EXERCÍCIOS RESOLVIDOSProfª. Lídici Pomin 15 kN 10 kN.m 50 kN/m C D E F 30 kN/m 3,0 m A B 2,0 m 5,0 m 3,0 m Exercícios Resolvidos Pórticos planos e análise de cargas móveis 150 kN 160 kN.m 40 kN/m A C B 2,0 m 6,0 m 30 kN 20 kN 1,5 m 15 kN/m 15 kN/m 5 kN/m Carga Móvel Manaus - AM www.wlcursos.com
[email protected] EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin SUMÁRIO 1. EXERCÍCIO RESOLVIDO 1 - Isostática: Pórtico Plano .......................................... 3 1.1 Reações de Apoio ......................................................................................................................................4 1.2 Esforço Normal ..........................................................................................................................................6 1.3 Esforço Cortante .......................................................................................................................................7 1.4 Momento Fletor .........................................................................................................................................9 2. EXERCÍCIO RESOLVIDO 2 - Isostática: Pórtico Plano ....................................... 11 2.1 Reações de Apoio ................................................................................................................................... 12 2.2 Esforço Normal ....................................................................................................................................... 14 2.3 Esforço Cortante .................................................................................................................................... 15 2.4 Momento Fletor ...................................................................................................................................... 18 3. EXERCÍCIO RESOLVIDO 3 - Isostática: Pórtico Plano ....................................... 23 3.1 Reações de Apoio ................................................................................................................................... 24 3.2 Análise da Barra Inclinada ................................................................................................................. 26 3.3 Esforço Normal ....................................................................................................................................... 28 3.4 Esforço Cortante .................................................................................................................................... 29 3.5 Momento Fletor ...................................................................................................................................... 31 4. EXERCÍCIO RESOLVIDO 4 – Linha de Influência e Cargas Móveis ........ 34 4.1 Análise da Seção ..................................................................................................................................... 35 4.2 Esforços devido à Carga Permanente ............................................................................................ 37 4.3 Análise da Carga Móvel ....................................................................................................................... 38 4.3.1 Análise do Trecho AS ................................................................................................................ 38 4.3.2 Análise do Trecho SC ................................................................................................................ 39 4.3.3 Linha de Influência .................................................................................................................... 40 4.3.4 Esforço devido à Carga Móvel ............................................................................................... 41 4.4 Esforços Mínimos e Máximos ........................................................................................................... 43 www.wlcursos.com
