1UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA INTRODUÇÃO DA TRIGONOMETRIA NO ENSINO MÉDIO Marlizete Franco da Silva Maria Clara Rezende Frota PUC Minas Belo Horizonte- 2011 2 LISTA DE QUADROS Quadro 1: Organização das atividades em grupos....................................................13 Quadro 2: Implementação da sequência de atividades.............................................71 3 SUMÁRIO 1INTRODUÇÃO...........................................................................................................5 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA................................................................................5 3 ORGANIZAÇÃO DA SEQUÊNCIA.........................................................................11 4 DESCRIÇÃO DOS BLOCOS E DAS ATIVIDADES...............................................13 4.1 Bloco 1: Atividades Preparatórias....................................................................15 4.1.1 Atividade A: Investigando propriedades de polígonos de três lados.......15 4.1.2 Atividade B: Explorando a planta baixa de uma casa.................................18 4.2 Bloco 2: Semelhança de triângulos e trigonometria no triângulo retângulo...................................................................................................................20 4.2.1 Atividade 1: Medida da Altura da Parede......................................................21 4.2.2 Atividade Complementar 1: Semelhança de triângulos..............................22 4.2.3 Atividade 2: Medindo o ângulo usando transferidor, simulando o uso do teodolito....................................................................................................................25 4.2.4 Atividade Complementar 2: Formalização das razões trigonométricas....26 4.2.5 Atividade 3: Problemas aplicados.................................................................30 4.2.6 Atividade Complementar 3: Problema Aplicado..........................................31 4.2.7 Desafio da Planta do Telhado........................................................................32 4.2.8 Projeto: Enxergando e modelando a Trigonometria das construções da cidade........................................................................................................................34 4.3 Bloco 3: Transição do triângulo para o círculo trigonométrico.....................36 4.3.1 Atividade 4: O círculo trigonométrico...........................................................37 4.3.2 Atividade Complementar 4: Explorando a circunferência e seus arcos....40 4.4 Bloco 4: Trigonometria no círculo trigonométrico e no plano cartesiano....42 4.4.1 Atividade 5: Applets seno e cosseno no círculo trigonométrico...............43 4.4.2 Atividade Complementar 5: Fixação de conceitos no círculo trigonométrico..........................................................................................................45 4.4.3 Atividade 6: Applets com gráficos de seno, cosseno e tangente..............48 4.4.4 Atividade Complementar 6: Gráficos das funções seno e cosseno – fixação.......................................................................................................................49 4.4.5 Atividade 7: Applets de simetrias e redução ao primeiro quadrante........52 4 4.4.6 Atividade complementar 7: simetrias e redução ao primeiro quadrante...53 4.4.7 Atividade 8: Arcos complementares e Fórmulas da soma e da diferença de arcos.....................................................................................................................54 4.4.8 Atividade Complementar 8: Arcos complementares e fórmulas da soma e da diferença de arcos...............................................................................................56 4.5 Bloco 5: Atividades Avaliativas........................................................................58 4.5.1 Teste 1..............................................................................................................59 4.5.2 Teste 2..............................................................................................................64 4.5.3 Questionário....................................................................................................69 4.5.4 Feira de Matemática........................................................................................70 5 UMA PROPOSTA DE IMPLEMENTAÇÃO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA..............71 REFERÊNCIAS..........................................................................................................76 APÊNDICE.................................................................................................................80 ANEXO.......................................................................................................................85 sob a orientação de Maria Clara Rezende Frota. A apresentação da sequência foi estruturada da seguinte forma: fundamentação teórica da proposta. A utilização de recursos didáticos diversificados se justifica em Richit e Maltempi (2010) e Smole e Diniz (2005). ou utilizando applets de geometria dinâmica. reconstruindo modelos abstratos da trigonometria. de idéias da trigonometria. fruto de uma pesquisa desenvolvida no Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática da PUC Minas. utilizando material concreto e recursos computacionais. desenvolvendo atividades com referência na realidade. papel e lápis e recursos computacionais para a compreensão e representação algébrica e geométrica de modelos abstratos da Trigonometria. medições. papel. com referências na realidade. 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA DA PROPOSTA A sequência didática aqui apresentada é pensada como uma abordagem da Trigonometria a partir da modelagem. apontando possíveis dificuldades e ao final uma proposta de implementação. Por isso utilizamos material concreto.). apresentando os objetivos pretendidos de cada uma delas e as expectativas de desempenho dos alunos. lápis. incentivar a redescoberta através da modelagem. . Esta sequência pretende ser uma contribuição para o ensino desse conteúdo. calculadora. com a descrição dos blocos e das atividades. das tecnologias de lápis e papel. ao afirmarem que para atingirmos o maior número de alunos devemos combinar vários recursos metodológicos (software. de modo que eles próprios descobrissem padrões e propriedades trigonométricas. material concreto. por Marlizete Franco da Silva. organização da sequência. seja através do uso de material concreto. 2011). Os objetivos gerais da sequência didática foram: motivar os alunos. aproveitando as potencialidades de tipos diferenciados de instrumentos didáticos.5 1 INTRODUÇÃO Apresentamos a seguir uma sequência didática que objetiva introduzir os estudos de Trigonometria no Ensino Médio. (SILVA. propiciar experiências variadas que conduzam o aluno a atribuir significado ao conteúdo programático de trigonometria. plantas. etc. em consequência. pretende. (KATO et al. permitem uma manipulação mental do que está ocorrendo. não será somente a presença do material concreto que facilitará a compreensão. os “referentes” que este material possui. .6 O uso do material concreto tem como grande vantagem oferecer “referentes”. Sriraman (2006). O conteúdo matemático abordado por meio de Modelagem e investigações é desencadeado no decorrer das atividades com a formalização posterior a sua utilização. Assim. Consideramos que a aprendizagem de novos conceitos matemáticos se consolida mais rapidamente quando se inicia pela apresentação de uma situação problema ao aluno. a coleta de dados também fica sob a responsabilidade dos alunos. que o ajudará a conferir significado à linguagem matemática. A proposta é fundamentada em alguns princípios destacados por Biembengut e Hein (2007) quanto à Modelagem em Educação Matemática e na concepção de Modelagem de Barbieri e Burak (2005). que por meio de analogias facilitará o processo de abstração e entendimento do novo conhecimento. Por um lado. mergulhar os alunos num contexto próximo às situações que desencadearam sua necessidade e. e pautamos nosso trabalho adotando os casos 1 e 2 de Barbosa (2001). Tal abordagem. o material concreto permite uma manipulação física. com informações para que os alunos resolvam além de problemas. No entanto. o originaram. (SPINILLO. MAGINA. são propostos aos alunos situações-problema. além da resolução. 2004). palpável da situação. 2010). Isso permite que à medida que o aluno busca ferramentas para resolver a situação problema. símbolos que significam algo para o estudante. ficando a formalização e generalização do conceito como a última etapa do processo de aprendizagem. pois para o estudante. ele mobilize conhecimentos já adquiridos e perceba que novos conteúdos se fazem necessários. o material concreto já possui uma utilidade. Adotamos a perspectiva de modelagem educacional citada por Kaiser. como configurações de inserção de atividades de modelagem no currículo escolar. antes de introduzir o conteúdo formalizado. nos quais. concordando com Quinlan (2004). que permitem dar significado à situação como um todo. mas o que ele significa para o estudante. na qual os exemplos do mundo real e suas associações com a Matemática tornam-se um elemento central para a estruturação e o desenvolvimento do ensino e aprendizagem em Matemática. (BARBIERI. reaproximar o conhecimento trigonométrico escolar do empirismo que lhe deu origem. pois. (AIMI.7 Partimos do pressuposto de que podemos seguir um caminho diferente do usual. 2010). Escolher o tema com o qual se trabalhará desperta a participação e interesse do aluno. No processo ensino-aprendizagem. Aumenta-se o nível de detalhes e sua complexidade. conhecimentos necessários ao seu convívio social. BASSANEZI. indo de situações particulares para gerais. O conhecimento trigonométrico. (SANTOS. 2007. Elaborar os próprios problemas pode. (BASSANEZI. por que não. objetivando o desenvolvimento da argumentação matemática. tornando-se menos significativa e mais complicada para quem está fora desse campo de estudo. que enquanto conhecimento escolar se distanciou do empirismo do qual se originou. E tendo a oportunidade de perceber que os conhecimentos sistematizados não surgem por acaso. BURAK. 2009). Podemos considerar que estamos realizando aulas inspiradas pela Modelagem Matemática. A modelagem cria um ambiente favorável à aprendizagem durante a implementação das atividades. BISOGNIN. coleta de dados. também. que delas se distanciam ao serem generalizadas e aprofundadas. ser um bom caminho. 2009). pois reorienta o ensino dessa disciplina. 2009). Pesquisas apontam que os alunos demonstram mais interesse pela disciplina quando percebem sua aplicação em seu dia-a-dia. na qual a escolha de problemas vindos de situações concretas funciona como o elemento motivador inicial. levantamento de hipóteses e muitos testes. 2005). e age de modo a incorporar. por parte do aluno. A aprendizagem com modelagem leva em consideração a motivação e a abstração. assim como Lindegger (2000). Uma parte considerável de suas ideias são fruto de abstrações de situações empíricas. BISOGNIN. (SANTOS. mas para suprir necessidades humanas. após um árduo trabalho de observação. além de permitir a percepção se os estudantes entenderam o conceito matemático . (BASSANEZI. permitindo que os alunos se envolvam em experiências educativas. enquanto conhecimento matemático produzido historicamente pela humanidade se desenvolveu de tal forma. em processos de construção do conhecimento ligados a conhecimentos práticos. 2007). que se vê parte importante do processo e que este se relaciona com seu contexto. As atividades de modelagem podem auxiliar a apropriação de conceitos matemáticos. Durante a realização das atividades é interessante que os alunos partilhem idéias. 2006. comparar. pois a partir do momento em que são convidados a criar os próprios problemas. 2010. FERRUZZI. OLIVEIRA. D’AMBRÓSIO. KATO et al. analisar. 2006. As primeiras atividades eram guiadas. p. caracterizam-se pela ênfase dada ao processo. lidamos com Modelagem Matemática como prática investigativa. durante as atividades. FERRUZZI. em seguida acrescentávamos. 2007). Trata-se de outra oportunidade de desenvolver nos alunos habilidades que lhes permitam empregar de forma eficaz os instrumentos que possuem oriundos de seu meio e cultura. levantar hipóteses e argumentar. em que as situações de ensino propostas são mais abertas. construam conjecturas e negociem significados e desenvolvam capacidades de comunicar e argumentar. ERNEST. BIEMBENGUT. justapor. ALMEIDA.Nesse sentido. de forma a favorecer a descoberta de propriedades trigonométricas. ALMEIDA. BROCARDO. (LOSS. 2009).2). compor. BROCARDO. OLIVEIRA. para motivá-los. o aluno deve observar. comparações e analogias. realização das atividades e discussão dos resultados. 2010). de cunho investigativo. também contribui para a ampliação dos conhecimentos dos mesmos.8 proposto ou não. estabeleçam conexões. Nessa perspectiva. da pertinência ao assunto e a criatividade em sua elaboração. 1996. raciocínios. cabendo aos alunos o papel de definir atitudes e tomar decisões durante o processo. Como os alunos não estavam habituados ao formato de atividades abertas.(KFOURI. 2006. no círculo ou no plano cartesiano. foi necessário elaborar as primeiras atividades seguindo uma linha próxima a de Ernest (1996). (PONTE. Debatendo assim com seus pares para resolver o problema o aluno conseguirá apurar e consolidar seus conhecimentos matemáticos acerca do conteúdo. processos. encaixar. que se delineou em introdução. bem como a associação entre as formas como a trigonometria se apresenta: no triângulo. As atividades da sequência foram propostas como exercícios de modelagem numa linha investigativa (PONTE. (SANTOS. experimentar. quando se refere a descobertas guiadas. relacionar. BISOGNIN. . atividades mais abertas. eles deverão se preocupar com a coerência das informações dadas. 2009). As atividades. gradativamente. SILVA. Oliveira e Silva (2009). Ripardo. p. Permite “alavancar” processos durante sua execução que são muito importantes num ambiente de ensino: análise. nos ateremos aos projetos educacionais de ensino e de trabalho. diversificadas e interessantes. Para os interesses dessa pesquisa. opinar. Acreditamos que essa escolha feita pelos alunos é de suma importância dentro da concepção em que enquadramos nosso trabalho: inspirada em Modelagem Matemática. 2009). Além dos motivos já expostos em nosso texto. . previsão. p. à luz de Richit e Maltempi: concebemos projetos como atividades educativas que geram situações de aprendizagem reais. (RICHIT. 2009. Projetos de trabalho: tem basicamente os mesmos predicativos dos projetos de ensino. é desenvolvido por alunos sob a coordenação do professor.93). que devem permitir aos estudantes decidir. 2010). 2010. contudo. se situa como um projeto educacional de trabalho na visão de Ripardo. Optamos por atrelar um projeto às atividades. destacam em seu trabalho várias formas de projetos educacionais. Além da motivação inicial que ele apresenta. mas não se tem certeza de que serão alcançados. (KATO et al. corroboramos nossa opção por desenvolver um projeto. iniciaram-se na escolha de que construções existentes na cidade eles acreditavam ser interessantes e que poderiam ser objetos de estudo. execução e inovação. pelo fato de que. nas escolas. desenvolvido por alunos sob a orientação da professora pesquisadora. debater e conduzir seu processo de conhecimento. a pedagogia de projetos tem sido muito aplicada e tem obtido resultados satisfatórios. (RIPARDO. voltado para a melhoria do processo ensino-aprendizagem de conteúdos trigonométricos. O projeto. 