ESTRUCTURAS METALICAS INGENIERÍA ESTRUCTURAL Es la ciencia y el arte de planear, diseñar y construir estructuras segura y económicas que servirán a los fines a los que están dirigidas. El análisis estructural es parte integral de cualquier proyecto de ingeniería de estructuras, siendo su función la predicción del comportamiento de la estructura, siendo su función la predicción del comportamiento de la estructura propuesta en la figura, se presenta un diagrama de flujo en el que se muestran las diversas fases de un proyecto típico de ingeniería de estructuras. Como se indica en este diagrama, el proceso es iterativo y, en general consta de los pasos siguientes: 1. Fase de planeacion suele comprender el establecimiento el funcionamiento de la estructura propuesta, la consideración de los tipos posibles de estructuras (por ejemplo, armazón rígido o armadura) que puedan ser factibles y los tipos de materiales que se van a usar (por ejemplo, acero estructural o concreto reforzado). Esta fase puede comprender la consideración de factores no estructurales, como la estética, el impacto ambiental de la estructura, etcétera. Por lo común, el resultado de esta fase es un sistema estructural que cumple con los requisitos de funcionamiento y que se espera sea el más económico. Quizá esta fase es la más decisiva de todo el proyecto y requiere experiencia y conocimiento de las prácticas de construcción, además de una plena comprensión del comportamiento de las estructuras. 2. Diseño estructural preliminar En la fase preliminar del diseño de la estructura, se estiman los tamaños de los diversos miembros del sistema estructural seleccionado con base en un análisis aproximado, la experiencia pasada y los requisitos de los códigos. En la fase siguiente, se usan los tamaños de los miembros seleccionados de esta manera para estimar el peso de la estructura. 3. Estimación de las cargas La estimación de las cargas comprende la determinación de todas las cargas que puede esperarse actúen sobre la estructura. 4. Análisis estructural En el análisis estructural, se usan los valores de las cargas para llevar a cabo un análisis de la estructura para determinar los esfuerzos o las resultantes de esfuerzos en los miembros,y de las deflexiones en diversos puntos de la estructura. 5. Comprobaciones de seguridad y utilidad Se usan los resultados del análisis para determinar si la estructura satisface o no los 1 requisitos de seguridad y utilidad de los códigos de diseño y las especificaciones de la construcción, y se inicia la fase de construcción. FASE DE PLANEACIÓN DISEÑO ESTRUCTURAL PRELIMINAR ESTIMACIÓN DE LAS CARGAS ANÁLISIS ESTRUCTURAL ¿Se satisfacen los requisitos de seguridad y utilidad? No Diseño estructural revisado Si Fase de construcción 2 6. Diseño estructural revisado Si no se satisfacen los requisitos de los códigos, entonces se revisan los tamaños de los miembros y se repiten las fases 3 a 5 hasta que se satisfagan todos los requisitos de seguridad y utilidad. Excepto por una discusión de los tipos de cargas que se puede esperar actúen sobre las estructuras, el enfoque principal de este texto será sobre el análisis de las estructuras. CLASIFICACION DE LAS ESTRUCTURAS Como se discutió en la selección anterior, quizá la decisión más importante que toma un ingeniero en estructuras al poner en práctica un proyecto de ingeniería es la selección del tipo de estructura que debe usar para soportar o transmitir las cargas. Las estructuras de uso común se pueden clasificar en cinco categorías básicas: dependiendo del tipo de esfuerzos primarios que pueden desarrollar en sus miembros bajo las cargas principales de diseño sin embargo, debe tenerse en cuenta que se pueden combinar dos o más de los tipos básicos de estructuras que se describen en lo que sigue, en una sola estructura, como un edificio o un puente, para que se cumplan los requisitos funcionales de esa estructura. ESTRUCTURAS A TENSIÓN Los miembros de las estructuras a tensión quedan sujetos a tensión pura bajo la acción de las cargas externas. El material de una estructura de este tipo se utiliza de la manera más eficiente. Con frecuencia, se emplean estructuras a tensión compuestas de cables flexibles de acero para sostener puentes o techos de claros largos. En virtud de su flexibilidad los cables tienen una rigidez despreciable a la tensión y sólo pueden desarrollar tensión. De este modo, bajo las cargas externas, un cable adopta una forma que le permite soportar la carga no sólo por fuerzas de tensión. En la fig. 1.4 se muestra un tipo conocido de estructura con cable: el puente colgante. En un puente colgante, la calzada se suspende de dos cables principales por medio de suspensores verticales. Los cables principales pasan sobre un par de torres y se anclan, en roca maciza o en una cimentación de concreto, en sus extremos. En virtud de que a los puentes colgantes y otras estructuras con cables les falta rigidez en las direcciones laterales, son susceptibles a oscilaciones inducidas por el viento. Por lo tanto, para reducir esas oscilaciones, se pueden colocar sistemas de riostras o tirantes. 3 Además de las estructuras de cables. Otros ejemplos de estructuras a tensión incluyen las barras verticales usadas como suspensores (por ejemplo para sostener balcones o tanques) y las estructuras de membrana como los toldos. 4 ESTRUCTURAS A COMPRESIÓN Las estructuras a compresión desarrollan principalmente esfuerzos de compresión bajo la acción de cargas externas. Dos ejemplos comunes de esas estructuras son las columna ,los arcos. Las columnas son miembros rectos sujetos a cargas axiales de compresión, como se muestra en la fig. 1.6. Cuando un miembro recto se sujeta a cargas laterales o a momentos o ambas acciones, se llama viga-columna. Un arco es una estructura curva, con una forma similar al de un cable invertido, como se muestra en la fig. 1.7. Estas estructuras se usan con frecuencia para sostener puentes y techos de claros largos. En los arcos se desarrollan principalmente esfuerzos de comprensión cuando se sujetan a las cargas, y suelen diseñarse de modo que sólo desarrollen compresión bajo una carga principal de diseño. Sin embargo dado que los arcos son rígidos y no pueden cambiar sus formas como lo pueden hacer los cables, otras condiciones de carga suelen producir flexión y esfuerzos cortantes secundarios en estas estructuras, los cuales, si son significativos, deben de considerarse en sus diseños. Debido a que las estructuras a compresión son susceptibles de sufrir pandeo o inestabilidad en sus diseños debe de considerarse la posibilidad de una falla de ese tipo; si es necesario, debe proporcionarse una arriostramiento adecuado para evitar esas fallas. 5 ARMADURAS Las armaduras se componen de miembros rectos unidos en su extremos por conexiones articuladas para formar una configuración estable. Fig. 1.8. Cuando se aplican cargas a una armadura sólo en la uniones, sus miembros se alargan o se acortan. Por consiguientes, los miembros de una estructura ideal siempre están en tensión uniforme o en compresión uniforme. Las armaduras reales suelen construirse al conectar los miembros por medio de placas de unión con conexiones atornilladas o soldadas aún cuando las uniones rígidas formadas de esta manera causan algo de flexión en los miembros de una armadura cuando ésta se carga, en la mayor parte de los casos esos esfuerzos de flexión son pequeños y la hipótesis de uniones articuladas proporciona diseños satisfactorios. 6 Las armaduras, por su peso ligero y alta resistencia, se encuentran entre los tipos de uso más común de estructuras. Estas estructuras se usan en diversas aplicaciones que van desde soportar tejados de edificios hasta servir como estructuras de apoyo en estaciones espaciales. ESTRUCTURAS DE ESFUERZO CORTANTE Las estructuras de esfuerzos cortante, como los muros de esfuerzo cortante de concreto reforzado . Se usan en edificios de varios pisos para reducir los movimientos laterales debidos a las cargas del viento y las excitaciones de los temblores de tierra. En las estructuras de esfuerzo cortante se desarrollan principalmente esfuerzos cortantes en un plano con esfuerzos relativamente pequeños de flexión, bajo la acción de las cargas externas. ESTRUCTURAS DE FLEXION En las estructuras de flexión de desarrollan principalmente esfuerzos flexionantes, bajo las acción de las fuerzas externas. Algunas de las estructuras de uso más común como las vigas, los armazones rígidos, las losas y las placas, se pueden clasificar como estructuras de flexión. Una viga es un miembro recto que se carga en sentido perpendicular a su eje longitudinal fig. 1.10. En el caso de una viga horizontal sujeta a una carga vertical hacia abajo, como se muestra en la fig. 1.10, el esfuerzo flexionante varía desde el esfuerzo máximo de compresión en el borde superior hasta el esfuerzo máximo de tensión en el borde inferior de la viga. Para utilizar el material de la sección transversal de una viga del modo más eficiente bajo esta distribución variable de esfuerzos, a menudo se da la forma de I a las secciones transversales de las vigas (fig. 1.10), con la mayor parte de ese material en los patines superior e inferior. Las secciones transversales con forma de I son las más eficaces para resistir los momentos flexionantes. 7 Los armazones rígidos se componen de miembros rectos unidos entre sí por conexiones rígidas (resistentes del momento) o por conexiones articuladas para formar configuraciones estables. A diferencia de las armaduras, las cuales se sujetan sólo a cargas en las uniones, sobre los armazones las cargas externas . En general, los miembros de un armazón rígido se sujetan al momento flexionante, corte y compresión axial o tensión, bajo la acción de cargas externas. Sin embargo, el diseño de los miembros horizontales o vigas de los armazones rectangulares suele regirse sólo por los esfuerzos flexionantes y cortantes, ya que las fuerzas ya que las fuerzas axiales en esos miembros por lo común son pequeñas. Los armazones, como la armaduras, se encuentran entre los tipos de estructuras de uso más común. El acero estructural y los armazones de concreto reforzado son de uso común en los edificios de varios pisos, los puentes y las plantas industriales. Los armazones también se usan como estructuras de soporte en los aviones, los barcos , los vehículo aeroespaciales y otras aplicaciones aeroespaciales y mecánicas. VENTAJAS DEL ACERO COMO MATERIAL ESTRUCTURAL Alta resistencia La alta resistencia del acero por unidad de peso implica que será poco el peso de las estructuras; esto es de gran importancia en puentes de grandes claros, en edificios altos y en estructuras con malas condiciones en la cimentación. Uniformidad Las propiedades del acero no cambian apreciablemente con el tiempo. Elasticidad El acero tiene la propiedad elástica de volver a su estado incial cuando cesa la carga que origina su deformación siempre y cuando no sobrepase 8 la zona elástica, además de la ley de Hooke hasta esfuerzos bastantes altos. Durabilidad Si el mantenimiento de las estructuras de acero es adecuado durarán indefinidamente. Ductibilidad La ductibilidad es la propiedad que tiene un material de soportar grandes deformaciones sin fallar bajo altos esfuerzos de tensión. Cuando se prueba a tensión un acero con bajo contenido de carbono, ocurre una reducción considerable de la sección transversal y un gran alargamiento en el punto de falla, antes de que se presente la fractura. Una material que no tenga esta propiedad probablemente será duro y frágil y se romperá al someterlo a un golpe repentino. Tenacidad Esta es una característica muy importante porque implica que los miembro de acero pueden someterse a grandes deformaciones durante su fabricación y montaje. Sin fracturarse, siendo posible doblarlos, martillarlos, cortarlos y taladrarlos sin año aparente. La propiedad de un material para absorber energía en grandes cantidades se denomina tenacidad. Propiedades diversas Otras ventajas importantes del acero estructural son: a) gran facilidad para unir diversos miembros por medio de varios tipos de conectores como son la soldadura, los tornillos y los remaches, (b) posibilidad de prefabricar los miembros, (c) rapidez de montaje, (d) gran capacidad para laminarse en una gran cantidad de tamaños y formas (e) resistencia a la fatiga (f) rehusó posible después de desmontar una estructura y (g) posibilidad de venderlo como chatarra auque no pueda utilizarse en su forma presente. DESVENTAJAS DEL ACERO COMO MATERIAL ESTRUCTURAL Costo de mantenimiento La mayor parte de los aceros son susceptibles a la corrosión al estar expuestos al aire y al agua y, por consiguiente, deben pintarse periódicamente. Costo de la protección contra el fuego El acero es un excelente conductor de calor, de manera que los miembros de acero sin protección pueden transmitir suficiente calor de una sección o comportamiento incendiado de un edificio a secciones adyacentes del 9 mismo edificio debe protegerse con materiales con ciertas características aislantes o el edificio deberá acondicionarse con un sistema de rociadores para que cumpla con los requisitos del código de construcción de la localidad en que se halle. Susceptibilidad al pandeo Entre más largos y esbeltos sean los miembros a compresión, mayor es el peligro de pandeo. Fatiga Otras características inconveniente del acero es que su resistencia puede reducirse si se somete a un gran número de inversiones del signo del esfuerzo, o bien, a un gran número de cambios de la magnitud del esfuerzo de tensión. Fractura frágil Bajo ciertas condiciones, el acero puede perder su ductibilidad y presentarse una fractura frágil en lugares con concentración de esfuerzos. Las cargas que generan fatiga junto con temperaturas muy bajas, agravan la situación que los valores obtenidos para una estructura de concreto reforzado son relativamente imprecisos. PERFILES DE ACERO ESTANDAR La categoría mas grande de perfiles estándar es aquella que se refiere a los perfiles rolados en caliente , en la figura siguiente se muestra secciones transversales de algunos de los perfiles rolados en caliente mas usados . Las dimensiones y designaciones de los perfiles estándar disponibles están definidos en las normas ASTM .El perfil W llamado también perfil de patín ancho,consiste en dos patines paralelos separados una sola alma . La orientación de esos elementos es tal que la sección transversal tiene dos ejes de simetría . Una designación típica seria W18x50 , donde W indica el tipo de perfil , 18 es el peralte nominal paralelos al alma y 50 es el peso en libras por pie de longitud . El peralte nominal es es el peralte aproximado expresado en pulgadas enteras . Para algunos perfiles mas livianos el el peralte nominal es igual al peralte dado a la pulgada mas cercana. El perfil S es similar al perfil W ya que tiene dos patines , una sola alma y dos ejes de simetría . La diferencia esta en sus proporciones . los patines del perfil W son mas anchos en relación al alma de los patines de perfil S Ademas la cara exterior e interior de los patines de perfil W son paralelos mientras que las caras interiores de los patines de perfil S están inclinadas con respecto a las caras exteriores .Ejemplo de la designación de un perfil S es S18X70 , donde la S indica el tipo de perfil y los dos 10 números dan el peralte en pulgadas y el peso en libras por pie . Este perfil se llamaba antes viga I. Los perfiles angulares existen en las versiones de lados iguales y de lados desiguales ,una designación típica seria L6x6x3/4 , los tres números son la longitud de cada uno de los lados medidas desde la esquina hasta la punta del otro extremo del lado y el espesor que es el mismo para ambos lados . En el caso de ángulos de lados desiguales se da siempre primero la dimensión del lado mas largo, aunque esta designación proporciona todas las dimensiones , ella no da el peso por pie del ángulo. El perfil en C tiene dos patines y un alma con solo un eje de simetría esta tiene una designación C9x20 ,esta notación es similar a la de los perfiles W y S , donde el primer número da el peralte total paralelo al alma en pulgadas y el segundo da el peso en libras por pie lineal . Sin embargo para la canal el peralte es exacto en vez de nominal . La T estructural resulta de recortar un perfil W, o S ala mitad de su altura .El prefijo es WT , o ST .Por ejemplo WT18x115 tiene un peralte nominal de 18pulgadas y un peso de 115 libras por pie y es recortado de un perfil W36x230. El perfil HP usado para pilotes , tiene superficies paralelas en sus patines , aproximadamente del mismo ancho y peralte e iguales espesores en patines y alma.La M significa misceláneos y es un perfil que no encaja exactamente en ninguna de las categorías W,HP oS Los perfiles M y HP se designan de la misma manera que los perfiles W por ejemplo M14x18 y HP14x117. Las barras pueden tener secciones transversales circulares , cuadradas o rectangulares por ejemplo la barra 8x3/8 si el ancho es mayor de 8 pulgadas se clasifica como placa y si es igual o menor que 8 pulgada se clasifica como barras .También existen perfiles huecos que pueden ser producidos doblando el material de la placa a la forma deseada y soldando la costura o bien por trabajo en caliente para producir un perfil sin costura Esos perfiles huecos de acero se designan HSS. Ejemplos de este sistema de abreviaturas son los siguientes: 11 ACERO ESTRUCTURAL Las propiedades del acero pueden cambiarse en gran medida variando las cantidades presentes de carbono y añadiendo otros elementos como silicio, níquel, manganeso y cobre. Una acero que tenga cantidades considerables de estos últimos elementos se denominará acero aleado. Aunque esos elementos tienen un gran efecto en las propiedades del acero, las cantidades de carbono y otros elementos de aleación son muy pequeñas. Por ejemplo, el contenido de carbono en el acero es casi siempre menor que el 0.5% en peso y es muy frecuente que sea de 0.2 a 0.3%. La composición química del acero es de suma importancia en sus efectos sobre las propiedades del acero tales como la soldabilidad, la resistencia a la corrosión, la resistencia al a fractura, etc. El carbono presente en el acero incrementa su dureza y resistencia, pero al mismo tiempo reduce su ductibilidad igual que no lo hacen fósforo y el azufre. La ASTM especifica los porcentajes exactos máximos de carbono, manganeso, silicio, etc., que se permiten en los aceros estructurales. Aunque las propiedades físicas y mecánicas de los perfiles de acero las determina principalmente su composición química, también influye en ellas, hasta cierto punto, el proceso de laminado, la historia de sus esfuerzos y el tratamiento térmico aplicado. Los aceros estructurales se agrupan generalmente según varias clasificaciones principales de la ASTM: los aceros de propósito general A36, los aceros estructurales al carbono A 529 los aceros estructurales de alta resistencia y baja aleación A 44 y A 572, los aceros estructurales de alta resistencia, baja aleación y resistentes a la corrosión atmosférica (A 242 y A588) y la placa de acero templada y revenida (A514 y A852). ACEROS AL CARBONO Estos aceros tienen como principales elementos de resistencia al carbono y al manganeso en cantidades cuidadosamente dosificadas. Los aceros al carbono son aquellos que tienen los siguientes elementos con cantidades máximas de 1.7% de carbono, 1.65% de manganeso, 0.60% de silicio y .60% de cobre. Estos aceros se dividen en cuatro categorías dependiendo del porcentaje de carbono, como sigue: 1. Acero de bajo contenido de carbono 0.155. 2. Acero dulce al carbono 0.15 a 0.29%. (El acero estructural al carbono queda dentro de esta categoría). 3. Acero medio al carbono (0.30 a 0.59%). 12 4. Acero con alto contenido de carbono (0.60 a 1.70%). El acero A36 con un esfuerzo de fluencia de 36 klb/plg2 es adecuado para puentes y edificios atornillados, soldados o remachados. Se usa para la mayoría de los problemas de diseño en este texto. CARGAS MUERTAS Las cargas muertas son cargas de magnitud constante que permanecen fijas en un mismo lugar. Estas son el peso propio de la estructura y otras cargas permanentemente unidas a esta. Para un edificio con estructura de acero, algunas de las cargas muertas se deben a la estructura en sí los muros, los pisos, el techo, la plomería, etc. Para diseñar una estructura es necesario estimar los pesos o cargas muertas de sus partes. Los tamaños y peso exactos de las partes no se conocen, hasta que se hace el análisis estructural y se seleccionan los miembros de la estructura. Los pesos determinados de acuerdo con el diseño deben compararse con los pesos estimados. Si se tienen grandes discrepancias, será necesario repetir el análisis y efectuar el diseño con una estimación más precisa de las cargas. Una estimación razonable de las cargas en la estructura, puede hacerse con base en otras similares o en formulas y tablas diversas disponibles en varias localidades. CARGAS VIVAS Las cargas vivas son aquellas que pueden cambiar de lugar y magnitud. Son vivas las cargas móviles y aquellas que pueden ser desplazadas, como muebles materiales en un almacén, nieve, etc. se denominan cargas móviles. Otras cargas vivas son aquellas causadas al construir. 1. CARGAS DE PISO Es el peso de las cosas vivas. El peso mínimo de las cargas que debe usarse en el diseño de pisos de edificios se especifican claramente en los códigos de construcción. 13 2. CARGAS DE NIEVE Las cargas de nieve son cargas viva que actúan sobre los techos .La carga de nieve se toman con respecto a la proyección horizontal del techo . Aun en áreas donde las cargas de nieve sean mínima, se debe usar una carga viva de techo mínima, el NBC (National Building Code) estipula que se use la mayor de las cargas de nieve o 20lb/pie2 o 1KPa.Como 10 pulg de nieve son aproximadamente a 1pulg de agua , una carga de nieve de 20lb/pie2 corresponde a una profundidad de nieve sobre el techo de casi 40pulg valor que es fácil obtener donde ocurran ventiscas. Sin embargo cuando as lluvias caigan sobre la nieve , la nieve saturada pesa considerablemente mas el peso unitario puede aproximarse al del agua. 3. Lluvia Aunque las cargas de nieve son un problema más serio que las cargas de lluvia en los techos comunes, la situación puede invertirse en los techos, especialmente aquellos localizados en lugares con clima cálido. Si el agua en un techo sin pendientes se acumula más rápidamente que lo que tarda en escurrir, el resultado se denomina encharcamiento; la carga aumentada ocasiona que el techo se deflexione en forma de plato, que entonces puede contener más agua lo que a su vez causa mayores deflexiones, etc. este proceso continua hasta que se alcanza el equilibrio o el colapso de la estructura. El encharcamiento es un problema muy serio como lo atestigua el gran número de fallas que ocurren en techos horizontales cada año en los Estados Unidos durante la temporada de lluvias. El encharcamiento ocurre en alguna medida en casi todo techo horizontal aunque se disponga de drenes para el desagüe. Los drenes del techo pueden resultar insuficientes durante fuertes tormentas o estar atrapados parcial o totalmente. El mejor método para prevenir el encharcamiento, es darle al techo una pendiente adecuada. 4. Cargas. De tránsito en puentes. Los puentes están sujetos a una serie de cargas concentradas de magnitud variable causadas por grupos camioneros y ruedas de trenes. 5. Cargas de impacto. Las cargas de impacto las causan la vibración de las cargas móviles. Es obvio que un bulto arrojado al piso de un almacén o un camión que rebota sobre el pavimento irregular de un puente, causan mayores fuerzas que las que se presentarían si las cargas se aplicarán gradualmente. Las cargas de impacto son iguales a la diferencia entre la magnitud de las cargas realmente generadas y la magnitud de las cargas consideradas 14 como muertas. Ellas son de importancia en solo algunos edificios (usualmente en algunos tipos de edificios industriales) pero en el diseño de puentes estas cargas siempre son consideradas. La especificación ASD (A42) requiere que las estructuras que van a soportar cargas vivas con tendencia a causar impacto, se diseñen con sus cargas nominales supuestas incrementadas con los siguientes porcentajes mínimos. Para soportes de elevadores Para trabes de soporte de grúas con cabina de operación y sus conexiones para trabes de soporte de grúas operadas desde el piso y para sus conexiones para soportes de maquinaria con movimiento alternativo o unidades impulsadoras para tirantes que soporten pisos o balcones 100% 25% 10% 50% 33% 6. CARGAS LATERALES Las cargas laterales son de dos tipos principales de viento y de sismo. En la bibliografía de la ingeniería estructural de los últimos 150 años se reportan muchas fallas causadas por el viento. Quizá los casos más deplorables han tenido lugar en las estructuras de puentes como el Tay en Escocia, que falló en 1879 causando la muerte de 75 personas y el puente del estrecho de Tacoma que falló en 1940. también ha tenido lugar fallas desastrosas debido al viento en edificios como el colapso del edificio de la Unión Carbide en Toronto en 1958. es importante observar que un gran porcentaje de fallas por viento en edificios, han ocurrido durante el montaje. (a) CARGAS DE VIENTO Los requerimientos para el viento de la AASHTO ,para el viento en ángulo recto con el eje longitudinal es : Tipo de puente o miembro (en el área expuesta) Presion,Fuerza/área Pie lb,lb/pie2 SI , KPa Armaduras 75 3.6 Trabes y Vigas 50 2.4 Sin embargo , la carga total uniforme no debe ser menor de la siguiente: Armaduras , 300lb/pie o 4.38KPa Trabes y vigas 150lb/pie2 o 2.9KPa Para el viento sobre la carga viva a 6pies por encima del tablero , 100lb/pie2 o 1.46KPa. Requerimientos del área para el viento: 15 Miembro del puente Presión ,fuerza/área Claro sin carga Claro con carga Lb/pie2 KPa Lb/pie2 KPa Armaduras 50 2.5 30 1.5 Trabes y vigas 75 3.75 45 2.25 La carga total uniforme sobre el claro cargado no debe ser menor que la siguiente: Cuerda o patín cargado 200lb/pie o 2.92KN/m Cuerda o patín sin carga 150lb/pie o 2.19KN/m Viento sobre la carga viva a 8pies o 2.4m sobre el riel superior 300lb/pie o 4.38KN/m. CARGAS SÍSMICAS Los análisis sísmicos siguen dos tendencias generales . Una de ellas es tratar de modelar la estructura como un conjunto de masa y resortes y usar una computadora digital para desarrollar espectros de respuesta para diversas aceleraciones sísmicas supuestas . El otro método consiste en obtener las aceleraciones sísmicas con base en la probabilidad sísmica , un periodo de excitación basado en la geometría del edificio y aplicar la ecuación de fuerza F=ma , para obtener una fuerza de aceleración que se desliza de alguna manera en los diferentes pisos , de modo que ∑Fi = F . A continuación se da el procedimiento semiempirico para el análisis sísmico según el Uniform Building Code (NBC). La fuerza sísmica lateral que actúa sobre el edificio en cualquier dirección , se puede calcular usando una modificación de F=ma F = ZIKCSW Los códigos (UBC Y NBC) permiten que el producto de los factores C yS sea CS < 0.14 El factor C se basa en el periodo fundamental del edificio , T: C= (1/15√T) < 0.12 El periodo fundamental del edificio se obtiene como el periodo de un resorte vibratorio que tiene la ecuación general T= 2π√m/k Donde : m= masa del edificio k= constante del resorte( y que se obtiene para los edificios como la suma de las contribuciones de los elementos de la estructura) Como las constantes de resorte son difíciles de determinar , es más común calcular el periodo del edificio usando un factor basado en la experiencia , para obtener : T = JH/√D 16 Donde J 0.05 cuando H(altura) y D(dirección lateral del edificio en la dirección que interesa) están en pies y J=0.91 cuando H y D están en metros . Cuando la estructura esta hecha de material dúctil como el acero , se permite aproximar el periodo del edificio a : T= 0.10x numero de pisos por encima de la base La fuerza lateral F se distribuye como sigue: Ftope= 0.07TF ≤0.25F Pero Ftope puede ser cero cuando T≤0.7s .La fuerza a cualquier nivel de piso se desplaza como : Fn = (F-Ftope) (Wnhn/∑ Wnhn) Donde : D= Ancho del edificio en la dirección que interesa , pies o m H= Altura del edificio sobre el nivel del terreno , pies,m hn =Altura hasta cualquier piso desde el nivel del terreno I=Factor de importancia de ocupación I= 1.5 para facilidades esenciales I= 1.25 para salones de reuniones I=1 para otra ocupación K= Coeficiente de fuerza lateral basado en el tipo de edificio S= Coeficiente numérico para la resonancia del sitio ; se usara S=1.5 a menos de que se disponga de datos geotécnicos mas exactos del sitio W= Carga muerta total +25% de la carga viva en almacenes. Wn= Carga en el piso enésimo Z=Coeficiente sísmico zonal, basado en la situación geográfica del edificio. Factor K de fuerza horizontal para edificios y otras estructuras Tipo de estructura 1.-Todos los edificios con sistemas de marcos totales , excepto como se indica a continuación 2.-Edificios con un sistema de cajón, esto es, sinun marco espacial completo para soportar la carga vertical ; parte de la carga de gravedad soportada por los muros de carga. 3.-Edificios con un sistema doble de contraventeo,que consiste en un marco dúctil que resiste al momento y de muros de cortante o marcos contraventeados como sigue: a.Los marcos y los muros de cortante resisten la fuerza lateral total de acuerdo con las rigideces relativas y con interacción entre el muro y el marco. b.Los muros de cortante actúan independientemente de la K 1 1.33 0.80 17 capacidad resistente al momento del marco dúctil y resisten la fuerza lateral total. c.El marco rígido debe ser capaz de resistir cuando menos el 25% de la fuerza lateral total 4.-Edificios con un marco dúctil, resistente al momento Y que puede resistir el total de la fuerza lateral 5.-Tanques elevados mas el contenido, soportados por Cuatro o mas patas contraventeadas y que no están soportados Por un edificio. 6.-Otras estructuras distintas de los edificios. 0.67 2.5 2.0 Cargas longitudinales . Las cargas longitudinales son otro tipo de carga que necesita considerarse en el diseño de ciertas estructuras. Al detenerse un tren sobre un puente o un camión en un puente carretero se generan fuerzas longitudinales que deben considerarse. Otras cargas vivas. Existen otros tipos de suelo (como las ejercidas por la presión lateral de la tierra en muros o las ejercidas verticalmente contra las cimentaciones), las presiones hidrostáticas (como la presión de agua sobre las cortinas de presas las fuerzas de inercia de grandes cantidades de agua durante un sismo y las supresiones sobre tanques y estructura de cimentación) : las cargas de explosiones (causadas por explosiones roturas de la barrera del sonido, armamentos) las fuerzas térmicas (debidas a cambios en la temperatura que ocasionan deformaciones que a su vez generan fuerzas estructurales y las fuerzas centrífugas (como las causadas en puentes curvos por camiones o trenes o efectos similares en la montaña rusa, etc.) SELECCIÓN DE LAS CARGAS DE DISEÑO Para ayudar al proyectista a estimar las magnitudes de las cargas vivas necesarias en el diseño de estructuras se han elaborado a lo largo de varios años registros de esas cargas que se encuentran asentados en los reglamentos de construcción y también en las diversas especificaciones correspondientes. Estas publicaciones proporcionan estimaciones conservadoras de las magnitudes de las cargas vivas para diversas situaciones. Una de las especificaciones más usadas para cargas de diseño de edificios es la ya mencionada especificación ASCE . otras especificaciones muy usadas son las siguientes: 1. 2. 3. Para puentes de ferrocarril, de la American Railway Engineering Association (Área). Para puentes carreteros, las de AASHTO Para edificios, el Uniform Building Code (UBC) 18 Estas especificaciones describen claramente las cargas con que deben diseñarse las estructuras a pesar de la disponibilidad de esta información, se requiere con frecuencia del ingenio y conocimientos del proyectista para predecir qué cargas tendría que soportar . DEFINICIÓN DE LOS MÉTODOS DE DISEÑO ELÁSTICO Y PLASTICO El diseño elástico o método de la ASD , se basa en la relación lineal esfuerzo-deformación hasta el límite elástico , pero se reconoce implícitamente el comportamiento del acero más allá del límite elástico. El diseño elástico como se usa comúnmente coloca el esfuerzo límite del acero en el esfuerzo de fluencia Fy , un esfuerzo de diseño que usara el esfuerzo de Fy en el procedimiento de diseño elástico tendrá un factor de seguridad , todas las estructuras de acero existentes, se diseñaron con métodos elásticos. El proyectista estima las cargas de trabajo o servicio, es decir, las cargas que la estructura tiene que soportar y diseña los miembros estructurales con base en ciertos esfuerzos permisibles. Estos usualmente son cierta fracción del esfuerzo mínimo de fluencia especificado del acero. Aunque el término “diseño elástico” se usa comúnmente para describir este método, los términos diseño por esfuerzos permisibles o diseño por esfuerzos de trabajo son más apropiados. Se ha visto que la ductilidad del acero proporciona una reserva de resistencia y esta circunstancia es la base de diseño plástico. En este método, las cargas de trabajo se estiman y se multiplican por ciertos factores de seguridad o de sobrecapacidad y los elementos estructurales se diseñan entonces con base en sus resistencias al colapso. Otro nombre que se da a este método es el diseño colapso. Los proyectistas saben desde hace mucho tiempo que la mayor parte de la curva esfuerzo – deformación, se encuentra más allá del límite elástico del acero. Los estudios experimentales de muchos años han mostrado que los aceros pueden resistir esfuerzos considerablemente mayores que sus esfuerzos de fluencia, y que en casos de sobrecarga, gracias a la ductilidad del acero. Con base en esta información se han hecho muchas propuestas de diseño plástico en las últimas décadas. Indudablemente para cierto tipo de estructuras es un hecho que con el diseño plástico se puede lograr un uso más económico del acero que con el diseño elástico. Sin embargo, el método plástico de diseño no se ha generalizado entre los proyectistas de acero estructural y rara vez se usa en la práctica. A pesar de esto, el conocimiento de este método de diseño es sumamente útil para entender el comportamiento del acero estructural. 19 DISEÑO CON FACTORES DE CARGA Y RESISTENCIA (LRFD) El AISC edita también el Manual of Steel Construction Load Resistant Factor Design (Manual de Construcción de Acero con Diseño por Factores de Carga y Resistencia). Este método de diseño, abreviado LRFD combina el cálculo de estados límites de resistencia y servicio con un enfoque probabilístico de la seguridad. El LRFD es similar al diseño plástico en tanto que considera la condición de falla o de resistencia última. Las cargas se multiplican por factores de carga (mayores que 1.0) y los miembros se diseñan para proporcionar suficiente resistencia frente a las cargas factorizadas. Además, la capacidad nominal o teórica de cada miembro se multiplica por un factor de resistencia menor que 1.0 (para tomar en cuenta variaciones en las propiedades del material y en las dimensiones del miembro). El criterio LRFD se puede expresar como: Resistencia útil o de diseño Efectos de las cargas factorizadas 4h ARMADURAS PLANAS Y ESPACIALES Una armadura es un montaje de miembros rectos conectados en sus extremos por conexiones flexibles para formar una configuración rígida. En virtud de su peso ligero y su alta resistencia, las armaduras se usan con amplitud y sus aplicaciones van desde soportar puentes y tejados de edificios hasta ser soporte de estructuras en estaciones espaciales. Las armaduras modernas se construyen al conectar los miembros, que suelen consistir en acero estructural, perfiles de aluminio o puntuales de madera, a escuadras de ensamble por medio de conexiones con pernos o soldadas. Como se discutió en la sección 1.4, si todos los miembros de una armadura y las cargas aplicadas se encuentran en un solo plano, se dice que la armadura es una armadura plana. Por lo común, las armaduras planas se usan para soportar plataformas de puentes y tejados de edificios. En la sección 1.4, se describió un sistema de típico de armazón para los puentes de armadura. En la figura 4.3, se muestra un sistema típico de armazón para un tejado soportado por armaduras planas. En este caso, dos o más armaduras se 20 conectan en sus uniones (nodos) por medio de vigas, denominadas largueros, para formar un armazón tridimensional. El tejado se sujeta a los largueros, los cuales trasmiten la carga del tejado (peso del tejado más cualquier otra carga debida a nieve, viento, etc.), así como su propio peso, a las armaduras de apoyo en los nodos. Debido a que esta carga aplicada actúa sobre cada armadura en su propio plano, las armaduras se pueden tratar como planas. En las figuras 4.4 y 4.5 se muestran algunas de las configuraciones comunes de las armaduras para puentes y tejados, muchas de las cuales han recibido el nombre de sus diseñadores originales. El objetivo de este capítulo es desarrollar el análisis de fuerzas sobre los miembros de armaduras planas y espaciales, estáticamente determinadas. Se empieza por discutir las hipótesis básicas que fundamentan el análisis presentado en este capítulo y, a continuación, se consideran el número y la disposición de los miembros necesarios para formar armaduras planas internamente estables, o rígidas. Como parte de está discusión, se definen las armaduras simples y compuestas. También se presentan las ecuaciones de condición que por lo común se encuentran en las armaduras planas. Enseguida, se establece la clasificación de las armaduras planas como estáticamente determinadas, indeterminadas e inestables, y se presentan los procedimientos para el análisis de las armaduras planas simples por los métodos de los nodos y de las secciones. Se concluye con un análisis de las armaduras planas compuestas, una breve discusión de las armaduras complejas y el análisis de las armaduras espaciales. 21 22 HIPÓTESIS EN RELACIÓN CON EL ANÁLISIS DE ARMADURAS El análisis de las armaduras suele basarse en las hipótesis simplificadas siguientes: 1. Todos los miembros están conectados sólo en sus extremos por articulaciones sin fricción, en las armaduras planas, y por articulaciones de rótula sin fricción, en las armaduras espaciales. 2. Todas las cargas y reacciones en los apoyos están aplicadas sólo en los nodos. 3. El eje central de cada miembro coincide con la línea que une los centros de los nodos adyacentes. 23 La razón para establecer estas hipótesis es obtener una armadura ideal, cuyos miembros sólo estén sujetos a fuerzas axiales. Como cada miembro de una armadura ideal está conectado en sus extremos por articulaciones sin fricción (hipótesis 1) sin cargas aplicadas entre sus extremos (hipótesis 2), el miembro estaría sujeto sólo a dos fuerzas en sus extremos, como se muestra en la figura 4.7 (a). Dado que el miembro está en equilibrio, la fuerza resultante y el par resultante de las dos fuerzas FA y FB deben ser cero; es decir, las fuerzas deben satisfacer las tres ecuaciones de equilibrio. A partir de la figura 4.7(a), se puede ver que para que la Fy 0 ), esas dos fuerza resultante de las dos fuerzas sea cero ( Fx 0 y fuerzas deben tener magnitudes iguales pero sentidos opuestos. Para que su par resultante también sea igual a cero M=0, las dos fuerzas deben ser colineales es decir, deben tener la misma línea de acción. Es más, dado que el eje centroidal de cada miembro de la armadura es una recta que coincide con la que conecta los centros de los nodos adyacentes (hipótesis 3), el miembro no está sujeto a momento flexionante ni a fuerza cortante y está a tensión axial (siendo alargado, como se muestra en la figura 4.7(b)), o bien, a comprensión axial (siendo acortado, como se muestra en la figura 4.7(c)). Esas fuerzas axiales sobre los miembros, determinadas a partir del análisis de una armadura ideal, se llaman fuerzas primarias. En las armaduras reales se construyen al conectar los miembros a escuadras de ensamble por medio de conexiones soldadas o con pernos. (Fig. 4.8) Incluso, algunos miembros de la armadura pueden ser continuos en los nodos. Además, aunque, en efecto, las cargas externas son transmitidas a las armaduras en los nodos por medio de vigas de piso, largueros, etc. Los pesos muertos de los miembros se distribuyen a lo largo de sus longitudes. Los momentos flexionantes y las fuerzas cortantes y axiales causadas por éstas y por otras desviaciones por lo general se mencionan como fuerzas secundarias. Aunque las fuerzas secundarias no se pueden eliminar, en la mayor parte de las armaduras se pueden reducir de manera apreciable al usar miembros más o menos esbeltos y al diseñar las conexiones de modo que los ejes centroidales de aquellos miembros que encuentran en un nodo sean concurrentes en un punto como se muestra en la figura 1.13). En las armaduras de este tipo, las fueras secundarias son pequeñas en comparación con las primarias y, por lo general, no se consideran en sus diseños. 24 DISPOSICIÓN DE LOS ESTABILIDAD INTERNA MIEMBROS DE ARMADURAS PLANAS; Con base en la discusión llevada a cabo en la sección 3.4; se puede definir una armadura plana como internamente estable si el número y la disposición geométrica de sus miembros es tal que la propia armadura no cambia su forma y sigue siendo un cuerpo rígido cuando se separa de sus apoyos. En este caso, se usa el término interno para referirse al número y disposición de los miembros contenidos en la armadura. La inestabilidad debida a un número insuficiente de apoyos externos o debido a la disposición inadecuada de estos apoyos se menciona como externa. Armaduras simples Se puede agrandar el elemento básico de armadura ABC de la figura, al agregar dos nuevos miembros, BD y CD, a dos de los nodos existentes, B y C, y al conectarlos para formar un nuevo nodo D, como se muestra en la figura. En tanto que el nuevo nodo D no se encuentre sobre la recta que pasa por lo nodos existentes, B y C, la nueva armadura agrandada será internamente estable. La armadura se puede agrandar todavía más al repetir el mismo procedimiento (como se muestra en la figura) tantas veces como se desee. Las armaduras construidas por este procedimiento se llaman armaduras simples. El lector debe examinar las armaduras ilustradas en la figuras, con el fin de verificar que cada una de ellas, con la excepción de la Baltimore y la Fink, es una armadura simple. En estas figuras, el elemento básico de las armaduras simples se identifica como ABC. Una armadura simple se forma al agrandar el elemento básico de armadura, el cual contiene tres miembros y tres nodos, al añadir dos miembros adicionales por cada nodo adicional, de modo que el número total de miembros m en una armadura simple se expresa por m = 3 + 2(j-3) = 2j – 3 en la cual j = número total de nodos (incluyendo aquellos fijados a los apoyos). 25 Armaduras compuestas Las armaduras compuestas se construyen al conectar dos o más armaduras simples para formar un solo cuerpo rígido. Para impedir cualquier movimiento relativo entre las armaduras simples, cada armadura debe conectarse a la otra, o a las otras, por medio de conexiones capaces de transmitir por lo menos tres componentes de fuerzas, no siendo todas paralelas ni concurrentes. En la figura, se muestran dos ejemplos de disposiciones de las conexiones usadas para formar armaduras compuestas. En la figura, dos armaduras simples, ABC y DEF, 26 están conectadas por tres miembros, BD, CD y BF, las cuales son no paralelos y no concurrentes. En la figura, se muestra otro tipo de disposición de conexión. Esta comprende la conexión de las dos armaduras simples ABC y DEF por un nodo común C y un miembro BD. Para que la armadura compuesta sea internamente estable, el nodo común C y los nodos B y D no deben encontrarse sobre una recta. La relación entre el número total de miembros, m y el número total de nodos j, para una armadura compuesta internamente estable, sigue siendo la misma que para las simples. Esta relación, la cual se expresa por la ecuación, se puede verificar con facilidad para las armaduras compuestas que se muestran en la figura. 27 Estabilidad interna La ecuación expresa el requisito del número mínimo de miembros que una armadura plana de j nodos debe contener, si debe ser internamente estable. Si una armadura plana contiene m miembros y j nodos, entonces si: m < 2j – 3 m 2j – 3 la armadura es internamente inestable la armadura es internamente estable Es muy importante darse cuenta que aun cuando el criterio planteado para la estabilidad interna es necesario, no es suficiente para garantizar esa estabilidad. Una armadura no sólo debe contener miembros suficientes para satisfacer la condición m 2j-3, sino que los miembros también deben estar dispuestos de manera apropiada para garantizar la rigidez de la armadura completa. Recuérdese, con base en la discusión acerca de las armaduras simples y compuestas, que en una armadura estable, cada nodo está conectado al resto de la estructura por lo menos de dos miembros no paralelos, y cada parte de la armadura debe estar conectada al resto de la misma por conexiones capaces de transmitir al menos tres componentes de fuerzas no paralelas y no concurrentes. Ejemplo: Clasifique cada una de las armaduras planas que se muestran en la figura 4.12 como internamente estable o inestable. Solución.- (a) La armadura que se muestra en la figura 4.12(a) contiene 20 miembros y 12 nodos. Por lo tanto, m =20 y 2j -3 = 2(12)-3 = 21. Ya que m es menor que 2j -3, esta armadura no tiene un número suficiente de miembros para formar un cuerpo rígido; por lo tanto, es internamente inestable. Una observación cuidadosa de la armadura hace ver que contiene dos cuerpos rígidos. ABCD y EFGH, conectados por dos miembros paralelos, BE y DG. Estos dos miembros horizontales no pueden impedir el desplazamiento relativo en la dirección vertical de una de las partes rígida de la armadura con respecto a la otra. (b) La armadura que se muestra en a figura 4.12(b) es la misma que la de la figura 4.12 (a), excepto que ahora se ha agregado, un miembro diagonal DE para impedir el desplazamiento relativo entre las dos partes, ABCD y EFGH. La armadura entera ahora actúa como un solo cuerpo rígido. La adición del miembro DE aumenta el número de miembros a 21 (en tanto 28 que el número de nodos sigue siendo el mismo, 12), con lo que se satisface la ecuación m=2j-3. La armadura ahora es internamente estable. (c) A la armadura de la figura 4.12 (b) se le añaden cuatro diagonales más, para obtener la que se muestra en la figura 4.12(c), incrementando de este modo m hasta 25, en tanto que j permanece constante en 12. Debido a que m > 2j -3, la armadura es internamente estable. Asimismo, como la dirección m-(2j – 3) = 4, la armadura contiene cuatro miembros más de los requeridos para la estabilidad interna. (d) La armadura que se muestra en la figura 4.12(d) se obtiene de la que se ilustra en la figura 4.12(c) al eliminar dos diagonales, BG y DE, del panel BE. con lo cual se disminuye m hasta 23; j permanece constante en 12. Aun cuando m - (2j - 3) = 2 –es decir, la armadura contiene dos miembros más que el mínimo requerido para la estabilidad interna- sus dos partes rígidas, ABCD y EFGH, no están conectadas en forma apropiada par formar un solo cuerpo rígido. Por lo tanto, el armadura es internamente inestable. (e) La armadura que se muestra en la figura 4.12(e) es internamente inestable porque m = 26 Y j = 15, lo que da m < 2j - 3. Esto también se ve claro en el diagrama de la armadura. en el cual se muestra que las partes ABE y CDE de la misma pueden girar cada una con respecto a la otra. La diferencia m - (2j - 3) = -1 indica que esta armadura tiene un miembro menos que los requeridos para la estabilidad interna. (f) En la figura 4.12(f), se ha agregado un miembro BC a la armadura de la figura 4.12(e), el cual impide el movimiento relativo de las dos partes ASE y CDE, con lo que se hace que la armadura sea internamente estable. Como ahora se ha incrementado m hasta 27, satisface la ecuación m=2j3, para j=15. (g) La armadura de torre que se muestra en la figura 4.12(g) tiene 16 miembros y 10 nodos. En virtud de que m< 2j – 3, la armadura es internamente inestable. Esto también resulta obvio a partir de la figura 4.12(g), la cual muestra que el miembro BC puede girar con respecto al resto de la estructura. Esta rotación puede ocurrir porque el nodo C está conectado por solo un miembro, en lugar de los dos requeridos para restringir por completo un nodo de una armadura plana. Resp. (h) En la figura 4.12(h), se ha agregado un miembro AC a la armadura de la figura 4.12(g), lo cual la hace internamente estable. En este caso, m = 17 Y j = 10, de modo que se satisface la ecuación m = 2j - 3. Resp. 29 ECUACIONES DE CONDICIÓN PARA LAS ARMADURAS PLANAS En la sección 3.4, se indicó que los tipos de conexiones usadas para conectar partes rígidas de estructuras internamente estables dan lugar a ecuaciones de condición que, junto con las tres ecuaciones de equilibrio, se pueden usar para determinar las reacciones necesarias para restringir por completo esas estructuras. En la figura 4.13, se muestran tres tipos de disposiciones de conexiones de uso común para unir dos armaduras rígidas con el fin de formar una sola armadura (internamente estable). En la figura 4.13(a), dos armaduras rígidas, AB y BC, están conectadas entre sí para una articulación interna en B. Puesto que una articulación interna no puede transmitir momento, da lugar a una ecuación de condición: AB MB 0 ó BC MB 0 En la figura 4.13(b), se muestra otro tipo de disposición de la conexión. Esta comprende la conexión de dos armaduras rígidas, AB y CD, por medio de dos miembros paralelos. Como estas barras paralelas horizontales no pueden transmitir fuerza en la dirección perpendicular a ellas, este tipo de conexión proporciona una ecuación de condición: FyAB 0 ó FyCD 0 Otro tipo de disposición de conexión comprende conectar dos armaduras rígidas. AB y CD, por un solo eslabón, BC, como se muestra en la figura 4.13(c). Como un eslabón no puede transmitir momento ni fuerza en la dirección perpendicular a él, da lugar a dos ecuaciones de condición: Como se indicó en el capítulo anterior, se pueden usar estas ecuaciones de condición, con las tres ecuaciones de equilibrio, para determinar las reacciones desconocidas de las armaduras planas estáticamente determinadas externamente. El lector debe verificar que las tres armaduras mostradas en la figura 4.13 son estáticamente determinadas externamente. 