INTRODUCCIÓN1. Aplicar un modelo, validar y verificar un modelo de ecuación diferencial, aplicando a un problema práctico. Demostración del modelo matemático para un drenado de un tanque cónico A ( h) dh =−a∗√ 2 gh dt a) Partiendo de la ecuación diferencial de la gravedad estándar d2 h =−g d t2 Esto nos conduce a la conclusión de que un si objeto cae desde una altura h, este aterrizara con una velocidad de −√2 gh ( 0 ) Demostración: +↑ ∑ F y =ma y 2 m∗d h m∗(−g )= d t2 Reduciendo diferencial: términos semejantes tenemos la d2h −g= 2 dt Comprobando la conclusión, tenemos que: a=v dv (a ' ) dh Tomando en cuenta a=−g reemplazamos en (a´) ecuación −g=v dv dh Resolviendo la ecuación −gdh=vdv Procedemos a integrar tomando en cuenta que: La altura inicial es h (0). la razón con la que el agua sale por el agujero se puede expresar como el área del agujero por la velocidad del agua drenada. La velocidad final es v. La velocidad inicial es 0 debido que el agua está en reposo. debido a que el agua desciende por la gravedad. La altura final es 0 debido a que el agua ya se dreno por completo. En forma alternativa. La razón con que el agua sale del tanque en el instante t se puede expresar como él área de la sección transversal a la altura h por la razón de cambio de la altura del agua. . h(0) 0 ∫ −gdh=∫ vdv 0 v [ −g∗h ] 0 [ ] v2 = 2 h (0 ) 0 v ( 0 )2 v 2 −g∗[ h ( 0 ) ] + g∗( 0 )= − 2 2 −g∗h ( 0 ) = −v 2 2 2∗g∗h ( 0 ) =v 2 Despejamos la v y comprobamos la conclusión “Ley de Torricelli” v =√2 gh(0) b) Sean A (h) el área de la sección transversal del agua en el tanque a la atura h y a el área del agujero de drenado. 3. Haciendo ∆t→0 deducida tenemos: A ( h) dh =−a∗√ 2 gh dt DESARROLLO ANALÍTICO obtenemos la ecuación diferencial . ∆ h es el decrecimiento de la altura del agua. 1. El volumen del flujo ∆ v es: de salida durante un tiempo ∆ V =a∗v∗∆ t ∆t (a’) a = área del agujero de drenado v =¿ velocidad de drenado 2. El nivel del descenso de agua es: ∆ V =−A ( h ) ∆ h (b’) A (h)= área transversal del tanque. reemplazando en (c’) tenemos: ∆ h −a∗ √ 2 gh = ∆t A (h) 5. Expresamos a∗v∗∆ t (c’) conforme a la ley de Torricelli. el signo negativo es debido a que el volumen disminuye. Igualamos las ecuaciones (a’) y (b’) −A ( h ) ∆ h=¿ v =√ 2 gh 4.A ( h) dh =−a √2 gh(1) dt Comprobación: Relacionamos el descenso del agua h (t) con el flujo de salida. 108 = h 0.022) m 2 a=( π∗4 x 10−4 )m 2 r 0.6 dt 0.175m Altura r 2=0.384∗π ¿ h2 dh −a∗√ 2 gh = ∗c dt A (h) −4 dh −( 4 x 10 ∗π )∗√ 2 ( 9.175 r=0.81m/s 2 r 1=0.81 )∗h = ∗0.62∗h A (h)=π r 2 A (h)=π ( 0.81 ) ¿ h = ∗0.6 a=( π∗r 2) m 2 a=( π∗0.02 m Radio del orificio c=0.384∗π ¿ h2 1 /2 dh −4 x 10 ∗√ 2 ( 9.384 ¿ h 2 −4 (a) .Datos: g=9.6 dt 0.128 m radio cono h1=0.62∗h)2 A ( h )=0. 125 x 10−3 2.−3 dh −2.77 x 10−3 t=1.85 s ≈ 1.175) 2 =−2.125 x 10−3 t= 5.77 x 10−3∗(0)+C 5 C=5.125 x 10−3 Aplicamos la condición inicial (2) 5 2∗h 2 =−2.125 x 10−3 5 5 2∗(0) 2 =−2.77 x 10−3∗t+5.77 x 10−3∗t+5.125 x 10−3 5 2.9 s h=0 t=? .175 m 5 2∗(0.77 x 10−3∗t=5.77 x 10−3 ∙ dt 5 2 2∗h =−2.77 x 10−3∗t+C 5 Aplicamos la condición inicial (1) h ( 0 )=0.77 x 10 = dt h 3/ 2 3 ∫ h 2 ∙ dh=∫ 2. DESARROLLO GRÁFICO Utilizando la herramienta MATLAB: . 175cm de agua calculamos el tiempo de vaciado con la ayuda de un cronómetro.85 (segundos) EXPERIMENTAL 1. teniendo como resultado un tiempo de 1. RECOMENDACIONES BIBLIOGRAFÍA [1] Dennis G.835(segund os) CONCLUIONES Una vez que hemos demostrado el modelo matemático que utilizamos para representar el drenado de tanques. representamos los diferentes resultados teniendo una variación mínima en cuanto al resultado gráfico ya que MATLAB usa todos los decimales para graficar. . Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado.91 (Segundos) GRAFICO 1. novena edición.DESARROLLO EXPERIMENTAL Al llenar el recipiente en forma de cono con una medida de 0. debemos tener en cuenta que en la dedición podemos tener un ligero error despreciable. RESULTADOS RESULTADOS ANALÍTICO 1. Zill. en nuestro caso de un cono.85 segundos. Aplicamos dicho modelo con las diferentes dimensiones de nuestro recipiente. y comparando con el resultado del cronómetro descartamos el error de medición por parte nuestra. cuarta edición. .[2] Dennis G. Mc Graw-Hill. Zill. Matemáticas avanzada para ingeniería.