2010. favorecendo o desenvolvimento da autonomia e a participação social. OLIVEIRA. pois se propõe a resolver um problema específico cujos resultados são esperados. OLIVEIRA. MALTEMPI. proposição. As decisões tomadas pelos alunos e opiniões por eles expressadas.9 na medida em que contribuem para o desenvolvimento do pensamento matemático dos alunos. É desenvolvida pelo professor.20). Oliveira e Silva (2009). (RIPARDO. Projetos de ensino: voltados a uma ou mais disciplinas do currículo escolar com o propósito de melhorar o processo de ensino-aprendizagem de conteúdos específicos dessa(s) disciplina(s). SILVA. aqui proposto. FREITAS. (RIBEIRO. o computador torna-se uma ferramenta computacional. Possibilita testar mudanças associadas a características algébricas ou geométricas e observar as variações nos aspectos gráficos dos conceitos matemáticos. 2007). FRANCHI. 2010). que conduzem à compreensão ampla dos conceitos. Como Franchi (2007) coloca. É sua função investir nas . mesmo com todos os recursos que apresenta e as potencialidades que oferece apenas a presença do computador não garante promoção de aprendizagem. como Araújo (2009) e Barbosa (2001). atingindo a ideia abstrata a que se propõe. aproxima as práticas de modelagem matemática do trabalho com projetos. ainda mais envolvendo recursos tecnológicos. Mas. que pode ser utilizado quando se fizer necessário. Já que atividades relacionadas a temas de interesse. O uso de tecnologia computacional propicia. já que a visualização. explorá-lo. visualização. dentre outras coisas. ressalva-se que. Nessa perspectiva. até que este passe de símbolo para conceito adquirido. parte integrante de seu conhecimento intelectual. devido a uma tradição brasileira.1999). MALTEMPI. também pode construir ambientes de aprendizagem muito férteis. enquanto as tecnologias são recursos que favorecem tais ações. articulada à dinâmica desse recurso. de retirá-lo da condição de símbolo para instrumento. Esta ferramenta facilita a assimilação de conceitos presentes em diversas atividades. BITTAR. o aluno deve experimentar o ente carregado de simbologia. permitindo o desenvolvimento das potencialidades do estudante. pela qual o aluno desenvolve uma tarefa. evidencia propriedades e relações entre objetos matemáticos. 2010). motivam os estudantes a participarem ativamente de seu processo de aprendizagem. que. chamam de projetos de modelagem matemática. manipulá-lo. (RICHIT. ele aprende por estar executando algo sob o intermédio do computador. algo que favorece a apropriação de conhecimento em matemática. Chamamos de apropriação a ação do estudante ao assimilar determinado conceito.10 Este projeto foi inspirado no que autores. (RICHIT. Para que tal apropriação se dê. Cabe ao professor atuar como estimulador da investigação e reflexão. 2010. (VALENTE. Tal proximidade é justificada graças a importância do planejamento desses projetos e das incertezas que seu desenvolvimento carrega. além da Modelagem Matemática. MALTEMPI. sob a visão de Valente (1999). a Informática. nas quais os alunos necessitam medir alturas de paredes. 2010).11 potencialidades de cada material utilizado. Teorema de Pitágoras. na forma de atividades em sala de aula e atividades complementares para casa. No Bloco 2. solucionar os problemas propostos. sem delas se aproximar. objetivam resgatar conhecimentos anteriores dos alunos. O segundo bloco de atividades se refere à Trigonometria no triângulo retângulo. prevendo-se um momento de socialização e sistematização de conceitos. a serem resolvidas em casa. 3 ORGANIZAÇÃO DA SEQUÊNCIA A sequência didática é organizada em cinco blocos de atividades. sob a linha investigativa. a serem resolvidas por vezes em duplas. dependendo da intencionalidade de cada uma. temos 2 atividades: uma Atividade em sala e uma Atividade Complementar. As Atividades em sala de aula objetivam instigar e desafiar os alunos a mobilizar conhecimentos prévios e. OLIVEIRA. trenas. a serem resolvidas em casa. temos duas Atividades Preparatórias. temos 8 atividades: quatro Atividades na sala de informática e quatro Atividades Complementares. temos 8 atividades: três Atividades em sala. mesclando o tipo de tecnologia e a abordagem metodológica adotada. permitindo ao aluno transferir suas compreensões para o conceito matemático abstrato. um Questionário e a Feira de Matemática. fixar conceitos e procedimentos explorados em sala de aula e iniciar a formalização de conceitos. As Atividades Complementares. Há atividades em que os alunos devem escolher. No Bloco 1. No Bloco 3. No Bloco 5. canudos de refrigerante. Conta com atividades realizadas em grupos. outras em grupos de 4 a 6 pessoas. o que os remete a origem empírica desse conhecimento trigonométrico. de acordo com um foco principal estabelecido. transferidor. O primeiro bloco de atividades pretende retomar alguns conceitos como: Teorema de Tales. entre vários problemas aplicados de . (SOUZA. No Bloco 4. triângulos e escala e consiste de duas Atividades Preparatórias A e B. temos 4 Atividades Avaliativas: dois Testes. três Atividades Complementares e um projeto: Enxergando e Modelando a Trigonometria das construções da cidade. Cada bloco é composto por um número específico de atividades. conduzido pela professora. um Desafio. utilizando alguns materiais concretos como esquadros. ocorrendo também ao final da aplicação da sequência didática. mediante a associação das dimensões geométrica. a aplicação de um questionário em que os alunos avaliam. A Atividade lhes permite empregar conceitos de escala e associar a forma do telhado com representações abstratas (formato triangular. SANTOS.12 trigonometria. desde as funções seno e cosseno no círculo até o esboço de seus gráficos no plano cartesiano. A última atividade desse bloco é o projeto: Enxergando e modelando a Trigonometria das construções da cidade. feitos individualmente. elementos que os formam). Que estimula os alunos a enxergar a Trigonometria nas construções da cidade. pequenos programas em linguagem Java feitos no software Geogebra. três para serem resolvidos. individualmente. algébrica e gráfica dos conceitos abordados (RICHIT. partindo de construções que eles próprios consideram interessantes. Esses applets são de fácil manipulação. são apresentados à comunidade escolar. . reduções ao primeiro quadrante. proporcionando melhor compreensão dos conceitos. compreendendo dois testes. 2008). Temos um desafio que utiliza a planta de uma casa. e uma Feira de Matemática. representação em plantas. retirados de livros didáticos. O quarto bloco contempla a trigonometria no círculo trigonométrico e no plano cartesiano. do bloco 2. ao final da sequência. a experiência vivenciada. ao longo da aplicação da sequência didática. no qual os alunos são convidados a analisar a inclinação do telhado nela representado. relações de complementaridade e fórmulas de soma e diferença de ângulos. Contempla uma introdução e/ou apresentação do que seja um círculo orientado. MALTEMPI. na qual os resultados obtidos no projeto. Após esta atividade são impelidos a elaborar seus próprios problemas. Estas atividades utilizam recursos computacionais. explorando a manipulação de applets. unidades comumente utilizadas para representarmos ângulos e arcos e atividades numa perspectiva de descoberta guiada de Ernest (1996). O terceiro bloco de atividades aborda a transição da trigonometria do triângulo retângulo para o círculo trigonométrico. 2010. acessados via web. O quinto bloco de atividades prevê Atividades Avaliativas. a partir de uma lista de problemas aplicados retirados de livros didáticos. Atividade 2: Busca pelo ângulo de inclinação conhecidos a altura da parede e a distância até ela. dispondo de régua. Pretende selecionar. Projeto: Enxergando e modelando a trigonometria das construções da cidade. em posições diversas. o que são os quadrantes do círculo trigonométrico e quais seus intervalos de existência. construções que eles consideram interessantes na cidade e delas extrair a trigonometria presente: telhados. . Explorou o telhado e sua inclinação a partir de sua planta. Atividade 1: Mobilização de conhecimentos sobre semelhança de triângulos para encontrar a altura da parede da sala de aula. Pretendia estimular a observação e o manejo de plantas baixas. Desafio da planta do telhado: Visa conhecer e associar algumas partes do telhado à formação de triângulos e. Atividade B: Exploração da planta baixa de uma casa e dos conceitos nela inseridos: escala. Exploração de noções de arcos côngruos e de primeira determinação positiva e negativa. rampas. etc. que comentam algumas soluções que imaginamos serem apresentadas pelos alunos. junto aos alunos. visando recuperar informações como: classificação de triângulos quanto aos lados e ângulos. perímetro e área de retângulos. Atividade Complementar 2: Formalização da definição das razões trigonométricas seno. bem como o uso instrumentos de medida. escadas. Atividade Complementar 1: Atividades de fixação com semelhança de triângulos para verificar a invariância das relações. cosseno e tangente no triângulo retângulo e exploração destas relações em triângulos variados. Exploração de relações fundamentais na trigonometria. são expostos a seguir. Atividade 4: Fixação dos conceitos de círculo trigonométrico e arco orientado. que abordem razões trigonométricas diferentes. aplicar o Teorema de Pitágoras. seguidos das análises prévias. dispondo de um transferidor e um canudo de refrigerante. soma de seus ângulos internos. O Quadro 1 mostra de forma concisa como estas atividades foram agrupadas: Blocos 1 Atividades Atividades preparatórias 2 Semelhança de triângulos e trigonometria no triângulo retângulo 3 Transição do triângulo para o circulo trigonométrico Descrição Atividade A: Exploração de conhecimentos prévios dos alunos acerca de triângulos. Atividade Complementar 3: Pede aos alunos que elaborem exercícios a partir de situações práticas que envolvam razões trigonométricas no triângulo retângulo.13 4 DESCRIÇÃO DOS BLOCOS E DAS ATIVIDADES As atividades e seus respectivos objetivos. possivelmente. Atividade Complementar 4: Exploração do conceito de comprimento de circunferência e comprimento de arcos de circunferência. Atividade 3: Pretende que o aluno escolha e resolva três problemas aplicados. esquadro e canudo de refrigerante. trigonométrico Destaque de características dos gráficos e funções trigonométricas. para serem expostos durante a Feira. cosseno e tangente no círculo trigonométrico. para facilitar a descoberta da defasagem entre as no círculo funções. Quadro 1: Organização das atividades em grupos Fonte: Dados da pesquisa . cosseno e tangente quando aumentamos ou diminuímos o valor do ângulo em cada quadrante do círculo trigonométrico. utilizando os applets. Atividade Complementar 6: Desenho dos gráficos das funções seno e cosseno a partir da tabela de arcos notáveis. Atividade 8: Percepção de relações de complementaridade entre ângulos e como isso afeta os valores seno e de cosseno de arcos num mesmo quadrante. Atividade 6: Observação de como são formados os gráficos das funções seno. cosseno e tangente. Aplicação das fórmulas de soma e subtração de ângulos e sua utilização para obter alguns modelos abstratos clássicos da trigonometria numa exploração algébrica. Atividade 7: Análise de situações de simetria no círculo trigonométrico (vertical. como maquetes das construções e desafios com os dados coletados durante o desenvolvimento do projeto. podendo identificar tal período. horizontal e em relação à origem) para estabelecer as expressões de redução ao 1º quadrante. utilizando applets dinâmicos. abordados na atividade com recurso computacional.14 Quadro 1 (Continuação) Blocos 4 5 Atividades Descrição Atividade 5: Utilização de applets de trigonometria feitos no Geogebra para estimular os alunos a perceberem o que ocorria aos valores de seno. Atividade Complementar 5: Atividades de fixação dos conceitos abordados na atividade com recurso computacional. e no plano associando-as às partes de um telhado e a aplicações a outras cartesiano áreas de conhecimento. no mesmo Trigonometria plano cartesiano. avaliando se as funções trigonométricas citadas são ou não periódicas. Os dois Testes: Verificação de aprendizagem dos conteúdos abordados. Atividade Complementar 7: Atividades de fixação dos conceitos sobre redução ao primeiro quadrante. Atividade Complementar 8: Fixação das relações de complementaridade entre ângulos e seus reflexos sobre os valores do seno e do cosseno de ângulos num mesmo quadrante. Questionário: Verificação das impressões que os alunos tiveram acerca da sequência de atividades aplicada. Encontrar os valores dos ângulos dados seus valores de seno. à medida que completamos uma volta na circunferência trigonométrica. Exploração das fórmulas de soma e subtração de ângulos através de abordagem geométrica em software dinâmico. Elaborar modelos. Atividades Feira de Matemática: Apresentar à comunidade escolar os Avaliativas resultados obtidos no projeto: Enxergando e modelando a trigonometria das construções da cidade. Reconhecimento de o que é uma função periódica. Identificar os eixos correspondentes às funções seno. considerando o quadrante em que os ângulos se encontram. cosseno ou tangente. Investigando propriedades de polígonos de três lados 1-Desenhe um polígono (uma figura geométrica) de três lados. a partir do entendimento do que seja uma escala. Atividade B: investigar a planta baixa de uma casa e atribuir sentido às medidas utilizadas. Você poderia dizer o nome desse polígono? 2-Escreva algumas propriedades que você observa nesta figura? 3-Num triângulo.1 Bloco 1: Atividades Preparatórias Objetivos: Atividade A: revisitar a geometria. Qual é a medida do terceiro ângulo? Como você chegou a este resultado? 4-Observe os triângulos abaixo e destaque as características que você observa em cada um deles: Triângulo Característica Triângulo Característica D A B E F C .15 4. dois ângulos medem. respectivamente. relacionando com as medidas reais. investigando padrões de triângulos e sistematizando propriedades. 4.1 AtividadeA: Investigando propriedades de polígonos de três lados ATIVIDADE A.1. 25° e 108°. há pares que possuem características semelhantes. há pares que possuem características semelhantes.16 ATIVIDADE A. Separe as duplas que apresentam: Duplas de triângulos Que nome recebem? Um ângulo maior que 90° Três ângulos menores que 90° Um ângulo de 90° .Investigando propriedades de polígonos de três lados (Continuação) 5-Dos triângulos que você caracterizou acima. Separe as duplas que apresentam: Duplas de triângulos Que nome recebem? Os três lados iguais Dois lados iguais e um diferente Os três lados diferentes 6-Observando os triângulos abaixo. o que se pode dizer acerca dos ângulos de cada um desses triângulos? Características Características Triângulos quanto aos Triângulos quanto aos ângulos ângulos 7-Dos triângulos que você caracterizou acima. oferecem-se as características sistematizadas. o de dois lados iguais e um diferente ao termo isósceles e o de três lados diferentes ao termo escaleno. A segunda pretende recuperar as propriedades de um triângulo qualquer: ter três lados. esperando que os alunos destaquem os desenhos a elas associadas e identifiquem as classificações obtusângulo. Na tarefa 5 sumarizam-se as características. A quarta e quinta tarefas exploram as classificações dos triângulos quanto a seus lados. suscitando sua recordação pelos alunos. triângulo. Esperamos que os alunos associem os triângulos de três lados iguais ao termo equilátero. A quarta tarefa oferece modelos de triângulos desenhados para que os alunos destaquem características relacionadas aos seus lados. oferece desenhos para que os alunos deles destaquem características associadas a seus ângulos. três ângulos. A terceira tarefa explora a aplicação da relação entre os ângulos internos de um triângulo. A sexta e sétima tarefas se remetem às classificações dos triângulos quanto a seus ângulos. ter a soma dos ângulos internos igual a 180º etc. três vértices.17 Orientações/ Sugestões A primeira tarefa objetiva recuperar o modelo abstrato do polígono de três lados. como a quarta. dos respectivos triângulos: se acutângulo. retângulo ou . fazendo alusão a que desenhos as apresentam e como poderiam ser chamados. tanto por meio de um desenho quanto o seu nome. em conformidade com a quinta. Na tarefa 7. A sexta tarefa. que é a planta baixa. Nessa planta a escala utilizada é de 1/ 50. complete o quadro abaixo: CÔMODOS LARGURA (cm) COMPRIMENTO (cm) ÁREA (cm2) Banheiro Sala Cozinha Quarto 3-Considerando os dados até aqui coletados.2 Atividade B: Explorando a planta baixa de uma casa Atividade B. temos um projeto de casa popular disponibilizada pela prefeitura de Belo Horizonte. agora informando as medidas reais de cada cômodo. O que essa escala significa? 