30 31 DETERMINACIÓN, INDETERMINACIÓN E INESTABILIDAD ESTÁTICAS DE LAS ARMADURAS PLANAS Se considera que una armadura es estáticamente determinada, si las fuerzas en todos sus miembros, así como todas las reacciones externas, se pueden determinar al usar las ecuaciones de equilibrio. Como los dos métodos de análisis presentados en las secciones siguientes se pueden usar sólo para analizar armaduras estáticamente determinadas, es importante que el estudiante sea capaz de reconocer las armaduras de este tipo, antes de proceder con el análisis. 32 Considérese una armadura plana sujeta a las cargas externas P1 y P2, como se muestra en la figura 4.14(a). En la figura 4.14(b), se muestran los diagramas de cuerpo libre de los cinco miembros y de los cuatro nodos. Cada miembro está sujeto a dos fuerzas axiales en sus extremos, los cuales son colineales (con el eje centroidal del miembro) e iguales en magnitud pero de sentidos opuestos. Nótese que, en la figura 4.14(b), se supone que todos los miembros se encuentran a tensión; es decir, las fuerzas están tirando de los miembros. Los diagramas de cuerpo libre de os nodos muestran las mismas fuerzas que actúan sobre los miembros, pero en direcciones opuestas, de acuerdo con la tercera ley de Newton. El análisis de la armadura comprende el cálculo de las magnitudes de las cinco fuerzas que actúan sobre los miembros, FAB, FAC, FBC, FBD y FCD (las líneas de acción de estas fuerzas se conocen) y las tres reacciones, Ax, Ay y By. Por lo tanto, el número total de cantidades desconocidas que deben determinarse es de ocho. Si suponemos que la armadura completa está en equilibrio, cada uno de sus nodos también debe estar en equilibrio. Como se muestra en la figura 4.14(b), en cada nodo, las fuerzas internas y externas forman un sistema de fuerzas coplanares y concurrentes, las cuales deben satisfacer las dos Fx 0 y Fy 0 . Ya que la armadura contiene ecuaciones de equilibrio, cuatro nodos, el número total de ecuaciones de las que se dispone es de 2(4) = 8. Se pueden resolver estas ocho ecuaciones de equilibrio de los nodos para calcular las ocho incógnitas. Por lo tanto, la armadura plana de la figura 4.14(a) es estáticamente} determinada. Se podrían escribir tres ecuaciones de equilibrio de la armadura completa como un cuerpo rígido y resolver para las tres reacciones desconocidas (Ax, Ay y By). Sin embargo, estas ecuaciones de equilibrio (así como las ecuaciones de condición en el caso de las armaduras internamente inestables) no son independientes de las ecuaciones de equilibrio de los nodos y no contienen información adicional. Con base en la discusión precedente, se pueden desarrollar los criterios para la determinación, indeterminación e inestabilidad estáticas de las armaduras planas generales que contengan m miembros y j nodos y estén apoyadas por r (número de reacciones externas; esto es, se necesita calcular un total de m+r cantidades desconocidas. Dado que se tienen j nodos y se pueden escribir dos ecuaciones de equilibrio Fy 0 ) para cada uno de ellos, el número total de ecuaciones ( Fx 0 y 33 de equilibrio de las que se dispone es de 2j. Si el número de incógnitas (m+r) para una armadura es igual al número de ecuaciones de equilibrio (2j) –es decir, m+r =2j- pueden determinarse todas las incógnitas al resolver las ecuaciones de equilibrio y la armadura es estáticamente determinada. Si una armadura tiene más incógnitas (m+r) que las ecuaciones de equilibrio de las que se dispone (2j) –es decir, m+r>2j- no pueden determinarse todas las incógnitas al resolver las ecuaciones de equilibrio de las que se dispone. Se dice que una armadura de este tipo es estáticamente indeterminada. Las armaduras estáticamente indeterminadas tienen más miembros o reacciones externas, o ambas cosas, que los mismos requeridos para contar con la estabilidad. Los miembros y las reacciones en exceso se dice que son redundantes y el número de esos miembros} y reacciones en exceso se conoce como grado de indeterminación estática, i, la cual se puede expresar como i=(m+r) – 2j Si el número de incógnitas (m+r) para una armadura es menor que el número de ecuaciones de equilibrio de los nodos (2j) – esto es, m+r < 2j- se dice que la armadura es estáticamente inestable. La inestabilidad estática puede deberse a que la armadura tiene menos miembros que el número requerido para contar con la estabilidad interna, o bien, a un número insuficiente de reacciones externas, o a ambas condiciones. Las condiciones de la inestabilidad, determinación e indeterminación estáticas de las armaduras planas se pueden resumir como sigue: m+r < 2j m+r = 2j m+r > 2j armadura estáticamente inestable armadura estáticamente determinada armadura estáticamente indeterminada La primera condición para la inestabilidad estática de las armaduras, es tanto necesaria como suficiente en el sentido de que si m<2j-c, se tiene la certidumbre de que la armadura es estáticamente inestable. Empero, las dos condiciones restantes, para la determinación estática (m=2j-r) y la indeterminación (m>2j-r), son condiciones necesarias pero no suficientes. En otras palabras, estas dos reacciones sencillamente expresan que el número de miembros y de reacciones es suficiente para tener estabilidad. No dan información referente a su disposición. Una armadura puede tener un número suficiente de miembros y de reacciones externas, pero toda vía 34 puede ser inestable debido a una disposición inapropiada de los miembros o de los apoyos externos, o de ambos. Se hará hincapié que para que los criterios referentes a la determinación e indeterminación estáticas, según se dan por las ecuaciones (4.3) y (4.4), sean válidos, la armadura debe ser estable y actuar como un solo cuerpo rígido, bajo un sistema general de carga coplanares, cuando se sujeta a los apoyos. Las armaduras internamente estables deben estar apoyadas al menos por tres reacciones, las cuales no todas deben ser paralelas ni concurrentes. Si una armadura es internamente estable, entonces debe estar apoyada por reacciones iguales en número a por lo menos tres más el número de ecuaciones de condición (3+ec), y no todas las reacciones deben ser paralelas ni concurrentes. Además, cada nodo, miembro y parte de la armadura debe estar restringida contra todos los movimientos posibles de un cuerpo rígido e el plano de esa armadura, sea por el resto de ésta o por los apoyos externos. Si una armadura contiene un número suficiente de miembros, pero no están dispuestos de manera apropiada, se dice que tiene forma crítica. Para algunas armaduras, puede no resultar obvio a partir de los dibujos si sus miembros está o no dispuestos de manera apropiada. Sin embargo, si la disposición de los miembros no es apropiada, resultará evidente durante el análisis de la armadura. El análisis de una armadura inestable de este tipo siempre conducirá a resultados incoherentes, indeterminados o infinitos. Ejemplo: Clasifique cada una de las armaduras planas que se muestran en la figura 4.15 como inestable, estáticamente determinada o estáticamente indeterminada. Si la armadura es estáticamente indeterminada, determine entonces el grado de indeterminación estática. Solución (a) La armadura que se muestra en la figura 4.15(a) contiene 17 miembros y 1 nodos, y se encuentra apoyada por 3 reacciones. Por tanto, m+r=2j. Como las tres reacciones no son paralela ni concurrentes y los miembros de la armadura están dispuestos en forma apropiada, es estáticamente determinada. (b) Para esta armadura, m=17, j=10 y r=2. Debido a que m+r<2j, la armadura es inestable. 35 (c) Para esta armadura, m=21, j=10 y r=3. Como se tiene m+r>2j, la armadura es estáticamente indeterminada, con el grao de indeterminación i=(m+r)-2j=4. Debe resultar obvio a partir de la figura 4.15(c) que la armadura contiene cuatro miembros más que los requeridos para la estabilidad. (d) En esta armadura, se tiene m = 16, inestable, ya que m+r<2j. j=10 y r=3. La armadura es (e) Esta armadura está compuesta de dos partes rígidas, AB y BC, conectadas por una articulación interna en B. La armadura tiene m=26, j=15 y r=4. De este modo, m+r=2j. Las cuatro reacciones no son paralelas ni concurrentes y la armadura completa está restringida de manera apropiada, de modo que es estáticamente determinada. (f) Para esta armadura, m =10, j= 7 y r=3. En virtud de que m+r<2j, la armadura es inestable. (g) En la figura 4.15(g), se ha agregado un miembro BC a la armadura de la figura 4.15(f), el cual impide la rotación relativa de las dos partes ABE y CDE. Como m ahora se ha incrementado hasta 11, manteniéndose constantes j, y r en 7 y 3, respectivamente, se satisface la ecuación m+r =2j. Por consiguiente, la armadura de la figura 4.15(g) es estáticamente determinada. (h) La armadura de la figura 4.15(f) se estabiliza al reemplazar el soporte de rodillo en D por uno articulado, como se muestra en la figura 4.15(h). De este modo, el número de reacciones se ha incrementado hasta 4, pero m y j permanecen constantes en 10 y 7, respectivamente. Con m+r=2j, la armadura ahora es estáticamente determinada. (i) Para la armadura de torre que se muestra en la figura 4.15(i), m=16, j=10 y r=4. Como m+r=2j, la armadura es estáticamente determinada. (j) Esta armadura tiene m=13, j=8 y r=3. Aunque m+r=2j, la armadura es inestable, porque contiene dos partes rígidas ABCD y EFGH conectadas por tres miembros paralelos, BF, CE y DH, los cuales no pueden impedir el desplazamiento relativo, en la dirección vertical, de una de las partes rígidas con respecto a la otra. (k) Para la armadura que se muestra en la figura 4.15(k), m=19, j=12 y r=5. En virtud de que m+r=2j, la armadura es estáticamente determinada. 36 ANÁLISIS DE LAS ARMADURAS PLANAS POR EL MÉTODO DE LOS NODOS En el método de los nodos, se determinan las fuerzas axiales en los miembros de una armadura estáticamente determinada al considerar el equilibrio de sus nodos (uniones). Como la armadura completa está en equilibrio, cada uno de sus nodos también debe estar en equilibrio. En cada nodo de la armadura, las fuerzas en los miembros y cualesquiera cargas y reacciones aplicadas forman un sistema de fuerzas concurrentes y coplanares (véase la figura 4.14), las cuales deben satisfacer dos Fx 0 y Fy 0 , para que ese nodo esté en ecuaciones de equilibrio, equilibrio. Estas dos ecuaciones de equilibrio se deben satisfacer en cada nodo de la armadura. Sólo se tienen dos ecuaciones de equilibrio en un nodo, de modo que no se pueden usar para determinar más que dos fuerzas desconocidas. El método de los nodos consiste en seleccionar un nodo con no más de dos fuerzas desconocidas (las cuales no deben ser colineales) que actúen sobre él y aplicar las dos ecuaciones de equilibrio con el fin de determinar esas dos fuerzas desconocidas. El procedimiento se puede repetir hasta que se hayan obtenido todas las fuerzas deseadas. Como se discutió en la sección anterior, se pueden determinar todas las fuerzas desconocidas en los miembros y las reacciones a partir de las ecuaciones de equilibrio de los nodos, pero en muchas armaduras puede no ser posible hallar un nodo con dos o menos incógnitas, para arrancar el análisis, a menos que las reacciones se conozcan de antemano. En esos casos, las reacciones se calculan al usar las ecuaciones de equilibrio y de condición (si las hay) para la armadura completa, antes de proceder con el método de los nodos para determinar las fuerzas en los miembros. IDENTIFICACIÓN DE LOS MIEMBROS DE FUERZA CERO En virtud de que las armaduras suelen diseñarse para soportar varias condiciones diferentes de carga, no es extraño encontrar miembros con fuerza de cero en ellos, cuando se está analizando una armadura para una condición particular de carga. Los miembros de fuerza cero también se añaden a las armaduras para arriostrar los miembros a compresión contra el pandeo y los miembros esbeltos a tensión contra la vibración. Se puede facilitar el análisis de las armaduras si se pueden identificar los miembros de fuerzo cero por inspección. Dos tipos comunes de disposiciones de los miembros de fuerzo cero por inspección. Dos tipos comunes de 37 disposiciones de los miembros que dan por resultado miembros de fuerza cero son las siguientes: 1. Si solo se conectan dos miembros no colineales a un nodo que no tiene cargas o reacciones externas aplicadas a él, entonces la fuerza en los dos miembros es de cero. 2. Si se conectan tres miembros, dos de los cuales son colineales a un nodo que no tiene cargas o reacciones externas aplicadas a él, entonces la fuerza en el miembro que no es colineal es de cero. En la fig. 4.17 (a ) se muestra el primer tipo de disposición. Consta de dos miembros no colineales, AB y AC, conectados a un nodo A. Nótese que no están aplicadas cargas ni reacciones externas al nodo. En esta fig. se Fy 0, la puede ver que para que se satisfaga la ecuación de equilibrio componente u de FAB es cero, se puede satisfacer; por lo tanto FAB = 0, debido a que la componente x da FAB es cero se puede satisfacer la Fx 0 solo si FAC también es cero. segunda ecuación de equilibrio, En la fig. 4.17 (b ), se muestra el segundo tipo de disposición y consta de tres miembros, AB, AC y AD, conectados entre sí en el nodo A. Nótese que dos de los miembros AB, AC y AD, conectados entre sí en el nodo A nótese que dos de los miembros AB y AD son colineales. En la fig. se puede ver que como no se tiene carga ni reacción externas aplicadas al nodo para equilibrar las componente y de FAC sólo se puede satisfacer la ecuación de equilibrio Fy 0 F AC es cero. Identifique todos los miembros de fuerza cero en la armadura Fink para tejado, sujeta una carga de nieve no equilibrada, como se muestra en la fig. 4.18. 38 SOLUCIÓN En la fig. se puede ver en el nodo B, están conectados tres miembros AB,BD Y BJ, de los cuales AB y BC son colineantes y BJ no lo es. Como no hay fuerzas externas aplicadas al nodo B, el miembro BJ es uno de fuerza cero. Se puede aplicar un razonamiento semejante para el nodo D, para identificar el miembro DN como uno de fuerza cero. A continuación, se enfoca la atención en el nodo J, en donde están conectados cuatro miembros, AJ, BJ, CJ y JK y no existen cargas externas aplicadas. Ya se ha identificado BJ como un miembro de fuerza cero. De los tres miembros restantes, AJ y JK son colineales : por consiguiente, CJ debe ser un miembro de fuerza cero. Análogamente en el nodo N, el miembro CN se identifica como de fuerza cero; se pueden aplicar el mismo tipo de argumentos para el nodo C con el fin de identificar el miembro CK como de fuerza cero. Por ultimo se considera el nodo N, en donde están conectados cuatro miembros, CN, DN, EN y KN de los cuales tres de ellos , CN, DN y KN, ya se han identificado como de fuerza cero. No existen fuerzas externas aplicadas al nodo N, de modo que la fuerza en el miembro restante, EN, también debe ser cero. ANÁLISIS DE LAS ARMADURAS PLANAS POR EL MÉTODO DE LAS SECCIONES El método de los nodos presentado en la sección anterior, prueba ser muy eficiente cuando se deben determinar las fuerzas en todos los miembros de una armadura. Sin embargo, si sólo se desean las fuerzas en ciertos miembros, el método de los nodos puede probar no ser eficiente, porque puede comprender cálculo de fuerzas en varios otros miembros dela armadura. Antes de que se alcance un nodo que se pueda analizar para la fuerza deseada en un miembro. El método de las secciones nos permite 39 determinar en forma directa las fuerzas en los miembros específicos, sin que se calculen en primer lugar muchas fuerzas innecesarias en los miembros, como se puede requerirse por el método de los nodos. El método de las secciones comprende el corte de la armadura en dos partes al pasar una sección imaginaria a través de los miembros cuyas fuerzas se desean. Entonces se determinan las fuerzas deseadas en los miembros al considerar el equilibrio de una de las dos partes de la armadura. Cada parte de la armadura se trata como un cuerpo rígido, bajo la acción de cualesquiera cargas y reacciones aplicadas y las fuerzas en los miembros que han sido cortados por la sección. Las fuerzas desconocidas en los miembros se determinan al aplicar las tres ecuaciones de equilibrio a una de las dos partes de la armadura. Solo se tiene tres ecuaciones equilibrio disponibles de modo que no se pueden usar para determinar más de tres fuerzas desconocidas. Por consiguiente, en general, deben elegirse las secciones de nodo que no pasen por más de tres miembros con fuerzas desconocidas. En algunas armaduras, la disposición de los miembros puede ser tal que, al utilizar secciones que pasen a través de más de tres miembros con fuerzas desconocidas, se pueden determinar uno o, cuando más, dos de esas fuerzas desconocidas. No obstante, esas secciones se emplean en el análisis de sólo ciertos tipos de armaduras Determine las fuerzas en los miembros CJ e IJ de la armadura que se muestra en la fig. 4.21. (a) por el método de las secciones. Sección aa como se muestra en la fig. 4.2. (a ), se hace pasar una sección aa a tráves de los miembros IJ; CJ y CD, cortando la armadura en dos partes, ACI y DGJ. Se usará la parte de la izquierda, ACI para analizar las fuerzas en los miembros. 40 Reacciones antes de proceder con el cálculo de las fuerzas en los miembros, es necesario determinar las reacciones en el apoyo A. Al considerar el equilibrio d la armadura completa (fig. 4.2. (b ) ), se determinan las reacciones como Ax 0 50 K yGy 50k Fuerzas en los miembros en la fig. 4.2. (c ), se muestra el diagrama de cuerpo libre de la parte ACI de la armadura. Se supone que las tres desconocidas, FIJ y FCJ se obtienen a partir de las dimensiones de la armadura, dadas, en la fig. 4.21 (a ). Y se muestran en el diagrama de cuerpo libre. Las fuerzas desconocidas en el miembro se determinan al aplicar las ecuaciones de equilibrio, como se indica a continuación. Puesto que FCJ y FCD pasan por el punto C, al sumar los momentos respecto a este nodo se obtiene una ecuación que sólo contiene a FIJ. MB 0 50(40) 20(20) 4 FIJ 25 0 17 FIJ 65.97K La respuesta negativa para FIJ indica que la hipótesis inicial acerca de que esta fuerza fuera de tensión era incorrecta. En realidad, la fuerza FIJ es una comprensión. FIJ = 65.97 K ( C ) Enseguida, se calcula FCJ al sumar los momentos al respecto al punto O, el cual es el punto de intersección de las líneas de acción de FIJ y FCD. Dado que la pendiente del miembro IJ es 1:4, la distancia OC = 4 (IC) = 4 (25) = 100 ft (veáse la fig. 4.21 (c ). El equilibrio de los momentos respecto a O da Mo 0 50(60) 20(80) 20(100) FCJ=7.21K (T) 3 FCJ 100 13 0 Comprobación de los cálculos para comprobar los cálculos, se aplica una ecuación alternativa de equilibrio la cual comprenda las dos fuerzas en los miembros que acaban de determinarse. Fy 50 20 20 1 65.97 17 1 7.21 13 0 41 Determine las fuerzas en los miembros FJ, HJ y HK de la armadura en K que se muestra en la fig. 4.22 (a ), por el método de las secciones. SOLUCION En la fig. 4.22. (a ) se puede observar que la sección horizontal aa que pasa a tráves de los tres miembros de interés FJ, HJ y HK, también corta un miembro adicional FI, con lo que se liberan cuatro incógnitas, las cuales no pueden determinarse por medio de tres ecuaciones de equilibrio. Las armaduras como la que se está considerando en este caso con los miembros dispuestos en la forma de letra K pueden analizarse mediante una sección curva alrededor del nodo de en medio, como la sección bb que se muestra en la fig. 4.22 (a). Para evitar el cálculo de las reacciones en los apoyos para el análisis se usará la parte superior IKNL dela armadura arriba de la sección bb. El diagrama de cuerpo libre de esta parte se muestra en la fig. 4.22 (b). Se puede ver que aún cuando la sección bb ha cortado cuatro miembros, la fig. 4.22 (b). Se puede ver que aún cuando la sección bb ha cortado cuatro miembros, FI, IJ, JK y HK, las fuerzas en los miembros FI y HK pueden determinarse al sumar los momentos respecto a los puntos K e I, respectivamente porque las líneas de acción de tres de las fuerzas desconocidas pasan por estos puntos. Por lo tanto, en primer lugar se calculará FHK, considerando la sección bb y a continuación se usará la sección aa para determinar FFJ y FHJ. Comprobación de los cálculos por último, para comprobar los cálculos se aplica una ecuación alternativa de equilibrio, la cual comprenda las tres fuerzas en los primeros determinadas por el análisis. Si se usa la fig. 4.22 ( c ), se escribe. 42 VIGAS Y ARMAZONES Los miembros de los armazones rígidos y las vigas pueden estar sujetos a fuerzas cortantes y a momentos flexionantes, así como a fuerzas axiales, bajo la acción de cargas externas. La determinación de estas fuerzas y momentos internos (resultados de los esfuerzos) es necesaria para el diseño de esas estructuras). Fuerza Axial, Fuerza Cortante y Momento Flexionante Considérese, por ejemplo, la viga simplemente apoyada que se muestra en la figura 5.1 (a). el diagrama de cuerpo libre de toda la viga se ilustra en la figura 5.1 (b), así como las reacciones Ax y Ay, y By, en los apoyos A Y B, respectivamente. Las reacciones en los apoyos se pueden calcular por la 43 aplicación de las ecuaciones de equilibrio al diagrama de cuerpo libre de la viga completa. Con el fin de determinar las fuerzas internas que actúan sobre la sección transversal de la viga en un punto C, se pasa una sección imaginaria cc por C, con lo que se corta la viga en dos partes, AC y CB, como se muestra en la figura 5.1 (b) y en la 5.1 (d). En el diagrama de cuerpo libre de la parte AC, en C, por la parte que se ha quitado de la estructura. Nótese que, sin estas fuerzas internas, la parte AC no está en equilibrio. Asimismo, bajo un sistema coplanar general de cargas y reacciones externas, se necesitan tres fuerzas internas (dos componentes perpendiculares de fuerza y un par) en una sección, para mantener una parte de la viga en equilibrio. Las dos componentes internas de fuerza suelen estar orientadas en la dirección del eje centroidal de la viga, y perpendicular a éste, en la sección que se esté considerando, como se muestra en la figura 5.1 (c). la fuerza interna Q, en la dirección del eje centroidal de la viga, se llama fuerza axial, y la fuerza cortante (o, sencillamente, cortante). El momento M del par interno se denomina momento flexionante. Recuerde, por lo visto las resultantes de la distribución de esfuerzos que actúan sobre la sección transversal de la viga. En la figura 5.1 (d), se muestra el diagrama de cuerpo libre de la parte CB de la viga. Obsérvese que en este diagrama se muestran las mismas fuerzas internas, Q, S, y M, pero en direcciones opuestas, ejerciéndose sobre la parte CB, en C por la parte AC que se ha quitado, de acuerdo con la tercera ley de Newton. Se puede determinar las magnitudes y los sentidos correctos de 44 las fuerzas internas sencillamente al aplicar las tres ecuaciones de equilibrio. ∑Fx = 0, ∑Fy =0 y ∑M = 0, a una de las dos partes (AC o CB) de la viga. En las figuras 5.1 (c) y 5.1 (d), se puede ver para que en una parte de la viga, se satisfaga la ecuación de equilibrio ∑Fx = 0, la fuerza axial interna Q debe tener igual magnitud (pero dirección opuesta) a la suma algebraica (resultante) de las componentes en a dirección paralela al eje de la viga de todas las fuerzas externas que actúan sobre esa parte. Si suponemos que la viga como un todo está en equilibrio es decir ∑Fx =0 para la viga completa la aplicación de ∑Fx= 0 a cada una de sus partes por separado dará por resultado la misma magnitud de la fuerza Q. Como consecuencia, se puede expresar lo siguiente: La fuerza axial interna Q, en cualquier sección de una viga, tiene igual magnitud, pero dirección opuesta, a la suma algebraica (resultante de las componentes en la dirección paralela al eje de la propia viga de todas las cargas externas y reacciones en los apoyos que actúan sobre cualquiera de los dos lados de la sección que se está considerando) Si se aplica un razonamiento semejante, se pueden definir la cortante y el momento flexionante como sigue: La cortante S en cualquier sección de una viga tienen igual magnitud, pero dirección perpendicular al eje de la propia viga de las cargas externas y reacciones en los apoyos que actúan sobre cualquiera de los dos lados de la sección que se está considerando. En momento flexionante M en cualquier sección de una viga tiene igual magnitud, pero dirección opuesta a la suma algebraica de los momentos respecto a (el centroide de la sección transversal de la viga en) la sección que se esté considerando de todas las cargas externas y reacciones en los apoyos que actúan sobre cualquiera de los dos lados de esa sección. Conversión de los signos En la figura 5.2, se ilustra la conversión de los signos de uso común para las fuerzas axiales, cortantes y momentos flexionantes. Una característica importante de esta conversión de los signos, la cual a menudo se menciona como conversión de la viga, es que dará lugar a los mismos resultados (positivos o negativos) sin importar cuál de los lados de la sección se considere para calcular las fuerzas internas. En la figura 5.2 (a), se muestran las direcciones positivas de las fuerzas internas que actúan sobre las partes del miembro, a cada lado de la sección. Sin embargo, desde un punto de vista referente al cálculo, suele ser más conveniente expresar esta convención de signos en términos de las cargas 45 y las reacciones externas que actúan sobre la viga o miembro de armazón, como se muestra en las figuras 5.2 (b) a 5.2 (d). En las figuras 5.2 (b), se observan que se considera que la fuerza axial interna Q es positiva cuando las fuerzas externas que actúan sobre el miembro producen tensión o tienen la tendencia a separar el miembro en la sección. Como se muestra en la figura 5.2 (c), se considera que la cortante S es positiva cuando la fuerza externa tiene a empujar la parte del miembro a la izquierda de la sección hacia arriba con respecto a la parte de la derecha de la misma sección. A partir de esta figura, se puede ver que una fuerza externa que actúa hacia arriba sobre la parte izquierda o hacia abajo sobre la parte derecha causa una cortante positiva. De modo alternativo, se puede recordar esta conversión del signo para la cortante al darse cuenta que cualquier fuerza que produce un momento en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj, respecto de una sección, causa una cortante positiva en esa sección y viceversa. En la figura 5.2 (d), se muestra el momento flexionante positivo. Se considera que el momento flexionante M es positivo cuando las fuerzas y pares externos tienen a que la viga se flexione cóncava hacia arriba, causando compresión en las fibras superiores y tensión en as inferiores de las viga en esta sección. Cuando se usa la parte izquierda para calcular el momento en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj respecto a la sección. Así como los pares en el sentido del mismo movimiento, causan momento positivo flexionante en esa sección. Sin embargo, cuando se considera la parte derecha, las fuerzas que producen momentos en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj respecto a la sección, y los pares en ese mismo sentido, causan momento flexionante positivo y viceversa. Hasta ahora en la discusión, se ha supuesto que la viga o miembro de armazón están horizontales, pero la convención de los signos antes descrita se puede aplicar para miembros inclinados y verticales, 46 empleando un sistema de coordenadas xy, como se muestra en figura 5.2 (a). el eje centroidal del miembro y la dirección positiva del eje y se elige de modo que ese sistema de coordenadas sea derecho, con el eje z apuntando siempre hacia fuera del plano del papel. Ahora se puede usar la convención de los signos para un miembro inclinado o uno vertical al considerar la dirección y positiva com aquéllas hacia arriba y la parte del miembro cercana al origen como la que está a la izquierda de la sección. Ejemplo: Determine la fuerza, la cortante y el momento flexionante en el punto B de la viga que se muestra en la figura 5.3 (a). Solución: Reacciones Si se consideran el equilibrio del cuerpo libre de toda la viga (Fig. 5.3 (b)) se escribe. Fx 0 Ax 4 5 25 0 Ax 20 k C Mc 0 Ay 36 30 24 3 5 25 12 0 Ay 25 k Fy 0 25 30 3 5 25 Cy 0 Cy 20 k Sección bb se pasa una sección bb por el punto B, cortando la viga en dos partes, AB y BC (véase la figura 5.3 (b)). En lo que sigue, se usa la parte AB, que está a la izquierda de la sección para calcular las fuerzas internas. Fuerza consideran externas hacia la izquierda como positivas, se escribe. Q= -20 k axial Si se las fuerzas que actúan Resp. 47 Cortante Si se consideran las fuerzas externas que actúan hacia arriba como positivas, se escribe. S= 25-30 = -5 S =-5 k Resp. Momento flexionante Si se consideran los momentos, respecto de B, en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj de las fuerzas externas como positivos, se describe. M = 25 (18) – 30 (6) = 270 M = 270 k.ft Resp. Comprobación de los cálculos Para comprobar los cálculos , se obtienen las fuerzas internas usando la parte BC, la cual está a la derecha de la sección considerada. Al tomar en cuenta las componentes horizontales de las fuerzas externas que actúan hacia la derecha sobre la parte BC como positivas, se obtiene. Q 4 5 25 20 k Coincide Al considerar las fuerzas que actúan hacia abajo como positivas, se obtiene 3 Coincide S 20 25 5k 5 Por último al considerar los momentos, respeto de B, en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj como positivos, se obstinen. M 20 18 3 5 25 6 270 k ft Coincide Determine la cortante y el momento flexionante en el punto B de la viga que se muestra en la fig. 5.4. sección bb (Veáse la fig. 5.4.) para evitar el calcular de las reacciones se selecciona la parte BC no apoyada externamente la cual se encuentra a la derecha de la sección bb, para calcular las fuerzas internas. Cortante Si se consideran las fuerzas externas que actúan hacia abajo como positivas se escribe 48 S 20 4 80 KN Momento flexionante se consideran los momentos en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj como positivos, se escribe. M 500 20 4 2 340KN m El lector puede comprobar los resultados al sumar las fuerzas y los momentos sobre la parte AB de la viga, después de calcular las reacciones en el apoyo A. DIAGRAMAS DE FLEXIONANTE. LA FUERZA CORTANTE Y DEL MOMENTO Los diagramas de la fuerza cortante y del momento flexionante muestran las variaciones de estas cantidades a lo largo del miembro. Se pueden construir esos diagramas al aplicar el método de las secciones . Si se avanza de uno de los extremos del miembro hacia el otro (por lo general, de izquierda a derecha), se pasan secciones, después de cada cambio sucesivo en la carga a lo largo del miembro, para determinar ecuaciones que expresen la cortante y el momento flexionante en términos de la distancia de la sección a un origen fijo, entonces se trazan los valores de la cortante y de los momentos flexionantes deteminados a partir de estas ecuaciones como ordenadas contra la posición con respecto a uno de los extremos del miembro tomada como abscisa para obtener los diagramas de la fuerza cortante y del momento flexionante. Este procedimiento se ilustra por medio de los ejemplos que siguen. SOLUCIÓN : Reacciones fig. 5.5. (b) Fz 0 Az 0 MD 0 - Ay (30) + 60 (20) + 180 + 2 (20) (0) = 0 Fy 0 Ay=46K 46 – 60 – 2 (20) + Dy = 0 49 diagrama de la cortante Para determinar la ecuación para la cortante en el segmento AB, se pasa una sección aa a una distancia x del apoyo A. Como se muestra en la fig. 5.5. (b). Si se considera el diagrama de cuerpo libre a la izquierda de esta sección se obtiene. S 46K 0 x 10 ft como esta ecuación indica la cortante es constante en 46k desde una distancia infinitesimal a la derecha del punto A hasta la distancia infitesimal a la izquierda del punto B. En el punto A, la cortante se incrementa en forma abrupta desde 0 hasta 46 k de modo que se traza una recta vertical desde 0 hasta 46, sobre el diagrama de la cortante (Fig. 5.5. (c ) ), en A, para que la cortante se mantiene constante en este segmento. Enseguida al usar la sección bb fig. 5.5. (b ) se determina la ecuación para la cortante en el segmento BC como. S 46 60 14 k para 10 x 20 ft El cambio abrupto en la cortante desde 46k a una distancia infinitesimal a la izquierda de B hasta – 14 k a una distancia infinitesimal a la derecha de este mismo punto, se muestra en el diagrama de la cortante (fig. 5.5. ( c ) ) por medio de una recta vertical desde + 46 hasta – 14 constante en este valor en todo este segmento. Con el fin de determinar las ecuaciones para la cortante en la mitad derecha de la viga, es conveniente usar otra coordenada, x1 dirigida hacia la izquierda desde el extremo E de la viga, como se muestra en la fig. 5.5. (b). Se obtienen las ecuaciones para la cortante en los segmentos ED y DC al considerar los cuerpos libres a la derecha de las secciones dd y cc, respectivamente. S 2 x1 para 0 x1 10 ft 20 ft S 2 x1 54 para 10 f t x1 estas ecuaciones indican que la cortante se incrementa linealmente desde cero hasta + 20 k a una distancia infinitesimal a la derecha D; enseguida cae en forma abrupta hasta –34 K a una distancia infinitesimal a la izquierda de Dy, desde allí se incrementan en forma lineal hasta 14 k. En C. esta información se encuentra en el diagrama de la cortante como se muestra en la fig. 5.5. (c ). 50 Diagrama del momento flexionante si usan las mismas secciones y coordenadas que se emplearon con anterioridad para cualquier cortante se determinan las ecuaciones siguientes para el momento flexionante en los cuatro segmentos de la viga. Para el segmento AB; M = 46 X para 0 x1 10 ft Para el segmento BC: M = 46 X 60 (X – 10) = 14 X + 600 para 10 ft Para el segmento ED: M 2 x1 x1 2 x 2 para 0 1 x1 20 ft x1 10 ft para el segmento DC: M X 2 54 X 1 10 1 X 2 54 X1 540 para 10 ft 1 X1 20 ft las dos primeras ecuaciones para la mitad izquierda de la viga, indican que el momento flexionante crece en forma lineal desde 0 hasta 460 k-ft en C, como se muestra en diagrama del momento flexionante de la fig.5.5. (d) las dos últimas ecuaciones para la mitad derecha de la viga son cuadráticas en x1. los valores de M, cálculos a partir de esas ecuaciones están presentados en diagrama del momento flexionante que se muestra en la fig. 5.5. (d). Se puede ver que M decrete desde 0 en E hasta – 100 k-ft en D y, a continuación, crece hasta – 140 k-ft a una distancia infinitesimal a la derecha de C. nótese que, en C el momento flexionante cae en forma abrupta en una cantidad de 320 140 =180 k-ft, lo cual es igual a la magnitud del momento del par externo en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj que actúa en ese punto. Un punto en el cual el momento flexionante es cero se conoce como punto de inflexión. Para determinar la ubicación para el momento flexionante correspondiente al segmento DC, para obtener. M x 2 54x1 540 1 0 51 de lo cual resulta x1=13.25 ft; es decir el punto F está localizado a una distancia de 13.25 ft del extremo E, o sea 40 – 13.25 = 26.75 ft del apoyo A de la viga como se muestra en la fig. 5.5. (d ). Dibuje los diagramas de la cortante y del momento flexionante para la viga que se muestra en la fig. 5.6. (a) . SOLUCIÓN Reacciones véase la fig. 5.6. (b ) Fc Mc 0 0 Bx 0 1 9 9 27 2 3 BY 6 0 By 60.75KN F 0 Cy 60.75KN 1 9 27 2 60.75 CY 0 se traza la gráfica de los valores de S calculados a partir de estas ecuaciones para obtener el diagrama de la cortante que se muestra en la fig. 5.6. el punto D en el cual la cortante es cero se obtiene a partir de la ecuación. S 3x 2 2 60.75 0 de la cual x = 6.36 m. Diagrama del momento flexionante Si se utilizan las mismas secciones empleadas con anterioridad para calcular la cortante se determina las ecuaciones siguientes para el momento flexionantes en los segmentos AB y BC respectivamente. 52 M 1 x x 3x 2 3 x2 2 para 0 x 3m M x2 2 60.75 x 3 para 3m x 9m (d) diagrama del momento flexionante (KN–m) se traza la gráfica de los valores de M calculados a partir de estas ecuaciones para obtener el diagrama del momento flexionante que se muestra en la fig. 5.6 (d). Para localizar el punto en el cual el momento flexionante es máximo se deriva la ecuación de M correspondiente al segmento BC con respecto a x y la derivada Dm/dx se hace igual a cero; es decir. 53 dM dx 3x 2 2 60.75 0 de lo cual x = 6.36 m. Esto indica que se tiene el momento flexionante máximo en el mismo punto en el cual la cortante es cero. Asimismo la comparación de las expresiones para Dm/dx y S correspondientes al segmento BC indica que las dos ecuaciones son idénticas; es decir la pendiente del diagrama del momento flexionante en un punto es igual a la cortante en ese punto. (Esta relación que en general es válida se discute con detalle en una sección subsiguiente). Por último la magnitud del momento máximo se determina al sustituir x = 6.36 n en la ecuación para M en el segmento BC. M mix 6.36 2 3 60.75 6.36 3 75.5kNm DETERMINACIÓN, INDETERMINACIÓN ESTÁTICA DE LOS ARMAZONES PLANOS E INESTABILIDAD Los armazones rígidos que suelen mencionarse sencillamente como los armazones se componen de miembros rectos conectados por medio de conexiones rígidas (que resisten los momentos), o bien por conexiones articuladas, para formar configuraciones estables. Por lo común los miembros de los armazones se conectan por uniones rígidas aun cuando a veces se usan las conexiones articuladas. Una unión rígida impide las traslaciones y rotaciones relativas de los miembros conectados a ella, de modo que la unión es capaz de transmitir dos componentes rectangulares de fuerza y un par entre los miembros conectados. En general, bajo la acción de cargas externas, los miembros de un armazón pueden quedar sujetos a momento flexionante fuerza cortante y tensión o compresión axiales. Se considera que un armazón es estáticamente determinado si los momentos flexionantes, las fuerzas cortantes y las fuerzas cortantes y las fuerzas axiales en todos sus miembros, así como todas las reacciones externas, se pueden determinar mediante la aplicación de las ecuaciones de equilibrio de condición. Considérese un armazón plano sujeto a una carga arbitraria como se muestra en la fig. 5.14 los diagramas de cuerpo libre de los tres miembros y de los cuatro nodos del armazón se muestran en la fig. 54 5.14 (b ). Además de las fuerzas externas, cada miembro está sujeto a dos componentes internas de fuerza y a un par interno en cada uno de sus extremos. Por supuesto antes del análisis, no se conocen los sentidos correctos de las fuerzas y pares internos, los cuales por lo común se mencionan como fuerzas en los extremos de los miembros, y se eligen en forma arbitraria. En los diagramas del cuerpo libre de los nodos se muestran las mismas fuerzas en los extremos de los miembros, pero en direcciones opuestas de acuerdo con la tercera ley de newton. El análisis del armazón comprende la determinación de las magnitudes de las 18 fuerzas en los extremos de los miembros (6 por miembro) y las tres reacciones en los apoyos, Ax, Ay, y Dy. Por lo tanto el número total de cantidades desconocidas es de 21. En virtud de que el armazón completo está en equilibrio cada uno de sus miembros y de sus nodos también deben estar en equilibrio. Como se muestra en la fig. 5.14 (b ) cada miembro y cada nodo están sujetos a un sistema coplanar general de las fuerzas y pares los cuales deben satisfacer las tres ecuaciones de equilibrio Fx 0, Fy 0 y M 0 . Ya que el armazón contiene tres miembros y cuatro nodos (incluyendo los dos nodos conectados a los apoyos), el número total de ecuaciones de las que se dispone es de 3 (3 ) + 3 (4) = 21. Se pueden resolver estas 21 ecuaciones de equilibrio para calcular las 21 incógnitas. Entonces se pueden usar las fuerzas en los extremos de los miembros así obtenidas para determinar las fuerzas axiales las cortantes y los momentos flexionantes en diversos puntos a lo largo de los miembros. Por lo tanto el armazón de la fig 5.14 (a) es estáticamente determinado. 55 56 Podrían escribirse y resolverse tres ecuaciones de equilibrio del armazón completo como un cuerpo rígido para las tres reacciones de equilibrio no son independientes de las ecuaciones de equilibrio del miembro y del nodo y no contienen información adicional. Con base en la discusión previa, se pueden desarrollar los criterios para la determinación, indeterminación e inestabilidad estáticas de los armazones planos en general que contengan m miembros y j nodos y se encuentren apoyados por r número de reacciones externas. Para el análisis se necesitan determinar 6m fuerzas en los miembros y reacciones externas; es decir, se necesita calcular un total de 6m + r cantidades desconocidas. Supuesto que se tienen m miembros y j nodos y se pueden escribir tres ecuaciones de equilibrio de las que se dispone 3 (m + j). Además de contener proporcionan ecuaciones adicionales, las cuales se pueden usar en conjunción con las de equilibrio para determinar las incógnitas. Por consiguiente, si se tienen ec ecuaciones de condición de las que se dispone es 3 (m + j) + e para un armazón. Si el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones; es decir. 6 m + r 3 ( m + j ) + e o bien, 3 m + r = 3 j ec. Entonces se pueden determinar todas la incógnitas al resolver las ecuaciones de equilibrio y las de condición, y el armazón es estáticamente determinado. Si un armazón tiene más incógnitas que ecuaciones de las que dispone es decir 3m + r 3j+ec no se pueden determinar todas las incógnitas mediante la resolución de las ecuaciones disponibles y se dice que el armazón es estáticamente indeterminado. Los armazones estáticamente indeterminados tienen más miembros o reacciones externas, o más de ambos que los mínimos requeridos por la estabilidad, se dice que los miembros y reacciones en exceso son redundantes y el número de miembros y reacciones en exceso se menciona como el grado de indeterminación estática, i el cual se puede expresar como. i = (3m + r) – (3j +ec) para un armazón, si el número de incógnitas es menor que el número de ecuaciones disponibles - esto es 3m + r 3 j + ec – se dice que ese armazón es estáticamente inestable. Las condiciones para la inestabilidad, la determinación y la indeterminación de los armazones planos se puede resumir como sigue: 57 3m + r 3 j + ec 3m + r 3 j + ec 3m + r 3 j + ec armazón estáticamente inestable armazón estáticamente determina armazón estáticamente indeterminado Los extremos del armazón sujetos a los apoyos, así como cualesquiera extremos se tratan como nodos. Las condiciones para la determinación e indeterminación estáticas, son necesarias pero no suficientes. Para que estos criterios en relación con la determinación e indeterminación estáticas sena válidos, las disposición de los miembros, las reacciones en los apoyos y las articulaciones y rodillos internos (si los hay) debe ser tal que el armazón seguirá siendo geométricamente estable bajo un sistema general de cargas coplanares. Recuerde que una articulación interna proporciona una ecuación de condición y que un rodillo interno da lugar a dos de esas ecuaciones. Cuando varios miembros de un armazón se conectan en un nodo articulado, el número de ecuaciones de condición en este ultimo es igual al número de miembros que se encuentran en el menos uno. Enfoque alternativo Un enfoque alternativo que se puede aplicar para la determinación del grado de indeterminación estática de un armazón es cortar un número suficiente de miembros del mismo al hacer pasar secciones imaginarias o remover apoyos suficientes, o realizar ambos procedimientos para volver a la estructura estáticamente 58 determinada. El número total de restricciones internas y externas eliminadas de esa manera es igual al grado de indeterminación estática. Como un ejemplo considérese al armazón que se muestra en la fig. 5.016 (a ). El armazón se puede hacer estáticamente determinado al hacer pasar una sección imaginaria a través de la vía maestra BC, con lo que se eliminan de esta manera restricciones internas (La fuerza axial Q, la cortante S y el momento flexionante M), como se muestra en la fig. 5.16 (b ). Observe que las dos estructuras en voladizo producidas de esta manera son tanto estáticamente determinadas como geométricamente estables. En virtud de que tuvieron que eliminarse tres restricciones (Q.S. y M) del armazón original estáticamente indeterminado de la fig. 5.16. ya que en este proceso deben eliminarse tres restricciones o reacciones externas Dx, Dy y MD el grado de indeterminación estática del armazón es tres, como se concluyó con anterioridad. Este enfoque alternativo de establecimiento del grado de indeterminación (en lugar de aplicar la ecuación 5.15. proporciona el medio más conveniente de determinación de los grados de esa indeterminación para las armazones de edificios de los varios pisos. En la fig. 5.17. (a ) se muestra un ejemplo de un armazón de ese tipo. Debido a que cada corte elimina tres restricciones, el número total de las restricciones que deben eliminarse para volver a la estructura estáticamente determinada es igual a tres multiplicado 59 por el número de vigas maestras en el armazón. Por tanto, el grado de indeterminación estática de un armazón de varios pisos con apoyos fijos es igual a tres multiplicado por el número de vigas maestras, siempre que ese armazón no contenga articulaciones o rodillos internos. Ejemplo: Trace los diagramas de la cortante, del momento flexionantes y de la fuerza axial, así como la forma flexionada cualitativa, para el marco que se muestra en la fig. Solución: Determinación estática m = 3, f = 4, r = 3 y ec = 0. En virtud de que 3m + r = 3j + ec y el armazón es geométricamente estable, es estáticamente determinado. Reacciones Considerando el equilibrio del armazón completo, (fig. ) se FX 0 , la componente de la reacción observa que, para que se satisfaga AX debe actuar hacia la izquierda con una magnitud de 18 k, para equilibrar la carga horizontal de 18 k hacia la derecha. Por tanto, 60 Ax 18k Ax 18k 61 62 Se calculan las dos reacciones restantes por la aplicación de las dos ecuaciones de equilibrio, como sigue: + MA FY 0 0 18 20 2 30 15 DY 30 0 DY AY 42k 18k AY 23 42 0 Fuerzas en los extremos de los miembros. En la fig. se muestran los diagramas de cuerpo libre de todos los miembros y modo del armazón. Se pueden empezar el cálculo de las fuerzas internas ene. Nodo A o ene. D, dos de los cuales sólo tiene tres incógnitas. Nodo A. Si empieza con el nodo A, se pede ver a partir de su diagrama de AB FX 0. AX debe actuar hacia la cuerpo libre que, para que se satisfaga derecha con una magnitud de 18 k, para equilibrar la reacción horizontal de 18 k hacia la izquierda. Por tanto, A A AB X 18 k FX 0 , se obtiene De modo análogo, al aplicar AB X 18 k Miembro AB Con las magnitudes de miembro AB tiene tres incógnitas consiguiente, AB X A yA B yB yM X AB Y AB AB Y ahora conocidas, el 0 y 0 . Por AB B , las cuales se pueden FY MA determinar mediante la aplicación de FX 0, B AB X 18k y BY AB -18k M AB B 360k ft Nodo B Si se avanza a continuación hacia el nodo B y se considera su equilibrio, se obtiene B BC X 0 y BY BC -18k M BC B 360k ft Miembro BC Enseguida, al considerar el equilibrio del miembro BC, se escribe BC FX 0 CX 0 FY 0 18 2 30 C BC Y 0 C BC Y 42 k 63 M3 0 360 2 30 15 42 30 M BC C 0 M BC C 0 Nodo C Aplicando las tres ecuaciones de equilibrio, se obtiene XD CD CD C X 0 CY ) 42k MC 0 Miembro CD Al aplicar 0 , en ese orden, se obtiene FX 0y FY D CD X 0 D CD Y 42 k Como se han determinado todas las fuerzas y todos los momentos desconocidos, recomprueban los cálculos al aplicar las tres ecuaciones de equilibrio para el miembro CD: MD 0 Coincide Coincide Coincide Nodo D (Comprobación de los cálculos) FX 0 FX 0 42 42 0 Diagramas de las cortantes En la fig. , se muestra los sistemas de coordenadas xy seleccionados para los tres miembros del armazón, y los diagramas de las cortantes para esos miembros, construidos mediante la aplicación del procedimiento descrito en la sección 5.4. se ilustran en la figura. Diagramas de los momentos flexionantes. En la fig. se muestran los diagramas de los momentos flexionantes para los tres miembro del armazón. Diagramas de las fuerzas axiales. A partir del diagrama de cuerpo libre del miembro AB, dado en la fig. , se ve que la fuerza axial a todo lo largo de este miembro es de compresión, con una magnitud constante de 18 k. Por lo tanto, el diagrama de la fuerza axial para este miembro es una recta paralela al eje x, en un valor de -18k como se muestra en la fig. Análogamente, en la fig. se puede ver que las fuerzas axiales en los miembros BC y CD también son constantes, con magnitudes de 0 y – 42k, respectivamente. En la fig. , se muestran los diagramas de las fuerzas axiales, construidas de este modo, para estos miembros. Forma flexionada cualitativa con base en los diagramas de los momentos flexionantes de los miembros del armazón, se observa que los miembros AB y BC se curvan cóncavo hacia la izquierda y cóncavo hacia abajo, 64 respectivamente. Como ningún momento flexionante se desarrolla en el miembro CD, no se curva sino permanece recto. En la fig., se muestra una forma flexionada cualitativa del armazón, obtenida al unir en los nodos las formas flexionadas de los tres miembros. Como esta figura indica, la deflexión del armazón en el apoyo A es cero. Debido a la carga horizontal en B, el nodo B se desvía hacia la derecha hasta B´. Como se desprecian todas las deformaciones por los momentos flexionantes son pequeñas, el nodo B sólo se desvía en la dirección horizontal, y el nodo C se desvía en la misma cantidad que el B: es decir. BB´= CC´. Nótese que las curvaturas de los miembros son coherentes con sus diagramas de los momentos flexionantes y que se han mantenido los ángulos originales de 90° entre los miembros, en los nodos rígidos B y C. Ejemplo: Un armazón a dos aguas se sujeta a una carga de nieve, como se muestra en la fig.. Trácese los diagramas de las fuerzas cortantes, de los momentos flexionantes y de las fuerzas axiales, así como la forma flexionada cualitativa, para el armazón. Solución: Determinación estática ME 0 AY 8 12 8 4 FY 0 0 0 AY 48kN 48 12 8 EY AC MC 0 EY 42 kN AX 8 48 4 FX 12 0 X 12 4 2 0 EX 12 kN 0 EX 12kN EX 12kN Fuerzas en los extremos de los miembros Nodo A Al aplicar las ecuaciones de equilibrio obtiene FX 0y FY 0 , se A AB X 12 kN A AB Y 48 kN Miembro AB Considerando el equilibrio del miembro AB, se obtiene B AB X 12kN B AB Y -48kN M AB B 60kN. m 65 66 Nodo B Si se aplican las tres ecuaciones de equilibrio, se obtiene B BC X 12kN B BC Y 48kN M BC B 60kN. m Miembro BC FX 0 C BC X 12kN FY 0 48 12 4 MB 0 C BC Y 0 C BC Y 0 60 12 4 2 12 3 0 Coincide Nodo C Considerando el equilibrio del nodo C, se determina C CD X 12kN C CD Y 0 Miembro CD FX FY ME 0 0 0 D CD X 12 kN 60 12 5 0 Coincide Nodo E FX FY 0 0 12 12 0 42 42 0 Coincide Coincide Cargas distribuidas sobre los miembros inclinados BC y CD como reespecifica la carga por la nieve de 12 Kn/M, por metro horizontal, es necesario resolverla en las componentes paralela y perpendicular a las direcciones del os miembros BC y CD. Considérese, por ejemplo, el miembro BC como se muestra en la fig. la carga vertical total que actúa sobre este miembro es de (12 kN/m) (4m) = 48 kN. Si se divide esta carga 67 vertical total entre la longitud del miembro, se obtiene la intensidad de la carga distribuida vertical por metro, a lo largo del miembro inclinado, como 48/5 = 9.6 Kn/m. Las componentes de esta carga vertical distribuida en las direcciones paralela y perpendicular al eje del mismo son (3/5) (9.6) = 5.76 kN/m y (4/5)(9.6)= 7.68 kN/m, respectivamente, como se muestra en la fig. La carga distribuida para el miembro CD se calcula de modo análogo y se muestra en la fig. Diagramas de las cortantes y de los momentos flexionantes. Diagramas de las fuerzas axiales. Las ecuaciones para la fuerza axial en los miembros del armazón son: Miembro AB Miembro BC Miembro CD Miembro DE Q = -48 Q = -38.4 + 5.76x Q = -9.6 – 5.76X Q= -48 Forma Los diagramas de las fuerzas axiales se muestran en la fig. flexionada cualitativa. ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS Las estructuras indeterminadas tiene más reacciones en los apoyos o miembros, o ambas cosas, que los requeridos por la estabilidad estática, las ecuaciones de equilibrio por sí solas no son suficientes para la determinación de las reacciones y las fuerzas internas de esas estructuras y deben complementarse por medio de relaciones basadas en la configuración geométrica de la deformación de las estructuras. Estas relaciones adicionales, que se denomina condiciones de compatibilidad, garantizan que se mantenga la continuidad de los desplazamientos de uno a otro lado de la estructura y que las diversas partes de esta se ajusten entre sí. Por tanto, el análisis de una estructura indeterminada comprende, además de las dimensiones y la disposición de los miembros de la estructura, sus propiedades de las secciones transversales y de los materiales (como las áreas de las secciones transversales, los momentos de inercia, los módulos de elasticidad, etc.) las cuales, a su vez, dependen de las fuerzas internas de la estructura. Por lo tanto, el diseño de una estructura estáticamente indeterminada se lleva a cavo de manera iterativa, con la cual inicialmente se suponen el tamaño (relativos) de los miembros estructurales y se usan para analizar la estructura, y las fuerzas internas obtenidas de este modo no están cercanos a los que se 68 supusieron en un principio, entonces se vuelve a analizar la estructura usando el tamaño más reciente de esos miembros. Se continúa la iteración hasta que el tamaño de los miembros basado en los resultados de un análisis son cercanos a los supuestos para ese análisis. VENTAJAS Y INDETERMINADAS DESVENTAJAS DE LAS ESTRUCTURAS Las ventajas de las estructuras estáticamente indeterminadas por encima de la determinada incluyen las siguientes: Esfuerzos menores : En general, los esfuerzos máximos en las estructuras estáticamente indeterminadas son menores que en las estructuras determinadas comparables. Considere, por ejemplo, las vigas estáticamente determinada e indeterminada que se muestran en la fig. a y b respectivamente. En la fig. también se muestran los diagramas de los momentos flexionantes para las vigas, debidos a una carga uniformemente distribuida, w. Los procedimientos parea analizar las vigas indeterminadas se consideran en los capítulos subsiguientes. A partir de las fig. se puede ver que el momento flexionante máximo y en consecuencia el esfuerzo máximo de flexión en la viga indeterminada es significantemente inferior de la determinada. Mayor rígidez En general, las estructuras estáticamente indeterminadas tienen una mayor rigidez (es decir, deformaciones más pequeñas) que las estructuras determinadas comparables. Con base en la fig. se observa que 69 la deflexión máxima de la viga indeterminada sólo es la quinta de la correspondiente a la determinada. Redundancias Las estructuras estáticamente determinadas, si se diseñan en forma apropiada, tiene la capacidad para redistribuir las cargas cuando ciertas partes estructurales se llegan a sobre esforzar o se desploman en los casos de sobre cargas debidas a temblores de tierra tornados, impacto (por ejemplo, explosiones de gas o choques de vehículos) y otros eventos. Las estructuras indeterminadas tienen más miembros o reacciones en los apoyos, o ambas características que los requeridos por la estabilidad estática de modo que si una parte (o miembro o apoyo) de esa estructura falla, la estructura completa no se desplomará inevitablemente y las cargas de redistribuirán a las partes adyacentes de la estructura. Considere, por ejemplo, las vigas estáticamente determinada e indeterminada que se muestran en las fig. respectivamente. Suponga que las vigas están sosteniendo puentes sobre una vía acuática y que se destruye el pilar en medio, B cuando una barcaza choca de manera accidental contra él. En virtud de que la viga estáticamente determinada se encuentra apoyada precisamente por el número suficiente de reacciones requeridas por la estabilidad estática, la eliminación del apoyo B causará que la estructura completa se desplome, como se muestra en la fig. Sin embargo la viga indeterminada tiene una reacción adicional en la dirección vertical; por lo tanto, la estructura no se desplomará inevitablemente y puede permanecer estable, incluso después de que el apoyo B haya fallado. Si se supone que la viga ha sido diseñada para soportar sólo cargas muertas en el caso de un accidente de este tipo, el puente se cerrará al transito hasta que se repara el pilar B y después, se volverá a abrir. Las desventajas principales de las estructuras estáticamente indeterminadas, por encima de las determinadas, son las siguientes: Esfuerzo debido asentamientos de los apoyos. Los asentamientos de los apoyos no causan esfuerzos en las estructuras determinadas; sin embargo, pueden inducir esfuerzos significativos en la indeterminadas, los cuales deben de tomarse en consideración cuando rediseñen estas últimas. Considérense los vigas determinada e indeterminada mostradas en la fi. En la fig. se puede ver que, cuando el apoyo AB y C de esa viga, conectadas entre sí por una articulación interna en B, se mueven como cuerpos rígidos, sin flexionarse; es decir, permanecen rectos, no se mueven como cuerpos rígidos, sin flexionarse; es decir, permanecen rectos, no redesarrollan esfuerzos en la viga determinada. Sin embargo, cuando la viga indeterminada continua de la fig. se sujeta a un asentamiento similar del apoyo, se flexiona, como se muestra en la fig. por tanto, se desarrollan momentos flexionantes en la viga. 70 Esfuerzos debidos a cambios en la temperatura y a errores en la fabricación Como los asentamientos de los apoyos, estos efectos no causan esfuerzos en la estructuras determinadas, pero pueden inducir esfuerzos significativos en las estructuras indeterminadas. Considérense los vigas determinada e indeterminada que se muestra en la fig. En la fig. se puede ver que, cuando la viga determinada se sujeta a un aumento uniforme en la temperatura T, sencillamente se alarga, con la deformación axial dada por T L . Ningún esfuerzo se desarrolla en la viga determinada, ya que tiene libertad para alargarse. Sin embargo, cuando la viga indeterminada de la fig., la cual está restringida axialmente contra la deformación pro los apoyos fijos, se sujeta a un cambio similar en la temperatura T, esa viga desarrolla una fuerza axial de comprensión F AE / L T AE , como se muestra en la fig. Los efectos de los errores de fabricación son semejantes a los de los cambios de temperatura sobre la estructura determinadas e indeterminadas. 71 ANÁLISIS DE LAS ESTRUCTURAS INDETERMINADAS Relaciones fundamentales Sin importar si una estructura es estáticamente determinada o indeterminada, su análisis completo requiere el uso de tres tipos de relaciones: Ecuaciones de equilibrio Condiciones de compatibilidad Relaciones de fuerza deformación en los miembros Las ecuaciones de equilibrio relacionan las fuerzas que actúan sobre la estructura (o sus partes), garantizando que la estructura completa así como sus partes permanezcan en equilibrio; las condiciones de compatibilidad relacionan los desplazamientos de la estructura de modo que sus diversas partes se ajusten entre sí, y las relaciones de fuerzadeformación en los miembros las cuales comprende las propiedades de los materiales y de las secciones transversales (E, I y A) de los miembros, proporcionan el enlace necesario entre las fuerzas y los desplazamientos de la estructura. En el análisis de las estructuras estáticamente determinadas, en primer lugar se usan las ecuaciones de equilibrio para obtener las reacciones y las fuerzas internas de la estructura; enseguida, reemplean las relaciones de fuerza-deformación en los miembros y las condiciones de compatibilidad, para determinar los desplazamientos de la propia estructura. Por ejemplo, considere la armadura estáticamente determinada que se muestra en la fig. Se pueden determinar las fuerzas axiales en los miembros de la armadura al considerar el equilibrio del nodo A(véase la fig.). 72 FX FY 0 0 0.6 AB 0.6 FAC 0 FAB FAB FAC FAC 312.5k T 2(0.8FAB ) 500 0 De manera análoga, se pueden obtener las reacciones en los apoyos B y C al considerar el equilibrio de los nodos B y C, respectivamente. Para determinar el desplazamiento del nodo A de la armadura, en primer lugar se emplea la relación de fuerza-deformación en los miembros F LIAE , para calcular las deformaciones axiales en esos miembros: 312.5 20 20 000 0.313 ft AB AC A continuación, estas deformaciones axiales en los miembros se relacionan con el desplazamiento del nodo, usando la condición de compatibilidad AB AC sen 0.8 en la cual supone que es pequeño. Nótese que la ecuación, expresa el requisito de compatibilidad de que los desplazamientos verticales de los extremos A 73 de los miembros AB y AC deben ser iguales, al desplazamiento vertical, del nodo A. Sustituyendo la ecuación en la que se encuentra el desplazamiento del nodo A es También pudo calcularse el desplazamiento empleando el método del trabajo virtual formulado en el capítulo, en el cual se satisface de manera automática las relaciones de fuerza-deformación en los miembros y las condiciones necesarias de compatibilidad. Estructuras indeterminadas En el análisis de las estructuras estáticamente indeterminadas, las ecuaciones de equilibrio por sí solas no son suficientes para la determinación de las reacciones y esfuerzas internas. Por lo tanto, se vuelve necesario resolver las ecuaciones de equilibrio en conjunción con las condiciones de compatibilidad de la estructura, para determinar su respuesta. En virtud de que las ecuaciones de equilibrio contienen las fuerzas desconocidas, en tanto que las condiciones de compatibilidad comprenden los desplazamientos como las incógnitas, se utilizan las relaciones de fuerza-deformación de los miembros para expresar las fuerzas desconocidas en términos de los desplazamiento desconocidas en términos de los desplazamientos desconocidos o viceversa. Entonces se resuelve el sistema resultante de ecuaciones, que sólo contiene un tipo de incógnitas, para las fuerzas o desplazamientos desconocidos, los cuales entonces se sustituyen en las relaciones fundamentales para determinar las características restantes de respuesta de la estructura. Considere, pro ejemplo, la armadura indeterminada que se muestra en la fig. La armadura se obtiene al agregar un miembro vertical AD a la armadura determinada del a figura 11.5 considera con anterioridad. El diagrama de cuerpo libre del nodo A de la armadura se muestra en la figura 11.6. Las ecuaciones de equilibrio para este nodo quedan dadas por FY 0 1.6 FAB FAC 500 Note que las dos ecuaciones de equilibrio no son suficientes para la determinación de las tres fuerzas axiales desconocidas en los miembros. Las condiciones de compatibilidad se basan en el requisito de que los desplazamientos del nodo A se muestran en la fig. 11.6. Si se supone que el desplazamiento FAB es pequeño, se escriben las condiciones de compatibilidad como AB AC sen 0.8 74 AD Al sustituir las ecuaciones se obtiene la relación deseada entre las deformaciones axiales en los miembros: AB AC AC la cual indica que las deformaciones axiales del os miembros inclinados AB y AC son iguales a 0.8 multiplicando por la deformación axial del miembro vertical AD. La sustitución de las ecuaciones (11.10) a (11.12) en la (11.9)da 0.00FAB O bien, FAB FAC 0.001FAC 0.8 0.0006FAD 0.48FAD Ahora se pueden determinar las fuerzas axiales en los tres miembros de la armadura, resolviendo la ecuación , simultáneamente con las dos ecuaciones de equilibrio. FAB FAC 135.747k T y FAD 282.805 k T Ahora se pueden calcular las deformaciones axiales en los miembros al sustituir estos valores de las fuerzas axiales en esos miembros en las relaciones de fuerza deformación de estos para obtener. AB AC 0.136 ft 1.629 in y AD 0.17 ft 2.036 in Por último, sustituyendo los valores de las deformaciones axiales en los miembros en las condiciones de compatibilidad, se determínale desplazamiento del nodo A como 0.17 ft 0.036 in 8h 75 DEFLEXIONES DE LAS VIGAS MÉTODOS GEOMÉTRICOS METODO DE INTEGRACIÓN DIRECTA El método de integración directa nos permite determinar la ecuación de la pendiente y de la deflexión a lo largo de la longitud de una viga. Las constantes de integración se determinan a partir de las ecuaciones de frontera. Sin embargo, la aplicación del método a estructuras para las que la función M/EI no es continua puede ser bastante complicada. Se presenta este problema porque cada discontinuidad, debido al cambio en la carga o en la rigidez a la flexión (EI), o en ambas condiciones, introduce dos constantes adicionales de integración en el análisis, las cuales debe evaluarse por la aplicación de las condiciones de continuidad de la curva elástica, un proceso que puede ser tedioso. Sin embargo, se puede evitar esta dificultad y simplificarse un tanto el análisis mediante el empleo de las funciones de singularidad definidas en la mayor parte de los libros de texto sobre mecánica de los materiales. Ejemplo: Determine las ecuaciones para la pendiente y la deflexión de la viga mostrada en la figura 6.2(a), pro el método de integración directa. Asimismo, calcule la pendiente en cada uno de los extremos y la deflexión a la mitad del claro de la viga. El es constante. Solución Reacciones véase la fig. 6.2 (b). FX 0 MB 0 AX wL 2 wL 2 0 AY L FX 0 wL L 2 0 AY wL 2 wL BY 0 BY Ecuación para el momento flexionante Con el fin de determinar la ecuación del momento flexionante para l viga, se pasa una distancia x del apoyo A. Como se muestra en la figura 6.2 (b) Si se considera el cuerpo libre a la izquierda de esta sección, se obtiene M wL 2 x wx x 2 w Lx 2 x2 76 Ecuación para MIEI. La rigidez, EI, de la viga es constante así que la ecuación para MIEI se puede escribir como d2y dx 2 M IE w Lx x 2 2 EI Ecuaciones para la pendiente y la deflexión. La ecuación para la curva elástica de la viga se puede obtener al integrar la ecuación para MIEI como dy w Lx 2 x 3 C1 dx 2EI 2 3 Si se integra una vez más, se encuentra la ecuación de la deflexión como y w Lx 3 2 EI 6 x4 12 C1 x C 2 Las constantes de integración C1 y C2 e evalúan por la aplicación de las siguientes ecuaciones en la frontera: En el extremo A, x = L, En el extremo B. x = L, y=0 y=0 Al aplicar la primera condición en la frontera es decir, al hacer x = 0 y y = 0 en la ecuación para y se obtiene C2 = 0. A continuación, al aplicar la segunda condición en la frontera es decir, al hacer x = Ly y = O en la ecuación para y se obtiene. 0 w L2 2 EI 6 L4 12 C1 L de lo cual C1 wL3 2 AEI Por tanto, las ecuaciones para la pendiente y la deflexión de la viga son w Lx 2 2 EI 2 x3 3 L3 12 77 y w Lx 2 2 AEI x3 3 L3 2 Pendientes en los extremos A y B. Haciendo la sustitución x = 0 y L, respectivamente en la ecuación (1), se obtiene. B wL3 24EI wL3 24EI o bien o bien B wL3 24EI wL3 24EI Deflexión a la mitad del claro. Al sustituir x = L/2 en la ecuación (2), se obtiene yc 5wL4 384EI o bien yc 5wL4 384EI MÉTODO DEL MOMENTO ÁREA El método se basa en dos teoremas, llamados teoremas de área de momentos, que relacionan la configuración geométrica de la curva elástica de una viga con su diagrama de área de momento(M/EI) . El primer teorema del momento área, se puede enunciar como sigue: El cambio en la pendiente entre dos puntos cualesquiera de la elástica de la viga es igual al área debajo del diagrama de área de momentos entre dichos puntos, siempre que la curva elástica sea continua. El segundo teorema del momento área, se puede enunciar como sigue: La desviación de la tangente en un punto A sobre la curva elástica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B, es igual al momento del área de área de momento bajo la curva entre los puntos Ay B con respecto a un eje A. Es importante hacer notar el orden de los subíndices usados para tB/A, el primer subíndice denota el punto donde se determina la desviación y respecto del cual se evalúan los momentos, en tanto que el segundo subíndice denota el punto en donde se traza la tangente a la curva elástica. 78 Determine las pendientes y deflexiones en los puntos B y C de la viga en voladizo que se muestra en la fig. 6.4. por el método del momento – área. SOLUCION Diagrama del momento flexionante en la fig. 6.4. (b), se muestra el diagrama del momento flexionante para la viga. Diagrama M/EI como se indica en la fig. 6.4. (a) los valores del momento de inercia de los segmentos AB y BC de la viga son de 6000 om4 y 3000 in4, respectivamente. Si se usa I = IBC = 3000 in4 como momento de referencia, se expresa IAB, en términos de I, como IAB = 6000 = 2 (3000) = 21 Lo cual indica que para obtener el diagrama M/IE en términos del EI debe dividirse el diagrama del momento flexionante para el segmento AB entre 2, como se muestra en la fig. 4.6. (c ). Curva elástica para la viga se muestra en la fig. 6.4. Note que en virtud de que el diagrama M/EI es negativo la viga se curva cóncava hacia abajo. Dado que el apoyo en A es fijo, la pendiente en este punto es cero ; es decir, la tangente a la curva elástica en A es horizontal, 0 A como se muestra en la fig. pendiente en B teniendo conocida la pendiente en A, se puede determinar la pendiente en B al evaluar el cambio en la pendiente BA = área del diagrama M/EI entre A y B. Está área se puede calcular al dividir el diagrama M/EI en dos partes, una rectangular y otra triangular, como se muestra en la fig. 6.4. (c ) por tanto. bBA I 100 15 EI 1 150 15 2 2625K ft 2 EI En la fig. 6.4. se puede ver que, en virtud de la tangente en A es horizontal (en la dirección del eje no deformado de la viga), la pendiente en B B A es igual al ángulo B A entre las tangentes en A y B es decir. 3 BA 2625k ft 2 EI 2625 12 K in 2 EL 2 sustituyendo los valores numéricos de E=29000 ksi e I=3000in2 se obtiene 79 2 2625 12 rad 29000 3000 2 0.0043 rad b 0.0043 rad Deflexión en B A partir de la fig. 6.4 (d), se puede ver que la deflexión en B con respecto al eje no deformado de la viga es igual a la desviación tangencial de ese punto respecto de la tangente en A : es decir. 3 BA De acuerdo con el segundo teorema del momento – área BA momento del área del diagrama M/EI entre A y B, respecto de B 1 150 15 10 2 22500k EI ft 3 I 100 15 7.5 EI R RA 22500k EI ft 3 22500 12 29000 3000 3 0.45in pendiente en C con base en la fig. 6.4 (d ) se puede ver que donde cc CA donde CA área del diagrama M/EI entre A y C 1 50 15 2 3625K ft 2 EI I 100 5 EL 200 10 80 por lo tanto cc CA 3625k ft 2 EI 362kt 2 EI 3625 12 29000 3000 2 0.006 rad cc 0.006 Deflexión en CE en la fig. 6.4. (d) se puede ver que c CA donde = momento del área del diagrama M/EI entre A y C, respecto de C CA I 100 15 7.5 10 EI 55420k EI ft 1 150 15 10 10 2 1 200 10 6.67 2 Por lo tanto c 55420k ft 3 29000 3000 1.1in CA c 1.1.in 81 MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA El método de la viga conjugada proporciona un medio más conveniente de cálculo de las pendientes y deflexiones de las vigas que el método del área de momento . En este método, se supone una viga ficticia llamada viga conjugada que tiene el mismo claro que la viga original cuyas condiciones de apoyo respetan las deformaciones que aparecen en los apoyos de la viga real de forma tal que si la viga conjugada se carga con el diagrama M/EI de la viga real, la fuerza cortante de la viga conjugada en una sección cualquiera es igual a la pendiente de la tangente de la viga real en ese punto; mientras que el momento flexionante de la viga conjugada en un punto cualquiera es igual al desplazamiento de ese punto en la viga real. La viga ficticia se conoce como viga conjugada y se define como: Una viga conjugada correspondiente a una viga real es una viga ficticia de la misma longitud que la real, pero que está externamente apoyada e internamente conectada, de suerte que si la conjugada se carga con el diagrama M/EI de la real, la cortante y el momento flexionante en cualquier punto correspondiente de la viga real. APOYOS PARA LAS VIGAS CONJUGADAS Un apoyo articulado o de rodillo en uno de los extremos de la viga real sigue siendo el mismo en la viga conjugada. Esto se debe a que en ese tipo de apoyos puede haber pendientes, pero no deflexión, de la viga real. Como consecuencia, en el extremo correspondiente de la conjugada debe haber cortante, pero no el momento flexionante, y un apoyo articulado o de rodillo en este extremo satisfaría estas condiciones. Ya que en un apoyo fijo es un extremo . Inversamente, un extremo libre de una viga real se convierte en un apoyo fijo en la conjugada, porque en ese extremo de la viga real puede haber pendiente, así como deflexión; por consiguiente, la viga conjugada debe desarrollar tanto cortante como momento flexionante en ese punto. En un apoyo interior de una viga real no hay deflexión, pero la pendiente es continua (es decir no hay cambio abrupto de la pendiente de uno de los lados del apoyo al otro), así que el punto correspondiente de la viga conjugada se convierte en una articulación interna, en la cual el momento flexionante es cero y la cortante es continua. Por último, en una articulación interna en la viga real puede haber deflexión, así como pendiente discontinua de la propia viga. Como consecuencia , la viga conjugada debe tener momento flexionante y un cambio abrupto de la cortante en ese punto. En virtud de que un apoyo interior satisface esto dos requisitos, una articulación interna en la viga real se transforma en un apoyo interior en la conjugada. 82 Determine las pendientes y deflexiones en los puntos B y C de la viga en voladizo mostrada en la fig. 6.12. (b) por el método de la viga conjugada. SOLUCION Diagrama M/EI esta viga se analizó en el ejemplo 6.2. por el método del momento – área. en la fig. 6.12. (b) se muestra el diagrama M/EI para el momento de inercia de referencia I = 3000 in4. Viga conjugada en la fig. 6.12 (c ) se muestra la viga conjugada, cargada con el diagrama M/IE de la viga real. Note que el punto A, cual está fijo en la viga real, se convierte en libre en la viga conjugada: en tanto que el punto C, el cual es libre en la viga real, se convierte en fijo en la viga conjugada. Debido a que el diagrama M/EI es negativo, se aplica como una carga hacia abajo sobre la viga conjugada. Pendiente en B la pendiente en B de la viga es igual a la cortante en B de la conjugada. Si se utiliza el cuerpo libre de la viga conjugada a la izquierda de B y se consideran las fuerzas que actúan hacia arriba sobre ese cuerpo libre como positivas, de acuerdo con la convención de los signos de la viga (véase la fig. 5.2.) se calcula la cortante en B, en esa viga conjugada como SB 1 EI 100 15 1 150 15 2 2625k ft 2 EI Por lo tanto, la pendiente en B de la viga real es B 2625k ft 2 EL Sustituyendo los valores numéricos de E e I , se obtiene V 265 12 29000 3000 2 0.0043rad B 0.0043rad 83 deflexión en B la deflexión en B de la viga real es igual al momento flexionante en B de la viga conjugada. Usando el cuerpo libre de la viga conjugada a la izquierda de B y considerando los momentos en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj de las fuerzas externas que actúan en torno a B como positivos, según la convención de los signos de la viga fig. 5.2. se calcula el momento flexionante en B de la viga conjugada como MB I EI 100 15 7.5. 1 150 15 10 2 22500k EI ft 3 Por lo tanto , la deflexión en B de la viga real es B 22500k EI ft 3 22500 12 29000 3000 3 0.45in pendiente en C si se utiliza el cuerpo libre de la viga conjugada a la izquierda de C, determina la cortante en C como Sc I EI 100 15 1 150 15 2 1 200 10 2 3625 ft 2 EI Por consiguiente, la pendiente en C de la viga real es C 3625k ft 2 EI 362 12 29000 3000 2 0.006rad cc 0.006rad Deflexión en C considerando el cuerpo libre de la viga conjugada a la izquierda de C, se obtiene. 84 MC 1 EI 100 15 7.5. 1 150 20 2 1 200 10 6.67 2 55420k EI ft 3 Como consecuencia, la deflexión en C de la viga real es c 55420k EL ft 55420 12 29000 3000 3 1.1in c 1.1.in DEFLEXIONES DE LAS ARMADURAS, VIGAS ARMAZONES: METODOS DEL TRABAJO Y ENERGIA DEFLEXIONES DE LAS ARMADURAS POR EL MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL Se basa en la conservación de la energía en una estructura , se llama a veces método de la carga unitaria , nos proporciona la manera para obtener el desplazamiento y la pendiente en un punto sobre una estructura ya sea una viga , una estructura , un marco o una armadura. Si se considera una estructura deformable que se aplique una serie de cargas externas P , esto generara cargas internas u en puntos de la estructura . Es necesario que las cargas externas e internas queden relacionadas por las ecuaciones de equilibrio , estas cargas externas e internas producirán desplazamamientos externos ∆ e internos δ.Por lo tanto estos desplazamientos externos e internos deben estar relacionados entre si por la compatibilidad de los desplazamientos.El principio se establece de siguiente manera: ∑P∆ = ∑u δ Trabajo de Trabajo de las 85 las cargas externas cargas internas Supongamos que se quiera determinar el desplazamiento ∆ del punto A (figura 1) sobre el cuerpo causado por las cargas externas P1,P2,P3 , como ninguna carga externa actúa en el punto A del cuerpo y en la dirección ∆ , se puede determinar ∆ suponiendo primero que el cuerpo esta sometido por una carga virtual P’ en la dirección ∆ ,por conveniencia esta carga tendrá el valor P’=1(magnitud unitaria), esta carga externa virtual genera una carga interna virtual u , como resultado de esas cargas el cuerpo experimentara desplazamientos virtuales (externos e internos) , luego se carga al cuerpo con las cargas reales P1,P2,P3 .El punto A se desplaza ∆ y ocasiona deformaciones internas reales dL (figura2) .El trabajo virtual externo estará dado por la siguiente ecuación 1∆ y el trabajo virtual interno udL , por lo que podemos escribir la ecuación del trabajo virtual como 1∆ = ∑u dL Donde : ∆ = Desplazamiento real externo causado por las cargas externas. P’ =Carga unitaria virtual externa en la dirección ∆ u= Carga interna virtual ,producida por la carga externa virtual. dL= Deformación interna real causada por las cargas externas al cuerpo De igual manera se puede determinar la pendiente en un punto sobre una estructura , aquí se empleara un momento virtual (M’)de magnitud unitaria en el punto , la ecuación tendrá la siguiente forma 1θ = ∑u dL Donde : M’= Momento unitario virtual externo que actúa en la dirección de θ u = Carga interna virtual ,producida por el par virtual externo M’ θ = Pendiente externo cuasado por las cargas reales. dL= Deformación interna real causada por las cargas externas al cuerpo Este método también se le denomina método de las fuerzas virtuales , ya que se emplea una fuerza virtual para determinar desplazamientos reales. ARMADURAS Cargas externas Para determinar el desplazamiento en un nudo generado por cargas externas en la armadura podemos emplear la siguiente ecuación: 1∆ = ∑uUL/AE Donde : ∆ = Desplazamiento externo del nudo causados por las cargas externas en la armadura . u= Carga interna normal en el miembro de la armadura causado por la carga externa virtual . 86 U =Carga interna real en el miembro de la armadura causado por las cargas externas reales. L =Longitud de un miembro A= Area de la sección transversal de un miembro E=Modulo de Young de un miembro. Cambios de temperatura La expresión del método del trabajo virtual, es bastante general en el sentido de que se puede usar para determinar deflexiones de las armaduras debidas a cambios de la temperatura, errores de fabricación y cualquier efecto para los cuales se conocen o se pueden evaluar de antemano las deformaciones axiales de los miembros. La deformación axial de un miembro j de la armadura, de longitud L, debida a un cambio en la temperatura ( T ) se expresa por 1∆ = ∑u(α∆T L) Donde : u= carga interna normal en la armadura causado por la carga externa virtual . ∆ = Desplazamiento externo real del nudo por el cambio de temperatura α = Coeficiente de dilatación longitudinal térmica del elemento ∆T =Variación de temperatura del elemento. L =Longitud del miembro. La cual se puede usar para calcular las deflexiones de las armaduras debidas a los cambios en la temperatura. Errores de fabricación Los errores de fabricación pueden ocurrir por errores en las longitudes de los miembros de una armadura ,también algunos miembros deben fabricarse mas largo o mas cortos a los de diseño para combar la armadura (puente) , cuando estos elementos se realiza su ensamblaje al no tener las medidas de diseño producen desplazamientos de un nudo de la armadura respecto a su posición ala que fue diseñada , dicho desplazamiento puede determinarse mediante la siguiente ecuación: 1∆ = ∑u ∆L Donde : ∆ = Desplazamiento externo real del nudo causado por el error de fabricación en el miembro de la armadura. u= carga interna normal en la armadura causado por la carga externa virtual . ∆L = Diferencia en longitud del miembro respecto a su tamaño de diseño causada por un error de fabricación. 87 DEFLEXIONES DE LAS VIGAS POR EL MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL Si se desea calcular la deflexión en un punto de una viga elástica mediante el método del trabajo virtual , una fuerza virtual debe ser aplicada en la dirección y sentido que se busca su desplazamiento ,esta fuerza virtual ocasionara momentos internos en las secciones de la viga ,como se muestra en la figura. A medida que las fuerzas reales se aplican a la viga , los momentos flexionantes reales M hacen girar las secciones transversales de la viga en Mdx/EI , de manera que el trabajo interno realizado sobre un elemento de la viga por los momentos virtuales m será ∫mMdx/EI y el trabajo externo realizado por la carga virtual será 1x∆ , la ecuación quedara como: 1∆ = ∫mMdx/EI Donde: ∆ = Desplazamiento externo en el punto en la viga originado por la carga externa. m= Momento interno virtual originado por la carga virtual. M =Momento interno real originado por la carga externa. EI =Rigidez a la flexión de la viga. L=Longitud de la vga. Una expresión análoga se puede usar para determinar la pendiente de una sección transversal de la viga. Para este caso en vez de aplicar una carga virtual , se le aplica a la viga en la sección que se investiga un momento externo virtual ,dicho momento originara momentos internos m ,luego a medida que se aplica las cargas reales están causan giros Mdx/EI en la sección transversal .Por lo tanto la expresión quedara como. 1θ = ∫mMdx/EI Donde : θ = Pendiente de la sección transversal originado por la cargas reales. m= Momentos internos virtuales originados por el par externo virtual. M =Momento interno real originado por la carga externa. EI =Rigidez a la flexión de la viga. Determine la pendiente y la deflexión en el punto A de la viga mostrada en la figura 7.10 , por método del trabajo virtual. Sistema real véase la fig. 7.10 (b) Pendiente en A, , el sistema virtual consta de un par unitario en A como se muestra en la fig. 10 (c ), se puede ver que no hay discontinuidades de las cargas real y virtual o del El a lo largo de la viga. Por consiguiente no hay necesidad de subdividir la viga en segmentos. Para determinar la ecuación del momento flexionante M. Debido a la carga real, se selecciona 88 una coordenada x con su origen en el extremo A de la viga, como se muestra en la fig. 7.10 (b). Mediante la aplicación del método de las secciones , se determina la ecuación para M como 0 x L M 1 wx x 2 L x 3 wx 2 6L de modo análogo, la ecuación para el momento flexionante Mvi, debido al momento unitario virtual, en términos de la misma coordenada x es : 0 x L Mvi 1 Para determinar la pendiente deseada A , se aplica la expresión para el trabajo virtual dado por la ecuación (7.31): 1 A L 0 MviM dx EI Ll 0L 1 wx 3 dx 6LEI A w x4 6EIL 4 wL3 24EI wL3 24EI Deflexión en A, A . El sistema virtual de una carga unitaria aplicada en A. como se muestra en la fig. 7.10 (d). Si se usa la misma coordenada x que se usó para calcular Deflexión en A, A el sistema virtual consta de una carga unitaria aplicada en A, como se muestra en la fig 7.10(d). Si se usa la misma coordenada x que se usó para calcular A , flexionanteMv2, debido a la carga unitaria virtal (fig. 7.10) (d), se expresa por 0 x L Mv 2 1x x Mediante la aplicación de la expresión del trabajo virtual dada por ecuación (7.30) wx 3 L Mv 2M L 1 A dx x dx 0 0 EI 6LEI 89 A w X5 6EIL 5 lL 0 wL 4 30EI La respuesta positiva para A indica que el punto A se desvía hacia abajo, en la dirección de la carga unitaria. Deflexiones de los armazones por método del trabaja virtual La aplicación del método del trabajo virtual para determinar las pendientes y deflexiones de los armazones es semejante a la realizada para las vigas. SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO Este método, el cual sólo se puede aplicar a las estructuras linealmente elásticas, se le conoce como segundo teorema de Castigliano. El segundo teorema de Castigliano se puede enunciar como sigue: Para las estructuras linealmente elásticas, la derivada parcial de la energía de deformación con respecto a una fuerza aplicada (o par aplicado) es igual al desplazamiento (o pendiente) de la fuerza (o par) a lo largo de su línea de acción. En forma matemática, este teorema se puede expresar como: U U o i i P Mi En la cual U= energía de deformación: ∆i = deflexión del punto de aplicación de la fuerza Pi en la dirección de Pb y i rotación del punto de aplicación del par M i en la dirección de M i . Aplicación a la armadura Con el fin de desarrollar la expresión del segundo teorema de Castigliano, la cual se pueda usar para determinar las deflexiones de las armaduras, se puede sustituir la energía de deformación (U) de las armaduras , en la expresión general de ese segundo teorema para las deflexiones, para obtener: F P F2L 2 AE 7.58 90 Como la derivada parcial F 2 / P 2 F ( F / P ) , la expresión del segundo teorema de Castigliano para las armaduras se puede escribir como: F P FL AE 7.59 La ecuación anterior es semejante en forma a la expresión del método del trabajo virtual para las armaduras . Aplicación a las vigas Al sustituir la energía de deformación (U) de las vigas en las expresiones generales del segundo teorema de Castigliano por la ecuación anterior se obtienen las expresiones siguientes para las deflexiones y rotaciones respectivamente de las vigas: 0 L P O M2 dx 2 EI y L M O M2 dx 2 EI O bien L O M M dx P EI 7.60 Y bien L O M M dx P EI 7.61 Aplicación a los armazones De modo análogo, al sustituir la energía de deformación (U) de los armazones debida a las fuerzas axiales y a la flexión en las expresiones generales de segundo teorema de Castigliano , se obtienen las expresiones siguientes para las deflexiones y rotaciones respectivamente de los armazones: F P y F P FL AE M P M dx EI 7.62 FL AE M M M dx EI 7.63 91 Cuando en el análisis, se desprecia el efecto de las deformaciones axiales de los miembros de los armazones, las ecuaciones anteriores se reducen a: M P y M dx EI 7.64 M M dx M EI 7.65 Ejemplo: Determina la deflexión en el punto C de la viga mostrada en la figura 7.18 (a) por el segundo teorema de Castigliano. Solución: Esta viga se analizó con anterioridad por los métodos del momento – área, de la viga conjugada y del trabajo virtual. La carga externa de 12K ya está actuando en el punto C, en donde se va a determinar la deflexión, de modo que esta carga se designa como la variables P, como se muestra en la figura 7.18 (b). Enseguida se calculan las reacciones de la viga en términos de P. éstas también se muestran en la figura 7.18 (b). Dado que la carga es discontinua en el punto B, la viga se divide en dos segmentos, AB y BC. En las figuras 7.18 (b) se muestran coordenadas X usadas para la determinación de las ecuaciones del momento flexionante en los dos segmentos de la viga. 92 En la tabla 7.9, se hacen constar las ecuaciones para M (en términos de P) obtenidas para los dos segmentos, junto con las derivadas parciales de M con respecto a P. Ahora se puede determinar la deflexión en C al sustituir P= 12 k en las ecuaciones para M y ∂M/∂P y por la aplicación de la expresión del segundo teorema de Castigliano. L M M dx C O P EI I EI I IE 0 30 0 X 3 X 3 30 x 26 x 12 x 3 x 2 dx x 2 dx 10 0 10 0 x 12 x dx 30 x 12 x dx 6500 k ft 3 EI 6500 12 3 29000 2000 0.194 in La respuesta negativa para ∆C indica que el punto C se desvía hacia arriba en la dirección opuesta a la de P. ∆C= 0.194 in ↑ Ejemplo: Determina la rotación en el nodo C del armazón mostrado en la Figura 7.19 (b) por el segundo teorema de Castigliano. Solución: Este armazón se analizo con anterioridad por el método del trabajo virtual, Ningún par externo está actuando en el nodo C, en donde se desea la rotación, de modo que se aplica un par ficticio M 0 en C, como se muestra en la figura 7.19 (b). las coordenadas X usadas para la determinación de las ecuaciones de los momentos flexionantes para los tres segmentos del armazón también se muestran en la figura 7.19 (b) y las ecuaciones para M en términos de M y M / M , obtenidas para los 93 tres segmentos se hacen constar en la tabla 7.10. Ahora se puede determinar la rotación en el nodo C del armazón al hacer M 0 en las ecuaciones para M y M / M , y por la aplicación de la expresión del segundo teorema de Castigliano. C M M dx M EI 30 0 x 30 38.5 x 1.5 x2 dx 2 6487.5 12 2 6487.5k EI ft 2 29000 2500 0.0129rad c 0.0129 rad 94 Ley de Betti y Ley de Maxwell de las deflexiones Recíprocas La ley de Maxwell de las deflexiones recíprocas, desempeña un papel importante en el análisis de las estructuras estadísticamente indeterminadas. La ley de Maxwell se deducirá aquí como un caso especial de la ley de Betti,la que se puede enunciar como sigue: Para una estructura linealmente elástica, el trabajo virtual realizado por un sistema P de fuerzas y pares actuando a través de la deformación causada por otro sistema Q de fuerzas y pares es igual al trabajo virtual del sistema Q actuando a través de la deformación debida al sistema P. Para demostrar la validez de esta ley, considérese la viga que se muestra en la figura 7.21. la viga está sujeta a dos sistemas diferentes de fuerza, los sistemas P y Q, como se muestra en la figuras 7.21 (a) y (b), respectivamente. Ahora, supongamos que esa viga, que tienen las fuerzas P ya actuando sobre ella (Fig. 7.21 (a), se sujeta a las deflexiones causadas por el sistema Q (Fig. 7.21 (b)). El trabajo virtual externo (Wue) realizado se puede escribir como: 95 WUe P 1 Q1 P2 Q2 ... Pn Qn o bien, n Wue i 1 Pi Qi Al aplicar el principio de las fuerzas virtuales para los cuerpos deformables, WUe Wvi y si se aplica la expresión para el trabajo virtual interno realizado en las vigas , se obtiene: n Pi i 1 L Qi O M P MQ EI dx 7.66 A continuación, supóngase que la viga con las fuerzas Q actuando sobre ella (Fig. 7.21 (b)) se sujeta a las deflexiones causadas por las fuerzas P (Fig. 7.218 a). al igual el trabajo virtual externo con el trabajo virtual interno, se obtiene. m Qi i 1 L pi O MQ M p EI dx 7.67 Notando que los segundos miembros de las ecuaciones (7.66) y (7.67) son idénticos se igualan los primeros miembros para obtener : n m P i 1 Qi j I Qj Pj 7.68 La ecuación (7.68) representa el enunciado matemático de la ley de Betti. La ley de Maxwell de las deflexiones recíprocas afirma que para una estructura linealmente elástica, la deflexión en un punto i debida a una 96 carga unitaria aplicada en un punto j es igual a la deflexión en j debida a una carga unitaria en i. En este enunciado, los términos deflexión y carga se usan en el sentido general para incluir la rotación y el par, respectivamente. Como se mencionó con anterioridad, la ley de Maxwell se puede considerar como un caso especial de la ley de Betti. Para probar la ley de Maxwell, considere la viga que se muestra en la figura 7.22. la viga está sujeta por separado a los sistemas P y Q, que consisten en las cargas unitarias en los puntos i y j; respectivamente, como se muestra en las figuras 7.22 (a) y (b). Como se indica en la figura, fij representa la deflexión en i debida a la carga unitaria en j, en tanto que fij denota la deflexión en j debida a la carga unitaria en i. Estas deflexiones por unidad de carga se mencionan como coeficientes de flexibilidad. Al aplicar la ley de Betti (ecuación (7.68) se obtiene: I fij I f ji o bien, fij f ji 7.69 Que es la expresión matemática de la ley de Maxwell. La relación recíproca sigue siendo válida entre las rotaciones causadas por dos pares unitarios, así como entre la deflexión la rotación causada por un par de unitario y una fuerza unitaria, respectivamente 97 LÍNEAS DE INFLUENCIA PARA ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS LÍNEAS DE INFLUENCIA Las líneas de influencia tienen importantes aplicaciones en el diseño de estructuras que resisten grandes cargas vivas. Si una estructura está sometida a una carga viva o móvil, la variación de la fuerza cortante y del momento flexionante en el miembro se describe mejor usando la línea de influencia. Una línea de influencia representa la variación de la reacción, de la fuerza cortante, del momento flexionante o de la deflexión en un punto específico de un miembro cuando una fuerza concentrada se mueve sobre el miembro. Una vez construida esta línea, puede verse claramente dónde debe colocarse una carga viva sobre la estructura para que genere la máxima influencia en el punto especificado. Además, la magnitud de la reacción, fuerza cortante, momento o deflexión asociadas en el punto puede entonces calcularse a partir de las ordenadas del diagrama de la línea influenciada. PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Cualquiera de los siguientes procedimientos puede usarse para construir la línea de influencia en un punto P específico de un miembro para cualquier función (reacción, fuerza cortante o momento). En estos procedimientos escogeremos la fuerza móvil con una magnitud unitaria adimensional. Ecuaciones de las líneas de influencia La línea de influencia puede también construirse colocando la carga unitaria en una posición x variable sobre el miembro y luego calcular el valor de R, V o M en el punto como función de x. De esta manera, pueden determinarse y trazarse las ecuaciones de los varios segmentos de línea que componen la línea de influencia. LÍNEAS DE INFLUENCIA PARA VIGAS Las vigas o trabes son a menudo los elementos principales portadores de carga de un sistema de piso o de la cubierta de un puente, es importante poder construir las líneas de influencia para las reacciones, fuerza cortante o momento en cualquier punto especificado de una viga. 98 CARGAS Una vez construida la línea de influencia para una función (reacción, fuerza cortante o momento) será entonces posible localizar las cargas vivas sobre la viga que produzcan el valor máximo de la función. Respecto a esto, se considerarán ahora dos tipos de cargas. FUERZA CONCENTRADA Como los valores numéricos de una función para una línea de influencia se determinan usando una carga unitaria sin dimensiones, entonces para cualquier fuerza concentrada F que actúe sobre la viga en cualquier posición x, el valor de la función puede encontrarse multiplicando la ordenada de la línea de influencia en la posición x por la magnitud de F. Por ejemplo, la línea de influencia para la reacción en A sobre la viga AB, figura 6-7a, es la mostrada en la figura 6-7b. como se muestra, cuando la 1 1 carga unitaria está en x = , la reacción en A es Ay = . Por lo tanto, si la 2 2 Fuerza (lb) está en este mismo punto, figura 6-7a , la reacción es 1 Ay = ( ) F(lb). Por supuesto, éste mismo valor puede también determinarse 2 por estática. Obviamente, la influencia máxima causada por F ocurre cuando ésta se coloca sobre la viga en la misma posición que el punto máximo de la línea de influencia, en este caso en x = 0, cuando la reacción sería Ay = (1) (F) (lb). 