2𝐸4 𝑟2 𝑥2 𝑥6 (𝑠𝑖𝑛 𝑥1 )(𝑠𝑖𝑛 𝑥5 ) 2 − 2𝐸4 𝑟3 𝑥4 𝑥6 (𝑠𝑖𝑛 𝑥3 )(𝑠𝑖𝑛 𝑥5 ) + 𝑙4 2 𝑥6 2 (𝑐𝑜𝑠 2 𝑥5 ) + 𝑟2 2 𝑥2 2 (𝑠𝑖𝑛2 𝑥1 ) + 2𝑟2 𝑟3 𝑥2 𝑥4 (sin 𝑥1 ) (sin 𝑥3 )�− 𝑚2 𝑔�𝑙2 (𝑠𝑖𝑛 𝑥1 )� − 𝑚3 𝑔�𝑟2 (𝑠𝑖𝑛 𝑥1 ) + 𝑙3 (𝑠𝑖𝑛 𝑥3 )� − 𝑚4 𝑔(𝑙4 (𝑠𝑖𝑛 𝑥5 )) 2 . 𝑥̇ 5 = 𝑥6 y que 𝑇2 = 𝑈. entonces obtenemos que: 3 . 𝑥̇ 3 = 𝑥4 .𝑥̇ 1 = 𝑥2 . podemos calcular 𝑑𝑡 �𝑑𝑥 � 2 𝑑 𝑑𝐿 � � = (𝑚2 𝑙2 2 𝑥̇ 2 + 𝑚3 𝑟2 2 𝑥̇ 2 + 𝑚3 𝑙3 𝑟2 cos(𝑥1 − 𝑥3 )𝑥̇ 4 𝑑𝑡 𝑑𝑥2 − 𝑚3 𝑙3 𝑟2 𝑥4 sin(𝑥1 − 𝑥3 ) (𝑥̇ 1 − 𝑥̇ 3 ) − 𝑚4 𝐸4 𝑟2 𝑥6 sin 𝑥1 cos 𝑥5 𝑥̇ 5 − 𝑚4 𝐸4 𝑟2 𝑥6 sin 𝑥5 cos 𝑥1 𝑥̇ 1 − 𝑚4 𝐸4 𝑟2 sin 𝑥1 sin 𝑥5 𝑥̇ 6 + 𝑚4 𝑟2 2 𝑥2 2 sin 𝑥1 cos 𝑥1 𝑥̇ 1 + 𝑚4 𝑟2 2 𝑥2 sin2 𝑥1 𝑥̇ 2 + 𝑚4 𝑟2 𝑟3 𝑥4 sin 𝑥1 cos 𝑥3 𝑥̇ 3 + 𝑚4 𝑟2 𝑟3 𝑥4 sin 𝑥3 cos 𝑥1 𝑥̇ 1 + 𝑚4 𝑟2 𝑟3 sin 𝑥1 sin 𝑥3 𝑥̇ 4 ) Sabiendo que. procedemos a calcular el torque de cada eslabón. comenzando con el cálculo de 𝑇2 Comenzando por 𝑑𝐿 𝑑𝜃2̇ 𝑑𝐿 = 𝑑𝜃 1 𝑇2 = 𝑑 𝑑𝐿 � � 𝑑𝑡 𝑑𝜃2̇ 𝑑𝐿 − �𝑑𝜃 � 2 𝑑𝐿 = (𝑚4 𝑟2 2 𝑥2 2 cos 𝑥1 sin 𝑥1 − 𝑚3 𝑟2 cos 𝑥1 − 𝑔𝑙2 𝑚2 cos 𝑥1 − 𝑙3 𝑚3 𝑟2 𝑥2 𝑥4 𝑠𝑖𝑛 (𝑥1 − 𝑥3 ) 𝑑𝑥1 − 𝐸4 𝑚4 𝑟2 𝑥2 𝑥6 cos 𝑥1 sin 𝑥5 + 𝑚4 𝑟2 𝑟3 𝑥2 𝑥4 cos 𝑥1 sin 𝑥3 ) Ahora calculamos 𝑑𝐿 𝑑𝜃2̇ 𝑑𝐿 = 𝑑𝜃 2 𝑑𝐿 = (𝑚2 𝑙2 2 𝑥2 + 𝑚3 𝑙3 𝑟2 cos(𝑥1 − 𝑥3 )𝑥4 + 𝑚3 𝑟2 2 𝑥2 − 𝑚4 𝐸4 𝑟2 𝑥6 sin 𝑥1 sin 𝑥5 𝑑𝑥2 + 𝑚4 𝑟2 2 𝑥2 sin2 𝑥1 + 𝑚4 𝑟2 𝑟3 𝑥4 sin 𝑥1 sin 𝑥3 ) 𝑑 𝑑𝐿 Por el dato anterior.y regresando a las variables originales.Ya determinado el lagrangiano. para ello necesitamos derivar el lagrangiano. correspondiente al cálculo de T3. en el que se asume que T3 = 0. es el torque de entrada de T2 = U. Donde: 2 2 2 𝐴1 𝜃̈2 + 𝐵2 𝜃̈3 − 𝐶2 𝜃̈4 = 𝐷2 𝜃̇2 − 𝐸2 𝜃̇3 + 𝐹2 𝜃̇4 − 𝐺2 𝐴2 = (𝑚3 𝑙3 𝑟2 cos(𝜃2 − 𝜃3 ) + 𝑚4 𝑟2 𝑟3 sin 𝜃2 sin 𝜃3 ) 𝐵2 = �𝑚4 𝑟3 2 sin2 𝜃3 + 𝑚3 𝑙3 2 � 4 (32) . teniendo como resultado la siguiente ecuación. debido a que el único que interviene en este mecanismo.