5-Uma vez que já conhecemos a escala utilizada nessa planta. é possível encontrar a área de toda a casa? Como? 4-Para que toda a extensão da casa caiba em uma folha. da casa toda? . ela precisa ser reduzida de forma proporcional. que apresenta. CÔMODOS LARGURA (m) COMPRIMENTO (m) ÁREA (m2) Banheiro Sala Cozinha Quarto 6.Qual é a área. em metros.Explorando a planta baixa de uma casa Para resolver esta atividade. leia a folha e consulte a planta em anexo. Para isso usamos a escala. em m2. planta do telhado e vista de cortes verticais. num plano. quantos são. sem o telhado. da casa vista de cima.18 4. A planta baixa de uma casa é a representação gráfica. 1-O que você poderia dizer sobre os cômodos dessa casa (que formas têm. etc)? 2-Utilizando uma régua para efetuar as medidas.1. Para resolver às questões abaixo. observe no projeto a planta 1 quarto. Na planta que entregamos a vocês. complete o quadro. vista das fachadas da casa. além da planta baixa da casa. Onde se evidencia apenas o chão e a distribuição dos cômodos nesse espaço. para não perder suas formas originais. e sua quantidade. com a diferença de pedirem as medidas reais. em metros. é disponibilizado aos alunos uma cópia da planta baixa de uma casa popular da cidade de Belo Horizonte (ANEXO A). retangular ou quadrado. já que a escala dada foi de 1/50. já calculada na tarefa 2. destaquem as características geométricas dos cômodos como seu formato. a partir da exploração da planta baixa. As tarefas 5 e 6 tem praticamente os mesmos objetivos das tarefas 2 e 3. A tarefa 3 visa analisar como os alunos chegam a área da casa toda desenhada na planta. já suscitados na tarefa 4. ou pelo cálculo de área do desenho completa da casa na planta. . o que ele significa.19 Orientações/ Sugestões Para o desenvolvimento da Atividade Preparatória B. dos cômodos. Além de estimular o uso de material para desenho esta atividade pretende mobilizar conhecimentos acerca de áreas de figuras planas. A segunda tarefa apresenta a necessidade do uso de régua para medir as distâncias expressas no desenho da planta em centímetros. se pela soma das áreas dos cômodos. A primeira tarefa pretende que os alunos. Espera-se que os alunos associem cada 1cm do desenho a 50cm da casa real. Nessas tarefas faz-se necessário a aplicação dos conhecimentos de escala. A tarefa 4 explora o conceito de escala. de forma empírica algumas relações fundamentais da trigonometria. possivelmente. Desafio da Planta do Telhado: conhecer e associar algumas partes do telhado à formação de triângulos e. Atividade 2: encontrar o ângulo de inclinação conhecidos a altura da parede e a distância até ela. aplicar o Teorema de Pitágoras. desde a escolha à resolução de problemas aplicados. dispondo de régua.2 Bloco 2: Semelhança de triângulos e trigonometria no triângulo retângulo Objetivos Atividade 1: mobilizar conhecimentos sobre semelhança de triângulos para encontrar a altura da parede da sala de aula. neste nível de ensino para que posteriormente seja modelada e transformada em desafios matemáticos pelos alunos. cosseno e tangente no triângulo retângulo e explorar estas relações em triângulos variados. dispondo de um transferidor e um canudo de refrigerante.20 4. Atividade Complementar 2: formalizar a definição das razões trigonométricas seno. na opinião deles. além de permitir que usem sua criatividade na concepção de problemas aplicados. Explorar o telhado e sua inclinação a partir de sua planta. Atividade 3: permitir aos alunos aplicar e fixar seus conhecimentos acerca das razões trigonométricas no triângulo retângulo. Aproveitar tal motivação para extrair o máximo de trigonometria que estas construções têm a oferecer. Introduzir. são mais interessantes para um estudo trigonométrico. Atividade Complementar 1: fixar os conceitos sobre semelhança de triângulos verificando a invariância de relações. . à medida em que eles escolhem as construções que. em posições diversas. Atividade Complementar 3: verificar o grau de familiaridade dos alunos com o assunto dado. Projeto: Enxergando e modelando a Trigonometria das construções da cidade: aproximar a Trigonometria do cotidiano dos alunos. esquadro e canudo de refrigerante. pelo qual enxergamos o ponto mais alto da parede. encontrando uma posição na sala na qual esta situação seja possível. Como não é permitido medir diretamente a parede. uma régua e um canudo de refrigerante. Orientações/ Sugestões A primeira tarefa da Atividade 1 envolve o uso de materiais concretos: esquadros. bem como triângulos e distâncias. Espera-se que os alunos associem aos ângulos o fato de utilizando esquadros diferentes. indique primeiro o tipo de esquadro que você está utilizando: ( )45/90/45 ( )30/90/60 ( )60/90/30 b)Relacione os conteúdos de Matemática que você consegue associar a atividade desenvolvida.1 Atividade 1: Medida da Altura da Parede Atividade 1 – Medida da Altura da Parede 1-Como você faria para medir a altura da parede da sala dispondo apenas de um esquadro. Esperamos que eles mencionem terem utilizado semelhança de triângulos para resolver esta atividade.2. obterem a mesma altura Ao final dessa atividade é pedido aos alunos que mencionem toda a Matemática que eles identificam na atividade desenvolvida. É pedido aos alunos que criem desenhos que representem a situação de forma a estimulá-los a criar modelos abstratos com papel e lápis e facilitem o estabelecimento de relações e compreensão da situação para que possam resolvê-la. *Atenção. para encontrar a altura da parede.21 4. sem poder se aproximar da parede para medi-la diretamente?(Anote todos os passos realizados para resolver este problema e ao final faça um esboço da situação apresentada). . o que favorecerá as conjecturas acerca dos resultados encontrados no momento de socialização. Abaixo da primeira tarefa é pedido aos alunos que assinalem que tipo de esquadro está sendo utilizado. trenas e canudos de refrigerante. Espera-se que os alunos utilizem o esquadro para estabelecer uma situação de semelhança de triângulos. usando o material dado. A trena poderá ser utilizada para medir distâncias no chão e do esquadro. O canudo pode ser utilizado como se fosse uma luneta. pretende-se que os alunos criem estratégias. 10m.5cm. Determine os valores desconhecidos de x. GH= x c) M O K N G L KM= 9cm. fazendo um desenho.2 Atividade Complementar 1: Semelhança de triângulos Atividade Complementar 1. que possuem um vértice em comum. GI= 9cm.2. a sombra do pinheiro era de 3.Semelhança de triângulos 1-Sabendo que os pares de triângulos abaixo são semelhantes encontre os valores desconhecidos: a) b) c) d) e) 2-As figuras abaixo representam dois triângulos sobrepostos. GJ= 20cm. a) Ilustre esta situação.22 4. BD= 4. Numa tarde ensolarada. em cada caso: a)C b) H J E A D B AB= 7cm. no mesmo instante em que a sombra da estaca projetada no chão era de 85 cm. fincada a seu lado.72m. b) É possível representar esta situação por meio de dois triângulos semelhantes imaginários? c) Você saberia determinar a altura do pinheiro? . AC= x F I FG= 14cm. LN= 13. NO= 6cm. DE= 2cm.5 cm. KL= x 3-No parque de uma cidadezinha havia um pinheiro e uma estaca de 1. quanto devem medir as vigas verticais indicadas pelos segmentos: BG e CF? 1 Atividade retirada de IMENES. AD= 4. encontre o valor de x.26 .80m. LELLIS. base do triângulo maior: 5-O telhado de uma casa é sustentado por uma estrutura de madeira em forma de triângulos semelhantes: E G F A B C D Considerando as distâncias AB = 1.40m. 2009. s e t são paralelas e determinam dois triângulos semelhantes: 1 Nessas circunstâncias.Semelhança de triângulos (Continuação) 4 -Na figura.20m. as retas r. AC= 2.20m e DE= 1. p.23 Atividade Complementar 1. assim chamados pois se encontram “um dentro do outro”. os alunos sejam capazes de elaborar um desenho esquemático e saibam explicar como encontrar a medida desconhecida.24 Orientações/ Sugestões A Atividade Complementar 1 pretende fixar os conceitos de semelhança de triângulos. Espera-se que os alunos consigam encontrar os valores desconhecidos. As tarefas dessa atividade pretendem que os alunos utilizando semelhança de triângulos encontrem os valores desconhecidos de x. A tarefa 3 difere das demais tarefas. além de encontrar a distância desconhecida. pois não apresenta desenho. . situação análoga a enfrentada pelos alunos na Atividade 1 de sala de aula. 4 e 5 trazem triângulos sobrepostos. e outros posicionados de maneira diferente o que exige mais concentração ao resolvê-los. alguns posicionados da mesma maneira. As tarefas 2. relacionando a tarefa sob a forma de uma situação de semelhança de triângulos. Nesta tarefa pretende-se que.facilitando suas associações. sendo este uma das ações necessárias a sua resolução. A tarefa 1 traz triângulos semelhantes separados. simulando o uso do teodolito. os alunos utilizam as medidas encontrados na Atividade 1: a altura da parede da sala e a distância. Nesta tarefa o objetivo é encontrar o ângulo de observação dadas as distâncias mencionadas. como você determinaria o ângulo de inclinação relacionado a estas medidas? (Anote todos os passos realizados para resolver este problema. simulando o uso do teodolito Atividade 2 – Medindo o ângulo usando transferidor. Os alunos dispõem de um transferidor. Pretende-se que os alunos encontrem o ângulo. Orientações/ Sugestão Na Atividade 2. utilizando um esquadro posicionado a certa distância da parede. 1-Na Atividade 1 descobrimos a altura da parede da sala. façam desenhos representando suas ações e após encontrarem o ângulo verifiquem que corresponde aproximadamente ao ângulo do esquadro utilizado na Atividade 1.25 4. b)Relacione os conteúdos de Matemática que você consegue associar a atividade desenvolvida. desde que posicionados a distâncias diferentes da mesma.2. registre os cálculos e ao final faça um desenho da situação investigada). esperamos que os alunos mencionem o uso das razões trigonométricas no triângulo retângulo: seno. a) Dispondo de um transferidor e um canudo de refrigerante. é pedido que os alunos relacionem os conteúdos matemáticos que eles puderam perceber nesta atividade. . medida no chão da sala. Percebemos que esquadros com ângulos diferentes podem fornecer a mesma altura da parede. um canudo de refrigerante e de uma trena.3 Atividade 2: Medindo o ângulo usando transferidor. do local onde posicionaram o esquadro até a parede. conhecidas as medidas da altura da parede e da distância do transferidor à mesma. cosseno ou tangente. Ao final da Atividade 2. 2-Cada ângulo agudo de um triângulo retângulo apresenta um valor de seno.2. há alguma em que você poderia ter utilizado alguma dessas razões trigonométricas? Comente.375 0. Chamamos de tangente de um ângulo agudo do triângulo retângulo a razão entre o cateto oposto a este ângulo e o cateto adjacente a este ângulo.404 0.475 a)Consultando o quadro complete o que se pede para os triângulos dados: Triângulos Cite seus três ângulos Encontrem os valores de x (explique os caminhos matemáticos utilizados) x 4cm 22° y 4cm x 40° y 4 cm y 68° x b)Destaque semelhanças entre os triângulos acima: c)Registre outras observações sobre a tarefa 2? Encontrem os valores de y (explique os caminhos matemáticos utilizados) . Chamamos de cosseno de um ângulo agudo do triângulo retângulo a razão entre o cateto adjacente a este ângulo e a hipotenusa do triângulo retângulo.375 tangente 0.927 cosseno 0.927 0. cosseno e tangente.643 0. Chamamos de seno de um ângulo agudo do triângulo retângulo a razão entre o cateto oposto a este ângulo e a hipotenusa do triângulo retângulo.839 2. ângulos 22° 40° 68° seno 0. A tabela abaixo apresenta três ângulos agudos e suas respectivas razões trigonométricas.26 4. 1-Conhecidas as definições de tais razões. responda: Entre as atividades realizadas em sala.4 Atividade Complementar 2: Formalização das razões trigonométricas Atividade Complementar 2 – Formalização das razões trigonométricas Num triângulo retângulo podemos relacionar seus lados a seus ângulos. Estas relações recebem o nome de razões trigonométricas no triângulo retângulo.766 0. 2 e 3. são especificados os valores de seus lados e de dois ângulos agudos α e β. V. II. VI.27 Atividade Complementar 2 – Formalização das razões trigonométricas(Continuação) 3. 4-Para os triângulos 1. calcule os valores de sen2 + cos2 : 1233cm 5cm 4cm 5cm 13cm 8cm 12cm O que você observa? Isto é sempre verdade? Justifique 6cm 10cm .No triângulo retângulo representado. O que observou? Como se explica o que você observou? c)Compare outros resultados da tarefa 3a e registre suas observações. 10 6 8 a)Determine os valores de: I-sen = II-cos = VI-cos = III-tg = IV- V-sen = VII-tg = sen cos VIII- sen cos b)Considere os resultados encontrados nas letras I. que possuem uma das medidas em comum igual 4 cm. VII-tgβ. V-senβ.28 Orientações/ Sugestões A Atividade Complementar 2 objetiva formalizar os conceitos sobre razões trigonométricas no triângulo retângulo. Sobre estes triângulos são feitos alguns questionamentos: quais os valores de seus três ângulos. É esperado que eles relacionem a situação III com a situação IV e a situação VII com a situação VIII e compreendam que a razão tangente é equivalente ao quociente da razão seno pela razão cosseno. VIII- . A tarefa 3 apresenta um triângulo retângulo no qual são conhecidos as medidas dos três lados e dois ângulos α e β. V e VI. na letra a é dada uma tabela em que os alunos devem completá-la calculando-se os valores de I-senα. Espera-se que nesse ponto os alunos utilizem pelo menos uma das razões trigonométricas para encontrar a primeira variável. temos uma tabela com três triângulos retângulos. III-tgα. VI-cosβ. A letra b pede que os alunos destaquem semelhanças entre os triângulos. Na letra b os alunos são indagados acerca de relações entre situações I. Esperamos que os alunos identifiquem que utilizaram razões trigonométricas semelhantes apesar de estarem lidando com ângulos diferentes e que as razões trigonométricas estão ligadas ao ângulo e não às dimensões do triângulo. para encontrar a segunda eles podem utilizar o Teorema de Pitágoras ou outra razão trigonométrica. A primeira tarefa dessa atividade pede que os alunos relacionem as razões trigonométricas recém-sistematizadas às atividades 1 e 2 feitas anteriormente. em que esperamos que os alunos destaquem o fato de que há uma medida igual entre os três triângulos. Na letra a dessa tarefa. Relativo a este triângulo. Na letra c é pedido que os alunos registrem outras observações que eles notaram nos elementos da tabela. II. IV- . . A tarefa 2 disponibilizava aos alunos uma tabela com ângulos e suas respectivas razões trigonométricas. por isso traz as definições sistematizadas no início da folha de atividades. A letra c pede que os alunos registrem suas observações. qual o valor de suas medidas x e y e como os alunos as encontraram. Esperamos que os alunos percebam que senα é igual a cos β e que senβ é igual a cos α e possivelmente associem tal observação ao fato de que α e β sejam ângulos complementares. II-cosα. Esperamos que eles concluam que independente do ângulo ou do triângulo considerado essa relação sempre terá como resultado o número 1. . Sobre estes triângulos é pedido que os alunos apliquem a relação “sen 2α + cos2α” e relatem o que observam.29 Na tarefa 4 são dados aos alunos três triângulos retângulos em posições diferentes e que apresentam medidas de lados e ângulos diferentes. as razões . Dessa lista os alunos devem escolher três problemas a serem resolvidos. assim. cuja solução envolva uma das razões trigonométricas. devendo estes problemas serem de razões trigonométricas diferentes: um deverá abordar a razão trigonométrica seno. outro o cosseno e outro a tangente. I-a) Número do Problema: b)Razão trigonométrica utilizada: c)Resolução: II-a) Número do Problema: b)Razão trigonométrica utilizada: c)Resolução: III-a) Número do Problema: b)Razão trigonométrica utilizada: c)Resolução: Orientações/ Sugestões Para desenvolverem a atividade três. um problema envolvendo a razão trigonométrica seno.5 Atividade 3: Problemas aplicados Atividade 3 – Problemas aplicados Escolha três problemas da lista. é entregue aos alunos uma lista de problemas trigonométricos aplicados retirados de livros didáticos (APÊNDICE A). Você resolverá. um problema envolvendo a razão trigonométrica cosseno e um problema envolvendo a razão trigonométrica tangente. Esperamos que os alunos ao resolver estes problemas apliquem corretamente trigonométricas e utilizem esboços para resolver as situações.2.30 4. e seja passível de resolução.6 Atividade Complementar 3: Problema Aplicado Atividade Complementar 3: Problema Aplicado Elabore um problema cuja solução envolva uma das razões trigonométricas. .31 4. que necessite de uma das razões trigonométricas: seno.2. mas não precisa entregar a solução do mesmo Orientações/ Sugestões Na Atividade Complementar 3 é dada aos alunos a chance de usar sua criatividade e elaborar um problema aplicado sobre uma das razões trigonométricas. Atenção! Você precisa saber resolver o problema. Esperamos que os alunos redijam e ilustrem um problema que seja coerente. cosseno ou tangente. que mostra o telhado visto de cima e sua inclinação de i=35%. e a planta de cobertura. Estas partes obedecem à escala 1/50. complete a tabela abaixo. as medidas reais e o método utilizado para obter estas informações: Medida na planta Partes do telhado Medida real (m) Método utilizado (cm) Pendural Linha Empena 2-Que relações você pode estabelecer entre a linha. leia a folha e consulte a planta em anexo.32 4. a)Consulte o Corte AA da planta e determine o ângulo de inclinação do telhado em relação à horizontal. b)É possível determinar alguma relação entre o tamanho do pendural. O telhado é uma das partes importantes em uma casa.2. que mostra o telhado e suas partes. Para nosso trabalho consideremos algumas partes de um telhado de telhas de barro. especificando algumas destas partes: Pendural Empena Diagonal Linha Na planta entregue a você há o corte AA. apoiado sobre uma estrutura de madeira. cada um composto por partes específicas. Explique o método utilizado para encontrar esta resposta. os telhados devem ser projetados com uma determinada inclinação. 