99 CARGA UNIFORME En general, el valor de una función causada por una carga uniforme distribuida es simplemente el área bajo la línea de influencia para la función, multiplicada por la intensidad de la carga uniforme. Por ejemplo, en el caso de una viga cargada uniformemente, figura 6-9a, la reacción Ay puede determinarse con la línea de influencia, figura 6-9b como: 1 1 Ay = (área) (w) = (1)(L)w wL Este valor puede también, por supuesto, 2 2 calcularse la estática. El siguiente ejemplo ilustran estos conceptos numéricamente. LINEAS DE INFLUENCIA CUALITATIVA Se le llama principio de Müller – Breslau y establece que la línea de influencia para una función (reacción, fuerza cortante o momento) es, a la misma escala, la forma reflexionada de la viga cuando sobre ésta actúa la función. Para dibujar la forma reflexionada apropiadamente, la capacidad de la viga para resistir la función aplicada debe retirarse de manera que la viga pueda reflexionarse cuando se aplica la función. Por ejemplo, considere la viga en la figura 6-12a. Si va a determinarse la línea de influencia para la reacción vertical en A, el pasador se reemplaza primero por un rodillo guiado, como se muestra en la figura 6-12b. Se requiere un rodillo guiado ya que la viga debe aún resistir una fuerza horizontal en A pero ninguna fuerza vertical. Cuando se aplica entonces la fuerza positiva (hacia arriba) Ay en A, la viga asume la posición indicada por la línea interrumpida, que representa la forma general de la línea de influencia para Ay, figura 6-12c .Si va a determinarse la forma de la línea de influencia para la fuerza cortante en C, figura 6-13a, la conexión en C 100 puede simbolizarse por un rodillo guiado, como se muestra en la figura 613b. Este dispositivo resistirá un momento y una fuerza axial pero ninguna fuerza cortante. Si aplicamos una fuerza cortante positiva VC a la viga en C y permitimos que la viga asuma la posición indicada por la línea cortada, encontramos la forma de la línea de influencia que se muestra en la figura 6-13c. Finalmente, si va a determinarse la forma de la línea influencia para el momento de C, figura 6-14a, se coloca un pasador o articulación interna en C, ya que esta conexión resiste fuerzas axiales y cortantes pero no puede resistir un momento, figura 6-14b. Aplicando momentos positivos MC a la viga, ésta sufrirá deflexión según la línea interrumpida, que es la forma de la línea de influencia, figura 6-14c. 101 La prueba del principio de Müller – Breslau puede establecerse usando el principio del trabajo virtual. Recuerde que trabajo es el producto de un desplazamiento lineal y una fuerza en la dirección del desplazamiento lineal o bien un desplazamiento rotacional y un momento en la dirección del desplazamiento rotacional. Si un cuerpo rígido (viga) está en equilibrio, la fuerza y el momento resultantes sobre ella son iguales a cero. En consecuencia, si al cuerpo se le da un desplazamiento virtual o imaginario, el trabajo hecho por todas las fuerzas y momentos concentrados que actúan sobre él debe también ser igual a cero. Considere, por ejemplo, la viga simplemente apoyada que se muestra en la figura 6-15a, sometida a la carga unitaria en un punto arbitrario a lo largo de su longitud. Si a la viga se le da un desplazamiento virtual (o imaginario) y en el soporte A, figura 6-15b, entonces sólo la reacción Ay en el soporte y la carga unitaria efectúan un trabajo virtual. Específicamente Ay efectúa trabajo positivo Ay y y la carga unitaria efectúa trabajo negativo, -1 y’. (El soporte en B no se mueve y por tanto la fuerza en B no trabaja). Como la viga está en equilibrio y en realidad no se mueve, el trabajo virtual suma cero, esto es, Ay y – 1 y’ = 0 Note que si y se hace igual a 1, entonces, Ay = y’ En otras palabras, el valor numérico de la reacción en A es equivalente al desplazamiento en la posición de la carga unitaria de manera que la forma de la línea de influencia para la reacción en A ha sido establecida (véase la figura 6-12). Esto prueba el principio de Müller – Breslau para reacciones. 102 De la misma manera, si la viga secciona en C, y la viga sufre un desplazamiento virtual y en este punto, figura 6-15c, tal que los segmentos AC y BC permanecen paralelos, entonces sólo trabajarán la fuerza cortante interna en C y la carga unitaria. Así, la ecuación del trabajo virtual es VC y 1 y ' 0 Nuevamente, si y se hace igual a 1, entonces VC y' y la forma de la línea de influencia para la fuerza cortante en C ha sido establecida (véase la figura 6-13). Finalmente, suponga que una articulación o un pasador se inserta en el punto C de la viga, figura 6-15d. Si se le da al pasador una rotación virtual , sólo efectuarán un trabajo virtual el momento interno MC y la carga unitaria. Así. MC - 1 y’ = 0 103 Haciendo = 1, se ve que MC = y’ Lo que indica que la viga reflexionada tiene la misma forma que la línea de influencia para el momento interno en el punto C (vea la figura 6-14). Es obvio que el principio de Müller – Breslau proporciona un método rápido para establecer la forma de la línea de influencia. Una vez conocida ésta, las ordenadas de los máximos pueden determinarse usando el método básico analizando en la sección 6.1 Además, conociendo la forma general de la línea de influencia, es posible situar la carga viva sobre la viga y luego determinar el valor máximo de la función usando la estática. El ejemplo 6-12 ilustra este procedimiento. LINEAS DE INFLUENCIA PARA TRABES DE PISO En algunas ocasiones, los sistema de piso se construyen como se muestra en la figura 6-20a, donde puede verse que las cargas de piso se transmiten primero de las losas a las vigas de piso, luego a las trabes laterales y finalmente a las columnas de soporte. En la figura 6-20b se muestra un modelo idealizado de este sistema. Aquí se supone que la losa transmite su carga en una dirección y que está segmentada en claros simplemente apoyados que descansan sobre las vigas de piso. Además, la trabe está simplemente apoyada sobre las columnas. Como las trabes son miembros principales de carga en este sistema, es a veces necesario construir sus líneas de influencia de fuerzas cortantes y momento flexionante. Esto es así especialmente parea edificios industriales sometidos a fuertes cargas concentradas. En este sentido, obsérvese que una carga unitaria sobre la losa de piso se transfiere a la trabe sólo en puntos en que ésta está en contacto con las vigas de piso, o sea, en los puntos A, B, C y D. Estos puntos se llaman puntos de tablero y la región entre ellos se llama tablero, como el BC en la figura 6-20b. 104 La línea de influencia para un punto específico sobre la trabe puede determinarse usando el mismo procedimiento estático que en la sección 6.1; esto es, coloque la carga unitaria en varios puntos x sobre la losa de piso y siempre calcule la función (fuerza cortante o momento) en el punto P especificado en la trabe, figura 6-20b. Trazando esos valores versus x se obtiene la línea de influencia para la función en P. En particular, el valor para el momento interno en un tablero de trabe dependerá de dónde se escoja el punto P para la línea de influencia, ya que la magnitud de Mp depende de la localización del punto d desde el extremo de la trabe. Por ejemplo, si la carga unitaria actúa sobre la losa de piso como se muestra en la figura 6-20c, primero se encuentran las reacciones FB y FC sobre la losa y luego se calculan las reacciones F1 y F2 sobre la trabe. El momento interno en P se determina entonces con el método de la secciones, figura 6-20 d. Esto da, Mp = F1d – FB(d- s). Usando un análisis similar puede determinarse la fuerza cortante interna Vp. Sin embargo, en este caso Vp será constante todo el tablero BC (Vp = F1 – FB) y no depende de la localización exacta de P dentro del tablero. Por esta razón, las líneas de influencia para la fuerza cortante en trabes de piso se especifican para 105 tableros en la trabe y no para puntos específicos a lo largo de ésta. A la fuerza cortante se le llama entonces fuerza cortante de tablero. Debe notarse también que como la trabe es afectada sólo por las cargas transmitidas por las vigas de piso, la carga unitaria tiene que colocarse sólo en cada posición de la viga de piso para establecer los datos que se requieren para dibujar la línea de influencia. LINEAS DE INFLUENCIA PARA ARMADURAS Las armaduras se usan a menudo como elementos primarios de carga para puentes. Por consiguiente, para el diseño es importante poder construir las líneas de influencia para cada uno de sus miembros. Como se muestra en la figura 6-23, la carga sobre la cubierta del puente se transmite primero a las vigas de puente, que a su vez transmiten la carga a las vigas de piso y luego a los nudos de la cuerda inferior de la armadura. Como los miembros de la armadura son afectados sólo por la carga en los nudos, podemos obtener las ordenadas de la línea de influencia para un miembro cargando cada nudo a lo largo de la cubierta con una carga unitaria y luego usar el método de los nudos o el método de las secciones para calcular la fuerza en el miembro. Los datos pueden disponerse en forma tabular, registrando “carga unitaria en nudo” versus “fuerza en miembro”. Si la fuerza en el miembro es de tensión, se considera como valor positivo; si es de compresión, se considera negativo. La línea de influencia para el miembro se construye trazando los datos y dibujando líneas rectas entre los puntos. 106 CARGAS VIVAS PARA PUENTES PUENTES CARRETEROS La carga vehicular más pesada que se encuentra es la causada por una serie de camiones. Las especificaciones para cargas de camión sobre puentes carreteros están contenidas en el código de la American Association of State and Highway Transportation Officials (AASHTO). Para camiones de dos ejes, estas cargas se designan con una H, seguida del peso del camión en toneladas y otro número, que da el año de la especificación en que se reportó la carga. Por ejemplo, un H15-44 es un camión de 15 toneladas como se da en las especificaciones de 1944. Los camiones de la serie H pesan entre 10 y 20 toneladas. Sin embargo, los puentes localizados en la mayoría de las carreteras, que soportan una gran cantidad de tránsito, se diseñan a menudo para camiones de dos ejes más un semirremolque de un eje. Estas cargas se designan HS, por ejemplo, HS 20 – 44. En general, una carga de camión seleccionada para un diseño depende del tipo de puente, de su localización y del tipo de tránsito esperado. 107 El tamaño del “camión estándar” y la distribución de su peso se indican también en las especificaciones AASHTO. Por ejemplo, el HS 20-44 se muestra en la figura 6-27. Aunque se supone que los camiones ocupan carriles de 10 ft, no todos los carriles sobre el puente tienen que estar totalmente cargados con una fila de camiones para obtener la carga crítica, ya que tal carga sería altamente improbable. Además, en vez de determinar la carga crítica usando una serie de cargas de ruedas de camión concentradas, en algunos casos las especificaciones permiten una simplificación que representa una carga de carril como una carga uniforme más una sola fuerza concentrada. Esto se hace con la idea de representar una distribución de tránsito de peso mediano con un camión pesado situado en el punto máximo de la línea de influencia. Puentes ferrocarrileros Las cargas sobre puentes de ferrocarril son especificadas por el código de la American Railroad Engineers Association (AREA). Para el diseño se usan normalmente las cargas E, como fueron establecidas originalmente por Theodore Cooper en 1894. Por ejemplo, un tren moderno con una carga de 72 k en el eje motriz de la locomotora se designa como una carga E-72. La carga entera E-72 para diseño se distribuye como se muestra en la figura 6-28 D. B. Steinmann ha actualizado la distribución de cargas de Cooper y ha inventado una serie de cargas M, que también son aceptables para el diseño. Como las cargas de trenes implican una complicada serie de fuerzas concentradas, se usan tablas y gráficas para simplificar los cálculos a mano y a veces se usan éstas en conjunción con líneas de influencia para obtener la carga crítica.* 108 Carga de Impacto Los vehículos móviles pueden rebotar o ladearse al circular sobre un puente, provocando un impacto en la cubierta de éste. El incremento porcentual de cargas vivas debido al impacto se llama factor de impacto I. Este factor se obtiene generalmente de fórmulas desarrolladas a partir de evidencia experimental. Por ejemplo, para puentes carreteros, las especificaciones AASHTO requieren que : I 50 L 125 Pero no más que 0.3 donde L es la longitud del claro en pies que está sometido a la carga viva. Por ejemplo, el miembro BC en el ejemplo 6 – 17 tiene un factor de impacto calculado para L = 80 ft, ya que la línea de influencia (y la carga) se extiende sobre la longitud entera de la armadura, figura 6 – 2 d. Por tanto, I = 50 / (80 + 125) = 0.244 0.3. La carga adicional en el miembro BC debido a impacto es entonces I (FBC)máx = 0.244 (58.7 K) = 14.3 k. Cuando ésta se suma a la colocación ”estática” de la carga viva, la fuerza “total” en BC es por tanto 58.7 k + 14.3 k = 73.0 k. Tipos similares de fórmulas y sus aplicaciones pueden encontrarse en el código AREA. Influencia máxima en un punto debido a una serie de cargas concentradas Una vez que se ha establecido la línea de influencia de una función para un punto en una estructura, el efecto máximo causado por una fuera viva concentrada se determina multiplicando la ordenada máxima de la línea de influencia por la magnitud de la fuerza. Sin embargo, en algunos casos, varias fuerzas concentradas deben colocarse sobre la estructura. Un ejemplo serían las cargas de ruedas de un camión o un tren, como se muestra en las figuras 6 – 27 y 6 -28. Para determinar el máximo efecto en este caso, puede usarse un procedimiento de tanteos o bien un método basado en el cambio de la función que tiene lugar cuando la carga se mueve. Cada uno de esos métodos se explicará ahora específicamente aplicado a la fuerza cortante y al momento flexionante. 109 Fuerza cortante Considere la viga simplemente apoyada con la línea de influencia asociada para la fuerza cortante en el punto C en la figura 6 – 29a. Debe determinarse la fuerza cortante máxima positiva en el punto C debido a la serie de cargas concentradas (de rueda) que se muestran en la figura 6 – 29 b, las cuales se mueven de derecha a izquierda sobre la viga. La carga crítica ocurrirá cuando una de las cargas se coloque justo a la derecha del punto C, que coincide con el máximo positivo de la línea de influencia. Cada uno de tres posibles casos puede investigarse por tanteos, figura 629c. Tenemos. Caso 1 : (VC)1 = 1 (0.75) + 4 (0.525) + 4 (0.5) = 5.25 k Caso 2 : (VC)2 = 1 (-0.125) + 4 (0.75) + 4 (0.625) = 5.375 k Caso 3 : (VC)3 = 1 (0) + 4 (-0.125) + 4 (0.75) = 2.5 k El caso 2, con la fuerza de 1 k situada a 5 ft del soporte izquierdo, da el valor máximo para VC y representa por tanto la carga crítica. Note que la investigación del caso 3 no es en realidad necesaria, ya que por inspección, tal arreglo de cargas no daría un valor de (VC)3 mayor que (VC)2. 110 Cuando muchas cargas concentradas actúan sobre el calor, como en el caso de la carga E-72 de la figura 6-28, los cálculos de tanteos usados antes resultan tediosos. En vez de esto, la posición crítica de las cargas pueden determinarse de manera más directa calculando el cambio en la fuerza cortante, V, que ocurre cuando las cargas se mueven del caso 1 al 2; luego del caso 2 al caso 3, etc. En tanto que cada V calculada sea positiva, la nueva posición dará una fuerza cortante mayor en el punto C de la viga que la de la posición previa. Cada movimiento se investiga hasta que se calcula un cambio negativo en la fuerza cortante. Cuando esto ocurre, la posición previa de las cargas dará el valor crítico. El cambio V en fuerza cortante para una carga P que se mueve de la posición x1 a la x2 sobre una viga puede determinarse multiplicando P por el cambio en la ordenada de la línea de influencia, esto es (y2 – y1). Si la pendiente de la línea de influencia es s, entonces (y2 – y1) = s (x2 – x1) y por tanto. V Ps(x 2 x1 ) Línea de pendeinte (6.1) Si la carga se mueve más allá de un punto donde se tiene una discontinuidad o “salto” en la línea de influencia, como el punto C en la figura 6-29a, entonces el cambio en la fuerza cortante es simplemente. V P(y 2 Salto y1 ) (6.2) El uso de las ecuaciones anteriores se ilustrará con referencia a la viga, carga y línea de influencia por VC, mostradas en la figura 6-29a y b. Nótese que la pendiente de la línea de influencia es s = 0.75/(40 – 10) = 0.25/10 = 0.025 y que el salto en C tiene una magnitud de 0.75 + 0.25 = 1. Considere las cargas del caso 1 moviéndose 5 ft al caso 2, figura 6-29c. Cuando esto ocurre, la carga de 1 k salta hacia abajo (-1) y todas las cargas se mueven hacia arriba de la pendiente de la línea de influencia. Esto causa un cambio de fuerza cortante, V1-2 = 1 (-1) + [1 + 4 + 4] (0.025) (5) = + 0.125 k Como V1-2 es positiva, el caso 2 dará un valor mayor para VC que el caso 1. [Compárense las respuestas para (VC)1 y (VC)2, calculadas antes, donde (VC)2 = (VC)1 + 0.125]. Al investigar V2-3, que ocurre cuando el caso 21 se mueve al caso 3, figura 6-29c, debemos tomar en cuenta el salto hacia abajo (negativo) de la carga de 4 k y el movimiento horizontal de 5 ft de 111 todas las cargas hacia arriba de la pendiente de la línea de influencia. Tenemos. V2-3 = 4 (-1) + [1 + 4 + 4] (0.025) (5) = - 2.875 k Como V2-3 es negativo, el caso 2 es la posición de la carga crítica, como se determinó previamente. 112 113 Momento flexionante Podemos también usar los métodos anteriores para determinar la posición crítica de una serie de fuerzas concentradas, de manera que generen el momento máximo interno en un punto específico de una estructura. Por supuesto, es necesario dibujar primero la línea de influencia para el momento en el punto y determinar las pendientes s de sus segmentos. Para un movimiento horizontal (x2 – x1) de una fuerza concentrada P, el cambio en momento M es equivalente a la magnitud de la fuerza por el cambio en la ordenada de la línea de influencia bajo la carga, esto es, M Ps(x 2 x1 ) Línea de pendiente (6.3) Como ejemplo, considere la viga, la carga y línea de influencia para el momento en el punto C de la figura 6.30a. Si cada una de las tres fuerzas concentradas se coloca sobre la viga, coincidiendo con el máximo de la línea de influencia, obtendremos la máxima influencia de cada fuerza. Los tres casos de carga se muestran en la figura 6.30 b. Cuando las cargas del caso 1 se mueven 4 ft hacia la izquierda al caso 2, se observa que la carga de 2 k disminuye M1-2, ya que la pendiente (7.5 / 10) es hacia abajo, figura 6-30a. Igualmente, las fuerzas de 4 k y 3 k ocasionan un incremento en M1-2, ya que la pendiente [7.5 / (40-10)] es hacia arriba. Tenemos: M1 2 2 7.5 7.5 (4) (4 3) (4) 1.0k.ft 10 40 10 Como M1-2 es positiva, debemos investigar aún el movimiento de 6 ft de las cargas del caso 2 al caso 3. M2 3 (2 4) 7.5 7.5 (6) 3 (6) 10 40 10 22.5k.ft Aquí el cambio es negativo, por lo que el momento máximo en C ocurrirá cuando la viga se carga como se muestra en el caso 2, figura 6-30 c. El momento máximo en C es, entonces, (MC)máx = 2 (4.5) + 4(7.5) + 3 (6.0) = 57.0 k. ft Los siguientes ejemplos ilustran más aún este método. 114 Fuerza cortante y momento flexionante máximos absolutos En la sección 6.7 desarrollamos los métodos para calcular la fuerza cortante y el momento máximos en un punto específico de una viga debido a una serie de cargas concentradas móviles. Un problema más general implica la determinación tanto de la posición del punto en la viga como de la posición de la carga sobre la viga, de manera que se pueda obtener la fuerza cortante y el momento máximos absolutos causados por las cargas. Si la viga es en voladizo o simplemente apoyada, este problema puede resolverse fácilmente. Fuerza cortante Para una viga en voladizo, la fuerza cortante máxima absoluta ocurrirá en un punto localizado justamente al lado del empotramiento. La fuerza cortante máxima se encuentra por el método de las secciones, con las cargas situadas cerca del soporte, la primera situada justamente al lado de la sección, como se muestra en la figura 6-34. En vigas simplemente apoyadas, la fuerza cortante máxima absoluta ocurrirá justamente al lado de uno de los soportes. En este caso las cargas se sitúan de manera que la primera en secuencia se coloque cerca del soporte, como se muestra en la figura 6-35. 115 Momento flexionante El momento máximo absoluto para una viga en voladizo ocurre en el mismo punto en que ocurre la fuerza cortante máxima absoluta, aunque en este caso, las cargas concentradas deben situarse en el extremo alejado de la viga, como en la figura 6-36. Para una viga simplemente apoyada, las posiciones críticas de las cargas y el momento máximo absoluto asociado no pueden, en general, determinarse por inspección. Sin embargo, podemos determinar analíticamente la posición. Para fines de análisis, consideremos una viga sometida a las fuerzas F1, F2 y F3, que se muestran en la figura 6 -37a. Como el diagrama de momentos para una serie de fuerzas concentradas consiste en segmentos de líneas rectas con puntos máximos en cada fuerza, el momento máximo absoluto ocurrirá bajo una de las fuerzas. Supongamos que este momento máximo ocurre bajo F2. La posición de las cargas F1, F2 y F3 sobre la viga estará especificada por la distancia x, medida de F2 al centro del claro de la viga, como se muestra. Para determinar un valor específico de x, obtenemos primero la fuerza resultante del sistema, FR y su distancia x ' , media desde F2. Una vez hecho esto, sumamos momentos respecto a B, lo que da la reacción izquierda de la viga Ay, esto es, MB 0; Ay 1 L (FR ) (x ' x) L 2 116 117 Si la viga se secciona entre el soporte en A y F2, el diagrama de cuerpo libre resultante es como se muestra en la figura 6-37b. El momento M2 bajo F2 es, por tanto, M2 Ay L x 2 F1d1 1 L (FR ) (x ' x) L 2 FR L 4 FR x ' 2 FR x 2 L L x 2 F1d1 FR x x ' F1d1 L Para tener un máximo M2, se requiere: dM 2 dx 2FR x L 2FR x ' L 0 ó x x' 2 Por lo tanto, podemos concluir que el momento máximo absoluto en una viga simplemente apoyada ocurre bajo una de las fuerzas concentradas cuando esta fuerza se coloca sobre la viga de manera que ella y la fuerza resultante del sistema estén equidistantes del centro de la viga. Como se tiene una serie de cargas sobre el claro (por ejemplo F1, F2, F3, en la figura 6-37a), este principio tendrá que aplicarse a cada carga de la serie y calcularse el momento máximo correspondiente. Por comparación, el momento máximo será el máximo absoluto. Como regla general, el momento máximo absoluto ocurre con frecuencia bajo la fuerza más grande que se encuentre más cercana a la fuerza resultante del sistema. 118 Envolvente de valores máximos de líneas de influencia Es difícil establecer reglas o fórmulas para determinar las fuerzas cortantes o momentos flexionantes máximos absolutos para vigas soportada de manera distinta a las vistas aquí hasta ahora, esto es, simplemente apoyadas o en voladizo. Sin embargo, una manera elemental de resolver este problema requiere construir líneas de influencia para la fuerza cortante o el momento en puntos seleccionados a lo largo de la longitud entera de la viga, y luego calcular la fuerza cortante o momento máximos en la viga para cada punto usando los métodos de la sección 6.7. Estos valores dan una “envolvente de máximos” cuando se grafican; de aquí pueden encontrarse los valores máximos absolutos para la fuerza cortante y el momento, así como su localización. Obviamente, es deseable una solución por computadora para este problema, ya que el trabajo puede ser bastante tedioso si se efectúa a mano. ANÁLISIS DE MIEMBROS A TENSIÓN Los elementos de una estructura que soportan cargas de tensión se denominan miembros a tensión ,algunos elementos a tensión se pueden mencionar la cuerdas inferiores de las armaduras de techos y puentes Los miembros a tensión se usan en varios tipos de estructuras que incluyen miembros de armaduras , cables en puentes colgantes y atirantados , arriostramiento para edificios y puentes y cables en sistemas de techos colgantes .Puede usarse cualquier configuración de sección transversal ya que para cualquier material el único factor que determina la resistencia es el área transversal. Las barras circulares y los perfiles angulares rolados son comúnmente usados , las secciones formadas con perfiles rolados o una combinación de perfiles rolados y placas son a veces usadas cuando deben resistir grandes cargas . La configuración compuesta mas común usada es la sección de ángulo doble por que la junta será mas simétrica tanto en el plano como fuera de el , en oposición al uso de un angular que siempre tendrá excentricidad fuera del plano. Los miembros a tensión en puentes y armaduras de grandes techos pueden consistir en canales, secciones W o S o en secciones armadas a base de ángulos, canales y placas. Los canales simples se usan con 119 frecuencia, ya que tienen poca excentricidad y son fáciles de conectar. Aunque con el mismo peso, por unidad de longitud las secciones W son más rígidas que las secciones S, pero tienen la desventaja, desde el punto de vista de su conexión, de variar en sus peraltes, Por ejemplo la W12 x 79, la W12 x 72 y la W12 x 65 tienen peraltes ligeramente diferentes (12.38, 12.25 y 12.142 plg. Respectivamente) en tanto que todas las secciones S de un cierto tamaño nominal tienen el mismo peralte. Por ejemplo, la S12 x 50, la S12 x 40.8 y la S12 x 35 tienen un peralte de 12 plg. Aunque los perfiles estructurales simples son un poco más económicos que las secciones armadas éstas se usan ocasionalmente cuando el proyectista no es capaz de obtener suficiente área o rigidez con las formas simples. Cuando se usen secciones armadas es importante recordar que se tendrán que realizar conexiones de campo y aplicar una o varias capas de pintura; por ello se debe disponer de suficiente espacio para poder efectuar estas operaciones. Cuando los miembros constan de más de una sección, éstas necesitan conectarse. Las placas de unión localizadas regularmente, o bien las cubreplacas perforadas, sirven para mantener las diversas secciones en sus posiciones correctas. Estas placas sirven también para corregir cualquier distribución desigual de carga entre las diversas secciones; sirven además para mantener las relaciones de esbeltez (concepto que se estudiará más adelante) de las partes individuales dentro de ciertos límites y facilitar el manejo de los miembros armados. Los miembros individuales muy largos tales como los perfiles angulares pueden resultar de difícil manejo debido a su alta flexibilidad, pero cuando se unen cuatro ángulos formando un solo miembro el miembro adquiere considerable rigidez. Ninguna de las placas de unión intermitente se considera que incrementa el área afectiva de las secciones. Como teóricamente estas no toman porciones de la fuerza actuante en las secciones principales, sus tamaños quedan regidos generalmente por las especificaciones y a veces por el buen juicio de proyectista. La cubreplacas perforadas son una excepción, pues parte de sus áreas pueden considerarse efectivas para resistir la carga axial. En la figura se muestra algunos tipos de miembros a tensión de uso general. En esta figura las líneas interrumpidas representan las placas o barras de unión intermitentes usadas para conectar los perfiles. 120 Tipos de miembros a tensión ESFUERZO PERMISIBLES A TENSIÓN La especificación ASD – D1 da un esfuerzo permisible a tensión de 0.60 Fy para las áreas transversales totales de miembros en cuyas secciones no haya agujeros. Para secciones que tengan agujeros para pernos o remaches, el esfuerzo permisible a tensión es 0.50 Fu, aplicables a las áreas netas efectivas. Se proporciona así un factor de seguridad de 1.67 respecto a la fluencia de la sección total (Fy/0.60 Fy = 1.67), y un valor de 2.0 contra la fractura del miembro en su área neta efectiva más pequeña (Fu/0.50 Fu = 2.0). El área neta efectiva real Ae que puede considerarse que resiste la tensión en la sección a través de los agujeros puede ser algo menor que el área neta real An, debido a la concentración de esfuerzos y a otros factores. La capacidad permisible de un miembro a tensión con agujeros para pernos o remaches según las especificaciones ASD es igual al menor de los dos valores siguientes: T = 0.60 Fy Ag o bien T = 0.50 Fu Ae En muy raras ocasiones, los miembros a tensión tienen ranuras o agujeros que se extienden sobre una longitud importante del miembro. El comentario ASD – D1 indica que una “longitud importante” es una distancia igual o mayor que el peralte del miembro. En tales casos el proyectista debe juzgar si la fluencia en esa longitud es de cuidado. Si se decide que tal es el caso, probablemente un esfuerzo permisible de 0.60 Fy debería usarse para el área neta efectiva. 121 Los valores anteriores no son aplicables a barras roscadas (con cuerdas) o a miembros con agujeros para pesadores, como las barras de ojo. Para miembros con agujeros para pesadores se permite un esfuerzo de tensión de 0.60 Fy en el área total del miembro y se permite un valor de 0.45 Fy en el área neta de la sección que pasa por el agujero. ÁREAS NETAS El término área neta de la sección , se refiere al área bruta de la sección transversal menos la de ranuras, muescas y agujeros. Al considerar el área de éstos, por lo general es necesario restar un área un poco mayor que la nominal del agujero. Por ejemplo, en la fabricación de estructuras de acero para conectarse con tornillos o remaches, los agujeros se punzonan con un diámetro 1/16 plg. mayor que el correspondiente al tornillo o remache. Además, se considera que el punzonado del agujero daña o aun destruye 1/16 plg (1.6 mm) más del metal circundante; por lo tanto, el área de los agujeros que se resta corresponde a un diámetro 1/8 plg (3 mm) mayor que el diámetro nominal del conector. El área que se resta por agujeros es rectangular e igual al productor del diámetro del agujero por el espesor del metal. Las placas con espesores mayores que el diámetro del conector, son difíciles de punzonar a la medida requerida sin que se presente una deformación excesiva del material circundante. Estos agujeros deben prerrebanarse a diámetro ligeramente menores que 1/16 plg que los especificados y luego, cuando las piezas están ya presentadas, limarse al diámetro justo. Con este proceso se daña poco el material y, como los agujeros resultantes son lisos y de paredes uniformes, no se considera necesario restar el 1/16 plg por daño a los lados. Algunas veces, cuando deben conectarse piezas de gran espesor, los agujeros se taladran al diámetro de conector más 1/32 plg.; este proceso resulta muy caro y debe evitarse siempre que sea posible. Puede resultar necesario adoptar una mayor tolerancia dimensional durante los montajes y para los tornillos de alta resistencia con diámetros mayores de 5/8 plg. se pueden usar agujeros mayores que los estándar sin reducir la eficiencia de la conexión. Estos agujeros pueden ser ovalados. Para calcular las áreas netas cuando se usan agujeros ovalados, se añade 1/16 plg. al ancho de cada agujero. EJEMPLO 1 Determine el área neta de la placa de 3/8 x 8 plg mostrada en la figura 32. La placa está conectada en sus extremos con dos hileras de tornillos de ¾ de plg. 122 Solución Area neta = An (3/8) (8) – (2) (3/4 + 1/8) (3/8) = 2.34 plg² (1510 mm²). Figura 3-2 Las conexiones de los miembros a tensión deben diseñarse de modo que no tengan excentricidad.Una excepción a esta regla, aceptada por las especificaciones ASD para ciertas conexiones soldadas y atornilladas. Si este arreglo es posible, se supone que el esfuerzo se distribuye uniformemente sobre toda la sección neta del miembro. Si las conexiones tienen excentricidad, se producirán momentos que ocasionan esfuerzos adicionales en la vecindad de la conexión. Figura 3.3. Las líneas de acción de los miembros de armaduras que llegan a una junta, se consideran concurrentes. Si no concurren se tendrán excentricidades, y aparecerán esfuerzos secundarios. Se supone que los ejes de gravedad de los miembros, coinciden con las líneas de acción de 123 sus fuerzas respectivas. En un miembro simétrico no existe problema, ya que su eje de simetría coincide con su eje de gravedad, pero en miembros no simétricos el problema es un poco más difícil. Para estos miembros, la línea de centros no coincide con el eje de gravedad, pero la práctica común es colocar dichos miembros en la junta de manera que los ejes de las hileras de conectores (líneas de gramil) concurran. Si un miembro tiene más de una línea de gramil, se utiliza para detallar la más cercana al eje de gravedad de la pieza. La figura 3-3 muestra una junta de armadura, en la que los ejes de gramil de todos los miembros concurren al mismo punto. EFECTO DE AGUJEROS ALTERNADOS Cuando los tornillos o remaches para la conexión de extremo de un miembro a tensión se colocan con una sola línea, se obtiene el área neta máxima. Si no se tiene espacio suficiente para una sola línea de conectores, puede ser necesario tener que usar más de una línea. Si este es el caso, es a menudo conveniente alternar los conectores para proporcionar en cualquier sección un área neta tan grande como sea posible para resistir la carga. En los párrafos anteriores se ha supuesto que los miembros a tensión fallan transversalmente a lo largo de la línea AB, como se muestra en las figuras 3 – 4(a) y 3 – 4 (b). El la figura 3-4(c) se muestra un miembro en el que la falla puede ocurrir de la otra manera. Los agujeros están alternados y es posible que la falla ocurra a lo largo de la línea ABCD, a menos que los agujeros se encuentren muy separados. Para determinar el área neta crítica en la figura 3-4 (c), puede aparecer lógico calcular el área de una sección transversal del miembro (como la AE) menos el área de un agujero y luego el área a lo largo de la línea ABCD menos dos agujeros. El menor valor obtenido a lo largo de estas secciones nos daría el valor crítico, pero este método en realidad es erróneo. A lo largo de la línea diagonal B a C existe una combinación de esfuerzos cortantes y normales y por ello debe considerarse un área menor. La resistencia del miembro a lo largo de la sección ABCD obviamente está comprendida entre la que se obtuvo al utilizar un área calculada, restando un agujero del área de la sección transversal, y la obtenida restando dos agujeros de la sección ABCD. 124 Las pruebas en juntas demuestran que no se consigue mucho al utilizar fórmulas teóricas complicadas para considerar la situación de agujeros escalonados, por lo que normalmente el problema se resuelve aplicando una ecuación empírica. La especificación ASD-B2 y otras, usan un método muy simple para calcular el ancho neto de un miembro a tensión a lo largo de una sección en zigzag. El método consiste en considerar el ancho total del miembro sin tomar en cuenta la línea a lo largo de la cual pueda ocurrir la falla, restar el diámetro de los agujeros a lo largo de la sección en zigzag considerada y añadir por cada diagonal una cantidad dada por la expresión s2/4g. En esta expresión s es el espaciamiento longitudinal (o paso) entre dos agujeros cualesquiera y g es el espaciamiento transversal (o gramil) de los mismos agujeros. Los valores de s y g se muestran en la figura 3-4(c). Pueden existir varias trayectorias, cada una de las cuales puede ser crítica en una junta particular. Debe considerarse cada una de las trayectorias posibles y usarse la que dé el menor valor. El ancho neto menor se multiplica por el espesor de la placa para obtener el área neta, An. El ejemplo 3-2 ilustra el método para calcular el área neta crítica de una sección que tiene tres hileras de conectores. (En ángulos, el gramil entre agujeros, en lados opuestos, se considera igual a la suma de los gramiles medidos desde la espalda del ángulo menos el espesor de éste). Los agujeros para tornillos y remaches en ángulos, se punzonan normalmente en ciertos lugares estandarizados. Estos lugares o gramiles dependen del ancho de los lados del ángulo y del número de líneas de agujeros. La tabla 3-1, tomada de la parte 1 del manual ASD, muestra estos gramiles. No es aconsejable que el proyectista requiera diferentes gramiles a los indicados en la tabla, a menos que se trate de una situación especial, debido al incremento que resulta en los costos de fabricación. EJEMPLO 2 Determine el área neta crítica de la placa de 1/2 plg de espesor, mostrada en la figura 3-5, utilizando la especificación ASD-B2. Los agujeros se punzonaron para tornillos de ¾ plg. 125 Figura 3- 5 Solución La sección crítica podría ser la ABCD, la ABCEF o la ABEF. Los diámetros de agujero que deben restarse son ¾ + 1/8 = 7/8 plg. Los anchos netos para cada caso son como sigue: ABCD 11 (2) 7 8 7 8 9.25p lg. ABCEF 11 (3) (3) 2 (4)(3) (3) 2 (4)(6) 9.125p lg. (rige) 7 ABEF=11-(2) 8 9.625p lg El lector notará que es una pérdida de tiempo revisar la trayectoria ABEF para esta placa. Se requiere restar dos agujeros para las trayectorias ABCD y ABEF. Como la ABCD es más corta, obviamente predomina sobre la ABEF An = (9.125) (1/2) = 4.56 plg² El problema de determinar el paso mínimo de conectores escalonados para restar sólo un cierto número de agujeros al calcular la sección neta, se trata en el ejemplo 3-3. El manual ASD (pág. 4-99) tiene una gráfica titulada "Net Section of Tensión Members", que se puede usar para determinar los valores de 126 s²/4g. Esta gráfica también se puede usar para solucionar el tipo de problema resuelto en el ejemplo 3-3. EJEMPLO 3 Para las dos hileras de agujeros para tornillos mostradas en la figura 3-6, calcule el paso necesario para tener un área neta a lo largo de DEFG igual a la correspondiente a la trayectoria ABC. El problema también puede plantearse como sigue: determinar el paso para obtener un área neta igual al área total, menos un agujero para tornillo. Los agujeros se punzonarán para tornillos de ¾ plg, por lo que se restará 7/8 plg de cada agujero. Figura 3-6 Solución ABC 6 (1) 7 8 5.125p lg. DEFG 7 6 (2) 8 s2 (4)(2) s2 4.25 8 A ABC DEFG 5.125 4.25 s2 8 s 2.65p lg. La regla relativa al factor s2/4g, es sólo una aproximación o simplificación de la compleja variación de esfuerzos que ocurre en miembros con arreglo escalonado de tornillos o remaches. Las especificaciones de acero sólo pueden proporcionar recomendaciones mínimas, y los proyectistas deben aplicar en forma razonable dicha información para situaciones complicadas que las especificaciones no pueden considerar en aras de la 127 brevedad y simplicidad. Los siguientes párrafos presentan un análisis y ejemplos numéricos de la regla relativa al factor s²/4g, aplicada a casos no considerados explícitamente en las especificaciones ASD. Las especificaciones ASD no incluyen un método para determinar los anchos netos de secciones que no sean placas o ángulos. Para canales, secciones W, secciones S y otras, los espesores del alma y del patín no son los mismos; en consecuencia, es necesario trabajar con áreas netas en vez de anchos netos. Si los agujeros se sitúan en líneas rectas a través de esos miembros, el área puede obtenerse simplemente restando las áreas de los agujeros del área total del miembro. Si los agujeros están escalonados, es necesario multiplicar los valores s²/4 g por el espesor aplicable para obtener un área. Este procedimiento se aplica en el ejemplo 3-4 a una sección W que contiene agujeros sólo en su alma. Figura 3-7 128 EJEMPLO 4 Determine el área neta de la W 12 x 16 (Ag = 4.71 plg2) mostrada en la figura 3-7, considerando agujeros para tornillos de 1 plg. Solución Áreas netas: ABDE 4.71 (2)(1 1/ 8)(0.220) 4.21 plg 2 (2)2 (0.220) 4.11p lg 2 (4)(3) Si la línea en zigzag va de un agujero en el alma a un agujero en el patín, el espesor cambia en la unión del patín con el alma. En el ejemplo 3-5 se calcula el área neta de una canal con agujeros escalonados en sus patines y alma. La canal se supone aplanada, formando una sola placa como se muestra en las figuras 3-8(b) y 3-8(c). El área neta a lo largo de la trayectoria ABCDEF se calcula restando al área de la canal, el área de los agujeros a lo largo de la trayectoria en los patines y alma, más los valores s²/4g para cada segmento diagonal y multiplicando el resultado por el espesor correspondiente. Para el segmento CD, s²/4g se ha multiplicado por el espesor del alma. Para los segmentos BC y DE (que van de agujeros en el alma a agujeros en el patín), los valores s²/4g se han multiplicado por el promedio de los espesores del patín y del alma. ABCDE 4.71 (3)(1 1/8) (0.220)+(2) Figura 3-8 129 EJEMPLO 5 Determine el área neta a lo largo de la trayectoria ABCDEF para la C15 x 33.9 (Ag = 9.96 plg²) mostrada en la figura 3-8. Los agujeros son para tornillos de 3/4 plg. Solución Área neta A aproximada a lo largo de ABCDEF 3 7 9.96 (2) (0.400) (0.400) 8 (4)(9) 3 0.650 0.400 2 (4)(4.60) 2 8.736p lg 2 ÁREAS NETAS EFECTIVAS Si un miembro que no sea una barra o una placa plana se somete a tensión axial hasta que ocurre la falla en su sección neta, el esfuerzo real de falla a tensión probablemente será menor que el obtenido en una probeta, a menos que las diversas partes que conforman la sección estén conectadas de manera que el esfuerzo cortantes (efecto denominado retraso del cortante) en la vecindad de la conexión. En una situación así el flujo del esfuerzo de tensión entre la sección transversal del miembro principal, y la del miembro más pequeño conectado a él, no es 100% efectiva. Consecuentemente, la especificación ASD – B3 estipula que el área neta efectiva, Ae, de dicho miembro se determine multiplicando su área neta (si está atornillado o remachado) o su área total (si está soldado) por un factor de reducción U; este factor toma en cuenta de manera sencilla la distribución no uniforme del esfuerzo. A continuación se explica la manera de determinar los factores U. El ángulo mostrado en la figura 3-9 (a) está conectado en sus extremos sólo en uno de sus lados; se puede ver que su área efectiva para resistir tensión, puede incrementarse considerablemente reduciendo el ancho del lado no conectado y aumentando la del lado conectado, como se muestra en la figura 3-9(b). 2 2 130 Figura 3-9 Algunos investigadores han determinado que una medida de la efectividad de un miembro, como un ángulo conectado por sólo uno de sus lados, es la distancia x entre el plano de la conexión y el centroide del área de la sección total. Entre menor sea el valor de x , mayor será el área efectiva del miembro. Los valores de U dados en la especificación ASD – B3 se calcularon a partir de la expresión empírica 1 - x /L, en donde L es la longitud de la conexión. La especificación, de hecho reduce la longitud L de una conexión con retraso del cortante a una longitud efectiva más corta, L’. El valor de U es entonces igual a L’/L o bien 1 - x /L. En la figura 3-10 se muestran varios valores de x . Los valores U dados en la especificación, son los límites inferiores de los resultados obtenidos cuando se calcula la expresión 1 x /L para diferentes situaciones del retraso del cortante. Si se usa esta expresión para determinar U, se obtendrá a menudo un valor más conservador que el dado en la especificación. Si esto sucede, se permite que el proyectista use el valor calculado o bien el valor dado por la especificación. Si se desea calcular U para una sección W, conectada sólo en sus patines, supondremos primero que la sección está formada por dos perfiles T estructurales. Entonces el valor de x usado en la expresión 1 - x /L será la distancia del borde exterior del patín al centroide de la T estructural como se muestra en la figura 3-10 (d). A continuación se dan algunos requisitos de las especificaciones ASD, para miembros a tensión cuyas partes no están todas conectadas. Caso general Si la fuerza se transmite directamente a cada uno de los elementos de la sección transversal de un miembro por medio de conectores, el área neta específica, Ae, es igual a su área neta An. 131 Miembros atornillados o remachados Si la carga se transmite por medio de tornillos o remaches a través de algunos, pero no de todos los elementos del miembro, el valor de Ae debe determinarse con la siguiente expresión: Ae = UAn Figura 3-10 Se deben usar los siguientes valores de U (pág. 5-34 del manual ASD), a menos que valores mayores puedan justificarse con base en pruebas o teorías aceptadas. Los valores mostrados indican que cuando el número de conectores en una hilera se incrementa, el rezago del cortante disminuye. a. Los perfiles W, M o S son anchos de patín no menores que dos tercios de sus peraltes y tes estructurales cortadas de esos perfiles, siempre que la conexión sea por patines. Las conexiones atornilladas o remachadas deben tener no menos de tres conectores por hilera en la dirección de la fuerza. U = 0.90 b. Los perfiles W, M o S que no cumplan las condiciones del párrafo a, tes estructurales cortadas de esos y otros perfiles, incluyendo secciones armadas. Las conexiones atornilladas o remachadas 132 deberán tener no menos dirección de la fuerza. de tres conectores por hilera en la U = 0.85 c. Todos los miembros con conexiones atornilladas o remachadas con sólo dos conectores por hilera en la dirección de la fuerza. MIEMBROS SOLDADOS 1. Si la carga se transmite por medio de soldaduras a través de algunos, pero no de todos los elementos de un miembro a tensión, el área neta efectiva debe determinarse multiplicando el coeficiente de reducción U por el área total del miembro. Ac = UAg (Ec. ASD B3 – 2) Los valores de U que se usarán son los mismos que para los miembros atornillados o remachados, excepto que la especificación relativa a miembros con sólo dos conectores aquí no tiene significado. Se tienen además algunos requisitos especiales para los casos en que las cargas se transmitan por medio de cordones transversales o longitudinales. Estos casos se describen en los párrafos 2, 3 y 4. Si una carga de tensión se transmite por medio de soldaduras transversales a algunos, pero no a todos los elementos con perfiles W, M o S, o bien a tes estructurales cortadas de esos perfiles, el área neta efectiva Ae, será igual al área de las partes directamente conectadas. Las pruebas han demostrado que cuando se usan placas planas o barras conectadas por cordones longitudinales de soldadura (término que se describirá en el capítulo 13) como miembros a tensión, éstas pueden fallar prematuramente por rezago del cortante en las esquinas, si los cordones están muy separados entre si. Por ello las especificaciones ASD estipulan que cuando se presenten tales situaciones, la longitud de los cordones no debe ser menor que el ancho de las placas o barras y el área neta efectiva será igual a UAg. En estos casos se usarán los siguientes valores de U (pág. 5 – 34 del manual ASD). Cuando L > 2 w, Cuando 2w > L > 1.5 w Cuando 1.5 w > L > w U = 1.0 U = 0.87 U = 0.75 2. 3. En donde L = longitud de la soldadura en pulgadas. w = ancho de la placa (distancia entre cordones) también en pulgadas. 133 4. Cuando se usan cordones longitudinales a lo largo de algunos de los elementos de los perfiles de acero (que no sean placas), U se debe considerar tal como se hace en los miembros remachados o atornillados. El ejemplo 6 ilustra los cálculos necesarios para determinar el área neta efectiva de una sección W, atornillada sólo en sus patines; se calcula también la resistencia permisible de diseño del miembro. EJEMPLO 6 Determine la carga permisible de tensión de una W10 x 45 con dos hileras de tornillos de ¾ plg en cada patín, usando acero A36 y las especificaciones ASD. Se supondrá que hay por lo menos tres tornillos en cada hilera, y que éstos no están escalonados. Solución Propiedades de la W10 x 45 (Ag = 13.3 plg², d = 10.10 plg, bf = 8.020 plg). (a) T = 0.60 FyAg = (0.60) (36) (13.3) = 287.3 klb (b) An = 13.3 – (4) (7/8) (0.620) = 11.13 plg² U = 0.90 ya que bf > 2/3 d Ae = UAn = (0.90) (11.13) = 10.02 plg.² T = 0.50 Fu Ae = (0.50) (58) (10.02) = 290.6 klb. Tpermisible = 2877.3 klb (1278 kN) 134 ELEMENTOS DE CONEXIÓN PARA MIEMBROS A TENSIÓN Cuando se usan placas de empalme o nudo como elementos de conexión, cargados estáticamente a tensión, el An usada para calcular la carga permisible de tensión en el elemento de conexión no debe exceder del 85% del Ag. Pruebas realizadas durante varias décadas, han demostrado que los elementos de conexión a tensión remachados o atornillados pocas veces tienen una eficiencia mayor del 85%, aun cuando los agujeros representen un porcentaje muy pequeño del área total de los elementos. En el ejemplo 7 se calcula la resistencia de un par de placas conectoras a tensión. Ejemplo 7 El miembro a tensión de acero A36 del ejemplo 6 se supone conectado en sus extremos con dos placas de 3/8 x 12 plg., como se muestra en la figura 3-11. Si en cada placa se tienen dos hileras de tornillos de ¾ plg., determinar la fuerza máxima permisible de tensión que las placas pueden transmitir. Solución T = 0.60 FyAg = (0.60)(36) (2 x 3/8 x 12) = 194.4 klb An de 2 placas = (3/8 x 12 – 7/8 x 2 x 3/8) 2 = 7.69 plg.