Dosagem de concreto

June 8, 2018 | Author: Leonardo Costa | Category: Documents


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Dosagem de concreto

Prof. M.Sc. Ricardo Ferreira

Regressão linear simples Método dos mínimos quadrados

Prof. M.Sc. Ricardo Ferreira Fonte: Dario Dafico

Regressão linear simples Método dos mínimos quadrados Dada um conjunto de pontos conhecidos de coordenadas (x,y) que descrevem uma tendência linear como da figura abaixo: Y

ε3

y3

y2 y1

y = a + b.x

ε2

ε1, ε2, ε3, ..., εi são os erros de

ε1

previsão ou desvios

x1

x2

x3

X

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Regressão linear simples Método dos mínimos quadrados Para obter os coeficientes a e b da equação da reta de regressão representativa de um fenômeno linear, calcula-se: x = média dos valores de x y = média dos valores de y

S xx = Σ in=1 ( xi − x) 2 S xy = Σ in=1 ( xi − x).( yi − y ) Os coeficientes a e b são obtidos pelas expressões: S xy b= a = y − b.x S xx Calculados os coeficientes, obtém-se a equação:

y = a + b.x

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Regressão linear simples MMQ no Excel

5/23

6/23

Regressão linear simples MMQ no Excel

y = -8274,3 + 4,16.x

Regressão linear simples Método dos mínimos quadrados Para auxiliar o processo de cálculo da regressão linear, pode-se empregar a tabela modelo abaixo: Ponto

xi

yi

x

ӯ

( xi − x)

( xi − x) 2

( yi − y )

( xi − x).( yi − y )

1 2 3 4 5 6 7 8 ⁞ n Resultados

S xx = Σin=1 ( xi − x) 2

S xy = Σ in=1 ( xi − x).( yi − y )

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Exercício de fixação Uma empresa produtora de blocos de concreto celular localizada na cidade de São Paulo possui uma rede distribuidora por todo o interior do Estado. Realizou um estudo para determinar qual a função que liga o preço do produto ao consumidor e a distância do mercado consumidor da cidade de São Paulo. Yi Xi

Preço (R$/bloco) Distância (km)

36

48

50

70

42

58

91

69

50

240

150

350

100

175

485

335

Estimar a reta de regressão para representar essa relação. (R: P = 30,19 + 0,12.d) Com base na equação da reta encontrada estime o preço ao consumidor numa nova “praça” situada a 420 Km de São Paulo. (R: R$ 80,58) Calcule e organize em uma tabela os erros de previsão de cada praça.

Regressão linear simples Leis de Abrams, Lyse e Molinari

Prof. M.Sc. Ricardo Ferreira Fonte: Dario Dafico

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Lei de Abrams A resistência à compressão de um concreto correlaciona-se com a relação água/cimento a/c através de uma curva do tipo:

k1 fc = a / c k2

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Lei de Abrams Linearizando-se a equação de Abrams, através de logaritmos, temos:

k1 fc = a / c k2

log f c = log

k1 k2

a/c

log f c = log k1 − log k 2

a/c

log f c = log k1 − a c . log k 2 Reorganizando-se na forma de equação de reta, temos:

log f c = log k1 − log k 2 . a c y

a

b

x

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Lei de Abrams Para obter-se a equação de Abrams particular faz-se uma regressão linear entre log fc e a/c obtendo-se a e b como coeficientes da reta. Se:

Então:

a = log k1

b = − log k 2

log k1 = a

log k 2 = −b

k1 = 10a

k 2 = 10 −b

k1 = 10 a

k 2 = 10 − b

Com os valores dos coeficientes k1 e k2 tem-se a equação de Abrams. Para se encontrar o valor da relação a/c necessária para uma resistência especificada faz-se: a

log k1 − log f c c = log k 2

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Lei de Inge Lyse Para um certo conjunto particular de materiais, mantida a consistência do concreto medida pelo ensaio do abatimento do tronco de cone, o traço m é diretamente proporcional à relação a/c segundo a equação:

m = k3 + k 4 . a c

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, Lei de Inge Lyse ,

Denomina-se teor de água do concreto, representado pela letra H, o valor da relação massa de água/massa de materiais secos presentes na mistura. Assim sendo: H=

Como: a

Logo:

c

=

M água Mc

M água (M c + M a + M b )

a=

( a c ).M c H= ( M c + a.M c + b.M c )

Ma Mc

b=

Mb Mc

M c .( a c ) H= M c .(1 + a + b)

Como o traço m é a soma das proporções de areia a e brita b em relação ao cimento, ou seja:

m = a+b

(a c ) H= (1 + m)

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, Lei de Inge Lyse ,

Considerando H constante como afirma a lei de Lyse e fazendo m como função de a/c temos:

(a c ) 1+ m = H

(a c ) m= −1 H

1 a m = −1 + .( c ) H

Chamando:

k 3 = −1

k4 =

e

Obtemos a equação de uma reta:

m = k 3 + k 4 .( a c ) y

a

b

x

1 H

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Lei de Molinari O consumo de cimento de um concreto correlaciona-se com o valor do traço seco m através de uma curva do tipo:

1000 C= k 5 + k 6 .m

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Lei de Molinari Para a obtenção dos valores de k5 e k6 é necessário linearizar a equação de Molinari, permitindo assim o uso do Método dos Mínimos Quadrados. Para isso faz-se:

1000 C= k 5 + k 6 .m

103 k5 + k6 .m = C

Rearranjando-se, para o formato da equação de reta, tem-se:

10 3 = k 5 + k 6 .m C y

a

b

x

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Diagramas de dosagem

m

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Exercício resolvido 1) Os dados de dosagem abaixo são resultados de um estudo de dosagem pelo método IPT/EPUSP. O teor ideal de argamassa seca encontrado foi de 51%, o abatimento do tronco de cone adotado foi de (140 ± 10)cm, o teor de ar medido foi de 2,5% e foram empregados uma areia natural média e uma brita de granito com Dmáx de 19 mm. A idade de controle foi 28 dias. A) Calcular as equações da lei de Abrams, Lyse e Molinari para o estudo de dosagem desenvolvido. B) Calcular o traço unitário, o consumo de cimento e a eficiência para um concreto que deva apresentar uma resistência à compressão (fc) na idade de controle de 35 MPa.

fc (MPa) 38,0 28,0 20,0

a/c

m

0,41 0,55 0,70

4,0 5,0 6,0

C (kg/m³) 472 371 309

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Exercício resolvido ( xi − x) 2

( yi − y )

( xi − x).( yi − y )

1,5798 - 0,1433

0,0205

0,1371

- 0,0196

0,55

1,4472 - 0,0033

0,0000

0,0045

- 0,0000

0,70

1,3010

0,0215

0,1417

- 0,0208

x

ӯ

Ponto

x

1

0,41

2 3 Resultados

b=

S xy S xx

y

( xi − x)

0,1467

0,5533 1,4427

=−

S xx = Σin=1 ( xi − x) 2

S xy = Σ in=1 ( xi − x).( yi − y )

0,0420

- 0,0404

0,04040 = −0,9619 0,0420

a = y − b.x = 1,4427 − (−0,9619.0,5533) = 1,9749

log f c = 1,9619 − 0,9619 . log k1

log k2

a

c

k1 = 10 a = 101,9749 = 94,38 1 1 k 2 = b = −0,9619 = 9,16 10 10

fc =

94,38 9,16 a / c

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Exercício resolvido A) Com base nas informações fornecidas, calcule as equações da lei de Abrams, Lyse e Molinari para o estudo de dosagem desenvolvido.

1000 94,32 a fc = m = 1,185 + 6,894 .( c ) C = a/c 9,15 − 0,111 + 0,559.m B) Calcular o traço unitário, o consumo de cimento e a eficiência para um concreto que deva apresentar uma resistência à compressão (fc) na idade de controle de 35 MPa. m = 4,27 C = 439 kg/m³ 1

: 1,69

Ef = 12,5 kg/MPa : 2,58

: 0,45

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Exercício resolvido 2) Os dados de dosagem abaixo são resultados de um estudo de dosagem pelo método IPT/EPUSP. O teor ideal de argamassa seca encontrado foi de 55%, o abatimento do tronco de cone adotado foi de (120 ± 10)cm, o teor de ar medido foi de 1,5% e foram empregados uma areia natural média e uma brita de granito com Dmáx de 19 mm. A idade de controle foi 28 dias. A) Calcular as equações da lei de Abrams, Lyse e Molinari para o estudo de dosagem desenvolvido. B) Calcular o traço unitário, o consumo de cimento e a eficiência para um concreto que deva apresentar uma resistência à compressão (fc) na idade de controle de 50 MPa.

fc a/c (MPa) 57,5 0,36 43,7 0,42 31,4 0,49

m 3,0 4,0 5,0

C (kg/m³) 479 371 295

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Exercício resolvido A) Com base nas informações fornecidas, calcule as equações da lei de Abrams, Lyse e Molinari para o estudo de dosagem desenvolvido.

307,81 fc = 107,17 a / c

m = −2,50 + 15,35.( c ) a

1000 C= 0,12 + 0,65.m

B) Calcular o traço unitário, o consumo de cimento e a eficiência para um concreto que deva apresentar uma resistência à compressão (fc) na idade de controle de 50 MPa. m = 3,49 C = 418 kg/m³ 1

: 1,47

Ef = 8,4 kg/MPa : 2,02

: 0,39

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