𝑈 = (𝑚2 𝑙2 2 + 𝑚3 𝑟2 2 + 𝑚4 𝑟2 2 sin2 𝜃2 )𝜃̈2 + �𝑚4 𝑟2 𝑟3 sin 𝜃2 sin 𝜃3 + 𝑚3 𝑙3 𝑟2 cos(𝜃2 − 𝜃3 )) 𝜃̈3 2 − (𝑚4 𝐸4 𝑟2 sin 𝜃2 sin 𝜃4 )𝜃̈4 + (𝑚4 𝑟2 2 sin 𝜃2 cos 𝜃2 )𝜃̇2 2 2 + (𝑚4 𝑟2 𝑟3 sin 𝜃2 cos 𝜃3 )𝜃̇3 + 𝑚3 𝑙3 𝑟2 sin(𝜃2 − 𝜃3 )) 𝜃̇3 2 − (𝑚4 𝐸4 𝑟2 sin 𝜃2 cos 𝜃4 )𝜃̇4 + (𝑚2 𝑙2 + 𝑚3 𝑟2 )𝑔 cos 𝜃2 y si renombramos 𝐴1 = (𝑚2 𝑙2 2 + 𝑚3 𝑟2 2 + 𝑚4 𝑟2 2 sin2 𝜃2 ) 𝐵1 = (𝑚4 𝑟2 𝑟3 sin 𝜃2 sin 𝜃3 + 𝑚3 𝑙3 𝑟2 cos(𝜃2 − 𝜃3 )) 𝐶1 = (𝑚4 𝐸4 𝑟2 sin 𝜃2 sin 𝜃4 ) 𝐷1 = (𝑚4 𝑟2 2 sin 𝜃2 cos 𝜃2 ) 2 𝐸1 = (𝑚4 𝑟2 𝑟3 sin 𝜃2 cos 𝜃3 )𝜃̇3 + 𝑚3 𝑙3 𝑟2 sin(𝜃2 − 𝜃3 )) 𝐹1 = (𝑚4 𝐸4 𝑟2 sin 𝜃2 cos 𝜃4 ) 𝐺1 = (𝑚2 𝑙2 + 𝑚3 𝑟2 ) 𝑔 cos 𝜃2 Podemos escribir la siguiente ecuación 2 2 2 𝐴1 𝜃̈2 + 𝐵1 𝜃̈3 − 𝐶1 𝜃̈4 = 𝑈 − 𝐷1 𝜃̇2 − 𝐸1 𝜃̇3 + 𝐹1 𝜃̇4 − 𝐺1 (31) De manera similar se lleva acabo el cálculo de los demás torques. 2 2 2 −𝐴3 𝜃̈2 + 𝐵3 𝜃̈3 − 𝐶3 𝜃̈4 = 𝐷3 𝜃̇2 + 𝐸3 𝜃̇3 + 𝐹3 𝜃̇4 − 𝐺3 (33) En donde: 𝐴3 = (𝑚4 𝐸4 𝑟2 𝑠𝑖𝑛𝜃2 𝑠𝑖𝑛𝜃4 ) 𝐵3 = (𝑚4 𝐸4 𝑟3 𝑠𝑖𝑛𝜃3 𝑠𝑖𝑛𝜃4 ) 𝐶3 = (𝑚4 𝐸4 𝑠𝑖𝑛2 𝜃4 + 𝑚4 𝑙42 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃4 ) 𝐷3 = (𝑚4 𝐸4 𝑟2 𝑠𝑖𝑛𝜃4 𝑐𝑜𝑠𝜃2 ) 𝐸3 = (𝑚4 𝐸4 𝑟3 𝑠𝑖𝑛𝜃4 𝑐𝑜𝑠𝜃3 ) 𝐹3 = (𝑚4 𝐸42 𝑠𝑖𝑛𝜃4 𝑐𝑜𝑠𝜃4 − 𝑚4 𝑙42 𝑐𝑜𝑠𝜃4 𝑠𝑖𝑛𝜃4 ) 𝐺3 = 𝑚3 𝑔𝑙4 𝑐𝑜𝑠𝜃4 Escribiendo en forma matricial las ecuaciones (31). entonces T4 = 0. por lo tanto se obtiene la siguiente ecuación.𝐶2 = (𝑚4 𝐸4 𝑟3 sin 𝜃3 sin 𝜃4 ) 𝐷2 = (𝑚3 𝑙3 𝑟2 sin(𝜃2 − 𝜃3 ) − 𝑚4 𝑟3 𝑟2 sin 𝜃3 cos 𝜃2 ) 𝐸2 = (𝑚4 𝑟3 2 sin 𝜃3 cos 𝜃3 ) 𝐹2 = (𝑚4 𝐸4 𝑟3 sin 𝜃3 cos 𝜃4 ) 𝐺2 = 𝑚3 𝑔𝑙3 cos 𝜃3 Y de igual manera se calcula T4. 