Regressão linear simples Método dos mínimos quadrados
Prof. M.Sc. Ricardo Ferreira Fonte: Dario Dafico
Regressão linear simples Método dos mínimos quadrados Dada um conjunto de pontos conhecidos de coordenadas (x,y) que descrevem uma tendência linear como da figura abaixo: Y
ε3
y3
y2 y1
y = a + b.x
ε2
ε1, ε2, ε3, ..., εi são os erros de
ε1
previsão ou desvios
x1
x2
x3
X
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Regressão linear simples Método dos mínimos quadrados Para obter os coeficientes a e b da equação da reta de regressão representativa de um fenômeno linear, calcula-se: x = média dos valores de x y = média dos valores de y
S xx = Σ in=1 ( xi − x) 2 S xy = Σ in=1 ( xi − x).( yi − y ) Os coeficientes a e b são obtidos pelas expressões: S xy b= a = y − b.x S xx Calculados os coeficientes, obtém-se a equação:
y = a + b.x
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Regressão linear simples MMQ no Excel
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Regressão linear simples MMQ no Excel
y = -8274,3 + 4,16.x
Regressão linear simples Método dos mínimos quadrados Para auxiliar o processo de cálculo da regressão linear, pode-se empregar a tabela modelo abaixo: Ponto
xi
yi
x
ӯ
( xi − x)
( xi − x) 2
( yi − y )
( xi − x).( yi − y )
1 2 3 4 5 6 7 8 ⁞ n Resultados
S xx = Σin=1 ( xi − x) 2
S xy = Σ in=1 ( xi − x).( yi − y )
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Exercício de fixação Uma empresa produtora de blocos de concreto celular localizada na cidade de São Paulo possui uma rede distribuidora por todo o interior do Estado. Realizou um estudo para determinar qual a função que liga o preço do produto ao consumidor e a distância do mercado consumidor da cidade de São Paulo. Yi Xi
Preço (R$/bloco) Distância (km)
36
48
50
70
42
58
91
69
50
240
150
350
100
175
485
335
Estimar a reta de regressão para representar essa relação. (R: P = 30,19 + 0,12.d) Com base na equação da reta encontrada estime o preço ao consumidor numa nova “praça” situada a 420 Km de São Paulo. (R: R$ 80,58) Calcule e organize em uma tabela os erros de previsão de cada praça.
Regressão linear simples Leis de Abrams, Lyse e Molinari
Prof. M.Sc. Ricardo Ferreira Fonte: Dario Dafico
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Lei de Abrams A resistência à compressão de um concreto correlaciona-se com a relação água/cimento a/c através de uma curva do tipo:
k1 fc = a / c k2
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Lei de Abrams Linearizando-se a equação de Abrams, através de logaritmos, temos:
k1 fc = a / c k2
log f c = log
k1 k2
a/c
log f c = log k1 − log k 2
a/c
log f c = log k1 − a c . log k 2 Reorganizando-se na forma de equação de reta, temos:
log f c = log k1 − log k 2 . a c y
a
b
x
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Lei de Abrams Para obter-se a equação de Abrams particular faz-se uma regressão linear entre log fc e a/c obtendo-se a e b como coeficientes da reta. Se:
Então:
a = log k1
b = − log k 2
log k1 = a
log k 2 = −b
k1 = 10a
k 2 = 10 −b
k1 = 10 a
k 2 = 10 − b
Com os valores dos coeficientes k1 e k2 tem-se a equação de Abrams. Para se encontrar o valor da relação a/c necessária para uma resistência especificada faz-se: a
log k1 − log f c c = log k 2
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Lei de Inge Lyse Para um certo conjunto particular de materiais, mantida a consistência do concreto medida pelo ensaio do abatimento do tronco de cone, o traço m é diretamente proporcional à relação a/c segundo a equação:
m = k3 + k 4 . a c
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, Lei de Inge Lyse ,
Denomina-se teor de água do concreto, representado pela letra H, o valor da relação massa de água/massa de materiais secos presentes na mistura. Assim sendo: H=
Como: a
Logo:
c
=
M água Mc
M água (M c + M a + M b )
a=
( a c ).M c H= ( M c + a.M c + b.M c )
Ma Mc
b=
Mb Mc
M c .( a c ) H= M c .(1 + a + b)
Como o traço m é a soma das proporções de areia a e brita b em relação ao cimento, ou seja:
m = a+b
(a c ) H= (1 + m)