[email protected] EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin EXERCÍCIO RESOLVIDO 1 – ISOSTÁTICA: PÓRTICO PLANO – Página | 3 QUESTÃO: Para o pórtico mostrado na Figura, determine: (a) Reações de Apoio; (b) Esforço Normal: Diagrama e Equações; (c) Esforço Cortante: Diagrama e Equações; (d) Momento Fletor: Diagrama e Equações. 30 kN/m C D 2,0 m 20 kN 2,0 m A B 6,0 m www.wlcursos.com
[email protected] EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin RESOLUÇÃO: 1.1 Reações de Apoio: 1º Passo: Definir um sentido aleatório para as reações de apoio: Página | 4 30 kN/m D E 2,0 m C 20 kN 2,0 m HA A B 6,0 m VA VB 2º Passo: Definir as equações de equilíbrio para encontrar as Reações: FH = 0 ∴ para determinar HA MB = 0 ∴ para determinar VA FV = 0 ∴ para determinar VB 3º Passo: Definir um sentido de referência para resolver as equações do passo anterior: FH = 0 ∴ −HA + 20 = 0 ∴ 𝐇𝐀 = 𝟐𝟎 𝐤𝐍 Conclusão: Valor da reação HA positiva = sentido adotado no 1° passo correto!! 𝐇𝐀 = 𝟐𝟎 𝐤𝐍 www.wlcursos.com
[email protected] 6 .0 m Trecho 3: análise de D para E X1 X4 A B Trecho 4: análise de B para E 6.com . 𝟔𝟔𝟕 𝐤𝐍 Conclusão: Valor da reação VB positiva = sentido adotado no 1° passo correto!! 𝐕𝐁 = 𝟗𝟔. 𝟑𝟑𝟑 𝐤𝐍 FV = 0 ∴ VA + VB − 30 .wlcursos. VA = −40 + 540 500 6 .com atendimento@wlcursos. 𝟑𝟑𝟑 𝐤𝐍 6 Página | 5 Conclusão: Valor da reação VA positiva = sentido adotado no 1° passo correto!! 𝐕𝐀 = 𝟖𝟑. 𝟔𝟔𝟕 𝐤𝐍 Para iniciar a análise dos esforços internos é necessário definir como será a análise: X3 D E 2. 6 = 0 83.0 m www.333 + VB − 180 = 0 VB − 96. VA = 500 ∴ VA = ∴ 𝐕𝐀 = 𝟖𝟑.667 = 0 ∴ 𝐕𝐁 = 𝟗𝟔.0 m Consideração: X2 Trecho 1: análise de A para C C Trecho 2: análise de C para D 2. 3 = 0 6 . 2 − 30 . Lídici Pomin MB = 0 ∴ 6 . VA + 20 . EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. 2 Esforço Normal (Diagrama e Equações): 1º Passo: Definição das Equações: Trecho 1: X3 30 kN/m Página | 6 N(x1 ) = −VA = − 83.667 kN Observação: Pode-se observar que. para esta estrutura específica. sendo assim.wlcursos.667 _ _ A B DEN (kN) www. Lídici Pomin 1.0 m Trecho 3: X1 X4 A B N(x3 ) = HA − 20 = 20 − 20 = 0 HA = 20 kN 6.0 m Trecho 2: N(x2 ) = VA = 20 kN C X2 20 kN 2.333 96. o cálculo das equações será utilizado como memória para traçar o diagrama.667 kN N(x4 ) = −VB = − 96.0 m Trecho 4: VA = 83. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª.com .333 kN VB = 96.com atendimento@wlcursos. 2º Passo: Traçado do Diagrama de Esforço Normal: D E 83. as ações geram esforços normais constantes nos trechos.333 kN D E 2. Lídici Pomin 1. Assim. pois na extremidade D o valor do esforço é positivo (o diagrama será traçado para cima) e na outra extremidade o valor é negativo (o diagrama será traçado para baixo).667 kN Neste trecho há uma seção onde o Esforço Cortante é nulo.0 m Q(x2 ) = +HA − 20 = 20 − 20 = 0 X1 X4 A B HA = 20 kN Trecho 3: 6. x3 VA = 83.333 kN VB = 96. 6 = 83.3 Esforço Cortante (Diagrama e Equações): X3 1º Passo: Definição das Equações: 30 kN/m Trecho 1: D E Página | 7 2. www.wlcursos. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª.0 m Q(x3 ) = +VA − 30 .333 − 180 = −96. nesta seção ocorre o Momento Fletor máximo do trecho. deve-se calcular o ponto exato onde isto ocorre.0 m Q(x1 ) = +HA = 20 C X2 Trecho 2: 20 kN 2.333 − 30x3 Trecho 4: Q(x4 ) = 0 2º Passo: Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Esforço Cortante: Trecho 1: QA = +HA = 20 kN QAC C = +HA = 20 kN Trecho 2: QCD C = +HA − 20 = 20 − 20 = 0 QCD D =0 Trecho 3: QDE D = +VA = 83.com