𝐴1 � 𝐴2 −𝐴3 𝐵1 𝐵2 −𝐵3 𝑈 − 𝐷1 𝜃̇22 − 𝐸1 𝜃̇32 + 𝐹1 𝜃̇42 − 𝐺1 −𝐶1 𝜃̈2 −𝐶2 � �𝜃̈3 � = � 𝐷2 𝜃̇22 − 𝐸2 𝜃̇32 + 𝐹2 𝜃̇42 − 𝐺2 � 𝐶3 𝜃̈ 𝐷3 𝜃̇22 + 𝐸3 𝜃̇32 − 𝐹3 𝜃̇42 − 𝐺3 4 Del sistema anterior renombramos como sigue: 𝐴1 𝑀𝐴 = � 𝐴2 −𝐴3 𝐵1 𝐵2 −𝐵3 5 −𝐶1 −𝐶2 � 𝐶3 (34) . (32) y (33) obtenemos el siguiente sistema. 3. Figura 5. En el mecanismo mostrado en la figura 5.𝜃̈2 𝑀𝜃̈𝑥 = �𝜃̈3 � 𝜃̈4 𝑈 − 𝐷1 𝜃̇22 − 𝐸1 𝜃̇32 + 𝐹1 𝜃̇42 − 𝐺1 𝑀𝐵 = � 𝐷2 𝜃̇22 − 𝐸2 𝜃̇32 + 𝐹2 𝜃̇42 − 𝐺2 � 𝐷3 𝜃̇22 + 𝐸3 𝜃̇32 − 𝐹3 𝜃̇42 − 𝐺3 Por lo tanto el sistema en la ecuación(34) pasa a tener la siguiente forma [𝑀𝐴]�𝑀𝜃̈𝑥 � = [𝑀𝐵] (35) Siendo(35) la ecuación que representa al sistema dinámico del mecanismo de cuatro barras. �𝑀𝜃̈𝑥 � = 𝑖𝑛𝑣([𝑀𝐴])[𝑀𝐵] 2.3. sin embargo. para obtener los resultados correspondientes a las posiciones y velocidades es necesario invertir la matriz MA.2. por trigonometría se pueden calcular los desplazamientos como sigue: 𝑥𝑐4𝑣 = 𝑙4𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃4 𝑦𝑐4𝑣 = 𝑙4𝑣 𝑠𝑖𝑛𝜃4 6 . Modelo dinámico del mecanismo balancín-corredera En la figura se muestra el diagrama esquemático que representa a este segundo mecanismo. Diagrama de cuerpo libre para el análisis dinámico del mecanismo balancín-corredera. si no se contempla directamente en el cálculo del lagrangiano como sigue: 1 1 2 ̇2 2 𝜃4 � + 𝑚6 �𝑟4𝑣 𝑠𝑖𝑛2 𝜃4 𝜃̇42 − 2𝑟4𝑣 𝑙6 𝑠𝑖𝑛𝜃4 𝑠𝑖𝑛𝜃6 𝜃̇4 𝜃̇6 + 𝑙62 𝜃̇62 � − 𝑚4 𝑔𝑙𝑣4 𝑠𝑖𝑛𝜃4 𝐿 = 𝑚4 �𝑙4𝑣 2 2 − 𝑚6 𝑔𝑙6 𝑠𝑖𝑛𝜃6 Aplicando las derivadas correspondientes para el cálculo de los torques como en el caso anterior