MPSI 2 CPGE LYDEX M.SAADAOUI Devoir libre : Extraits de concours Problème 2 : Soit f : R+ ! R une application continue et f l’application dé…nie sur R+ par : Z 1 x f (0) = f (0) et f (x) = f (t) dt pour x > 0 x 0 f s’appelle la transformée de Cesaro de f: Partie I : Etude de quelques exemples 1. Dans cette question f (x) = arctan (x) :Calculer f (x) , puis lim f (x) et lim f (x) : x!+1 x!+1 Z x + 2. Dans cette question : 8x 2 R ; f (x) = jsin xj .Calculer jsin tj dt pour x > 0 , Exprimer f (x) 0 x en fonction de cos x et E : Calculer lim f (x) : x!+1 p 3. Dans cette question f est la fonction dé…nie par : 8x 0 ; f (x) = x sin (x) : (a) Montrer que f n’est pas bornée sur R+ : (b) Montrer que lim f (x) = 0: x!+1 Partie II : Etude de quelques propriétés Dans cette partie f : R+ ! R désigne une application continue . 4. Montrer que f est de classe C 1 sur R+ . Est-elle continue à droite en 0 ? 5. On suppose que f est dérivable à droite en 0 de dérivée égale à L: (a) f est-elle dérivable à droite en 0 ? Si oui déterminer la valeur de cette dérivée . (b) Montrer que la fonction x 7! x (f )0 (x) + f (x) f (x) est constante . (c) Etudier le signe de f f lorsque f est monotone . (d) En déduire que si f est monotone , alors f est aussi monotone . 6. On suppose que f admet une limite …nie m en +1 . Montrer que lim f (x) = m x!+1 7. On suppose que f est T périodiqueZ .Montrer que f admet une limite en +1 . Exprimer la valeur T de cette limite en fonction de T et f (t) dt: 0 5 8. Soit ( ; ) 2 R2 , 6= 0 . On suppose que la droite d’équation y = x + est asymptote à la courbe représentative de f . Montrer que la courbe représentative de f admet une droite asymptote dont on déterminera l’équation. Partie III : Inégalité de Hardy Soit f une application continue de R+ dans R:Montrer l’inégalité de Hardy : Z x Z x 2 Pour tout x > 0 , (f ) (t)dt 4 f 2 (t)dt: 0 0 On pourra utiliser une intégration par parties et la question 5.b. Problème : [ D’après Mines 2015 ] On considère l’espace vectoriel E des fonctions réelles dé…nies et continues sur l’intervalle 0; 2 , Pour tous f; g dans E par on dé…ni hf; g i par : Z =2 hf; gi = f (t)g(t)dt: 0 Z !1=2 p =2 On note kf k = hf; f i = (f (t))2 dt . 0 Partie A : Quelques résultats préliminaires 1. Véri…er que hf; gi = hg; f i ; h f + h; gi = hf; gi + hh; gi 2. Véri…er que hf; f i 0 et que si hf; f i = 0, alors f = 0: Pour f 2 E , On note V (f ) et V (f ) les applications dé…nies par les formules : h i Z x Z =2 8x 2 0; ; V (f )(x) = f (t)dt et V (f )(x) = f (t)dt: 2 0 x 3. Véri…er que si ( ; ) 2 R2 ; V ( f + g) = V (f ) + V (g) et V ( f + g) = V (f ) + V (g) 4. Calculer les dérivées des fonctions V (f ) et V (f ) , puis montrer, à l’aide d’une intégration par parties, que pour tous f; g dans E, on a : hV (f ); gi = hf; V (g)i: (a) Exprimer hV V (f ); f i en fonction de kV (f )k et en déduire que , pour toute fonction f 2 E , on a hV V (f ); f i 0 (b) Montrer que si hV V (f ); f i = 0, alors f = 0 Partie B : Recherche des valeurs propres de V V Soit 2 R , on dit que est une valeur propre de V V s’il existe f 2 E un élément non nulle telle que : V V (f ) = f Dans ce cas f est dit un vecteur propre associé à . On dé…nit 'n 2 E pour tout n 2 N par la formule : 'n (t) = p2 cos((2n + 1)t): 6 5. Calculer V V ('n ) . Que peut-on déduire ? 6. Soit est une valeur propre de V V et f est un vecteur propre associé à : (a) Montrer que >0. (b) Montrer que f est de classe C 2 et qu’elle est solution de l’équation di¤érentielle : y 00 + 1 y = 0:avec les conditions : y( =2) = 0 et y 0 (0) = 0: (c) En déduire que est une valeur propre de V V si et seulement s’il existe n 2 N tel que 1 : = (2n+1) 2 :Préciser alors les vecteurs propres associés. Partie C: Application à une équation di¤érentielle y 00 + y + h = 0 Soit h 2 E, 2 R et l’équation di¤érentielle : (S) y( =2) = 0 et y 0 (0) = 0 1 7. Montrer que pour tout f 2 E et n 2 N, hV V (f ); 'n i = (2n+1)2 hf; 'n i: (a) Montrer que g est solution de l’équation di¤érentielle (S) si et seulement si g = V V (g) + V V (h) 1 (b) Montrer que si g est solution de (S) ; alors pour tout n 2 N : 1 (2n+1)2 hg; 'n i = (2n+1)2 hh; 'n i 7