www.matematiques.com.br Matemática Básica 13ª Lista de Exercícios – Matrizes 1) Sendo 6 4 0 2 2 2 5 1 , 2 3 1 2 − · − · · C e B A determine: a) C B A t − + b) t A . 3 c) ( ) 2 . 5 C B A t + + d) ( ) t B C A 3 . 2 + − 2) Determine as matrizes (2x2) cujos elementos foram dados abaixo: a) ¹ ¹ ¹ ' ¹ · + ≠ · j i s e j i j i s e a i j , , 2 b) ¹ ¹ ¹ ' ¹ < − ≥ − · j i s e j i j i s e j i b i j , , 3 2 2 3) Sendo 4 1 0 1 0 3 2 2 , 1 4 5 1 − · − − · − · C e B A determine: a) A.B b) A.A c) A.B + B.C 4) Sabendo que 1 3 5 2 1 1 0 1 − · − · B e A determine X tal que A .X = B. 5) Seja A = (a ij ) uma matriz quadrada de ordem 2 tal que 3 2 + − · j i a ij . Se 10 5 2 3 − · +A X , determine a matriz X. 6) Seja A = (a ij ) uma matriz quadrada de ordem 2 tal que j i a ij 3 2 − · e seja 1 1 0 1 − · B . Calcule a matriz X tal que X + 2A = B. www.matematiques.com.br Atividades Complementares – Matrizes e Sistemas Lineares 1) Construa a matriz A = (aij)2x2 tal que aij = ¹ ' ¹ · ⇔ + ≠ ⇔ j i j i j i i , ² , 2) Escreva a matriz A = (aij) em cada caso: a) A é do tipo 2 x 3 e aij = ¹ ' ¹ ≠ ⇔ − · ⇔ + j i j i j i j i 2 3 b) A é quadrada de ordem 4 e aij = ¹ ¹ ¹ ' ¹ > ⇔ · ⇔ − < ⇔ j i j j i j i j i i 2 2 c) A é do tipo 4 x 2 e aij = ¹ ' ¹ · ⇔ ≠ ⇔ j i j i 3 0 d) A é quadrada de ordem 3 e aij = 3i-j+2. 3) Determine x e y tais que a) 1 ] 1 ¸ · 1 ] 1 ¸ − + 9 11 2 2 y x y x b) 1 ] 1 ¸ − − · 1 ] 1 ¸ 1 1 1 1 ² ² y x y x 4) Determine o valor de x ∈R na matriz A para que A = A t , sendo A = 1 ] 1 ¸ x x x 21 ² 3 . 5) Sendo A = 1 1 1 ] 1 ¸ − 2 3 1 0 1 2 e B = 1 1 1 ] 1 ¸ − 5 4 3 7 1 0 , determine A + B. 6) Determine a, b e c para que 1 ] 1 ¸ · 1 ] 1 ¸ − − + 1 ] 1 ¸ − 1 4 3 5 0 2 3 4 1 1 3 2 0 2 3 b c a a . 7) Dadas as matrizes 1 1 1 ] 1 ¸ − − − · 5 3 4 2 0 1 3 2 1 M , 1 1 1 ] 1 ¸ · 1 0 0 0 1 0 0 0 1 N e 1 1 1 ] 1 ¸ − − − · 0 2 3 1 0 2 1 1 0 P calcule X, de modo que: a) X – M = N – P b) P + X = M – N c) X + (M – P) = N www.matematiques.com.br 8) Dadas as matrizes A = 1 ] 1 ¸ a a 0 0 e B = 1 ] 1 ¸ 1 1 b b , determine a e b, de modo que A.B = I, onde I é a matriz identidade. 9) Se A = 1 ] 1 ¸ 1 2 2 1 e B = 1 ] 1 ¸ 2 0 1 3 , calcule (A.B -1 ) t . 10) Calcule a e b de modo que 1 ] 1 ¸ − − − · 1 ] 1 ¸ − − ⋅ + 1 ] 1 ¸ − 5 2 23 9 1 2 3 1 0 3 2 1 b a . 11) Considere as seguintes matrizes: 1 ] 1 ¸ · 7 6 0 2 A , 1 ] 1 ¸ − · 8 2 4 0 B , 1 ] 1 ¸ − − − − · 2 3 7 7 9 6 C , 1 1 1 ] 1 ¸ − − · 6 0 6 4 1 1 0 4 6 D e 1 1 1 ] 1 ¸ − − − − − · 1 0 6 4 0 1 9 9 6 E Se for possível, calcule: a) AB – BA b) 2C – D c) (2D t – 3E t ) t d) D² - DE 12) Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz 1 ] 1 ¸ − · 0 1 1 0 M então AB = BA. 13) Mostre que a matriz 1 1 1 ] 1 ¸ − · 1 0 1 2 1 0 0 1 1 B é a inversa da matriz 1 1 1 ] 1 ¸ − − − − · 1 1 1 2 1 2 2 1 1 A . 