Diversidad5

IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 1- ÍNDICE INTRODUCCIÓN: .......................................................................................................................... 2 NÚMEROS ENTEROS Y RACIONALES. ................................................................................... 3 Divisibilidad. ............................................................................................................................... 4 Fracciones .................................................................................................................................... 9 Proporcionalidad y porcentajes. ................................................................................................ 13 NÚMEROS RACIONALES Y NÚMEROS REALES. ................................................................ 19 Números racionales. clasificación. ............................................................................................ 20 Números reales. Clasificación ................................................................................................... 21 Raíces cuadradas y cúbicas........................................................................................................ 22 Raíces de cualquier orden .......................................................................................................... 23 Operaciones con raíces .............................................................................................................. 24 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS. ................................................................... 25 Monomios y polinomios ............................................................................................................ 26 ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS ...................................................................... 31 Ecuaciones de primer grado ...................................................................................................... 32 Ecuaciones de 2º grado .............................................................................................................. 35 Inecuaciones. ............................................................................................................................. 38 Sistemas de ecuaciones. ............................................................................................................. 41 GEOMETRÍA Y MEDIDA. .......................................................................................................... 44 Resolución de triángulos ........................................................................................................... 45 Figuras geométricas ................................................................................................................... 48 Cálculo de áreas y volúmenes ................................................................................................... 49 FUNCIONES Y GRÁFICOS. ....................................................................................................... 51 Funciones ................................................................................................................................... 52 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. .......................................................................................... 56 Estadística .................................................................................................................................. 57 Probabilidad ............................................................................................................................... 60 TRIGONOMETRÍA. ..................................................................................................................... 63 IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 2 - INTRODUCCIÓN: La implantación de las enseñanzas derivadas de la LOGSE, tal y como señalábamos en el Proyecto del Grupo de Trabajo, nos plantea la necesidad de atender a la Diversidad de un alumnado cada vez más heterogéneo, sobre todo en la etapa obligatoria, con distintas capacidades e intereses, por lo que hemos de disponer de unos materiales didácticos que se adecuen a diferentes grados de dificultad en el planteamiento y resolución de ejercicios y problemas dentro de cada bloque temático, tanto en 3º como en 4º de ESO. Por tanto, con este material pretendemos disponer de unos recursos didácticos elaborados por el propio Departamento de Matemáticas, a través de este Grupo de Trabajo, que nos facilite la docencia diaria con nuestros alumnos, proponiéndoles actividades ya preparadas lo más acordes con sus capacidades, actividades que además servirán para los apoyos o refuerzos educativos de aquellos alumnos que lo precisen, de manera que podamos evitar el tener que improvisar en este cometido. Una vez que podamos llevar a la práctica este trabajo, podremos facilitar a los alumnos de un mismo nivel tareas o ejercicios adaptados al progreso que muestre cada uno. Además pensamos que estos materiales serían imprescindibles para ser impartidos en caso de que se realizaran distintos agrupamientos de los alumnos según sus capacidades o intereses, posibilidad que está en fase de estudio en este Centro. Entendemos de esta manera, que estamos dando cumplimiento a los criterios que marcan la ORDEN de 12 de noviembre de 1992 sobre evaluación en Educación Secundaria Obligatoria, en su apartado Decimoséptimo.-1, que establece la necesidad de adoptar medidas de refuerzo educativo para aquellos alumnos que no alcancen los objetivos programados, así como el REAL DECRETO 83/1996, por el que se aprueba el REGLAMENTO ORGÁNICO DE LOS INSTITUTOS DE EDUCACIÓN SECUNDARIA, que en su artículo 68, apartado k), referido a las programaciones didácticas, establece como uno de los aspectos a incluir en las mismas, las medidas de atención a la diversidad y las adaptaciones curriculares para los alumnos que las precisen. El material se ha enfocado para los grupos de 3º y 4º de ESO, si bien se ha visto la conveniencia de cubrir más específicamente el nivel de 3º, por ser aquí donde se detectan los mayores problemas de aprendizaje y, así mismo, tener un material de refuerzo para 4º. Hemos estructurado los ejercicios en bloques temáticos, dentro de los cuales cada tema se ha desarrollado en tres niveles diferenciados: Básico, Normal y Avanzado, siendo este último nivel para aquellos alumnos que muestran una mayor capacidad y autonomía de trabajo. En algún tema se ha visto que no era necesario desarrollar los tres niveles, como en Estadística, Números Reales, Áreas y Volúmenes, etc. Los miembros del Departamento de Matemáticas consideramos que un aspecto quizás no suficientemente desarrollado por nuestra parte, como es la verdadera atención a la Diversidad de nuestros alumnos, puede ser llevada a la práctica con este material, lo cual es una necesidad cotidiana en la etapa obligatoria, máxime teniendo en cuenta las características de nuestro Centro, el I.E.S. GINÉS PÉREZ CHIRINOS", cuyos alumnos provienen en cierta medida de un entorno sociocultural bajo. IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 3 - NÚMEROS ENTEROS Y RACIONALES. Temas: Divisibilidad. Fracciones. Proporcionalidad y Porcentajes. IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 4 - Divisibilidad. 1º.- Responde sí o no a las afirmaciones siguientes: 6 es divisor de 2, 3 es divisor de 6, 15 es múltiplo de 3, 4 es múltiplo de 8, 15 se puede dividir por 7, 19 se puede dividir entre 9, 28 es un número compuesto, 437 es un número primo. 2º.- Escribe, utilizando la Criba de Eratóstenes, todos los números primos que hay entre 3 y 300. 3º.- Si A y B son números naturales primos entre sí, entonces es seguro que: a) m. c. d. (A, B) =1 b) A es primo. c) A y b sólo tienen el 1 por divisor común. 4º.- ¿Conoces algún número primo de dos cifras que sean iguales? 5º.- Escribir seis divisores de 1000. 6º.-Escribir cinco múltiplos de 13. 7º.-¿ El número 6728 es divisible por 104?. En caso de respuesta negativa ¿qué número habría que sumarle para que lo fuese?. 8º.-Escribir todos los múltiplos de 23 comprendidos entre 100 y 200? 9º.-Escribir todos los divisores de 222 comprendidos entre 1 y 11. 10º.-Dados los números 53, 684, 2915 y 38546, indicar, sin realizar la división cuales de ellos son divisibles por 2, por 3, por 4, por 5, por 8, por 9, por 10 y por 11, expresando el resto en los casos que proceda. 11º.-¿Qué condición debe cumplir un número para que sea múltiplo de 15?. 3º ESO – Básico TEMA: Divisibilidad IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 5 - 1º.-Escribir cinco números primos y seis números compuestos. 2º.-Mediante la criba de Eratóstenes, determinar todos los números primos comprendidos entre 2000 y 2500. 3º.-Escribir cuatro números primos mayores que 1000. 4º.-Descomponer en factores primos los siguientes números: 692, 3647, 8684, 86240. 5º.-Calcular cuantos y cuales son los divisores de los siguientes números: 1444, 4000, 8428, 9600. 6º.-Descomponer en factores primos los números 9000 y 3600 y expresar factorialmente su producto. 7º.-Descomponer en factores primos los números 14400 y 1800 y expresar factorialmente su cociente. 8º.-Descomponer en factores primos el número 8400 y expresar factorialmente su potencia cuarta. 9º.-Tras descomponer en factores primos 12600 y 420, comprobar si el primero es divisible por el segundo. 10.-Calcular el m. c. d. de los siguientes números: 62 y 454 1038 y 3126 6546 y 2564 4500 y 5400 11º.-Calcular el m. c. m. de los siguientes números: 248 y 488 873 y 3546 924 y 7028 2000 y 6240 12º.-Calcular el m. c. d. y el m. c. m. de los siguientes números: 649 y 850 5000 y 7200 2800 y 8480 7200 y 9216 13º.-Calcular, por el Algoritmo de Euclides, el m. c. d. de los siguientes números: 980, 1316 y 1876 2416, 3632 y 5632 1980, 3564 y 17292 14º.-Expresar factorialmente el m. c. d. y el m. c. m. de los siguientes números: 500, 720 y 1440 666, 999 y 3996 686, 3430 y 7200 2000, 4250, 6500 2340, 7500 y 16000 3º ESO – Normal TEMA: Divisibilidad IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 6 - 15º.-Encuentra el menor y el mayor número de cuatro cifras divisible a la vez por 8, 28 y 13 16º.-Halla el menor número que dé resto 2 al dividirlo por 3, 5 6 y 10. 17.- Dados los números A = 2x33x52 B =3x52 y C= 22x3x7, razona sin efectuar multiplicaciones si: a) A es divisible por B b) A es múltiplo de B. c) C es divisible entre A. d) C es múltiplo de B. 18º.- ¿Cómo puedes conocer si un número es múltiplo de 7 o 13 si no conocemos criterios de divisibilidad?. Averigua si el número 59514 es divisible por 7 o por 13. 3º ESO – Normal TEMA: Divisibilidad IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 7 - 1º.-El mínimo común múltiplo de dos números es 3328; y su máximo común divisor, 16. Sabiendo que uno de ellos es 208, calcular cuál es el otro. 2º.-Dados los números: 7168, 35840, 113664, hallar todos los divisores comunes comprendidos entre 200 y 600. 3º.-De entre los infinitos múltiplos de 877, escribir aquellos que sean impares y se encuentren comprendidos entre 7000 y 10000. 4º.-Dos cuerdas miden 2562 cm y 4200 cm. Si se desea cortarlas en trozos iguales, ¿cuál es la mayor longitud que puede tener cada trozo? 5º.-Tres autobuses, cuyos recorridos son distintos, cubren el servicio entre Murcia capital y uno de los pueblos próximos. El primero sale cada hora, el segundo cada 45 minutos y el tercero cada 40 minutos. Si inician el servicio, saliendo juntos, a las 6 horas ¿a qué hora volverán a coincidir?. 6º.- Dos cometas se aproximan al Sol cada 56 años el primero de ellos, y cada 76 años el segundo. Si en 1975 se aproximaron al Sol juntos ¿en qué fecha volverán a hacerlo por primera vez?. 7º.- Entre todos los múltiplos de 3 comprendidos entre 100 y 200 ¿cuáles de ellos son múltiplos de 5? 8º.- Calcula todos los múltiplos menores que 1000 de los siguientes números: 49, 152, 89, 71, 201, 115, y 223. 9º.- ¿Cuántos números comprendidos entre 100 y 199 son múltiplos de 2? ¿y de 3? . Escribe los que son múltiplos de 6. 10º.- Sin sumar, indica si 8 + 88 + 888 + 8888 es divisible por 8. Razona ,de igual manera, si 4 + 44 + 444 + 4444 + 44445 es divisible por 4. 11º.- Al dividir un número entero por 35 obtenemos 15 de cociente. ¿Qué cociente obtendríamos si dividiésemos dicho número por 15? 12º.- Venus tarda 225 días en dar una vuelta completa al Sol, y la Tierra 365 días. Si el Sol, Venus y la Tierra se encuentran alineados un día determinado ¿cuántos días tendrán que transcurrir para que estén alineados de nuevo? 3º ESO – Avanzado TEMA: Divisibilidad IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 8 - 13º.- Se sabe que el número natural A tiene exactamente tres divisores, que el número natural B es primo y que A = B x C. Entonces se verifica: a) C es primo b) A y B tienen dos divisores comunes. c) A es primo. 14º.- Un número positivo P es divisible por 3, 5 y 11. Es seguro entonces que: a) P = 165 b) P es múltiplo de 165. c) 55 es divisor de P. 15º.-Una fuente situada en una plaza cambia de programa cada 450 segundos y otra situada en una plaza cercana cambia cada 350 segundos. Si a las nueve de la mañana coinciden ambas con el mismo programa ¿a qué hora volverán a coincidir?. 16º.- El número aba es múltiplo de 3 y de 5. ¿Cuánto valdrá a? ¿y b? 17º.- En un número de tres cifras que comienza por 2 y termina por 7 se ha borrado la cifra de las decenas. Hállalo sabiendo que es divisible por 3 y por 11. 18º.- Una hoja de papel de 18 cm de largo y 22 de ancho se quiere dividir en cuadraditos iguales del menor tamaño posible. ¿Cuántos cuadraditos saldrán?. 19º.- El número de páginas de un libro es mayor que 200 y menor que 300. Si se cuentan de 2 en 2 sobra 1, si se cuentan de 3 en 3 sobran 2, si se cuentan de 5 en 5 sobran 4, y de 7 en 7 sobran 6 ¿cuántas páginas tiene el libro? 3º ESO – Avanzado TEMA: Divisibilidad IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 9 - Fracciones 1º. Calcular: a) 50 5 2 de ; b) 80 8 3 de ; c) 90 3 2 de ; d) 350 5 7 de 2º. Sergio se comió 5 2 de una caja de bombones. ¿Cuántos bombones se comió?. ¿Qué fracción de los bombones sobró? 3º. ¿Qué fracción de 1 año es un trimestre?. ¿Y 11 meses?. ¿Qué fracción de hora son 28 minutos? ¿Y 50 minutos?. 