1-Observando o Corte AA. Há vários tipos de telhados. 4-Para evitar goteiras. escala utilizada na construção da planta.7 Desafio da Planta do Telhado Desafio da Planta do Telhado Para resolver esta atividade. o tamanho da linha e a inclinação do telhado? Explique . Observe a figura que representa um telhado. o pendural e a empena de um telhado? 3-Que associações você consegue estabelecer entre esta tarefa e as atividades anteriores. informando as medidas da planta. 33 Orientações/ Sugestões O Desafio da Planta do Telhado proposto volta a interligar as atividades trigonométricas com a exploração de plantas baixas. Na letra b tentamos associar as partes do telhado e a inclinação do mesmo. encontrem o ângulo de inclinação em graus. espera-se que os alunos. Para o desenvolvimento dessa atividade é novamente entregue aos alunos a planta baixa utilizada na Atividade Preparatória B (ANEXO A). Esperase que os alunos consigam associar a formação de um triângulo e o Teorema de Pitágoras aos elementos do telhado e perceber que as atividades 1. Esperamos que os alunos associem a razão trigonométrica tangente ao ângulo de inclinação. utilizando possivelmente um transferidor. Espera-se que os alunos utilizem régua para extraírem as medidas da planta. linha e pendural. Esperamos que utilizem a escala para encontrarem as medidas em metros. Nas tarefas 2 e 3 é pedido que os alunos estabeleçam relações entre as partes do telhado e as associem às atividades desenvolvidas anteriormente. A tarefa 4 explora a ideia de inclinação. no tamanho real (em metros) e descrevam que métodos foram utilizados. na letra a analisa a inclinação dada em porcentagem pela planta e tenta associá-la a um ângulo. 2 e 3 têm relação com este desafio. . Além de mencionar qual a escala em que a planta foi desenhada. possivelmente podem utilizar o Teorema de Pitágoras para encontrar o pendural. Chama-se a atenção para a inclinação do telhado e para a observação de um corte específico da planta. Na tarefa 1 pede-se que os alunos encontrem as medidas das partes do telhado na planta (em centímetros). Esta atividade se inicia tecendo comentário sobre os telhados de uma casa e os nomes de suas partes: empena. os membros do grupo e a turma. Atenção: Diagramar o pôster e a folha A4. colocando margem e cuidando para não cometer erros ortográficos. destacando os elementos geométricos e a trigonometria relacionada. o croqui (esboço da planta). O trabalho deverá ser entregue em duas vias. Que construções da sua cidade você acha interessante? Grupos Construção Grupo1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Grupo 5 Grupo 6 Cada grupo deverá fotografar a construção. informando as devidas medidas e os cálculos feitos para obtê-las. . *A entrega das duas vias do trabalho será dia 15/03. Segunda via: em folha AG. Primeira via: em folha A4 contendo a fotografia (cópia scaneada ou imagem impressa).34 4. Na folha AG será colada uma folha A4 contendo as mesmas informações da folha A4 da primeira via.2. na forma de um pôster. informando o nome do trabalho. informando as devidas medidas e destacando os elementos geométricos e a trigonometria relacionada. data em que cada grupo apresentará o seu pôster. desenhar um croqui (esboço de uma planta) utilizando a escala 1: 50.8 Projeto: Enxergando e modelando a Trigonometria das construções da cidade Projeto: Enxergando e modelando a Trigonometria das construções da cidade. sob determinada escala. efetuando os cálculos que acharem pertinentes para responder aos questionamentos iniciais. soma dos ângulos internos de um triângulo. triângulo retângulo. classificação de triângulos. círculo trigonométrico. cosseno ou tangente. Durante a execução do projeto esperamos que os alunos associem como trigonometria a estas construções: razões trigonométricas seno.35 Orientações/ Sugestões No projeto os alunos serão indagados sobre que construções da cidade eles acham mais interessantes e que trigonometria pode ser associada a estas construções. tesouras de terraços. . circunferência. escadas comuns que lembram modelos triangulares. semelhança de triângulos. escadas que lembram modelos circulares. Esperamos que eles escolham construções de telhados de forma triangular com inclinações diferenciadas. Os alunos deverão proceder a uma coleta de dados referente a construção escolhida e de posse dos dados fazer um croqui da referida construção. Teorema de Pitágoras. rampas. etc. etc. 3 Bloco 3: Transição do triângulo para o círculo trigonométrico Objetivos Atividade 4: fixar os conceito de círculo trigonométrico e arco orientado. o que são os quadrantes do círculo trigonométrico e quais seus intervalos de existência.36 4. Atividade Complementar 4: explorar o conceito de comprimento de circunferência e comprimento de arcos. Explorar noções de arcos côngruos e de primeira determinação positiva e negativa. . 37 4.3.1 Atividade 4: O círculo trigonométrico Atividade 4- O círculo trigonométrico Se fixarmos um sentido positivo em uma circunferência pode-se dizer que se trata de uma circunferência orientada. Uma circunferência orientada de centro na origem do sistema cartesiano, de raio unitário e cujo sentido positivo é o anti-horário, é denominado círculo trigonométrico. Vamos considerar a origem do círculo trigonométrico no ponto A (1,0), interseção da semirreta Ox com a circunferência c. O eixo x e o eixo y dividem o círculo trigonométrico em 4 partes iguais, chamadas quadrantes. 1-Complete a tabela abaixo, indicando os intervalos de variação, em graus e em radianos, de cada quadrante: Quadrante Intervalo em graus Intervalo em radianos 1º quadrante 2º quadrante 3º quadrante 4º quadrante 2-Observe o círculo trigonométrico: Marque no círculo trigonométrico os pontos que correspondem aos ângulos: 15°, 75°, 30°, 60°, , 120°, 150°, 750°, 780°, , , 240°, , 330°, 420°, 480°, 540°, 600°, , - 135°, - 225°. 2-Há arcos que se posicionaram no mesmo ponto? Quais? 3-Há arcos que deram mais de uma volta no círculo trigonométrico? Como você descobriu? 4-O que podemos dizer sobre os ângulos - 60°, - 135° e - 225°? 5-O que têm em comum os ângulos: 420°, 480°, 540°, 600°, 750°, 780°? 6-Os ângulos de 60° e 420° são côngruos. Observando suas posições no círculo trigonométrico da tarefa 2, o que isso significa? 7-Um ponto que descreve um ângulo de 1500° dá várias voltas, no sentido anti-horário de um círculo trigonométrico. a)Quantas voltas exatamente ele dá? b)Em que quadrante ele para? c)Dê exemplos de outros dois ângulos, aos quais ele poderia ser côngruo. 38 Orientações/ Sugestões A Atividade 4 introduz o círculo trigonométrico, associando a circunferência ao sistema de coordenadas cartesianas. Orientando e estabelecendo sua origem. Na tarefa 1 os alunos são indagados acerca dos intervalos em que os quadrantes se encontram, em graus e em radianos. Esperamos que os alunos identifiquem a existência de intervalos de 90° em 90° e que estes podem ser representados em duas unidades diferentes. Na tarefa 2 após definidos os intervalos dos quadrantes, é pedido que os alunos posicionem alguns ângulos, em graus e radianos, num círculo trigonométrico. A tarefa 3 questiona a existência de arcos que se posicionam no mesmo ponto no círculo. Esperamos que os alunos percebam essa situação e identifiquem os ângulos 30° e 750°; 60°, 420° e 780; 120° e 480°; e – 225°; 240° e 600°; como ângulos que se posicionaram no mesmo ponto. Na tarefa 3 é pedido que se identifique se há ângulos que deram mais de uma volta no círculo trigonométrico e como se deu sua descoberta. Esperamos que os alunos mencionem: 420°, 480°, 540°, 600°, 750° e 780°; como ângulos que apresentam mais de uma volta, devido ao fato de serem ângulos maiores que 360°, o que representaria uma volta. Acreditamos que essa resposta auxiliará na resolução da tarefa 5, pois é perguntado o que os referidos ângulos têm em comum, esperamos que seja dito, que todos apresentam mais de 360°. Na tarefa 4 pedem-se observações acerca dos ângulos – 60°, –135° e – 225°, esperamos que informem que são ângulos negativos e, devido a isso, se posicionam no sentido horário do círculo trigonométrico. A tarefa 6 apresenta um exemplo de ângulos côngruos e questiona os alunos, a partir da observação do posicionamento de dois ângulos, sobre o significado de tal afirmação. Esperamos que os alunos informem que os ângulos são côngruos pois se posicionaram no mesmo ponto no círculo trigonométrico, diferindo entre si apenas pelo número de voltas dadas no círculo. A tarefa 7 representa uma tarefa de fixação, um ponto percorre no sentido anti-horário do círculo trigonométrico um ângulo de 1500°, após esta afirmação os alunos são questionados quanto a quantas voltas foram dadas no círculo, em que 39 quadrante o ângulo se posiciona e pede-se exemplos de outros ângulos côngruos a esse. Esperamos que os alunos encontrem como número de voltas completas o valor 4, como quadrante onde se localiza a primeira determinação positiva o primeiro e como exemplos de ângulos côngruos 420°, 780°, ou qualquer ângulo cuja primeira determinação positiva seja 60°. 40 4.3.2 Atividade Complementar 4: Explorando a circunferência e seus arcos Atividade Complementar 4- Explorando a circunferência e seus arcos Uma circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos que estão a uma mesma distância de um ponto dado. O ponto fixo dado é o chamado centro e a distância constante é chamada raio. Seu comprimento pode ser calculado pela expressão: C = 2. .r. Nesta expressão o símbolo (pi) representa uma constante que vale aproximadamente 3,14. 1-Em uma casa, um arquiteto deseja projetar um jardim de forma circular. O diâmetro desse jardim deverá ser de 2m. Quanto de arame será necessário para contornar o jardim, a fim de protegê-lo de animais até que ele esteja totalmente formado? Descreva seu raciocínio. 2-No jardim da tarefa 1 serão plantados 4 tipos de flores, igualmente distribuídas neste canteiro circular. a)Represente a situação por meio de um desenho. b)Considerando que o canteiro tem forma circular e que sua representação pode ser associada a um círculo trigonométrico, quantos graus desse desenho são ocupados por este canteiro? Descreva os procedimentos. c)Entre as flores a serem plantadas, rosas vermelhas serão plantadas em uma das regiões do círculo. Para cercar com arame, apenas a região com rosas, é possível encontrar este comprimento, dado em metros? Descreva seus métodos e faça um desenho esquemático sobre a situação. 3-Se um determinado ponto descrevesse uma trajetória circular em uma circunferência, no sentido anti-horário, quando ele completasse uma volta, quantos graus ele teria percorrido? ______________ 4-a)Num relógio o ponteiro dos minutos descreve uma circunferência ao longo de seu movimento. Quantos graus o deslocamento do ponteiro dos minutos descreve em cada minuto? Descreva como obteve sua resposta. b)No relógio abaixo, o menor ângulo formado entre os ponteiros das horas e dos minutos, corresponde a quantos graus? Explique como você encontrou este valor. 41 Orientações/ Sugestões A Atividade Complementar 4 explora noções intuitivas de comprimento de circunferência e comprimento de arcos de circunferência. Esperamos que os alunos associem essa região a um quarto do círculo trigonométrico. Esperamos que os alunos utilizem o valor 360° como resposta. pretende fixar o valor em graus de uma volta no círculo trigonométrico. A tarefa 1 propõe uma situação problema na qual os alunos devem. Na letra a questiona-se quantos graus o deslocamento do ponteiro dos minutos descreve em cada minuto. Na letra a dessa tarefa é solicitado um desenho que representa a situação. Na letra b pede-se que este desenho seja associado a um círculo trigonométrico e pergunta-se quantos graus essa região ocuparia nesse círculo trigonométrico. indaga-se qual o valor em graus do menor ângulo descrito entre os ponteiros das horas e dos minutos nesse horário. A tarefa 3. Na letra c. A tarefa 2 aproveita a ideia da tarefa 1 e propõe uma situação em que o canteiro circular precisará ser dividido em quatro partes iguais. tomado em seu sentido anti-horário. sendo dado a figura de um relógio marcando três horas. conhecido o diâmetro de um canteiro de flores circular. Esperamos que os alunos encontrem o valor de 6°. .r para encontrar a solução da tarefa. que também limitam a região considerada. encontrar a quantidade de arame necessária para cercá-lo. e o adicionem a dois raios. possivelmente utilizando uma regra de três. por nós considerada simples. citado no texto inicial. aplicando a expressão C = 2. Espera-se que os alunos encontrem o comprimento do arco correspondente ao ângulo de 90°. Espera-se que os alunos associem a quantidade a indagação do problema ao conceito de comprimento de circunferência. A tarefa 4 associa o movimento do ponteiro dos minutos de um relógio à circunferência. equivalente a 90°.