[email protected] kN QDE E = +VA − 30 . Diante disso.667 kN Q(x3 ) = +83.com . Lídici Pomin Q(x3 ) = 83.333 + D E _ 96.778 m 83.333 83.333 x3 = ∴ 𝐱 𝟑 = 𝟐.com .667 20 + A B DEC (kN) www.333 − 30x3 ∴ 30x3 = 83.333 − 30x3 0 = 83.wlcursos. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. 𝟕𝟕𝟖 𝐦 30 Página | 8 Trecho 4: QBE B =0 QBE E =0 3º Passo: Traçado do Diagrama de Esforço Cortante: 2.com atendimento@wlcursos. 333.2) + 20. x3 − 30 .667 kN M(x3 ) = +VA . 2 x32 M(x3 ) = 83. Lídici Pomin 1. x3 − 30.2 = 40 kN.com . m Trecho 2: MCCD = MCAC = 40 kN. x1 = 20x1 30 kN/m (diagrama linear) D E 2.4 Momento Fletor (Diagrama e Equações): 1º Passo: Definição das Equações: Trecho 1: X3 Página | 9 M(x1 ) = +HA .0 m M(x2 ) = +40 X1 X4 A B (diagrama uniforme) HA = 20 kN Trecho 3: 6. m 6 MEDE = MDCD + VA . 2 = 20.4 − 40 = 80 − 40 = 40 kN.6 − 540 ≅ 0 kN. x2 C X2 M(x2) = (20. 2 (diagrama parabólico − 2° Grau) Trecho 4: M(x4 ) = 0 2º Passo: Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Momento Fletor: Trecho 1: MA = 0 MCAC = +HA . EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. m 2 www.com
[email protected] m Trecho 2: M(x2 ) = M(x1 ) + HA .2 = 20. = 40 + 83. 4 − 20.333. x2 − 20.wlcursos.0 m x3 VA = 83. 6. m MDCD = +HA . 6 − 30. x2 20 kN 2. x2 − 20. m Trecho 3: MDDE = MDCD = 40 kN. x3 .333 kN VB = 96. (2. (2.759 DE Mmáx = 155.L² 135 = ___ M máx = 8 40 96.L² 135 = ___ 8 A DMF (kN. (2. deve-se calcular o momento máximo: DE (2.778) − 30.m) B www.778) Mmáx = MDCD + VA .wlcursos.778).333. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin Obs: Neste trecho há um cortante nulo quando x3 = 2.778 m.com . m Trecho 4: MBBE = 0 MEBE = 0 3º Passo: Traçado do Diagrama de Momento Fletor: 2.740 kN.667 q. sendo assim.com
[email protected]) − 115. 2 Página | 10 DE Mmáx = 40 + 83.778 m E D 0 40 40 D 0E Mmáx q. com . determine: (a) Reações de Apoio.0 m 5. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª.0 m 3.0 m www. (d) Momento Fletor: Diagrama e Equações. 15 kN 10 kN. (b) Esforço Normal: Diagrama e Equações. Lídici Pomin EXERCÍCIO RESOLVIDO 2 – ISOSTÁTICA: PÓRTICO PLANO – Página | 11 QUESTÃO: Para o pórtico mostrado na Figura.0 m A B 2.m 50 kN/m C D E F 30 kN/m 3.wlcursos. (c) Esforço Cortante: Diagrama e Equações.com atendimento@wlcursos. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª.0 m VA VB 2º Passo: Definir as equações de equilíbrio para encontrar as Reações: esq MC = 0 ∴ para determinar HA FH = 0 ∴ para determinar HB MB = 0 ∴ para determinar VA FV = 0 ∴ para determinar VB 3º Passo: Definir um sentido de referência para resolver as equações do passo anterior: esq 30.0 m A B HA HB 2. HA = 45 ∴ HA = ∴ 𝐇𝐀 = 𝟏𝟓 𝐤𝐍 3 Conclusão: Valor da reação HA positiva = sentido adotado no 1° passo. 3) = 0 2 3 3 .wlcursos. HA − 45 = 0 45 3 .0 m 3.com .3 1 MC = 0 ∴ 3 .com
[email protected] 50 kN/m C D E F 30 kN/m 3. HA − . ( . correto!! 𝐇𝐀 = 𝟏𝟓 𝐤𝐍 www.1 Reações de Apoio: 1º Passo: Definir um sentido aleatório para as reações de apoio: Página | 12 15 kN 10 kN.0 m 5. Lídici Pomin RESOLUÇÃO: 2. 3 FH = 0 ∴ − HA − HB + =0 2 − 15 − HB + 45 = 0 − HB + 30 = 0 ∴ 𝐇𝐁 = 𝟑𝟎 𝐤𝐍 Página | 13 Conclusão: Valor da reação HB positiva = sentido adotado no 1° passo.3 2 MB = 0 ∴ 7 . Lídici Pomin 30. VA = 975 ∴ VA = ∴ 𝐕𝐀 = 𝟏𝟑𝟗. 10 = 0 139.com atendimento@wlcursos. correto!! 𝐕𝐁 = 𝟑𝟕𝟓. 3) − 50. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª.0 m Trecho 5: análise de B para E www.10.0 m Trecho 2: análise de C para D X1 X5 Trecho 3: análise de D para E B A Trecho 4: análise de F para E 2. correto!! 𝐇𝐁 = 𝟑𝟎 𝐤𝐍 30.0 m 5. correto!! 𝐕𝐀 = 𝟏𝟑𝟗. 𝟐𝟖𝟔 𝐤𝐍 7 Conclusão: Valor da reação VA positiva = sentido adotado no 1° passo. 𝟕𝟏𝟒 𝐤𝐍 Para iniciar a análise dos esforços internos é necessário definir como será a análise: C D E F Consideração: X2 X3 X4 Trecho 1: análise de A para C 3. 𝟕𝟏𝟒 𝐤𝐍 Conclusão: Valor da reação VB positiva = sentido adotado no 1° passo.5 + 10 = 0 2 3 7 .714 = 0 ∴ 𝐕𝐁 = 𝟑𝟕𝟓. VA + . VA + 90 − 1000 − 75 + 10 = 0 975 7 .0 m 3. 𝟐𝟖𝟔 𝐤𝐍 FV = 0 ∴ VA + VB − 15 − 50 .com . ( .286 + VB − 15 − 500 = 0 VB − 375.wlcursos.2 − 15. 714 kN Observação: Pode-se observar que. Lídici Pomin 2.000 _ 0 C D E F 375. o cálculo das equações será utilizado como memória para traçar o diagrama.com . sendo assim.wlcursos.3 N(x2 ) = 15 − 2 X1 30 kN X5 15 kN A B N(x2 ) = 15 − 45 = −30 kN 139.0 m N(x3 ) = N(x2 ) = −30 kN Trecho 4: N(x4 ) = 0 Trecho 5: N(x5 ) = − 375.com