4º. ¿Cuáles de las fracciones siguientes son equivalentes a 5 3 ? : 40 21 ; 30 18 ; 20 9 ; 15 9 ; 10 6 ; 9 6 5º. Simplificar, hasta hallar la fracción irreducible, las fracciones siguientes: 2450 4560 ; 5000 900 ; 600 1250 ; 280 21 ; 48 12 6º. ¿Cuál de las siguientes parejas de fracciones es mayor?: a) 12 6 12 7 o ; b) 21 9 17 9 o ; c) 18 11 20 11 o ; d) 6 7 4 5 o 7º. Ordenar de mayor a menor las siguientes fracciones: 12 5 ; 16 13 ; 3 4 ; 4 3 ; 5 1 ÷ 8º. Expresar en forma de fracción ordinaria los siguientes números mixtos: a) 8 11 8 3 1 8 8 3 1 = + · = + ; b) 4 3 2 + ; c) 5 2 3 ÷ ; d) 3 1 4 + ; e) 7 2 5 ÷ 9º. Escribir cada fracción como suma de un número entero y una fracción propia ( menor que 1): 7 80 ; 8 50 ; 5 32 ; 9 62 ; 7 43 ; 3 25 10º. Reducir a común denominador: a) 6 5 , 12 7 , 4 3 b) 5 3 , 10 7 , 6 11 c) 15 1 , 12 11 , 8 3 11º. Realizar las siguientes operaciones con fracciones: a) 5 3 15 1 3 10 + ÷ ; b) 10 1 8 1 5 4 + + ÷ ; c) 5 9 12 7 10 7 ÷ + d) | . | \ | + · ÷ 15 7 5 1 4 1 e) | . | \ | + ÷ · 7 3 14 1 2 1 f) 3 1 5 2 4 3 5 1 3 2 2 1 · ÷ + ÷ · g) | . | \ | ÷ · ÷ | . | \ | ÷ + 4 1 3 1 5 1 3 1 2 1 5 1 h) | . | \ | ÷ ÷ | . | \ | · 4 1 3 5 2 9 5 i) | . | \ | · + | . | \ | ÷ 2 3 4 3 9 1 5 3 j) | . | \ | ÷ · | . | \ | ÷ 5 2 4 3 3 1 8 7 k) 3 2 6 1 8 5 3 1 ÷ | . | \ | ÷ + l) 5 3 3 4 1 3 ÷ + ÷ 3º ESO – Básico TEMA: FRACCIONES IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 10 - 1º. Calcular : a) 12 3 2 de ; b) 21 7 4 de ; c) 81 3 7 de ; d) 6 5 3 2 de 2º. Escribir tres fracciones equivalentes a cada una de las fracciones siguientes: a) 2 1 ; b) 5 2 ÷ ; c) 8 3 ; d) 7 1 3º. Comprobar si son equivalentes los siguientes pares de fracciones: a) 6 16 3 8 y ; b) 12 9 4 3 ÷ ÷ y ; c) 10 6 42 21 y 4º. Completar las siguientes expresiones para que las fracciones resultantes sean equivalentes: a) 16 ? 4 3 = ; b) ? 56 5 7 = ; c) 30 35 6 ? = 5º. Simplificar, hasta llegar a la fracción irreducible, las siguientes fracciones: a) 48 36 ; b) 300 325 ; c) 384 273 ; d) 220 715 . 1 6º. Reducir a común denominador las fracciones: a) 15 14 , 5 4 , 10 7 ; b) 16 13 , 3 2 , 24 21 ; c) 20 6 , 14 3 , 35 6 , 8 1 7º. Comparar las siguientes fracciones: a) 5 4 5 2 y ; b) 12 10 6 5 y ÷ ; c) 12 7 9 4 y ; d) 17 14 13 12 y 8º. Ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones: a) 7 6 , 5 2 , 3 2 , 4 3 ÷ ; b) 2 0 , 5 6 , 8 9 , 7 2 , 4 3 , 5 1 ÷ ÷ 9º. Realizar las siguientes sumas y restas de fracciones, simplificando los resultados: a) 12 5 3 20 + b) 8 3 6 11 ÷ c) 12 3 5 2 4 1 + ÷ d) 4 5 7 + e) 6 3 10 ÷ f) 21 10 7 3 6 5 + ÷ g) | . | \ | ÷ ÷ 21 10 7 3 6 5 h) | . | \ | ÷ ÷ 5 1 5 4 2 7 i) | . | \ | ÷ ÷ | . | \ | ÷ 4 3 2 4 1 3 10 10º. Calcular los siguientes productos y cocientes, simplificando el resultado: a) 7 6 5 2 × ; b) 3 5 4 9 × ; c) 2 7 3 5 14 × × ; d) 2 9 3 10 5 8 × | . | \ | ÷ × e) 5 6 4 3 ÷ ; f) 5 4 2 ÷ ; g) 5 4 7 8 ÷ ÷ ÷ ; h) | . | \ | ÷ ÷ 5 6 8 20 11º. Calcular las siguientes potencias: a) 2 2 7 | . | \ | ; b) 2 5 6 | . | \ | ÷ ; c) 3 3 2 | . | \ | ÷ ; d) 0 9 8 | . | \ | e) 2 3 5 ÷ | . | \ | ; f) 3 4 ÷ ; g) 2 9 1 ÷ | . | \ | ; h) 3 2 1 3 | . | \ | ÷ i) 2 3 5 2 3 | . | \ | ÷ ; j) 1 9 1 3 1 ÷ | . | \ | + ; k) 2 3 5 3 ( ( ¸ ( ¸ | . | \ | ; l) 2 5 3 1 | . | \ | ÷ 3º ESO – Normal TEMA: FRACCIONES IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 11 - 12º. Calcular las siguientes expresiones: a) | . | \ | + ÷ | . | \ | 7 · 2 3 4 3 8 · 2 5 2 b) 4 5 3 11 2 9 · 3 7 5 2 ÷ ÷ + c) | . | \ | ÷ | . | \ | + + 8 3 · 5 4 2 1 12 5 d) | . | \ | ÷ ÷ ÷ + 3 10 2 9 · 3 1 8 6 2 7 10 e) | . | \ | ÷ ÷ | . | \ | ÷ 5 1 4 3 · 11 4 2 1 3 5 · 8 3 f) | . | \ | ÷ + ÷ ÷ | . | \ | + ÷ ÷ + 6 1 3 2 3 4 4 1 6 5 7 2 3 2 g) | . | \ | + ÷ ÷ + | . | \ | ÷ | . | \ | + 1 5 3 4 · 3 5 4 1 2 1 · 2 1 3 1 h) ( ¸ ( ¸ + | . | \ | ÷ ÷ | . | \ | ÷ 6 15 3 11 · 4 5 1 4 9 2 13º. Escribir las siguientes fracciones en forma decimal (indicando de qué tipo es cada una): a) 3 7 ; b) 22 39 ; c) 8 35 ; d) 12 14 ; e) 3 75 14º. Expresar en forma decimal las fracciones: 2 5 20 49 , 3 8 y , e indicar cuál de ellas es la mayor. 15º. Expresar en forma de fracción irreducible los siguientes números decimales: a) 5,4 b) 9,1888... c) 2,36999... d) –17,444... e) 6,4242... 16º. Realizar las siguientes operaciones, expresando previamente los decimales en forma de fracción: a) 3 2 · 8 , 0 2 5 · 4 7 5 , 0 2 + ÷ b) 2 5 2 7 , 0 3 10 1 , 0 4 3 | . | \ | ÷ + ÷ | . | \ | ÷ c) 8 , 0 8 5 3 7 2 9 5 , 1  + | . | \ | ÷ ÷ ÷ d) 4 1 · 2 , 0 5 4 3 , 0 2 1 5 · 4 , 0 2 ÷ ÷ + | . | \ | ÷ 17º. La aceituna produce los 2/9 de su peso en aceite. ¿Cuántos kg de aceite se obtienen con 324.000 kg de aceitunas?. ¿Cuántos kg de aceitunas serán necesarios para obtener 10.000 kg de aceite?. 18º. Un tablero se divide en 18 cuadros iguales. Cada uno de estos cuadros iguales se divide a su vez en 6 cuadros iguales y se pintan 2 de estos de azul. Los cuadros azules, ¿qué fracción del tablero representan?. 19º. Con el agua de un estanque se llenan 6.300 regaderas de 5/2 litros cada una. ¿Cuántas regaderas de 4 3 de litro se llenan con el agua del estanque?. 20º. En una tormenta de granizo han sido dañadas 7 manzanas de cada 15 en la huerta de Juan, mientras que en la de Ana han sido dañadas 4 de cada 9. ¿En qué huerta hay, proporcionalmente, más manzanas dañadas?. 21º. El equipo de baloncesto A, ha encestado 23 de los 40 lanzamientos que ha intentado y el equipo B, ha encestado 28 de 47 intentos. ¿Cuál de los dos equipos ha sido más eficaz?. 22º. Un estudiante invierte 1/3 de su salario semanal en ir al cine, 3/5 en revistas deportivas y el resto lo ahorra. ¿Qué fracción del dinero ahorra a la semana?. 23º. Una pelota cae desde un décimo piso que está a una altura de 38 metros del suelo. En cada bote sube 2/9 de la altura del bote anterior. ¿A qué altura subirá después del cuarto bote?. 24º. Luis invita a sus amigos a comer una tarta. Pedro come 1/5, Ana 1/6 y Tomás 1/3. Si Luis se come el resto, ¿cuánto come?. Una clase de leche da los 2/15 de su peso en nata y la nata da los 6/25 de su peso en mantequilla. ¿Qué fracción del peso de la leche representa el peso de la mantequilla?. 3º ESO – Normal TEMA: FRACCIONES IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 12 - 1º. Calcular las siguientes expresiones: a) ( ¸ ( ¸ | . | \ | ÷ ÷ + | . | \ | ÷ · ÷ · ÷ 2 1 3 1 3 5 1 4 1 2 1 3 1 4 3 b) ( ) ( ¸ ( ¸ ÷ | . | \ | ÷ + | . | \ | ÷ · | . | \ | ÷ · ÷ 2 1 3 1 3 5 1 4 1 2 1 3 1 4 3 c) | . | \ | + ÷ · ÷ + | . | \ | ÷ · | . | \ | + 1 5 3 4 3 5 4 1 2 1 2 1 3 1 d) ( ¸ ( ¸ | . | \ | + ÷ · ÷ ( ¸ ( ¸ + | . | \ | ÷ · + 1 5 3 4 3 5 4 1 2 1 2 1 3 1 2º. Calcular las siguientes expresiones: a) 0 2 2 3 8 4 2 + ÷ ÷ ; b) 1 2 2 2 3 1 2 3 ÷ ÷ ÷ ; c) 4 0 1 3 2 ÷ ÷ ÷ · · · · x z y z y x ; d) ( ) ( ) 1 3 2 2 5 2 3 1 ÷ ÷ ÷ ÷ · · · · b a c c b a 3º. Calcular: a) ( ¸ ( ¸ | . | \ | ÷ ÷ · ( ¸ ( ¸ | . | \ | + ÷ · 3 3 2 5 1 2 3 1 3 2 4 3 5 1 = b) | | | | . | \ | + ÷ ÷ | | | | . | \ | ÷ + 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 = 4º. Un coche recorre 50 km en tres cuartos de hora, y otro recorre 36 km en 27 minutos. ¿Cuál es más rápido?. 5º. Un balón bota en el suelo. ¿Cuál es la altura desde la que cae, sabiendo que en el tercer bote alcanza 60 cm y que en cada bote alcanza la mitad de la altura anterior? 6º. Una agencia propone un viaje de estudios a un grupo de alumnos. Inicialmente no les interesa el viaje a 1/8 de los alumnos. Cuando se concreta el precio, se retiran los 3/5 de los que pensaban ir. Y por diversas causas, una semana antes de salir se retiran 1/21 de los que quedaban. Van al viaje 80 alumnos. ¿Cuántos alumnos formaban el grupo inicia?. 7º. Una bandera tricolor (blanco, rojo y azul) tiene una anchura de 150 cm. Si el color blanco ocupa la mitad de la anchura y el rojo un tercio, ¿qué anchura, en centimetros, ocupa el color azul?. 8º. Un alumno de 3º de ESO compra un paquete de folios. Utiliza la décima parte en un trabajo de Geografía; la tercera parte de los que le quedan en un trabajo de Lengua; y, por último, gasta en Matemáticas el doble de folios de los que gastó en Geografía. ¿Qué fracción del paquete le queda? Si le sobraron 100 folios , ¿de cuántos folios constaba el paquete?. 9º. ¿Qué diferencia hay, en minutos, entre 3/5 de día y 7 horas?. 10º. Un pintor pinta un garaje en 8 horas y su hijo en 12 horas. ¿Qué parte del garaje puede pintar cada uno en una hora?. ¿Y los dos juntos en una hora?. Si padre e hijo trabajan juntos, ¿cuánto tardarán? 11º. De los tres caños que fluyen a un estanque uno puede llenarlo en 36 horas, otro en 30 horas y el tercero en 20 horas. Hallar el tiempo que tardarían en llenarlo los tres juntos. 3º ESO – Avanzado TEMA: FRACCIONES IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 13 - 1º. Completa los datos que faltan en las proporciones siguientes: a) 6 8 3 = x b) 4 3 9 = x c) 6 2 7 x = d) x 4 5 2 = 2º. Forma tres proporciones distintas con los números : a) 12, 30, 18, 45 b) 4, 10, 10 y 25 3º. Completa los datos que faltan: a) 40 8 10 5 2 c b a = = = b) 1 2 10 8 15 6 ÷ = = = c b a 4º. Un palo vertical de 1’25 m proyecta una sombra de 3 m ¿Cuál será la altura de una torre que a la misma hora proyecta una sombra de 120 m ? 5º. En la pavimentación de una calle, 15 obreros han empleado 20 días, ¿cuántos días emplearán 12 obreros para realizar el mismo trabajo? 6º. Un coche circula a una velocidad constante de 80 km/h. Completa la siguiente tabla: Tiempo (h) 1 2 3 5 6 Espacio (km) 80 160 320 Las magnitudes, espacio y tiempo, ¿son directamente proporcionales? 7º. Convierte los siguientes porcentajes en una fracción y simplifica el resultado: a) 20% = 20/100 = 1/5 b) 15% = c) 2% = d) 400% 8º. Convierte en número decimal los siguientes porcentajes: a) 23% = 0’23 b) 4% = c) 250% d) 32’6% e) 0’8% 9º. Expresa en % los siguientes números: a) 15 / 100 = 15% b) 75 / 100 = c) 4 / 25 = d) 0’87 = e) 0’05 = 10º. Para hacer un bizcocho necesitamos mezclar el doble de harina que de azúcar, ¿cuál es la razón de proporcionalidad entre la harina y el azúcar en el bizcocho? 11º. Un coche circula por la carretera a una velocidad de 60km/h , ¿cuál es la razón de proporcionalidad entre el tiempo y el espacio recorrido? 12º. Pedro y María compran una pizza partida en 8 trozos iguales. Pedro se comió 3 trozos y María 2 trozos. Escribe la razón de proporcionalidad entre: a) La parte que se comió María y el total. b) El total de la pizza y la parte que se comió Pedro. c) La parte que sobró y el total. 13º. En un libro de cocina nos hemos encontrado la siguiente receta: “Bizcocho de chocolate para 4 personas”: 3 huevos, 200g de harina, 100 g de azúcar, 50g de mantequillay 150g de chocolate Mezclar bien los ingredientes y meter la masa en el horno durante 50 minutos. a) Si hiciésemos el bizcocho para 8 personas ¿cuánta harina necesitaríamos? b) Si ponemos 250g de mantequilla, ¿para cuántas personas estamos haciendo el bizcocho? c) Si hiciéramos el bizcocho para 8 personas , ¿tendríamos que meterlo 100 minutos al horno? 14º. En la publicidad de una marca de coches encontramos este anuncio: ”Consumo en carretera: 5’9 litros cada 100 km a una velocidad de 90 km/h” a) Con esta velocidad, ¿cuántos km recorrió si el consumo de gasolina fue de 44,25 litros? b) Con estos datos, podemos saber el consumo a una velocidad de 110 km/h? 3º ESO – Básico TEMA: Proporcionalidad y porcentajes Proporcionalidad y porcentajes. IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 14 - 15º. En una tienda de deportes hemos visto el siguiente anuncio: ”3 camisetas: 200 ptas, 5 camisetas: 3000 ptas” ¿Existe proporcionalidad entre los precios y las camisetas que se compran? 16º. Reparte 700 en partes directamente proporcionales a 1, 2 y 4. 17º. Reparte 450 en partes directamente proporcionales a 2, 3, 4 y 6. 18º. Una tienda tiene una oferta según la cual una persona puede pagar un televisor en cuatro mensualidades sin ningún tipo de recargo, fijando ella misma los importes mensuales. El Sr. Cámara decide comprar un televisor que cuesta 60000 ptas y pagar el primer mes el 20%, el segundo el 30%, el tercero el 40% y el cuarto el 10% ¿Cuánto tiene que pagar cada mes? 19º. Isabel , Carmen, Juan, Luis y Ana deciden vender camisetas para pagar su viaje de fin de curso. Isabel vendió 75 camisetas, Carmen 60, Juan 45, Luis 70 y Ana 50. Si las ganancias totales fueron de 60000 ptas, ¿qué parte le corresponde a cada uno? 20º. Calcula: a) 9% de 600 b) 12% de 350 c) 80% de 670 d) 6’5 de 1350 21º. Un comercio anuncia rebajas del 30%. María quiere comprarse un vestido en cuya etiqueta figura un precio de 8500 ptas ¿Qué importe deberá abonar María? 22º. Luis depositó una cierta cantidad en el banco al 5’5% anual. Al cabo de un año retiró todo el dinero que tenía en la cuenta y recibió 13082 ptas ¿Cuál era la cantidad que depositó inicialmente en el banco? (Indicar el resultado en ptas y € ). 23º. La superficie total de España es de 50 600 000 Ha, de las que 4 048 000 son barbecho ¿Cuál es el porcentaje de barbecho en España? 24º. El 18% de la población de una ciudad es menor de 15 años. Sabemos que la ciudad tiene 75650 habitantes ¿Cuántos de ellos son menores de 15 años? 25º. A un producto se le aplica una subida del 27% ¿Por qué número hay que multiplicar el precio antiguo para saber el nuevo? 26º. A un producto se le aplica un descuento del 45% ¿Por qué número hay que multiplicar el precio antiguo para saber el nuevo? 27º. Un concesionario de automóviles ha preparado para su memoria anual la siguiente tabla. Completa la tabla calculando la variación de las ventas, en %, tomando como referencia el periodo enero-febrero. Periodo Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Ventas (unidades) 300 336 426 270 390 468 Ïndice de variación 1,00 28º. El número de licenciados universitarios que se han graduadoen las universidades españolas entre 1975 y 1995 (en miles de personas) viene expresado en la siguiente tabla. Complétala hallando la variación, medida en %, respecto al año 1975 (redondea a un decimal). Año 1975 1980 1985 1990 1995 Nº licenciados (miles) 25’5 41’1 52’3 70’1 77’1 Variación respecto 1975 0% 3º ESO – Básico TEMA: Proporcionalidad y porcentajes IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 15 - 29º. La cantidad destinada al premio de 6 aciertos en la lotería primitiva de esta semana es de 200 millones de pesetas. Completa la siguiente tabla: Número de acertantes 1 2 4 10 Premio por cada uno 200 100 40 10 30º. Un grupo de amigos contrata un autocar para realizar un viaje por un precio fijo de 60 000 ptas y dividen el alquiler entre todos. Completa la siguiente tabla: Número de excursionistas 20 25 30 48 Precio que paga cada uno 1500 1200 31º. Un vendedor tiene un sueldo fijo de 80 000 ptas más el 10% del importe de las ventas mensuales que realice. Completa la siguiente tabla: Ventas en miles de ptas 100 200 300 550 Sueldo en miles de ptas 90 100 130 165 32º. Cuatro obreros tardan 30 días en hacer una obra ¿Cuánto tardarán en hacer la misma obra 12 obreros, trabajando en las mismas condiciones? 