π. temos o pedido para cercar com arame a região equivalente a um quarto do círculo trigonométrico. Na letra b. Esperamos que seja encontrado o valor de um ângulo de 90°. podendo ser encontrado pela multiplicação de 15’x 6° ou dividindo-se 360° por 4. à medida que completamos uma volta na circunferência trigonométrica. cosseno ou tangente. Atividade Complementar 8: Fixar as relações de complementaridade entre ângulos e seus reflexos sobre os valores do seno e do cosseno de ângulos num mesmo quadrante. Atividade 7: analisar as situações de simetria no círculo trigonométrico (vertical. cosseno e tangente no circulo trigonométrico. as variações de sinais dessas funções em cada quadrante. Reconhecer o que é uma função periódica.42 4. Destacar características dos gráficos e funções trigonométricas. para facilitar a descoberta da defasagem entre as funções.4 Bloco 4: Trigonometria no círculo trigonométrico e no plano cartesiano Objetivos Atividade 5: perceber o que ocorre com os valores de seno. podendo identificar tal período. Atividade 6: observar como são formados os gráficos das funções seno. Atividade Complementar 6: desenhar os gráficos das funções seno e cosseno a partir da tabela de arcos notáveis. cosseno e tangente quando aumentamos ou diminuímos o valor do ângulo em cada quadrante do círculo trigonométrico. Atividade 8: perceber relações de complementaridade entre ângulos e como isso afeta os valores seno e de cosseno de ângulos de um mesmo quadrante. Encontrar os valores dos ângulos dados seus valores de seno. horizontal e em relação à origem) para estabelecer as expressões de redução ao 1º quadrante. Aplicar as fórmulas de soma e subtração de ângulos e utilizá-las para . avaliando se as funções trigonométricas citadas são ou não periódicas. Atividade Complementar 5: fixar os conceitos abordados na atividade com recurso computacional: comportamento das funções seno e cosseno em cada quadrante. considerando o quadrante em que os ângulos se encontram. abordados na atividade com recurso computacional. Atividade Complementar 7: fixar os conceitos sobre redução ao primeiro quadrante. associando-as às partes de um telhado e a aplicações a outras áreas de conhecimento. no mesmo plano cartesiano. Explorar as fórmulas de soma e subtração de arcos através de abordagem geométrica em software dinâmico. E identificar os eixos correspondentes às funções seno. comparar senos e cossenos de ângulos diferentes e utilizar senos e cossenos de arcos notáveis para resolver expressões que necessitem desses valores. cosseno e tangente. b)Observe o que ocorre com o valor do seno quando aumentamos ou diminuímos o valor do ângulo.Applets seno e cosseno no círculo trigonométrico 1-Acesse o seguinte endereço eletrônico: http://www. c)Observe o que ocorre com o valor da tangente quando aumentamos ou diminuímos o valor do ângulo. que satisfaçam as sentenças: a)sen x= 0.68 x= ___________ 3-Acesse o seguinte endereço eletrônico: http://www.marlizetefrancomatematicateacher.html a)Registre o que você observa ao movimentar o ponto A.1 Atividade 5: Applets seno e cosseno no círculo trigonométrico Atividade 5. Registre suas observações: Orientações/ Sugestões A Atividade 5 é a primeira atividade que utiliza o recurso computacional.0.com/painel/applets/applet_seno.0. encontre valores de x. b)Registre o que você observa ao movimentar o ponto A.77 x= ___________ c)cos x= 0. Registre suas observações: c1)Cada sentença apresenta resultados para o seno de um ângulo desconhecido x.com/painel/applets/applet_tangente. encontre valores de x.77 x= ____________ c)sen x= 0.ht ml a)Identifique a reta que representa o eixo das tangentes.marlizetefrancomatematicateacher. em cada quadrante.ht ml a)Registre o que você observa ao movimentar o ponto A.marlizetefrancomatematicateacher. em cada quadrante.43 obter alguns modelos abstratos clássicos da trigonometria numa exploração algébrica. que satisfaçam as sentenças: a)cos x= 0.50 x=___________ b)cos x= . em cada quadrante. b)Observe o que ocorre com o valor do cosseno quando aumentamos ou diminuímos o valor do ângulo. Usando o applet.com/painel/applets/applet_cosseno. Registre suas observações: c)Cada sentença apresenta resultados para o cosseno de um ângulo desconhecido x.34 x= ___________ d)cos x= . Nela realizam-se tarefas associadas a manipulação e observação de applets dinâmicos feitos no Geogebra.34 x=___________ d)sen x= .0. Na letra a dessa tarefa é pedido que os alunos movimentem um ponto do applet. Usando o applet. A primeira tarefa solicita que os alunos abram um link de internet que os permitirá acessar o applet da função seno no círculo trigonométrico. .0. 4.80 x= ____________ c2)É possível termos mais de um resultado em cada sentença? Explique 2-Acesse o seguinte endereço eletrônico: http://www.4.50 x= ___________ b)sen x= . Espera-se que os alunos citem. são apresentadas pequenas equações trigonométricas. não tendo intervalos de decrescimento. em cada quadrante. entre suas observações o fato de que o ponto A representa um ângulo marcado num círculo trigonométrico e no applet está associado a seu seno. os alunos associem os sinais assumidos pelo seno nos respectivos quadrantes. Na letra c. podemos obter resultados diferentes para o mesmo valor de seno.0). que a medida que o ângulo muda de valor. Complementando esta letra c. são dados os resultados do seno e é pedido o valor dos ângulos associados a cada resultado. passando pelo ponto (1. esperamos que os alunos identifiquem que dependendo dos quadrantes investigados. Pretendemos que eles percebam que diferente das funções seno e cosseno. mas associando às características do cosseno: que aumenta no 3º e 4º quadrantes e diminui no 1º e 2º quadrantes. A tarefa 3 analisa a função tangente no círculo trigonométrico. . Traz como diferencial em relação às duas tarefas anteriores o fato de questionar a reta que representa o eixo da tangente. além de apresentar sinais diferenciados dependendo do quadrante. também se altera. a tangente posiciona-se externamente ao círculo e é uma função crescente. a pergunta é direcionada para que os alunos observem e mencionem como se dá a variação dos valores de seno do ângulo. perguntamos se é possível obter mais de um resultado para cada sentença. Esperamos que além de perceber que o valor do seno aumenta no 1º e no 4º quadrantes e diminui no 2º e 3º quadrantes. Na letra b. Esperamos que os alunos identifiquem a reta como sendo paralela ao eixo y. só que agora referentes ao cosseno. A tarefa 2 refere-se à função cosseno no círculo trigonométrico e são propostas tarefas similares à tarefa 1. mas pontos nos quais ela não se define. Esperamos que sejam realizadas observações com o mesmo critério que na tarefa1. Esperamos que os alunos movimentem o applet e descubram que ângulos estão associados a cada valor de seno.44 observem o que ocorre e façam registro de suas observações. ou ainda como sendo uma reta do tipo x = 1. 90°.2 Atividade Complementar 5: Fixação de conceitos no círculo trigonométrico Atividade Complementar 5 – Fixação de conceitos no círculo trigonométrico 1-Considere o círculo trigonométrico abaixo: a)Assinale neste círculo os seguintes pares de ângulos: e e . 45°. Realizada esta tarefa.4. 270° e 360°.45 4. 30°. 60°. b)Observando a posição deste ângulos na circunferência. os sinais que o seno e o cosseno assumem: Seno Explicação para o sinal 1ºQ: 2º Q: 3º Q: 4º Q: Cosseno Explicação para sinal 1ºQ: 2º Q: 3º Q: 4º Q: . Preencha. complete a tabela com os valores de seno e cosseno dos ângulos do abaixo: Ângulo 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° seno cosseno 3-Você sabe já sabe que o seno está associado ao eixo y e o cosseno ao eixo x. complete a tabela: Pares de ângulos em graus Pares de ângulos em radianos Quadrante Variação do seno neste quadrante Variação do cosseno neste quadrante e 120° e 150° e 300° e 330° b)Que relações é possível estabelecer entre os valores de seno e cosseno em cada par de ângulos? 2. 180°.a)Desenhe uma circunferência de raio 1 cm e assinale nela os ângulos de 0°. 300° e 330°. . 120° e 150°. em cada quadrante. Na letra b.46 Atividade Complementar 5 – Fixação de conceitos no círculo trigonométrico(Continuação) 4-Complete a tabela seguinte: Razão Sinal Justificativa Razão Sinal Justificativa sen40° cos20° sen140° cos 130° cos200° sen sen340° cos 5. à medida que aumentamos ou diminuímos os valores dos ângulos isso acarretará uma mudança nos valores de .Marque os ângulos no círculo trigonométrico e complete a tabela com o sinal < (menor que) ou > (maior que). a que quadrante eles pertencem. dessa atividade: a)Sendo x = .270°)____cos300° c)sen60º ____sen300º g)sen60°_____ cos (. se estes forem dados em radianos. Após posicionar os pares de ângulos no círculo é pedido que os alunos completem uma tabela. alguns em graus outros em radianos. que variação sofrem os valores de seno e de cosseno desses pares de ângulos. na letra a dessa tarefa. Esperamos que os alunos percebam que dependendo do quadrante no qual os ângulos se posicionem. sem utilizar o recurso computacional. se forem dados em graus.300°) d)cos70° ____cos410° 6-Resolva as expressões abaixo. pede-se que relações observadas sejam relatadas. calcule o valor de sen7x + cos14x. ou em radianos. A tarefa 1 oferece um círculo orientado. é pedido que nele sejam assinalados pares de ângulos. que você completou na tarefa 2. na qual deverão informar os valores dos ângulos em graus. de forma que as sentenças sejam verdadeiras: a)sen50° ____sen12° e)cos60° _____cos240º b)sen80° ____sen110º f)cos (. b)Calcule Orientações/ Sugestões A Atividade Complementar 5 visa fixar os conteúdos explorados na Atividade 5. letra a. consultando a tabela de razões trigonométricas de arcos notáveis. alguns alunos possam sentir dificuldade em desenvolvê-la. A tarefa 3 explora o sinal das funções seno e cosseno em cada quadrante. por mais simples que ela pareça. A tarefa 4 complementa a tarefa 3. A tarefa 6 representa expressões comumente encontradas em livros didáticos.47 seno e cosseno que nem sempre serão diretamente proporcionais e que tal fato está intimamente relacionado ao quadrante. . pedindo que os alunos justifiquem estes sinais. Esperamos que os alunos utilizem o desenho do círculo trigonométrico dado para posicionar os ângulos e comparar os tamanhos de suas projeções no eixo x. depois completem uma tabela com os valores de seno e cosseno desses ângulos. ou no eixo y. pois apresenta alguns senos e cossenos de ângulos em graus ou radianos e solicita o sinal de tais razões trigonométricas. Esperamos que os alunos não apresentem grandes dificuldades para resolvê-la. Esperamos que os alunos. como essa tarefa exige a aplicação de técnicas matemáticas e não somente uma análise. pois os alunos poderão consultar livros ou apostilas para completar tanto a tabela quanto o círculo. Esperamos que os alunos associem os sinais ao posicionamento dos eixos x (cosseno) e y (seno) . A tarefa 5 pede que os alunos comparem razões trigonométricas diferentes. em que se faz necessário substituir e/ou aplicar valores de senos e cossenos de arcos notáveis para solucionar a expressão. informem os sinais de cada uma das razões apresentadas. Acreditamos que. para então afirmar quais razões são maiores ou menores em relação as outras. no caso do seno. Consideramos essa tarefa de simples resolução. A tarefa 2 é uma tarefa de fixação que solicita aos alunos que desenhem um círculo de raio unitário e nele posicionem os arcos notáveis. do plano cartesiano. embasados nos quadrantes em que estes ângulos se posicionam. no caso do cosseno. o que ocorre no gráfico? b)Dizemos que uma função cuja imagem se repete em intervalos regulares de tempo é periódica. cosseno e tangente no círculo trigonométrico aos gráficos no plano cartesiano. A função tangente é periódica? Por quê? 4. A função cosseno é periódica? Por quê? 3-Acesse o seguinte endereço eletrônico: http://www. à medida que é completa uma volta na movimentação de um ponto específico e analisem se tais funções são periódicas ou não e qual seria o respectivo valor desse período. Acreditamos que devido à presença das assíntotas verticais a função tangente traga um pouco de dificuldade a sua compreensão pelos alunos.com/painel/applets/applet_grafico_tangente.marlizetefrancomatematicateacher.html Movimente o ponto A e analise a função tangente: a)Quando se completa uma volta no círculo.48 4. e π. A função seno é periódica? Por quê? 2-Acesse o seguinte endereço eletrônico: http://www.3 Atividade 6: Applets com gráficos de seno. só desenha o gráfico em seu primeiro período. A tarefas 1. A tarefa 4 questiona os alunos acerca de possíveis limitações dos applets.html Movimente o ponto P e analise a função seno: a)Quando se completa uma volta no círculo.Applets com gráficos de seno. o que ocorre no gráfico? b)Dizemos que uma função cuja imagem se repete em intervalos regulares de tempo é periódica.Que limitações você percebeu ao usar os applets? Orientações/ Sugestões A Atividade 6 utiliza um applet que associa as funções seno.com/painel/applets/applet_grafico_cosseno. . o que ocorre no gráfico? b)Dizemos que uma função cuja imagem se repete em intervalos regulares de tempo é periódica. ou seja. no caso das funções seno e cosseno. no que achamos que a manipulação do applet minimizará tal situação. Esperamos que os alunos notem que a cada volta completa no círculo um período do gráfico é desenhado. Esperamos que os alunos mencionem o fato de que os applets não permitem o desenho do gráfico além da primeira volta no círculo trigonométrico. 2 e 3 pedem que os alunos observem o que acontece com os gráficos das funções seno.ht ml Movimente o ponto P e analise a função cosseno: a)Quando se completa uma volta no círculo.marlizetefrancomatematicateacher. no caso da tangente.marlizetefrancomatematicateacher. cosseno e tangente Atividade 6 . cosseno e tangente.Acesse o seguinte endereço eletrônico: http://www.com/painel/applets/applet_grafico_seno.4. cosseno e tangente 1. logo são funções periódicas e têm como períodos 2π. 4. 1. Você seria capaz de encontrar o valor dessa defasagem entre as ondas? Informe o valor dessa defasagem. . b)Os gráficos das funções seno e cosseno representam dois tipos de ondas. pois se iniciam em coordenadas diferentes.49 4.Gráficos das funções seno e cosseno – fixação Vamos agora esboçar os gráficos das funções seno e cosseno. Observando seus desenhos na malha quadriculada percebemos que seus gráficos são defasados entre si.Complete as tabelas: Ângulo Arco em Seno Ângulo Arco em Cosseno (arco em graus (arco em graus radiano) radiano) 0 0 2 2 3 3 4 4 A partir dos dados das tabelas.4 Atividade Complementar 6: Gráficos das funções seno e cosseno – fixação Atividade Complementar 6. esboce o gráfico da função seno e da função cosseno na malha quadriculada: 2-a)Registre suas observações acerca dos gráficos. 6-Analisando livros de Física da 2ª série. Se fizermos um corte transversal na telha. Se uma função é periódica. de período p. represente usando a linguagem simbólica o que isso significa.(Continuação) 3.A telha de amianto é muito usada em telhados. 5.50 Atividade Complementar 6. a que função ela pode ser associada? Justifique. Diga com palavras o que isso significa.Gráficos das funções seno e cosseno – fixação. complete de acordo com o que você aprendeu: Função Seno Função Cosseno Domínio Imagem Intervalo onde é crescente Intervalo onde é decrescente È par ou ímpar? 4.Você aprendeu que as funções seno e cosseno são periódicas. . que assuntos você consideraria ter alguma relação com os gráficos das funções seno e cosseno? Justifique.Você conheceu duas novas funções: a função seno e a função cosseno. Acústica. Óptica e os associem aos gráficos das funções seno e cosseno. pois exige dos alunos apresentar uma representação abstrata de um modelo geométrico. A tarefa 4. explorados pelos applets em sala de aula. . A tarefa 5 pede que os alunos observem um corte transversal de uma telha de amianto e associem este corte a uma das funções trigonométricas: seno ou cosseno. Esperamos que os alunos indiquem que as formas dos gráficos lembram duas ondas e que sua defasagem é de um quarto do círculo trigonométrico. facilitando a visualização da defasagem entre eles. Esperamos que os alunos desenhem os gráficos no mesmo plano. ou seja. pede que os alunos apresentem um modelo algébrico que represente uma função periódica. 