[email protected] Esforço Normal (Diagrama e Equações): 1º Passo: Definição das Equações: Trecho 1: 15 kN 10 kN. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. 2º Passo: Traçado do Diagrama de Esforço Normal: 30.286 kN 375.0 m 3.286 kN 50 kN/m C F 30 kN/m Trecho 2: X2 D X3 E X4 3. as ações geram esforços normais constantes nos trechos.m Página | 14 N(x1 ) = − 139.714 kN Trecho 3: 2.0 m 30. para esta estrutura específica.0 m 5.286 _ _ A B DEN (kN) www.714 139. 0 m X1 30 kN X5 15 kN A B 139.286 kN 375. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. ( .3 Esforço Cortante (Diagrama e Equações): 1º Passo: Definição das Equações: 15 kN 10 kN. x1 ) = 15 − 5.com
[email protected] − 50. x3 Q (x3) = (39. x1 1 Q(x1 ) = +15 − .286 − 50 . x3 (diagrama linear) Trecho 4: Q(x4 ) = 50.286) − 15 − 50. Lídici Pomin 2.286 − 50. x2 (diagrama linear) Trecho 3: Q(x3 ) = Q(x2 ) − 15 − 50. x3 Q (x3) = (139.0 m 3. x4 (diagrama linear) Trecho 5: Q(x5 ) = 30 (diagrama uniforme) www.714 kN 2. x12 (diagrama parabólico − 2° grau) 2 3 Trecho 2: Q(x2 ) = +139. 2) − 15 − 50.m Página | 15 50 kN/m C F 30 kN/m D E X2 X3 X4 3.com .0 m 5.0 m Trecho 1: 30. x3 Q(x3 ) = 24.wlcursos. 0 m 3.714 kN Neste trecho há uma seção onde o Esforço Cortante é nulo. nesta seção ocorre o Momento Fletor máximo do trecho.m 50 kN/m C Página | 16 F 30 kN/m D E X2 X3 X4 3. x12 ∴ 5.286 − 100 = 39. Assim. 𝟕𝟑𝟐 𝐦 5 Trecho 2: QCD C = 139. Diante disso. x12 ∴ 0 = 15 − 5.714 kN 2.286 kN QCD CD D = Q C − 50. nesta seção ocorre o Momento Fletor máximo do trecho.wlcursos.com
[email protected] − 15 = 24.286 − 250 = −225. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª.286 kN 375. deve-se calcular o ponto exato onde isto ocorre. x12 = 15 15 x1 = √ ∴ 𝐱 𝟏 = 𝟏. Diante disso. deve-se calcular o ponto exato onde isto ocorre.0 m 5. Assim.com . www.2 = 139.286 kN Trecho 3: CD QDE D = Q D − 15 = 39. 3 QAC C = QA − = 15 − 45 = −30 kN 2 Neste trecho há uma seção onde o Esforço Cortante é nulo.5 = 24. Lídici Pomin 2º Passo: Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Esforço Cortante: 15 kN 10 kN.0 m X1 30 kN X5 15 kN A B 139. Q(x1 ) = 15 − 5.286 kN QDE DE E = Q D − 50. pois na extremidade D o valor do esforço é positivo e na outra extremidade o valor é negativo.0 m Trecho 1: QA = 15 kN 30 . pois na extremidade A o valor do esforço é positivo e na outra extremidade o valor é negativo. com
[email protected] + 24. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. x3 = 24.286 − 50. Lídici Pomin Q(x3 ) = 24.com .486 m _ C 30 _ 225.286 E C D F 2.286 24. 𝟒𝟖𝟔 𝐦 50 Trecho 4: Página | 17 QF = 0 QFE E = 50.3 = 150 kN Trecho 5: QB = 30 QBE E = Q B = 30 kN 3º Passo: Traçado do Diagrama de Esforço Cortante: 139. x3 ∴ 50.732 m DEC (kN) + 15 A B www.714 E + 30 1.286 150 + 39. x3 ∴ 0 = 24.286 x3 = ∴ 𝐱 𝟑 = 𝟎.wlcursos.286 − 50. wlcursos. x1 x1 1 M(x1 ) = +15.0 m X1 30 kN X5 15 kN A B 139.m 50 kN/m C F 30 kN/m D E X2 X3 X4 3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin Observação: Detalhe do traçado do trecho AC: C q.714 kN 2.286 kN 375. 18 5. ( . x1 − ( ) .25 8 Página | 18 1. x1 − 3 (diagrama parabólico − 3° grau) www. x1 ) 3 2 3 x13 M(x1) = 15.4 Momento Fletor (Diagrama e Equações): 1º Passo: Definição das Equações: 15 kN 10 kN.0 m 3.com . x13 M(x1 ) = 15.com atendimento@wlcursos. x1 − 30.L ___ =11.0 m 5.732 m A 2. ( ) .0 m Trecho 1: 30. ( ) 2 x42 M(x4 ) = −10 − 50. x32 (diagrama parabólico − 2° Grau) Trecho 4: x4 M(x4 ) = −10 − 50.wlcursos. 2 − 25 .m 50 kN/m C F 30 kN/m D E X2 X3 X4 3. x3 . Lídici Pomin Trecho 2: x2 M(x2 ) = M(x1 ) + 139.286 . 2 + (39.286.com .286.286 kN 375. x2 − 50. x3 ) − 15. ( ) 2 2) x32 M(x3) = (139.572 + 24. x2 − 25.3 − ) + 139. x3 − 50 .0 m 3.0 m 5. x3 − 100. x2 .286.286 . (diagrama parabólico − 2° Grau) 2 Trecho 5: M(x5 ) = −30.0 m www. x3 − 25. 