33º. Para segar un campo de trigo se necesitan 21 personas trabajando durante 12 días ¿ Cuántas personas serían necesarias para realizar el mismo trabajo en 9 días? 34º. Un tren, a una velocidad de 85 km/h, tarda 10 h en realizar un trayecto. Si el mismo trayecto lo realizase un AVE a 340 km/h, ¿cuánto tiempo sería necesario? 35º. Un ciclista, a 16 km/h, tarda 6h en hacer un trayecto ¿Cuánto tardaría si fuese a 24km/h? 36º. Diez grifos tardan en llenar un deposito 4h ¿Cuántos grifos son nesesarios para llenar el mismo estanque en 1h? 3º ESO – Básico TEMA: Proporcionalidad y porcentajes IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 16 - 1º El área de un cuadrado se calcula mediante la fórmula A=l 2 , donde l es la longitud del lado. Completa la siguiente tabla: Área (m 2 ) 1 9 256 Lado (m) 1 3 6 8 20 Estas magnitudes (área y longitud) ¿son directamente proporcionales? 2º Indica si los siguientes pares de magnitudes son directamente proporcionales: a) El peso de las naranjas que compramos en una frutería y su precio por kg. b) La altura de una persona y su edad. c) El nº de alumnos de un aula y los aprobados en Matemáticas. d) La longitud del lado de un cuadrado y la longitud de su perímetro. 3º La composición de una aleación de cobre y níquel es tal que la razón de proporcionalidad es de 0’6. Calcula cuánto cobre hay en 3’5 kg de aleación. 4º El latón es un metal de color amarillo pálido, resultado de una aleación de cobre y cinc. La mezcla industrial más común es de 3 partes de cobre por cada 2 de cinc. a) ¿Cuánto cobre tenemos que mezclar con 2’5 kg de cinc para obtener latón? b) Una plancha de latón pesa 2 kg ¿Cuánto pesa el cobre contenido en la plancha? 5º En un mapa de escala 1 : 4 000 000, la distancia entre Madrid y A Coruña es de 15 cm ¿Cuál es la distancia real en km entre ambas ciudades? 6º En un concurso de encestes a canasta se van a repartir un total de 15 000 pesetas entre los cuatro primeros clasificados, de acuerdo con el números de encestes que hayan conseguido. El primero encestó 19 veces, el segundo 15, el tercero 14 y el cuarto 12 veces ¿Qué cantidad le corresponde a cada uno? 7º Tres amigos deciden dar una fiesta y acuerdan pagar la comida y los refrescos de acuerdo con el nº de personas que invite cada uno. El primero invita a 12 amigos, el segundo a 25 y el tercero a 18. Si el importe fue de 11 000 ptas, ¿cuánto debe pagar cada uno? 8º Una tienda organizó un sorteo de 3 lotes de discos. El número de discos de cada lote era proporcional a 4, 5 y 6 respectivamente. Sabiendo que a la persona que recibió más cantidad le correspondieron 36 discos, ¿cuántos discos recibieron los otros dos premiados? ¿Cuál fue la cantidad total de discos que repartió la tienda? 9º Calcula un nº cuyo 18% sea 54. 10º Calcula un nº cuyo 30% sea 990. 11º Calcula qué porcentaje: a) de 140 es 91 b) de 72 es 24 c) 168 es 63 d) 4100 es 2050 12º En una tienda se anuncian “grandes rebajas”. En la etiqueta de una camisa leemos “Antes 4900 ptas, ahora 3675 ptas” ¿Qué rebaja están aplicando al precio de la camisa? 13º La proporción, medida en tantos por uno, de los alumnos de una clase de 4º de ESO que han aprobado Lengua en la primera evaluación ha sido del 0’7%. Sabiendo que en la clase hay 30 alumnos, ¿cuántos han suspendido? 14º Expresa en tantos por mil (‰) a) 0’5% b) 3’15 3º ESO – Normal TEMA: Proporcionalidad y Porcentaje IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 17 - 15º Una tienda hace un descuento del 6% por las primeras 5000 ptas de compra y un 4% sobre el importe restante. Una persona compra un objeto cuyo precio es de 12500 ptas ¿Cuánto descuento le hacen? 16º Durante 1998, la producción anual de coches aumentó un 17% respecto al año anterior. Si el año 1997 se produjeron 7 560 000 unidades ¿cuánto coches se produjeron en 1998? 17º En una tienda hemos visto el siguiente anuncio: “Ordenador: 139000 ptas + IVA”. Sabiendo que le IVA es del 16% ¿cuál es el precio final del ordenador? (En ptas y € ) 18º El 80% de una cantidad es 400. ¿Cuál es esa cantidad? 19º Ángel compró una camiseta que estaba rebajada un 25% y pagó por ella 1200 ptas ¿cuál era su precio original? 20º Un cámping recibió 10500 campistas durante el mes de Julio y 12285 en Agosto ¿Cuál es el incremento porcentual de campistas de Julio a Agosto? 21º Un vendedor tiene un sueldo mensual fijo de 100 000 ptas y un 5% de comisión sobre las ventas que realice. Este mes ha cobrado 180 000 ptas ¿Cuál es el importe total de ventas que realizó? 22º Un jugador A de un equipo de fútbol lanzó esta temporada 24 penaltis, de los cuales consiguió 17 goles. El jugador B del mismo equipo lanzó 19 penaltis y consiguió 12 goles. Si tú fueses el entrenador ¿a quién elegirías para lanzar el próximo penalti? (Calcula el % de aciertos de cada uno y compáralos) 23º El precio de la vivienda subió un año un 4% y al siguiente bajo un 3% ¿Cuál será ahora el precio de la vivienda que originalmente valía 12 000 000 de ptas? ( En ptas y €) 24º Calcula por qué nº hay que multiplicar una cantidad para: a) Aumentarla un 15% y luego volver a aumentarla un 22%. b) Disminuirla un 40% y luego aumentarla un 25%. c) Aumentarla un 25% y luego disminuirla un 40%. d) ¿Qué puedes deducir de los apartados b y c? 25º El precio de un TV (sin IVA) es de 45000 ptas, pero está rebajado un 15%. Cuando lo vamos a pagar nos hacen el descuento y luego, sobre la cantidad resultante, nos aplican el 16% de IVA ¿Cuánto tenemos que pagar por el TV? 26º El precio de la gasolina subió un mes el 6% y al mes siguiente bajó otro 6% ¿Cuesta la gasolina lo mismo que antes de la primera subida? 27º La evolución de la población española, medida en millones de personas se refleja en la siguiente tabla. Halla la variación en % de cada año, tomando como referencia el 1940. Año 1940 1950 1960 1970 1980 1990 Población (millones) 26,2 28,4 30,9 34 37,5 38,9 Variación(%) 0% 28º Un granjero ha calculado que para las 80 gallinas que posee dispone de de comida para 60 días. Si compra 40 gallinas más ¿cuánto tiempo le durará la comida? 29º Cuatro bombas de agua idénticas tardan en llenar una piscina 12 horas, pero una de ellas se estropea ¿Cuánto tiempo tardarán en llenar la piscina las 3 bombas que siguen funcionando? 30º Cinco amigos deciden hacerle a Juan un regalo por su cumpleaños, para el que tendrá que aportar 700 ptas cada uno. A última hora, una vez comprado el regalo, se les unen dos amigos más ¿Cuál es el nuevo importe que debe pagar cada una de las 7 personas? 3º ESO – Normal TEMA: Proporcionalidad y porcentaje IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 18 - 1º El Sr. Calvo ha inventado un fabuloso crecepelo mezclando 5 partes de un productoA con 3 partes de un producto B y se dedica a vender los frascos de 750 ml a 1500 ptas. a) ¿Cuántos ml de producto A hay en medio litro de crecepelo? b) El Sr. Cabello ha comprado carios frascos pagando por ello 10500 ptas ¿Cuántos frascos ha adquirido? 2º Un Sr. Ingresó en el banco cierta cantidad al 7% de interés anual. Al cabo de un año, retiró los interes producidos y recibió 24500 ptas. Calcula cuál fue la cantidad inicial que ingresó. 3º ¿Qué tanto por mil de 230500 ptas son 461 ptas? 4º Una tienda tiene un margen comercial del 35% de ganancia sobre los artículos que vende. Si vendió unos pantalones por 4500 ptas, ¿cuánto le habían costado al tendero? 5º Un equipo de biólogos ha comprobado que durante la década de los cincuenta la población de una determinada especie animal disminuyó un 25%. En los años sesenta siguió disminuyendo un 43%. Por el resultado de la aplicación de un plan de protección, en los años setenta esta especie mantuvo prácticamente invariable su número de individuos y en los años ochenta la población aumentó un 20%. Si a principios de los años cincuenta había 40000 individuos de esta especie, ¿cuántos había a principios de los años noventa? 6º La audiencia de una cadena de TV aumentó durante el mes de Junio un 3%, en el mes de julio disminuyó un 7% y en agosto volvió a disminuir un 10% ¿Cuál ha sido el % de variación de la audiencia en estos tres meses? ¿Esta variación, ha sido positiva o negativa? 7º Queremos comprar una bicicleta cuyo precio es de 12000 ptas, a lo que hay que sumar un IVA del 16%. Como nos parece cara, el vendedor nos ofrece descontarnos de las 12000 ptas un 16% y aplicar el IVA al nuevo precio que nos ha hecho ¿Vamos a pagar en total 12000 ptas por la bicicleta? 8º El índice de precios al consumo (IPC) subió un año el 12 % y al siguiente el 7%. En estos dos años el pollo pasó de costar 400 ptas/kg a 475 ptas/kg ¿Subió el pollo por encima o descendió por debajo del IPC? 9º Con el vino contenidoen un barril se han llenado 200 botellas de 0,6 litros ¿Cuántas botellas de 0,75 litros se podrían haber llenado? 10º Esta semana el “pleno al 15” de la quiniela se lo han repartido 3 acertantes, correspondiéndole a cada uno 24 400 000 ptas. Si hubiese habido un cuarto acertante ¿cuánto le habría correspondido a cada uno? 11º Para enlosar una habitación se emplean 160 baldosas cuadradas. Si empleásemos baldosas cuyo lado fuese el doble de las anteriores ¿cuántas necesitaríamos? 12º Una empresa ha elaborado una tabla que refleja la evolución de sus ventas (en millones de ptas) desde 1994 a 1998. Por error, se han borrado los datos de las ventas desde 1995, pero se conocen los % de variación de las mismas respecto a 1994 ¿Podrías reconstruir la tabla? Año 1994 1995 1996 1997 1998 Ventas (millones ptas) 25 % de variación 0% 12% – 10% 20% 32% 13º La superficie quemada entre 1989 y 1994 en España se expresa en la siguiente tabla. Calcula los índices de variación tomando como referencia el año 1989. Año 1989 1990 1991 1992 1993 1994 Superficie (miles de Ha) 426 203 260 105 90 432 Índice de variación 1,00 3º ESO – Avanzado TEMA: Proporcionalidad y porcentajes IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 19 - NÚMEROS RACIONALES Y NÚMEROS REALES. Temas: Números Racionales. Clasificación. Números Reales. Clasificación. Raíces cuadradas y cúbicas. Raíces de cualquier orden. Operaciones con raíces. IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 20 - Números racionales. clasificación. 1º.- Sitúa cada uno de los siguientes números en uno o varios de los apartados que corresponda: 0.11; -14; 3.222... ; 3/2; 6/2; -0.001; 10 2 ; 2 -3 ; 100 Naturales: _________________________ Enteros: ___________________________ Fraccionarios: ______________________ Racionales: ________________________ 2º.- Indica qué tipo de números utilizarías en cada caso: 1º) Pagar una compra en pesetas: 2º) Pagar una compra en Euros: 3º) Peso de una caja de manzanas en una báscula, expresado en Kg, que aprecia hasta el gr: 4º) Medida de un tablero, expresada en cm, si se ha utilizado una cinta métrica corriente: 3º.- Utilizando las cifras 1, 3 y 5, escribe: a) Un número decimal exacto: b) Un número entero: c) Un número decimal periódico puro: d) Un número decimal periódico mixto: 4º.- Escribe en forma decimal los siguientes números racionales y clasifícalos: a) 5 3 = c) = 1000 37 b) = 3 7 d) = 8 32 5º.- Cual es el conjunto numérico más pequeño en el que podemos situar los siguientes números: a) 3 10 ÷ : b) : 15 45 c) 3.45555... : d) : 6 9 e) : 10 321 . 1 3 · f) : 2 4 ÷ 3º ESO – Normal TEMA: Números racionales. Clasificación IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 21 - Números reales. Clasificación 1º.- Sitúa cada uno de los siguientes números en uno o varios de los apartados que corresponda: 3 8 ; 9 ; 3 27 ; 25 . 1 ...; 101100111 . 0 ; 12 ; 3 7 ...; 2323 . 1 ÷ ÷ a) Natural: _____________________ b) Entero: _____________________ c) Racional: ___________________ d) Irracional: ___________________ e) Real: _______________________ 2º.- Indica qué tipo de números reales (naturales, enteros, racionales o irracionales) utilizarías en cada uno de los casos siguientes: a) Perímetro de la rueda de tu bicicleta si su diámetro es un valor entero: b) Temperaturas de tu localidad a lo largo del año: c) Altura respecto al nivel del mar: d) Diagonal de un cuadrado que tiene de lado 7 cm: 3º.- Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales: a) -21.3433433343333... b) 1.71717171... c) 0.0023 d) -45.93565656... 4º.- Utilizando únicamente las cifras 1, 3 y 5, escribe: a) Un número irracional: b) Un número decimal periódico puro: c) Un número decimal exacto: 5º.- Cuáles de los siguientes números son racionales (expresa en su caso la fracción generatriz): a) 0.02222... c) 3 1 5 b) 0.0201010010001... d) 3 2 27 6º.- ¿Cuál es el conjunto numérico más pequeño al que pertenecen los siguientes números reales?: a) 9 ÷ b) 17 d) 100 25 3º ESO – Avanzado TEMA: Números reales. Clasificación IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 22 - Raíces cuadradas y cúbicas 1º.- Resuelve, según el modelo, las siguientes raíces cuadradas: a) 6 36 = , porque 6 2 = 36. b) = 81 c) = 25 d) = ÷16 2º.- Delimita el valor de las siguientes raíces, entre dos números enteros consecutivos, siguiendo el ejemplo: a) 7 45 6 s s d) 71 b) 28 e) 15 c) 85 f) 60 3º.- Calcula el valor de las siguientes operaciones: a) = ÷ + 9 25 16 b) = · ÷ 16 100 64 c) ( ) = ÷ · 25 49 4 d) ( ) = ÷ ÷ 4 : 100 5 25 4º.- Calcula las cuadradas de las siguientes fracciones: a) 9 1 ; 3 1 9 1 9 1 : = = siguiente lo realizamos c) 0.25 b) 25 16 d) 0.04 5º.- Calcula las siguientes raíces cúbicas: a) = 3 27 b) = ÷ 3 125 c) = 3 1000 d) = 3 001 . 0 6º.- Calcula las raíces cúbicas de las siguientes fracciones: a) 8 1 c) 0.001 b) 125 27 d) 10 6 3º ESO – Básico TEMA: Raíces cuadradas y cúbicas IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 23 - Raíces de cualquier orden 1º.- Calcula las siguientes raíces, siguiendo el modelo: a) , 2 16 4 = porque 2 4 = 16. b) = ÷ 5 32 c) = 4 81 d) = 6 64 2º.- Calcula las raíces del ejercicio anterior poniéndolas en forma de exponente fraccionario: a) 2 2 2 16 4 4 4 4 4 = = = . b) = ÷ 5 32 c) = 4 81 d) = 6 64 3º.- Simplifica las siguientes potencias de exponente fraccionario: a) ( ) ... 2 2 64 3 12 3 2 6 3 2 = = = b) = 3 5 8 c) 8 10 16 = 4º.- Expresa en forma radical las potencias del ejercicio anterior y calcúlalas de esta forma: d) ... 64 64 3 2 3 2 = = e) = 3 5 8 f) 8 10 16 = 5º.- Simplifica las siguientes raíces y ponlas en forma de exponente fraccionario: a) 3 2 3 2 3 6 2 3 3 9 9 = = = b) = 4 8 c) = 10 2 16 d) = 8 12 2 6º.- Realiza las siguientes operaciones con raíces: a) ... 32 2 32 2 = · = · b) = 2 : 32 c) = · 8 2 d) = · 3 3 9 3 3º ESO – Normal TEMA: Raíces de cualquier orden. Exponentes racionales. IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 24 - Operaciones con raíces 1º.