90°. A tarefa 3 é uma tarefa de fixação. e pede que os alunos mencionem valores de domínio.51 Orientações/ Sugestões A Atividade Complementar 6 visa fixar os conceitos sobre gráficos das funções seno e cosseno. imagem. A tarefa 1 pede que os alunos montem gráficos das funções seno e cosseno na mesma malha quadriculada. Esperamos que os alunos associem o formato desse corte ou a função seno ou a função cosseno. Acreditamos que essa tarefa seja mais complexa. já que a malha oferecida é grande. mas podemos esperar que eles os desenhem separadamente. A tarefa 6 pretende associar as funções seno e cosseno com conteúdos de Física. Pretendemos que os alunos encontrem no livro de Física conteúdos como Estudo de Ondas. pede que os alunos associem tais funções a conteúdos de Física do livro da 2ª série. algo com o qual os alunos não estão acostumados. após preencher duas tabelas acerca dos valores de seno e cosseno de ângulos notáveis que se posicionam para além de uma volta. sobrepondo-os. que consideramos um pouco mais complexa que as demais dessa atividade. intervalos crescentes ou decrescentes e se as funções seno e cosseno são pares ou ímpares. Esperamos que eles apresentem a representação: f(x) = f(x + p). Na tarefa 2 é pedido que os alunos registrem suas observações referentes aos dois gráficos e mencionem o valor da defasagem entre os dois. e expresse matematicamente essa relação. cada uma se relacionando a um dos casos de redução ao 1º quadrante.5 Atividade 7: Applet de simetrias e redução ao primeiro quadrante Atividade 7.4. d)Que relação você percebe entre os senos e cossenos de e ? 3.Acesse o seguinte endereço eletrônico: http://www. pedem que os alunos observem e anotem suas observações acerca do que acontece quando movimentam um cursor na tela do computador. e expresse matematicamente essa relação.com/painel/applets/applet_3_reducao_quadrante.com/painel/applets/applet_1_reducao_quadrante. que podem ser iguais ou simétricos entre si.h tml a)Registre o que você observa ao movimentar o cursor . .Acesse o seguinte endereço eletrônico: http://www.52 4. pedem que informem em que quadrante variam os ângulos observados e que relação matemática podem estabelecer entre estes ângulos. As tarefas 1. b) Em que quadrante varia o ângulo ? E o ângulo ? c)Estabeleça uma relação entre os valores dos ângulos e . b) Em que quadrante varia o ângulo ? E o ângulo ? c)Estabeleça uma relação entre os valores dos ângulos e . Esperamos que os alunos sejam capazes de produzir expressões do tipo: α+ β= 180°. d)Que relação você percebe entre os senos e cossenos de e ? Orientações/ Sugestões A Atividade 7 apresenta applets que exploram as relações de simetria e redução ao uma primeiro quadrante. β.Applet de simetrias e redução ao primeiro quadrante 1.com/painel/applets/applet2_reducao_quadrante. 2 e 3.Acesse o seguinte endereço eletrônico: http://www. b)Em que quadrante varia ângulos ? E o ângulo ? c) Estabeleça uma relação entre os valores dos ângulos e .α= 180° e α+ β= 360°.marlizetefrancomatematicateacher.ht ml a)Registre o que você observa ao movimentar o cursor .marlizetefrancomatematicateacher.h tml a)Registre o que você observa ao movimentar o cursor . d)Que relação você percebe entre os senos e cossenos de e ? 2.marlizetefrancomatematicateacher. bem como qual é a relação entre os senos e os cossenos deles. para representar as relações entre os ângulos em cada par de quadrantes e perceber que em cada um desses pares de quadrantes há uma relação diferente entre senos e cossenos. e expresse matematicamente essa relação. *arcos de 4º quadrante(x). cosseno e tangente de ângulos do primeiro quadrante está no fato de existirem relações de simetria entre estes ângulos e os demais quadrantes do círculo trigonométrico. que consideramos mais complexa. A segunda tarefa associa estes conceitos com a resolução de expressões. resolva as atividades abaixo: 1-Determine os valores de: a)sen300°: d)cos510° b)cos(-60°): e)cos225° c)sen 2-Calcule o valor de sen f)sen450° + cos + cos + sen Orientações/ Sugestões A Atividade Complementar 7 pretende fixar as técnicas de redução ao primeiro quadrante.x. A primeira tarefa explora situações em que estas técnicas devem ser aplicadas. subtraindo-os de 180°( ): . podem ser reduzidos ao 1º. especialmente. podem ser reduzidos ao 1º. compreendidos entre 90° e 180°. Estas relações simétricas permitem descobrir as razões trigonométricas nos demais quadrantes. Esperamos que os alunos apliquem corretamente as técnicas de redução ao primeiro quadrante e. que resolvam a expressão da tarefa 2. Observe: *arcos de 2º quadrante(x).4. por meio de associações geométricas no círculo trigonométrico. encontrando-se o seu explemento. modificando-se apenas os sinais. ou seja. compreendidos entre 180° e 270°. O motivo para só constarem nestas tabelas os valores de seno.simetrias e redução ao primeiro quadrante As tabelas de razões trigonométricas apresentam senos. podem ser reduzidos ao 1º. Os valores das razões trigonométricas serão iguais aos seus simétricos. subtraindo-os de 360°(2 ): 2 . A partir das associações geométricas podemos estabelecer relações que nos permitem determinar as razões trigonométricas para todo o círculo trigonométrico. ou seja. subtraindo deles 180°( ): x . que respeitam o quadrante do arco original. mas que já foi debatida anteriormente. encontrando-se o seu replemento. cossenos e tangentes de ângulos de 1° a 89°.x. compreendidos entre 270° e 360°.53 4. . *arcos de 3º quadrante(x). Conhecendo estas relações. encontrando-se o seu suplemento.6 Atividade complementar 7: simetrias e redução ao primeiro quadrante Atividade complementar 7. ou seja.. temos três segmentos azul. 2.htmlF:\home\aluno\Marlizete\appletarcoscomplementares.htm2 No applet presente nessa página.4.Acesse o endereço eletrônico: http://www. Complete então a tabela abaixo informando o que acontece aos segmentos quando aumentamos ou diminuímos um desses ângulos: Semirreta Azul Vermelha Verde Aumentamos A Diminuímos A Aumentamos B Diminuímos B c)O que você percebe após analisar a tabela acima? 2.7 Atividade 8: Arcos complementares e Fórmulas da soma e da diferença de arcos Atividade 8. d)Que relação você percebe entre os senos e cossenos de e ? 2. vermelho e verde. que expressões são associadas a cada uma dos segmentos? Azul: ______________________ Vermelha: _____________________ Verde: _____________________ b)Clicando nos símbolos + ou .Arcos complementares e Fórmulas da soma e da diferença de arcos 1-Acesse o endereço eletrônico: http://www. Clique na caixa sin(A + B) e na caixa “characters”: a) Seguindo esses comandos.marlizetefrancomatematicateacher. Que relações é possível estabelecer entre os ângulos α e β? b)Em que quadrante variam os dois ângulos? c)Estabeleça uma relação entre os valores dos ângulos e .html a)Registre o que você observa ao movimentar o cursor .é possível aumentar ou diminuir os ângulos A e B. mas se encontra fora do ar desde 13/05/2011. Externamente ao círculo.pt/aac/hsi/a2001/2001/trig/funcoes2.1.54 4.com/painel/applets/applet_arcos_complem entares. . há dois ângulos desenhados em um círculo trigonométrico.uminho. e expresse matematicamente essa relação. que expressões são associadas a cada uma dos segmentos? Azul: ______________________ Vermelha: _____________________ Verde: _____________________ b)Clicando nos símbolos + ou .2.iep.é possível aumentar ou diminuir os ângulos A e B. Complete então a tabela abaixo informando o que acontece aos segmentos quando aumentamos ou diminuímos um desses ângulos: Semirreta Azul Vermelha Verde Aumentamos A Diminuímos A Aumentamos B Diminuímos B c) O que você percebe após analisar a tabela acima? 2 O site esteve disponível na época da aplicação da atividade.Clique na caixa cos(A + B) e na caixa “characters”: a) Seguindo esses comandos. Esperamos que os alunos sejam capazes de produzir expressões do tipo: α + β= 90° para representar a relação de complementaridade entre os ângulos e que o seno de um dos ângulos é igual ao cosseno do outro. bem como qual é a relação entre os senos e os cossenos deles. pede que informem em que quadrante variam os ângulos observados e que relação matemática podem estabelecer entre estes ângulos. .2 analisam. A tarefa 1 pede que os alunos observem e anotem suas observações acerca do que acontece quando movimentam um cursor na tela do computador. A tarefa 2.55 Orientações/ Sugestões A Atividade 8 explora tanto relações de complementaridade quanto fórmulas de soma de ângulos.1 e 2. mas seu cosseno diminui e viceversa e que somar os ângulos não significa somar diretamente os senos e cossenos pois estamos lidando com uma combinação gráfica de informações. Esperamos que os alunos observem e destaquem que à medida que aumentam o valor da soma do ângulo o seno da soma aumenta. Nessas tarefas é pedido que os alunos observem o applet durante o movimento e anotem o que ocorre a cada ângulo e com seu somatório à medida que estes são manipulados e estabeleçam relações entre estes comportamentos. a fórmula do seno e do cosseno da soma de dois ângulos. A tarefa 2 explora as fórmulas de soma entre os ângulos. respectivamente. 34 Encontre os valores de seno e de cosseno de: Ângulo a)50° b)75° c)90° d)100° Seno Cosseno .senb cos(a – b) = cosa.42 cos Complemento de (ângulo ) sen cos 0. A complementaridade interfere nas razões trigonométricas. Ângulo ( ) sen 35° 0.94 0.8 Atividade Complementar 8: Arcos complementares e fórmulas da soma e da diferença de arcos Atividade Complementar 8 – Arcos complementares e fórmulas da soma e da diferença de arcos Ângulos complementares são ângulos cuja soma é 90°.87 45° 0.87 0.cosa sen(a – b) = sena. 1-Complete a tabela com as razões trigonométricas ausentes.34 cos 0.57 60° 0.56 4.91 0.59 0. basta conhecer os valores de 1° a 45°.5 0.57 25° 0.cosb + senb.71 0. os demais poderão ser obtidos partindo da complementaridade.Você aprendeu que há fórmulas para a soma e para a diferença de senos e cossenos de ângulos no círculo trigonométrico: sen(a + b) = sena.cosb – senb. O seno de um ângulo representa o cosseno de seu complemento e vice-versa.5 70° 0.71 55° 0. Cosa cos(a + b) = cosa. Com esta informação percebe-se que não precisamos conhecer o seno e o cosseno de todos os ângulos do primeiro quadrante.94 30° 0.81 2.82 0.cosb Conhecidas as fórmulas da soma e da diferença e os valores de seno e cosseno dos ângulos abaixo: Ângulos ( ) 20° sen 0.cosb – sena.82 0.4.cosb + sena. Consideramos tarefas mais complexas.57 Atividade Complementar 8 – Arcos complementares e fórmulas da soma e da diferença de arcos (Continuação) 3-Sabendo que sen(a + b) = sena. É dada uma tabela em que dois ângulos estão associados.cosb – sena. 4 e 5. estabeleça expressões matemáticas que representem: o sen(2 ) e o cos(2 ). Esperamos que os alunos utilizem os conhecimentos adquiridos para completá-la. pois nossos alunos não estão habituados a lidar com este nível de abstração. sen(2 ) cos(2 ) 4-É possível afirmar que cos2 = ½ [ 1+cos(2 )]?Verifique se a afirmativa é verdadeira. Orientações/ Sugestões A Atividade Complementar 8 objetiva fixar conceitos acerca de complementaridade e de soma e diferença de ângulos. As tarefas 3. A tarefa 1 aborda especificamente ângulos complementares.cosb + senb. . calculando ângulos complementares e percebendo que os senos desses ângulos são iguais aos cossenos de seus complementos e vice-versa. numa relação de complementaridade. são dadas as fórmulas de seno e cosseno e uma tabela de senos e cossenos de alguns ângulos e. A tarefa 2 explora o conceito de soma e diferença de ângulos.senb.cosa e cos(a + b) = cosa. consideramos as mais complexas até aqui propostas. baseados nessas informações. pois pedem que os alunos elaborem expressões algébricas a partir de outras expressões algébricas. é solicitado aos alunos que completem uma tabela com senos e cossenos de ângulos obtidos pela soma ou diferença dos ângulos iniciais. 5-Use as relações estabelecidas para cos(a+b) e cos(a – b) para expressar sen2 em função de cos(2 ). bem como o comprimento de um arco menor que 360°. como maquetes das construções e desafios com os dados coletados durante o desenvolvimento do projeto. obtendo sua 1ª determinação positiva. Ser capaz de encontrar os valores de seno e cosseno de arcos fora do 1º quadrante. Interpretar e converter informações em graus e radianos. Saber encontrar o comprimento de uma ou mais voltas na circunferência orientada. Analisar e extrair propriedades de gráficos das funções seno e cosseno. Feira de Matemática: apresentar à comunidade escolar os resultados obtidos no projeto: Enxergando e modelando a trigonometria das construções da cidade. Saber operar com ângulos maiores que 360°. Teste 2: comparar senos e cossenos de ângulos diferentes. Questionário: verificar que impressões os alunos tiveram acerca da sequência de atividades aplicada.5 Bloco 5: Atividades Avaliativas Objetivos Dois testes: verificar a aprendizagem dos conteúdos abordados. tanto das atividades que utilizaram materiais de medição quanto as que utilizaram recursos computacionais.58 4. para serem expostos durante a Feira. utilizando a redução ao primeiro quadrante. o nº de voltas feitas e o quadrante em que esta determinação positiva se encontra. . Teste 1: resolver problemas aplicados que envolvessem razões trigonométricas no triângulo retângulo. no mesmo quadrante ou em quadrantes diferentes. Resolver expressões que utilizem valores de seno e cosseno de ângulos notáveis. Elaborar modelos. (Dados sen15°= 0. em uma volta completa. quantos metros ele teria percorrido? . determine o valor da linha. foram construídos 6m de telhado e que.26.27) 2-Observe o telhado: x Sabendo que o pendural (viga vertical) mede 0.1 Teste 1 Para a verificação da aprendizagem do conteúdo pensou-se dois tipos testes. cos 15°=0.26.97. em cada lado da casa. 14) b)Determine a distância percorrida ao final das 6 voltas. cos20°= 0. tg 15° = 0.27) 3-(DANTE. representada pela variável x.90 metros e que a empena e a linha (viga horizontal) formam um ângulo de 15° entre si. 2005.96 . tg15°=0. p.34. a casa tem 3m de altura.15m será construída uma rampa com inclinação de 15°. cos15°=0. 2009. LELLIS.94. c)Se o ciclista percorresse um trecho que correspondesse a um arco de 45° de uma circunferência. até a laje do teto. Sabendo que. tg20°=0.5. a)Determine o comprimento da circunferência descrita pelo movimento deste ciclista. determine a que altura se encontra o ponto mais alto do telhado dessa casa. (Use: = 3.36. chamados de Teste 1(A) e Teste 1(B) Teste 1(A) 1-(IMENES. 199) na construção de um telhado foram usadas telhas francesas e o “caimento” do telhado é de 20° em relação ao plano horizontal. 278) Para vencer o desnível de 3.) 4-Uma pessoa numa bicicleta dá 6 voltas em torno de uma pista circular de diâmetro 8 m. Com que comprimento a rampa ficará? (Dados: sen15° = 0.59 4. (Dados: sen20°= 0. Marque no plano cartesiano abaixo os ângulos: . correndo no sentido anti-horário. partindo da origem dos arcos percorreu um arco de .60 Teste 1(A) (Continuação) 5-Um ângulo de 4° em radianos corresponde a um ângulo de rad.4750°. obteremos quantos graus? 7. . Veja a representação: Um atleta parte de A. 8-(M11305MG) A figura abaixo representa uma pista de corrida perfeitamente circular. Ao correr o equivalente a um ângulo de 230°. 6. a)Quantas voltas completas ele deu? b)Em qual quadrante ele parou? c)Qual a 1ª determinação positiva desse arco? 10-Qual a questão que você mais gostou de resolver? . Sobre a mesma foram assinalados um sistema de eixos ortogonais xy e alguns pontos. ele estará entre os pontos: a)A e B b)B e C c)C e D d)D e E e)A e C 9-Um móvel.Se transformarmos rad em graus. Esta afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta. as tarefas 1. na qual pretendemos perceber que impressões os alunos obtiveram da atividade avaliativa e se coincidem o acerto e a atividade escolhida. utilizando a expressão C= 2. a letra b explora a descoberta do comprimento da circunferência quando são dadas mais voltas. As tarefas 5 e 6 exploram as conversões de unidades em graus e radianos. r. Considerando que o arco da tarefa é um arco negativo. acreditamos que os alunos podem ter dificuldade em encontrar a 1ª determinação positiva.π. Esperamos que os alunos apliquem corretamente a razão seno na tarefa 1 e a razão tangente nas tarefas 2 e 3. pois além da regra de três que pode ser aplicada a este caso. mas não a negativa e o número de voltas dadas. pelo número de voltas. 