33 M(x2) = (15. x5 (diagrama linear) 2º Passo: Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Momento Fletor: 15 kN 10 kN. x3 − 50. x2 − 25. x22 (diagrama parabólico − 2° grau) Trecho 3: x3 M(x3 ) = M(x2 ) + (139. x22 M(x2 ) = 139.com atendimento@wlcursos. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. x2 − 25. x22 3 Página | 19 M(x2) = 0 + 139.0 m X1 30 kN X5 15 kN A B 139. 2 M(x3 ) = 178. ( ) 2 5. x3 ) − 15.286.286.714 kN 2. x4.286. 654) AD Mmáx = 17. sendo assim. sendo assim.577) DE Mmáx = 25. ( ) − 15 . (2. deve-se calcular o momento máximo: DE Mmáx = MCCD + 139. m Trecho 3: MDDE = MDCD = 178. ) = 0 2 3 Página | 20 Obs: Neste trecho há um cortante nulo quando x1 = 1. ( .470 kN.486) + (2. 2 − 50.29 DE Mmáx = 184. m Trecho 2: MCCD = MCAC = 0 2 MDCD = MCCD + 139.732 − (30. Lídici Pomin Trecho 1: MA = 0 30 . ). 2.32 . m Obs: Neste trecho há um cortante nulo quando x3 = 0.98 − (8.572 − 100 = 178. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª.732 1 Mmáx = 15 .572 kN. 5 2 MEDE = 0 + 975.326 kN. 7. ( ) − 15 . (2.002 − 1225 − 75 ≅ 325 kN.486). 3 1 MCAC = +15.286 . ( ) 2 MDCD = 0 + 278.732 m.486) 2 DE Mmáx = 0 + 346.3 − ( ) .286 .( ) .0 + 0. m www.1. (0. 1. deve-se calcular o momento máximo: AD 1.265 − 154.com
[email protected] 1.732) 3 2 3 DE Mmáx = 25. 7 − 50.wlcursos.98 − (17.572 kN.286 .0 + 0.0 + 0. 0. m 7 MEDE = MCCD + 139. 0.866 .com .486 m. (3.486) −50.505 − 7. 3.470 M máx = C E 90 Mmáx =17.com . 3 = 0 − 90 = −90 kN.m) 1.326 DMF (kN. m 3º Passo: Traçado do Diagrama de Momento Fletor: 325 235 D C E F 178.572 184. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª.wlcursos. Lídici Pomin Trecho 4: MFFE = −10 3 MEFE = MFFE − 50.com atendimento@wlcursos. ( ) = −10 − 225 = −235 kN.732 m A B www. m 2 Página | 21 Trecho 5: MBBE = 0 MEBE = MBBE − 30 . L² __ =25 q.L² 8 156.wlcursos.25 = __ 8 1.L² 22.L² 156.25 = __ 12 8 E F A www. Lídici Pomin Observação 1: Detalhe do traçado do trecho CE: Página | 22 C D D E q.L² Mmáx 56. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª.L² q.25 = __ 8 q.25 = __ Mmáx 8 Observação 2: Detalhe do traçado do trecho AC e EF: C q.5 = __ 56.com
[email protected] .732 m q. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª.com . (d) Momento Fletor: Diagrama e Equações. 20 kN/m C D 5 kN/m 3.wlcursos. Lídici Pomin EXERCÍCIO RESOLVIDO 3 – ISOSTÁTICA: PÓRTICO PLANO – Página | 23 QUESTÃO: Para o pórtico mostrado na Figura.0 m www.0 m 4. determine: (a) Reações de Apoio.com atendimento@wlcursos. (b) Esforço Normal: Diagrama e Equações.0 m A B 4. (c) Esforço Cortante: Diagrama e Equações. com .0 m VA VB 2º Passo: Definir as equações de equilíbrio para encontrar as Reações: FH = 0 ∴ para determinar HB MB = 0 ∴ para determinar VA FV = 0 ∴ para determinar VB 3º Passo: Definir um sentido de referência para resolver as equações do passo anterior: FH = 0 ∴ − HB + 5 . Lídici Pomin RESOLUÇÃO: 3.1 Reações de Apoio: 1º Passo: Definir um sentido aleatório para as reações de apoio: Página | 24 20 kN/m C D 5 kN/m 3.0 m 4. 3 = 0 − HB + 15 = 0 𝐇𝐁 = 𝟏𝟓 𝐤𝐍 Conclusão: Valor da reação HB positiva = sentido adotado no 1° passo correto!! 𝐇𝐁 = 𝟑𝟎 𝐤𝐍 www. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª.com
[email protected] m HB B A 4.wlcursos. 8 = 0 77. VA + 5.com .187 + VB − 160 = 0 VB − 82. Lídici Pomin 3 8 MB = 0 ∴ 8 . 𝟏𝟖𝟕 𝐤𝐍 FV = 0 ∴ VA + VB − 20 .wlcursos.5 − 640 = 0 617. 𝟖𝟏𝟑 𝐤𝐍 Conclusão: Valor da reação VB positiva = sentido adotado no 1° passo correto!! 𝐕𝐁 = 𝟖𝟐.5 8 . EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª.0 m 4.com