- Realiza las siguientes operaciones con raíces: a) = · 5 5 4 8 b) = 3 4 125 c) = · 4 4 3 27 d) = 3 125 27 2º.- Extrae factores de las siguientes raíces: a) = 12 b) = 80 c) = 250 2 d) = · · 8 17 6 8 7 2 e) = · 3 6 14 3 5 3º.- Realiza las siguientes sumas de raíces: a) = ÷ + 5 3 2 5 5 b) 2 = ÷ + ÷ 200 3 180 50 20 c) = + ÷ ÷ 245 320 125 8 3 d) = ÷ 3 3 16 54 4º.- Realiza y simplifica las siguientes expresiones: a) = 3 8 b) ( ) = 5 5 9 c) ( ) = 3 6 4 4 d) = | . | \ | 9 3 6 4 5º.- Racionaliza los denominadores de las siguientes fracciones: a) = 2 1 b) = 6 12 c) = 10 5 d) = 3 2 2 3º ESO – Avanzado TEMA: Operaciones con raíces. IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 25 - POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS. Temas: Monomios y polinomios. IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 26 - Monomios y polinomios 1º. Indicar el signo, grado, parte literal y el coeficiente de los siguientes monomios: a) bx a 2 5 ÷ b) z x 2 3 2 c) 2 5xm d) 4 3 5 z xy ÷ e) 4 xy f) 7 3 ÷ 2º. Calcula el valor de m en los siguientes casos para que en cada par los monomios tengan el mismo grado: 3 2 6 3 t rs yz x m ÷ 2 2 5 6 yz x bc a m m x z z xy 2 3 2 2 ÷ m rs yz x 2 2 3º. Escribe dos monomios de grado 4, que sean semejantes y con coeficientes no enteros. Luego súmalos y réstalos. 4º. Efectúa las siguientes sumas de monomios: a) 2 2 2 5 6 3 x x x + + b) 3 3 3 3 1 2 7 x x x + + c) 2 2 2 2 1 3 6 yz yz y z + + 5º. Efectúa las siguientes restas de monomios: a) 2 2 9 6 2 x x ÷ b) 7 7 7 4 x x ÷ c) 2 2 4 3 5 2 x x ÷ 6º. Calcula los siguientes productos: a) ) 4 ).( 6 ( 2 y y x b) ) 3 ).( 4 ( 2 x xy ÷ c) ) 4 ).( 3 ( 3 2 xy y x ÷ d) ) 2 1 ).( 5 3 ( 2 x x ÷ ÷ 7º. Calcular los siguientes cocientes: ) 6 ( : ) 18 )( 3 xy y x a ÷ ) 3 ( : ) 9 )( 3 3 2 3 3 z y x z y x b ÷ ÷ ) 14 5 ( : ) 7 6 )( 2 3 2 y x z y x c ÷ ÷ 8º.Calcular las siguientes potencias: 3 3 2 ) 5 )( z xy a ÷ 0 2 3 ) 3 )( yz x b ÷ 2 2 3 ) )( y a c ÷ 9º. Realizar las operaciones indicadas: ) 1 2 6 ).( 3 )( 3 2 + ÷ x x x a ) ( : ) 3 5 )( 2 2 3 4 x x x x b ÷ ÷ ÷ 2 0 3 2 ) ( ) 2 .( ) 3 )( xyz xy y x c ÷ 3º ESO – Básico TEMA: Monomios y polinomios IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 27 - 1º. Dado el polinomio 6 5 4 6 ) ( 2 3 4 + + + ÷ = x x x x x P , hallar los valores numéricos de dicho polinomio para 2 = x , 4 ÷ = x y 2 = x . 2º. Escribe dos polinomios en cada uno de los apartados siguientes:  Trinomio de grado tres, ordenado.  Binomio de grado dos.  Polinomio completo y ordenado  Polinomio de grado cinco, no ordenado y completo. 3º. Completa y ordena de manera creciente y decreciente los siguientes polinomios. Indica el grado de cada uno y cual es el valor numérico para 5 4 = x : 1 2 3 ) ( 2 3 ÷ + ÷ = x x x x P 8 3 4 ) ( 3 6 5 + ÷ + ÷ = x x x x x Q 5 2 ) ( 5 4 + ÷ = x x x R 6 2 2 ) ( x x x S ÷ ÷ = 4º. Dados los polinomios 4 7 2 ) ( 2 3 ÷ ÷ ÷ = x x x x A y 2 7 8 ) ( 2 4 + + + ÷ = x x x x B : a) Calcula C(x)= A(x) -B(x). b) Comprueba que A(x)= B(x) + C(x) c) Calcula los valores numéricos A(3), B(3) y C(3) y comprueba que C(3)= A(3)-B(3) 5º. Siendo x x x x P + ÷ = 2 3 2 3 ) ( , 4 3 3 ) ( 2 3 + ÷ ÷ = x x x x Q y 6 7 2 ) ( 2 + ÷ = x x x R , calcula: a) P(x) – Q(x) +R(x). b) P(x) +Q(x) – R(x) c) P(x) – ( Q(x) +R(x) ) d) R(x) – ( P(x) –Q(x) ) 6º. Opera y simplifica en las siguientes expresiones: a) ) 8 2 4 ( ) 7 3 ( ) 1 2 4 ( 2 3 2 3 2 3 + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + ÷ x x x x x x x x x b) ) 5 3 4 3 ( ) 24 6 13 8 ( ) 6 2 6 3 5 ( 2 3 2 3 4 5 2 3 4 + ÷ + ÷ + ÷ + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + ÷ x x x x x x x x x x x x c) ( ¸ ( ¸ | . | \ | ÷ + ÷ | . | \ | + ÷ ÷ | . | \ | ÷ + ÷ 4 5 4 3 4 1 2 3 8 5 6 4 7 2 3 3 2 3 3 4 x x x x x x x 7º. ¿ Qué polinomio hay que sumar a 1 2 3 2 3 ÷ + ÷ x x x para que su suma sea 1 2 3 2 4 ÷ + ÷ x x x ? 8º. ¿Qué polinomio hay que restar a 1 6 2 2 + ÷ x x para obtener 1 6 2 2 4 ÷ + ÷ x x x ? 9º. Dado el polinomio 2 1 3 5 2 3 ) ( 2 3 ÷ + ÷ = x x x x P , hallar otro polinomio ) (x Q tal que: 1 3 2 ) ( ) ( 2 3 4 + ÷ + ÷ = ÷ x x x x x Q x P 10º. Efectúa los siguientes productos: a) ) 3 ).( 3 ( ÷ + x x b) ) 3 ).( 3 ( + + x x c) ) 3 ).( 3 ( ÷ ÷ x x 3º ESO – Normal TEMA: Monomios y polinomios IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 28 - 11º. Calcula P(x).Q(x) en los casos siguientes: a) x x P 2 3 ) ( + ÷ = 1 2 ) ( 2 + ÷ = x x x Q a) 2 2 5 2 3 ) ( x x x P ÷ + ÷ = x x x Q 5 3 ) ( 2 ÷ = 12º. Hallar el producto de los siguientes polinomios: 5 3 2 1 2 ) ( 3 4 5 ÷ + ÷ = x x x x P x x x x x Q 7 3 3 2 4 7 ) ( 2 4 ÷ + ÷ = 13º. Utilizando las igualdades notables calcula: a) 2 2 ) 4 3 ( x x + b) 2 2 ) 5 ( x x + ÷ c) 2 ) 5 2 ( x + ÷ d) ) 5 1 ).( 5 1 ( x x ÷ + ÷ e) 3 ) 2 3 ( x + 14º. Halla las raíces de los siguientes polinomios: 7 21 ) ( ÷ = x x P x x Q 4 5 4 ) ( + ÷ = 5 6 8 ) ( ÷ = x x R 15º. Extrae factor común de los siguientes polinomios: 2 3 2 4 x x + 2 3 4 13 26 13 x x x ÷ + 2 4 6 8 12 2 x x x ÷ + 16º. Realiza las siguientes divisiones de polinomios: a) ) 4 2 ( : ) 3 4 2 6 2 4 ( 2 2 3 4 5 x x x x x x x ÷ ÷ + ÷ + ÷ b) ) 6 3 3 ( : ) 5 3 12 9 6 ( 2 2 3 4 + ÷ ÷ + ÷ ÷ x x x x x x c) ) 1 2 3 ( : ) 3 ( 2 4 3 6 + + ÷ ÷ x x x x x d) ) 2 ( : ) 1 2 3 4 ( 2 2 3 4 5 ÷ + + ÷ ÷ + ÷ x x x x x x x e) ) 1 ( : ) 2 4 3 12 ( 2 3 4 5 6 ÷ + + ÷ + ÷ x x x x x x x f) ) 3 ( : ) 1 2 4 3 ( 2 3 5 ÷ ÷ + ÷ x x x x 3º ESO – Normal TEMA: Monomios y polinomios IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 29 - 1º. Dado el polinomio 2 20 2 11 2 6 3 ) ( 2 4 + + + = x x x x P , calcula ) 2 ( P , ) 4 , 2 ( P , ) 5 ( P y ) 4 3 ( P . 2º. Calcula mentalmente: a) ) 5 ).( 2 ( + + x x b) ) 2 ).( 3 ( + ÷ x x c) ) 1 ).( 3 ( x x + ÷ + 3º. Descomponer en factores los siguientes polinomios: a) 2 3 7x x ÷ b) 16 8 2 + + x x c) 2 4 4 2 + + x x d) 2 12 60 75 x x + ÷ e) 12 36 24 2 4 + ÷ x x f) a ax ax 3 12 12 2 + ÷ g) 1 4 ÷ x 4º. Dados los polinomios: 11 5 4 3 ) ( 2 3 + + ÷ = x x x x P 10 4 3 ) ( 2 3 4 ÷ ÷ ÷ = x x x x Q 5 3 4 ) ( 3 5 + ÷ ÷ = x x x R Calcular: ) ( ) ( ) ( x R x Q x P + + ) ( ) ( ) ( x R x Q x P ÷ + | | ) ( ) ( ) ( x R x Q x P + ÷ 5º. Calcular el valor de a para que sean ciertas las igualdades siguientes: a) 10 15 2 3 ) 3 ).( 5 ( 2 3 2 ÷ ÷ + = + ÷ x x x a x x b) 0 ) 1 ( = P siendo a x x x P + + ÷ = 6 2 ) ( 2 c) 2 2 2 2 2 ) 1 ( ) 1 ( + = + ÷ x ax x d) ) ).( ( 5 5 2 y x a x y xy x x ÷ + = + ÷ ÷ 6º. Utilizando las igualdades notables calcula: a) 2 ) 3 1 3 ( 3 ÷ x b) 3 ) 2 1 ( + x c) ) 4 1 2 1 ).( 4 1 2 1 ( ÷ + x x d) 3 2 ) 7 2 5 3 ( ÷ x 7º. Calcula el resultado de las siguientes operaciones: a) 2 2 ) 2 ).( 5 ( ) 1 ).( 2 3 ( ÷ + + ÷ + ÷ x x x x x e) | | 2 2 ) 1 3 ( ) 1 3 ( . 3 ) 1 3 ).( 1 3 .( 4 ÷ ÷ + ÷ + ÷ x x x x x 3º ESO – Avanzado TEMA: Monomios y polinomios IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 30 - 8º. Escribe la expresión algebraica correspondiente a cada uno de los siguientes enunciados a) El doble de la suma de dos números. b) El duplo de un número menos cinco. c) La media aritmética de dos números. d) El duplo de la suma de dos números menos cuatro. e) Un número triple de la suma de los otros dos. f) Dos números enteros consecutivos. g) Al doble de mi edad le sumas seis. h) El cuadrado de la suma de tres números. i) La suma de los cuadrados de dos números. 9º. Dados los polinomios 1 5 3 ) ( 2 4 + ÷ ÷ = x x x A , 3 6 ) ( 3 + ÷ = x x x B , 6 5 4 3 ) ( 2 3 4 + ÷ ÷ = x x x x C y 4 6 ) ( 3 + + ÷ = x x x D , calcula: a) (A(x)+B(x)) – (C(x)+D(x)) b) (A(x) + D(x)) –(B(x) + C(x)) c) (D(x) –B(x)) +(A(x) –C(x)) 10. Dados los polinomios 3 5 ) ( 3 ÷ ÷ = x mx x P y 7 5 4 ) ( 3 + ÷ ÷ = x x x Q , calcular n sabiendo que 4 10 2 ) ( ) ( 3 + ÷ ÷ = + x x x Q x P 11. Dados los polinomios 3 ) ( 2 3 + ÷ = nx x x P y 1 2 5 ) ( 2 3 ÷ + = x x x Q , calcular n sabiendo que 4 4 ) ( ) ( 2 3 + ÷ ÷ = ÷ x x x Q x P 12. Halla las raíces enteras del polinomio: 1 ) ( 2 ÷ = x x P 13. Halla las raíces enteras del polinomio : 25 26 ) ( 2 4 + ÷ = x x x P 14. Halla las raíces enteras del polinomio: 1 3 3 3 4 ÷ + ÷ x x x 15. Sin necesidad de hacer la división, comprueba si el polinomio 28 9 8 3 ) ( 2 3 + ÷ + = x x x x P es divisible por 3 ÷ x . 16. Calcula el vlalor de k para que el polinomio 2 6 3 ) ( 2 3 ÷ + ÷ = x kx x x P sea divisible por . 2 + x 17. Factoriza el polinomio: 14 12 2 ) ( 2 ÷ ÷ = x x x P 18. Factoriza el polinomio 2 4 3 ) ( 2 3 ÷ + ÷ = x x x x P 3º ESO – Avanzado TEMA: Monomios y polinomios IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 31 - ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS Temas: Ecuaciones de primer grado. Ecuaciones de segundo grado. Inecuaciones. Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos incógnitas. IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 32 - Ecuaciones de primer grado 1º. Resolver las ecuaciones siguientes y comprobar las soluciones obtenidas: a) 9 ) 3 ( 2 = ÷ · + x x b) ) 3 2 ( 3 27 2 x x ÷ · = ÷ c) 23 ) 7 ( 8 3 34 + ÷ · = ÷ x x d) 63 ) 2 3 ( 8 3 8 ÷ ÷ · ÷ = x x e) 45 ) 7 2 ( 3 ) 10 ( 6 ÷ = ÷ · + ÷ · x x f) 72 ) 2 6 ( 8 ) 3 2 ( 4 + + · = ÷ · x x 2º. Resolver las ecuaciones siguientes: a) 7 ) 75 , 0 ( 15 ) 1 ( 4 ) 3 4 ( 7 + + · = ÷ · ÷ + · x x x b) ) 1 3 ( 15 1 ) 1 ( 14 18 + · ÷ ÷ = ÷ · + x x x 3º. Resolver las ecuaciones: a) 2 5 4 2 15 = ÷ x x b) 2 5 2 2 2 3 5 + = ÷ ÷ x x x c) 4 4 4 5 2 13 5 + + ÷ = ÷ x x x d) 6 3 1 2 1 6 15 ÷ = ÷ ÷ + ÷ x x x e) 2 4 3 6 1 3 5 = ÷ + ÷ ÷ x x x f) 4 2 11 5 7 2 ÷ = + + ÷ x x 4º. Reslover las ecuaciones: a) 3 1 9 2 16 6 2 1 + ÷ = ÷ + x x x b) 3 13 3 3 21 2 7 3 + ÷ = + ÷ x x x c) 6 ) 2 5 ( 3 ) 2 ( 2 4 3 12 3 7 x x x ÷ · + ÷ · = + ÷ d) 13 7 2 5 3 1 2 + = + ÷ ÷ x x x 5º. ¿Qué número sumado con 15 da 29?. 6º. La suma de dos números impares consecutivos es 32. Hallar dichos números. 7º. ¿Qué número multiplicadp por 3, y sumando luego 7 al producto, da 19?. 8º. Hallar tres números consecutivos, tales que su suma sea 36. 9º. Hallar tres números pares consecutivos, cuya suma sea 66. 10º. Juan tiene 4 años más que su hermana, y hace 6 años él tenía doble edad que la que entonces tenía su hermana. ¿Cuántos años tiene actualmente cada uno?. 11º. Después de andar2.400 metros me queda todavía por recorrer 1/3 del trayecto que he de hacer: ¿Cuánto mide éste?. 12º. Debes repartir 2.830 pesetas entre dos personas, de modo que una reciba 750 pesetas más que la otra, ¿cómo debes hacerlo?. 3º ESO – Básico TEMA: ECUACIONES ( 1º grado ) IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 33 - 1º. Resolver las ecuaciones: a) 123 41 7 21 ÷ = ÷ x x b) ) 1 2 ( 4 ) 20 ( 5 ÷ · = ÷ · x x c) 6 ) 2 ( 3 ) 1 ( 2 + = ÷ · ÷ + · x x x d) x x x ÷ = ÷ · ÷ ÷ · 6 ) 4 ( 7 ) 3 ( 4 e) ) 7 16 ( 3 ) 4 ( 3 ) 2 ( 9 x x x ÷ · = ÷ · ÷ ÷ · f) 0 ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ x x x 2º. Resolver las siguientes ecuaciones: a) 9 2 3 2 15 ÷ = + x x b) 3 3 5 8 2 5 ÷ + ÷ = ÷ x x c) 7 5 2 3 4 = ÷ ÷ x d) 1 3 2 1 7 = ÷ ÷ x x e) 15 6 5 4 3 2 = ÷ + x x x f) 4 3 20 3 6 5 3 2 5 3 x x x ÷ = ÷ + g) 5 1 5 2 3 3 2 4 x x x ÷ = ÷ ÷ ÷ h) 2 1 5 3 2 10 9 3 4 1 ÷ ÷ = ÷ + + x x x 3º. Resolver las ecuaciones: a) 6 9 4 1 13 4 1 8 17 3 x x x x ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ b) 6 1 2 3 5 27 4 2 18 3 2 ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ x x x 4º. Resolver las ecuaciones: a) 3 1 5 2 = + x b) 3 5 16 3 = ÷ x x c) 3 4 19 9 = ÷ + x x 5º. Escribe con una incógnita los siguientes enunciados: a) Tres números consecutivos b) Tres números pares consecutivos c) Tres números impares consecutivos d) La suma de dos números pares consecutivos es 62 e) Un número más su quinta parte es 12 6º. Un padre tiene 29 años y su hija 3. Calcular cuántos años han de transcurrir para que la edad del padre sea el triple de la edad de la hija. 7º. Tres niños tienen en total 90 pesetas. Calcular cuánto tiene cada uno, sabiendo que uno de ellos tiene 5 ptas más que el otro, y éste doble que el tercero. 8º. De una cuba llena de vino se saca la mitad del contenido y después un tercio del resto, quedando en ella 200 litros. Calcular la capacidad de la cuba. 9º. Un pilar de un puente tiene bajo tierra 2/7 de su longitud, 2/5 del resto sumergido en agua, y la parte emergente mide 6 metros: Hallar la longitud del pilar. 10º. Un deportista sale de su casa en bicicleta a las 7 de la mañana. Al llegar a un cierto lugar, se le estropea la bicicleta y ha de volver andando. Calcular a qué distancia de su casa se le estropeó la bicicleta, sabiendo que las velocidades que consigue son de 30 km/h en bicicleta y 6 km/h andando, y que regresó a su casa a la 1 de la tarde. 3º ESO – Normal TEMA: ECUACIONES ( 1 er grado) IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 34 - 1º. Resolver las ecuaciones siguientes: a) 1 2 10 1 3 6 3 10 ÷ = ÷ ÷ + x x x b) 6 9 4 1 13 4 1 8 17 3 x x x x + ÷ ÷ = ÷ ÷ + c) 10 3 5 ) 3 ( 4 4 ) 2 ( 3 3 ) 1 ( 2 ÷ ÷ · = ÷ · ÷ ÷ · x x x d) 3 7 5 3 2 ) 6 ( 4 3 5 ÷ ÷ = ÷ · ÷ x x x e) 1 2 3 4 = ÷ x f) 1 5 1 2 4 = + ÷ x x 2º. ¿Qué número hay que añadir a los dos términos de la fracción: 59 41 para que resulte una fracción equivalente a 10 7 ?. 3º. Tres hermanos tienen respectivamente: 7, 9 y 12 años y su padre 36 años. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será igual a la suma de las edades de los tres hijos?. 4º. Cada vez que un jugador gana una partida recibe 7 pesetas y cada vez que la pierde paga 3. Al cabo de 15 partidas ha ganado 55 pesetas. ¿Cuántas veces ganó ?. 5º. Juan tiene 18 años más que José y hace tres años tenía el doble. Calcular las edades de cada uno. 6º. En un taller hay 49 máquinas, entre tornos, taladros y fresadoras. Sabiendo que el número de tornos es doble que el de fresadoras, y el de éstas doble que el de taladros, ¿cuántas máquinas hay de cada tipo?. 7º. A una finca de regadío se le asignan mensualmente 24 horas de riego, distribuidas entre los tres productores que la cultivan, proporcionalmente al terreno que tiene cada uno a su cargo. El productor A tiene 1,4 Ha, el B tiene 1Ha y 60 áreas, y el C tiene 180 áreas. Calcular las horas de riego que corresponden a cada uno. 8º. En una carrera se destinan 58.700 pesetas a premios, que se reparten inversamente proporcional al tiempo invertido. Los tiempos de los tres primeros son 26 minutos, 28 minutos y 30 minutos. Calcular lo que le corresponde a cada uno. 9º. A 30 km de la frontera se comete un atraco. Los ladrones huyen a una velocidad de 90 km/h. Cuatro minutos más tarde sale la policía en su persecución a una velocidad de 120 km/h. ¿Conseguirá alcanzar a los ladrones antes de llegar a la frontera?. 10º. Un reloj marca las 5 en punto. ¿A qué hora entre las 5 y las 6 se superponen ambas agujas?. 