2 e 3 abordam as razões trigonométricas no triângulo retângulo. esperando que o resultado seja obtido multiplicando-se o resultado da letra a. A tarefa 10 pede que os alunos escolham que tarefa mais gostaram de resolver.61 Orientações/ Sugestões Esta primeira Atividade Avaliativa será por nós chamada de Teste 1 (A). A letra c pede o comprimento de um arco de 45° dessa mesma circunferência. em que quadrante sua determinação positiva parou e qual era seu valor. o aluno pode dividir a circunferência em oito partes e encontrar o comprimento desse arco a partir do resultado da letra a. As tarefas 7 e 8 pedem o posicionamento de alguns ângulos no círculo trigonométrico. tarefas que consideramos mais simples. esperando que os alunos expliquem como chegaram aos respectivos resultados. . A letra a espera o cálculo do comprimento de uma volta na circunferência. A tarefa 4 explora a ideia de comprimento de circunferência e comprimento de arco de circunferência. para encontrar este valor esperamos certa criatividade. A tarefa 9 explora a ideia de arcos côngruos apresentando um arco bem maior que 360° solicitando o número de voltas dadas além de 360°. Nesta Atividade. cos30°= 0. a casa tem 3m de altura. Esta afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta.80m 4-Uma pessoa numa bicicleta dá 7 voltas em torno de uma pista circular de diâmetro 6 m . p.36. (Use: = 3. 2005.58. 199) na construção de um telhado foram usadas telhas francesas e o “caimento” do telhado é de 20° em relação ao plano horizontal. 14) b)Determine a distância percorrida ao final das 7 voltas. tg17°= 0. a)Determine o comprimento da circunferência descrita pelo movimento deste ciclista. tg20°=0.197) Uma rampa lisa de 10m de comprimento faz ângulo de 30° com o plano horizontal.29. p.) 3-Sabendo que metade da linha (viga horizontal) do telhado abaixo mede 3.80m e que o ângulo de inclinação é de 17°. Uma pessoa que sobe essa rampa inteira eleva-se quantos metros verticalmente? (Dados: sen30°= 0. determine a que altura se encontra o ponto mais alto do telhado dessa casa. 6-Se transformarmos rad em graus. em cada lado da casa. em uma volta completa.34.62 Teste 1 (B) 1-(DANTE. Sabendo que.Um ângulo de 36° em radianos corresponde a um ângulo de rad. quantos metros ele teria percorrido? 5. foram construídos 6m de telhado e que.96. cos17° = 0.31) x 17° 3. Qual é o tamanho do pendural? (Dados: sen17°= 0. tg30°= 0.87.5. até a laje do teto. obteremos quantos graus? . cos20°= 0.94. c)Se o ciclista percorresse um trecho que correspondesse a um arco de 45° de uma circunferência.) 2-(DANTE. 2005. (Dados: sen20°= 0. Marque no plano cartesiano abaixo os arcos: . 8-(M11305MG) A figura abaixo representa uma pista de corrida perfeitamente circular. correndo no sentido anti-horário.63 Teste 1 (B) (Continuação) 7. Ao correr o equivalente a um ângulo de 130°.4250°. partindo da origem dos arcos percorreu um arco de . a)Quantas voltas completas ele deu? b)Em qual quadrante ele parou? c)Qual a 1ª determinação positiva? 10-Qual a questão que você mais gostou de resolver? O Teste 1 (B) possui as mesmas características que o Teste 1(A) anteriormente comentado. ele estará entre os pontos: a)A e B b)B e C c)C e D d)D e E e)A e C 9-Um móvel. . Sobre a mesma foram assinalados um sistema de eixos ortogonais xy e alguns pontos. . com análises análogas. Veja a representação: Um atleta parte de A. . Calcule o valor da expressão utilizando senos e cossenos de ângulos notáveis: 4-Determine o sinal da expressão: x x 5.1560° é um ângulo bem maior que 360°. 250°. 100°. 200°. de forma que cada sentença seja verdadeira: a)sen 35° ______sen72° c)cos250° ______cos200° b)cos 280°______cos320° d)sen120°______sen100° 2-Sabendo que o ângulo x vale determine o valor da expressão: sen(6x) – cos(12x) 3. em que quadrante ele pára? b)Considerando o quadrante em que este ângulo parou. 280° e 320°. a)Após algumas voltas completas no círculo trigonométrico. chamados de Teste 2 (A) e Teste 2(B). o valor do sen1560° vale: a) positivo b) negativo c) negativo d) positivo e) positivo 6-Considerando as regras de redução ao primeiro quadrante que você aprendeu. 72°. no círculo trigonométrico: Associe a cada sentença abaixo o sinal de > ou <.5. Teste 2 (A) 1-Marque os ângulos de 35°.64 4.2 Teste 2 Para a verificação da aprendizagem do conteúdo pensou-se em dois tipos testes. 120°. encontre os valores abaixo: a)sen135°: b)cos240° c)sen300° . conforme elas pertençam ou não a esta função. c)( )Esta função é uma função ímpar d)( )Esta função é crescente no intervalo de π a 2π. 8-Observe o gráfico de função trigonométrica dado abaixo: 1 –3 –2 π 5 – 6 7 8 –1 I. f)( )este gráfico é da função y = cosx. e)( )este gráfico é da função y = senx.65 Teste 2 (A) (Continuação) 7-O gráfico abaixo representa uma função trigonométrica: Esta função possui certas características. a)( )Esta função é uma função par. . Assinale V(verdadeiro) ou F(falso) para as sentenças abaixo. e decrescente no intervalo de 0 a π. b)( )Esta função é crescente nos intervalos de 0 a decrescente no intervalo de e de a 2π.Qual o seu domínio?__________ II-Qual a sua imagem?_________ III-Qual o seu período?_________ IV-Assinale a opção que representa a função associada a este gráfico: a)y= cosx b)y= 2cosx c)y= cos d)y= senx e)y= sen 9-Que exercício você mais gostou de resolver? Justifique. e é . A tarefa 9 pede que os alunos escolham que tarefa mais gostaram de resolver. pois solicita apenas o sinal da expressão envolvendo senos e cossenos de alguns ângulos. para sentenças verdadeiras em relação ao gráfico dado. As tarefas 5 e 6 abordam as reduções ao primeiro quadrante. na qual pretendemos perceber que impressões os alunos obtiveram da atividade avaliativa e se coincidem o acerto e a atividade escolhida. e F. A tarefa 4 consideramos simples. diferindo apenas pelo fato de que a tarefa 5 oferece um ângulo maior que 360°. para depois destacarem suas características. esperamos que os alunos sintam menos dificuldades ao resolvê-las. período e da função algébrica relacionada ao gráfico dado. que apresentam mais de um período em seus desenhos. A tarefa 8. As tarefas 7 e 8 referem-se aos gráficos das funções seno e cosseno. as relações entre senos e cossenos de alguns ângulos. um pouco mais complexa. visto que não é necessário saber os valores de seno e de cosseno dos ângulos. imagem. A tarefa 7 apresenta sentenças prontas. em relação a sentenças falsas em relação ao gráfico dado. inicialmente. A primeira tarefa explora. pedindo a associação de V. . pedindo que os alunos analisem os gráficos prontos. como na Atividade Complementar 5. pede informações acerca do domínio. As tarefas 2 e 3.66 Orientações/ Sugestões Esta segunda Atividade Avaliativa é por nós chamada de Teste 2 (A). oferecemos um círculo trigonométrico para que posicionem os ângulos e depois possam comparar se seus senos ou cossenos são maiores ou menores. como envolvem resolução de expressões já abordadas na Atividade Complementar 5. de forma que cada sentença seja verdadeira: a)cos 35° ______cos72° c)sen250° ______sen200° b)sen 280°______sen320° d)cos120°______cos100° 2-Sabendo que o ângulo x vale determine o valor da expressão: sen(6x) – cos(3x) 3. 200°. 280° e 320°. 72°. no círculo trigonométrico: Associe a cada sentença abaixo o sinal de > ou <. 120°. 250°. a)Após algumas voltas completas no círculo trigonométrico. o valor do cos1560° vale: a) positivo b) negativo c) negativo d) positivo e) positivo 6-Considerando as regras de redução ao primeiro quadrante que você aprendeu. 100°.1560° é um ângulo bem maior que 360°.67 Teste 2 (B) 1-Marque os ângulos de 35°. encontre os valores abaixo: a)cos135°: b)sen240° c)cos300° .Calcule o valor da expressão utilizando senos e cossenos de ângulos notáveis: 4-Determine o sinal da expressão: x x 5. em que quadrante ele pára? b)Considerando o quadrante em que este ângulo parou. com análises análogas. . b)( )Esta função é crescente nos intervalos de 0 a decrescente no intervalo de e de a 2π.68 Teste 2 (B) (Continuação) 7-O gráfico abaixo representa uma função trigonométrica: Esta função possui certas características. c)( )Esta função é uma função ímpar d)( )Esta função é crescente no intervalo de π a 2π. O Teste 2 (B) possui as mesmas características que o Teste 2 (A) anteriormente comentado. a)( )Esta função é uma função par. conforme elas pertençam ou não a esta função. f)( )este gráfico é da função y = cosx.Qual o seu domínio?__________ II-Qual a sua imagem?_________ III-Qual o seu período?_________ IV-Assinale a opção que representa a função associada a este gráfico: a)y= senx b)y= sen2x c)y= 2senx d)y= cosx e)y= 2cosx 9-Que exercício você mais gostou de resolver? Justifique. e)( )este gráfico é da função y = senx. Assinale V(verdadeiro) ou F(falso) para as sentenças abaixo. e decrescente no intervalo de 0 a π. e é . 8-Observe o gráfico de função trigonométrica dado abaixo: 2 – 2π π –π 2π 3π 4π –2 I. efetuando as medições. Objetivamos saber que impactos este trabalho teve na concepção dos alunos.69 4. As perguntas 6 e 7 referem-se às atividades realizadas na sala de informática e analisam como estas atividades influenciaram a visão dos alunos sobre sua aprendizagem utilizando esse recurso. As perguntas 5 e 8 pedem aos alunos sugestões para posteriores melhorias nas atividades. com detalhes) 4-Destaque pontos positivos e negativos durante a execução do projeto: Trigonometria das construções da cidade. As perguntas 1 e 2 referem-se às Atividades 1 e 2 aplicadas em sala de aula. 3-O que você achou do trabalho sobre a trigonometria das construções da cidade? (Descreva todas as suas impressões. visamos aproveitar o envolvimento dos alunos para enriquecer estas atividades. com detalhes) 2-Destaque os pontos positivos e negativos do trabalho realizado durante as medições em sala de aula. transferidor e canudo? (Descreva todas as suas impressões.5. Estas perguntas visam perceber quais impressões os alunos tiveram dessa forma de abordagem. 8-Que sugestões você daria para melhorar as atividades desenvolvidas na sala de informática? Orientações/ Sugestões O Questionário avaliativo pretende analisar todo o percurso da sequência didática.questionário 1-O que você achou das atividades que envolveram as medições em sala de aula.3 Questionário Avaliação das atividades integrantes do projeto de modelação em trigonometria. utilizando materiais concretos e tinham que encontrar a altura da parede da sala de aula e/ou um ângulo de inclinação. e do projeto? 6-O que você achou das atividades realizadas com applets na sala de informática? (Descreva todas as suas impressões. em que os alunos efetuavam medições. com detalhes) 7-Destaque pontos positivos e negativos do trabalho realizado na sala de informática com o uso dos applets. utilizando trena. esquadros. As perguntas 3 e 4 pretendem avaliar o projeto que relacionava os conhecimentos trigonométricos aprendidos em sala de aula com as construções existentes na cidade. . 5-Que sugestões você daria para melhorar as atividades desenvolvidas em sala. Como um instrumento avaliativo.4 Feira de Matemática Ao final da aplicação da sequência didática uma Feira de Matemática pode ser proposta. problemas associados aos dados coletados e maquetes.5. obedecendo a uma determinada escala. acerca das construções escolhidas.70 4. visa apresentar à comunidade escolar os resultados obtidos pelos alunos no desenvolvimento do projeto do bloco 2. . Com o uso da pesquisa realizada durante o projeto pode-se sugerir que os alunos elaborem desafios. num regime de 4 aulas semanais. O Quadro 2 apresenta uma possibilidade de desenvolvimento da sequência didática de forma sintética. Tempo Disposição 1h/a Dupla 1h/a Dupla 1h/a Grupos de 4 a 6 pessoas 1h/a Dupla 1h/a Grupos de 4 a 6 pessoas 1h/a Dupla 1h/a Individual 1h/a Dupla 1 h/a Individual Para aulas em laboratório de informática pode ser necessário dividir a turma em dois grupos. distribuídas ao longo de 5 semanas. objetivos e como o trabalho poderia ser desenvolvido junto aos alunos. Discutir o desafio e explicar o projeto: Enxergando e modelando a trigonometria das construções da cidade. Sistematização e socialização das atividades 1 e 2 (correção. Estimular a observação e o manejo de plantas baixas. ângulos. para evitar tumulto e permitir aproveitar melhor as potencialidades das atividades. cosseno e tangente no triângulo retângulo e explorar estas relações em triângulos variados. dispondo de régua. Explorar relações fundamentais na trigonometria. pode ser proposto o questionário para que os alunos avaliem a sequência de atividades.71 5 UMA PROPOSTA DE IMPLEMENTAÇÃO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA Para implementar a sequência apresentamos uma proposta. Atividades de fixação com semelhança de triângulos para verificar a invariância das relações. dispondo de um transferidor e um canudo de refrigerante. Na última aula de aplicação da sequência. perímetro e área de retângulos. comentários e formalização dos conceitos). Formalizar a definição das razões trigonométricas seno. Explorar a planta baixa de uma casa e os conceitos nela inseridos: escala. Encontrar o ângulo de inclinação conhecidos a altura da parede e a distância até ela. Atividades Preparatória A Casa Preparatória B Casa Atividade 1 Sala Aula 1 Complementar 1 Casa Atividade 2 Sala Aula 2 Complementar 2 Casa Sala Aula 3 Desafio Casa Sala Aula 4 3 Objetivos Recuperar os conhecimentos anteriores dos alunos acerca de triângulos: classificação quanto aos lados. em posições diversas. Mobilizar conhecimentos sobre semelhança de triângulos para encontrar a altura da parede da sala de aula. . Explorar o telhado e sua inclinação a partir de sua planta. soma dos ângulos de seus ângulos internos. esquadro e canudo de refrigerante. A possibilidade de uma Feira de Matemática pode ocorrer após o término da aplicação da sequência. apresenta o tipo de atividades. bem como o uso instrumentos de medida. aplicar o Teorema de Pitágoras. Conhecer e associar algumas partes do telhado à formação de triângulos e. desenvolvida num conjunto de 18 aulas3. Um desses grupos poderá realizar as atividades em 4 aulas extraturno. possivelmente. etc. Pedir aos alunos que elaborem exercícios a partir de situações práticas que envolvam razões trigonométricas no triângulo retângulo. à medida que completamos uma volta na circunferência. cosseno e tangente no círculo trigonométrico. Retomar a atividade de casa. podendo identificar tal período. no mesmo plano cartesiano. o que são os quadrantes do círculo trigonométrico e quais seus intervalos de existência.72 Quadro 2 Atividades Projeto Casa Atividade 3 Sala Aula 5 Complementar 3 Casa Sala Aula 6 Atividade 4 Sala Aula 7 Complementar 4 Casa Teste-Sala Aula 8 Atividade 5 Sala de informática Aula 9 Complementar 5 Casa Atividade 6 Sala de informática Aula 10 Complementar 6 Casa Objetivos Enxergando e modelando a trigonometria das construções da cidade. associando-as às partes de um telhado e a aplicações a outras áreas de conhecimento. Tempo (Continuação) Disposição 8h/a Grupos de 4 a 6 pessoas 1h/a Dupla 1h/a Dupla 1h/a Dupla 1h/a Dupla 1h/a Dupla 1h/a Individual 1h/a Duplas 1h/a Dupla 1h/a Duplas 2h/a Dupla . Verificação de aprendizagem do conteúdo trabalhado. a partir de uma lista de problemas aplicados retirados de livros didáticos. Escolher e resolver três problemas aplicados. Identificar os eixos correspondentes às funções seno. escadas. construções que eles achavam interessantes na cidade e delas extrair a trigonometria presente: telhados. cosseno e tangente quando aumentamos ou diminuímos o valor do ângulo em cada quadrante do círculo trigonométrico. Introduzir o conceito de radiano e conversões de unidade de arcos. Fixar os conceito de círculo trigonométrico e arco orientado. Explorar noções de arcos côngruos e de primeira determinação positiva e negativa. Destacar características dos gráficos e funções trigonométricas. Perceber o que ocorre com os valores de seno. Reconhecer o que é uma função periódica. Desenhar os gráficos das funções seno e cosseno a partir da tabela de arcos notáveis. cosseno ou tangente. junto aos alunos. avaliando se as funções trigonométricas citadas são ou não periódicas. Atividades de fixação dos conceitos abordados na atividade com recurso computacional. Formalizar conceitos de comprimento de arco e de circunferência. que abordem razões trigonométricas diferentes. Explorar o conceito de comprimento de circunferência e comprimento de arcos. rampas. Introduzir o conceito de circunferência. cosseno e tangente. Selecionar. Observar como são formados os gráficos das funções seno. visualizando nela outro campo para o estudo de ângulos e razões trigonométricas. para facilitar a descoberta da defasagem entre as funções. Encontrar os valores dos ângulos dados seus valores de seno. Retomada e sistematização da atividade complementar 8.73 Quadro 2 Atividades Sala Aula 11 Sala Aula 12 Atividade 7 Sala de informática Aula 13 Complementar 7 Casa Sala Aula 14 Teste Aula 15 Sala Aula 16 Atividade 8 Sala de informática Aula 17 Complementar 8 Casa Sala Aula 18 Feira de Matemática Objetivos Tempo Sistematização e retomada das atividades 5 e 6 da sala de informática 1h/a Construção de gráficos das funções seno e cosseno em papel quadriculado. tanto de sala quanto complementares. considerando o quadrante em que os ângulos se encontram. podem ser feitas em duas vias: ao grupo de alunos é entregue duas folhas. Apresentação dos resultados do projeto: Enxergando e modelando a trigonometria das construções da 1h/a cidade. Analisar as situações de simetria no círculo trigonométrico (vertical. pode-se apresentar a proposta. onde os alunos resolvem . Atividades de fixação dos conceitos sobre redução ao primeiro quadrante. horizontal e em relação à origem) para estabelecer as expressões de redução 1h/a ao 1º quadrante. Perceber relações de complementaridade entre ângulos e como isso afeta os valores de seno e de cosseno de arcos num mesmo quadrante. Quadro 2: Implementação da sequência de atividades Fonte: Dados da pesquisa (Continuação) Disposição individual Grupos de 4 a 6 pessoas Duplas Dupla Individual Individual Individual Dupla Dupla Individual Grupo 4a6 pessoas Propomos algumas recomendações acerca da aplicação da sequência didática. relações 1h/a fundamentais e outras funções trigonométricas. proceder à divisão dos grupos. Fixar as idéias sobre complementaridade de ângulos e sua influência sobre os valores de seno e cosseno. sistematização e fixação. Aula expositiva: Identidades trigonométricas. 