[email protected] m Consideração: Trecho 1: análise de B para D X1 A X3 B Trecho 2: análise de D para C Trecho 3: análise de A para C 4. VA = 617. ( ) = 0 2 2 8 . ( ) − 20 .813 = 0 ∴ 𝐕𝐁 = 𝟖𝟐.5 ∴ VA = ∴ 𝐕𝐀 = 𝟕𝟕. 𝟏𝟖𝟕 𝐤𝐍 Página | 25 8 Conclusão: Valor da reação VA positiva = sentido adotado no 1° passo correto!! 𝐕𝐀 = 𝟕𝟕. 3.0 m www. VA + 22. 𝟖𝟏𝟑 𝐤𝐍 Para iniciar a análise dos esforços internos é necessário definir como será a análise: C D X2 3. 8 . 0 m 4. = 61.com . = 46.2 Análise da barra inclinada AC: Comprimento da barra: hipotenusa2 = b2 + c 2 = 32 + 42 = 9 + 16 hipotenusa = √25 ∴ hipotenusa = 5m Página | 26 20 kN/m C D cateto oposto 3 sen α = = hipotenusa 5 5 kN/m 3. cos α = 77.187 .0 m www.0 m Análise da reação de apoio VA: 0m C 5.0 m cateto adjacente 4 A cos α = = B hipotenusa 5 4. 4 V′A = VA .187 . sen α = 77.312 kN 5 V'' A V'A VA Análise da carga distribuída de 20 kN/m: 20 kN/m 80 q'' q' 80 C C C A A A 4.wlcursos. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª.750 kN 5 3 A V′′A = VA .com atendimento@wlcursos. Lídici Pomin 3. Lídici Pomin Carga q’: 4 0m ′ 5. = 9 kN 5 9 Carga distribuída: p′ = = 1.com .8 Carga distribuída: q′ = = 12.8 kN. = 64 kN /m 5 kN C 64 .0 m 15 15 A p' A A Carga p’: 3 Resultante: p′ = 15 . sen α = 15 . cos α = 80 . m 5 m 5. = 48 kN /m 5 kN 48 6 Carga distribuída: q′′ = = 9. 5 A Análise da carga distribuída de 5 kN/m: C C p'' C 5 kN/m 3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª.6 kN.8 kN. Resultante: q = 80 . A www.0 /m kN C 8 1.com atendimento@wlcursos. m 12 Página | 27 5 A Carga q’’: 0m 3 5. ′′ C Resultante: q = 80 . m 9.wlcursos. sen α = 80 . wlcursos. Lídici Pomin Carga p’’: 4 Resultante: p′′ = 15 . m /m 5 kN 4 2.813 /m C D kN . cos α = 15 .0 C Carga distribuída: p′′ = = 2. = 12 kN 5 m 12 5.75 kN 3.6 X2 14 3.2. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. x1 4.com
[email protected] 14 /m kN 2 7.813 kN www.3 Esforço Normal (Diagrama e Equações): 1º Passo: Definição das Equações: 20 kN/m Trecho 1: N(x1 ) = − 82.0 m 2º Passo: Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Esforço Cortante: Trecho 1: NB = NDBD = − 82.75 kN 82. A 46.31 kN 61.31 + 7.31 kN 61.com . Página | 28 A Resultado da decomposição dos esforços: /m C kN .0 m /m Trecho 2: kN 2 7.813 kN N(x1 ) = − 46.0 m 4. N(x2 ) = −15 15 kN X1 A B X3 Trecho 3: 46.4 kN. 75 − 14.31 kN 61.0 m 4.813 _ _ 31 46.com . _ C D 82.000 31 10.813 + 20. 5 = −46.2 Trecho 2: 15 kN X1 A B Q(x2 ) = −82. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª.31 + 7. x2 X3 (diagrama linear) 46.31 + 36 = −10. A B DEN (kN) 3.0 m /m kN 7 .813 kN 4.0 m Trecho 3: Q(x3 ) = +61. Lídici Pomin Trecho 2: NDDC = NCDC = − 15 kN Trecho 3: NA = − 46.4 Esforço Cortante (Diagrama e Equações): 1º Passo: Definição das Equações: 20 kN/m Trecho 1: Q(x1 ) = +15 /m C D kN .31 Página | 29 NCAC = − 46. x3 (diagrama linear) www.75 kN 82.31 kN 3º Passo: Traçado do Diagrama de Esforço Normal: 15.2 .6.com
[email protected] X2 (diagrama uniforme) 14 3.wlcursos. 81 _ C 82. Assim.75 x3 = ∴ 𝐱 𝟑 = 𝟒. 5 = +61.75 − 14. x3 ∴ 14. deve-se calcular o ponto exato onde isto ocorre.75 + 15 m A . Q(x3 ) = +61. 23 DEC (kN) B 4 www.com . 𝟐𝟑 𝐦 14.6.813 kN Trecho 3: QA = +61.wlcursos.6 .75 61.75 − 73 = −11.com
[email protected] kN QAC C = Q A − 14. pois na extremidade A o valor do esforço é positivo e na outra extremidade o valor é negativo. Lídici Pomin 2º Passo: Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Esforço Cortante: Trecho 1: QB = +15 kN QBD D = +15 kN Página | 30 Trecho 2: QDC D = +82. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª.25 + 61.81 D 11.6 .6 3º Passo: Traçado do Diagrama de Esforço Cortante: C D 2.4 = +82. Diante disso. x3 = 61. x3 ∴ 0 = +61. nesta seção ocorre o Momento Fletor máximo do trecho.813 − 80 = −2.75 − 14.6.25 kN Neste trecho há uma seção onde o Esforço Cortante é nulo.813 kN QDC DC C = Q D − 20. x32 (diagrama parabólico − 2° Grau) 2º Passo: Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Momento Fletor: 20 kN/m Trecho 1: /m C D MB = 0 kN .0 m /m MDBD = MB − 15 . EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª.60 . 3) + 82.6 X2 14 3. x1 A B X3 (diagrama linear) 46. x2 − 20.2 15 kN X1 MDBD A = 0 − 15 . x2 .813 kN 4. x3 − 14. m X3 B 46. Lídici Pomin 3. x2 − 10. x3 − 7. 3 kN 7.5 Momento Fletor (Diagrama e Equações): 20 kN/m 1º Passo: Definição das Equações: /m C D kN . 3 = −45 kN.6 X2 14 3.75.0 m 4. m www.75.75 kN 82.31 kN 61.com atendimento@wlcursos. x3 .813 . x22 M(x2) = −45 + 82. m 4 MCDC = MDDC + 82. 