11º. En una central quesera se mezclan dos tipos de leche: una de 85 pesetas el litro y otra de 95 pesetas, de modo que la mezcla les sale a 92 pesetas el litro. ¿Cuántos litros de cada clase necesitan para obtener 350 litros de la mezcla?. 12º. Con una manguera se llena un depósito en 4 horas y con otra en 12 horas. Calcula el tiempo que se tardaría en llenar el depósito con las dos mangueras juntas. 13º. Un electricista realiza un trabajo en 4 horas, otro hace el mismo trabajo en 6 horas y un tercero en 12 horas. ¿En cuánto tiempo lo harían trabajando los tres juntos?. 3º ESO – Avanzado TEMA: ECUACIONES ( 1 er grado ) IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 35 - Ecuaciones de 2º grado 1º. Resolver las ecuaciones de 2º grado: a) 0 6 5 2 = + ÷ x x b) 0 3 4 2 = + ÷ x x c) 0 12 7 2 = + ÷ x x d) 0 10 3 2 = ÷ + x x e) 0 5 6 2 = + + x x f) 0 18 7 2 = ÷ ÷ x x g) 0 1 2 2 = + ÷ x x h) 0 9 6 2 = + ÷ x x i) 0 1 2 = + + x x 2º. Ordenar y resolver las ecuaciones: a) x x 9 14 2 = + b) x x 5 6 2 + ÷ = c) 2 3 7 4 x x + ÷ = 3º. Resolver las ecuaciones de 2º grado incompletas: a) 0 9 2 = ÷ x b) 49 2 = x c) 0 1 2 = ÷ x d) 0 75 3 2 = ÷ x 4º. Resolver las ecuaciones de 2º grado incompletas: a) 0 2 = ÷ x x b) 0 5 2 = + x x c) 0 9 2 = + ÷ x x d) 0 25 5 2 = ÷ x x 5º. Resolver las siguientes ecuaciones: a) 1 24 2 = ÷ x b) 1 47 3 2 = ÷ x c) 8 4 1 2 ÷ = ÷ x d) 2 2 2 16 3 x x = ÷ 6º. Resolver las ecuaciones: a) 0 ) 2 ( ) 1 ( = ÷ · ÷ x x b) 0 ) 11 ( ) 5 8 = + · ÷ x x c) 0 ) 3 ( = ÷ · x x d) 0 ) 6 2 ( = · + x x e) 0 ) 3 7 ( ) 5 2 ( = ÷ · ÷ x x f) 0 ) 4 ( 2 = ÷ x 7º. Resolver las siguientes ecuaciones: a) 20 ) 1 ( = ÷ · x x b) 24 ) 2 ( = ÷ · x x c) 21 ) 6 ( ) 2 ( = ÷ · ÷ x x 8º. Dada la ecuación de 2º grado: 0 6 5 2 = + + x x , comprobar si alguno de los siguientes valores son solución de la ecuación: 1 , 3 , 0 , 2 ÷ ÷ 3º ESO – Básico TEMA: ECUACIONES ( 2º grado ) IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 36 - 1º. Resolver las ecuaciones de 2º grado: a) 0 20 3 2 2 = ÷ ÷ x x b) 0 6 5 2 = + ÷ x x c) 0 18 7 2 = + ÷ x x d) 0 12 8 2 = + + x x e) 0 14 9 2 = + ÷ x x f) 0 18 7 2 = ÷ + x x g) 0 7 4 3 2 = ÷ ÷ x x h) 0 4 8 4 2 = + + x x i) 0 5 8 3 2 = + ÷ x x 2º. Simplificar y resolver las ecuaciones de 2º grado: a) 0 18 3 3 2 = + + x x b) 0 28 21 7 2 = ÷ + x x c) 0 10 15 5 2 = + ÷ x x d) 0 2 6 4 2 = + ÷ x x e) 0 30 21 3 2 = ÷ + ÷ x x f) 0 12 8 2 = ÷ + ÷ x x 3º. Resolver las ecuaciones de 2º grado incompletas: a) 0 9 2 = ÷ x b) 0 16 4 2 = ÷ x c) 0 128 2 2 = ÷ x d) 0 15 5 2 = + x e) 0 2 = ÷ x x f) 0 16 8 2 = + x x 4º. Resolver las ecuaciones: a) 0 ) 6 ( ) 2 ( = + · ÷ x x b) 0 ) 7 ( = ÷ · x x c) 142 9 2 2 ÷ = ÷ x d) x x 4 1 3 = ÷ e) 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 + = ÷ · x x f) x x ÷ = 9 20 g) 738 10 ) 3 ( ) 1 ( 9 = + + · ÷ · x x x x h) x x x x x 40 ) 5 ( ) 3 6 ( ) 3 ( ) 2 ( 3 ÷ + · + = + · + · 5º. Escribir una ecuación de 2º grado que tenga como soluciones: a) 5 , 3 ÷ b) 2 1 , 4 c) 3 , 1 ÷ ÷ 6º. Hallar dos números sabiendo que su suma y su producto son las cantidades siguientes: a) 12 ; 7 = = P S b) 9 2 ; 3 1 ÷ = = P S c) 0 ; 4 = = P S 7º. Sin resolver las ecuaciones siguientes, estudiando el signo del discriminante: ac b 4 2 ÷ = A , indicar cuántas soluciones reales tiene cada una: a) 0 6 6 2 = ÷ + x x b) 0 5 2 2 = ÷ x c) 0 1 10 25 2 = + ÷ x x 8º. Hallar dos números consecutivos cuyo producto sea 1.482 9º. El producto de un número aumentado en 3 unidades por el mismo número disminuido en 4 unidades es 98. Hallar dicho número 10º. Uno de los lados de un rectángulo mide 6 cm más que el otro. ¿Cuáles serán sus dimensiones si sabemos que el área es 91 cm 2 ?. 11º. Un depósito de agua tiene forma de ortoedro cuya altura es 10 m y su capacidad 4.000 m 3 . Hallar el lado de la base, sabiendo que es cuadrada. 3º ESO – Normal TEMA: ECUACIONES (2º grado) IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 37 - 1º. Resolver las siguientes ecuaciones: a) 8 ) 7 ( = + · x x b) 0 ) 1 2 ( 4 4 2 = + · + x x c) 0 27 6 5 = ÷ ÷ x x s d) 0 24 10 2 = ÷ ÷ x x e) 0 1 10 25 2 = + ÷ x x f) 0 9 3 2 = ÷ ÷ x x 2º. Resolver las ecuaciones: a) x x 4 1 3 = ÷ b) 123 3 5 2 ) 1 ( 3 = + ÷ · x x x c) x x ÷ = 9 20 d) x x x 2 4 3 1 5 ) 2 ( 2 2 ÷ = ÷ ÷ · e) x x x ÷ ÷ = + + 2 1 5 3 4 2 2 f) 0 5 3 2 ) 7 10 ( = + · ÷ x x 3º. Resolver las ecuaciones: a) 36 7 ) 60 ( 2 5 ) 11 ( 3 2 2 = ÷ · ÷ ÷ · x x b) x x x 1 ) 2 ( 3 ) 1 ( 2 = ÷ · + ÷ · 4º. Resolver las ecuaciones: a) 1 2 12 1 + = ÷ x x b) 9 28 4 32 ÷ ÷ = ÷ x x c) 0 ) 42 8 ( ) 4 3 ( = + · ÷ x x 5º. Escribir una ecuación de 2º grado cuyas soluciones sean: a) 3 1 ; 2 1 ÷ b) 2 1 (solución doble) c) 3 2 ; 3 2 ÷ + 6º. Calcular dos números sabiendo que su suma es 17 y su producto 72 7º. ¿Qué condición ha de cumplir una ecuación de 2º grado para que una de sus raíces sea 0?. Escribir un ejemplo que aclare la respuesta 8º. Determinar m en la ecuación: 0 4 2 = + ÷ mx x , de modo que las dos raíces sean iguales. 9º. En la ecuación: 0 15 2 = + + bx x , una solución es 5. ¿Cuánto vale b?. ¿Cuál es la otra solución?. 10º. Traducir a ecuaciones con una incógnita los enunciados siguientes: a) La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 221 b) La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 41 c) El producto de dos números pares consecutivos es 2.024 d) Un número y su cuadrado suman 30 e) El producto de un número por su tercera parte es 27 11º. Hallar dos números consecutivos cuyo producto es 380. 12º. Calcular dos números enteros y positivos sabiendo que su diferencia es 1 y que la suma de sus cuadrados es 85. 3º ESO – Avanzado TEMA: ECUACIONES ( 2º grado ) IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 38 - Inecuaciones. 1º. Representar en la recta numérica los números siguientes : 2, -3, 0, 1, 4, -4, -1, 5 2º. Poner en el recuadro el símbolo ( > ó < ) que convenga en cada caso: 2 5 3 -5 1/3 1/2 -2 -5 a) Sumar 2 a cada miembro de cada desigualdad en todos los ejemplos, ¿cambia el sentido de la desigualdad?. ¿Y si le sumas otra cantidad? b) Multiplicar las desigualdades anteriores por 3. ¿Cambian las desigualdades? c) Multiplicar las desigualdades por –1, ¿qué ocurre con ellas?. ¿Y si multiplicamos por –2? 3º. ¿Cuántos números hay mayores que 5?. ¿Cómo expresarías cualquier número mayor que 5?. ¿Cómo indicarías en la recta numérica los números mayores que 5?. 4º. ¿Cuántos números hay cuyo doble es mayor que 10?. ¿Cómo expresarías cualquier número cuyo doble es mayor que 10?, Represéntalos todos en la recta numérica. 5º. ¿Cuántos números hay menores que 8?. Represéntalos todos en la recta numérica. 6º. Representar en una recta los números que cumplen las condiciones siguientes: a) 0 > x b) 1 ÷ < x c) 5 3 < < x d) 2 2 s s ÷ x e) · < x f) 5 2 1 < < x 7º. Resolver las inecuaciones siguientes, representando las soluciones de cada una en una recta numérica: a) 1 2 4 3 ÷ > ÷ x x b) 1 2 4 3 ÷ > ÷ x x c) x x + < ÷ 2 1 2 d) 3 5 3 5 ÷ s + x x e) 7 2 2 3 + > + ÷ x x f) 1 3 2 + < ÷ x x g) 0 4 3 > ÷ x h) 2 2 4 4 + < ÷ x x i) ) 3 2 ( 2 ) 1 ( 3 ÷ · ÷ > + · x x j) 4 2 1 2 3 x x + > ÷ k) ) 1 ( 2 3 ) 1 ( 2 1 + · ÷ s ÷ · x x 3º ESO – Básico TEMA: INECUACIONES IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 39 - 1º. Poner en el recuadro el símbolo ( > o < ) que convenga en cada caso: 2 5 3 -5 1/3 1/2 -2 -5 a) Sumar 2 a cada miembro de cada desigualdad en todos los ejemplos, ¿cambia el sentido de la desigualdad?. ¿Y si le sumas otra cantidad? b) Multiplicar las desigualdades anteriores por 3. ¿Cambian las desigualdades? c) Multiplicar las desigualdades por –1, ¿qué ocurre con ellas?. ¿Y si multiplicamos por –2? 2º. ¿Cuál de los siguientes números: -3, 0, 2, 5, y 7 son del conjunto solución de la inecuación: 8 4 > + x ?. 3º. Resolver las inecuaciones: a) > + ÷ 4 2x 8 b) 3 8 5 ÷ > ÷ x 4º. Resolver las inecuaciones: a) 10 3 8 4 2 3 ÷ + > ÷ + x x x b) 11 6 4 + s ÷ x x 5º. Encontrar, por tanteos, 3 números que sean solución de cada una de las inecuaciones : a) 6 3 4 ÷ ÷ > + x x b) 2 5 4 ) 3 ( 2 ÷ > + · x x c) 3 5 3 2 3 s + < ÷ x 6º. Resolver las siguientes inecuaciones: a) 2 4 2 3 x x x + > ÷ b) 5 3 6 3 2 ÷ > + ÷ x x x x c) 4 1 3 2 2 1 2 ÷ > ÷ ÷ + x x x d) 0 4 1 2 5 > + ÷ x x e) 2 1 5 3 ÷ s + x x f) 6 1 3 5 4 + > ÷ x x g) 4 5 3 2 1 s ÷ x h) 10 6 2 4 3 5 2 ÷ > ÷ ÷ ÷ x x x i) 3 2 4 6 3 1 5 2 1 + ÷ > + ÷ + x x x x j) 2 2 2 2 1 2 x x x + > + ÷ k) 3 6 5 1 3 2 ÷ > ÷ ÷ ÷ x x x l) x x ÷ > | . | \ | ÷ · 2 4 5 4 3º ESO – Normal TEMA: INECUACIONES IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 40 - 1º. Resolver las siguientes inecuaciones y representar gráficamente las soluciones: a) 2 7 1 2 ÷ < + + x x x b) 10 1 2 5 2 4 5 s ÷ ÷ x c) 43 10 5 2 2 s | . | \ | + + ÷ x x x d) 4 7 2 8 5 2 ÷ < ÷ x x e) 3 2 20 4 1 3 x x ÷ > ÷ f) 35 2 25 9 15 21 13 7 5 x x x ÷ < + ÷ 2º. Resolver las siguientes inecuaciones: a) 3 1 2 7 ÷ < + < ÷ x b) 7 4 3 5 3 5 + s ÷ s + x x x c) ( ) 400 100 400 2 2 s ÷ ÷ · s x x (Resolver primero la inecuación formada por el 1º y 2º miembro y después la formada por el 2º y 3º ) 3º. Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones lineales: a) 0 4 0 1 > + > ÷ x x b) 10 2 0 1 + < > ÷ x x x c) 3 2 1 1 3 5 2 > + ÷ ÷ > + x x x x 4º. Traducir al lenguaje algebraico: a) El cuádruple de un número más diez unidades, es menor que 20. b) El número de alumnos de mi clase es menor que 30 c) Si mi dinero aumentara el doble y además me tocaran 2.000 ptas. en las quinielas, tendría por lo menos 3.000 ptas. 5º. Julio compró un reproductor de CD por 39.000 ptas., si la ganancia del vendedor se situa entre el 30 % y el 50 % del precio de coste, ¿entre qué valores oscila dicho precio? 6º. Resolver: 2 < ÷ ÷ + b b x a b x siendo a y b números reales positivos y a > b 7º. Resolver las inecuaciones : a) ( ) ( ) 0 4 1 < + · ÷ x x b) ( ) 0 3 > ÷ · x x c) ( ) ( ) 0 4 3 > + · ÷ x x 8º. Resolver la inecuaciones de 2º grado siguientes, interpretando geométricamente el resultado: a) 0 6 7 2 > + ÷ x x b) 0 10 2 2 < + + x x c) 0 3 5 2 2 < ÷ ÷ x x d) 0 4 5 2 > + ÷ x x e) 0 4 5 2 > + ÷ x x f) x x 12 35 2 < + 9º. ¿Cuáles de los siguientes valores de x : -2, 0, 3, 5, son del conjunto solución de la inecuación: 0 6 2 1 3 < + ÷ x x 10º. Resolver las siguientes inecuaciones racionales: a) 0 4 3 > + ÷ x x b) 0 6 3 4 2 < ÷ + x x c) 0 5 2 > + ÷ x x d) 3 3 2 1 3 < + ÷ x x 11º. Resolver: a) ( ) ( ) 0 7 3 2 2 > + · + x x b) ( ) ( ) 0 2 1 < ÷ · + · x x x c) ( ) ( ) ( ) 0 6 2 3 < ÷ · ÷ · + x x x 12º. Resolver: a) 2 12 2 2 x x s + b) 2 4 3 5 s ÷ + x x c) 0 2 3 2 > ÷ x x 3º/4º ESO – Avanzado TEMA: INECUACIONES IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 41 - Sistemas de ecuaciones. 1º.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando todos los métodos que conozcas. Selecciona el método más sencillo: a) ) ` ¹ = ÷ = ÷ 0 4 1 2 3 y x y x b) ) ` ¹ = + ÷ = + 3 1 5 2 y x y x c) ) ` ¹ = + = + 11 3 1 4 y x y x 2º.- Resuelve por reducción los siguientes sistemas: a) ) ` ¹ ÷ = ÷ ÷ = ÷ 2 2 5 2 3 y x y x b) ) ` ¹ = ÷ = + 0 2 5 2 y x y x c) ) ` ¹ ÷ = + = ÷ 16 7 5 13 4 y x y x d) ) ` ¹ ÷ = ÷ = + 16 2 5 7 3 y x y x e) ) ` ¹ = ÷ = ÷ 0 4 1 2 3 y x y x f) ) ` ¹ = + = ÷ 8 5 3 1 3 4 y x y x g) ) ` ¹ = + = ÷ 16 4 3 1 7 2 y x y x h) ) ` ¹ ÷ = ÷ ÷ = ÷ 11 2 7 12 5 2 y x y x i) ) ` ¹ ÷ = + = ÷ 30 4 5 20 3 2 y x y x 3º.- ¿Cómo expresarías en lenguaje algebraico (con una o dos incógnitas) las siguientes expresiones: a) El triple de una cantidad. b) La tercera parte de una cantidad. c) El doble de un número menos cuatro. d) Dos pantalones y tres camisetas me han costado 6.500 pesetas. e) Antonio tiene el doble de años que su hermano Luis. 4º.- María compra dos Kg de manzanas y tres Kg de peras por un importe de 650 pesetas. Ana, su vecina, compra 4 Kg de manzanas y un Kg de peras que le cuestan 550 pesetas. ¿ A cómo vale el Kg de peras y el de manzanas?. 5º.- Halla dos números sabiendo que suman 45 y que su diferencia es 15. 6º.- Un hotel tiene habitaciones dobles y sencillas. Si tiene en total 100 habitaciones y 174 camas, ¿cuántas habitaciones tiene de cada tipo?. 7º.- Un librero vende 84 libros a dos precios distintos: unos a 4.500 pesetas y otros a 3.600, obteniendo de la venta 310.500 pesetas. ¿Cuántos vendió de cada clase?. 8º.- En un corral, entre cerdos y patos se cuentan 19 cabezas y 60 patas. ¿Cuántos animales hay de cada clase?. 9º.- Juan y Antonio llevan entre los dos 225 pesetas. Si sabemos que Juan tiene el doble que Antonio, ¿cuánto dinero lleva cada uno?. 10.- Resuelve los siguientes sistemas, eliminando previamente denominadores: a) ¦ ¦ ) ¦ ¦ ` ¹ ÷ = ÷ = + 2 4 3 7 5 3 y x y x b) ¦ ) ¦ ` ¹ = + = + 12 2 3 4 2 y x y x c) ¦ ¦ ) ¦ ¦ ` ¹ = ÷ = + 3 2 3 5 5 4 3 3 2 y x y x 3º ESO – Básico TEMA: Sistemas de ecuaciones lineales con 2 incógnitas IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 42 - 1º.- Resuelve los siguientes sistemas aplicando, cuando convenga, dos veces reducción: a) ) ` ¹ = ÷ = + 7 3 8 27 5 6 y x y x b) ) ` ¹ = ÷ = + 6 5 4 8 2 3 y x y x c) ) ` ¹ = ÷ = + 10 6 4 8 2 5 y x y x 2º.- Completa los siguientes sistemas para que tengan como solución: x = -2, y = 2 a) ) ` ¹ = + ÷ = ÷ ... 2 3 ... 3 5 y x y x b) ¦ ¦ ) ¦ ¦ ` ¹ = + = ÷ ... 4 2 ... 6 2 3 y x y x 3º.- Comprueba si los siguientes sistemas tienen la siguiente solución: x = 4, y = 3 2 a) ) ` ¹ = + = ÷ 8 6 6 3 2 y x y x b) ) ` ¹ = ÷ = + 0 12 2 4 2 y x y x 4º.- Resuelve los siguientes sistemas por el método más adecuado: a) ) ` ¹ = ÷ ÷ + = + 10 3 ) ( 5 5 2 2 y x y x y x b) ¦ ¦ ) ¦ ¦ ` ¹ ÷ = ÷ = + 1 4 3 7 5 3 y x y x c) ¦ ¦ ) ¦ ¦ ` ¹ = ÷ ÷ + = ÷ ÷ + 3 4 2 3 2 3 3 2 y x y x y x y x 5º.- En el aula de 3º A hay doble número de alumnos que en el aula de 3º C. Además se sabe que si se pasan 8 alumnos de 3º A a 3º C, ambas aulas tendrán el mismo número de alumnos. ¿ Cuántos alumnos hay en cada una de estas dos aulas ?. 6º.- En un parking había 39 vehículos, entre coches y motos, a los que conté un total de 126 ruedas. ¿Cuántos vehículos eran de cada clase?. 7º.- Un empresario quiere distribuir una gratificación entre sus empleados. Se da cuenta de que si da a cada uno 12.000 ptas., le sobran 96.000 ptas., y si les da a cada uno 20.000 ptas., le faltan 16.000 ptas. ¿ Cuántos empleados tiene?. ¿Cuánto dinero da a cada uno de ellos?. 8º.- Por la mezcla de 8 Kg. de café natural con 2 Kg. de torrefacto, se ha pagado 1.324 ptas. Calcula el precio del Kg. de café natural y del Kg. de torrefacto, sabiendo que si se mezclase 1 Kg. de cada clase costaría la mezcla 182 ptas. 9º.- Entre dos individuos pesan 179 Kg., y las tres cuartas partes del peso de uno de ellos exceden en 3 Kg. al peso del otro. ¿ Cuánto pesa cada individuo ?. 10.- Las tres cuartas parte del contenido de un barril mas 7 litros, es vino, y la tercera parte del contenido, menos 20 litros es agua. ¿ Qué cantidad contiene el barril de cada uno de estos líquidos?. 