14) Resolva as equações: a) 7 5 2 + x x = 0 b) x x x 3 = -2 15) Calcule o determinante seguinte usando a regra se Sarrus: 3 0 3 2 1 2 5 4 1 − 16) Resolva os sistemas lineares usando escalonamento: www.matematiques.com.br a) ¹ ¹ ¹ ' ¹ · + − · + − · + − 1 5 6 7 4 3 2 8 4 3 2 z y x z y x z y x b) ¹ ¹ ¹ ' ¹ − · − + − · + − · − + 3 3 3 2 7 2 2 3 4 z y x z y x z y x c) ¹ ¹ ¹ ' ¹ · + + · + − · − + 1 1 0 5 4 3 0 2 z y x z y x z y x 17) Resolva utilizando a regra de Cramer: a) ¹ ' ¹ · + · − 2 1 5 3 1 2 y x y x b) ¹ ¹ ¹ ' ¹ · + + · + − · + − 6 3 2 3 2 c b a c b a c b a Um negociante trabalha com as mercadorias A, B e C e cada uma das quais tem um estoque não nulo. Se vender cada unidade de A por R$2,00, cada uma de B por R$3,00 e cada uma de C por R$4,00, obtém uma receita de R$50,00. Ma se vender cada unidade respectivamente por R$2,00, R$6,00 e R$3,00, a receita será de R$60,00. Sendo assim, qual a soma dos números de unidades de cada uma das mercadorias b e c para que + 4 3 3 c 0 − 2 1 0 4 7) Dadas as matrizes 1 M = −1 4 2 0 −3 5 .br Atividades Complementares – Matrizes e Sistemas Lineares 1) Construa a matriz A = (aij)2x2 2) Escreva a matriz A = (aij) em cada caso: a) i² .⇔ i ≠ j tal que a = i + j.com. ⇔ i = j ij 3i + j ⇔ i = j A é do tipo 2 x 3 e a = i− 2j ⇔ i ≠ j ij b) A é quadrada de ordem 4 e aij 2i ⇔ i < j = i− j ⇔ i = j 2j ⇔ i > j c) d) A é quadrada de ordem 3 e aij = 3i-j+2.matematiques. − 2 N = 0 0 5 0 1 0 0 0 e P = − 2 0 − 3 1 −1 0 2 1 calcule X. 1 3 1 .www. x 1 1 0 −1 e B = 7 3 . 3) Determine x e y tais que a) = 2 x − y 9 b) x x ² y 1 = y ² −1 2 x + y 11 −1 1 0⇔ i≠ j A é do tipo 4 x 2 e a = 3⇔ i= j ij 4) Determine o valor de x 2 5) Sendo A = 0 3 ∈ R na matriz A para que A = At. determine A + B. − 4 5 2 a 3 2a b − 3 −1 2 = 6) Determine a. sendo A = 3 21 x x² . de modo que: 1 0 a) X – M = N – P b) P + X = M – N c) X + (M – P) = N . matematiques. 2 −1 2 1 + b ⋅ 2 0 − 3 9 = −1 − 2 − 23 . −1 0 1 13) Mostre que a matriz B = 0 1 1 −1 0 0 −1 2 é a inversa da matriz A = 2 1 1 −1 1 1 2 − 2 . C 6 7 − 6 4 0 6 D = 1 1 4 e E = −1 − 6 − 6 0 6 − 6 9 = −3 7 9 − 9 0 − 4 0 −1 − 7 .B = I. 1 a 0 1 eB= a b b . −1 14) Resolva as equações: a) x 5 x +2 7 =0 b) x 3 x x = -2 1 2 3 4 − 1 0 5 2 3 15) Calcule o determinante seguinte usando a regra se Sarrus: 16) Resolva os sistemas lineares usando escalonamento: . de modo que A. B = 2 − 8 . determine a e b.B-1)t.com.www. − 2 a) b) c) d) Se for possível. −5 10) Calcule a e b de modo que a 3 11) Considere as seguintes matrizes: 4 2 0 0 A= . onde I é a 1 9) Se A = 2 2 3 e B = 0 1 1 . calcule (A.DE 0 1 12) Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M = então AB = BA.br 8) Dadas as matrizes A = 0 matriz identidade. calcule: AB – BA 2C – D (2Dt – 3Et)t D² . B e C e cada uma das quais tem um estoque não nulo. qual a soma dos números de unidades de cada uma das mercadorias . Ma se vender cada unidade respectivamente por R$2. a receita será de R$60.00 e R$3.00 e cada uma de C por R$4.matematiques. Sendo assim. obtém uma receita de R$50.00.00.00. cada uma de B por R$3. R$6.com.www. Se vender cada unidade de A por R$2.br a) 2x − 3y + 4z = 8 x − 2y + z = 3 4x − 7 y + 6z = 1 5 b) x+ y− z = 4 3x − 2 y + 2 z = 7 − 2 x + 3 y − 3z = − 3 c) x + 2y − z = 0 3x − 4 y + 5 z = 1 0 x+ y+ z = 1 17) Resolva utilizando a regra de Cramer: a) 2x − y = 1 3x + 5 y = 2 1 2a − b + c = 3 a − b + 2c = 3 a+ b+ c = 6 b) Um negociante trabalha com as mercadorias A.00.00.00.