MPSI8 avril 2005 15 h – 18 h Devoir en temps limité n°10 Toute réponse non justifiée ne donnera pas lieu à attribution de points. Tout résultat non mis en évidence ne sera pas pris en compte. L’usage des calculatrices est interdit. Exercice 1 : Hydrostatique (ENAC 2004) Une cloche cylindrique de masse m dont l'épaisseur des parois est négligeable, est renversée puis plongée verticalement dans une cuve remplie d'eau. On désigne respectivement par S et H 0 , la section et la hauteur du cylindre, par ρ la masse volumique de l'eau et par p0 la pression atmosphérique extérieure. La cloche s'enfonce dans le liquide en emprisonnant un volume d'air initial égal à son volume intérieur (cf. figure ci-contre). La répartition de la masse de la cloche est telle que dans son état d'équilibre final, elle flotte en restant verticale. On négligera la masse volumique de l'air devant celle de l'eau et l'on supposera que la pression de l'air (que l'on assimilera à un gaz parfait) à l'intérieur du récipient est uniforme. a) Déterminer la pression p1 de l'air dans la cloche en fonction de p0 , m , S et g. b) Montrer que h = m mgH 0 + . ρ S p0 S + mg c) Montrer que le volume V1 de l'air emprisonné dans la cloche peut s’écrire V1 = p0 S 2 H0 . mg + p0 S d) Une vanne située dans la partie supérieure de la cloche permet d'évacuer une quantité d'air suffisante pour que la cloche s'enfonce jusqu'à ce que la base du cylindre affleure juste la surface de l'eau dans la cuve. Calculer la pression p2 de l'air dans la cloche en fonction de p0 , m , S et g. e) Calculer le volume V2 de l'air dans la cloche en fonction des données de l’énoncé. f) La cloche vide est maintenant déposée à l'endroit sur l'eau et elle est remplie d'un liquide de masse volumique ρ 0 > ρ . Exprimer le volume maximal VM de liquide que l'on peut mettre dans la cloche avant qu'elle coule en fonction des données de l’énoncé. 1/3 4.p1. Exprimer puis calculer le volume initial V1 de l’air et la hauteur initiale h1 du piston.K–1.0. Rappeler les expressions différentielles dU et dH des énergie interne et enthalpie du gaz parfait contenu dans le cylindre en fonction de n. 1. à la température T1 = T0 (T0 est la température extérieure supposée constante) et à la pression p1 = p0 (p0 est la pression atmosphérique supposée constante). L’air est considéré comme un gaz parfait dont on note γ le rapport des capacités thermiques molaires isobare et isochore : γ = C pm C vm . Calculer l’entropie créée au cours de la transformation. Le cylindre est muni d’un robinet (R) dans sa partie inférieure. 3.40. R.2. volume et température du gaz dans un état d’équilibre quelconque. V et T les pression. 2. 6.. On note R la constante des gaz parfaits. On considère un cylindre vertical de section S fermé par un piston horizontal de masse négligeable. 4.5.20 mol . Conclure. Exprimer le travail Wr reçu par le gaz au cours de la transformation en fonction de n. γ. n = 0. 4. Établir les expressions différentielles dS de l’entropie du gaz parfait contenu dans le cylindre en fonction de n.0.105 Pa . γ. Préciser le type de transformation subie par le gaz. les trois relations entre p. À quelle loi obéit le gaz au cours de cette transformation ? Établir. T. γ. 2/3 . L’opérateur appuie très lentement sur le piston de manière à ce que la pression du gaz devienne égale à p2 = 1. On donne pour les applications numériques : S = 1. T et V. T et p. R. et 7.1. T0 = 300 K ..10–2 m2 . le robinet est fermé. sont indépendantes. se déplaçant sans frottements (voir figure 1). 4. Le piston. R.3. γ = 1. à l’aide de la question 2. p0 = 1.MPSI 8 avril 2005 15 h – 18 h Exercice 2 : Compressions d’un gaz dans un cylindre (Banque agro 2004) Les questions 4.4. R. On note p. Calculer la variation d’entropie du gaz au cours de cette transformation. Exprimer puis calculer le volume V2 et la température T2 du gaz. R = 8..mol–1 . puis en fonction de n. 5. 4. V et γ qui caractérisent cette loi. T1 et T2. Sauf indication contraire.32 J. Les résultats numériques seront fournis avec 3 chiffres significatifs. les parois du cylindre et le robinet sont supposés être calorifugés. γ et T. Le cylindre contient n mol d’air. Calculer numériquement Wr. au bout d’un certain temps. Conclure. dont on suppose qu’il est aussitôt en équilibre thermique et mécanique avec l’extérieur : à pression p0 et température T0 . Quelle sera alors la pression p6 à l’intérieur du cylindre ? 7. 7. En écrivant l’équilibre mécanique du piston.3. p3 5.MPSI 8 avril 2005 15 h – 18 h 5. la température dans le cylindre va.p1. 6. γ et du rapport p1 .4. Justifier rapidement et sans calculs la diminution de température dans le cylindre. V1 et V3. Calculer l’entropie créée au cours de la transformation. En déduire la température T3 du gaz dans le cylindre. Les parois du cylindre et le robinet étant toujours imperméables à la chaleur. Exprimer le travail Wi reçu par le gaz au cours de la transformation en fonction de p3. La température du gaz resté dans le cylindre est alors T5 = 276 K. 6. le dispositif n’étant pas parfaitement calorifugé.5.1. 6. T5) où le cylindre contient n’’ = 0.2. Calculer V3. FIN DE L’EPREUVE 3/3 . 6. V4. 7. R et T0.10–3 m3 .1. Exprimer puis calculer la variation d’entropie du gaz contenu dans le cylindre au cours de cette transformation. l’opérateur applique brutalement une force de norme F constante sur le piston jusqu’à atteindre un état d’équilibre pour lequel la pression du gaz est égale à p3 = 1. puis il referme le robinet. T1). On note n’ la quantité de gaz sorti du cylindre au cours de cette transformation. Calculer W. Le système étant de nouveau dans son état initial (p1. Calculer l’entropie créée au cours de la transformation. En utilisant le premier principe de la thermodynamique. Exprimer le travail W reçu par les n mol de gaz initialement présentes dans le cylindre en fonction de n’.80. exprimer le volume V3 du gaz en fonction de V1.3. 5. L’opérateur bloque le piston dans une position telle que : V = V4 = 2. exprimer puis calculer F.2. Conclusion. 6. À partir de l’état précédent (p0. V1. Calculer la quantité de gaz n’ qui est sortie du cylindre. Comparer Wi et Wr et conclure. 5. 5. 7. T = T4 = T0 = 300 K et p = p4.122 mol. Calculer p4.4. être égale à la température extérieure T0. jusqu’à ce que la pression dans le cylindre soit égale à la pression atmosphérique p0.5.1. 5. Calculer le travail Wi reçu par le gaz au cours de la transformation.2. Calculer la variation d’entropie du gaz au cours de cette transformation. l’opérateur ouvre le robinet pendant un court instant. Exprimer puis calculer le transfert thermique Q reçu par le gaz contenu dans le cylindre.3.