² 0.85 Ag = (0.85) (2 x 3/8 x 12) = 7.65 plg² = Na T = 0.50 Fu Am = (0.50) (58) (7.65) = 221.8 klb T = 194.4 klb. 135 DISEÑO DE MIEMBROS A TENSIÓN SELECCIÓN DE PERFILES Aunque el proyectista tiene plena libertad en la selección, los miembros escogidos deben tener las siguientes propiedades: (a) deberán ser compactos, (b) tener dimensiones que se ajusten en la estructura con una relación razonable a las dimensiones de los otros miembros y (c) tener conexiones con tantas partes de las secciones como sea posible para minimizar el rezago del cortante. A veces la elección del tipo de miembro se ve afectada por el tipo de conexiones usadas para la estructura. Algunas secciones de acero no son muy adecuadas para atornillarse a las placas usadas como nudo, en tanto que las mismas secciones pueden conectarse por medio de soldadura con poca dificultad. Los miembros a tensión formados por ángulos, canales o secciones W o S probablemente se usarán cuando las conexiones sean atornilladas. Los mismos perfiles pueden usarse cuando las conexiones sean soldadas, pero placas, tes estructurales y otros perfiles son también comúnmente usados. En los ejemplos que siguen se seleccionan varios tipos de secciones para miembros tensión y en los casos en que se usan tornillos como conectores, se toman en cuenta los agujeros. Si las conexiones son totalmente soldadas no tendrá que añadirse área de agujeros a las superficies netas para tener el área total requerida. El estudiante debe saber que con frecuencia los miembros soldados pueden tener agujeros para tornillos de montaje necesarios mientras se colocan las soldaduras de campo permanentes. Es necesario considerar esos agujeros en el diseño de miembros a tensión. También debe recordarse que en la expresión para la resistencia permisible a tensión (T= 0.50 Fu Ae) el valor de Ae puede ser menor que Ag, dependiendo del arreglo de las soldaduras y de si todas las partes de los miembros están conectadas. La relación de esbeltez de un miembro es el cociente de su longitud no soportada (L) y su radio de giro mínimo (r). Las especificaciones de acero presentan generalmente valores máximos de esta relación para miembros a tensión y compresión. El propósito de dicha limitación para los miembros a tensión es garantizar que posean suficiente rigidez para prevenir deflexiones laterales o vibraciones excesivas. Aunque los miembros a tensión no están expuestos al pandeo bajo cargas normales, pueden ocurrir inversiones de esfuerzo en éstos durante el transporte y el 136 montaje y también debido a cargas de viento y de otra naturaleza. Las especificaciones recomiendan que las relaciones de esbeltez se mantengan por abajo de ciertos valores máximos para que se tenga algo de resistencia a la compresión en los miembros. Para miembros a tensión, exceptuando las varillas, las especificaciones ASD-B7 recomiendan una relación de esbeltez máxima de 300. Esta misma especificación establece que miembros que han sido diseñados para soportar cargas de tensión pero que experimentan alguna carga de compresión, no tienen que satisfacer la relación de esbeltez máxima efectiva preferible de 200 dada por el ASD para miembros a compresión. Debe observarse que la falta de rectitud no afecta mucho la resistencia de los miembros a tensión porque las cargas de tensión tienden a enderezar a los miembros.Por esta razón las especificaciones ASD son algo más liberales en su consideración de los miembros a tensión, incluidos aquellos sometidos a fuerzas de compresión generadas por las cargas transitorias de viento o sismo. La relación de esbeltez máxima recomendada de 300 no es aplicable a varillas. El valor máximo L/r en este caso queda a juicio del proyectista. Si se especificase un valor máximo de 300, este valor rara vez se usaría debido a los radios de giro extremadamente pequeños asociados con él. Las especificaciones AASHTO de 1989 exigen una relación de esbeltez máxima de 120 para los miembros principales a compresión y de 200 para miembros principales a tensión. El ejemplo 4-1 ilustra el diseño de un miembro atornillado a tensión con sección W; el ejemplo 4-2 ilustra la selección de un miembro atornillado a tensión formado por un solo ángulo. En ambos casos se usan las especificaciones ASO. La resistencia permisible de diseño T es el menor de los valores, (a) 0.60 FyAg y (b) 0.50 Fu Ae. Para satisfacer la primera de estas expresiones, el área total mínima debe ser por lo menos T A g min (1) 0.60Fy Para satisfacer la segunda expresión el valor mínimo de Ae debe ser por lo menos: A e min = T 0.50Fu 137 Como Ae = UAn, el valor mínimo de An es A n mín = Ae min U T 0.50Fu U El valor de Ag mínimo para la segunda expresión debe entonces ser por lo menos igual al valor mínimo de An más las áreas estimadas de agujeros. A n mín T áreas estimadas de los agujeros 0.50Fu U El proyectista puede sustituir valores en las ecuaciones (1) y (2), tomando el mayor valor de Ag así obtenido como una estimación inicial. Sin embargo, conviene notar que la relación L/r de esbeltez máxima preferible es de 300. Con este valor es fácil calcular el valor mínimo preferible de r para un diseño particular, o sea, el valor de r para el cual la relación de esbeltez L/r será exactamente igual a 300. No conviene considerar una sección cuyo radio de giro mínimo r sea menor que este valor porque entonces L/r excederá el valor mínimo preferible de 300. r min = L 300 En el ejemplo 4-1 se selecciona una sección W para un conjunto dado de cargas de tensión. Para esta primera aplicación de las fórmulas de diseño por tensión, el autor ha limitado el problema a la selección de una sección W de peralte nominal específico para que el lector pueda concentrarse en la aplicación de las fórmulas. Puede usarse exactamente el mismo procedimiento para otro tamaño nominal del peralte que el usado aquí para una W12. Ejemplo 1 Seleccione una sección W12 de acero A36 de 30 pies de largo para soportar una carga total de tensión de 220 klb. Como se muestra en la figura 4-1, el miembro debe tener dos hileras de tornillos de 7/8 plg (por lo menos tres en cada hilera) en cada patín. Solución Calculamos el Ag mínimo requerido. 138 A g min A g min T 0.60Fy 220 10.19p lg 2 (0.60)(36) T áreas estimadas de agujeros 0.50Fu U Suponemos U = 0.90 y que el espesor del patín es aproximadamente 0.515 plg. después de consultar las secciones W12 en el manual ASD, que tienen áreas de cerca de 10.19 plg². Ag min 220 7 1 (4)( )(0.515) 10.49p lg 2 (0.50)(58)(0.90) 8 8 r min preferible = L (12)(30) 1.2p lg. 300 300 ensayamos una W12 x 40 (Ag 11.8p lg 2 , d 11.94p lg bf 8.005p lg. t f 0.515p lg. ry 1.93p lg.) Revisión : T = 0.60 FyAg = (0.60) (36) (11.8) = 254.9 klb > 220 klb OK T = 0.50 FuUAn con U = 0.90 ya que bf 2 , d 3 y An = 11.8 – (4) (1.00) (0.515) = 9.74 plg². T = (0.50) (58)(0.90) (9.74) = 254.2 klb > 220 klb OK L r (12)(30) 187 300 1.93 139 Figura 4-1 Una revisión adicional muestra que una W12 x 35 no es satisfactoria. Usaremos una W12 x 40 En el ejemplo 4-2 se presenta un caso más amplio: se selecciona el ángulo satisfactorio más ligero en el manual ASD para un conjunto de cargas de tensión dadas. EJEMPLO 2 Diseñe un miembro a tensión formado por un solo ángulo de 9 pies de largo, para soportar una carga total de 70 klb. El ángulo va a conectarse por sólo uno de sus lados con tornillos de 7/8 de plg. (por lo menos tres en una línea). Suponga que se tendrá sólo un tornillo en cualquier sección transversal del ángulo. Use acero A36 y las especificaciones ASD. Solución Existen muchos ángulos diferentes en el manual ASD satisfactorios para las condiciones de carga descrita. Por ello puede parecer algo difícil encontrar la sección más ligera posible. Sin embargo, se puede elaborar una tabla en la que se consideren metódicamente las diversas secciones posibles para diferentes espesores de ángulos. En esta tabla se han considerado varios espesores de ángulos que den suficiente área; luego se encontró el ángulo más ligero de cada espesor. Finalmente por inspección de la tabla se obtuvo el ángulo más ligero o aquel con la menor sección transversal. Un proceso similar podría usarse para diseñar miembros a tensión con otras secciones de acero. Los valores límites se calculan como sigue: A g min requerida = T 0.60Fy 70 (0.60)(36) 3.24p lg 2 De la sección B3 del manual, U = 0.85 A n min requerida = T 0.50Fu U 70 (0.50)(58)(0.85) 2.84p lg 2 140 r min = L 300 (12)(9) 300 0.36p lg. Usaremos un L4 x 4 x 7/16 o bien un L5 x 3 x 7/16 141 MIEMBROS ARMADOS A TENSIÓN La sección D2 de las especificaciones ASD establece un conjunto de reglas que describen cómo deben conectarse entre sí las diferentes partes de los miembros armados sometidos a tensión. 1. Cuando un miembro a tensión se fabrica con elementos en contacto continuo entre ellos, por ejemplo, una placa con un perfil o dos placas, la separación longitudinal de los conectores de esos elementos no debe exceder de 24 veces el espesor de la placa más delgada, o de 12 pulgadas si el miembro va a ser pintado o si no va a ser pintado y no va a estar expuesto a condiciones corrosivas. Si el miembro consiste de elementos sin pintar de acero resistente a la corrosión atmosférica en contacto continuo, las separaciones máximas permisibles entre conectores son 14 veces el espesor de la placa más delgada o 7 pulgadas. La separación longitudinal entre conectores o cordones intermitentes de soldadura que conecten dos o más perfiles de acero, no debe ser mayor de 24 pulgadas. Si un miembro a tensión está formado por dos o más perfiles separados por piezas de relleno intermitentes, los perfiles deben conectarse entre sí a intervalos tales que las relaciones de esbeltez de los perfiles individuales entre conectores no exceda de 300. 2. 3. 4. El ejemplo 4-3 ilustra la revisión de un miembro a tensión formado por dos canales separadas. En el ejemplo se incluye el diseño de las placas de unión que mantienen juntas a las canales como se muestra en la figura 42(b). La sección D2 de las especificaciones ASD establece que deberán usarse placas de unión (o cubreplacas perforadas) en los lados abiertos de miembros a tensión armados. En esta especificación se dan reglas empíricas para el diseño de esas placas; las reglas se fundamentan en muchas décadas de experiencias con miembros a tensión armados. En la figura 4-2 se indica la posición de los tornillos, o sea, g = 1 ¾ plg medido desde la espalda de las canales. El manual ASD proporciona solamente los gramiles de ángulos. Para otros perfiles laminados de acero es necesario recurrir al catálogo del fabricante o a los manuales anteriores del AISC. Los gramiles necesarios para resolver los problemas en este texto los proporciona el autor. (Aunque la industria acerera usa valores estándar de esos gramiles para los diversos perfiles laminados, ellos no se especifican en el manual ASD para dar a los fabricantes de estructuras de acero más libertad en la ubicación de los agujeros.) En la figura 4-2 la distancia entre las hileras de los 142 tornillos que conectan las placas de unión a las canales es de 8.50 plg. La especificación ASD-D2 estipula que la longitud de las placas de unión (las longitudes en este texto siempre se miden paralelamente a la dirección larga de los miembros) no debe ser menor que la distancia entre las hileras; conectores; además, el espesor de éstas no debe ser menor que l/50 de esta distancia. El ancho mínimo permisible para las placas de unión (no mencionado en las especificaciones ASD) es el ancho entre las hileras de conectores, más la distancia al borde, en cada lado, necesaria para impedir que los tornillos agrieten la placa. Para este ejemplo, en esta distancia mínima al borde es de 11/2 plg, valor tomado de la tabla 13.5 de las especificaciones ASD. Las dimensiones de las placas están redondeadas para que coincidan con los tamaños de laminación, indicados en la sección sobre Barras y Placas (Bars and Plates) de la parte 1 del manual ASO. Resulta más económicos seleccionar espesores y anchos estándar que otros que requieran operaciones de corte. Figura 4-2 143 La especificación ASD-02 fija la separación máxima entre placas de unión, estipulando que la relación L/r de cada componente individual de un miembro armado, cal da entre tales placas no debe exceder de 300. Si el proyectista sustituye en esta expresión (L/r = 300) el menor radio de giro r de una componente individual de un miembro armado, entonces se puede despejar el valor de L. Este será el espaciamiento máximo entre las placas permitidos por las especificaciones ASD. Ejemplo 3 Se han seleccionado dos C12 x 30 (Véase figura 4-2) para soportar una carga total de tensión de 360 klb. El miembro de acero A36 tiene 30 pies de longitud y tiene en cada patín una hilera de tornillos de 7/8 (por lo menos 3 en cada hilera). Usando las especificaciones ASD, determine si el miembro es satisfactorio y diseñe las placas de unión necesarias. Suponga que los centros de agujeros están situados a 1 ¾ plg. de la espalda de las canales. Solución Propiedades de las C12 x 30 (Ag = 8.82 plg² cada una, con tf = 0.501 plg., Ix = 162 plg4 cada una Iy = 5.14 plg4 cada una, eje y a 0.671 plg desde la espalda de una C, ry = 0.763 plg.). Carga permisible de tensión: T = 0.60 FyAg = (0.60) (36) (2 x 8.82) = 381.0 klb > 360 klb An = [8.82 – (2) (1.0) (0.501)] 2 = 15.64 plg2 T = 0.50 Fu AnU = (0.50) (58) (15.64) (0.85) = 385.5 klb > 360 klb OK OK Relación de esbeltez Ix Iy rx L r (2)(162) 324p lg 4 (2)(5.14) (2)(8.82)(5.33) 2 324 (2)(8.82) 12x30 4.29 4.29p lg. 83.9 300 511p lg 4 144 Diseño de las placas de unión (Especificación ASD D2) Distancia entre líneas de tornillos = 12.0 – (2) (1 ¾) = 8.50 plg Longitud mínima de las placas de unión = (2/3) (8.50) = 5.67 plg (digamos 6 plg). Espesor mínimo de las placas de unión = (1/50) (8.50) = 0.17 plg (digamos 3/16 plg). Ancho mínimo de las placas de unión = 8.50 + (2) (1 ½ ) = plg). Tabla de las especificaciones ASD Espaciamiento máximo preferible de las placas de unión. r mínimo de una C = 0.763 plg. plg (digamos 12 L máxima preferible = 300 r (12)(L) 300 0.763 L 19.08pie Usaremos placas de unión de 3/16 x 6 x 1 pie 0 plg a cada 15 pie 0 plg entre centros. MIEMBROS A COMPRESIÓN CARGADOS AXIALMENTE CONSIDERACIONES GENERALES Existen varios tipos de miembros que trabajan a compresión, de los cuales la columna es el más conocido. Entre los otros tipos se encuentran las cuerdas superiores de armaduras, miembros de arriostramiento, los patines a compresión de vigas laminadas y armadas y los miembros sujetos simultáneamente a flexión y a compresión. Las columnas son miembros verticales rectos cuyas longitudes son considerablemente mayores que su ancho. Los miembros verticales cortos sujetos a cargas de compresión se denominan con frecuencia puntales o, simplemente, miembros a compresión. 145 Las pruebas demuestran que todas, excepto las columnas muy cortas, fallan bajo esfuerzos P/A que se encuentran muy por debajo del límite elástico del material de las columnas, debido a su tendencia a pandearse o flexionarse lateralmente. Por esta razón sus esfuerzos de diseño se reducen en relación con el peligro del pandeo. Entre más larga sea una columna para una misma sección transversal, mayor es su tendencia a pandearse y menor será la carga que pueda soportar. La tendencia de un miembro a pandearse se mide por lo general con la relación de esbeltez que se ha definido previamente como la relación entre la longitud del miembro y su radio de giro mínimo. Entre mayor es la relación de esbeltez menor es la capacidad de carga de la columna. Columnas muy esbeltas resultan inestables bajo esfuerzos muy pequeños. La tendencia al pandeo depende también de los siguientes factores: tipo de conexión en los extremos, excentricidad de la carga, imperfecciones en el material de la columna, torceduras iniciales en la columna, esfuerzos residuales de fabricación, etc. Las cargas que soporta una columna de un edificio recaen en la sección transversal superior de la columna y a través de sus conexiones con otros miembros. La situación ideal se tiene cuando las cargas se aplican uniformemente sobre la columna con el centro de gravedad de las cargas, coincidiendo con el eje de gravedad de la columna. Además, es deseable que la columna no tenga defectos, que consista de un material homogéneo y que sea perfectamente recta; todas estas condiciones obviamente son imposibles de satisfacerse. Las cargas que se encuentran exactamente centradas sobre una columna se denominan axiales o cargas con céntricas. Las cargas muertas pueden, o no, ser axiales en una columna interior de un edificio, pero las cargas vivas nunca lo son. Para una columna exterior la posición de las cargas es probablemente aún más excéntrica, ya que el centro de gravedad caerá por lo general hacia la parte interior de la columna. Las otras condiciones deseables también son imposibles de lograr debido a imperfecciones de las dimensiones de las secciones transversales, esfuerzos residuales, agujeros taladrados para recibir tornillos o remaches, esfuerzos de montaje y cargas transversales. Es muy difícil tomar en cuenta todas estas imperfecciones en una fórmula. ESFUERZOS RESIDUALES Esos esfuerzos son de gran importancia en columnas con relaciones de esbeltez de 40 a 120 intervalo que incluye un gran porcentaje de las columnas usadas en la práctica. Una causa muy importante de los esfuerzos residuales es el enfriamiento desigual que sufren los perfiles después de haber sido laminados en caliente. Por ejemplo, en un perfil W 146 los puntos exteriores de los patines y la parte media del alma se enfrían rápidamente, en tanto que las zonas de intersección del alma con los patines lo hacen más lentamente. Las partes de la sección que se enfrían con más rapidez al solidificarse resisten ulteriores acortamientos, en tanto que aquellas partes que están aún calientes tienden a acortarse aún más al enfriarse. El resultado neto es que las áreas que se enfriaron más rápidamente quedan con esfuerzos residuales de compresión, en tanto que las áreas de enfriamiento más lento quedan con esfuerzos residuales de tensión. La magnitud de esos esfuerzos varía entre 10 y 15 klb/plg² (69 a 103 MPa) aunque se han encontrado valores mayores de 20 klb/plg² (138 MPa). Cuando se prueban secciones de columnas de acero laminadas con sus esfuerzos residuales, sus límites proporcionales se alcanzan para valores P/A de poco más que la mitad de sus esfuerzos de fluencia y la relación esfuerzo-deformación resulta no lineal desde ese valor hasta el esfuerzo de fluencia. Debido a la fluencia prematura en algunos puntos de las secciones transversales de la columna, se reduce apreciablemente la resistencia al pandeo. La reducción es máxima en columnas cuyas relaciones de esbeltez varían aproximadamente entre 70 y 90 y puede ser tan elevada como un 25%. Al incrementarse la carga en una columna, partes de ésta alcanzarán rápidamente el esfuerzo de fluencia y entrarán al intervalo plástico debido a los esfuerzos residuales de compresión. La rigidez de la columna se reduce y es función de la parte de la sección transversal que aún se comporta elásticamente. Una columna con esfuerzos residuales se comporta como si tuviese una sección transversal más pequeña. Esta sección reducida o parte elástica de la columna cambiará al hacerlo los esfuerzos aplicados. Los cálculos relativos al pandeo de una columna particular con esfuerzos residuales pueden efectuarse usando un momento de inercia efectivo de la parte elástica de la sección transversal, o bien, usando el módulo tangente (o sea, la razón del esfuerzo a la deformación unitaria en un punto arriba del límite proporcional). Para las secciones comunes usadas como columnas, los dos métodos dan resultados casi iguales. Los esfuerzos residuales también pueden causarse durante el proceso de fabricación al combar la columna en frío o por enfriamiento posterior a la aplicación de la soldadura. El combeo es el flexionamiento de un miembro en una dirección, con el fin de mejorar su apariencia cuando las cargas de servicio la flexionen en la dirección opuesta. Por ejemplo, podemos flexionar una viga hacia arriba inicialmente, de manera que quede más o menos horizontal cuando se 147 apliquen las cargas. La soldadura puede producir severos esfuerzos residuales en las columnas, que pueden aproximarse al valor del esfuerzo de fluencia en las cercanías de las partes soldadas; las columnas también pueden flexionarse apreciablemente debido a la aplicación de la soldadura, lo que afecta su capacidad de soportar cargas. La figura 5-1 muestra el efecto de los esfuerzos residuales (debido al enfriamiento desigual durante la fabricación) en el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria de un perfil W laminado en caliente. Figura 5-1 Efecto de los esfuerzos residuales en el diagrama de esfuerzos - deformación de una columna. PERFILES USADOS PARA COLUMNAS En teoría puede seleccionarse un sinfín de perfiles para resistir con seguridad una carga de compresión en una estructura dada. Sin embargo, desde el punto de vista práctico, el número de soluciones posibles se ve limitado por el tipo de secciones disponibles, por problemas de conexión y el tipo de estructura en donde se va a usar la sección. Los párrafos que siguen intentan dar un breve resumen de las secciones que han resultado satisfactorias para ciertas condiciones. Esas secciones se muestran en la figura 5-2; las letras entre paréntesis en los párrafos que siguen se refieren a las partes de esta figura. Las secciones usadas para miembros a compresión por lo común son similares a las usadas para miembros a tensión con ciertas excepciones. Las excepciones las causan el hecho de que las resistencias de los miembros a compresión varían en cierta relación inversa con las relaciones de esbeltez y se requieren entonces miembros rígidos. Las barras, placas y varillas individuales son generalmente demasiado esbeltas para funcionar en forma satisfactoria como miembros a compresión, a menos que sean muy cortas y reciban carga pequeña. 148 Los miembros formados por ángulos sencillos (a) son satisfactorios como arriostramientas y miembros a compresión de armaduras ligeras. Los ángulos de lados iguales pueden ser más económicos que los de lados desiguales porque sus radios de giro mínimo son mayores para la misma área de acero. Las cuerdas superiores de armaduras atornilladas para techos pueden consistir en un par de ángulos espalda con espalda (b). Generalmente se deja un espacio entre éstos para insertar una placa de unión en los nudos, necesaria para efectuar la conexión a otros miembros; en algunos casos conviene usar ángulos de lados desiguales con los lados largos espalda con espalda para lograr una mejor distribución de los radios de giro r respecto a los ejes x y y. Si se sueldan las armaduras, las placas de nudo pueden ser innecesarias; entonces pueden usarse tes estructurales (c) para la cuerda superior y soldar directamente al alma de las tes los miembros de la celosía. Las canales sencillas (d) no son satisfactorias como miembros a compresión debido a su radio de giro pequeño, respecto a los ejes centroidales paralelos al alma. Estas pueden usa, se si se encuentra la manera de proporcionar soporte lateral en la dirección débil. Los perfiles W (e) son los más comunes para columnas de edificios y para los miembros a compresión de puentes carreteros. Aunque sus valores están lejos de ser iguales respecto a los dos ejes, están mejor balanceados que en las canales. 149 Varios puentes famosos construidos durante el siglo XIX (como el Firth of Forth en Escocia y el Ead en St. Louis, Missouri) utilizaron ampliamente los perfiles tubulares. Sin embargo, el uso de éstos declinó debido a los problemas en sus conexiones y a los costos de fabricación, pero con el desarrollo de tubos soldados más económicos, su uso está incrementándose de nuevo (los perfiles tubulares actuales son mucho más pequeños que los usados en el pasado en aquellos puentes de acero). Para cargas pequeñas y medianas las secciones tubulares (f) son muy satisfactorias. Se usan a menudo como columnas en largas series de ventanas, como columnas cortas en almacenes, como columnas para los techos de andadores cubiertos, en los sótanos y garajes de residencias, etc. Las columnas a base de tubos tienen la ventaja de ser igualmente rígidas en todas direcciones y por lo general son muy económicas, a menos que los momentos sean grandes. El manual ASD proporciona los tamaños de esas secciones y las clasifica como estándar, extrafuertes y doble extrafuertes. Las secciones tubulares cuadradas y rectangulares, (g) y (h), no se han usado mucho como columnas hasta hace poco. Durante muchos años sólo unas cuantas laminadoras en los Estados Unidos fabricaron tubería de acero con fines estructurales. Tal vez la principal causa del poco uso de las secciones tubulares era la dificultad de efectuar las conexiones con tornillos o remaches. Este problema se ha eliminado con el surgimiento de las técnicas modernas de soldar. El uso de perfiles tubulares con propósitos estructurales, por arquitectos e ingenieros, probablemente se verá incrementado en los próximos años por las siguientes razones: 1. El miembro a compresión más eficiente es aquel que tiene un radio de giro constante respecto a su centroide, propiedad que poseen los tubos circulares. Los perfiles tubulares cuadrados son los siguientes miembros a compresión en orden de eficiencia. Sus superficies tersas permiten pintarlos fácilmente. Tienen excelente resistencia a la torsión. Las superficies de los perfiles tubulares son muy atractivas. Cuando están expuestas, la resistencia al viento de los tubos circulares es aproximadamente de sólo dos tercios de la de las superficies planas del mismo ancho. 2. 3. 4. 5. Una pequeña desventaja que se presenta en ciertos casos es que los extremos de los tubos deben sellarse para proteger sus superficies interiores inaccesibles contra la corrosión. Aunque resultan muy atractivos 150 para usarse expuestos como vigas, los perfiles tubulares están en desventaja con las secciones W, que poseen momentos resistentes mucho mayores para el mismo peso. Cuando se diseñan miembros a compresión para estructuras muy grandes puede ser necesario usar secciones armadas. Estas secciones se requieren cuando los miembros son muy largos y soportan cargas muy grandes, o bien, cuando representan ventajas desde el punto de vista de las conexiones. En términos generales, un perfil sencillo tal como una sección W, es más económico que una sección armada que tenga la misma área en su sección transversal. Cuando las cargas son muy grandes, pueden usarse aceros de alta resistencia con mayor economía, siempre que este incremento de la resistencia permita el uso de secciones W en vez de secciones armadas. Cuando se usan secciones armadas, éstas deben conectarse en sus lados abiertos con algún tipo de celosía que mantenga sus partes unidas y les permita trabajar conjuntamente. Los extremos de los miembros se conectan con placas de unión. En la figura 6-6 se muestran varios tipos de celosía para miembros armados a compresión. Las líneas punteadas en la figura 5-2 representan celosías o partes discontinuas y las líneas sólidas representan partes que son continuas en toda la longitud de los miembros. A veces se disponen cuatro ángulos como se muestra en (i) para producir valores grandes de r. Este tipo de miembro se ve con frecuencia en torres y en pescantes de grúas. Un par de canales (j) se usan a veces como columnas en edificios o como miembros de la celosía en armaduras de gran tamaño. Nótese que existe un cierto espaciamiento para cada par de canales en el cual sus valores r respecto a los ejes x y y son iguales. En ocasiones las canales se disponen espalda con espalda como se muestra en (k). Una sección muy adecuada para la cuerda superior de las armaduras de puente está formada por un par de canales con una cubreplaca en la parte superior (1) y celosía en la parte inferior. Las placas de los nudos se conectan fácilmente al interior de las canales y pueden usarse también como empalmes. Cuando las canales disponibles más grandes no proporcionan suficiente resistencia puede usarse como cuerda superior una sección armada del tipo mostrado en (m). Cuando los perfiles laminados no tienen suficiente resistencia para soportar la carga de una columna de un edificio o de una armadura de puente, sus áreas pueden incrementarse con la adición de placas a los patines (n). En años recientes se ha encontrado que en estructuras soldadas, una columna armada del tipo mostrado en (o) es más satisfactoria que una W con cubreplacas soldadas (n). Parece ser que durante la flexión es difícil transferir eficientemente la fuerza de tensión de 151 la cubreplaca a la columna, sin que la placa se separe de la columna (como en el caso en donde una viga se conecta a{ pat(n ¿e una columna). Para cargas muy grandes en columnas, una sección en caja soldada del tipo mostrado en (p) ha resultado muy satisfactoria. Otras secciones armadas se muestran en (q), (r) y (s). Las secciones armadas mostradas de (n) a (q) tienen la ventaja sobre las mostradas de (i) a (m), de no requerir barras o placas de celosía. Las fuerzas cortantes laterales son insignificantes en las columnas a base de perfiles sencillos y en las secciones armadas sin celosía, pero de ninguna manera pueden ignorarse en las columnas armadas con celosía. Actualmente se ha incrementado el uso de las columnas compuestas. Estas consisten en tubos estructurales de acero rellenos con concreto o de perfiles W ahogados en concreto, generalmente con sección cuadrada o rectangular. DESARROLLO DE LAS FORMULAS PARA COLUMNAS El uso de columnas se remonta a la prehistoria, pero fue hasta 1729 que el matemático holandés Pieter van Musschenbrock publicó un artículo científico sobre columnas; este artículo contenía una fórmula empírica para estimar la resistencia de columnas rectangulares. Unos años más tarde en 1757, Leonhard Euler, un matemático suizo, escribió un artículo de gran valor relativo al pandeo de columnas; y probablemente él fue la primera persona en darse cuenta de la importancia del pandeo. La fórmula de Euler, la más famosa de todas las expresiones sobre columnas, que se deduce en la sección 5-5, representa el principio de la investigación teórica y experimental sobre columnas. Figura 5-3 Curva de resistencia de columna 152 La bibliografía técnica contiene muchas fórmulas desarrolladas para condiciones ideales de las columnas, pero estas condiciones no se encuentran en la realidad práctica. En consecuencia, el diseño práctico de columnas se basa principalmente en fórmulas que se han desarrollado para concordar con exactitud razonable con los resultados de las pruebas. La justificación de este procedimiento es el hecho de que la deducción independiente de expresiones para columnas no conduce a fórmulas que den resultados comparables con los valores experimentales para toda relación de esbeltez. Las pruebas de columnas con diferentes relaciones de esbeltez producen una serie de valores esparcidos como los representados por la banda ancha de puntos en la figura 5-3. Los puntos no quedarán en una curva suave aunque las pruebas se hagan en el mismo laboratorio, debido a la dificultad de centrar exactamente las cargas, a la falta de perfecta uniformidad de los materiales, a la variabilidad en las dimensiones, a los esfuerzos residuales, a los cambios de las restricciones en los extremos, etc. La práctica común consiste en desarrollar fórmulas que den resultados representados por un promedio aproximado de los resultados de las pruebas. El estudiante también debe darse cuenta de que las condiciones de laboratorio no son análogas a las de campo y que las pruebas de columnas probablemente dan los valores límite de su resistencia. Las magnitudes de los esfuerzos de fIuencia de las secciones probadas son muy importantes en las columnas cortas, ya que sus esfuerzos de falla tienen valores cercanos a los de fIuencia. Para columnas con relaciones de esbeltez intermedias los esfuerzos de fIuencia tienen menor importancia en sus efectos, en los esfuerzos de falla y no tienen ninguna importancia en las columnas largas. Para columnas intermedias los esfuerzos residuales tienen mayor influencia en los resultados, en tanto que los esfuerzos de falla de columnas largas son muy sensibles a las condiciones de apoyo en los extremos. Otro factor dominante en su efecto sobre la resistencia de las columnas, además de los esfuerzos residuales y de la no linealidad de los materiales es la falta de rectitud. Esta expresión es la fórmula de Euler, pero se escribe por lo regular en una forma ligeramente diferente implicando a la relación de esbeltez. Ya que r = I / A, r 2 I / A e I = r 2 A , la fórmula de Euler puede escribirse como P A E (L / r) 2 2 153 El lector notará que la carga de pandeo determinada por la fórmula de Euler es independiente de la resistencia del acero utilizado. Esta ecuación sólo resulta útil cuando las condiciones de apoyo de sus extremos se consideran cuidadosamente. Los resultados que se obtienen por la aplicación de la fórmula en ejemplos específicos, son bastantes comparables con los obtenidos con pruebas de columnas esbeltas, con extremos articulados y cargadas axialmente. Sin embargo, el ingeniero no encontrará columnas ideales de este tipo. Las columnas con las que trabajará no tienen extremos idealmente articulados y no pueden girar libremente porque sus extremos están atornillados, remachados o soldados a otros miembros. Dichas columnas prácticas tienen diversos grados de restricción a la rotación, que varían de limitaciones ligeras a condiciones de casi empotramiento perfecto. Para los casos reales que existen en la práctica, donde los extremos no tienen libertad de rotación, pueden usarse en la fórmula diferentes valores para la longitud, obteniendo resultados más reales. Para usar la ecuación de Euler con buen resultado en las columnas, el valor de L se tomará como la distancia entre puntos de inflexión de la elástica. Esta distancia se considera como longitud efectiva de la columna. Para una columna articulada en sus extremos (que puedan girar pero no trasladarse), los puntos de momento nulo se localizan en los extremos, separados por una distancia L. Para columnas con diferentes condiciones de apoyo, las longitudes efectivas serán totalmente distintas. El ejemplo 5-1 ilustra la aplicación de la ecuación de Euler a una columna de acero. Si el valor P/A obtenido excede al límite proporcional, la ecuación elástica de Euler no es aplicable. EJEMPLO 1 (a) Se usa una W10 x 22 como columna de 15 pies articulada en sus extremos. Con la fórmula de Euler determine la carga de compresión axial permisible que la columna puede soportar, usando un factor de seguridad de 2. Suponga que el acero tiene un límite proporcional de 36 klb/plg². Repita la parte (a) para una columna de 8 pies. (b) Solución (a) Columna de 15 pies. Propiedades de la W10 x 22: A = 6.49 plg², rx = 4.27 plg., ry = 1.33 plg. 154 r mínima = ry L r 1.33p lg (12)(15) 135.34 1.33 2 P crítica o de pandeo = A (29x103 ) 2 (135.34) 15.63klb / p lg 2 36klb / p lg 2 La columna está en el intervalo elástico P 15.63 permi si ble A 2 7.81klb / p lg 2 P permisible = (7.81) (6.49) = 50.7 klb (b) Columna de 8 pies W10 X 22 L r (12)(8) 1.33 72.18 P crítica o de pandeo = A 2 (29x103 ) 2 (72.18) 54.94klb / p lg 2 36klb / p lg 2 La columna está en el intervalo inelástico por lo que la ecuación de Euler no es aplicable El diseño de una columna de una cierta altura con una carga dada usando la fórmula de Euler (dividida por un factor de seguridad) es un problema de tanteos. No conocemos el esfuerzo permisible hasta tener una sección (con su valor r) y no podemos escoger una sección hasta tener un esfuerzo permisible. Para resolver el problema podemos suponer una sección, calcular la carga que puede soportar de acuerdo con la fórmula y luego, si está sobreesforzada o subesforzada, escoger otra sección y repetir el proceso. Este exactamente el procedimiento descrito en las siguientes secciones para otras fórmulas para columnas. COLUMNAS LARGAS, CORTAS E INTERMEDIAS Una columna sujeta a compresión axial se acortará en la dirección de la carga. Si la carga se incrementa hasta que la columna se pandea, el acortamiento cesará y la columna se flexionará lateralmente, pudiendo 155 al mismo tiempo torcerse en una dirección perpendicular a su eje longitudinal. La resistencia de una columna y la manera como falla dependen en gran medida de su longitud efectiva. Una columna de acero muy corta y fuerte puede cargarse hasta que el acero fluye y tal vez hasta la región de endurecimiento por deformación. En consecuencia, puede resistir aproximadamente la misma carga en compresión que en tensión. Al crecer la longitud efectiva de una columna, disminuye su esfuerzo de pandeo. Si la longitud efectiva excede un cierto valor, el esfuerzo de pandeo será menor que el límite proporcional del acero. Las columnas en este intervalo fallan elásticamente. Como se mostró en la sección 5.5 las columnas muy largas de acero fallan bajo cargas que son proporcionales a la rigidez por flexión (EI) de la columna e independientes de la resistencia del acero. Por ejemplo, una columna larga construida con un acero con 36 klb/plg² de esfuerzo de fluencia fallará aproximadamente bajo la misma carga que una construida con un acero con Fy = 100 klb/plg². Las columnas se clasifican a veces como largas, cortas e intermedias. En los párrafos siguientes se da una breve explicación de esta clasificación. Columnas largas La fórmula de Euler predice muy bien la resistencia de columnas largas en las que el esfuerzo axial de pandeo permanece por abajo del límite proporcional. Dichas columnas fallan elásticamente. Columnas cortas En columnas muy cortas el esfuerzo de falla será igual al esfuerzo de fluencia y no ocurrirá el pandeo. (Para que una columna quede en esta clasificación, debe ser tan corta que no tendrá ninguna aplicación. Siendo así no se hará aquí más referencia a ellas). Columnas intermedias En columnas intermedias, algunas fibras alcanzarán el esfuerzo de fluencia y otras no: éstas fallarán tanto por fluencia como por pandeo y su comportamiento se denomina inelástico. (Para que la fórmula de Euler sea aplicable a esas columnas deberá modificarse de acuerdo al 156 concepto de módulo reducido o al de módulo tangente para tomar en cuenta la presencia de esfuerzos residuales). La mayoría de las columnas cae en esta clasificación. FORMULAS ASD Y AASHTO Las expresiones ASD fueron desarrolladas para incorporar las últimas investigaciones disponibles relativas al comportamiento de las columnas de acero. Estas fórmulas toman en cuenta el efecto de los esfuerzos residuales, las condiciones reales de restricción en los extremos de las columnas así como las resistencias variables de los diferentes aceros. Tipos diferentes de restricciones de extremo conducen a longitudes efectivas y resistencias enteramente diferentes. Las fórmulas ASD conducen a diseños más lógicos y económicos que los proporcionados por las expresiones más antiguas. El diseño con muchas otras fórmulas de columnas dan miembros considerablemente sobrediseñados en el intervalo inferior de las L/r, pero las fórmulas ASD dan diseños bastante económicos para todos los intervalos de la relación de esbeltez. Las expresiones son algo complicadas para resolverlas matemáticamente, pero como se dispone de tablas en la parte 3 del manual ASD para columnas con Fy = 36 klb / plg² y Fy = 50 klb/plg², los diseños se pueden efectuar con poca dificultad. El ASD supone que debido a los esfuerzos residuales, el límite superior del pandeo elástico está definido por un esfuerzo promedio igual a la mitad del esfuerzo de fluencia (1/2 Fy). Si este esfuerzo se iguala con la expresión de Euler, el valor de la relación de esbeltez en este límite superior puede determinarse para un acero particular. Este valor se denomina Cc, que corresponde a la relación de esbeltez que separa el pandeo elástico del inelástico y se determina como sigue : 1 Fy 2 E (L / r) 2 2 2 2 2 E 2 c C Cc E* Fy Los valores de Cc se pueden calcular sin mayor dificultad pero el manual ASD da sus valores para cada acero (126.1 para el A36, 116.7 para los aceros con 42 000 lb/plg² de esfuerzo de fluencia, etc.). Esta es la ecuación propuesta por el Structurasl Stability Research Council, para la resistencia última de una columna cargada axialmente, la cual contiene un factor de seguridad. En esta sección Fa es el esfuerzo axial permisible (P/A) y K es el factor por el que hay que multiplicar la 157 longitud no soportada lateralmente de la columna para obtener su longitud efectiva. Fa (KL / r) 2 Fy 2 2Cc 5 3(KL / r) (KL / r)3 3 8Cc 8Cc3 1 (Ec. ASD E2-1) Para los valores de KL/r mayores que Cc se usa la fórmula de Euler. Con un factor de seguridad de 1.92 (o 23/13) la expresión que resulta es : Fa 12 2 E 23(KL / r) 2 (Ec. ASD E2-2) La figura 5-5 muestra los intervalos en que se usan las dos expresiones ASD. Figura 5-5 Curva ASD para esfuerzos permisibles en columnas. El denominador de la ecuación E2-1 es el factor de seguridad y da usualmente un valor no mucho mayor que el usado para miembros a tensión cargados axialmente. Las pruebas han mostrado que las columnas cortas no son afectadas grandemente por pequeñas excentricidades, lo que permite el uso de factores de seguridad pequeños. Las columnas más esbeltas, son más sensibles a las pequeñas imperfecciones y el factor de seguridad se incrementa hasta un 15%. Debe mencionarse que las columnas de longitud intermedia son aquellas en que los esfuerzos residuales y la falta de rectitud 158 inicial tienen mayor influencia. La expresión para el factor de seguridad (F.S.) representa un cuarto de onda senoidal que toma el valor 5/3 cuando KL/r es igual a cero y crece hasta 23/12 cuando KL/r es igual a Cc. Las especificaciones AASHTO 1989 tienen los mismos dos tipos de fórmulas para columnas que las especificaciones ASD. Las dos categorías son para aquellas columnas con relaciones de esbeltez bajas y que fallan por pandeo inelástico, y para aquellas columnas con relaciones de esbeltez altas que fallan por pandeo elástico. Para el intervalo inelástico la AASHTO requiere el uso de la fórmula parabólica. Columna pesada conectada a su placa de base por medio de soldadura y tornillos de alta resistencia. (Cortesía de la Bethlehem Steel Company). Fa Fy F.S. 1 KL Fy r 4 2E 2 y para el intervalo elástico (o sea, cuando KL/r > Cc) requiere que se use la fórmula de Euler: Fa E F.S.(KL / r) 2 2 Para ambos casos se usa un F.S. de 2.12 RESTRICCIONES EN LOS EXTREMOS Y LONGITUDES EFECTIVAS DE COLUMNAS La restricción en los extremos y su efecto en la capacidad de carga de una columna es en verdad un concepto muy importante. Las columnas con apreciables restricción en sus extremos pueden soportar cargas mucho mayores que aquellas con poca restricción, como es el caso de columnas con extremos articuladas. La longitud efectiva de una columna se definió en la sección 5-5 como la distancia entre puntos de momento nulo en la columna, o sea, la distancia entre sus puntos de inflexión. En las especificaciones de acero de longitud efectiva e una columna se denomina KL en donde K es la factor de la longitud efectiva. K es el número por el que debe multiplicarse la longitud de la columna para obtener su longitud efectiva. Su magnitud depende de 159 la restricción rotacional en los extremos de la columna y de la resistencia al movimiento lateral de ésta. El concepto de longitud efectiva es simplemente un método matemático para reemplazar una columna con cualesquiera condiciones en los extremos por una columna equivalente con extremos articulados. Se podría efectuar un complejo análisis del pandeo de un marco para determinar el esfuerzo crítico en una columna particular. El factor K se determina encontrando la columna articulada con una longitud equivalente que proporcione el mismo esfuerzo crítico. El procedimiento del factor K es un método para encontrar soluciones simples a problemas complicados de pandeo en marcos. Columnas con condiciones de extremo diferentes tienen longitudes efectivas completamente diferentes. En esta exposición inicial se supone que no es posible el ladeo o traslación de las juntas. El ladeo o traslación de las juntas significa que uno o ambos extremos de una columna pueden moverse lateralmente entre sí. Si una columna está articulada en sus dos extremos como se muestra en la figura 5-6 (a), su longitud efectiva es igual a su longitud real y K es entonces igual a 1.0. Si los extremos están perfectamente empotrados, sus puntos de inflexión (o puntos de momento nulo) se localizan en los cuartos de la altura y la longitud efectiva es igual a L/2 como se muestra en la figura 5-6(b); K es entonces igual a 0.50. Figura 5-6 Longitudes efectivas de columnas en marcos arriostrados (ladeo impedido) Figura 5-7 160 Resulta claro que entre menor sea la longitud efectiva de una columna, menor será el peligro de que se pandee y mayor su capacidad de carga. En la figura 5-6 (c) se muestra una columna con un extremo empotrado y el otro articulado; la K para esta columna es teóricamente igual a 0.70. En realidad nuca se tienen ni articulaciones ni empotramientos perfectos, por lo que las columnas comunes quedan entre los dos casos extremos. Parecería que las longitudes efectivas de las columnas siempre varían entre un mínimo absoluto de L/2 y un máximo absoluto de L, pero hay excepciones a esta afirmación. En la figura 5-7 (a) se da un ejemplo de esto con un simple marco. La base de cada una de las columnas está articulada y el otro extremo puede rotar y moverse lateralmente (ladeo). En la figura se ve que la longitud efectiva excederá a la longitud real de la columna, ya que la curva elástica tomará teóricamente la forma de la curva de una columna doblemente articulada de longitud doble y K será entonces igual a 2.0. Nótese en (b) lo pequeña que sería de deflexión lateral de la columna AB si estuviese articulada en ambos extremos para impedir el ladeo. Las columnas de acero estructural sirven como partes de marcos, los que a veces tienen arriostramiento y en otras ocasiones no. Un marco arriostrado es uno en el que la traslación de las juntas está impedida por medio de riostras, mueros de cortante o por el soporte lateral de las estructuras adjuntas. Un marco sin arriostrar no tiene ninguno de estos tipos de soporte y depende de la rigidez de sus propios miembros para impedir el pandeo. En marcos arriostrados los valores K nunca pueden ser mayores que 1.0, pero en los marcos sin arriostrar los valores K siempre son mayores que 1.0 debido al ladeo. La tabla C-C2.1 de los Comentarios a las Especificaciones ASD presenta los factores de longitud efectiva recomendados cuando se tienen 161 condiciones ideales aproximadas. Esta tabla se reproduce aquí como la tabla 5-1 (a). Se proporcionan en la tabla dos grupos de valores K; uno de ellos es el valor teórico y el otro el valor recomendando para el diseño, basado en el hecho de que no son posibles las condiciones de articulación y empotramiento perfecto. Si los extremos de la columna en la figura 5-6 (a) no fueran perfectamente fijos, la columna podría deflexionarse un poco y la distancia entre sus puntos de inflexión se incrementaría. El valor K recomendado para diseño es de 0.65, en tanto que el teórico es de 0.5. El proyectista puede interpolar entre los valores dados en la tabla, utilizando su buen juicio al estimar las condiciones reales de restricción. Las longitudes efectivas se analizan con mayor detalle en la sección 7-1. Los nomogramas presentados ahí dan supuestamente factores K más precisos que los de la tabla 5-1. RELACIONES DE ESBELTEZ MAXIMAS La especificación ASD-B7 establece que los miembros a compresión deben ser diseñados preferiblemente con relaciones KL/r que no excedan de 200, Si KL/r = 200 en un miembro a compresión, su esfuerzo permisible será de 3.73 klb/plg² independientemente de su esfuerzo de 162 fluencia. Si se usan relaciones de esbeltez mayores, los valores del esfuerzo permisibles serán muy pequeños y se deberán usar entonces las fórmulas para columnas dadas en la sección 5-8. EJEMPLOS En esta sección se resuelven tres problemas numéricos sencillos sobre columnas usando las especificaciones ASD. En cada uno se calcula la resistencia de diseño de una columna. En el ejemplo 5-4 el autor determina la resistencia permisible de una sección W. El valor de K se determina con la tabla 5-1, se calcula la relación de esbeltez efectiva, se obtiene el esfuerzo permisible de diseño Fo para la columna en la tabla C36 en la parte 3 del manual y se multiplica por el área de la sección transversal de la columna. Figura 5-8 EJEMPLO 1 Usando los valores para los esfuerzos de diseño dados en la tabla C-36 del manual ASD para acero A36, determine la carga permisible de compresión que la columna cargada axialmente mostrada en la figura 5-8, puede soportar. Solución Propiedades de la W12 x 72 : A = 21.1 plg², ry = 3.04 plg. K = 0.80 (de la tabla 5-1). 