4 − 20. Página | 31 15 kN X1 M(x1 ) = −15.813.31 kN 61.813 kN 4. ( ) 2 M(x3) = 61. ( ) 2 MCDC = −45 + 331.0 m Trecho 2: MDDC = MDBD = −45 kN. ( ) 2 M(x2) = (−15 .3 . x2 − 10.com .wlcursos.25 kN.813.252 − 160 = 126. x22 (diagrama parabólico − 2° grau) Trecho 3: x3 M(x3 ) = 61. 4.0 m Trecho 2: x2 M(x2 ) = M(x1 ) + 82.813 .0 m /m Trecho 1: 2 kN 7.75 kN 82.0 m 4. 23). 5 − 14.75 − 182. m 2 MCAC = 0 + 308.58 kN. Lídici Pomin Trecho 3: MA = 0 5 MCAC = MA + 61. 5 .618 AC Mmáx = 130.m) www.58 A Mmáx B DMF (kN.wlcursos.23 126. m 3º Passo: Traçado do Diagrama de Momento Fletor: 45 C D 126.23 m.23) − 14.252 kN.25 C 45 m D 4 . (4.6.com atendimento@wlcursos. sendo assim. (4.75 .25 kN. ( ) = 126.50 = 126.25 130. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª.23 Mmáx = 61.75 .com . deve-se calcular o momento máximo nesta seção: AC 4. ( ) 2 DE Mmáx = 261. m Página | 32 Obs: Neste trecho há um cortante nulo quando x3 = 4.6 .202 − 130. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª.2 Mmáx A q.L² 40 = __ 8 q.com .625 = __ 8 Observação 2: Detalhe do traçado do trecho CD: C D q.L² 40 = __ 8 www.625 = __ 8 q. Lídici Pomin Observação 1: Detalhe do traçado do trecho AC: C Página | 33 3m 4.L² 46.wlcursos.L² 46.com atendimento@wlcursos. 0 m 30 kN 20 kN 1.wlcursos.m 40 kN/m A C B 2.LINHA DE INFLUÊNCIA E CARGAS MÓVEIS - Página | 34 QUESTÃO: Para a viga biapoiada. Lídici Pomin EXERCÍCIO RESOLVIDO 4 .com . calcular o Esforço Cortante e Momento Fletor. na seção onde o momento fletor. é máximo. devido a carga permanente.5 m 15 kN/m 15 kN/m 5 kN/m Carga Móvel www.0 m 6.com atendimento@wlcursos. submetida às ações permanentes e acidentais (carga móvel). EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. máximo e mínimo. 150 kN 160 kN. 4 8 160 8 VA 252.0 m 6.com . iremos definir uma equação para esse trecho e igualar a zero.com atendimento@wlcursos. 6 8 320 . Reação de Apoio: 150 kN 320 kN 160 kN.1 Análise da seção ONDE SERÁ A SEÇÃO DE ANÁLISE ? Página | 35 A seção de momento fletor máximo localiza-se onde o esforço cortante é nulo.0 m 8.0 m 150 .0 m 4. definimos o local exato onde o cortante vale 0 e o momento fletor seja máximo.5 kN www. para que possamos observar onde esse esforço vale 0.0 m 2. Após. essa situação será analisada através do traçado do Diagrama de Esforço Cortante.m A C B 4. Lídici Pomin RESOLUÇÃO: 4. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª.wlcursos. Assim. então. x2 40.2 = 𝟏𝟕𝟐. x2 = 22.com . 𝟓 𝐤𝐍 QB2 = +172. Lídici Pomin 150 kN 160 kN. 𝟓 𝐤𝐍 252.5 − 40.5 − 150 = 𝟐𝟐.5 DEN (kN) + 22. 𝟓𝟔𝟐𝟓 𝐦 www.5 172.5 Conclusão: a seção onde o cortante é nulo está no trecho BC Equação do Trecho BC: Q (x2 ) = 22. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª.0 m VA 252.0 m 6.5 − 40.5 kN Esforço Cortante: 𝑸𝐀 = 𝟐𝟓𝟐.m 40 kN/m A C B Página | 36 2.5 − 40.5 − 40.8 − 150 = −𝟐𝟏𝟕.com atendimento@wlcursos. 𝟓 𝐤𝐍 QB1 = +252. x2 Seção onde o cortante vale zero: 0 = 22.wlcursos. 𝟓 𝐤𝐍 QC = +252.5 A C B _ 217.5 x2 = 40 𝐱 𝟐 = 𝟎.5 22. 5625 m VA 252.com
[email protected] 5.m 40 kN/m A C B S 2.4375 m 2. m www.5 172.5625 − 40 .5625 m 217. Lídici Pomin Conclusão: O momento fletor ocorre na seção distante 2. 2.wlcursos. 0. − 150 . 2. chamaremos este ponto de Seção S.031 − 131.5625 m da seção A.5 .375 MS = 431.5 Página | 37 DEN (kN) + 22.5 kN ESFORÇO CORTANTE EM ‘S’: QS = 0 MOMENTO FLETOR EM ‘S’: 2.5625 MS = +252.0 m 0. 252.5625 2 MS = 647.328 kN.com .5 A C B _ 2m 0. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª.5 4.2 Esforços devido à carga permanente na Seção S: 150 kN 160 kN.328 − 84.5625 . x1 8 LI QS (x1 ) = QS (x1 ) 8 − x1 8 − x1 − 8 x1 QS (x1 ) = −1 = =− 8 8 8 𝐱𝟏 𝐋𝐈 𝐐𝐒 (𝐱 𝟏 ) = − 𝟖 Então: 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟏 = 𝟎 (0) LI QS (0) = − =0 8 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟏 = 𝟐.0 m VA 8 . (8 .5625 m 5.3.x1 A C S 2.3 Análise da Carga Móvel: 4.5625m) Reação de Apoio: Página | 38 P = 1 kN x1 8 .5625 .1 Análise do Trecho AS (0 ≤ x1 ≤ 2.0 m 1 .320 8 www.com . Lídici Pomin 4.4375 m 8.x1 A C S 2.x1) 8 8 . EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª.com