11.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: ¦ ¦ ) ¦ ¦ ` ¹ = + + ÷ + = ÷ ÷ ÷ 3 11 1 4 3 7 4 3 5 8 4 3 2 y x y y x 3º ESO – Normal TEMA: Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos incógnitas. IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 43 - 1º.- Estudia la compatibilidad de los siguientes sistemas y represéntalos gráficamente con dos rectas: a) ) ` ¹ = + = + 2 4 3 2 y x y x b) ) ` ¹ = + = + 2 6 y x y x c) ) ` ¹ = + = + 2 4 2 2 y x y x d) ) ` ¹ ÷ = ÷ = + 2 2 8 8 3 y x y x e) ) ` ¹ = + ÷ = ÷ 12 6 7 8 4 3 y x y x f) ) ` ¹ = ÷ ÷ + = + 10 3 ) ( 5 5 2 y x y x y x 2º.- Estudia, según los valores de a, la compatibilidad de los siguientes sistemas: a) ) ` ¹ = + = ÷ 7 4 4 4 ay x y x b) ) ` ¹ = + = + a y x y x 2 4 4 2 c) ) ` ¹ = ÷ = + 1 5 y x ay x 3º.- Piensa tres sistemas de ecuaciones tales que el primero tenga como única solución (-2,2), el segundo sea incompatible y el tercero tenga infinitas soluciones siendo una de ellas (1,1). 4º.- Resuelve los siguientes sistemas y especifica su compatibilidad: a) ¦ ¦ ) ¦ ¦ ` ¹ = + ÷ = ÷ 3 17 3 1 3 2 3 2 3 2 y x y x b) ¦ ) ¦ ` ¹ = ÷ ÷ + = ÷ ÷ + 6 ) 1 ( 2 1 3 2 1 4 1 y x y x 5º.- En un triángulo isósceles de 14 cm de perímetro, el lado desigual es tres veces menor que el otro lado. ¿Cuánto mide cada lado?. 6º.- En el recreo, los alumnos de dos aulas se pasan de una a otra. Si pasan 4 de la primera a la segunda, hay en ésta un alumno más que en la primera. Pero si pasan 4 de la segunda a la primera serán doble en la primera que en la segunda. ¿Cuántos alumnos tiene cada clase?. 7º.- En una tienda de anticuario hay 12 candelabros de dos y tres brazos. Si para utilizarlos se necesitan 31 velas, ¿cuántos candelabros hay de cada tipo?. 8º.- Cada 8 horas un trabajador produce 10 mesas de tipo A y 9 mesas de tipo B. En 10 horas produce 8 mesas de tipo A y 18 mesas de tipo B. Determinar el tiempo que tarda en producir cada tipo de mesa. 9º.- Con dos clases de café de 900 pesetas y 1200 pesetas el Kilo se quiere obtener una mezcla de 1000 pta/kg. Hallar la cantidad que hay que mezclar de cada clase para obtener 30 Kg de mezcla. 10º.- Un vino tiene un 9% de alcohol y otro tiene un 12%. ¿En qué proporción hay que mezclarlos para que la mezcla tenga un 10% de alcohol?. 11º.- Resuelve el siguiente sistema de tres incógnitas: ¦ ) ¦ ` ¹ = + = + = + 9 8 7 z y z x y x 3º-4º ESO – Avanzado TEMA: Sistemas de Ecuaciones Lineales IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 44 - GEOMETRÍA Y MEDIDA. Temas: Resolución de triángulos. Figuras geométricas. Cálculo de Áreas y Volúmenes. IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 45 - Resolución de triángulos 1º.- Con regla y compás dibuja: a) Un triángulo cuyos lados miden 6, 8 y 19 cm. b) Un triángulo equilátero sabiendo que mide de lado 6 cm. c) Un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?. 2º.- En el triángulo isósceles de la figura, determina los ángulos que faltan: 20º 3º.- En el triángulo rectángulo de la figura, calcula: a) El lado que falta. b) El área. 3 m 4 m 4º.- Calcula la diagonal del siguiente cuadrado: 5 cm 5º.- Calcula la altura y el área del triángulo de la figura: 9 cm 9 cm 8 cm 6º.- Calcula el perímetro de un triángulo rectángulo, sabiendo que su hipotenusa mide 8 m y que tiene de base 3 m con 8 cm. 7º.- Una escalera de un electricista mide 4 m. Si sabemos que está apoyada sobre la pared, quedando su pié a 80 cm de separación de la misma, ¿qué altura alcanza sobre dicha pared?. Haz el dibujo. 8º.- Determina el perímetro y el área de un rectángulo, sabiendo que tiene de diagonal 5 m y que uno de sus lados mide 3 m. 9º.- Determina el perímetro de un cuadrado, cuya diagonal mide 8 m. 3º ESO – Básico TEMA: Resolución de Triángulos IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 46 - 7 1º.- Calcula la superficie y el perímetro de la finca de la figura, en la que hemos tomado las medidas que se detallan: 300 m 400 m 900 m 2º.- Calcula el área del triángulo de la figura: 6 m h 4 m x 2 m 3º.- En un triángulo isósceles, la base mide 4 cm y el perímetro mide 14 cm. Calcula su área. 4º.- Calcula los metros de alambrada que necesitamos para vallar un solar que tiene las siguientes dimensiones. Calcula su área: 4 m 2 m 4 m 5º.- Una finca tiene forma triangular, siendo dos de sus lados aproximadamente iguales, con una medida de 500 m cada uno ( mas o menos ). Sabiendo que su perímetro mide 1600 m, calcula su superficie expresada en Has. Nota: Una Ha = 10.000 m 2 6º.- Calcula el perímetro y el área del siguiente solar: 7 m 10 m 6 m 10º.- Calcula el área de un triángulo equilátero, que mide de lado 6 cm. 3º ESO - Normal TEMA: Resolución de Triángulos IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 47 - 7 1º.- Calcula la superficie de la finca de la figura, según los datos que se detallan: 40 m 20 m 36 m 2º.- Calcula el área del triángulo de la figura, aplicando sólo el Teorema de Pitágoras: 20 m h 15 m x 25 m 3º.- Resuelve el problema anterior aplicando la Fórmula de Herón. 4º.- Una habitación tiene de perímetro 28 m y de área 48 m 2 . Calcula sus dimensiones y su diagonal. 5º.- Una finca tiene forma triangular, siendo dos de sus lados de 300 m y 700 m, respectivamente. Sabiendo que su perímetro mide 1600 m, calcula su superficie expresada en Has. Nota: Una Ha = 10.000 m 2 6º.- Un solar tiene de diagonal 26 m con 25 cm, y el perímetro mide 68 m. Calcula su superficie. 7º.- Un triángulo isósceles tiene 160 cm de perímetro y la altura sobre el lado desigual mide 40 cm. Calcula los lados y el área. 8º.- Una habitación tiene de perímetro 30 m. Si sabemos que tiene 1 m más de largo que de ancho, calcula lo que tiene de diagonal y de área. 9º.- Calcula el área del siguiente solar, en la que se han tomado las siguientes medidas: 4 0 m 60 m 25 m 50m 35 m 45 m 10º.- Calcula las dimensiones de un rectángulo sabiendo que tiene de área 80 cm 2 y que la diferencia entre largo y ancho es de 2 cm. 3º ESO - Avanzado TEMA: Resolución de Triángulos IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 48 - Figuras geométricas 1º. Dibuja un rombo cuyo lado mide 4 cm y uno de sus ángulos mide 50º. Traza sus diagonales y calcula su área. 2º. Contesta “verdadero” o “falso”, según corresponda: a) Cada diagonal de un paralelogramo divide al mismo en dos triángulos iguales: ........... b) Las diagonales de un rectángulo son perpendiculares:.................. c) El rombo tiene dos ejes de simetría que son las diagonales: ............... d) Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio: ............. 3º. Un aseo rectangular tiene 12 m de perímetro y sabemos que uno de sus lados mide 4m. Dibuja el plano del aseo a escala 1 : 100. Expresa su área. 4º. Dibuja un rombo, a escala 1 : 10, sabiendo que tiene 160 cm de perímetro y uno de sus ángulos mide 45º. ¿ Cuánto nos cuesta la tela que necesitamos para hacer este rombo, si nos dicen que vale a 800 pesetas el m2 ?. 5º. Con regla y compás dibuja un triángulo de lados 9,12 y 18 cm respectivamente. Calcula las longitudes de otro triángulo semejante al anterior, más pequeño, sabiendo que la razón de semejanza es 1/3. Dibuja también el triángulo pequeño. 6º. Un pino proyecta una sombra de 7.5 m, a una determinada hora del día. Calcula su altura si a esa misma hora, otro pino joven de 90 cm de altura proyecta una sombra de 60 cm. 7º. Determina el área de los siguientes triángulos ( aplica el Teorema de Pitágoras ): 4 cm 5 cm 6 cm 4 cm 8º. Escribe el nombre de los siguientes polígonos (indica cuáles son paralelogramos): 9º. Calcula la superficie y el volumen de la siguiente figura. Indica su nombre: 2 m 80 cm 6 m 10º. Un frigorífico tiene forma de paralelepípedo y mide 1,70 m de alto por 55 cm de largo y 60 cm de ancho. Calcula el área de chapa que encierra al frigorífico y su volumen en litros. 11º. Calcula la superficie de la siguiente figura: 2 m 3º ESO – Básico TEMA: Figuras geométricas IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 49 - Cálculo de áreas y volúmenes 1º. Dibuja las siguientes figuras usando regla, compás y transportador de ángulos si fuera necesario: a) Un pentágono regular que tenga de lado 3 cm. b) Un hexágono regular que tenga de lado 2.5 cm (no necesitas transportador). 2º. Calcula el área del pentágono y del hexágono que has dibujado en el ejercicio anterior. 3º. Calcula el perímetro y el área de la siguiente figura (trapecio): 10 cm 5 cm 5 cm 4º. Calcula el área de una plaza circular, sabiendo que tiene de diámetro 20 m con 80 cm. 5º. Con regla y compás dibuja un sector circular dado por un ángulo de 60º, tomando un radio de 4 cm. Calcula la longitud del arco del sector dibujado y el área del mismo. 6º. Calcula el área de la siguiente corona circular de radios 4 y 6 cm respectivamente: 7º. Un jardín se ha diseñado para que tenga la forma de un semicírculo. Calcula los metros que necesitamos para vallarlo, si se ha trazado con un radio de 7 m con 8 cm. 8º. Calcula el área de la siguiente figura, sabiendo que los radios miden 2 m y 4 m respectivamente. Calcula el perímetro. 9º. Un taller va a realizar un depósito cilíndrico que va a tener 4 m de diámetro y 5 m de alto. Calcula los m 2 de chapa que necesita el taller para hacer este depósito. 10º. Calcula el volumen de agua que puede almacenar el depósito del ejercicio anterior. Expresa el resultado en litros ( 1litro = 1 dm 3 ). 11º. En una obra se tiene que llenar completamente de hormigón una zanja que tiene de largo 4 m, de ancho 89 cm y de profundidad 1 m con 40 cm. Calcula los m 3 de hormigón que necesitamos. 12º. Una lata de refresco tiene de diámetro 6,5 cm y de altura 10 cm, aproximadamente. Calcula su volumen en cl. (centilitros). Si la lata nos cuesta 75 pesetas, cuánto nos costaría un litro de ese refresco. 3º ESO – Normal TEMA: Cálculo de Áreas y Volúmenes. 4cm IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 50 - 1º. Calcula la superficie y el volumen de la siguiente figura ( prisma ): 3 cm 2 cm 6 cm 3 cm 2º. Determina lo que miden todas las diagonales de un ortoedro que tiene las siguientes dimensiones: largo 4cm, ancho 3 cm y alto 2 cm: 3º. Con regla y compás dibuja un octógono regular que tenga de lado 4 cm y de radio 5 cm. Calcula su área. 4º. Calcula el área y el perímetro de un rombo que tiene de diagonal mayor 8 cm y de diagonal menor 6 cm. Dibújalo. 5º. ¿Cuántos azulejos cuadrados de 10 cm de lado se necesitan para recubrir una piscina de 2 m de profundidad, 50 m de largo y 25 m de ancho?. Calcula el precio total de los azulejos si nos ponen a 1.200 pesetas el m 2 . 6º. Calcula la superficie de un tetraedro regular (formado por cuatro triángulos equiláteros) que tiene de arista 10 cm. 7º. Dibuja una pirámide de base cuadrada, sabiendo que la base tiene de arista 5 cm y que la arista lateral mide 7 cm. Calcula sucesivamente: a) Área de la base. b) Área de las caras laterales. c) Área de toda la pirámide. d) Volumen de la pirámide. 8º. Dibuja un cono recto cuyo radio de la base es 5 cm y la altura mide 12 cm, calcula: a) El área de la base. b) El área lateral. c) El área o superficie de todo el cono. d) El volumen del cono. 9º. Determina el volumen de una pieza cilíndrica hueca que tiene un diámetro exterior de 8 cm, un diámetro interior de 4 cm y una altura de 10 cm. Haz el dibujo de la pieza. 10º. Un dm 3 de plomo pesa 11,3 Kg. ¿Cuánto pesa un cono de plomo de 5 cm de altura y 3 cm de radio de la base?. 11º. Un auditorio tiene forma cilíndrica y está culminado por una bóveda semiesférica. Sabemos que el diámetro de la base mide 25 m y que la altura total son 20 m. Calcula la superficie total y el volumen del auditorio. 3º ESO –Avanzado TEMA: Cálculo de áreas y volúmenes IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 51 - FUNCIONES Y GRÁFICOS. Temas: Funciones. IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 52 - Funciones 1º. La gráfica adjunta expresa la evolución del número de nacimientos en España: a) ¿Qué variables estamos relacionando? b) ¿Qué unidades de medida estamos utilizando para cada variable? c) ¿En qué año se ha producido el mayor número de nacimientos? 2º. En una U.V.I. hay un aparato que registra continuamente la temperatura de un enfermo. La gráfica de la figura corresponde a un periodo de 24 horas. a) ¿Hubo algún descenso de temperatura durante la madrugada?. ¿Entre qué horas?. b) ¿A qué hora la temperatura del enfermo fue de 37 º C ¿ c) En un momento dado el paciente sufrió un paro cardiaco con brusco descenso de temperatura. ¿A qué hora se inició?. ¿Cuándo comenzó a recuperarse? d) Aparte del problema cardiaco, ¿tuvo el enfermo algún otro momento de peligro?. 3º. En la guia del usuario de un modelo de automóvil se advierte que el consumo de gasolina es función de la velocidad, según se refleja en la gráfica: a) ¿Es más rentable conducir a 25 km / h que a 100 km / h ?. b) ¿A qué velocidad debe conducir un ahorrador nato?. c) ¿A qué velocidades se consume menos de 7 litros 4º. En las instrucciones de un medicamento se establece que la dosis del mismo, expresada en miligramos, está en función del peso del paciente, según se indica en la gráfica: a) ¿Qué dosis hay que administrar a una persona de 75 kg? b) ¿Es este medicamento peligroso para los obesos? c) ¿Cuál es la dosis máxima que se puede administrar? d) ¿Cuál es el peso de una persona, si se le recomienda una dosis de 30 mg?. 5º. Un estudio muestra cómo crece un bebé antes de nacer, según el mes de gestación en que se encuentre su madre, de acuerdo con la siguiente tabla: Edad (meses) 2 3 4 5 6 7 8 9 Longitud (cm) 4 8 15 24 29 34 38 42 Representar gráficamente la función: edad – longitud 6º. Un rectángulo tiene de perímetro 40 metros. Expresar el área del rectángulo en función del lado x de la base. 7º. Se quiere abrir un pozo de forma cilíndrica de 2 m de diámetro. Expresar el volumen de agua que cabe en él, en función de la profundidad x. 3º ESO – Básico TEMA: FUNCIONES IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 53 - 8º. Un kilo de patatas vale 55 pesetas. Escribir y representar gráficamente la función que define el coste de las patatas en función de los kilos comprados. 9º. Un grifo llena una probeta dejando caer cada minuto 5 cm 3 de agua. Formar una tabla de valores de la función: tiempo – volumen de agua. Representarla gráficamente y hallar su fórmula matemática. 