163 KL r (0.80)(12x15) 3.04 47.37 Fa = 18.58 klb / plg² (de la tabla C-36 del manual ASD) P = Fa Ag = 18.58 x 21.1 = 392 klb, En el ejemplo 5-5 se determina la carga permisible por compresión axial para una columna de acero A36 usando los esfuerzos permisibles ASD. Para esta columna es necesario localizar los ejes centroidales de la sección y calcular Ix e Iy luego la r mínima de esta sección. Este valor de r usa en la ecuación de la columna. Ejemplo 2 Usando la tabla de esfuerzos permisibles para el acero A36, determine la carga permisible que la sección compuesta mostrada en la figura 5-9 puede soportar. KL = 19 pies. Figura 5-9 Solución A = (20) (1/2) + (2) (12.6) = 35.2 plg Posición del eje centroidal medido desde la parte superior de la sección: 164 (10)(0.25) (2)(12.6)(9.50) 35.2 Ix Ix Iy (2)(554) (25.2)(2.63) 1721p lg 4 2 6.87p lg. 1 1 (20) 12 2 1 12 3 (10)(6.62) 2 (2)(14.4) (12.6)(6.877) 2 (2) 1554 35.2 6.64p lg . 1 (20)3 1554p lg 4 2 r mínima = KL r Fa P (12)(19) 6.64 34.34 19.63klb / p lg 2 Fa A g (19.63)(35.2) 691klb Para determinar el esfuerzo permisible de diseño a compresión por usarse en una columna particular es necesario teóricamente, calcular tanto (KL/r)x como (KL/r)y . Sin embargo, para la mayor parte de las secciones de acero usadas como columnas, ry es mucho menor que rx. En consecuencia, para la mayoría de las columnas sólo se calcula (KL/r)y para luego usarse en las fórmulas apropiadas de columnas. Para algunas columnas, en especial para las largas, el soporte lateral se aplica perpendicularmente al eje menor, reduciendo así la esbeltez, o la longitud libre para pandeo en esa dirección. Esto puede lograrse por medio de riostras o vigas enmarcadas en los lados de la columna. Por ejemplo, los largueros de pared horizontales dispuestos paralelamente a los muros exteriores de un edificio puede enmarcarse en los lados de las columnas, resultan así columnas más fuertes y en estos casos es necesario calcular tanto (KL/r)x como (KL/r)y. La mayor relación obtenida para una columna dada indica cuál es la dirección débil y se usará para calcular el esfuerzo permisible de diseño Fa para ese miembro. Los elementos de arriostramiento deben ser capaces de proporcionar las fuerzas laterales necesarias sin pandearse. Las fuerzas que deben tomar son bastante pequeñas y con frecuencia se estiman conservadoramente igual a 0.02 veces la carga de diseño de la columna. Estos elementos se diseñan igual que los otros miembros a compresión. Una elemento de ariostramiento debe conectarse a otros miembros que puedan transferir la 165 fuerza horizontal por cortante al siguiente nivel restringido. Si esto no se hace así, se proporcionará poco soporte lateral a la columna considerada. Si la riostra para el soporte lateral consta de una sola barra ésta no impedirá el pandeo torsionante de la columna (véase la sección 7-4 y apéndice). Como el pandeo torsionante es un problema difícil de tratar, debe proporcionarse soporte lateral que impida el movimiento tanto lateral como rotacional. Las columnas de acero también pueden colocarse dentro de muros de mampostería de manera que queden soportadas lateralmente en la dirección débil. El proyectista debe ser muy cuidadoso al suponer el soporte lateral total paralelo al muro, ya que un muro mal construido no proporciona un 100% de soporte lateral. El ejemplo 3 muestra los cálculos necesarios para determinar la resistencia de una columna con dos longitudes efectivas diferentes. EJEMPLO 3 Determine la carga axial de compresión permisible que la columna de acero A36 mostrada en la figura 5-10 puede soportar; use las especificaciones ASD. Solución Propiedades de la W14 x 145 : A = 42.7 plg², rx = 6.33 plg., ry = 3.98 plg. KxLx = (0.80)(30) = 24 pie Ky Ly = (1.0) (12) = 12 pie 166 Figura 5-10 Ky Ly = (0.80)(18) = 14.4 pie K x Lx rx K y Ly ry (12)(24) 6.33 (12)(14.4) 3.98 45.50 43.42 Fa = 18.74 klb/plg² (de la tabla C-36 del manual ASD) P permisible = 18.74 x 42.7 = 800.2 klb DISEÑO DE MIEMBROS A COMPRESIÓN CARGADOS AXIALMENTE INTRODUCCIÓN En este capítulo se presentan los diseños de varias columnas cargadas axialmente. Se incluye la selección de perfiles sencillos, de perfiles W con cubreplacas y de secciones armadas construidas con canales. También se incluyen los diseños de miembros cuyas longitudes, sin soporte lateral, son diferentes en las direcciones x y y, así como el dimensionamiento de celosía y placas de unión de secciones armadas con lados abiertos. En el ejemplo 6-1 (a) se selecciona el perfil para una columna con KL = 14 pies usando las ecuaciones ASD. Se supone una relación de esbeltez efectiva de 50, el esfuerzo permisible para este valor se lee en la tabla C-36 del manual ASD y este esfuerzo se divide entre la carga de la columna para obtener un área para la sección transversal de la misma. Después de seleccionar una sección de prueba con aproximadamente esa área, se calculan su relación de esbeltez y resistencia permisible. El primer tamaño estimado es aún un poco escaso por lo que se ensaya la siguiente sección en tamaño de esa serie de perfiles y se encuentra que es satisfactoria. En el ejemplo 6-1 (b) el problema se repite usando un acero de mayor resistencia. Debe recordarse que los esfuerzos de fluencia de los aceros de alta resistencia varían para diferentes espesores (a menos que estén especialmente aleados, para que sus valores resulten iguales a los de los miembros más gruesos); por consiguiente, cuando se consideren tales aceros es necesario determinar cuidadosamente sus esfuerzos de fluencia, como se describe en las páginas 1-7 y 1-8 del manual ASD. 167 EJEMPLO 6-1 (a) Seleccione una sección W14 para la columna y carga mostrada en la figura 6-1 usando acero A36. (b) Repita la parte (a) usando acero A441. Solución (a) Usando acero A36 Suponemos KL/r = 50 Fa = 18.35 klb/plg², de la tabla C-36 del manual ASD. A req 375 18.35 20.44p lg 2 Ensayamos una W14 x 74 (A = 21.8 plg², ry = 2.48 plg). KL r Fa (1.0)(12x14) 2.48 16.67klb / p lg 2 67.74 P permisible = (16.67) (21.8) = 363 klb 375 klb Ensayos ahora una W14 x 82 (A = 24.1 plg², ry = 2.48 plg). 168 KL r Fa (1.0)(12x14) 2.48 16.67klb / p lg 2 67.74 P permisible = (16.67) (24.1) = 401.7 klb 375 klb Usamos una W14 x 82 (b) Usando acero A441 Suponemos KL/r = 70 y Fy = 50 klb / plg² Fa = 20.94 klb / plg² de la tabla C-50 del manual ASD Areq 375 17.91p lg 2 20.94 Ensayamos una W14 x 61 (A = 17.9 plg², ry = 2.45 plg., grupo 2 en la pág. 1-8 del manual, por lo que Fy = 50 klb / plg², pág. 1-7). KL r Fa (1.0)(12x14) 2.45 21.20klb / p lg 2 68.57 P permisible = (21.20) (17.9) = 379.5 klb Usamos una W14 x 61 375 klb TABLAS DE DISEÑO DE COLUMNAS El lector podrá ver que es muy sencillo calcular la larga axial permisible de compresión para una columna particular. Así, en el ejemplo 6-1 encontramos que una W14 x 74 de aceros A36 con KL = 14 pies tiene una carga permisible de compresión de 363 klb. De la misma manera, podríamos calcular las cargas permisibles para la misma sección con valores KL de 10, 11, 12 pies y oras longitudes prácticas. Si hiciéramos los mismos cálculos para todas las otras secciones de acero comúnmente 169 usadas como columnas, tendríamos un conjunto de tablas como las dadas en la parte 3 del manual ASD. En las tablas facilitan considerablemente los cálculos de columnas. Ellas incluyen las cargas permisibles de cada uno de los perfiles normalmente usados como columnas (W, M, S, tubos, tubulares, par de ángulos y tes estructurales) para la mayoría de las longitudes efectivas de uso común. Los valores se dan con respecto al radio de giro mínimo para aceros con Fy = 36 y 50 klb / plg² (exceptuando los tubulares cuadrados y rectangulares que existen sólo en acero con Fy = 46 klb/plg²). El uso de las tablas es muy sencillo; se toma el valor KL para la dirección débil en pies, se consulta la tabla apropiada por el lado izquierdo y se procede horizontalmente a través de ella. Bajo cada perfil se indica la resistencia permisible de diseño P para esa KL y para la Fy escogida. Por ejemplo, supongamos que tenemos una carga de 540 klb, KyLy = 12 pies, y queremos seleccionar el perfil W14 más ligero disponible en acero A36. Consultamos las tablas con KL = 12 pies en la columna izquierda, y leemos de izquierda a derecha para un acero A36, los números 4277, 3892, 3529 klb, etc. Hasta que varias páginas después encontramos los valores consecutivos 561 y 511. El valor 511 klb no es suficiente y regresamos al valor 561 klb que queda en la W14 x 99. Un procedimiento similar puede seguirse para los otros perfiles disponibles. El ejemplo 6-2 ilustra la selección de secciones W, tubos y tubulares. Es posible soportar la carga de una columna dada con un tubo estándar, con un tubo extrafuerte que tiene menor diámetro pero paredes más gruesas y, por consiguiente, es más pesado y caro, o bien con un tubo superfuerte que tiene un diámetro aún menor y paredes y pero aún mayor. EJEMPLO 6-2 Usando las tablas de columnas de la parte 3 del manual ASD. (a) (b) Seleccione el perfil W más ligero disponible para una carga P = 260 klb y KL= 10 pies. Use acero A36. Seleccione los tubos estándar, extrafuerte y superfuerte más ligeros disponibles para las condiciones dadas en (a) 170 (c) Seleccione los tubulares cuadrado y rectangular más ligeros disponibles para las condiciones dadas en (a), excepto que Fy = 46 klb/plg². Solución (a) Entramos a las tablas con KyLY = 10 pies y P = 260 klb: W14 x 53 (P = 268 klb) W12 x 53 (P = 288 klb) W10 x 49 (P = 268 klb) W8 x 58 (P = 303 klb) Usamos una W10 x 49 (b) Tubos Tubo estándar 12 (P = 293 klb) ; peso = 49.56 lp/pie Tubo estándar 10 (P = 318 klb) ; peso = 54.74 lp/pie Tubo estándar 6 (P = 275 klb) ; peso = 53.16 lp/pie Tubulares cuadrados y rectangulares (Fy = 46 klb/plg²): 9x9x 5 (P 16 262klb); peso 36.10 l b / pie (c) 1 9x7x (P 2 262klb); peso 37.69 l b / COLUMNAS CON LONGITUDES NO SOPÓRTADAS DIFERENTES En la figura 6-3 se muestra una columna cargada axialmente con restricción lateral en el dirección débil. El ejemplo 6-3 ilustra el diseño de dicha columna con longitudes no soportadas diferentes en las direcciones x y y. El estudiante puede resolver fácilmente ese problema por tanteos. Se escoge un perfil de prueba como se describió antes en este capítulo, se calculan los valores (KL/r)x y (KL/r)y. Se determina Fa y se multiplica por Ag para obtener P. Luego, si es necesario, para prueba otro perfil y así sucesivamente. En esta exposición suponemos que K es la misma en ambas direcciones. Entonces si queremos tener iguales resistencias respecto a los ejes x y y, se debe cumplir la relación. 171 Lx rx Ly ry Para que Ly sea equivalente a Lx debemos tener Lx Ly rx ry Si Ly (rx / ry), es menor que Lx, entonces Lx rige; si es mayor que Lx, entonces rige Ly. Basándose en la información anterior, el manual ASD proporciona un método mediante el cual puede seleccionarse un perfil con pocos tanteos, cuando las longitudes sin soporte lateral son diferentes. Se consulta la tabla apropiada con KyLy, se escoge un perfil, se toma el valor dado para rx/ry en la tabla para ese perfil y se multiplica por Ly. Si el resultado es mayor que KxLx, entonces KxLx, rige y el perfil escogido inicialmente es el correcto. Si el resultado de la multiplicación es menor que KxLx, entonces KxLx, rige y se tendrá que volver a consultar las tablas con un KyLy, mayor o igual a KxLx/(rx/ry) y seleccionar el perfil final. 172 EJEMPLO 6-3 Seleccionar el perfil W12 más ligero para las siguientes condiciones: acero A36, P=465 kln, KxLx = 26 pies y KyLy = 13 pies. (a) Por tanteo (b) Usando las tablas del manual ASD Solución (a) Por tanteo: Suponemos KL r 50 Fa = 18.5 klb /plg² 465 Areq = 25.34 plg 2 18.35 Ensayamos una W12 x 87 (A = 25.6 plg², rx = 5.38 plg. ry = 3.07 plg) KL r KL r Fa P (12)(26) 5.38 (12)(13) 3.07 57.99 x 50.81 y 17.62klb / p lg 2 (17.62)(25.6) 451klb 465klb Revisando el siguiente perfil W12 en la tabla (96 lb) vemos que sí es satisfactorio. Usamos una W12 X 96 (b) Usando las tablas Entramos a las tablas con KyLy = 13 pies. Ensayamos una W12 x 87 rx ry 1.75 173 (K y L y ) rx ry (13)(1.75) 22.75 K x Lx Por lo tanto KxLx rige. Volvemos a entrar a las tablas con K y L y K x Lx rx / ry 26 14.86 1.75 Usamos una W12 x 96 En el ejemplo 6-4 (a) se selecciona una perfil W de acero A572 grado 50 para soportar la carga de una columna. Suele ser más económico seleccionar una sola W para soportar la carga, pero en el ejemplo 6-4 (b) se supone que la W deseable no se encuentra disponible. En consecuencia, se selecciona una W más pequeña de acero A36 a la que se agregan cubreplacas también de acero A36 suficientemente grandes para soportar la carga. Se supone que las placas están conectadas al perfil W en sus extremos y en puntos intermedios, de modo que las partes trabajan conjuntamente. Como este tipo de sección no se muestra en las tablas de columnas del manual ASD, es necesario usar un procedimiento de tanteos. Se supone una relación de esbeltez efectiva; se determina Fa para esa KL/r y se divide la carga de diseño de la columna entre este valor para obtener el área total requerida. El área de la sección W se resta del área total estimada para obtener el área de las cubreplacas. Se escoge un tamaño de cubreplaca para cada patín para proporcionar el área estimada y se calcula Fa para toda la sección después de lo cual puede ser necesario revisar el tamaño de la cubreplaca y ensayar nuevamente otro tamaño. EJEMPLO 6-4 (a) (b) Seleccione una sección W para la columna y carga mostradas en la figura 6-4 usando acero A572 grado 50. Usando acero A36 y una W14 x 311, seleccione placas de modo que la sección sea satisfactoria para las condiciones de la figura 6-4 Solución (a) Usando acero A572 grado 40 y las tablas de columnas del ASD. 174 KL = (1.0) (15) = 15 pies. Usaremos W14 x 370 Figura 6-4 (b) Usando una W14 x 311 con cubreplacas (acero A36). Suponemos KL 40 r Fa = 19.19 klb/plg² A req 2700 140.70p lg 2 19.19 Ensayamos W14x311 (A = 91.4 plg², d = 17.12 plg, Ix = 4330 plg4, Iy = 1610 plg4) Con una cubreplaca PL20 x 1 ¼ en cada patín = 50.00 plg² Área total = 141.4 plg² Ix = 4330 + (2)(25)(9.185)² = 8548 plg4 Iy = 1610 + (1/12) (2.50) (20)3 = 3277 plg4 175 3277 4.81p lg. 141.4 KL (1.0)(15) 15pie. r KL (12)(15) 37.42 r 4.81 Fa permisible = 19.39 klb/plg² P permisible = (19.39) (141.4) = 2742 klb 2700 klb Usaremos W14 x 311 con una cubreplaca PL20 x 11/4 en cada patín COLUMNAS ARMADAS Tanto los miembros a tensión como los miembros a compresión se pueden construir con dos o más placas o perfiles para formar un solo miembro armado. Un tipo común de miembro usado en armaduras ligeras es un par de ángulos separados sólo por el espesor de la placa de nudo. Cuando se usan tales miembros, sus partes deben conectarse a intervalos tales que quede garantizado su funcionamiento como una unidad. Para efectuar esta conexión pueden usarse cordones intermitentes de soldadura o bien tornillos o remaches (con separadores entre las partes). Para columnas armadas cuyas partes están en contacto continuo entre sí o cuando las partes están separadas por piezas de relleno, los requisitos correspondientes están dados por la especificación ASD-E4: 1. En los extremos de miembros armados en compresión que se apoyan sobre placas de base o en superficies alisadas, todas las componentes que estén en contacto entre sí se unirán mediante tornillos separados longitudinalmente no más de 4 diámetros en una distancia igual a 1.5 veces el ancho máximo del miembro, o por soldaduras continuas que tengan una longitud no menor que el ancho máximo del miembro. 2. La separación longitudinal de sujetadores o soldaduras intermitentes entre extremos de miembros armados, será la adecuada para poder transferir los esfuerzos calculados. El espaciamiento longitudinal máximo de sujetadores o soldaduras intermitentes que conectan dos perfiles laminados entre sí, no excederá de 24 plg. Cuando un miembro armado en compresión pintado o sin pintar no expuesto a la corrosión tiene una placa exterior, las especificaciones ASD estipulan una separación máxima para los conectores. Si se usan soldaduras intermitentes a lo largo de los bordes de las componentes o si se tienen tornillos o remaches a lo largo de todas 3. 176 las líneas de gramil en cada sección, su separación máxima no debe ser mayor que 127 Fy veces el espesor de la placa exterior más delgada ni que 12 plg. Sin embargo, si esos conectores están alternados en las líneas de gramil, ellos no deben espaciarse en cada línea a más de 190/ Fy ; veces el espesor de la parte más delgada ni a más de 18 plg. 4. Cuando los miembros armados están compuestos de dos o más perfiles laminados separados por rellenos intermitentes, los perfiles deben conectarse en los rellenos de modo que los valores KL/r de los perfiles individuales no excedan de 3/4 veces la relación de esbeltez mínima del miembro armado completo. Además, deben usarse por lo menos 2 conexiones intermedias a lo largo del miembro. Otros valores de espaciamientos se dan en la especificación ASD J3.10 para miembros armados hechos con acero sin pintar resistente a la intemperie. El ejemplo 6-5 presenta el diseño de un miembro a compresión formado por un doble ángulo usando las tablas de columnas del ASD y acero A36. Las cargas permisibles para secciones WT y de doble ángulo están basadas en el pandeo flexotorsional. Este pandeo, que se toma en cuenta en las tablas ASP, se analizará en el capítulo 7 y en el apéndice. Se supone en este ejemplo que la carga de 120 klb incluye el efecto del viento en la columna. El AISC considera que las cargas intensas de viento y sismo son de tan corta duración, que los esfuerzos permisibles se pueden incrementar en 1/3 (Especificación ASD A5.2). Esto es equivalente a multiplicar las cargas de diseño por ¾. EJEMPLO 6-5 Usando las tablas de columnas del ASD y acero A36, seleccione un miembro a compresión que consista en dos ángulos para soportar una carga axial de 120 klb que incluya efectos de viento. Suponga que los ángulos están espaciados a 3/8 plg para las conexiones de extremo. El miembro de 12 pies estará soportado lateralmente a la mitad de su altura en dirección perpendicular al eje x. Suponga K = 1.0 para todos los casos. 177 Solución Preducida KL x KL y 3 (120) 90klb 4 6pies pies Selecciones posibles de las tablas para columnas de doble ángulo (Parte 3 del manual ASD): 2L5 x 5 x 3/8 (24.6 lb) soportarán 133 klb con respecto al eje x y 111 klb con respecto al eje y. 2L4 x 4 x ½ (25.6 lb) soportarán 131 klb con respecto al eje x y 115 klb, con respecto al eje y. Usaremos 2L5 x 5 x 3/8 En el ejemplo 6-6 se presenta el diseño de otra sección armada. EJEMPLO 6-6 Seleccione un par de canales para la columna y carga mostradas en la figura 6-5 usando acero A36 y las especificaciones ASD. La distancia entre las espaldas de las canales debe ser de 12 plg. Solución Suponemos que el Fa permisible es de 17.5 klb/plg² y entonces el área requerida es de 280/17.5 = 16.0 plg². Ensayamos 2C12 x 30 (A = 17.64 plg², rx = 4.29 plg) 178 Figura 6-5 Iy = (2) (5.14) + (17.64) (5.33)² = 511 plg4 511 5.38p lg. 17.64 KL (1)(20) 20pie. KL (12)(20) 56 r 4.29 ry Fa permi si ble 17.81klb / p lg 2 P permisible = (17.81)(17.64)=314klb 280klb Usaremos 2C12 x 30 179 CELOSIA Y PLACAS DE UNIÓN Cuando los miembros constan de más de un perfil es necesario conectar sus componentes a través de sus lados abiertos. El propósito de la celosía es mantener paralelas y a ras distancias correctas las diversas partes del miembro con objeto de uniformar la distribución de esfuerzos en ellas. El estudiante entenderá la necesidad de la celosía si considera un miembro estructural armado que conste de varios perfiles (como el miembro formado por cuatro ángulos en la figura 5-2i) y que soporte una fuerte carga de compresión. Cada una de las partes tiende a pandearse lateralmente en forma individual a menos que éstas estén unidas entre sí y trabajen en conjunto para recibir la carga. Además de la celosía, es necesario proporcionar placas de unión tan cerca de los extremos como sea posible y en puntos intermedios si la celosía se interrumpe. Las partes (a) y (b) de la figura 6-6 muestran distintos arreglos de celosías y placas de unión. Otras posibilidades se muestran en ras partes (c) y (d) de la misma figura. La falla de varias estructuras se ha atribuido a una celosía insuficiente en miembros armados comprimidos. Tal vez el caso mejor conocido fue la falla del puente Quebec en r 907. Después de la falla, la opinión general respecto al colapso de este puente fue que la celosía de las cuerdas a compresión eran muy débiles. Este desastre hizo ver a los ingenieros la importancia de diseñar cuidadosamente la celosía. Las dimensiones de las placas de unión y de la celosía por lo general están determinadas por las especificaciones. En la sección E4 de las especificaciones ASD se estipula que las placas de unión deberán tener un espesor igual a por lo menos 1;50 veces la distancia entre las líneas de conectores o cordones de soldadura y una longitud paralela al eje del miembro principal igual, por lo menos, a la distancia entre las líneas de conectores. La celosía consta generalmente de barras planas, pero puede formarse ocasionalmente con ángulos, cubreplacas perforadas, canales u otros perfiles laminados. Estas piezas deben espaciarse de modo que las partes individuales conectadas no tengan valores L/r entre conexiones mayores que 3/4 el valor que rija para el miembro armado completo. Se supone que la celosía está sujeta a una fuerza cortante normal al miembro igual a y no menor que el 2% de la compresión total del miembro. Las fórmulas para columnas del ASD se usan para diseñar la celosía en la forma usual. La relación de esbeltez se limita a 140 para celosía simple y a 200 para celosía doble. Si la distancia entre líneas de conectores es mayor que 15 plg deberá usarse celosía doble. En vez de celosía y placas de unión, se permite el uso de cubreplacas continuas en los lados abiertos de las secciones armadas. Si se necesitan agujeros de acceso, estas placas se denominan cubreplacas perforadas. Generalmente se ignoran las concentraciones de esfuerzos, así como los esfuerzos secundarios por reflexión, pero las fuerzas cortantes laterales 180 deben revisarse. Las cubreplacas perforadas resultan atractivas para muchos proyectistas por las diversas ventajas que su uso reporta. 1. Se fabrican fácilmente con los métodos modernos de corte con gas. 2. Algunas especificaciones permiten la inclusión de sus áreas netas en la sección efectiva de los miembros principales, siempre que los agujeros se hagan de acuerdo con los requisitos obtenidos empíricamente en numerosas investigaciones. Figura 6.6 Placas de unión y celosía 3. El pintado de los miembros se simplifica respecto a los miembros con celosía ordinaria. El ejemplo 6-7 ilustra el diseño de la celosía y de las placas de unión en los extremos para la columna armada del ejemplo 6-6. Las especificaciones para puentes son algo diferentes respecto a los requisitos para la celosía, pero los procedimientos de diseño son prácticamente los mismos. 181 EJEMPLO 6-7 Diseñe, de acuerdo con las especificaciones ASD, la celosía simple atornillada para la columna del ejemplo 6-6. Se hará referencia a la figura 6-7. Solución La distancia entre líneas de tornillos es de 8.5 plg. entonces celosía simple. 15 plg., se puede usar Suponga que las barras de la celosía estarán inclinadas a 60° con el eje del miembro. La longitud de las canales entre las conexiones de la celosía es de 8.5/cos 30° = 9.8 plg y la L/r de una canal entre conexiones es de KL 9.8/0.763 = 12.9 ¾ x del miembro principal = (3/4) (56) = 42. r Fuerza en una barra de celosía. V = 0.02 P = (0.02) (280) = 5.6 klb ½ V = 2.8 klb = fuerza cortante en cada plano de celosía. Figura 6-7 Fuerza en una barra = (9.8 / 8.5) (2.8) = 3.23 klb Propiedades de una barra plana: 182 1 3 bt 12 A bt I 1 3 bt 12 bt 0.289t r r Diseño de la barra Máx L 140 r 140 9.8 0.289t t = 0.242 plg. Ensayamos una barra plana de ¼ plg. L r 9.8 136 (0.289)(0.250) Fa permisible = 8.07 klb/plg 2 A req 3.23 8.07 0.400p lg 2 (1.60x1/ 4) Distancia mínima al borde si se usan tornillos de ¾ = 1 ¼ plg. Usamos barras de ¼ x 2 ½ Diseño de las placas de extremo: Longitud mínima = 8.5 plg. t mínima no menor que 1/50 de la distancia entre hileras de tornillos: 183 t = (1/50) (8.5) = 0.17 plg. Usamos placas de extremo de 3/16 x 8 ½ x 11 ½ ELEMENTOS ATIESADOS Y NO ATIESADOS Hasta ahora el autor sólo ha considerado la estabilidad de conjunto de los miembros, pero es muy posible que los patines o almas de una columna se pandeen localmente en compresión antes de que ocurra el pandeo total del miembro. Las placas delgadas que se usan para tomar esfuerzos de compresión son muy susceptibles al pandeo respecto a sus ejes menores, debido a los pequeños momentos de inercia en esas direcciones. La tabla B5.1 de las especificaciones ASD proporciona valores límite para la relación ancho a espesor de las partes individuales de miembros a compresión y de las partes de vigas en regiones de compresión. El estudiante seguramente está consciente de la falta de rigidez de las piezas delgadas de cartón, plástico o metal con bordes libres. Sin embargo, si uno de esos elementos se pliega o restringe, su rigidez se incrementa apreciable- mente. Por esta razón en el manual ASD se consideran dos tipos de elementos: los elementos atiesados y los no atiesados. Un elemento no atiesado es una pieza proyectante con un borde libre, paralelo a la dirección de la fuerza de compresión, en tanto que un elemento atiesado está soportado a lo largo de los dos bordes en esa dirección. Esos dos tipos de elementos se ilustran en la figura 6-8. En cada caso se muestran el ancho b y el espesor t del elemento. Dependiendo de la relación ancho a espesor de los elementos a compresión y de si éstos son atiesados o no, los elementos se pandearán bajo diferentes condiciones de esfuerzos .Para establecer los limites de las relaciones ancho a espesor de los elementos de los miembros a compresión , las especificaciones ASD agrupan a los miembros en las tres clasificaciones siguientes secciones compactas ,secciones no compactas y elementos esbeltos a compresión. 184 Secciones compactas Una sección compacta es aquella con un perfil suficientemente fuerte para que sea capaz de desarrollar una distribución total de esfuerzos plásticos antes de pandearse. El término plástico significa que en toda la sección se tiene presente el esfuerzo de fluencia y se estudiará ampliamente en el capítulo 18. Para que un miembro pueda clasificarse como compacto, sus patines deben estar conectados en forma continua al alma o almas y las relaciones ancho a espesor de sus elementos a compresión no deben ser mayores que los valores límite dados en la tabla 6-1 (Tabla B5.1 de las especificaciones ASD). 185 186 Secciones no compactas Una sección no compacta es en la que el esfuerzo de fluencia puede alcanzarse en algunos, pero no en todos sus elementos a compresión antes de que ocurra el pandeo; no es capaz de alcanzar una distribución plástica de esfuerzos total. Estas secciones no califican como compactas pero tienen relaciones ancho a espesor que no exceden los valores dados para las secciones no compactas. Elementos esbeltos a compresión Estos elementos tienen relaciones ancho a espesor mayores que los dados para las secciones no compactas y se pandearán elásticamente antes de que el esfuerzo de fIuencia se alcance en cualquier parte de la sección. Para tales elementos es necesario considerar resistencias elásticas de pandeo. Un perfil cuya sección transversal no satisface los requisitos de ancho/espesor de la tabla 6-1, puede aun usarse como columna pero su esfuerzo permisible debe reducirse. La mayoría de las secciones cumplen con estos requisitos y las reducciones del esfuerzo permisible son innecesarias. Todas las secciones W y en tubo contenidas en el manual ASD con Fy = 36 y 50 klb/plg² cumplen los requisitos excepto la W14 x 43 de acero con F y = 50 klb/plg². Si los límites ancho/espesor para las secciones no compactas se exceden, deberá consultarse el apéndice B del manual ASD para la reducción del esfuerzo permisible. Las fórmulas que ahí se presentan son tan complejas y tediosas en su aplicación que es preferible no permitir el uso de miembros que caigan en esta clasificación de elementos esbeltos a compresión. Los elementos esbeltos a compresión se estudian con detalle en la sección A-1 del apéndice de este libro y se presenta además un ejemplo numérico (A-1). 187 OBSERVACIONES PRELIMINARES RESPECTO AL FLEXOTORSIONANTE DE MIEMBROS A COMPRESION PANDEO Los miembros estructurales cargados axialmente a compresión pueden fallar teóricamente de tres maneras diferentes: por pandeo flexionante, por pandeo torsionante o por pandeo flexotorsionante. El pandeo flexionante (llamado también pandeo de Euler) es el que se ha considerado hasta ahora en nuestro tratamiento de las columnas; en este caso hemos calculado las relaciones de esbeltez para los ejes principales de la columna y determinado Fa para la mayor relación obtenida. Las columnas con secciones con doble simetría (como las secciones W) están sujetas sólo a pandeo flexionante y a pandeo torsionante. Como el pandeo torsionante puede ser muy complejo, es conveniente evitar que se presente. Esto puede lograrse por medio de un cuidadoso arregla de los miembros y proporcionando soportes que impidan el movimiento lateral y la torcedura. Si se suministran suficientes soportes laterales en los extremos y en puntos intermedios, el pandeo flexionante será el que siempre domine. Los valores dados en las tablas de columnas del manual ASD para los perfiles W, M, S, tubos y tubulares, se basan en el pandeo flexionante. Las secciones abiertas (W, M, canales, etc.) tienen poca resistencia a la torsión, pero no así los perfiles en caja. Entonces, si se presenta un caso de torsión, es aconsejable usar secciones en caja, o bien, a las secciones W adaptarles placas laterales soldadas. Otra manera como pueden simplificarse los problemas de torsión, es reducir las longitudes de los miembros sujetos a esta torsión. Para un perfil con simetría simple, como el perfil T o ángulos dobles, el pandeo de Euler puede ocurrir respecto a los ejes x o y. Para ángulos de lados iguales, el pandeo de Euler puede ocurrir respecto al eje z. Para todas estas secciones, el pandeo flexotorsionante es siempre una posibilidad y puede llegar a domina!. (Siempre será éste el caso para columnas formadas de un solo ángulo de lados desiguales.) Los valores dados en las tablas de columnas del manual ASD para ángulos dobles y tes estructurales, fueron calculados para pandeo respecto al eje débil (x o y) y para pandeo flexotorsionante. El proyectista promedio no considera el pandeo torsional de perfiles simétricos o el pandeo flexotorsionante de perfiles asimétricos. El considera que esas condiciones no rigen en la determinación de la carga crítica o por lo menos, que no la afectan mucho. Sin embargo, cuando se tienen columnas asimétricas o incluso columnas simétricas hechas con 188 placas delgadas, encontramos que el pandeo torsional o el flexotorsionante puede reducir bastante la capacidad de la columna. El lector habrá notado que el autor no ha presentado hasta ahora ningún diseño de columnas formadas por ángulos simples o de columnas para las que ni el eje x ni el eje y sean ejes de simetría. El manual ASD incluye tablas que proporcionan cargas permisibles de compresión para perfiles W, S, T, tubos, tubulares y ángulos dobles cargados axialmente, pero no para ángulos simples. No obstante, en muchas ocasiones se usan puntales formados por ángulos simples. Se indica en el manual ASD que no se incluyen tablas para columnas formadas por ángulos simples debido a la dificultad de cargar tales miembros concéntricamente. El manual considera que en la práctica las excentricidades reales de los miembros formados por ángulos simples son muy grandes y que ignorar esas excentricidades puede conducir al uso de miembros subdiseñados. El lector podría intentar seleccionar un puntal a base de un solo ángulo por medio de tanteos como 10 hemos hecho en este capítulo y en el anterior suponiendo un valor KL/r (se trata aquí del KL/rz) y determinando Fa con la tabla C-36 o con la C-50 del manual ASD, etc. Luego podría decir, "reduciré estos valores en 20 o 25%". Tal procedimiento sería erróneo del lado inseguro. El proyectista que use puntales a base de un solo ángulo y miembros similares tendrá que aplicar las fórmulas de la flexotorsión (o auxiliarse con un programa de computación) con tolerancias para la excentricidad de la carga y los momentos resultantes. En el ejemplo A-2 del apéndice se presenta un caso de pandeo flexotorsional de acuerdo con el ASD. 189 VIGAS TIPOS DE VIGAS Las vigas son miembros que soportan cargas transversales: Se usan generalmente en posición horizontal y quedan sujetas a cargas por gravedad o verticales; sin embargo, existen excepciones, por ejemplo, el caso de los cabios. Entre los muchos tipos de vigas cabe mencionar las siguientes: viguetas, dinteles, vigas de fachada. largueros de puente y vigas de piso. Las viguetas son vigas estrechamente dispuestas para soportar los pisos y techos de edificios; los dinteles se colocan sobre aberturas en muros de mampostería como puertas y ventanas. Las vigas de fachada so- portan las paredes exteriores de edificios y también parte de las cargas de los pisos y corredores. Se considera que la capacidad de las vigas de acero para soportar muros de mampostería (junto con la invención de los elevadores) como parte de un marco estructural, permitió la construcción de los rascacielos actuales. Los largueros de puente son las vigas en los pisos de puentes que corren paralelas a la superficie de rodamiento, en tanto que las vigas de piso son las vigas que en muchos pisos de puentes corren perpendicularmente a la superficie de rodamiento y se usan para transferir las cargas del piso, de los largueros de puente a las trabes o armaduras sustentantes. El término trabe se usa en forma algo ambigua, pero usualmente denota una viga grande a la que se conectan otras de menor tamaño. Estos y otros tipos de vigas se analizan en las secciones que siguen. PERFILES USADOS EN VIGAS Los perfiles W generalmente resultan las secciones más económicas al usarse como vigas y han reemplazado en esta aplicación casi por completo a las canales y a las secciones S. Las canales se usan a veces como largueros cuando las cargas son pequeñas y en lugares en donde se requieren patines estrechos. Estas tienen muy poca resistencia a fuerzas laterales y requieren soporte lateral como se ilustró en el capítulo 4. Los perfiles W tienen un mayor porcentaje de acero concentrado en sus patines que las vigas S. por lo que poseen mayores momentos de inercia y momentos resistentes para un mismo peso. Estos son relativamente anchos y tienen una rigidez lateral apreciable. (El poco espacio dedicado a las vigas S en el manual ASD evidencia claramente cómo ha disminuido su uso respecto a años anteriores. Hoy en día se usan principalmente para situaciones especiales 190 como cuando se requieren anchos pequeños de patines, cuando las fuerzas cortantes son muy grandes o cuando son convenientes mayores espesores de patín en la cercanía del alma por motivos de flexión lateral.) Otro tipo común de viga es la vigueta de alma abierta que se analiza con detalle en el capítulo 15. Este tipo de viga que se usa comúnmente para soportar losas de piso y techo es en realidad una armadura ligera de cuerdas paralelas. Resulta muy económica para grandes claros y cargas ligeras. ESFUERZOS DE FLEXION Consideraremos una viga de sección rectangular y los diagramas de esfuerzos de la figura 8.1 para estudiar los esfuerzos de flexión. (Para este análisis inicial supondremos que el patín a compresión de la viga está completamente soportado contra el pandeo lateral. El pandeo lateral se estudiará en las secciones 8-7y 8-8). Si la viga está sujeta a momento flexionante el esfuerzo en cualquier punto puede calcularse con la fórmula de la flexión: fb = Mc/I. El valor I/c es una constante para una sección específica y se denomina módulo de sección ( S). La fórmula de la flexión puede escribirse entonces de la manera siguiente: fb M S Inicialmente, cuando el momento se aplica a la viga, el esfuerzo varía linealmente desde el eje neutro hasta las fibras extremas. Esta situación se muestra en la figura 8.1 (b). Si se incrementa el momento se mantendrá la variación lineal de los esfuerzos hasta que se alcanza el esfuerzo de fluencia en las fibras extremas como se muestra en la parte (c) de la figura. El momento de fluencia de una sección transversal se define como el momento para el cual empiezan a fluir las fibras extremas de la sección. 191 Si el momento en una viga de acero dúctil soportada lateralmente se incrementa más allá del momento de fluencia, las fibras extremas que se encontraban previamente sometidas al esfuerzo de fluencia se mantendrán bajo este mismo esfuerzo, pero en estado de fluencia y el momento resistente adicional necesario lo proporcionarán las fibras más cercanas al eje neutro. Este proceso continuará con más y más partes de la sección transversal de la viga, alcanzando el esfuerzo de fluencia como se muestra en los diagramas de esfuerzos de la figura 8-1(d y e), hasta que finalmente se alcanza la distribución plástica total mostrada en (f). Cuando la distribución de esfuerzos ha alcanzados esta etapa se dice que se ha formado una articulación plástica porque no puede resistirse en esta sección ningún momento adicional. Cualquier momento adicional aplicado en la sección causará una rotación en la viga con pequeño incremento del esfuerzo. El momento plástico es el momento que producirá una plastificación completa en una sección transversal del miembro creándose ahí mismo una articulación plástica. La relación del momento plástico Mp al momento de fluencia My se denomina factor de forma. Los factores de forma son iguales a 1.50 en las secciones rectangulares y varían entre 1,10 y 1.20 en las secciones laminadas para vigas estándar. DISEÑO CON LA FORMULA DE LA FLEXION Entre los aspectos que deben considerarse en el diseño de vigas se cuentan: momentos, cortantes, aplastamiento, pandeo, soporte lateral, deflexión y tal vez fatiga. Las vigas que se seleccionen probablemente resistirán satisfactoriamente el momento flexionante y luego se revisarán para ver si cualquiera de los otros aspectos son críticos. Para seleccionar una viga para una condición dada, se calcula el momento flexionante máximo para la carga supuesta y se selecciona una sección del manual ASD que tenga tal momento resistente. Sin embargo, usualmente es más conveniente trabajar con el módulo de sección, como se describe a continuación. En la fórmula de la flexión fb es el esfuerzo en la fibra más alejada, a una distancia c, del eje neutro e I es el momento de inercia de la sección transversal. Debe recordarse que esta fórmula se limita al caso en que los esfuerzos se encuentran por debajo del límite elástico por estar basada en las hipótesis elásticas usuales: una sección plana antes de la flexión permanece plana después de actuar ésta; el esfuerzo es proporcional a la deformación, etc. Si una viga se va a diseñar para un momento flexionante M dado y para un cierto esfuerzo permisible Fb, el módulo de sección necesario para que la viga tenga suficiente resistencia a la flexión puede obtenerse con la fórmula de la flexión 192 M Fb I c S Con ayuda de la "Tabla de selección para el diseño por esfuerzos permisibles" ("Allowable Stress Design Selection Table") en la parte 2 del manual ASD pueden seleccionarse rápidamente perfiles de acero con el módulo de sección requerido. Dos aspectos importantes deben recordarse al seleccionar perfiles. 1. El costo de los perfiles depende de su peso por lo que debe seleccionarse el perfil más ligero posible que tenga el módulo de sección requerido (siempre que la sección resultante se ajuste razonablemente bien al resto de la estructura). La tabla contiene los perfiles ordenados en grupos que se encuentran dentro de ciertos rangos de módulos de sección. La sección en negritas a la cabeza de cada grupo es la sección más ligera de ese grupo y las demás están ordenadas sucesivamente de acuerdo con módulos de sección crecientes. Normalmente las secciones de mayor peralte tienen los menores pesos para un módulo de sección dado y usualmente son las escogidas a menos que su peralte ocasione problemas respecto a la altura libre de los entrepisos; en tal caso, se selecciona una sección de menor peralte y mayor peso. Los valores de los módulos de sección en la tabla son respecto al eje fuerte de las secciones. Para secciones "acostadas”, es decir, con flexión respecto al eje débil, los valores correspondientes del módulo de sección pueden encontrarse en las tablas de dimensiones y propiedades de perfiles del manual ASD. Un perfil W acostado es sólo entre 5 y 15% tan resistente respecto a su posición de pie al someterlo a cargas de gravedad. De la misma manera, la resistencia de un larguero de madera de 2 x 10 plg acostado es sólo 20% de su resistencia al colocarlo de pie (el porcentaje se basa en los valores relativos de sus módulos de sección). 2. Los ejemplos que siguen ilustran el diseño de vigas de acero cuyos patines de compresión tienen soporte lateral, lo que permite el uso de los mismos esfuerzos permisibles en los patines de tensión y compresión. En las secciones 8-7 y 8-8 se estudian las vigas sin suficiente soporte lateral en sus patines de compresión. En cada uno de esos ejemplos el peso de la viga seleccionada se debe incluir en el (cálculo del momento flexionante que debe resistirse ya que la viga debe soportar tanto las cargas externas como su peso propio. Las estimaciones de los pesos de las vigas son bastante buenas, ya que el 193 autor hizo algunos cálculos preliminares antes de hacer las estimaciones. No se espera que los estudiantes sean capaces de estimar exactamente "a ojo" el peso de la viga requerida. Sin embargo, siguiendo el mismo procedimiento del autor, ellos podrán hacer una estimación razonable. Por ejemplo, se puede calcular el momento debido sólo a las cargas externas, obtener el módulo de sección requerido y seleccionar una viga que tenga tal módulo de sección. Con este tamaño de viga se puede hacer fácilmente una muy buena estimación del peso de la viga finalmente requerida. EJEMPLO 8-1 Seleccione una viga para el claro y carga mostrados en la figura 8-2, suponiendo que el patín a compresión tiene soporte lateral total. Los esfuerzos permisibles de flexión son de 24 klb/plg2 (165 MPa). Solución Peso supuesto de la viga = 62 lb/pie M wL2 8 (4.362)(21)2 8 240.46 pie - klb Módulo de sección requerido = (12)(240.46) 120.23p lg3 24 Las soluciones posibles incluyen: (a) una W14 x 82 que es la sección con el S más cercano del lado de la seguridad, (b) una W21 x 62 que es)a solución más económica, (c) en caso de restricción en el peralte, una W 18 x 71 o incluso una W 14 x82 (muy antieconómica) podrían seleccionarse. Usaremos una W21 x 62 EJEMPLO 8-2 Una losa de 5 plg. de espesor de concreto reforzado va a ser soportada por vigas de acero a cada 8 pies entre centros. Las vigas, con claros de 20 pies, 194 están simplemente apoyadas. Si la losa se diseña para soportar una carga viva de 100 lb/pie², determinar la sección de acero más ligera requerida. El patín de compresión de la viga estará ahogado en la losa por lo que tendrá soporte lateral total. El concreto pesa 150 lb/pie3 y el esfuerzo permisible de flexión en el acero es de 24 klb/plg². Solución Carga muerta de la losa = (8) 5 (150) 500l b / pie 12 Peso estimado de la viga = 26 Carga viva : 8 x 100 = 800 Carga uniforme total = 1326 lb/pie M (1.33)(20) 2 8 (12)(66.5) 24 66.5pie klb Sreq 33.2p lg 3 Usamos una W12 x 26 (Sx = 33.4 plg.3) El momento límite permitido por el método de esfuerzos permisibles es el momento para el cual el esfuerzo en las fibras más alejadas del eje neutro alcanzan el valor del esfuerzo de fluencia. Sin embargo, la verdadera resistencia a flexión de una viga es mayor que este valor comúnmente usado porque la viga no falla bajo esta condición. Las fibras extremas fluirán y los esfuerzos en las fibras internas crecerán hasta alcanzar el esfuerzo de fluencia y la sección total quede plastificada (véase la sección 18-3). Se muestra en el capítulo 18 que antes de que ocurra una falla local, los momentos deben ser aproximadamente 12% mayores que los producidos bajo la primera fluencia en las fibras extremas de perfiles W. Este proceso de plastificación es correcto sólo si la viga permanece estable, es decir, debe tener soporte lateral suficiente para impedir el pandeo lateral del patín de compresión (véase la sección 8-7) y debe ser suficientemente robusta para que no se presente el pandeo local. La especificación ASD-F1 da diferentes esfuerzos permisibles por flexión para diferentes condiciones. Para la mayoría de los casos, el esfuerzo permisible por flexión es Fb = 0.66 Fy 195 Esta expresión se puede usar para determinar el esfuerzo permisible por flexión en las fibras extremas de perfiles compactos laminados en caliente y de miembros armados (exceptuando los miembros de acero con Fy > 65 klb/plg² o trabes híbridas fabricadas con aceros de diferentes esfuerzos de fluencia) simétricos y cargados respecto a sus ejes menores y que cumplan los otros requisitos de la sección 85.1 de las especificaciones ASD para secciones compactas. Uno de esos requisitos es que los patines deben estar unidos continuamente al alma. Una sección armada con sus patines soldados intermitentemente al alma no cumple con este requisito. SECCIONES COMPACTAS Una sección compacta es aquella que es capaz de desarrollar la totalidad de su momento plástico antes de que ocurra cualquier falla por pandeo local. Para calificar a un perfil como sección compacta, debe satisfacer los requisitos de la sección B 5.1 de las especificaciones ASD. Casi todos los perfiles W y S de acero A36 y un gran porcentaje de los mismos perfiles hechos con aceros de alta resistencia, pueden considerarse compactos. Para secciones no compactas soportadas lateralmente las especificaciones ASD requieren que Fb sea menor que 0.66 Fy, mientras que para las secciones compactas soportadas lateralmente el esfuerzo permisible es igual a 0.66 Fy. Las secciones que contienen elementos esbeltos a compresión con relaciones ancho espesor mayores que los valores para secciones no compactas indicados en la sección B5.1, deben diseñarse de acuerdo con el apéndice B5 de las especificaciones ASD. Las proporciones necesarias para que una sección pueda considerarse compacta son especificadas por el ASD y se resumen en los párrafos siguientes. Patines Las especificaciones ASD dan valores límite para las razones ancho/espesor de patines de vigas tanto atiesadas como no atiesadas. Para las secciones usuales laminadas en caliente como los perfiles W, los patines no están atiesados, mientras que para ciertas secciones armadas, si lo están (véase la figura 6-8). Las especificaciones ASD requieren que el ancho de un elemento proyectante no atiesado de un patín de compresión dividido entre su espesor (es decir, bf/2tf) no exceda de 65/ Fy . Para elementos atiesados, la razón ancho / espesor (b/tf) no debe ser mayor que 190/ Fy , donde b es el ancho real del elemento atiesado. 