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, Lei de Inge Lyse ,
Considerando H constante como afirma a lei de Lyse e fazendo m como função de a/c temos:
(a c ) 1+ m = H
(a c ) m= −1 H
1 a m = −1 + .( c ) H
Chamando:
k 3 = −1
k4 =
e
Obtemos a equação de uma reta:
m = k 3 + k 4 .( a c ) y
a
b
x
1 H
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Lei de Molinari O consumo de cimento de um concreto correlaciona-se com o valor do traço seco m através de uma curva do tipo:
1000 C= k 5 + k 6 .m
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Lei de Molinari Para a obtenção dos valores de k5 e k6 é necessário linearizar a equação de Molinari, permitindo assim o uso do Método dos Mínimos Quadrados. Para isso faz-se:
1000 C= k 5 + k 6 .m
103 k5 + k6 .m = C
Rearranjando-se, para o formato da equação de reta, tem-se:
10 3 = k 5 + k 6 .m C y
a
b
x
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Diagramas de dosagem
m
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Exercício resolvido 1) Os dados de dosagem abaixo são resultados de um estudo de dosagem pelo método IPT/EPUSP. O teor ideal de argamassa seca encontrado foi de 51%, o abatimento do tronco de cone adotado foi de (140 ± 10)cm, o teor de ar medido foi de 2,5% e foram empregados uma areia natural média e uma brita de granito com Dmáx de 19 mm. A idade de controle foi 28 dias. A) Calcular as equações da lei de Abrams, Lyse e Molinari para o estudo de dosagem desenvolvido. B) Calcular o traço unitário, o consumo de cimento e a eficiência para um concreto que deva apresentar uma resistência à compressão (fc) na idade de controle de 35 MPa.
fc (MPa) 38,0 28,0 20,0
a/c
m
0,41 0,55 0,70
4,0 5,0 6,0
C (kg/m³) 472 371 309
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Exercício resolvido ( xi − x) 2
( yi − y )
( xi − x).( yi − y )
1,5798 - 0,1433
0,0205
0,1371
- 0,0196
0,55
1,4472 - 0,0033
0,0000
0,0045
- 0,0000
0,70
1,3010
0,0215
0,1417
- 0,0208
x
ӯ
Ponto
x
1
0,41
2 3 Resultados
b=
S xy S xx
y
( xi − x)
0,1467
0,5533 1,4427
=−
S xx = Σin=1 ( xi − x) 2
S xy = Σ in=1 ( xi − x).( yi − y )
0,0420
- 0,0404
0,04040 = −0,9619 0,0420
a = y − b.x = 1,4427 − (−0,9619.0,5533) = 1,9749
log f c = 1,9619 − 0,9619 . log k1
log k2
a
c
k1 = 10 a = 101,9749 = 94,38 1 1 k 2 = b = −0,9619 = 9,16 10 10
fc =
94,38 9,16 a / c
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Exercício resolvido A) Com base nas informações fornecidas, calcule as equações da lei de Abrams, Lyse e Molinari para o estudo de dosagem desenvolvido.
1000 94,32 a fc = m = 1,185 + 6,894 .( c ) C = a/c 9,15 − 0,111 + 0,559.m B) Calcular o traço unitário, o consumo de cimento e a eficiência para um concreto que deva apresentar uma resistência à compressão (fc) na idade de controle de 35 MPa. m = 4,27 C = 439 kg/m³ 1
: 1,69
Ef = 12,5 kg/MPa : 2,58
: 0,45
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Exercício resolvido 2) Os dados de dosagem abaixo são resultados de um estudo de dosagem pelo método IPT/EPUSP. O teor ideal de argamassa seca encontrado foi de 55%, o abatimento do tronco de cone adotado foi de (120 ± 10)cm, o teor de ar medido foi de 1,5% e foram empregados uma areia natural média e uma brita de granito com Dmáx de 19 mm. A idade de controle foi 28 dias. A) Calcular as equações da lei de Abrams, Lyse e Molinari para o estudo de dosagem desenvolvido. B) Calcular o traço unitário, o consumo de cimento e a eficiência para um concreto que deva apresentar uma resistência à compressão (fc) na idade de controle de 50 MPa.
fc a/c (MPa) 57,5 0,36 43,7 0,42 31,4 0,49
m 3,0 4,0 5,0
C (kg/m³) 479 371 295
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Exercício resolvido A) Com base nas informações fornecidas, calcule as equações da lei de Abrams, Lyse e Molinari para o estudo de dosagem desenvolvido.
307,81 fc = 107,17 a / c
m = −2,50 + 15,35.( c ) a
1000 C= 0,12 + 0,65.m
B) Calcular o traço unitário, o consumo de cimento e a eficiência para um concreto que deva apresentar uma resistência à compressão (fc) na idade de controle de 50 MPa. m = 3,49 C = 418 kg/m³ 1