10º. Si bebes mucha cerveza el alcohol en sangre aumenta y es muy peligroso. Con el tiempo se va reduciendo. En la tabla se muestran los datos medidos después de haberse bebido un individuo 3 jarras de cerveza: Tiempo (horas) 1 2 3 4 5 6 7 Alcohol en sangre (mg / 100 ml) 90 75 60 45 30 15 0 Hacer una gráfica a partir de la tabla 11º. La cuota de abono mensual de un teléfono es de 1.200 pesetas, y cada paso cuesta 5 pesetas. Hallar la fórmula de la función : coste – pasos y representarla gráficamente. 12º. La facturación mensual de la luz, cuando la potencia contratada es de 5,5 kW, es de 1.458 pesetas, y además por cada kilovatio-hora consumido hay que abonar 18 pesetas. Encontrar la ecuación de la función: coste – kilovatios-hora y representarla gráficamente. ¿Cuál será el importe del recibo correspondiente a un mes en el que se consumieron 1.125 kW-h? 13º. Al nivel del mar, el agua hierve a 100 ºC (punto de ebullición). Cuando se asciende a una montaña el punto de ebullición cambia, en función de la altura, con arreglo a la siguiente fórmula: h t 001 , 0 100 ÷ = donde: t es la temperatura de ebullición en ºC h es la altura alcanzada a) ¿Cuál es el punto de ebullición del agua a 1.500 metros de altitud?. b) ¿Cuál es el punto de ebullición en la cima del monte Everest? ( h = 8.848 metros ) c) Representar la gráfica de dicha función. 14º. Cuando un espeleólogo desciende hacia el interior de la tierra, la temperatura aumenta con arreglo a la siguiente fórmula: d t 01 , 0 15+ = t = temperatura alcanzada, en ºC d = profundidad, en metros a) ¿Qué temperatura se alcanza a los 100 metros de profundidad?. b) ¿Cuántos metros hay que descender para alcanzar una temperatura de 100 ºC? c) Representar gráficamente la función. 15º. La tarifa de los taxis en una ciudad es de 200 pesetas la bajada de bandera y 50 pesetas por kilómetro recorrido. a) Hacer una tabla que exprese el precio del viaje según los kilómetros que hagamos. b) Hallar la función que relaciona los kilómetros recorridos y el precio del viaje. c) Representar dicha función. 16º. Rafa y Alicia son compañeros de clase y quedan un día para salir. Rafa sale de su casa y recoge a Alicia, que tarda un poco en bajar. Después dan un paseo y se sientan en una cafetería a tomar un refresco. Al regreso se acercan a casa de unos compañeros a recoger unos apuntes y allí se entretienen un tiempo. Después regresan a casa. La gráfica del paseo viene aquí representada: a) ¿Cuánto dista la casa de Alicia de la de Rafa?. b) ¿Cuánto tiempo esperó Rafa a que bajara Alicia?. c) ¿Cuánto tiempo estuvieron paseando?. d) ¿A qué distancia está la cafetería de la casa de Alicia?. ¿Y de la casa de sus amigos?. 3º ESO – Básico TEMA: FUNCIONES IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 54 - 1º. Hallar las imágenes de –1, 0 y 2 en las siguientes funciones: a) x y = b) 3 2 + = x y c) 2 x y = d) 3 2 ÷ = x y e) 1 2 2 ÷ + = x x y f) 1 5 ÷ = x y 2º. Los puntos: (0,0), (1,2), (2,5), (-1,-1) y (-2,.1) , ¿pertenecen a las gráficas de alguna de las funciones siguientes?: a) x y 2 = b) 1 2 + = x y c) x y = d) 6 5 2 + ÷ = x x y e ) 3 2 + = x y 3º. Representar gráficamente las funciones lineales: a) 7 3 ÷ = x y ; b) 2 3 + ÷ = x y ; c) 2 3 1 + = x y ; d) 1 2 ÷ = x y 4º. Hallar la s ecuaciones de las rectas siguientes: a) tiene pendiente –1 y ordenada en el origen 4 b) tiene pendiente 3 y pasa por el punto (4,-5) c) pasa por el punto P (-3,4) y es paralela a la recta de ecuación: 5 2 + ÷ = x y 5º. Dada la función: x y 2 = , formar una tabla de valores y representarla gráficamente. 6º. El producto de dos números es 14. Formar una tabla de valores, escribir la función y representarla. 7º. Si t es la talla de un hombre, en cm, se ha establecido que su “peso teórico” p, en kg, viene dado por la fórmula: 4 150 100 ÷ ÷ ÷ = t t p a) Calcular el “peso teórico” de un hombre que mide 1,65 m y de otro que mida 1,78 m. b) Calcular el “peso teórico” de un jugador de baloncesto de 2,10 m 8º. En una frutería el precio del kilo de uva es 140 ptas. ¿Cuánto costarán 2 kg?. ¿Y 5 kg?. Establecer una fórmula que relacione ambas magnitudes. ¿Cuántos kg de uva se pueden comprar con 500 ptas? Representar gráficamente dicha relación. 9º. La tarifa de un aparcamiento viene dada por la siguiente tabla: Horas Precio 1ª hora 2ª, 3ª y 4ª horas 5ª, 6ª y 7ª horas siguientes horas 100 ptas 80 ptas / hora 120 ptas / hora 200 ptas / hora Calcular cuánto deberán abonar dos personas que han tenido el coche aparcado los siguientes tiempos: 4h y 55 min., y 9 h. 10º. Acabamos de comprar un coche que ha costado 3.500.000 ptas. Sabemos, por una revista de automoción, que se deprecia a un ritmo del 20 % anual. a) Hacer una tabla que exprese el precio del coche durante los 10 primeros años. b) Representar esta situación en un gráfico. c) Encontrar una fórmula que permita hallar el precio del coche en función de los años transcurridos- 11º. La gráfica muestra la altura, en metros, del vuelo de un águila en función del tiempo: a) A los 15 segundos, el águila ¿asciende o desciende? b) ¿En qué instantes alcanza la máxima y la mínima alturas? c) ¿En qué instantes se encuentra el águila a 60 metros? d) ¿Se posa el águila en tierra en algún instante? 3º ESO – Normal TEMA: FUNCIONES IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 55 - 1º. Hallar, analítica y gráficamente, el punto donde se cortan las funciones: 9 + ÷ = x y y 3 4 20 + = x y 2º. El sueldo mensual de un vendedor es 70.000 ptas. más una comisión del 20 % de sus ventas mensuales. Escribir la fórmula que expresa el sueldo como función de las ventas. 3º. Cierta ciudad tenía 180.000 habitantes en 1990 y 210.000 en 2000. Suponiendo que la población aumenta como una función: b at t P + = ) ( ( t = tiempo, en años ), Escribir dicha función. ¿Cuántos habitantes habría en 2005?. ¿Cuándo se alcanzarán los 250.000 habitantes?. 4º. Construir una tabla de valores y la gráfica de la función: 3 4 ) ( 2 + ÷ = x x x f . Localizar los máximos y mínimos, si existen. 5º. Representar gráficamente la función: 3 2 2 + + ÷ = x x y 6º. Dibujar las gráficas de las funciones: a) 2 2 ÷ = x y b) x x y 4 2 2 + ÷ = c) 1 4 2 + + = x x y 7º. Un ganadero desea cercar en un prado una porción rectangular de terreno, y dispone para ello de 80 metros de valla de alambre. Se pide: a) Expresar matemáticamente la función que relaciona el área del rectángulo (A) y el lado de la base (x) y representarla gráficamente. b) ¿Qué área tendrá el terreno cercado si el lado x mide 8,5 metros?. c) Si el área es A = 351 m 2 , ¿cuál será la longitud del lado x?. d) ¿Para qué valor de x el área será máxima?. 8º. Expresar el perímetro y el área de un triángulo equilátero en función de su altura. 9º. Una empresa eléctrica cobra a sus usuarios de la siguiente forma: un mínimo fijo de 300 pesetas y cada uno de los primeros 200 kWh a 8 ptas/kWh; entre los 200 y 500 kWh a 4 ptas/kWh y a partir de ahí hasta los 1.000 a 2 ptas/kWh . No puede consumir más de 1.000 kWh, porque obligaría a tener un contrato de otro tipo. Escribir la fórmula de la función y representarla gráficamente. 10º. Hallar los puntos de intersección de la gráfica: 3 8 3 2 ÷ ÷ = x x y con los ejes coordenados. ¿Para qué valores de x es positiva y?. ¿Pasa la gráfica por el punto (2, -7)?. 11º. Determinar los puntos donde se cortan las gráficas: 1 3 ) ( + = x x f y 3 4 ) ( 2 + + ÷ = x x x g . ¿Para qué valores de x es ) ( ) ( x g x f > ?. 12º. Determinar el valor que hay que dar a la constante c en la función: c x x y + ÷ = 2 2 para que su gráfica contenga al punto (-1, -2). 13º. Hallar el valor de las constantes b y c para que la gráfica de la función: c bx x y + + ÷ = 2 pase por los puntos (0, 3) y (2, 6). 14º. La longitud de la circunferencia (L) y el área del círculo (A), se expresan en función del radio (r). ¿Qué tipo de funciones son?. Dibujar las gráficas sobre un mismo sistema de ejes cartesianos. ¿Para qué valor del radio coinciden la longitud y el área?. 3º /4ºESO – Avanzado TEMA: FUNCIONES IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 56 - ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. Temas: Estadística. Probabilidad. IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 57 - Estadística 1º. Indica dos variables estadísticas que proporcionen valores numéricos para la población de libros de una biblioteca. 2º. Indica dos variables estadísticas que proporcionen valores numéricos para la población de coches de una ciudad. 3º. Se desea estudiar la característica “estatura” de la población de una ciudad. a) ¿Sería válida una muestra constituida sólo por varones? b) ¿Sería válida una muestra constituida sólo por personas menores de 5 años? c) ¿Sería elegirías la muestra? 4º. Inventa una población, una muestra y una característica que proporcione una variable estadística con los valores 2, 2, 4, 5, 3, 1, 1, 3. 5º. Realiza la tabla correspondiente a las siguientes notas de una clase de matemáticas : 6, 4, 6, 7, 5, 2, 7, 6, 5, 2, 6, 1, 5, 8, 7, 6, 4, 9, 5, 5, 5, 1, 6, 9, 8, 4. 6º. Los resultados en el salto de altura de un conjunto de atletas han sido: 2,20 2,21 2,21 2,23 2,24 2,25 2,25 2,26 2,27 2,27 2,28 2,28 2,28 2,21 2,30 Agrupa estos resultados en intervalos de amplitud 2 cm e indica la marca de clase. 7º. Diagrama de barras de la variable estadística {5, 5, 5, 4, 4, 6, 6, 3, 7}. 8º. Dibuja el histograma de frecuencia de la variable estadística, agrupada en clases con sus respectivas frecuencias: Clases [20,30[ [30,40[ [40,50[ [50,60] Frecuencias 2 4 5 3 9º. Diagrama de sectores de la variables estadística {1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3} 10º. Realiza el diagrama de barras y polígono de frecuencias de: 6, 4, 6, 7, 5, 2, 7, 6, 5, 2, 6, 1, 5, 8, 7, 6, 4, 9, 5, 5, 5, 1, 6, 9, 8, 4. Si las notas las agrupamos en intervalos 0-2, 2-4, 4-6, 6-8, 8-10 realiza el histograma y polígono de frecuencias correspondiente. 11º. Hallar la moda de los valores {1, 1, 1, 2, 2, 3} 12º. Halla la clase modal de la distribución: Clases 40-50 50-60 60-70 70-80 f 4 5 6 3 13º. Halla la moda de {10, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 14} 3º ESO – Básico TEMA: Estadística IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 58 - 14º. Calcular la mediana de {1, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8} 15º. Halla la mediana de {4, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9} 16º. Halla la moda y mediana del conjunto de datos {3, 6, 1, 3, 1, 1, 5, 4, 3, 4, 1} 17º. Calcula la moda y mediana de los datos de la tabla: X 0 1 2 3 4 f 5 6 8 4 4 18º. Calcula la media y mediana de los siguientes datos: 6, 4, 6, 7, 5, 2, 7, 6, 5, 2, 6, 1, 5, 8, 7, 6, 4, 9, 5, 5, 5, 1, 6, 9, 8, 4. 19º. Hallar la media aritmética de los datos {4, 4, 5, 6, 6, 6, 7} 20º. Calcula la media de {3, 6, 1, 3, 1, 1, 5, 4, 3, 4, 1} 21º. Calcula la media de los siguientes datos agrupados: clases 0-2 2-4 4-6 f 3 8 4 22º. Determinar el rango del conjunto de datos {1, 1, 2, 3, 5} 23º. Calcula la desviación típica de {2, 2, 4, 6, 6} 24º. Calcula el rango y la desviación típica de los valores 1, 2, 3, 3, 1, 4, 2, 3 25º. En tres exámenes de matemáticas, un alumno A ha obtenido las siguientes notas: 4, 6 y 8. En esos mismos exámenes, otro alumno B obtiene 2, 10 y 6 ¿Cuáles son las respectivas medias y desviaciones típicas? 26º. Un alumno ha obtenido las siguientes calificaciones en matemáticas: 5, 8, 7, 8, 7, 8, 5, 7, 8, 7 Obtener: a) Tabla de frecuencias absolutas, frecuencias acumuladas y frecuencias relativas en % b) Diagrama de barras y polígono de frecuencias absolutas. c) Diagrama de sectores. d) Media, mediana y moda. e) Varianza y desviación típica. 27º. Las edades de un grupo de 20 alumnos de 3º ESO son: 14,15,14,15,15,16,15,16,14,16,15,15,16,14,15,15,15,16,15,14 a) Construir una tabla de frecuencias absolutas, frecuencias acumuladas, frecuencias relativas y frecuencias acumuladas relativas. Estas últimas en forma de porcentaje. b) Diagrama de barras y polígono de frecuencias absolutas y acumuladas. c) Diagrama de sectores d) Medidas centrales (media, mediana y moda) e) Medidad de dispersión ( varianza y desviación típica ) 3º ESO – Básico TEMA: Estadística IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 59 - 1º. Los goles que se han marcado en la última jornada de 1ª división han sido en los siguientes minutos de juego: 31, 32, 70, 5, 80, 24, 72, 43, 50, 17, 81, 79, 40, 83, 69, 56, 61, 46, 90, 23, 84, 43, 67, 3, 51, 31, 59, 78, 14, 66, 45, 29. Realiza la tabla correspondiente agrupándolos en clases por cuartos de hora. 2º. Los pesos en Kg de un grupo de personas son 62, 76, 57, 74, 68, 83, 61, 87, 71, 81, 68, 77, 62, 74, 62, 74, 68, 68, 74, 66, 73, 84, 54, 72, 78, 69, 88, 63, 76, 59, 71, 66. Realiza una tabla agrupándolos por pesos de 5 en 5 Kg, desde 60 a 90 kg. 3º. El número de hijos en una serie de familias es el siguiente: con 0 hijos, 9; con 1 hijo, 18; con 2 hijos 34; con 3 hijos, 19; con 4 ó más, 20. Realiza la tabla correspondiente a estos datos. Suponiendo que estos datos fueran una muestra representativa de 8500 familias, ¿cuántas tendrían 2 hijos?, ¿cuántas 3 hijos?, ¿cuántas menos de 2 hijos? 4º. Realiza el histograma y el polígono de frecuencias de frecuencias de los datos del ejercicio 1 5º. Realiza el histograma correspondiente a la tabla de datos del ejercicio 2. 6º. Realiza el diagrama de sectores correspondiente a la tabla de datos del ejercicio 3 7º. Calcula la moda y la mediana para los datos de los saltos de altura: 2,20 2,21 2,21 2,23 2,24 2,25 2,25 2,26 2,27 2,27 2,28 2,28 2,28 2,21 2,30 8º. Calcula la moda y mediana para los datos del ejercicio 1. 9º. Calcula la moda y mediana para los datos del ejercicio 3 10º. En un examen, 10 alumnos han sacado un 10, y otros 10 alumnos un 0 ¿Cuál es la media del examen? ¿Representa esa media lo que ha ocurrido de forma adecuada? 11º. Calcula la media para los datos 6, 4, 6, 7, 5, 2, 7, 6, 5, 2, 6, 1, 5, 8, 7, 6, 4, 9, 5, 5, 5, 1, 6, 9, 8, 4. 12º. Calcular la media para los datos de los saltos de altura: 2,20 2,21 2,21 2,23 2,24 2,25 2,25 2,26 2,27 2,27 2,28 2,28 2,28 2,21 2,30 13º. Calcular la media para los datos del ejercicio 1. 14º. Calcular la media para los datos del ejercicio 2. 15º. Halla el rango y la desviación típica para los datos del ejercicio 11. 16º. Halla el rango y la desviación típica para los datos del ejercicio 12. 17º. Halla el rango y la desviación típica para los datos del ejercicio 1. 18º. Halla el rango y la desviación típica para los datos del ejercicio 2. 