196 Almas Además de los requisitos para el patín, las razones peralte/espesor (d/t) de secciones compactas no deben exceder de ciertos valores. Estos valores. son 640/ Fy 1-3.74 (fa / Fy) cuando fa / Fy 0.16 y 257/ Fy cuando fa / Fy 0.16. El término fa representa el esfuerzo causado por una fuerza axial concurrente (en caso de que esté presente). Los límites para los tamaños de almas y patines se calculan para valores diferentes del esfuerzo de fluencia y están tabulados en la tabla 8-1. Esos valores se dan en la tabla 5 de la parte "Valores numéricos" ("Numerical Values") de las especificaciones ASD, inmediatamente después del apéndice. Casi todas las secciones W y S son compactas en acero A36, mientras que un gran porcentaje de los mismos perfiles lo son en acero con Fy = 50 klb/plg². TABLA 8-1 RELACIONES MÁXIMAS ANCHO / ESPESOR PARA SECCIONES COMPACTAS Es claro de los valores mostrados en la tabla 8-1 que entre mayor sea el esfuerzo de fluencia de una sección particular, más probable es que no sea compacta. Es fácil determinar el esfuerzo de fluencia arriba del cual el alma o el patín de una sección particular no son compactos. Por ejemplo, si la razón ancho / espesor máxima de un patín no atiesado se iguala a bf /2tf y se despeja Fy, el resultado, que se denomina F 'y es 197 65 Fy bf 2t f 2 Fy F ' y 65 b f / 2t f Se da enseguida una deducción similar para el alma cuando ésta sometida a flexión combinada con fuerza axial con f a / Fa 0.16 257 d Fy t w 257t w d 2 Fy Fy''' Si el esfuerzo de fluencia en consideración es mayor que F 'y , es patín no es compacto, y si es mayor que F ''' y , el alma no es compacta. La tabla de selección de esfuerzos permisibles mencionada antes tiene las secciones no compactas claramente indicadas al mostrar el valor de F 'y , para cada sección. En la parte I del manual están tabulados los valores de F ''' y (así como los valores F 'y ), para las secciones W, M, S y HP. La séptima edición del manual ASD contiene los valores de F ''y calculados para la razón peralte / espesor de almas de vigas cuando fa es igual a cero. Los valores de F ''y ya no se publican porque son klb / todos mayores que 70 klb / plg² y el comportamiento plástico no es aceptado por las especificaciones ASD en tales aceros. Si Fy 70 klb/plg², el valor máximo permisible de Fb es 0.60 Fy, que corresponde al valor inferior del esfuerzo para la secciones no compactas. Si el alma no es compacta, el esfuerzo permisible máximo de flexión según el ASD es 0.60 Fy. Sin embargo, si el alma es compacta y el patín tiene un valor bf / 2t f 65 / Fy pero menor que 95/ Fy , se dice que el perfil es parcialmente compacto o semicompacto. Para secciones semicompactas, la ecuación ASD F1-3 proporciona una transición lineal para Fb entre 0.66 Fy y 0.60 Fy. El propósito de esta ecuación es evitar una transición abrupta del esfuerzo permisible de 0.66 Fy a 0.60 Fy. La transición lineal no es aplicable en aceros con Fy 65 198 klb/plg² o en trabes híbridas. La ecuación para la sección semicompacta es Fb Fy 0.79 0.002 bf 2t f Fy Si una sección I o H con doble simetría está flexionada respecto a su eje menor o eje y, además bf / 2t f 65 / Fy pero menor que 95/ Fy , el esfuerzo permisible de flexión debe calcularse con la expresión. Fb Fy 1.075 0.005 bf 2t f Fy El ejemplo 8-3 ilustra los cálculos necesarios para determinar el esfuerzo permisible de flexión y el momento resistente de una sección no compacta. La tabla de selección de diseño por esfuerzos permisibles en el manual ASD contiene valores (MR) del momento resistente de las secciones comúnmente usadas como vigas de aceros con 36 y 50 klb/plg2 de esfuerzo de fluencia. Estos valores se calcularon con los valores correctos Fb o sea tomando en cuenta la compacidad de la sección. Los valores dados en las otras tablas de vigas del manual también se calcularon tomando en cuenta los esfuerzos permisibles por flexión reducidos para las secciones no compactas. EJEMPLO 8-3 Calcular el momento resistente de una W12 x 65 con (a) Fy = 36 klb/plg² y (b) Fy = 50 klb/plg2. Suponga que la sección tiene soporte lateral total en su patín de compresión. Solución (a) Fy = 36 klb/plg² Las propiedades de una W12 x 65 son : d = 12.12 plg. tw = 0.390 plg, bf = 12.000 plg., tf = 0.605 plg. Sx =87.9 plg3. Los requisitos de una sección compacta son: 199 bf 2t f d tw Fb Mg 12.000 (2)(0.605) 12.12 0.390 0.66Fy FbSx 9.92 10.8 31.08 106.7 (0.66)(36)(8.79) 2089p lg klb 174pie (b) Fy = 50 klb / plg² Revisión de la sección compacta. bf 2t f 12.000 (2)(0.605) 9.92 9.2 Por lo tanto, el patín no es compacto. d tw 12.12 0.390 31.08 90.5 Aplicación de la ecuación ASD F1 –3 : Fb MR 50 0.79 0.002 FbSx 12.000 50 32.49klb / p lg 2 2x0.605 (32.49)(87.9) 2856p lg klb 238pie klb Nota.- El manual ASD se puede usar para determinar rápidamente si una sección es compacta, de la siguiente manera: F 'y = 43.0 klb/plg² 36 klb / plg² pero 50 klb/plg² Por lo tanto, el patín no es compacto para Fy = 50 klb / plg² "' Fy = 70 klb /plg² por lo que no se encuentra en la lista. El alma es entonces compacta para ambos aceros. 200 AGUJEROS EN VIGAS En ocasiones es necesario que las vigas tengan agujeros, por ejemplo, cuando se requieren para la colocación de tornillos o remaches y, algunas veces para tubos, conductos, etc. De ser posible, este último tipo de orificios deben evitarse, pero cuando son absolutamente necesarios se localizarán en el alma, si el momento es grande, o en los patines si el cortante es grande. El cortar un agujero en el alma de una viga no reduce notablemente su módulo de sección o su momento resistente; pero, como se indicará en la sección 9-1, un agujero grande en el alma reduce bastante la capacidad al cortante de la sección de acero. Cuando se hacen agujeros grandes en el alma de la viga, por lo general se colocan placas adicionales en el alma para reforzarla alrededor del agujero, contra el posible pandeo de ésta. Un ejemplo del diseño de dicho refuerzo fue publicado por Kussman y Copperl. La presencia de orificios de cualquier tipo en una viga, ciertamente no la hace más resistente, y si existe la probabilidad de que la debiliten un poco. El efecto de los orificios ha sido un tema que durante muchos años ha tenido argumentos en pro y en contra. Con frecuencia se hacen las siguientes preguntas: "¿se afecta el eje neutro por la presencia de agujeros?" y "¿es necesario restar los agujeros del patín de compresión, que van a taparse con remaches y tornillos?". La teoría de que el eje neutro se desaloja de su posición normal a la posición teórica de la sección neta, por la existencia de agujeros, es muy discutible. En los párrafos anteriores de este capítulo se ha supuesto una distribución lineal de esfuerzos, pero cuando se tienen agujeros, la situación cambia debido a la considerable concentración de esfuerzos alrededor de los agujeros. Las pruebas parecen indicar que los agujeros para remaches y pernos en el patín, no cambian apreciablemente la ubicación del eje neutro. Es lógico suponer que éste no seguirá la variación teórica exacta con sus cambios bruscos de posición en las secciones que tienen agujeros para remaches, como se muestra en la figura 8-3(b). Es más razonable la ubicación del eje neutro que se muestra en la parte (c) de dicha figura, donde se supone que existe una variación más gradual de la posición. 201 Es interesante observar que las pruebas de flexión en vigas de acero parecen mostrar que la falta radica en la resistencia del patín de compresión, aún cuando existan agujeros para remaches o pernos en el patín de tensión. La presencia de tales agujeros no parece ser tan seria como pudiera pensarse, sobre todo al compararla con agujeros en un miembro sujeto a tensión pura. Estas pruebas muestran poca diferencia en las resistencias de vigas sin agujeros y en vigas con los agujeros usuales para tornillos o remaches. Las especificaciones ASD no requieren una reducción de la resistencia permisibles de una viga con tornillos o remaches en cualquier patín siempre que la resistencia a la fractura por tensión del área neta del patín dividida entre un factor de seguridad de 2.0 sea por lo menos tan grande como la resistencia a la fluencia por tensión del área total del patín, dividida entre un factor de seguridad de 1.67. Expresado con una ecuación, ninguna deducción por agujeros de tornillos o remaches en cualquier patín es necesaria si 0.5Fu Afn 0.6Fy Afg En esta ecuación Afn es el área neta del patín y Afg es el área total del mismo. Sustituyendo en esta expresión encontramos que ninguna deducción es necesaria si el área neta del patín es igual o mayor que 75% del área total para acero A36 o 92% para acero A572 grado 50. Estos valores se muestran en la tabla 8-2 202 Tabla 8-2 Cuando se pueden despreciar los agujeros para tornillos y remaches en patines de vigas y trabes Acero A36 A572 Grado 50 A588 Ninguna reducción si Afn/Afg 0.75 0.92 0.86 Si 0.5 FuAfn es menor que 0.6 FyAfg, las especificaciones ASD requieren que las propiedades a flexión de la sección se basen en un área efectiva del patín a tensión Afe determinada por la siguiente ecuación. A fe 5 Fu A fn 6 Fy En otras palabras, para calcular el momento de inercia de los patines, la expresión Ad² se convierte en Afed². Si los agujeros se encuentran en el patín de tensión, se supone que también el patín de compresión los tiene; si se encuentran sólo en el patín de compresión, ellos se ignoran porque se considera que los conectores pueden transmitir adecuadamente la compresión a través de los agujeros. Las especificaciones AASHTO y AREA requieren el cálculo de dos momentos de inercia cuando se tienen agujeros. Para los esfuerzos de compresión se debe usar el momento de inercia total, se tengan o no agujeros. Para los esfuerzos de tensión se debe usar ¡ el momento de inercia neto. Se supone que el eje neutro permanece en su posición normal, para ambos cálculos. Al usar dos diferentes momentos de inercia se supone que los agujeros para tornillos o remaches en el lado de compresión de la viga tienen menor efecto que los situados en el lado de tensión. La práctica usual es restar la misma área de agujeros de ambos patines, existan o no. Para una sección con dos agujeros en el patín de tensión solamente, se calculan las pro- piedades de la sección, según esto, restando dos agujeros del patín de tensión, y dos agujeros del patín de compresión. El ejemplo 8-4 ilustra este método. El autor ha hecho algunos cálculos preliminares para estimar el peso de la viga. EJEMPLO 8-4 Rediseñe la viga del ejemplo 8-1 suponiendo que será necesario abrir dos agujeros para tornillos de 3/4 plg en el patín de tensión. En esta viga no se permitirá la reducción ASD. La figura 8-4 muestra la sección supuesta. 203 Solución Pero supuesto de la viga = 68 lb/pie M (4.368)(21) 2 8 240.8pie klb Sreq neto (12)(240.8) 120.4p lg 3 24 Ensayamos una W24 x 68 (S = 154 plg3, d = 23.73 plg., bf ¿ 8.965 plg, tf = 0.585 plg). Suponiendo dos agujeros en cada patín, la I de los agujeros respecto al eje neutro es (4) (7/8) (0.585)(11.57)2 = 274 plg4 La S de los agujeros es 274 11.86 23.1p lg3 120.4 plg3 S neta real = 154-23.1 = 130.9 plg3 Usamos una W24 x 68 En el ejemplo 8-5 se analiza una viga con agujeros en su patín de tensión de acuerdo con la especificación ASD B10. 204 Ejemplo 5 Una viga con sección W16 x 31 (d = 15.88 plg, bf = 5.25 plg, tf = 0.440 plg) de acero A572 grado 50 tiene dos agujeros para tornillos de 7/8 plg en su patín de tensión. ¿Es necesario reducir el área del patín para calcular las propiedades de la viga? Si es así, ¿en cuánto debe reducirse el valor de Ix?. Solución A fg A fn A fn A fg (5.525)(0.440) 1.551 0.638 2.431 2.431p lg 2 2.431 (2)(1.0)(0.440) 1.551p lg 2 0.92 para acero A572 Por consiguiente es necesario efectuar una reducción. A fe 5 Fu A fn 6 Fy 5 6 65 (1.551) 1.680p lg 2 50 Reducción en el área del patín = 2.431 – 1.680 = 0.751 plg2 Reducción en Ix = 2Ad² 15.88 0.440 (2)(0.751) 2 2 2 89.5p lg 4 Los requisitos ASD B 10 son aplicables al diseño de vigas híbridas y trabes cuyos patines consisten en un acero de grado mayor que el del alma, en tanto que esos miembros no tengan que resistir una fuerza axial mayor que 0.15 veces el Fy de los patines multiplicado por su área total. Si sólo hubiera un agujero en sólo un lado de un patín de una sección W, no habría eje de simetría para la sección neta del perfil Una solución elástica teóricamente correcta del problema implicaría determinar la posición de los ejes principales, el cálculo de los momentos de inercia principales, etc., o bien: el empleo de las ecuaciones generalizadas de la flexión asimétrica presentada en la sección 9-4. En lugar de seguir procedimientos tan largos para un problema tan sencillo, parece lógico considerar agujeros en ambos la- dos del patín. Los resultados obtenidos probablemente serán tan satisfactorios como los obtenidos mediante los métodos más laboriosos mencionados. 205 SOPORTE LATERAL DE VIGAS En una gran mayoría de vigas de acero, estas se utilizan de tal modo que sus patines de compresión están restringidos contra el pandeo lateral. (Desafortunadamente, este porcentaje no es tan grande como los calculistas lo han considerado.) Los patines superiores de las vigas, que dan apoyo a losas de concreto de edificios y puentes, a menudo se cuelan con dichos pisos de concreto. En estos casos, en que el patín de compresión está restringido contra el pandeo lateral, los esfuerzos permisibles por flexión en los patines de compresión y tensión son iguales. Si el patín de compresión de una viga no tiene apoyo lateral en cierta longitud, tendrá una condición de esfuerzo semejante a la existente en columnas. Como es bien sabido, a medida que la longitud, y por tanto, la esbeltez de una columna aumenta, el peligro de su pandeo crece para el mismo valor de la carga. Cuando el patín a compresión de una viga es largo y esbelto, se presenta el peligro de pandeo a menos que se le de apoyo lateral. Existen muchos factores que afectan el valor del esfuerzo crítico del pandeo del patín de compresión de una viga. Algunos de estos factores son las propiedades del material, el espaciamiento y tipo de apoyos laterales suministrados, los tipos de apoyos en los extremos o restricciones, las condiciones de carga, etc. La tensión en el otro patín de la viga, tiende a mantenerlo recto y restringe el pandeo del patín a compresión; pero a medida que el momento flexionante aumenta, la tendencia al pandeo se hace lo suficientemente grande como para vencer la restricción de la tensión; cuando el patín a compresión empieza a pandearse, se presenta un fenómeno colateral de torsión, y entre menor sea la resistencia torsional de la viga, progresa más rápidamente la falla. Los perfiles W, S y canales usados tan frecuentemente como secciones de vigas, no tienen mucha resistencia contra el pandeo lateral, no a la torsión resultante. Algunas otras formas, especialmente los perfiles armados en cajón, son mucho más resistentes. Estos tipos de miembros tienen más rigidez por torsión, que las secciones W, S o que las vigas armadas de alma llena. Las pruebas muestran que no se pandearán lateralmente sino hasta que las deformaciones desarrolladas queden dentro del intervalo plástico. Si una trabe en cajón cumple los requisitos de las secciones compactas dadas en la especificación ASD-F3, su esfuerzo permisible por flexión es de 0.66 Fy y si no es compacta, su esfuerzo permisible es igual a 0.60 Fy a menos que su peralte sea mayor que 6 veces su ancho. Para tales casos, los requisitos de soporte lateral deben ser cuidadosa- mente revisados. 206 Es necesario utilizar el criterio para decidir qué es lo que constituye y qué es lo que no constituye un apoyo lateral satisfactorio para una viga de acero. Tal vez la pregunta más frecuentemente formulada por los proyectistas de acero es, ¿qué es el soporte lateral? Una viga que está totalmente ahogada en concreto, o que tenga su patín a compresión en bebido en una losa de concreto, ciertamente está bien apoyada lateralmente. Cuando una losa de concreto descansa sobre el patín superior de una viga, el ingeniero debe estudiar cuidadosamente la situación para determinar si la fricción realmente proporciona apoyo lateral completo. Quizá si las cargas en la losa se encuentran razonablemente fijas en posición, éstas contribuyan a incrementar la fricción, y a tomar en cuenta esto como un apoyo lateral completo. De otra manera, si hay movimiento en las cargas, o vibraciones apreciables bien puede reducirse la fricción, y no podrá considerarse apoyo lateral completo. Estas situaciones ocurren en los puentes, debido al carácter rodante de las cargas y en los edificios con maquinaria vibratoria, tal como las imprentas. La losa de piso podría no proporcionar apoyo lateral al patín dé compresión de una viga, en cuyo caso dicho apoyo debe proporcionarse con las vigas secundarias conectadas o con miembros especiales insertados con esa finalidad. Las vigas secundarias que se conecten lateralmente a los costados de una trabe armada; a su patín de compresión, pueden normalmente contarse como elementos que suministran apoyo lateral total a través de la conexión. Si esta conexión se realiza primordialmente en el patín de tensión, se proporcionará muy poco apoyo lateral al patín de compresión. Antes de suponer que estas vigas proporcionan soporte lateral, el proyectista deberá observar si éstas no se mueven en conjunto. Las series de vigas representadas con líneas horizontales interrumpidas en la figura 8-5, suministran un apoyo lateral muy discutible a las trabes principales, que ligan a las columnas, debido a que las vigas se desalojan como un conjunto; para evitarlo se requiere de un contraventeo que forme una armadura horizontal, localizada en un tablero; tal procedimiento se muestra en la figura 8-5. Este sistema de contraventeo proporcionará suficiente apoyo lateral a las vigas, por varios tramos o tableros. Las cubiertas para techos de lámina metálica corrugada que normalmente se fijan a los largueros con abrazaderas metálicas o con ganchos, proporcionan sólo un apoyo lateral parcial y muy relativo. Un caso análogo se presenta cuando un piso de madera se atornilla a las vigas de acero que le dan apoyo. Pero ahora, el lector preguntará con toda naturalidad: "¿si sólo se dispone de un apoyo lateral parcial, qué distancia debe considerarse entre los puntos fijos de apoyo lateral?" La contestación a esta pregunta será que debe usarse el criterio propio. Como un ejemplo supongamos que un piso de madera va a atornillarse cada 4 pies a las 207 vigas de acero que le apoyan, de tal manera que se piensa que sólo tendrán apoyo lateral parcial en esos puntos. Después de estudiar la situación, bien podrá el ingeniero decidir que se ha suministrado un apoyo lateral total equivalente a intervalos de 8 pies. Tal decisión parece estar dentro del contexto de las especificaciones. VIGAS SIN SOPORTE LATERAL La práctica general a través de los años ha sido reducir el esfuerzo permisible en las fibras del patín a compresión de una viga con poco soporte lateral. Por ejemplo, las especificaciones AASHTO 1989 permiten esfuerzos permisibles de 0.55 Fy o de 20,000 Ib/plg² para el acero A36 si se proporciona soporte lateral total por medio del ahogamiento en concreto. Si no se proporciona soporte lateral total, el esfuerzo permisible de compresión se reduce de acuerdo con la fórmula Fb L 20, 000 7.5 bf 2 En esta expresión L es la distancia en plg entre puntos de soporte lateral y bf es el r ancho del patín en pulgadas. Para aceros de mayor resistencia, los valores permisibles se pueden calcular con expresiones similares dadas en esas especificaciones. El ejemplo 8-6 ilustra el uso de la expresión AASHTO para el diseño de una viga. La aplicación de las fórmulas de soporte lateral es muy similar a la de las fórmulas de columnas y puede 208 encontrarse rápidamente con ellas una sección que resista adecuadamente el momento actuante. Sin embargo, se verá que la determinación de la sección más ligera que pueda soportar adecuadamente las cargas implica un proceso tedioso de tanteos; se estudiarán luego en esta sección las curvas proporcionadas en el manual ASD que sirven para evitar el procedimiento de tanteos. EJEMPLO 8-6 Seleccionar un perfil de acero A36 para las cargas y claro de la figura 8-6. Se tiene soporte lateral sólo en los extremos de la viga. Usar las especificaciones AASHTO 1989. Solución Peso supuesto de la viga = 70 lb / pie M = (20) (10) + (0.070)(20)2 8 203.5pie klb Esfuerzo permisible supuesto = 15 klb /plg2 12x203.5 Sreq 163p lg3 15 Ensayamos una W24 x 76 (b = 8.990 plg. S = 176 plg3) Fb 12x20 20, 000 7.5 8.990 2 14.65klb / p lg 2 Momento resistente = FbS = (14.65)(176) 215pies klb 12 Usamos una W24 x 76 203.5 pies – klb Las especificaciones ASD dan tres expresiones (F1-6, F1-7 y F1-8) para determinar los esfuerzos permisibles de flexión en vigas en las que no se tiene soporte lateral continuo. Las expresiones son aplicables a perfiles laminados, trabes armadas y miembros armados con un eje de simetría en el plano del alma. Dependiendo de las proporciones del miembro y de la longitud no soportada lateralmente, se usan las ecuaciones F1-6 y F1-8 o las F1-7 y F1-8; el mayor de los valores determinado con estas ecuaciones es el esfuerzo permisible siempre que éste no sea mayor que 0.60 Fy. La resistencia de una viga al pandeo lateral puede estimarse considerando la resistencia torsional de la viga con respecto a su eje longitudinal, la resistencia a la flexión lateral de la viga, y la resistencia del patín a la 209 torsión. Sin embargo, la expresión resultante es demasiado complicada para el uso práctico en la ingeniería. Para secciones de pared delgada y peralte pequeño, la resistencia a la torsión con respecto al eje longitudinal y la resistencia al pandeo lateral, son los factores más importantes. En estos casos se considera que la ecuación ASD F1-8 da una aproximación razonable del esfuerzo de pandeo permisible. En las expresiones que siguen, L es la distancia entre puntos fijos de apoyo lateral, d es el peralte de la viga, y Af el área del patín. Si la viga en consideración estuviera en voladizo, la longitud no soportada se considera conservadoramente igual a la longitud real. El esfuerzo de compresión por flexión permitido por las especificaciones ASD para perfiles cargados en el plano de su alma y con un eje de simetría contenido en ésta es igual al mayor de los valores encontrados con las ecuaciones F1-6 o F1- 7 y F1-8, como se indica en los párrafos que siguen, siempre que no se exceda de 0.60 Fy. Este procedimiento de determinación de esfuerzos permisibles también se aplica a canales flexionadas respecto a su eje mayor. Cuando 102x103 C b Fy L rT 510x103 C b Fy 210 Usamos Fb Cuando L rT Usamos Fb 170x103 Cb (L / rT ) 2 510x103 Cb Fy 2 2 Fy (L / rT ) Fy 3 1530x103 Cb y, cuando el patín de compresión es lleno y aproximadamente rectangular en la sección transversal y su área no es menor que la del patín de tensión, Fb 12x103 Cb Ld / Af En estas expresiones L es la longitud no arriostrada del patín de compresión; rT es el radio de giro del patín de compresión más 1/3 del área del alma en compresión respecto al eje en el plano del alma; Cb es un coeficiente de momento que se incluye en las fórmulas para tomar en cuenta el efecto de los diferentes gradientes de momento en el pandeo lateral-torsional. En otras palabras el pandeo lateral puede ser afectado considerable- mente por las restricciones de extremo y las condiciones de carga del miembro. Si una sección tiene el patín de compresión considerablemente más pequeño que el de tensión, la ecuación F1-8 dará valores demasiado conservadores por lo que no debe usarse. La ecuación F1-8 debe usarse para determinar el esfuerzo permisible en canales con flexión respecto al eje mayor: La ecuación F 1-8 da valores permisibles razonables para secciones de poco peralte y paredes gruesas pero da valores algo conservadores para algunas secciones W delgadas de gran peralte así como para casi todas las trabes armadas. El proyectista podría usar esta fórmula e ignorar las otras; sus diseños serían perfectamente seguros aunque considerablemente sobrados para los casos mencionados. Para esos miembros la resistencia a torsión es el factor predominante y las ecuaciones F1-6 y F1-7 toman mejor en cuenta este efecto. En la figura 8- 7(a) el lector puede apreciar que el momento en la viga sin soporte lateral causa en el patín de compresión una peor condición que el 211 momento en la viga sin soporte lateral en la parte (b) de la figura. La razón de esto es que el patín superior de la viga (a) trabaja a compresión en toda su longitud, en tanto que en (b), la longitud de la "columna", o sea la longitud del patín superior que trabaja a compresión es mucho menor (por consiguiente, se tiene una "columna" mucho más corta). Nótese que para que el mismo claro y carga, el momento máximo en la segunda viga se reduce considerablemente. Para la viga simplemente apoyada de la figura 8- 7(a), Cb se considera igual a 1.0 en tanto que la viga en (b) se considera mayor que 1.0. Las expresiones (F1-6 a la F1-8) para el esfuerzo permisible se dedujeron para vigas sin soporte lateral sometidas a flexión de curvatura simple con Cb = 1.0. En ocasiones las vigas no están flexionadas en curvatura simple y pueden entonces resistir momentos mayores. (Es teóricamente posible bajo ciertas circunstancias que un miembro cuyo diagrama de momento implique curvatura doble, tenga una resistencia permisible a la flexión 2.3 veces mayor que el mismo miembro con un diagrama rectangular de momentos.) Para tomar en cuenta esta situación, las especificaciones ASD proporcionan momentos o coeficientes Cb mayores que 1.0, los que deben multiplicarse por los esfuerzos permisibles para los casos en que Cb = 1.0. Se obtienen así mayores capacidades de momento. El proyectista que dice conservadoramente, “yo siempre uso Cb = 1.0”, esta pasando por alto la posibilidad de lograr ahorros considerables de acero en algunos casos. Al usar valores Cb, el proyectista debe entender claramente que el esfuerzo permisible obtenido no debe ser mayor que 0.60 Fy. 212 El valor de Cb se determina con la siguiente expresión en la que M1 es el menor y M2 el mayor de los momentos flexionantes en los extremos de la longitud sin soporte lateral, tomados respecto al eje fuerte del miembro. Si el momento en cualquier punto dentro de la longitud sin soporte es mayor que los momentos en los extremos de esta longitud, se toma Cb = 1.0. La razón M1 / M2 se considera positiva si M1 y M2 tienen el mismo signo (curvatura doble) y negativa si tienen signos diferentes (curvatura simple). Cb M1 1.75 1.05 M2 M1 0.3 M2 2 2.3 Cb es igual a 1.0 para vigas en voladizo sin soporte lateral y también para vigas que tienen un momento, a lo largo de una porción considerable de su longitud sin soporte, igual o mayor que el mayor de los momentos en los extremos de esta longitud. En la figura 8-8 se muestran algunos valores típicos de Cb para diferentes vigas y condiciones de carga. La tabla 6 del apéndice ASD presenta valores calculados de Cb para varios valores de M1/ M2. El manual ASD proporciona información que simplifica considerablemente la aplicación de las ecuaciones, de apariencia compleja, del soporte lateral. Muy útiles son sobretodo los valores Lc y Lu que se dan en las secciones sobre vigas y columnas del manual. En la sección F1-1 de las especificaciones ASD se establece que para vigas con patines las distancias entre puntos de soporte lateral no debe exceder de 76bf / Fy ni de 20,000 / [d/Af)Fy] para que los miembros puedan considerarse con soporte lateral adecuado. El menor de estos dos valores se denomina Lc. 213 214 Si la distancia entre puntos de soporte lateral es mayor que Lc., el ASD establece que el esfuerzo permisible por flexión debe reducirse desde 0.66 Fy con la fórmula apropiada pero que en ningún caso debe exceder de 0.60 Fy. Sin embargo, cuando se usan esas fórmulas, hay un intervalo en que se obtiene un valor superior a 0.60 Fy. Para toda viga existe una longitud no soportada lateralmente para la cual la fórmula correspondiente da un esfuerzo permisible exactamente igual a 0.60 Fy. Esta longitud se denomina Lu en el manual. Con base en esta información se puede hacer el siguiente resumen: 1. 2. 3. Si la longitud no soportada lateralmente es Lc, Fb es igual a 0.66 Fy, siempre que se cumplan los otros requisitos de la sección F1.1 del ASD. Si la longitud no soportada lateralmente es > Lc pero Lu, Fb = 0.60 Fy. Si la longitud no soportada lateralmente es > Lc y > Lu, Fb será menor que 0.60 Fy y se determina con las fórmulas apropiadas de la sección F1.3 de las especificaciones ASD. El proyectista encontrará de gran utilidad las curvas dadas en la parte del manual titulada “Momentos permisibles en vigas sin soporte lateral mayor que Lu” (“Allowable Moments in Beams with Unbraced Length Greater Than Lu”) y analizada en la sección 8-9 de este texto. El ejemplo 8-7 ilustra los cálculos necesarios para determinar los esfuerzos permisibles en una sección W con diferente longitud no soportadas lateralmente. EJEMPLO 7 Determine los esfuerzos permisibles por flexión en una W33 x130 (véase la fig. 8-9 para claros simples de 10, 13, 20 y 30 pies sin soporte lateral. Use acero A36 y las especificaciones ASD. Solución Cálculo de las propiedades de la sección: 215 Af 1 Aw 6 (11.510)(0.855) 1 3 31.38 (0.580) 12.87p lg 2 2 rT 1 x218 2 2.91p lg. 12.87 Iy aproximada para la sección T = Iy /2 de toda la sección. Valores más exactos de rT se dan en el manual ASD; para esta sección se lee rT = 2.88 plg. Cb = 1.0 ya que el momento en el interior del claro excede a los valores del momento en los extremos. Lsin soporte = 10 pies. Lc = 12.1 pies (del manual) > 10 pies. Por lo tanto, Fb = 0.66 Fy = 24 klb/plg² Lsin soporte = 13 pies Lu = 13.8 pies (del manual) 216 Lc < Lsin soporte < Lu Por lo tanto, Fb = 0.60 Fy = 22 klb/plg² Lsin soporte = 20 pies. Lsin soporte > Lu Por lo tanto, debemos usar las fórmulas 102x103 x1.0 36 53 L 12x20 de rT 2.88 83.3 510x103 x1.0 = 119 36 Usamos las ecuaciones F1-6 y F1-7 Fb 2 (36)(83.3)2 36 18.1klb / p lg 2 3 (1530)(103 )(1) Fb 12x103 x1 14.9klb / p lg 2 12x20x3.36 Lsin soporte = 30 pies 102x103 x1.0 36 53 L 12x30 de 125 rT 2.88 510x103 x1.0 = 119 36 Usamos las ecuaciones F1-7 y F1-8 Fb 170x103 x1.0 10.88klb / p lg 2 2 (125) Fb 12x103 x1.0 12x30x3.36 9.92klb / p lg 2 217 DISEÑO DE VIGAS SIN SOPORTE LATERAL CON Cb = 1.0 El ejemplo 8-8 ilustra el diseño de una viga sin soporte lateral total usando las especificaciones ASD. El problema resulta muy sencillo si se usan las cartas del manual tituladas "Momentos permisibles en vigas sin soporte lateral mayor que Lu". ("AlIowable Moments in Beams with Unbraced Lengths Greater Than Lu"). En estas cartas los momentos resistentes de las secciones usadas comúnmente como vigas están graficadas para diferentes longitudes no soportadas lateralmente y para un Cb de 1.0. La longitud sin soporte lateral correspondiente a Lc para cada viga se muestra en las cartas con un punto negro, mientras que la longitud sin soporte lateral correspondiente a Lu se indica con un círculo. A la carta se entra con la longitud no soportada lateralmente en la escala horizontal y con el momento flexionante en la escala vertical. Se encuentra la intersección de esos dos valores y se mueve uno luego hacia arriba y hacia la derecha. Cualquier sección encontrada en esa dirección tendrá una longitud no soportada mayor y un mayor momento resistente que el necesario. La primera línea llena que se encuentra representa la sección más económica disponible. Suele encontrarse una línea interrumpida antes de encontrarse una línea llena. El perfil representado por la línea interrumpida tendrá un momento resistente suficiente pero no será la solución más económica por lo que debe uno seguirse moviendo hacia arriba y a la derecha, hasta encontrar una línea llena. EJEMPLO 8 Seleccione la sección de acero más ligera disponible para la viga mostrada en la figura 8-10 usando las especificaciones ASD y acero A36. Se tiene soporte lateral sólo en los extremos. Solución Peso propio (supuesto) de la viga = 100 lb/pie. M (7.1)(20)2 8 355pie klb Figura 8-10 218 De la carta, con Cb = 1.0 Seleccionamos una W30 x 99 DISEÑO DE VIGAS SIN SOPORTE LATERAL CON Cb > 1.0 Las cartas ASD fueron desarrolladas para casos en que Cb = 1.0; sin embargo, ellas pl den usarse fácilmente para casos en que Cb sea mayor que 1.0, siguiendo el procedimiento descrito en esta sección. En un artículo titulado .'Diseño rápido de vigas con Cb mayor que 1.0" ("Fast Design of Beams with Cb Greater Than 1.0") se presenta un procedimiento para tratar este tipo de problemas 7. Se sugieren los siguientes pasos: 1. 2. Calcule una longitud efectiva (Lef = Lb / Cb) y seleccione una sección de prueba con esa longitud y el momento calculado. El valor de Fb se limita a un valor máximo de 0.60Fy; nuestro esfuerzo de flexión, fb puede calcularse y compararse con este valor, o el valor del momento permisible cuando Fb = 0.60 Fy puede seleccionarse de las curvas. Si este esfuerzo o momento correspondiente es excedido, ensayaremos la siguiente sección más resistente y repetiremos este paso. Se determinan el esfuerzo permisible con la Ec. ASD F 1-8 así como el correspondiente momento permisible. Si el resultado es mayor o igual que nuestro momento, la sección es adecuada y no es necesaria ninguna otra revisión. Si no, podemos ensayar la siguiente sección más resistente y repetir los tres primeros pasos o seguir con el paso 4. Encontramos que nuestra sección no fue satisfactoria según la Ec. ASD F1-8 pero la Ec. F1-6 podría mostrar que sí es satisfactoria. Calculamos Le = Lb / Cb y entramos a las curvas de vigas con ese 'valor para obtener el momento permisible Si este valor es mayor o igual que nuestro momento, la sección será satisfactoria. Los ejemplos 8-9 y 8-10 presentan el diseño de dos vigas con las cartas del ASD para casos en que Cb es mayor que 1.0. EJEMPLO 9 Usando acero A36 y las especificaciones ASD, seleccione la sección W más ligera disponible para un momento de 150 pie-klb y una longitud no soportada de 24 pies; considere Cb = 1.75. 3. 4. 219 Solución Lef 24 13.7pies 1.75 d 3.82p lg 1 Af --------------------------------------------------------------------------------Ensayamos una W18 x 55 (Sx = 98.3 plg3 Momento en Lu en la carta = 180.2 pie – klb > 1540 pie – klb Revisamos la sección de prueba con la ecuación F1 – 8: Fb (12)(10)3 (1.75) 19.09klb / p lg 2 (12)(24)(3.82) (19.09)(98.3) 156.4pie klb 150pie klb 12 M Usaremos una W18 x 55 Ejemplo 10 Usando acero A36 con Fy = 36 klb/plg2 y las especificaciones ASD, seleccione la sección W más ligera disponible para un momento de 580 pie – klb y una longitud no soportada de 20 pies; considere Cb = 2.0. Solución Lef 20 10.0pies 2.0 d 3.75p lg 1 Af --------------------------------------------------------------------------------- Ensayamos una W30 x 108 (Sx = 299 plg3 Momento en Lu en la carta = 548 pie – klb < 580 pie – klb Ensayamos la siguiente sección más resistente en la carta, o sea la W30 x d 3.36p lg 1 ) 116 (Sx = 329 plg3, Af ----------------------------------------------------------------------------------------- 220 Momento en Lu = 603 pie – klb > 580 pie – klb Revisamos la sección de prueba con la ecuación F1 – 8: Fb (12)(10)3 (2.0) (12)(20)(3.36) 29.76 Usamos 0.60 Fy (22)(329) 12 22klb / p lg 2 M 603pie klb 580pie klb Usaremos una W30 x 116 En caso de ser necesario diseñar una viga sin soporte lateral total sin poder usar las cartas (por ejemplo, cuando no se disponga de cartas para el acero propuesto, o cuando las condiciones particulares no coincidan con las de las cartas disponibles, etc.) se tendrá que usar un procedimiento de tanteos. Este procedimiento consistiría en suponer un esfuerzo permisible, calcular el módulo de sección requerido, seleccionar una viga de prueba, determinar el esfuerzo permisible para esta viga, etc. Sin embargo, las ecuaciones ASD contienen varias variables y aunque no es difícil encontrar una sección que soporte adecuadamente la carga, es bastante difícil encontrar la sección más ligera por el procedimiento de tanteos. El estudiante podría lógicamente preguntar: "¿Qué hago si la viga considerada no tiene patín de compresión?" Tal situación podría ocurrir para la cuerda inferior de una armadura sometida a una carga intermedia que genere flexión además de los esfuerzos normales axiales. Si el miembro consiste en un par de ángulos o en una T estructural con los patines en el lado de tensión, no se tendrá un patín de compresión sino sólo un alma. Las fórmulas presentadas en esta sección son para miembros con dos ejes de simetría como en el caso de los perfiles W y S. Para otros perfiles se requieren expresiones más complicadas para estimar los esfuerzos permisibles. Para estos casos se aconseja al estudiante consultar la Guide to Stability Design Criteria for Metal Structures (Guía para los criterios de diseño por estabilidad de estructuras metálicas). Una práctica razonable y muy conservadora es suponer Fb = O.60Fy para tales casos, siempre que se satisfagan los requisitos de la sección ASD B5 respecto al pandeo local. 221 DISEÑO DE VIGAS (Continuación) FUERZA Y ESFUERZO CORTANTE La viga mostrada en la figura 9-1(a) está sometida a dos tipos de acción cortante: transversal y longitudinal. La figura 9-1 (b) ilustra la acción cortante transversal; se ve que existe la tendencia de la parte de la viga a la izquierda de la sección 1-1 de deslizarse hacia arriba con respecto a la parte de la viga a la derecha de la misma sección. Este tipo de falla por cortante no ocurre en una viga común de acero porque se presentará primero el aplastamiento del alma (analizado en la sección 9-3). Sin embargo, el cortante transversal puede ocasionar la falla en vigas que han sido recortadas, como se muestra en la figura 9-1(c). El otro tipo de cortante se ilustra en la figura 9-1(d) y ocurre debido a la fIexión del elemento, la que ocasiona cambios en las dimensiones de las fibras longitudinales. Si la flexión es positiva, las fibras inferiores se alargan, las fibras superiores se acortan y las que quedan entre éstas y que definen el plano neutro, no cambian de longitud. Debido a estas deformaciones variables, una fibra particular tiene la tendencia a deslizarse sobre la "Sora de arriba o la de abajo. El valor más grande del cortante horizontal o esfuerzo rasante ocurre justamente en el eje neutro. Si se hace una viga de madera superponiendo tablones, sin conectarIos entre sí, obviamente tenderá a adoptar la forma mostrada en la figura 91(d). Es posible que el lector haya observado vigas cortas de madera 222 solicitadas por grandes cargas y que presentan grietas horizontales provocadas por el esfuerzo rasante. La anterior presentación del problema puede parecer engañosa, al mostrar por se;:arado los dos esfuerzos cortantes horizontal y vertical; en realidad el esfuerzo cortante el rasante, en cualquier punto, son simultáneos, no pudiendo separarse. Más aún, no puede ocurrir uno sin el otro. La tendencia a resbalar es resistida por la resistencia a cortante del material. Aunque el tamaño de una viga de acero rara vez es regido por el cortante, es conveniente revisarlas por este concepto particularmente si son cortas y tienen cargas de gran intensidad. La fuerza cortante máxima se presenta usualmente cerca de los apoyos, pero la fuerza cortante está presente a lo largo de toda la viga. El esfuerzo cortante transversal medio en la sección de una viga en un cierto punto del claro es igual a la fuerza cortante externa divi:lda entre el área de la sección transversal de la viga. Sin embargo, la fórmula del esfuerzo cortante longitudinal muestra que éste no es constante sobre la sección transversal; tiene un valor nulo en las fibras extremas y un valor máximo en el valor neutro. La cono:]da fórmula que se muestra a continuación, se puede usar para calcular el esfuerzo cortante unitario en cualquier punto. (Esta fórmula se aplica a las vigas con secciones transversales abiertas no sometidas a torsión.) VQ fv bI Donde : v = fuerza cortante externa en la sección considerada Q = momento estático respecto al eje neutro de la porción de la sección transversal localizada arriba (o abajo) del nivel en que fv se está calculando 1 = momento de inercia de toda la sección respecto al eje neutro b = ancho de la sección en el lugar en que se calcula el esfuerzo cortante. Cuando esta fórmula se usa para calcular el esfuerzo cortante en la cara de una sección W, M o S, los valores que se obtienen son muy pequeños en los patines y muy gran.:es en el alma. Los valores en el alma son bastante uniformes sobre toda su altura figura 9-2 muestra la variación del esfuerzo cortante sobre la sección transversal de una W24 x 76 que resiste una fuerza cortante externa de 60,000 lb. 223 La práctica común de suponer una variación uniforme del esfuerzo cortante sobre la altura del alma (usando el peralte total de la sección) parece ser razonable después de examinar la figura 9-2. El esfuerzo cortante obtenido de acuerdo con esta hipótesis es 60,000/(23.92)(0.440) = 5,700 lb/plg², que no es mucho menor que el valor teórico máximo de 6,430 Ib/plg². De hecho, los esfuerzos cortantes permisibles dados por la mayoría de las especificaciones se han obtenido suponiendo que los cálculos se efectuarán con base en una distribución uniforme del cortante. Para la mayoría de las secciones W, S y en canal con relativamente grandes patines y almas delgadas, los resultados que se obtienen de esta hipótesis son razonables. Para otros perfiles, algunos cálculos son necesarios para ver si el porcentaje de error es considerable. Un procedimiento más conservador utilizado por algunos ingenieros consiste en usar sólo la altura del alma en el cálculo del esfuerzo cortante medio. Este procedimiento daría un esfuerzo de 60,000/(22.56)(0.440) = 6,044lb/plg² en el caso que estamos considerando. Aunque algunos proyectistas usan el peralte total de la viga y otros sólo la altura del alma o incluso sólo la distancia entre las puntas de los filetes de las secciones laminadas, casi todos usan sólo la altura del alma en el caso de trabes armadas. Las especificaciones ASD F4 establecen que el esfuerzo cortante permisible Fv es igual a 0.40 Fy si h/tw 380 / Fy . En esta expresión h es la distancia libre entre patines de vigas o trabes armadas. Casi todas las secciones laminadas caen en esta clase y se considera que el área efectiva de la sección transversal para resistir la fuerza cortante es igual al peralte total del miembro multiplicado por el espesor del alma. Para tales casos el esfuerzo cortante se calcula como sigue: fv V dt w 0.40Fy 224 Si h/tw, es mayor que 380/ Fy , el esfuerzo cortante permisible Fv es de Fy /2.89 (Cv) 0.40 Fy, en donde Cv está dado en la sección F4 de las especificaciones y es la razón del esfuerzo "crítico" del alma al esfuerzo cortante de fluencia del alma. (Cv se estudiará en el capítulo 17.) Este esfuerzo cortante permisible es aplicable a la distancia libre entre patines multiplicada por el espesor del alma: fv V ht w La fuerza cortante externa máxima permisible que una viga puede resistir puede calcularse sustituyendo el esfuerzo cortante permisible Fv en la expresión anterior y despejando a V. V = Fv dtw o V = Fvhtw En las tablas de vigas del manual ASD este valor de V está tabulado para cada una de las secciones normal mente usadas como vigas con esfuerzos de fluencia de 36 y 50 lb/plg². Con ayuda de estas tablas el proyectista puede revisar la fuerza cortante de una viga dada. Si es muy grande es posible seleccionar rápidamente otra sección que tenga una V permisible satisfactoria. En algunas ocasiones, en que se tienen claros cortos y fuerzas cortantes intensas, las vigas S con sus almas relativamente robustas pueden resultar económicas. Generalmente el cortante no es un problema en las vigas de acero porque las almas de los perfiles laminados son capaces de resistir grandes esfuerzos cortantes. Se indica a continuación una serie de situaciones comunes en las que el cortante sí podría ser excesivo. 1. Si se colocan grandes cargas concentradas cerca de los apoyos de una viga, se originarán fuerzas cortantes considerables sin incrementos correspondientes en los momentos flexionantes. Un ejemplo bastante común de este tipo ocurre en edificios altos en donde las columnas de un piso están desfasadas (fuera de eje) respecto a las columnas del piso inferior. Las cargas de las columnas superiores aplicadas a las vigas del piso serán bastante grandes si hay muchos pisos arriba del piso considerado. Probablemente el problema más común de cortante ocurre cuando dos miembros estructurales (como una viga y una columna) están rígidamente conectados entre sí, de manera que sus almas se encuentran en un mismo plano. En la sección E6 de los Comentarios 225 2. 3. a las especificaciones ASD se dan fórmulas que indican cuándo las almas están sobreesforzadas por cortante y cuándo necesitan ser reforzadas en tales casos. Esta situación que se presenta comúnmente en las conexiones de vigas y columnas de marcos rígidos se analizará en la sección 19-4 en relación con el diseño plástico. Cuando las vigas están despatinadas, como se muestra en la figura 9-1(c), el cortante puede ser un problema. En este caso los esfuerzos cortantes deben tomarse con el peralte reducido de la viga. Un caso parecido se presenta cuando las almas contienen agujeros para ductos o para otros fines. Teóricamente las vigas cortas cargadas fuertemente pueden tener cortantes excesivos, pero esto no ocurre con mucha frecuencia a menos que se trate de casos parecidos al caso l. El cortante puede ser un problema aun para cargas ordinarias cuando se usan almas muy delgadas como en las trabes armadas o en los perfiles doblados en frío de pared delgada. 4. 5. Si los esfuerzos cortantes calculados exceden a los valores permisibles, pueden soldarse placas de refuerzo al alma de la columna o bien pueden soldarse atiesadores al alma en las zonas de cortante intenso. El ejemplo 9-1 presenta una breve ilustración del cálculo de un esfuerzo cortante. EJEMPLO 9-1 Seleccione una sección W para la carga y claro mostrados en la figura 9-3. Use acero A36 y suponga que el patín de compresión tiene soporte lateral total. Revise también el cortante. Solución Peso supuesto de la viga = 76 lb/pie M (2.076)(24)2 8 (30)(8) 389.5pies klb 226 Figura 9-4 posible falla de bloque de cortante a lo largo de las líneas punteadas. Sreq (12)(389.5) 194.7p lg3 24 Ensayamos una W24 x 76 (d = 23.92 plg, tw = 0.440 plg) Revisión del cortante: d tw 23.92 0.440 54.36 380 36 63.33 Por tanto Fv = 0.40 Fy = 14.4 klb/plg² Máx V = (2.076)(12) + 30 = 54.91 klb fv 54.91 (23.92)(0.440) 5.22klb / p lg 2 14.4klb / p lg 2 227 También de las tablas en la parte 2 del manual, se tiene para una W24 x 76 de acero A36: Máx V= 152 klb > 54.91 klb Usaremos una W24 x 76 En algunas ocasiones la conexión se hace en sólo una pequeña porción o altura del alma de una viga. Sin embargo, el esfuerzo cortante permisible de 0.40 Fy se basa en la hipótesis de que el esfuerzo cortante se reparte uniformemente sobre toda el alma (V/dtw). En tales casos, el proyectista puede tener que suponer que el cortante se reparte sobre una altura menor. Cuando vigas que tienen sus patines superiores al mismo nivel (caso común) se conectan entre sí, suele ser necesario recortar una de ellas, como se muestra en la figura 9.4. En tales casos puede ocurrir una falla de bloque de cortante a lo largo de la línea punteada mostrada. DEFLEXIONES Las deflexiones de las vigas de acero se limitan generalmente a ciertos valores máximos. Algunas de las buenas razones para limitar las deflexiones son las siguientes: 1. Las deflexiones excesivas pueden dañar los materiales unidos o soportados por las vigas consideradas. Las grietas en los cielos rasos ocasionadas por grandes deflexiones en los largueros que los soportan, son un ejemplo. La apariencia de las estructuras se ve afectada por deflexiones excesivas. Las deflexiones excesivas no inspiran confianza en las personas que utilizan una estructura, aunque exista una completa seguridad desde el punto de vista de la resistencia. Puede ser necesario que diferentes vigas que soportan la misma carga, tengan las mismas deflexiones. 2. 3. 4. La práctica americana normal para edificios, ha sido limitar las deflexiones por carga viva a aproximadamente 1/360 de la longitud del claro; se supone que esta deflexión es la máxima que toleran las vigas con el fin de 228 que los aplanados o los plafones que soportan no presenten grietas. La deflexión de 1/360 es sólo uno de los muchos valores de la deflexión máxima en uso para las diferentes condiciones de carga, por distintos ingenieros, o diferentes especificaciones; para los casos donde se soporta maquinaria delicada y precisa, las deflexiones máximas pueden quedar limitadas a 1/1500 o 1/2000 de la longitud del claro. Las especificaciones AASHTO 1989 fijan las deflexiones de las vigas y trabes de acero por efecto de cargas vivas e impacto a l/800 del claro. (Para los puentes en áreas urbanas y que usan también los peatones, las especificaciones AASHTO recomiendan un valor máximo de I/1000 del claro.) Las especificaciones ASD no especifican exactamente deflexiones máximas permisibles. Existen tantos materiales diferentes, tipos de estructuras y cargas que no es aceptable un solo grupo de deflexiones máximas para todos los casos. Por ello los valores máximos debe establecerlos el proyectista basándose en su experiencia y buen juicio. Antes de sustituir a ciegas la fórmula que da la flecha de una viga para determinada condición de carga, el lector deberá conocer los métodos teóricos para calcular deflexiones; entre estos métodos se incluyen el de área de momentos, el de la viga conjugada y el del trabajo virtual. Con estos métodos pueden obtenerse varias expresiones como la del final de este párrafo para la deflexión en el centro del claro de una viga simple con carga uniformemente repartida. 