INSTITUTO TECN OLOGI CO DE BOCA DEL RIO INGENIER IA CIVIL ANALISIS ESTRUCT URAL RESUMEN DE LA ECUACION ECUACIÓN DE LA CURVA ELÁSTICA La curvatura de la viga recta, sucede cuando se somete a un momento flexionante, el material de la viga se deforma, dando como resultado una curvatura de la viga, verificándose bajo ciertas condiciones supuestas establecidas: CURVATURA: 1 M = ρ EI …(I) FORMULA DE LA ESCUADRÍA: Obtención de los esfuerzos flexiónantes en vigas. My σ= I a) Los planos transversales antes de la flexión permanecen transversales después de la flexión, esto es, no hay torcedura. b) El material de la viga es homogéneo e isótropo y obedece la ley de Hooke. suponiendo que “E” es la misma para tracción que para compresión. c) La viga es recta y tiene una sección transversal constante prismática. d) Las cargas no ocasionarán ni tracción ni pandeo de la viga. Esta condición se cumple, si el plano de las cargas contiene al eje de simetría de la sección transversal y si las cargas están en este plano. e) La carga aplicada es un momento flexionante puro. 1. Debido a que “M” varía a lo largo del claro de la viga, la curvatura obviamente tendería a variar. En consecuencia, sería bastante difícil y pesado determinar la forma completa de la curva elástica en todas las circunstancias. Por lo tanto así es necesario expresar la forma de la curva elástica en términos de sus coordenadas rectangulares x, y , si vamos a usar las condiciones de pendiente y flexión. Consideremos la curva de la figura, que se supone representa un segmento de la línea elástica de la viga. A una distancia “ x ” de un punto de referencia, digamos el punto “O ” , el soporte, un incremento de “ dL , tendrá un cambio de pendiente de un extremo al otro de “ dθ” . Así,dθ dL= 1 ρ dθ = dL ρ De la cual obtenemos: …(II) Para ángulos pequeños (esto es flexiones pequeñas): Y dy =tanθ=θ dx dL ≈ dx Analizando estas últimas expresiones en (II), tendremos: dθ dθ d dy d 2 y = = = 2 dL dx dx dx dx ( ) dθ d 2 y = dL d x2 ( α ) ⟶ ( II ) : d2 y 1 = d x2 ρ …(α) …(III) d2 y M = 2 d x EI ( III ) ⟶ ( II ) : Ordenando: M =EI d2 y 2 dx … (A) ECUACIÓN DE LA CURVA ELÁSTICA DE LA VIGA Esta ecuación permite obtener las deformaciones de una viga elástica en función del momento M, que generalmente es una función de X, el módulo de elasticidad E, es constante a lo largo de la viga, el momento de inercia es constante si la viga es de igual sección a todo lo largo, si no debe expresarse en función de X. La viga deformada que cumple estas condiciones suele llamarse curva elástica.