1h/a Questionário de avaliação dos alunos. Mostra de pôster. apresentando modelos representativos das construções estudadas a luz da matemática e desafios 4h/a elaborados a partir de dados obtidos ao longo do desenvolvimento do projeto. 1h/a Permitir aos alunos a recriação de alguns modelos algébricos abstratos clássicos em trigonometria. 1h/a Explorar as fórmulas de soma e subtração de ângulos através de abordagem geométrica em software dinâmico. Fixar as fórmulas de soma e diferença de ângulos. Na primeira aula da aplicação da sequência. Expor os resultados do projeto para a comunidade escolar. Retomada das atividades 7 e complementar 7. Todas as atividades. conforme a necessidade de cada atividade. abordados na atividade com 1h/a recurso computacional. Verificação de aprendizagem dos conteúdos 1h/a abordados. os alunos são divididos em grupos de até 6 pessoas cada um. Teorema de Pitágoras. informando nesse desenho as medidas correspondentes e destacando a trigonometria presente. descrições. entre vários problemas aplicados de trigonometria. que oferece melhor visualização. O primeiro bloco de atividades retoma alguns conceitos como: Teorema de Tales. para apreciação da comunidade escolar. será necessário o uso da planta baixa de uma casa (ANEXO A). momento em que o conteúdo nelas abordado é sistematizado. cada grupo analisa uma das construções enumeradas. sem delas se aproximar. ângulos medidos em .74 os questionamentos colocando as observações que achem pertinentes. Para realizar a Atividade Preparatória B. Sugerimos ao professor que faça um estudo sobre os assuntos mencionados para melhor orientar os alunos. Os alunos listam construções que eles consideram interessantes. empregando conceitos de escala e associando o telhado a modelos abstratos. são introduzidos conceitos como: circunferência. Os alunos têm que fotografar a construção e desenhar um croqui. triângulos e escala. a outra folha fica com o grupo que pode utilizá-la em momentos de discussão e socialização de descobertas e como parte do conteúdo escolar. Um desafio com a planta de uma casa em que os alunos analisam a inclinação do telhado nela representado. nas quais os alunos necessitam medir alturas de paredes. O segundo bloco de atividades se refere à Trigonometria no triângulo retângulo. Uma em que os alunos escolhem. uma folha é entregue à professora. Ao terminar as atividades. em papel AG. No qual os alunos são estimulados a enxergar a trigonometria nas construções da cidade. E o projeto: Enxergando e modelando a Trigonometria das construções da cidade. retirados de livros didáticos. Antes da aplicação das atividades do terceiro bloco. utilizando alguns materiais concretos. três para serem resolvidos e depois elaborem seus próprios problemas aplicados. utilizando um modelo matemático que expresse a construção fotografada. numa escala de 1:50. Consistindo de duas atividades preparatórias A e B. que são propostas para serem resolvidas em casa e socializadas em sala de aula. desenhos auxiliares ou o que o grupo achar necessário para expressar suas conclusões. O trabalho é entregue em duas vias: uma escrita em folha A4 e uma em forma de pôster. sugerimos imprimi-la em papel tamanho A3. a partir da enumeração dessas construções. Conta com atividades diversificadas: duas a serem realizadas em grupos. comprimento de circunferência. com cálculos. explorando a manipulação de applets. arcos de circunferência. Estas atividades utilizam recursos computacionais. para verificação da aprendizagem do conteúdo ministrado. desde as funções seno e cosseno no círculo até o esboço de seus gráficos no plano cartesiano. uma Feira de Matemática pode ser proposta na qual os resultados obtidos no projeto: Enxergando e Modelando a trigonometria das construções. comprimento de arcos de circunferência. O questionário é analisado de forma a indicar os pontos positivos e negativos. Finalizando a sequência. são previstos dois testes. . Abordam a transição da trigonometria do triângulo retângulo para o círculo trigonométrico. Durante o desenvolvimento da sequência didática. contornando possíveis limitações. da aplicação da sequência e da forma como as atividades foram conduzidas. reduções ao primeiro quadrante. para que os próprios registrem suas impressões acerca da sequência didática. é aplicado aos alunos um questionário. O quarto bloco contempla a trigonometria no círculo trigonométrico e no plano cartesiano. Ao final da sequência.75 graus e em radianos. problemas aplicados elaborados a partir dos dados coletados e maquetes das construções pesquisadas. círculo trigonométrico orientado. Após essas considerações. destacados pelos alunos. Sugerimos ao professor fazer um estudo preliminar acerca dos applets que pretende utilizar para melhor orientar os alunos e aproveitar as potencialidades do recurso. relações de complementaridade e fórmulas de soma e diferença de ângulos. as atividades do bloco três são aplicadas como atividades de fixação necessárias para a estruturação do conteúdo. A sistematização das atividades em sala e complementares ocorre nas aulas posteriores à atividade em laboratórios de informática. podem ser apresentados à comunidade escolar sob a forma de desafios. unioeste. Acesso em: 31 out. Disponível em: < http://ebrapem.htm#gt19> Acesso em: 24 abr. Jussara de Loiola. Elaine Cristina. ALMEIDA.pdf>. ARAÚJO. São Paulo: Contexto. Anais . 2010. v.inf. 2001. Acesso em: 30 out.117-134. 14. In: CONFERÊNCIA NACIONAL SOBRE MODELAGEM E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Modelagem matemática no ensino. Modelagem na educação matemática: contribuições para o debate teórico.. Disponível em: < http://www. 4. Modelagem matemática e suas implicações para a “aprendizagem significativa”. Uma aproximação socioepistemológica para a modelagem matemática.br/alexandriarevista/numero_2_2009/lourdes. 4.anped. 389p.. Campo Grande.2. Dionísio. Anais. Feira de Santana. In: ENCONTRO BRASILEIRO DE ESTUDANTES DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA.pdf>. Caxambu. 24.br/alexandriarevista/numero_2_2009/jussara. n. FERRUZZI.ed. Acesso em: 30 out. p. Jonei Cerqueira. In: REUNIÃO ANUAL DA ANPED. Campo Grande. Daniela Donisete. Disponível em: < http://www.76 REFERÊNCIAS AIMI. 2010. jul.org. 2010. p.br/reunioes/24/tp1. Disponível em: < http://www. 2001.pdf>. 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Qual deve ser o comprimento c da rampa. 3-(IMENES. 2-(IMENES.91.57. cos35°= 0. 3 m do poste. tg 25°= 0.5m de altura e que está a 22.42.70) 5-(IMENES.26. cos25°= 0.94. p. sabendo que o ângulo de i = 20°. 2009. LELLIS. x Sabendo que sen35° = 0. p.36.165) Numa indústria. LELLIS.3m. LELLIS. O ângulo de inclinação sob o qual o rapaz vê o ponto mais alto do poste em relação à horizontal é de 15°. segmento que representa a medida do cabo do teleférico a ser instalado.47) . tg 35°=0. cos20°= 0. modificado) Um rapaz observa um poste de uma determinada rua utilizando um transferidor e um canudo de refrigerante. qual é a altura aproximada do poste? (Dados: sen15° = 0. 2009.80 APÊNDICE A – Lista de problemas aplicados 1-(IMENES. os engenheiros mediram o ângulo  e o desnível entre os pontos A e B. deseja-se construir uma rampa de comprimento c para vencer um desnível de 2. p.97.57.164. tg 35°= 0. p. tg 15° = 0. 2009.82. tg20° = 0.277) Qual é a altura aproximada do mastro da bandeira? (Dados: sen 25°= 0.27) 4-(IMENES. Considerando que este rapaz possui 1. possui razões trigonométricas iguais a: sen20°= 0. LELLIS.70. p. cos15°=0. tg30°= ) m 11-(IEZZI et al. Dessa forma. e do ponto C mediu-se o ângulo BCA. cos30°= 0.5m b)h= 15m c)h= 18. GIOVANNI JR. adotou-se o seguinte procedimento: marcou-se um ponto B numa margem.. Após percorrer 2000m em linha reta. a)h= 22. Calcule a distância percorrida pelo barco para atravessar o rio.8. Essa estrada medirá: (Dados: sen30°= 0. Qual é o comprimento da escada em m? (Dados: sen60°= 0. p.36) a)728m b)1880m c)1000m d)1720m e)684m 9-(GIVANNI.87.3. p.5m d)h= 20m . BONJORNO. tg30°= 0. (Dados: sen30°= 0. cos20°= 0. de tal forma que AB seja perpendicular a BC. concluiu-se que a largura AB do rio é: (Dados: sen30°= .5.94.324)Um avião levanta vôo sob um ângulo constante de 20°.5. tg20°= 0. 9) Um barco atravessa um rio num trecho onde a largura é 100m. BONJORNO. num certo local. 2001. GIOVANNI JR. sabendo que AB mede 25m e senθ= 0. 1994. 1994.324) A fim de medir a largura de um rio. BONJORNO.81 APÊNDICE A – Lista de problemas aplicados (Continuação) 6-(GIVANNI. tg60°= 1.323) Uma escada apoiada em uma parede. cos30°= a) m b) m c)5 m d)10 m e)50 . GIOVANNI JR.324) Na situação do mapa abaixo. encontrando-se 30°. tgθ= 1. p. aproximadamente: (Dados: sen20°= 0.58) a)15km b)20km c)25km d)30km e)40km 10-(GIVANNI.87. GIOVANNI JR. a altura atingida pelo avião será de... p. tg30°= 0.73) 7-(FERREIRA.58) 8-(GIVANNI. num ponto distante 4m do solo. 1994. BONJORNO. forma com essa parede um ângulo de 60°. cosθ = 0. 1994. 30m à direita marcou-se um ponto C. p.. 2002. cos30°= 0.87.6. cos60°= 0. p.34. deseja-e construir uma estrada que ligue a cidade A à estrada BC. seguindo uma direção que forma um ângulo de 30° com uma das margens. 220) Observe a figura abaixo e determine a altura h do edifício.5. 20m do piso horizontal. p. 68° 69° 70° 71° Seno 0.7) 16-(FERREIRA.a. p. com os olhos a 1. Obtenha a altura do muro e a distância do pé da escada à base do muro. a altura AB da tela? (Dados: sen30°= . p. (Dados: sen40°= 0.32 Tangente 2.308)Na tarde em que Cícero foi pela primeira vez ao cinema.6 2. Qual é.210) Um avião levanta vôo sob um ângulo constante de 20° com a horizontal.94.d. 2009.64. 165.95 Cosseno 0. Ela faz ângulo de 40° com o solo. modificado) Para conhecer a largura de um rio o esquema abaixo ilustrado foi montado. FREITAS. cos40°= 0.209) Uma escada de 2m de comprimento está apoiada no topo de um muro. 10. FREITAS.37 0.45. (Dados: sen40°= 0. Cícero via o ponto mais baixo da tela na altura AB de seus olhos e o ponto mais alto sob um ângulo de 30°.34 0.34. p.70m de altura observa o topo de uma árvore sob um ângulo 40°. calcule a largura aproximada do rio? 14-(IMENES. tg40°= 0.89.7 2.35 0. encantou-se com a grande tela da sala de projeção. 2009. p. 2005. tg40°= 0. LELLIS.9 15-(IMENES. em que altitude ele estará? (Dados: sen20°= 0.94 0.36) . 2005. qual é. aproximadamente. = 1. conforme mostra a figura. LELLIS. 292) Em certo momento do dia.77. aproximadamente. LELLIS. cos40°= 0. p.64.4 2.8m. O garoto ficou em pé a 15m da tela. Conhecendo a distância de 6m do observador até a árvore.93 0. em terreno plano. tg63°= 1. cos20°= 0. cos63° = 0. Nessa posição.84) 17-(RUBIÓ. o ângulo de inclinação do Sol nesse momento? a)68° b)69° c)70° d)71° e)n. Sabendo que sen63° = 0. De acordo com a tabela. tg30°= . Após percorrer 1 km em linha reta.92 0. cos30°= .84) 13-( IMENES.77. determinar a altura da árvore. tg20° = 0. modificado) Uma pessoa de 1.82 APÊNDICE A – Lista de problemas aplicados (Continuação) 12-(RUBIÓ. 2001.96. um poste de 5m de altura projeta uma sombra de 1. 2009. após percorrer toda a rampa? (Dados: sen10° = 0. tg60°= 1.(Dados: sen30°= 0. a que altura fica a pipa? (As mãos do menino estão a 1. p. de 45 m de altura.83 APÊNDICE A – Lista de problemas aplicados (Continuação) 18-(RUBIÓ. p. FREITAS.27) 22-(GIVANNI. tg15° = 0. 2005. 1994. 281) Observe o desenho. GIOVANNI JR. tg60°= 1.58. cos60°= 0.) (Dados: sen60°= 0. 2005. p. 197) Do alto da torre de uma plataforma marítima de petróleo. o ângulo de depressão em relação à proa de um barco é de 60°.87.27) 19-(DANTE. tg 15° = 0. DINIZ. tg10°= 0. GIOVANNI JR.87. A que distância o barco está da plataforma? (Dados: sen60°= 0. 198) Um caminhão sobe uma rampa inclinada de 10° em relação ao plano horizontal. cos15°= 0.320) Um avião levanta vôo em B e sobe fazendo um ângulo constante de 15° com a horizontal. cos10° = 0.18) 20-(SMOLE. cos 15°=0. p. Quantos metros ele terá percorrido sobre a rampa.5. Quando se desenrolam 70m de fio. cos60°= 0. tg30° = 0. cos30°= 0. A que altura estará e qual a distância percorrida quando alcançar a vertical que passa por uma igreja situada a 2 km do ponto de partida? (dados: sen15°= 0.73) 21-(GIVANNI. quando a elevação vertical for de 20m? (Dados: sen15° = 0. a quantos metros o caminhão se eleva.) 23-(DANTE.26..97. verticalmente. aproximadamente. Se a rampa tem 30m de comprimento. O vento conserva o fio esticado formando um ângulo de 60° com a horizontal.5. BONJORNO. Determinar a distância x. 2005.87. p. que faz ângulo de 15° em relação à horizontal.97.73) .26.210) Um carro sobe uma ladeira de inclinação constante. p.98.80m do chão. 2005.17.5. 1994.321) Uma torre vertical de altura 12m é vista sob um ângulo de 30° por uma pessoa que se encontra a uma distância x da sua base e cujos olhos estão no mesmo plano horizontal dessa base. BONJORNO.. qual a largura l do rio? (Dados: sen70°= 0.82m de altura projeta uma sombra de 6.87.75) 25-(IMENES. A que altura estará e qual a distância percorrida quando sobrevoar uma torre situada a 2 km do ponto de partida? (Dados: sen15°= 0.94. 277) Num certo instante. tg15°= 0. Qual a inclinação dos raios luminosos que originaram a sombra? . 2009.26. um em cada margem. LELLIS. tg70° = 2. cos70° = 0. avista-se um ponto da praia sob um ângulo de depressão de 30°. cos30°= 0.58) 27-(DANTE. p. Para isso. *obtemos uma medida de 70° para o ângulo ACB. A(uma estaca) e B(uma árvore).) (Dados: sen30°= 0. de tal modo que o ângulo no ponto A seja reto. 199) Um avião levanta vôo em A e sobe fazendo um ângulo constante de 15° com a horizontal. adotamos o seguinte processo: *marcamos dois pontos. *marcamos um ponto C. p. 2005. nesse instante.80m de largura. tg30°= 0. onde fixamos o aparelho de medir ângulos (teodolito). Qual é a distância da torre até esse ponto? (Desconsidere a largura da torre. 198)Queremos saber a largura l de um rio sem atravessá-lo. Qual é. Nessas condições. distante 8m de A.34.97.5.84 APÊNDICE A – Lista de problemas aplicados (Continuação) 24-(DANTE. a medida aproximada do ângulo ê de elevação do Sol? 26-(DANTE. um muro de 1. 199) Do alto de uma torre de 50m de altura. p. 2005. localizada em uma ilha.27) 28-(FERREIRA. 2005. 2001. p. 9) Um poste na vertical de 4m de altura projeta uma sombra de 4 m sobre o solo. cos15°= 0. 85 ANEXO A – Planta baixa de uma casa .