5wL4 384EI En las expresiones para deflexiones como ésta, el lector debe ser muy cuidadoso para usar unidades consistentes. El ejemplo 9-2 ilustra la aplicación de la expresión anterior. El autor ha cambiado todas las unidades a libras ya pulgadas; la carga dada en el problema en klb/pie se ha cambiado entonces a Ib/plg. EJEMPLO 9-2 En el ejemplo 8-1 se seleccionó una W21 x 62 (Ix = 1330 plg4) con un claro simple de 21 pies para soportar una carga uniforme total de 4.362 klb/pie que incluye el peso propio de la viga. Calcular la deflexión total en el centro del claro. Solución 229 5wL 384EI 4 4362 (12x21)4 12 (384)(29x106 )(1330) (5) 0.495p lg En las tablas de vigas de la parte 2 del manual ASD se da un valor útil de la deflexión para cada viga de la tabla cargada con su máxima carga uniforme permisible. La carga W uniforme total en la viga del ejemplo 9-2 es wL = (4.362)(21) = 91.60 klb. En las tablas, la máxima W para una W21 x 62 de acero A36 es 96 klb Y su deflexión en el centro del claro para esa carga es 0.52 plg. Por proporciones, la deflexión para la carga del ejemplo será (91.60/96)(0.52) = 0.496 plg. Algunas especificaciones consideran el problema de la deflexión, requiriendo ciertas razones mínimas de peralte claro. Por ejemplo, la AASHTO sugiere que la razón de peralte a claro se limite a un valor mínimo de 1/25. Se permite una sección con menor peralte, pero siempre que tenga suficiente rigidez para prevenir una deflexión mayor que la que se tendría si se hubiese usado la razón 1/25. De manera similar, la sección L3.1 de los Comentarios ASD sugiere un peralte mínimo igual a (Fy / 800) x (longitud del claro) para vigas y trabes totalmente esforzadas en sistemas de pisos. Si deben usarse miembros de menor peralte, se sugiere que sus esfuerzos permisibles por flexión se reduzcan en la misma razón que sus peraltes respecto al valor recomendado. Los Comentarios recomiendan también que el peralte de largueros de techo totalmente esforzados sea por lo menos igual a (Fy /1000) x (longitud del claro), excepto en techos planos. A una viga de acero debe dársele una contraflecha en frío con un valor igual a la flecha producida por las cargas muertas, o la ocasionada por las cargas muertas, más cierto porcentaje de la carga viva. Aproximadamente el 25% de la contraflecha así producida es elástica, y desaparece cuando termina la operación de prensado necesaria para ocasionarla. En la parte l del manual ASO se presenta una información detallada para secciones particulares titulada "Standard Mili Practice" ("Prácticas normales de laminación"). Se debe recordar que una viga que se flexione hacia arriba se ve más segura y resistente que la que se flexiona hacia abajo, (aun a corta distancia). El requisito de contraflecha es muy común en las vigas de acero de gran longitud. Un gran porcentaje de las vigas usadas actualmente en la construcción compuesta (véase el capítulo 16) reciben contraflecha. 230 A los fabricantes de las estructuras de acero les resulta muy molesto el proceso de dar contraflechas, ya que esto les ocasiona problemas económicos adicionales. Una regla empírica establece que se requiere aproximadamente 1 hora de trabajo extra para darle contraflecha a una viga. Otro problema que surge al dar contraflecha a las vigas es que las dimensiones de éstas deben determinarse con mucha precisión para lograr un buen ajuste durante el montaje. Como consecuencia de esos problemas y los costos extras al fabricante (y por consiguiente al propietario) casi siempre es más económico usar secciones más grandes que reduzcan suficientemente las deflexiones en las vigas que darles a estas contraflechas. De la misma manera, si se está usando un acero de alta resistencia, puede ser conveniente cambiar este acero en las vigas que requieren contraflecha a un acero A36. Se obtendrán vigas más grandes pero menores deflexiones por lo que podría ahorrarse así el costo de dar contraflecha. Las deflexiones pueden determinar el tamaño de las vigas para claros grandes o para pequeños, en los que las limitaciones a la deflexión son muy severas. Para ayudar al proyectista a seleccionar secciones en las que puede regir la deflexión, el manual ASD incluye en su parte 2 una tabla titulada "Moment of 1nertia Selection Table" ("Tabla de selección de momentos de inercia") en la que los valores Ix se indican en orden descendente para todas las secciones usadas normalmente como vigas. En esta tabla las secciones están ordenadas en grupos con la sección más ligera de cada grupo impresa en negritas. El ejemplo 9-3 presenta el caso de una viga en la que la deflexión rige en el diseño. EJEMPLO 9-3 Seleccione la sección más ligera de acero A36 para soportar una carga total de 4.2 klb/pie en un claro simple de 30 pies; la deflexión máxima permisible es de 1/1500 del claro. La sección tendrá soporte lateral total. Solución Peso supuesto de la viga = 194 lb/pie (después de algunos cálculos preliminares) 231 M (4.394)(30) 2 8 (12)(494.32) 24 494.32pie klb Sreq 247.2p lg 3 Ensayamos una W30 x 99 (Ix = 3990 plg4) máxima permisible = 1 (12x30) 0.24p lg 1500 (5) 4394 (12x30) 4 12 real en el centro del claro = (384)(29x106 )(3990) = 0.692 plg > 0.24 plg. Ix requerida para limitar la Ix a 0.24 plg. 0.692 (3990) =11.504 plg4 0.24 De las tablas de momentos de inercia. Escogemos una W40 x 167 ALMAS Y PATINES CON CARGAS CONCENTRADAS Cuando los miembros estructurales de acero tienen cargas concentradas aplicadas perpendiculares a un patín y simétricamente respecto al alma, sus patines y alma deben tener suficiente resistencia de diseño por flexión, por fluencia, aplastamiento y pandeo lateral del alma. Si un miembro estructural tiene cargas concentradas aplicadas en ambos patines, deberá tener suficiente resistencia de diseño por fluencia, aplastamiento y pandeo del alma. En esta sección se presentan fórmulas para determinar tales resistencias. Pandeo local del patín En la figura 9-5 se supone que el miembro horizontal está unido rígidamente a los patines del miembro vertical. Puede entonces ser necesario colocar atiesadotes transversales en el miembro vertical 232 (mostrados con líneas interrumpidas) si el esfuerzo de flexión en el patín del miembro soportantes es muy grande. El esfuerzo de flexión está limitado por la Ec. ASD K1 – 1. En esta ecuación Fyc es el esfuerzo de fluencia de la columna y Pbf es 5/3 veces la fuerza calculada en klb aplicada por el patín o la conexión de momento, si tal fuerza es debida sólo a cargas muertas y vivas. El factor es 4/3 cuando la fuerza es debida a carga muerta y viva combinada con fuerzas de viento o sismo. Este factor es a veces diferente en otros códigos de construcción. Se requieren atiesadotes si el espesor del patín del miembro es menor que : 0.4 Pbf Fyc No es necesario verificar esta fórmula si la longitud de la carga a través del patín de la viga es menor que 0.15 veces al ancho bf del patín. Las áreas requeridas para los atiesadores no son dadas por las especificaciones ASD. Sin embargo, la sección K1.8 proporciona dimensiones mínimas para los atiesadores. Además, los atiesadores usados deben cumplir los requisitos de ancho / espesor de la sección B5. La ecuación K1-1 se puede igualar al espesor del patín tf y despejar de ahí Pbf como sigue: Pbf Fyc t f2 0.16 Pfb 233 Si este valor, tabulado en las tablas de columnas del manual, es excedido, será necesario utilizar atiesadores. Fluencia local del alma Las vigas que soportan cargas concentradas internas intensas fallan a veces por fluencia del alma a menos que ésta sea reforzada cerca de las cargas. La fluencia del alma se debe a las concentraciones de esfuerzos en la unión del patín con el alma, o sea, donde la viga trata de transmitir compresión del patín relativamente ancho al alma estrecha. Como se muestra en la figura 9-6, las cargas se suponen distribuidas longitudinalmente sobre una distancia = 2.5 k a lo largo de la viga desde el punto de aplicación de la carga para cargas aplicadas en o cerca del extremo del miembro y sobre una distancia = 2.5 k a cada lado de una carga aplicada a una distancia, desde el extremo del miembro mayor que el peralte d. El extremo del filete es el lugar más peligroso en cuanto a fallas ya que el área resultante tiene ahí su valor más pequeño. La especificación ASD K 1.3 no permite que la compresión en este punto exceda a 0.66 Fy en vigas sin atiesadores del alma. Con esta información se verá claramente cómo se obtuvieron las siguientes expresiones ASD. El esfuerzo se calcula dividiendo la carga concentrada o reacción entre un área igual al espesor tw del alma multiplicado por la longitud sobre la que se supone que la fuerza está distribuida. Si la fuerza es una carga concentrada o una reacción que causa tensión o compresión y está aplicada a una distancia mayor que el peralte del miembro medida desde el extremo de éste. 234 R t w (N 5k) 0.66Fy En las tablas de vigas de la parte 2 del manual ASD se han sustituido valores numéricos en partes de la ecuación K1 – 3 para los perfiles usados como vigas con Fy = 36 y 50 klb / plg² y se han denominado R1 y R2. Estos términos son: R1 = 1.65 kFywtw (primera parte de la ecuación) R2 = 0.66 Fyw tw (segunda parte de la ecuación excepto para N) La ecuación completa puede entonces escribirse como: R = R1 + R2 N Los valores de R1 y R2 se pueden seleccionar de las tablas de vigas y usarse en la ecuación anterior para determinar la R permisible desde el punto de vista de la fluencia del alma para un cierto valor de N; o bien, de la ecuación se puede despejar a N, que es la longitud de apoyo mínima para una carga concentrada o reacción en o cerca del extremo de un miembro, de manera que la fluencia local del alma no represente un problema. N R R1 R2 Aplastamiento del alma La especificación ASD K1. 4 establece que son necesarios atiesadores de apoyo en las almas de un miembro cuando una fuerza concentrada es mayor que cierto valor. Este valor límite se determina con la ecuación, apropiada de las dos indicadas a continuación (en ellas Fyw es el esfuerzo de fluencia especificado para el alma de la trabe). Si se proporcionan atiesadores y estos se extienden por lo menos hasta la mitad del peralte, no es necesario revisar el aplastamiento. Si la carga concentrada se aplica a una distancia no menor que d/2 medida desde el extremo del miembro. 2 w R 67.5t N 1 3 d tw tf 1.5 Fyw t f tw Si la carga concentrada se aplica a una distancia menor que d/2 medida desde el extremo del miembro. 235 R 34t 2 w N 1 3 d tw tf 1.5 Fyw t f tw Se ha sustituido valores numéricos en partes de la ecuación K1-5 y se han denominado R3 y R4 en las tablas de vigas del manual. R3 34t 2 w Fyw t f tw 1 3 d tw tf (primera parte de la ecuación) 1.5 R 34t 2 w Fyw t f tw (segunda parte de la ecuación excepto para N) La ecuación completa puede entonces expresarse como R = R3 + R4N Los valores de R3 y R4 se pueden obtener en las tablas de vigas y se puede entonces despejar de la ecuación anterior a N, que es la longitud de apoyo mínima para cargas concentradas o reacciones situadas a una distancia menor que d/2 del extremo de un miembro, de manera que el aplastamiento del alma no presente problemas. N R R3 R4 En el ejemplo 9-4 se determina la longitud mínima de apoyo requerida en el extremo de una viga por fluencia y aplastamiento del alma. Además se revisa la longitud de 6 plg. sobre la que un par de cargas concentradas interiores están aplicadas. En muchas vigas la longitud de apoyo determinada teóricamente es demasiado pequeña desde un punto de vista práctico y puede incluso resultar negativa. Si éste es el caso, el proyectista seleccionará un valor razonable que se ajusta a los requisitos constructivos. En vigas de acero apoyadas sobre mampostería debería usarse una longitud mínima de apoyo de aproximadamente 3 ½ a 4 plg. (90 a 100 mm). Debe recordarse que un gran porcentaje de fallas estructurales, sobre todo durante el montaje, han ocurrido 236 debido a un apoyo insuficiente. Otro aspecto que debe tenerse en cuenta es que el área de apoyo debe ser suficientemente grande para que los esfuerzos de apoyo no excedan los valores permisibles del material de soporte. En la sección 9-7 se tratará este tema. Ejemplo 4 Se ha seleccionado una viga de acero A36 con sección W33 x 130 para la carga y claro de la figura 9-7 (a) Determinar la longitud mínima de apoyo requerida en las reacciones. (b) Las cargas concentradas de 50 klb se aplican a la viga sobre un ancho de 6 plg. ¿Es éste ancho suficiente?. Solución Propiedades de la W33 x 130: tw = 0.580 plg., tf = 0.855 plg., k = 111/16 plg = 1.688 plg., d = 33.09 plg. R1 = 58.1 klb, R2 = 13.8 klb/plg, R3 = 83.3 klb y R4 = 4.22 klb / plg. (a) Longitud mínima de apoyo necesaria en las reacciones 80 58.1 1.59p lg. 13.8 R R 3 80 83.3 Por aplastamiento del alma, N número negativo. R4 4.22 Usamos 3 ½ plg. Por fluencia del alma, N = R R1 R2 (b) Revisión de la longitud de apoyo bajo las cargas de 50 klb 237 R t w (N 5k) 80 (0.580)(6 5x1.688) 1.5 9.55klb / p lg 2 24klb / p lg 2 R 67.5t 2 w N 1 3 d tw tf Fyw t f tw 6 (67.5)(0.580) 1 3 33.09 2 0.580 0.855 1.5 (36)(0.855) 0.580 215.7klb 80klb PANDEO LATERAL DEL ALMA Si se aplica carga al patín de compresión estando éste soportado lateralmente, el alma quedará sometida a compresión y el patín de tensión podría pandearse como se muestra en la figura 9-8. Se ha encontrado que el pandeo lateral del alma no ocurrirá si los patines están restringidos contra rotación con (dc / tw) (L/bf) > 2.3 o si (dc / tw) (L/bf) > 1.7. Cuando la rotación del patín no está restringida. En estas expresiones dc es el peralte del alma medido entre las bases de los filetes de soldadura, o sea, d – 2k, y L es la longitud más grande sin soporte lateral a lo largo de cualquier patín en el punto de la carga. También es posible prevenir el pandeo lateral del alma por medio de soportes laterales adecuadamente diseñados o por medio de atiesadores en el punto de aplicación de la carga. Los Comentarios K1 – 5 del ASD sugieren que los soportes laterales locales para ambos patines se diseñen para el 1% de la magnitud de la carga concentrada aplicada en el punto. Si se utilizan atiesadores, éstos deben extenderse desde el punto de aplicación de la carga hasta por lo menos la mitad del peralte del miembro y deben diseñarse para soportar la carga total. Debe evitarse la rotación de los patines para que los atiesadores sean efectivos. 238 Si los patines de miembros estructurales no están restringidos contra movimiento relativo por medio de atiesadores o soportes laterales y están sometidos a cargas concentradas de compresión, podrían requerirse atiesadores si las cargas exceden los límites siguientes: Cuando el patín cargados está restringido contra rotaciones y (dc / tw) / (L/bf) es menor que 2.3 use. R 6800t 3 d /t w 1 0.4 c w h L / bf 3 Cuando el patín cargado no está restringido contra rotaciones y (dc / tw) (L/bf) es menor que 1.7 use R 6800t 3 d /t w 0.4 c w h L / bf 3 CALCULO DE LOS ESFUERZOS En algunas ocasiones se tienen miembros en los que la parte más importante de su carga es el momento flexionante pero que están sometidos también a carga axial. Sin embargo, es más común el caso en que los miembros tengan como parte principal de su carga una carga axial y actúe sobre ellos simultáneamente un momento flexionante. Aquellos miembros que están sometidos a esfuerzos considerables tanto de compresión como de flexión se denomina vigas – columnas. Es difícil obtener con exactitud los esfuerzos en miembros sometidos a una combinación de carga axial y de flexión y los esfuerzos calculados en este capítulo son en realidad de carácter aproximado. 239 El esfuerzo en cualquier punto de un miembro sometido a flexión y a carga axial se obtiene comúnmente con la siguiente expresión. (Esta expresión es aproximada ya que no incluye el efecto de las deflexiones laterales crecientes ocasionadas por los momentos y su efecto subsecuente en los momentos y en los esfuerzos). f P A Mc I Con frecuencia la flexión se presenta respecto a ejes que no son ni el x ni el y; o sea; la flexión ocurre respecto a estos dos ejes simultáneamente; es el caso en columnas en esquinas de edificios. Los esfuerzos en miembros sometidos a carga axial y flexión respecto a ambos ejes se determina usualmente con la fórmula. f P A Mx y Ix Myx Iy El ejemplo 10-1 muestra los cálculos necesarios para determinar el esfuerzo total en un miembro de una armadura de puente debido al esfuerzo axial más el esfuerzo de flexión generado por el peso apropiado. Los cálculos que haremos aquí serán muy claros pero conviene hacer al respecto algunos comentarios. Se observará primero que aunque se trata de un miembro atornillado, se usa el área total de la sección, ya que los agujeros para los tornillos se encuentran en el extremo del miembro en tanto que el momento máximo se presenta en la línea central de la pieza. Además, los esfuerzos de flexión debido al peso propio del miembro no son muy grandes en este ejemplo y de hecho no lo son en la mayoría de los miembros de armaduras. Sin embargo, cuando los miembros de armaduras son muy grandes y pesados, los momentos debido al peso propio pueden adquirir valores considerables. Los ingenieros que preparan las especificaciones usadas para el diseño de miembros de armaduras han reducido los esfuerzos permisibles axiales aproximadamente en un 25% para tomar en cuenta los esfuerzos secundarios. Se pueden hacer consideraciones similares respecto a la magnitud de los esfuerzos por flexión en columnas debido a imperfecciones en éstas, a cargas ligeramente excéntricas y a los momentos debido a deflexiones laterales. Desde un punto de vista teórico estricto, las vigas, columnas o miembros de armaduras deberían diseñarse por carga axial y flexión. Sin embargo, es probable que los esfuerzos permisibles disminuidos proporcionen un margen suficiente para cubrir los casos usuales de falta de axialidad en las cargas, imperfecciones geométricas en las columnas y esfuerzos 240 secundarios en los miembros de armaduras. A menos que la situación sea severa, el proyectista probablemente no incluirá los momentos en su diseño. Las especificaciones rara vez mencionan este asunto y lo dejan al buen juicio del proyectista. Esta exposición no se aplica a miembros de armaduras con cargas transversales entre sus nudos o a columnas con momentos considerables que formen parte de un marco rígido. EJEMPLO 1 La cuerda inferior de una armadura de puente atornillado tiene 22 pies de longitud, una fuerza máxima de tensión de 310 klb, y está hecha de 4L6 x 4 x ½, dispuestos como se muestra en la figura 10-1. Determine el esfuerzo máximo en la cuerda debido a la fuerza axial de tensión más la flexión producida por el peso propio del miembro. Solución A total 19p lg 2 , I x 2[12.5 9.5(0.987) 2 ] 43.5p lg 4 Peso de L = 19 (490) 64.8lb / pie 144 M wl2 8 P A (64.8)(22) 2 8 Mc I 310, 000 19 3,920pie lb f (12)(3,920)(4.00) 43.5 f 16,315 4,325 20, 640lb / p lg 2 Porcentaje de esfuerzo debido al peso del miembro = 4,325 20,640 21% 241 ESPECIFICACIONES PARA ESFUERZOS COMBINADOS Los párrafos anteriores mostraron cómo pueden combinarse los esfuerzos debidos a flexión y carga axial. Los cálculos al respecto son muy sencillos pero el problema de establecer un esfuerzo permisible combinado es mucho más difícil. Se tienen esfuerzos permisibles para esfuerzos por flexión pura y por carga axial pura, pero los dos valores dados en una especificación particular son probablemente diferentes. ¿Qué valor debe usarse cuando los dos tipos de esfuerzos ocurren simultáneamente?. La mayoría de las especificaciones usan un esfuerzo permisible que es alguna combinación de los dos esfuerzos permisibles individuales. Expresiones de este tipo se denominan ecuaciones de interacción. Una ecuación de interacción usada por muchas especificaciones es: fa Fa fb Fb 1.0 En esta expresión fa es el esfuerzo axial (P/A), Fa es el esfuerzo permisible si sólo se tuviesen esfuerzos axiales, fb es el esfuerzo de flexión (Mc/I) y Fb es el esfuerzo permisible si sólo estuviesen presentes esfuerzos de flexión. Durante muchos años el AISC también usó esta expresión para miembros sometidos a una combinación de los dos tipos de esfuerzos. Actualmente las especificaciones ASD permiten su uso sólo para ciertas condiciones (que se describirán en la sección 10-6). Esta expresión puede considerarse como una fórmula de porcentajes. Por ejemplo, si se usa 60% del esfuerzo axial permisible para el término fa/Fa quedará sólo 40% del esfuerzo de flexión permisible para el esfuerzo Mc/I. Esta expresión tiene el efecto de dar un esfuerzo combinado permisible que cae entre los valores permisibles individuales en la proporción en que cada tipo de esfuerzo está relacionado con su valor permisible. Cuando el esfuerzo de flexión es grande con respecto al esfuerzo axial, el esfuerzo combinado permisible se aproximará mucho al esfuerzo permisible de flexión. Similarmente, cuando el esfuerzo axial es grande respecto al de flexión, el esfuerzo combinado será muy cercano al esfuerzo axial permisible. El ejemplo 10-2 presenta una combinación de los dos tipos de esfuerzos de acuerdo con esta expresión usada comúnmente. Si se presenta flexión respecto a ambos ejes, se usa la siguiente expresión para considerar la condición de esfuerzo combinado. fa Fa f bx Fbx f by Fby 1.0 Ejemplo 2 242 Una W10 x 49 (A = 14.40 plg², Sx = 54.6 plg3 , ry = 2.54 plg) está sometida a un momento de 40 pie – klb y a una fuerza axial de compresión de 100 klb. El miembro tiene 15 pies de longitud, un esfuerzo permisible por flexión de 18 klb / plg² y un esfuerzo permisible por compresión axial que debe determinarse con la fórmula Fa = 15,000 – (1/4) (L/r)². ¿Está el miembro sobreesforzado de acuerdo con la expresión fa/Fa + fb /Fb 1? Solución fa 100 14.4 Fa fb Fb fa Fa 6.94klb / p lg 2 1 12x15 15, 000 13.75klb / p lg 2 4 2.54 12x40 8.8klb / p lg 2 54.6 18klb / p lg 2 fb Fb 6.94 8.8 13.75 18 0.994 1 2 El miembro es satisfactorio DISEÑO POR FLEXIÓN Y COMPRESIÓN AXIAL El proyectista medio enfrentado al problema de seleccionar un miembro para resistir esfuerzos combinados estimará probablemente el tamaño requerido y luego verificará su esfuerzo combinado de acuerdo con los requisitos de las especificaciones estipuladas. El ejemplo 10-3 ilustra el diseño de un miembro de este tipo. Para la sección ensayada en este ejemplo se supuso que aproximadamente la mitad de cada esfuerzo permisible (Fa y Fb= es generado por las cargas. La carga axial total se dividió entre el esfuerzo axial resultante para estimar el área transversal requerida y el momento flexionante se dividió entre el esfuerzo de flexión para estimar el módulo de sección requerido. Se seleccionó entonces una sección con esas propiedades aproximadas. Aunque la sección escogida con este método fue satisfactoria en este caso, suele ser necesario efectuar uno o dos tanteos más para obtener una solución económica. El porcentaje del esfuerzo escogido fue arbitrario y se podría haber escogido otro diferente. Por ejemplo, si la carga axial es bastante grande en relación con el momento flexionante, el proyectista podría considerar conveniente usar 75% del esfuerzo permisible axial y 25% del esfuerzo permisible de flexión o bien algún otro porcentaje. (Se dispone de mejores 243 métodos para diseñar vigas columnas, tal como el presentado en la sección 10-7, basado en las especificaciones ASD). Ejemplo 3 Seleccionar una W10 para una viga columna que debe soportar una carga axial de 120 klb y un momento flexionante de 50 pie – klb. El miembro tiene una longitud no soportada lateralmente de 18 pies, un esfuerzo permisible por flexión de 18 klb/plg² y un esfuerzo permisible por compresión de Fa = 15,000 – (1/4) (L/r)². Se debe usar la expresión fa/Fa + fb/Fb 1.0 para el diseño. Solución Suponemos fa/Fa = 0.5 y estimamos Fa = 14 klb/plg². fa Fa P A 14 120 A 14 0.5 A estimada = 17.1 plg² Suponemos fb/Fb = 0.5 y Fb = 18 klb / plg² fb Fb M S 18 (12)(50) S 18 0.5 S estimada = 66.7 plg3 Ensayamos una W10 x 60 (A = 17.6 plg², Sx = 66.7 plg3, r = 2.57 plg). fa 120,000 17.6 6,818lb / p lg 2 Fa fb Fb fa Fa 1 12x18 15, 000 13.230klb / p lg 2 4 2.57 (12)(50, 000) 8.996lb / p lg 2 66.7 18, 000lb / p lg 2 fb Fb 6.818 8.996 13, 230 18, 00 0.515 0.500 1.015 (ligeramente sobreesforzado) Usaremos una W10 x 60 244 AMPLIFICACIÓN Y MODIFICACIÓN DEL MOMENTO Cuando una viga – columna está sometida a momento a lo largo de su longitud no soportada, ella se desplazará lateralmente en el plano de flexión. El resultado es un momento incrementado o momento secundario causado por la carga axial multiplicada por el desplazamiento lateral o excentricidad. En la figura 10 – 2 carga P ocasiona que el momento en el columna se incremente una cantidad Pd. Este momento ocasionará deflexiones laterales adicionales que generarán un mayor momento en la columna y así sucesivamente hasta que se alcance una posición de equilibrio. Podríamos obtener los momentos en la columna, calcular la deflexión lateral, incrementar el momento a la mitad de la altura de la columna en P veces de deflexión, recalcular la deflexión lateral y el momento incrementado, etc. Si bien, dos o tres de estos ciclos serían suficientes, este procedimiento resultaría muy tedioso e impráctico. Para tomar en cuenta el incremento del momento, las especificaciones ASD requieren que el esfuerzo de flexión se incremente multiplicándolo por el factor de amplificación (1/[1-fa /F 'e ]), que es mayor que 1.0. Este factor puede ocasionar que el esfuerzo secundario es sobreestime en algunos casos. Por ello, el esfuerzo amplificador se multiplica por un factor de reducción o de modificación Cm, que es igual o menor que 1.0. La ecuación ASD básica de interacción es fa Fa Cm f b f 1 a' Fb Fe 1.0 245 Factor de amplificación Para deducir el factor de amplificación se supone que la viga – columna se reflexiona lateralmente en una cierta forma (una función seno) y luego, con la ecuación diferencial aproximada del miembro (d2y/dx2 = - M/EI), se obtiene una expresión para la deflexión lateral a la mitad de la altura de la viga – columna. El momento flexionante total a media altura Mb es igual al momento inicial más Pd, que es el incremento en momento debido a la deflexión lateral. De esta expresión para el momento total se obtiene la siguiente expresión para el esfuerzo de flexión, que incluye los términos P(carga axial) y PE (carga de pandeo de Euler): f fb 1 1 P PE Para tener todo en términos de esfuerzo, P y PE se dividen entre el área A de la sección transversal del miembro. La siguiente expresión es el resultado y en la que fe es el esfuerzo crítico de pandeo de Euler: f bm fb 1 f 1 a fe Para calcular el esfuerzo de flexión bajo condiciones de carga de trabajo o servicio, el esfuerzo de Euler se divide entre un factor de seguridad de 23/12 y se obtiene la expresión. f bm fb 1 f 1 a' Fe Donde (1/[1+fa /F 'e ]) es el factor de amplificación y F 'e es el esfuerzo de pandeo de Euler dividido entre el factor de seguridad. 246 Factores de modificación Para algunas distribuciones de momento en una viga columna, la amplificación conduce a esfuerzos de flexión demasiado grandes. Tal caso se presenta cuando el momento en un extremo de miembro es cero, en esta condición, la deflexión lateral es aproximadamente igual a la deflexión dada por el factor de amplificación. Si se tienen momentos aproximadamente iguales en los extremos que generen una curvatura doble en el miembro, la deflexión en el centro del claro y el correspondiente esfuerzo de flexión son cercanos a cero. Debido a esto las especificaciones ASD proporcionan factores de modificación Cm que deben multiplicarse por fb . ECUACIONES DEL MÉTODO PERMISIBLES (MÉTODO ASD) DE DISEÑO POR ESFUERZOS La especificación ASD H1 incluye tres ecuaciones para miembros sometidos a carga axial más flexión. Esas ecuaciones incluyen flexión respecto a los ejes x y y . Si la flexión tiene lugar respecto a uno solo de estos ejes, el término asociado al otro eje se cancela. La primera ecuación es aplicable en la mitad de la altura de los miembros. Estas ecuaciones se usa para verificar la estabilidad de conjunto del miembro. fa Fa C mx f bx f 1 a Fbx ' Fex C my f by f 1 a Fby ' Fey 1.0 La ecuación que sigue es aplicable sólo en los extremos de las vigas columnas y se usa para verificar las condiciones de esfuerzo en esos puntos. Se desarrolló para tomar en cuenta los casos en que los momentos máximos ocurren en los extremos del miembro. La estabilidad no es problema en un soporte por lo que, como lo muestra el primer término de la ecuación, el esfuerzo permisible de compresión Fa es 0.60 Fy. Además, Fbx es 0.66 Fy en los soportes si se proporciona en ellos soporte lateral. Esta ecuación suele regir en miembros soportados contra deflexión lateral y en los que se tiene curvatura doble por flexión. fa 0.60Fy f bx Fbx f by Fby 1.0 247 Cuando la carga axial es relativamente pequeña, ésta no ocasionará una amplificación apreciable del momento. Por ello, las especificaciones ASD proporcionan una tercera ecuación aplicable si fa/Fa es igual o menor que 0.15. fa Fa f bx Fbx f by Fby 1.0 En estas expresiones, fa, fb, Fa y Fb tienen los mismos valores definidos antes F 'e es el esfuerzo de Euler dividido entre un factor de seguridad de 23/12. Su valor está dado por la expresión siguiente en la que Lb es la longitud real no soportada en el plano de flexión, rb es el correspondiente radio de giro y K es el factor de longitud efectiva en el plano de flexión. Fe' 12 2 E 23(KL b / rb ) 2 De acuerdo con las especificaciones ASD, el valor de F 'e se puede incrementar en 1/3 cuando se consideran esfuerzos por viento y sismo, siempre que la sección usada no quede sobreesforzada (sin considerar el 1/3 de incremento) por cargas de gravedad, vivas y de impacto. Hay tres categorías distintas de Cm como se describe en la sección H1 de las especificaciones ASD. 1. En la categoría 1 las columnas se consideran como parte de marcos que dependen de las rigideces a flexión de sus miembros para adquirir rigidez lateral. Estos miembros están sometidos a traslación de sus nudos o ladeo y Cm se considera igual a 0.85. En la categoría 2 los miembros se suponen restringidos contra rotación, con traslación de sus nudos o ladeo impedido y sin cargas transversales entre sus extremos. Para tales miembros el factor de modificación se determina con la s siguiente expresión: Cm 0.6 0.4 M1 M2 2. En esta expresión M1/M2 es la razón del momento menor al momento mayor en los extremos de la longitud sin soporte lateral. La razón es negativa si los momentos ocasionan que el miembro se flexione en curvatura simple y positiva cuando a curva resultante es doble. Es claro que un miembro con curvatura simple tiene 248 deflexiones laterales mayores que uno con curvatura doble. Con deflexiones laterales mayores, los momentos debidos a las cargas axiales, así como los esfuerzos, serán mayores. Por lo tanto, cuando una columna está flexionada con curvatura simple, la ecuación ASD dará esfuerzo permisibles menores. 3. La categoría 3 se aplica a miembros sometidos a carga transversal entre sus nudos y arriostrados contra traslación de los mismos en el plano de carga. La cuerda a compresión de una armadura con una carga de larguero entre sus nudos en un ejemplo típico de esta categoría. Las especificaciones ASD establecen que el valor de Cm en este caso se puede considerar igual a : (a) para miembros con extremos restringidos, Cm = 0.85 (b) para miembros con extremo no restringidos Cm = 1.0 Estos dos valores son suficientemente exactos y seguros en casi todos los casos. Es muy difícil obtener valores más precisos de Cm y si obtienen, serán de dudoso valor ya que no se pueden estimar las cargas aplicadas con mucha precisión. Sin embargo , los comentarios ASD proporcionan una expresión supuestamente más refinada para Cm en este categoría: Cm 1 fa Fe' EI 1 Mo L 0 2 donde 0 es la deflexión máxima debido a la carga transversal y Mo es el momento máximo entre los soportes debido también a la carga transversal. se ha calculado para varias condiciones comunes de carga transversal y restricción; los resultados se muestran en la tabla 10.1. 249 La mayoría de los miembros que se encuentran en la práctica sometido a esfuerzos combinados por flexión y carga axial forman parte de marcos estructurales rígidos; los otros miembros conectados rígidamente al miembro en consideración ejercen efectos apreciables sobre éste. Esto implica que para determinar el esfuerzo axial permisible, es necesario determinar la longitud efectiva del miembro como se indicó antes. Recuérdese que la longitud efectiva puede ser mayor que la longitud real, y que si el ladeo está impedido por medio de un arriostramiento lateral, la longitud efectiva será menor que la longitud real. En la categoría 1, las longitudes efectivas de los miembros se usan para calcular Fa y no pueden ser nunca menores que la longitud no soportada pero sí mayores. La longitud efectiva en la dirección de la flexión se usa para calcular F 'e . Para el cálculo de los momentos se usa la longitud no soportada real. En la categoría 2 las columnas no tienen ladeo ni carga transversal y se usa entonces la longitud efectiva para calcular Fa. No puede ser mayor que la longitud no soportada pero sí menor. También en 250 este caso se usa la longitud efectiva en la dirección de la flexión para calcular F 'e y la longitud no soportada real para calcular los momentos. Los ejemplos 10-4 al 10-6 ilustran el análisis de miembros sometidos a esfuerzos combinados de flexión y carga axial de acuerdo con las especificaciones ASD. Se notará en esos ejemplos que fb es el esfuerzo por flexión en el punto del miembro considerado. Cunado no hay cargas transversales, el esfuerzo se calculará para el mayor de los momentos en los extremos de la longitud no soportada. Cuando se aplica una carga transversal, se usa el mayor momento entre los puntos de soporte lateral para calcular fb y se usa este valor calculado con el mayor momento que se tenga en los puntos soportados lateralmente. De particular importancia es la verificación hecha en cada ejemplo para ver si Cm/(1 – fa /F 'e ) es 1.0. No parece razonable modificar un momento más de lo que lo incrementamos. Por tanto, si la razón es menor que 1.0, se usará un valor de 1.0 Los nudos de una armadura están restringidos contra traslaciones. Por esto, parecería razonable usar una longitud efectiva para los miembros a compresión algo menor que la longitud real. Sin embargo, la sección ASD C-2 de los Comentarios sugieren que se use K=1.0 cuando se considere la condición de carga última. Si todos los miembros de una armadura alcanzaran su capacidad de carga última al mismo tiempo, la antes mencionada restricción contra traslación se reducirá drásticamente o desaparecería por completo. No obstante que la compacidad del alma no se incluye en estos ejemplos, el lector debe ser consciente que en algunas ocasiones es necesario revisarla de acuerdo con la tabla ASD B5.1 para vigas columnas. Si el alma no es compacta, Fb no puede ser mayor que 0.60 Fy. 251 EJEMPLO 4 ¿Es satisfactoria una W14 x 159 de acero A36 para soportar las cargas y momentos mostrados en la figura 10-3 de acuerdo con las especificaciones ASD?. No se tiene arriostramiento en el plano de carga. Se determinó previamente que Kx = 1.92. En el plano perpendicular si se tiene arriostramiento, y Ky se estimó igual a 1.0 Solución Para una W14 x 159 (A = 46.7 plg², Sx = 254 plg3, rx = 6.38 plg, ry = 4.00 plg., LC = 16.4 pie, Lu = 57.2 pie F 'ex (Kx Lx)² / 10² = 422 klb). fa 400 46.7 8.57klb / p lg 2 K x Lx rx K yLy ry (1.92)(12)(18) 6.38 (1.00)(12)(18) 4.00 65.00 54.00 Fa 16.94klb / p lg 2 fa Fa 8.57 16.94 0.506 0.15 Por tanto, se deben usar las ecuaciones H1-1 y H1 – 2 252 fb 12 200 254 9.45klb / p lg 2 Fb a media altura = 0.60 Fy = 22 klb/plg² ya que Lsin s.1. > Lc > Lu Fb en los extremos = 066 Fy = 24 klb / plg2 ' Fex 422 (10) 2 1.92x18 2 35.33klb / p lg 2 El miembro cae en la categoría 1 para Cm. Cm = 0.85 Revisión : Cm f 1 a' Fe 0.85 8.57 1 35.55 1.12 1.00 Sustituyendo en las ecuaciones ASD: fa Fa Cm f b f 1 a' Fb Fe fb Fb 8.57 22 8.57 16.94 (0.85)(9.45) 8.57 1 22 35.33 0.987 1.0 fa 0.6Fy 9.45 24 0.782 1.0 La sección es satisfactoria Ejemplo 5 Una W12 x 170 de acero A36 tiene 12 pies de longitud y está arriostrada contra deflexiones laterales. La columna debe soportar una carga axial P = 400 klb y los momentos Mx = 200 pie – klb y My = 60 pie – klb. ¿Es satisfactorio el miembro con momentos iguales en los extremos y flexionado en curvatura doble respecto a ambos ejes? No se tienen cargas transversales y Kx y Ky se suponen iguales a 1.0 253 Solución Propiedades de una W12 x 170 (A = 50.0 plg², rx = 5.74 plg, ry = 3.22 plg., Sx = 235 plg3 Sy = 82.3 plg3, Lc = 13.3 pies, ' 2 ' 2 F (K L ) Fex (K x L x ) 342klb, ey y2 y 108klb) 2 10 10 fa 400 50 8.00klb / p lg 2 (1.0)(12x12) 5.74 (1.0)(12x12) 3.22 K x Lx rx K yLy ry 25.09 44.72 Fa 18.80klb / p lg 2 fa Fa 8.00 18.80 0.426 0.15 Por tanto, verificamos las ecuaciones H1-1 y H1 – 2 f bx 12 200 235 12 60 82.3 10.21klb / p lg 2 f bx 8.75klb / p lg 2 Fbx = 0.66 Fy (a la mitad de la altura) = 24 klb/plg² ya que Lno sop. < Lc Fby= 0.75 Fy = 27klb / plg² Cmx Cmy ' Fex 0.6. 0.4 M1 M2 0.6 0.4( 1.0) 0.2 237.5klb / p lg 2 342 (10) 2 12 2 254 F ' ey 108 (10) 2 12 2 75klb / p lg 2 Verificación: Cmx f 1 a ' Fex Cmx f 1 a ' Fey 0.2 8.00 1 237.5 0.2 8.00 1 75 0.207 1.0 0.224 1.0 Aplicamos las ecuaciones H1-1 y H1 – 2 8.00 18.80 (1.0)(10.21) 24 (1.0)(8.75) 1.174 1.0 27 8.00 10.21 8.75 1.113 1.0 22 24 27 La sección no es satisfactoria Cuando un ingeniero joven empieza a diseñar estructuras suele sentirse defraudado porque éstas no corresponden exactamente a las encontradas en los libros de texto. Como resultado, debe con frecuencia hacer hipótesis e interpolar entre valores dados en manuales. Por ejemplo, ¿se debe considerar una cierta conexión como simple, como empotrada o como una situación intermedia?. La decisión que tome puede afectar considerablemente los valores de los momentos, de los valores K, Cm, etc. El autor considera que el ejemplo 10-6 es un problema muy práctico en el que tienen que hacerse tales tipos de hipótesis. En este caso el autor supuso que las condiciones de extremo del miembro en proceso de revisión caen entre . Luego calculó los momentos y los valores Cm para los dos casos y los promedió; tal procedimiento refleja la idea detrás de la especificación ASD. 255 EJEMPLO 6 En la armadura mostrada en la figura 10-4 (a) se usa W8 x 31 como cuerda superior continua del nulo L0 al U3. Si la W es de acero A36, ¿tiene ésta suficiente resistencia para soportar las cargas mostradas en la figura 10-4 (b)? Esta figura muestra la porción de la cuerda entre L0 y U1 y la carga de 12 klb representa el efecto de un larguero. Suponga soporte lateral en los extremos y en el punto medio de este miembro. Solución Propiedades de una W8 x 31 (A = 9.13 plg², Sx = 27.5 plg3, rx = 3.47 plg, ry = 2.02 plg. Lc 8.4pie, ' Fex (K x L x )2 102 125klb fa 80 8.76klb / p lg 2 9.13 Para un marco sin ladeo, K = 1.0 256 K x Lx rx K yLy ry (1.0)(12x13) 3.47 (1.0)(12x6.5) 2.02 44.96 38.61 Fa 18.78klb / p lg 2 fa Fa 8.76 18.78 0.466 0.15 Por lo tanto, debemos usar las ecuaciones H1 – 1 y H2 – 2 ' Fex (125)(10) 2 (13) 2 73.96klb / p lg 2 De la tabla 10-1: El valor promedio de Cm es 0.97 El momento promedio en el centro del claro es de 31.69 pie – klb. fb en el centro del claro = (12)(31.69) 13.83klb / p lg 2 27.5 257 El M promedio en el empotramiento es de 14.62 pie – klb. fb en el empotramiento = (12)(14.62) 27.5 6.38klb / p lg 2 Aplicamos las ecuaciones H1 – 1 y H1 – 2 : Cm f 1 a' Fe 8.76 18.78 8.76 22 0.97 8.76 1 73.96 1.10 1.0 (1.10)(13.83) 1.10 1.0 24 6.38 24 0.664 1.0 La sección no es satisfactoria, ya que ambas ecuaciones deben cumplirse DISEÑO DE VIGAS – COLUMNAS El diseño de vigas – columnas implica el uso de un procedimiento de tanteos. Se selecciona una sección de prueba y luego se revisa con ecuaciones apropiadas de interacción. Si la sección no satisface las ecuaciones o si está sobrediseñada, se escoge otra sección y se aplican otra vez las ecuaciones de interacción. El objetivo de lo que resta de esta sección es mostrar cómo escoger desde el principio una sección más o menos adecuada. Un método común usado para escoger secciones que resistan momentos y carga axial es el método de la carga axial equivalente. En este método, la carga excéntrica se reemplaza por una carga concéntrica de tal magnitud que el esfuerzo máximo que ocasione sea el mismo que el esfuerzo máximo producido por la carga excéntrica. 258 En esta exposición se supone que se desea seleccionar la sección más económica para resistir un momento y una carga axial (digamos 140 pie – klb y 400 klb, respectivamente). Mediante un procedimiento de tanteos es posible encontrar, a la larga, la sección más ligera. Sin embargo, existe una carga axial ficticia que requiere la misma sección que la que se requiere para la carga y momento reales. Esta carga ficticia se llama carga axial equivalente. Por medio de ecuaciones se convierte el momento flexionante en una carga axial equivalente P’ que se suma a la carga axial P. El total de P + P’ es la carga axial equivalente o efectiva Peq o Pef y se usa para entrar a las tablas de columnas concéntricas para escoger una sección de prueba. No se dispone aquí de espacio para mostrar la deducción completa de las expresiones para la carga axial equivalente que se usan en vez de las ecuaciones H1 – 1, H1 – 2 y H1 – 3 de las especificaciones ASD. Estas expresiones equivalentes, llamadas ecuaciones modificadas H1 – 1, H1 – 2 y H1 – 3 en el manual ASD, se pueden deducir por medio del procedimiento descrito en los siguientes párrafos. Si se tiene flexión sólo respecto al eje x, la ecuación H1 – 1 se puede escribir. fa Fa Cm f b (1 f a / Fe' )Fb 1.0 Si se reemplaza fa por P/A y fb por M/S se obtiene la ecuación. P AFa Cm M SFb 1 P / AFe' 1.0 Multiplicando ambos miembros de la ecuación por AFa resulta Cm MA Fa P AFa S Fb 1 P / AFe' Si se multiplican por F 'e tanto el numerador como el denominador del factor Cm/ (1 – P/A Fe’) se obtiene Fe' Cm 1 P / AFe' Fe' Cm Fe' Fe' P / A 259 Sustituyendo en esta expresión el valor de Fe' = 12 = 29,000 klb/plg², se obtiene la expresión. 2 E/23 (KLb /rf)2 con E Cm Fe' Fe' P / A Cm149, 000Ar 2 149, 000Ar 2 P(KL) 2 Luego este valor se pone en la expresión para flexión sólo alrededor del eje x, A/S se reemplaza por B (factor de flexión) y 149,000 Arx2 se reemplaza por la letra ax. Los valores de B y a se pueden calcular fácilmente para cada perfil y están dados en las tablas para columnas concéntricas del manual ASD. La ecuación resultante es Peq P BMC m Fa Fb ax P(KL) 2 ax De manera similar se pueden escribir las fórmulas equivalentes o modificadas para las tres ecuaciones ASD incluyendo flexión respecto a ambos ejes x y y; se obtienen las siguientes expresiones: P Px' Py' P Bx M x C mx Fa Fbx ax P(KL) 2 (Ec. modificada H1-1) By M y Cmx Fa Fby ay a y P(KL) 2 ax P Px' Py' P Fa 0.6Fy Bx M x Fa Fbx (Ec. modificada H1-2) By M y Fa Fbx La ecuación H1 – 3 se usa en vez de las ecuaciones H1-1 y H1 – 2 cuando fa Fa 0.15 260 P Px' Py' P Bx M x Fa Fbx (Ec. modificada H1-3) By M y Fa Fbx Con estas ecuaciones, que son muy útiles para un diseño preliminar, se obtienen columnas muy sobradas. Si se tiene flexión respecto a un solo eje, la ecuaciones se reducen cancelando los términos apropiados. En estas expresiones, Bx y By son los factores de flexión que son respectivamente iguales a A/Sx y A/Sy. Sus valores, tabulados en el manual ASD, varían entre 0.168 y 1.133 para Bx y entre 0.408 y 4.722 para By en secciones I. Los valores mayores corresponden a las secciones más pequeñas, ax es una componente del factor de amplificación cuando la flexión es respecto al eje x y es igual a 0.149 Arx2 x 106. Similarmente, ay es igual a 0.149 Ary2 x 106 y ambos valores ax y ay se dan para secciones usadas regularmente como columnas en la sección de columnas del manual ASD. En estas ecuaciones los momentos Mx y My deben expresarse en plg – klb. En lugar de usar las ecuaciones modificadas anteriores para determinar la carga equivalente, es mucho más rápido y sencillo usar la aproximación siguiente derivada de esas ecuaciones. Pef = Peq = PO + Mxm + MyMu TABLA 10-2 VALORES de m Fy = 36 klb/plg² KL(pies) 10 12 14 16 18 20 22 y más PRIMER APROXIMACIÓN Perfiles W, S 4 W, S 5 W, S 6 W8 W 10 2.4 3.6 3.9 3.2 3.0 2.6 2.3 2.6 3.2 2.7 2.9 2.5 2.2 1.9 2.4 2.3 2.8 2.5 2.2 1.6 1.9 2.0 2.6 2.4 2.1 -1.5 1.9 2.3 2.3 2.0 -1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 --1.5 2.0 2.0 2.4 2.7 3.3 3.0 3.0 2.5 2.3 1.9 2.4 2.5 2.8 2.5 2.2 1.6 1.8 2.2 2.5 2.4 2.0 1.6 1.6 1.9 2.2 2.3 1.9 --1.4 1.8 1.9 2.1 1.8 --1.4 1.6 1.6 1.9 1.7 --1.5 1.6 1.7 APROXIMACIONES SUBSECUENTES 10 12 Fy = 50 klb/plg² 14 16 18 20 22 y más 261 W 12 W 14 2.1 1.8 2.1 1.7 2.0 1.7 2.0 1.7 2.0 1.7 2.0 1.7 2.0 1.7 2.0 1.8 2.0 1.7 2.0 1.7 1.9 1.7 1.9 1.7 1.8 1.7 1.7 1.7 Fuente : American Institute of Steel Construction, Manul of Steel Construction Allowable Stress Design, 9a, ed., (Chicago: AISC, 1989), Tabla B, pág. 3-10. Reproducido con autorización de AISC. Nota.- Los valores de m son para Cm = 0.85. Cuando Cm es distinto de 0.85 hay que multiplicar el valor de m por Cm/0.85. Con esta expresión se calcula una carga axial equivalente aproximada en la que P0 es la carga axial real, m es un factor dado en la tabla 10-2 y U es un factor dado en las tablas de columnas. Al aplicar esta fórmula Mx y My se deben expresar en pie – klb. Para aplicar la fórmula, se toma un valor de m de la tabla 10-2 para la primera aproximación y se supone un valor de U igual a 3. De la ecuación se despeja Pef y de las tablas de columnas se selecciona una columna para esa carga. Luego se calcula una nueva Pef usando un valor revisado de m obtenido en la parte de aproximaciones subsecuentes de la tabla 10-2 y el valor de U se toma de las tablas de columnas para la columna seleccionada inicialmente. Se selecciona otro perfil y se continúa el proceso hasta que m y U se estabilizan, o sea, hasta que el perfil seleccionado no cambia. Las ecuaciones H1 – 1, H1 – 2 y H1 – 3 (según sean aplicables) se usan entonces para verificar si el perfil seleccionado es adecuado. (Un procedimiento equivalente consiste en sustituir los valores en las ecuaciones modificadas para obtener la carga axial equivalente final y comparar este valor con la carga axial permisible dada en las tablas de columnas para la sección considerada). Los ejemplos 10-7 al 10-9 ilustran el diseño de una viga columna usando el procedimiento de la carga axial equivalente. Ejemplo 7 Usando la tabla 10 – 2, seleccione la sección W más ligera satisfactoria para soportar una carga axial de compresión P de 240 klb y los momentos Mx = 50 pie – klb y My = 30 pie – klb. Suponga KL = 16 pies, Cmx = Cmy = 0.85 y acero A36. Solución De la tabla 10-2 la primera aproximación de m es 2.2 y U se supone inicialmente igual a 3. 262 Pef = 240 + (50) (2.2) + (30) (2.2) (3) = 548 klb Secciones posibles según las tablas de columnas. W14 x 109 W12 x 120 Ensayamos una W14 x 109 (U = 2.49 de las tablas de columnas y de la tabla 10-2, m = 1.7 para aproximaciones subsecuentes). Pef = 240 + (50) (1.7) + (30) (1.7)(2.49) =452 klb Ensayamos una W14 x 90, que es más pequeña. Propiedades de una W14 x 90 (A = 26.5 plg², Sx = 143 plg3, Sy = 49.9 plg3, ry = 3.70 pl. F' (K L ) 2 F' (K L ) 2 Lc 15.3pie, L u 34, 0pie ex x2 x 391klb ey y2 y 142klb) 10 10 fa 240 26.5 9.06klb / p lg 2 K yLy ry Fa fa Fa (12)(16) 3.70 51.89 18.18klb / p lg 2 9.06 18.18 0.498 0.15 Por lo que debemos usar las ecuaciones H1 – 1 y H1 – 2. f bx 12 50 143 12 30 49.9 4.20klb / p lg 2 f by 7.21klb / p lg 2 Fbx = 0.60 Fy (= 22 klb/plg²) a la mitad de la altura de la columna ya que Lno sop. lat. > Le < Lu y 0.66 Fy (=24 klb/plg²) en los extremos de la columna. Fby= 0.75 Fy = 27klb / plg² 263 Cmx = Cmy = 0.85 ' Fex 391 (10)2 16 2 152.73klb / p lg 2 F ' ey 142 (10) 2 16 2 55.47klb / p lg 2 Cmx f 1 a ' Fex Cmx f 1 a ' Fey 0.85 9.06 1 152.73 0.85 9.06 1 55.47 0.904 1.0 Se usa 1.0 OK. 1.016 1.0 Aplicamos las ecuaciones H1-1 y H1 – 2 9.06 18.18 9.06 22 (1.0)(4.20) 22 4.20 24 (1.016)(7.21) 27 0.961 1.0 OK. 7.21 0.854 1.0 27 Escogemos una W14 x 90 264 Ejemplo 8 Seleccione la sección W12 más ligera de acero con Fy = 50 klb/plg2 satisfactoria para la situación mostrada en la figura 10-5. Suponga Cm = 1.0 y soporte lateral sólo en los extremos. Solución Como los valores en la tabla 10-2 se basan en un Cm de 0.85 los valores 1.0 obtenidos de m deben multiplicarse por . Como vamos a seleccionar 0.85 una W12, omitimos la primera aproximación y procedemos con las subsecuentes. KL = 24 pie. 1 2.0 0.85 Mx = (30) (12) - (20) (6) = 240 pie – klb Pef = 300 + (240) (2.0) = 780 klb m = (1.7) Ensayamos una W12 x 170 (verifíquense las ecuaciones de interacción) Escogemos una W12 x 170 265 EJEMPLO 9 Se ha efectuado un análisis del marco mostrado en la figura 10-6 y se han diseñado las vigas que no están soportadas en el plano del marco, pero sí en la dirección perpendicular. Seleccione una sección W para la columna AB suponiendo que es de acero A36, que soporta una carga axial de 120 klb y un momento de 60 pie – klb aplicado en su extremo superior. Solución Primer ensayo (Suponemos k = 1.0 y m = 2.3): Pef = 120 + (60) (2.3) = 258 klb Las secciones posibles son : W14 x 61, W12 x 53 y W10 x 54. Segundo ensayo con la W12 (m = 2.1) : Pef = 120 + (60) (2.1) = 246 klb Ensayamos una W12 x 53 (A = 15.6 plg², Sx = 70.6 plg3, Ix = 425 plg4, rx = F' (K L ) 2 284klb) 5.25 plg, ry = 2.48 plg, Lc = 10.6 pie, Lu = 22.0 pie ex x 2 x (10) Revisamos Kx : 266 GA Ic Lc I L 425 12 (2)(1330) 28 0.373 G B 10.0 Kx = 1.76 del nomograma de la figura 7.2 Se revisan ahora las ecuaciones de interacción (omitimos aquí esta revisión). Escogemos una W12 x 53 267