[email protected] m 8.x1 VA 8 ESFORÇO CORTANTE EM ‘S’: P = 1 kN x1 2.5625) = − = −0.5625) LI QS (2. 𝟓𝟔𝟐𝟓 𝐦 (2.5625 m 5. 0 m 1 . 𝟒𝟑𝟕𝟓 𝐱𝟏 𝐋𝐈 𝐌𝐒 (𝐱 𝟏 ) = 𝟖 Então: 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟏 = 𝟎 5. 2.5625 m 5.5625 − x1 ) 8 (8 − x1 ).3. 𝟓𝟔𝟐𝟓 𝐦 5.4375 m 8.5625 − x1 ) Página | 39 MS (x1 ) = 8 20.742 8 4. 𝟒𝟑𝟕𝟓 − 𝐱 𝟐 𝐋𝐈 𝐐𝐒 (𝐱 𝟐 ) = 𝟖 www. (2. (0) LI MS (0) = =0 8 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟏 = 𝟐.4375 x1 MS (x1 ) = = 8 8 𝟓.x2 A ESFORÇO CORTANTE EM ‘S’: 5.4375 .5625 x1 − 20. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª.4375 . 4375m) Reação de Apoio: P = 1 kN x2 5. (2.5625 − 8 .4375 .wlcursos.4375 .com .2 Análise do Trecho SC (0 ≤ x2 ≤ 5.5 − 2. 2. (5.5625) = = 1.x2 ) 8 5.4375 − x2 LI QS (x2 ) = QS (x2 ) = 8 𝟓.5625 − 1 .com
[email protected]) LI MS (2.5 + 8 x1 5. (2.x2 A C S 2.4375 . Lídici Pomin MOMENTO FLETOR EM ‘S’: 8 − x1 LI MS (x1 ) = MS (x1 ) = ( ) . 4375) = =0 8 4. 𝟗𝟑𝟑 − 𝟐. 𝟒𝟑𝟕𝟓 𝐦 13.680 2.com . (5.320 S A C 0.4375 − (0) LI QS (0) = = 0. 2.wlcursos.4375) LI MS (5.4375) LI QS (5. 𝟓𝟔𝟐𝟓 𝐱 𝟏 𝐋𝐈 𝐌𝐒 (𝐱 𝟐 ) = 𝟖 Então: 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟐 = 𝟎 13.3.4375 − x2 13.5625 x2 LI MS (x2 ) = MS (x2 ) = ( ) .742 8 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟐 = 𝟓.4375 m 8. Lídici Pomin Então: 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟐 = 𝟎 5. 𝟒𝟑𝟕𝟓 𝐦 5.5625 = 8 8 𝟏𝟑.4375) = =0 8 MOMENTO FLETOR EM ‘S’: 5.680 8 Página | 40 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟐 = 𝟓.933 − 2. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª.5625 m 5.933 − 2. (0) LI MS (0) = = 1.5625.com
[email protected] − 2.4375 − (5.5625.3 Linha de Influência ESFORÇO CORTANTE EM ‘S’: -0.0 m www. 5625 m -0.320) +5.3. (−0.600 − 2.680 3. 𝟎𝟐𝟎 𝐤𝐍 www.com
[email protected] m y’’ 30 kN 1.5 m 15 kN/m 5 kN/m -0. Lídici Pomin MOMENTO FLETOR EM ‘S’: S A C Página | 41 1.320) + 20. (−0.680 y’ = -0.133) + 15.742 2.320 y' S A C y'' 2.133 − 0.com . ( ) 2 Q′S (mínimo) = −9.060 − 1.660 − 1.wlcursos. (−0.5625 m 5. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª.700 𝐐′𝐒 (𝐦í𝐧𝐢𝐦𝐨) = −𝟏𝟓.5625 m 0.133 2. (−0. 0625.0625 m y’ 0.4 Esforço devido à carga móvel ESFORÇO CORTANTE EM ‘S’: 20 kN 30 kN 1.320 1. ( ) 2 1.4375 m 8.0 m 4.5625 m 5.5.4375 m 2.5 m 20 kN y’’ = -0.133) Q′S (mínimo) = 30 .492 15 kN/m 5 kN/m Esforço Cortante Mínimo: 1. Lídici Pomin Esforço Cortante Máximo: 1.742 + 1. (1.492) + 15.239 𝐌𝐒′ (𝐦á𝐱𝐢𝐦𝐨) = 𝟏𝟓𝟗. ( ) 2 2 MS′ (máximo) = 52.680) + 20.261) 3.479 + 11. 𝟏𝟔𝟒 𝐤𝐍 MOMENTO FLETOR EM ‘S’: 2.9375.742 5. (1. ( ) + 15. ( ) 2 3.220 + 33.395 + 14. ( ) 2 1.261) + 15. (1.742) + 20.680 + 0. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª.261 15 kN/m 15 kN/m 5 kN/m Momento Fletor Mínimo: 𝐌𝐒′ (𝐦í𝐧𝐢𝐦𝐨) = 𝟎 Momento Fletor Máximo: 2.261) + 5.4375 m 1. (0. 𝐦 www.9375 m y’’’ 30 kN 1.529 𝐐′𝐒 (𝐦á𝐱𝐢𝐦𝐨) = 𝟒𝟗.wlcursos.492) Q′S (máximo) = 30 .9375 .5 m 20 kN y’’’ = 1.742) MS′ (máximo) = 30 .5625 m 5. ( ) 2 Página | 42 Q′S (máximo) = 20.260 + 25.742 3. (1.840 + 4.261 + 37.5 . 𝟒𝟓𝟗 𝐤𝐍.4375 m S A C y''' 1. (0.492) + 5. (0. (1. (0.5.5625.com .com
[email protected] + 9. 459 𝐌𝐒 (𝐦á𝐱𝐢𝐦𝐨) = 𝟓𝟗𝟎.164 𝐐𝐒 (𝐦á𝐱𝐢𝐦𝐨) = 𝟒𝟗.com . 𝟑𝟐𝟖 𝐤𝐍.020 𝐐𝐒 (𝐦í𝐧𝐢𝐦𝐨) = 𝟏𝟓. 𝟎𝟐𝟎 𝐤𝐍 2) QS (máximo) = QS (carga permanente) + QS (carga móvel) QS (máximo) = 0 + 49.com atendimento@wlcursos. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. 𝟏𝟔𝟒 𝐤𝐍 (b) Momento Fletor mínimo e máximo: 1) MS (mínimo) = MS (carga permanente) + MS (carga móvel) MS (mínimo) = 431.328 + 159. 𝟕𝟖𝟕 𝐤𝐍. Lídici Pomin 4.wlcursos.4 Esforços mínimos e máximos: (a) Esforço Cortante mínimo e máximo: 1) QS (mínimo) = QS (carga permanente) + QS (carga móvel) Página | 43 QS (mínimo) = 0 − 15.328 − 0 𝐌𝐒 (𝐦í𝐧𝐢𝐦𝐨) = 𝟒𝟑𝟏. 𝐦 www. 𝐦 2) MS (máximo) = MS (carga permanente) + MS (carga móvel) MS (máximo) = 431.