del mecanismo de cuatro barras tenemos que: 2 2 2 𝑇4 = (𝑚4 𝑙4𝑣 + 𝑚6 𝑟4𝑣 𝑠𝑖𝑛2 𝜃4 )𝜃̈4 − (𝑚6 𝑟4𝑣 𝑙6 𝑠𝑖𝑛𝜃4 𝑠𝑖𝑛𝜃6 )𝜃̈6 + (𝑚4 𝑟4𝑣 𝑠𝑖𝑛𝜃4 𝑐𝑜𝑠𝜃4 )𝜃̇42 (36) − (𝑚6 𝑟4𝑣 𝑙6 𝑠𝑖𝑛𝜃4 𝑐𝑜𝑠𝜃6 )𝜃̇62 + 𝑚4 𝑔𝑙4𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃4 𝑇6 = −(𝑚6 𝑟4𝑣 𝑙6 𝑠𝑖𝑛𝜃4 𝑠𝑖𝑛𝜃6 )𝜃̈4 + (𝑚6 𝑙62 )𝜃̈6 − (𝑚6 𝑟4𝑣 𝑙6 𝑠𝑖𝑛𝜃6 𝑐𝑜𝑠𝜃4 )𝜃̇42 + 𝑚6 𝑔𝑙6 𝑐𝑜𝑠𝜃6 (37) Se supone que los torques correspondientes de T4 y T6 son iguales a cero.𝑥𝑐6 = 𝑟4𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃4 − 𝑙6 𝑐𝑜𝑠𝜃6 𝑦𝑐6 = 𝑙6 𝑠𝑖𝑛𝜃6 Dadas las posiciones anteriores. podemos calcular las velocidades y elevarlas al cuadrado con la finalidad de utilizarlos en el cálculo de las energías cinéticas. 2 2 ̇2 𝑉4𝑣 = 𝑙4𝑣 𝜃4 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃4 𝜃̇42 − 2𝑟4𝑣 𝑙6 𝑠𝑖𝑛𝜃4 𝑠𝑖𝑛𝜃6 𝜃̇4 𝜃̇6 + 𝑙62 𝜃̇62 𝑉62 = 𝑟4𝑣 De tal forma que las energías cinéticas son las siguientes: 1 2 ̇2 𝐶4 = 𝑚4 �𝑙4𝑣 𝜃4 � 2 1 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃4 𝜃̇42 − 2𝑟4𝑣 𝑙6 𝑠𝑖𝑛𝜃4 𝑠𝑖𝑛𝜃6 𝜃̇4 𝜃̇6 + 𝑙62 𝜃̇62 � 𝐶6 = 𝑚4 �𝑟4𝑣 2 El cálculo de las energías potenciales no se expresa como tal. por lo tanto reescribiendo las ecuaciones (36) y (37) en forma matricial. tenemos las siguiente ecuación. 𝐴 � 4 −𝐴5 −𝐶4 𝜃̇42 + 𝐷4 𝜃̇62 − 𝐸4 −𝐵4 𝜃̈4 �� � = � � 𝐵5 𝜃̈6 𝐶5 𝜃̇42 − 𝐷5 7 . En donde: 2 2 𝐴4 = (𝑚4 𝑙4𝑣 + 𝑚6 𝑟4𝑣 𝑠𝑖𝑛2 𝜃4 ) 𝐵4 = (𝑚6 𝑟4𝑣 𝑙6 𝑠𝑖𝑛𝜃4 𝑠𝑖𝑛𝜃6 ) 2 𝐶4 = (𝑚4 𝑟4𝑣 𝑠𝑖𝑛𝜃4 𝑐𝑜𝑠𝜃4 ) 𝐷4 = (𝑚6 𝑟4𝑣 𝑙6 𝑠𝑖𝑛𝜃4 𝑐𝑜𝑠𝜃6 ) 𝐸4 = 𝑚4 𝑔𝑙4𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃4 𝐴5 = (𝑚6 𝑟4𝑣 𝑙6 𝑠𝑖𝑛𝜃4 𝑠𝑖𝑛𝜃6 ) 𝐵5 = (𝑚6 𝑙62 ) 𝐶5 = (𝑚6 𝑟4𝑣 𝑙6 𝑠𝑖𝑛𝜃6 𝑐𝑜𝑠𝜃4 ) 𝐷5 = 𝑚6 𝑔𝑙6 𝑐𝑜𝑠𝜃6 8 .