3º ESO – Normal TEMA: Estadística IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 60 - Probabilidad 1º. De los siguientes experimentos, ¿cuáles son aleatorios? a) Medir la superficie de una habitación b) Extraer una carta de una baraja c) Extraer una bola de la lotería d) Pinchar un globo 2º. Sea el experimento aleatorio “tirar un dado y mirar el resultado” a) Hallar el espacio muestral b) Detallar todos sucesos elementales c) Determinar los sucesos compuestos “sacar menor que 3” y “sacar par” d) Escribir al menos dos sucesos seguros e) Escribir dos sucesos imposibles. f) Decir si son o no incompatibles los sucesos A = {1, 3, 5} y B = {2, 4, 6} g) Escribir el suceso contrario de A = {2, 5} 3º. En el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda y mirar el resultado, escribir: a) El espacio muestral b) Todos los sucesos que pueden darse c) Los sucesos elementales d) El suceso seguro e) El suceso contrario a “sacar cara” 4º. En una clase hay 15 chicos y 17 chicas. Se elige al azar uno para que haga provisionalmente de delegado. ¿Qué es más probable, que salga chico o chica? 5º. Hallar la probabilidad de que, al lanzar un dado: a) Salga par. b) Salga un número mayor que 4. c) Salga un número primo. 6º. En el experimento “sacar una carta de una baraja española de 40 cartas”, halla la probabilidad de : a) Sacar un basto b) Sacar un rey c) Sacar el as de oros 7º. Calcula la probabilidad de sacar un oro al extraer una carta de la baraja española ¿Cuál sería la probabilidad de sacar una carta que no sea oros? 8º. En un cajón hay 5 manzanas, 3 naranjas y 6 melocotones. Se saca una fruta al azar. Hallar la probabilidad de: a) Sea una manzana b) Sea una naranja c) Sea un melocotón d) Sea una ciruela 9º. En una caja hay 100 piezas de las que 7 son defectuosas. Si cogemos una pieza al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea buena? 3º ESO – Básico TEMA: Probabilidad IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 61 - 1º. Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda dos veces y mirar el resultado. Escribe: a) El espacio muestral b) Todos los sucesos que pueden darse c) Los sucesos elementales d) El suceso “sacar al menos una cara” e) El suceso contrario a “sacar dos caras” f) Un suceso incompatible con este último 2º. Sea un experimento aleatorio consistente en lanzar un dado dos veces y sumar los puntos obtenidos en cada tirada. Escribe: a) El espacio muestral b) ¿Cuántos resultados distintos pueden obtenerse? c) Escribe el suceso “sacar suma igual a 7” d) ¿Son incompatibles los sucesos “sacar más de siete” y “sacar dos números pares” 3º. Se lanza una moneda dos veces ¿Cuál es la probabilidad de obtener la misma cara en ambos lanzamientos? ¿Y la de sacar al menos una cara? 4º. Se lanza un dado dos veces ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de las dos tiradas sea 7? ¿Y de que sea 8? 5º. Tenemos en una bolsa 7 bolas iguales numeradas del 1 al 7. Halla a) El espacio muestral b) El suceso “obtener par” y su probabilidad c) El suceso “obtener impar” y su probabilidad 6º. Se lanzan al aire 4 monedas ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos 3 caras? 7º. Con las cifras 1, 2, 3 y sin repetir ninguna, se forman todos los números posibles de tres cifras. a) Halla el espacio muestral b) Calcula la probabilidad de que al elegir aleatoriamente uno de los números formados sea par 8º. La probabilidad de que me sepa una pregunta en un examen es 1/3. Si en el examen ponen 3 preguntas a elegir una, ¿qué probabilidad tengo de aprobar. 9º. Se realiza el experimento aleatorio “sacar una ficha del dominó y sumar sus puntos” a) Escribe el espacio muestral b) ¿Qué fichas corresponden al suceso elemental 4? c) ¿Existe el suceso elemental 0? ¿Qué fichas le corresponden? d) ¿Existe el suceso elemental 11? ¿Qué fichas le corresponden? 3º ESO – Normal TEMA: Probabilidad IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 62 - 1º. De una baraja española se coge una carta ¿Cuál es el espacio muestral? Considerando los sucesos A = {sacar espadas} y B = {sacar figura}, escribe: a) El suceso contrario de A b) El suceso contrario de B c) ¿Cuántos resultados favorables hay para que se verifique A? d) ¿Cuántos para que se verifique B? e) ¿Son A y B incompatibles? 2º. En una bolsa hay dos bolas blancas y dos bolas negras. Consideramos el experimento aleatorio consistente en sacar una bola, ver su color, volver a meter la bola en la bolsay repetir el proceso. a) ¿Cuál es el espacio muestral b) ¿Cuántos resultados diferentes pueden darse? c) Si A es el suceso “sacar al menos una bola negra” c1) ¿Cuántos casos favorables hay en la realización de este suceso? c2) Escribe un suceso incompatible con él. 3º. Se lanzan al aire dos dados y se suman las puntuaciones. a) ¿Qué suma es la que tiene mayor probabilidad? b) ¿Qué suma es la que tiene menor probabilidad? 4º. Sacamos una carta de una baraja española. Consideramos los siguientes sucesos: A = {sacar espadas} B = {sacar figura} C = {sacar as}. Halla las probabilidades de los siguientes sucesos: A, B, C, A U B, A U C, B U C, A · C, B · C y A U B U C 5º. Una urna contiene 5 bolas rojas, 4 amarillas y 3 verdes. Se extrae una al azar. Calcula la probabilidad de que : a) Sea roja o amarilla b) No sea amarilla c) Sea amarilla o verde 6º. En un cajón hay tres pares de calcetines sueltos, y cada par de un color distinto. Halla la probabilidad de que al sacar dos calcetines aleatoriamente sean del mismo color. 7º. Se extrae una carta de una baraja española de 40 cartas. Halla la probabilidad: a) De obtener figura o espadas b) De obtener figura y espadas 8º. Iván y Rocío juegan con dos dados. Gana Iván si la suma de los puntos es menor que 7; en otro caso gana Rocío ¿Quién tiene mayor probabilidad de ganar? Lanzamos un dado ¿Cuál es la probabilidad de sacar al menos un 5? 3º ESO – Avanzado TEMA: Probabilidad IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 63 - TRIGONOMETRÍA. Temas: Trigonometría. IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 64 - 1º. Expresa en grados los siguientes ángulos: 0 5 4 4 295 ' ' ' o ´, 8 3 5 1 20 0 ' ' ' , 3 2 168 ' ' o , 0 3 0 3 30 ' ' ' o 2º. Expresa en grados, minutos y segundos los siguientes ángulos: ó 36 0 12 ' , 0 05 5' , o 23 2 3 ' , o 94 2 36 ' , o 87 0 1 ' 3º. Dibuja un ángulo con las siguientes características: - Ángulo menor de o 45 - Ángulo suplementario del anterior. - Ángulo complementario del primero. - Ángulo menor que un ángulo recto. - Ángulo menor que un ángulo llano. 4º. Dados los siguientes ángulos: 6 3 5 2 36 ' ' ' = o A , 1 4 8 5 58 ' ' ' = o B y 2 2 0 5 50 ' ' ' = o C , calcular: B A+ , C B÷ , C B A + ÷ , A 5 , B 2 ÷ , 3 C , 5 2B 5º. Indica si son verdaderas o falsas cada una de las afirmaciones siguientes, comprobándolo en un reloj: - a las 3h 15m las agujas del reloj coinciden. - A las 6 en punto, las agujas del reloj forman un ángulo de o 180 . - A las 8h 45m las agujas del reloj coinciden. - A las 9h. Las agujas del reloj forman un ángulo de o 90 6º. Contesta cierto o falso: - cuanto más grande es el ángulo, mayor es su seno. - Cuanto más grande es un ángulo, mayor es su coseno. - El seno de un ángulo es siempre mayor que uno. - El seno de un ángulo nunca es mayor que uno. - El coseno de un ángulo es siempre un ángulo menor que –1. - El seno y el coseno de un ángulo verifican: 1 1 s s ÷ o sen 1 cos 1 s s ÷ o - Cualquier número real puede ser la tangente de o . 7º. Al crecer un ángulo de o 0 a o 90 , ¿crece también el seno del ángulo? 8º. Al crecer un ángulo de o 0 a o 90 , ¿crece también el coseno del ángulo? 9º. Al crecer un ángulo de o 0 a o 90 , ¿crece también la tangente del ángulo? 4º ESO – Básico TEMA: Trigonometría IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 65 - 1º. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos siguientes: . 315 , 225 , 135 , 45 , 270 , 180 , 90 , 0 o o o o o o o o 2º. Un triángulo tiene por lados 6cm, 8cm y 10 cm. Halla las razones trigonométricas del ángulo menor. 3º. Un triángulo tiene por lados 3cm, 4cm y 5cm. Halla las razones trigonométricas del ángulo mediano. 4º. Calcula la hipotenusa de un triángulo de catetos 5 cm y 12 cm. ¿Cuánto valen las razones trigonométricas de los ángulos agudos? 5º. Calcula las siguientes razones trigonométricas utilizando la calculadora: 5 4 6 3 15 ' ' ' o sen , 8 5 6 5 42 cos ' ' ' o , 7 4 5 2 15 ' ' ' o tg (Recuerda que la calculadora ha de estar trabajando en modo DEG). 6º. Encuentra el ángulo solución de cada una de las igualdades utilizando la calculadora: , 8 . 0 = senx 658 . 0 cos = x , 7 . 1 = tgx , 2 1 = senx , 5 3 = tgx 7º. De un queso hemos partido tres raciones de 3 30 ' o y dos de o 20 . ¿Cuánto medirá el ángulo del queso restante?. 8º. Reduce al primer cuadrante los siguientes ángulos: o o o 2748 , 1524 , 915 9º. Desde las doce en punto hasta la una en punto, ¿qué ángulos ha recorrido cada una de las agujas de un reloj?. Recuerda que son ángulos negativos. 10º. Desde las doce, la aguja que marca las horas ha recorrido un ángulo de o 210 ÷ . ¿Qué hora es?. ¿Cuántas vueltas ha dado el minutero?. 11º. ¿A qué hora entre las cinco y las seis coinciden las agujas de un reloj?. ¿A qué hora entre las seis y las siete las agujas del reloj forman un ángulo de o 90 ?. 12º. Sabiendo que 85 . 0 sen = o y que el ángulo se encuentra en el segundo cuadrante, calcular o cos y . tgo 13º. Sabiendo que 4 3 cos ÷ = o y que 270 180  o o , calcular el valor de o sen y o tg . 14º. Sabiendo que 65 ´ 2 tg ÷ = o y que 180 90  o o , calcular el valor de o sen y o cos . 15º. Sabiendo que 2 2 cos = o y que este ángulo está situado en el cuarto cuadrante, obtener el valor de o sen y o tg . 16º. La construcción de la Torre de Pisa concluyó en el año 1284. En esa fecha, la parte más alta de la torre ya se separaba 90 cm de la vertical. Actualmente, la separación es de casi 5m y la altura desde el suelo es de 55´22 m. Halla el ángulo que forma la torre con la vertical. 17º. Desde un barco se ve el punto más alto de un acantilado con un ángulo de o 70 . Sabiendo que la altura del acantilado es de 200 m., calcular la distancia a la que se encuentra el barco del pie del acantilado. 4º ESO –Normal TEMA: Trigonometría IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 66 - 18º. Calcula la altura de una torre de pisos cuya sombra mide 14 m. Cuando los rayos del sol forman un ángulo de o 50 con el suelo. 19º. Para el lanzamiento de un penalti, Roberto Carlos (o Figo, si lo prefieres) tiene el balón a 10´8 m de la portería, y la altura de ésta es de 2´4 m. ¿Cuál es el máximo ángulo de elevación que puede llevar la pelota para que pueda pasar por debajo del travesaño si el disparo se hace en línea recta perpendicular a la portería?. 20º. Una escalera mide125 cm de longitud. Cuando está totalmente abierta, la distancia del pie de la escalera con el de su soporte es de 82 cm.. ¿A qué altura del suelo está la cúspide de la escalera?. ¿Qué ángulo forma la escalera con su soporte cuando está totalmente abierta?. 21º. Una carretera rectilínea indica que su pendiente es del 12%. Calcula el valor aproximado del ángulo que forma dicha pendiente con la horizontal. 22º. En un tramo de carretera, la inclinación de la misma es del 12%. ¿Cuánto sube la carretera en 120 m medidos sobre la propia carretera?. 23º. Calcula la pendiente de una carretera que sube 275 m en una longitud de 3 Km. 24º. Calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 23 y 12 cm. 25º. Una escalera que se encuentra apoyada en la pared es tal que su pie dista 2´5 m. de la misma. Encuentra la longitud de la escalera sabiendo que forma con el suelo un ángulo de o 72 . 26º. Calcula el perímetro de un jardín en forma de exágono regular, cuya apotema mide 32´m.. 27º. Desde un faro situado a 120 m. sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión de un barco es de o 35 . ¿A qué distancia está el faro del barco?. 28º. Cuando un avión se encuentra sobre Caravaca, el ángulo de depresión con el que se divisa una ciudad de la Comunidad Valenciana, distante de Caravaca 320 Km, es de o 65 . Calcular a qué altura está el avión del suelo. 29º. De un triángulo isósceles se conoce que su altura mide 35 m, y el ángulo opuesto a la base o 120 . Calcular el valor de sus lados, el de sus ángulos, su área u su perímetro. 30º. Desde una altura de 5000 m, Ángela, que pilota un avión, divisa las luces del aeropuerto donde debe aterrizar bajo un ángulo de depresión de o 45 . Calcula la distancia entre el avión y el foco emisor de la luz. 4º ESO – Normal TEMA: Trigonometría IES GINÉS PÉREZ CHIRINOS - Departamento de Matemáticas - Página - 67 - 1º. De un ángulo se conoce que está en el segundo o tercer cuadrante y que su seno vale –0´64. Calcula las otras razones trigonométricas indicando el signo que corresponde a cada una de ellas. De otro ángulo diferente al anterior sabemos que es algo mayor que tres circunferencias completas, que está en el tercer o cuarto cuadrante, y que su coseno es el valor inverso de –3. Calcula el valor de las restantes razones trigonométricas. ¿De qué ángulo se trata?. 2º. El coseno de un ángulo o es de – 0´70. ¿En qué cuadrante puede estar dicho ángulo?. Escribe seis ángulos positivos, no todos del mismo cuadrante, que tengan como valor de su coseno - 0´70. (Para ello debes hacer uso de tu calculadora científica. Escribe también otros seis ángulos negativos con la misma propiedad que los anteriores. Generaliza el resultado para obtener todos los ángulos cuyo coseno toma dicho valor. 3º. Un ángulo mide o 5643 , a) ¿En qué cuadrante está situado? b) Dibuja una circunferencia goniométrica y, sobre ella, las razones trigonométricas de este ángulo. c) ¿Cuál es el valor de cada una de ellas? 4º. Cuentan que Tales era capaz de medir la altura de un árbol con la ayuda de la sombra que él mismo proyectaba en los días soleados. ¿Qué hacía en los días nublados?. Muy sencillo, siempre llevaba un espejo para estos casos. Tales, que medía 1´65 m, dejaba un espejo a 5 m del pie del árbol y se desplazaba, horizontalmente, 2 m en dirección contraria al árbol hasta que en el espejo observaba la punta del árbol. Calcula el ángulo que la visual de Tales forma con la horizontal, así como la altura del árbol. 5º. Una estatua de 3 m de altura está situada sobre un pedestal cuya altura queremos calcular. Para ello nos situamos en un punto B y observamos el pedestal con un ángulo de o 37 . Como con este dato no es suficiente, nos acercamos 5 m y nos situamos en otro punto C desde el que observamos ahora todo el conjunto, estatua más pedestal, con un ángulo de o 53 . Calcula la altura del pedestal. 6º. Luisa tiene que elegir entre estos tres valores 3 12 ) a m , 3 4 ) b m y 3 12 ) c m el que representa el perímetro de la cometa que está volando. Dicha cometa tiene la forma de un triángulo equilátero y el único dato que conoce de la misma es que su altura es de 6 m. ¿Cuál crees que será la medida correcta?. 7º. Una antena de radio está colocada entre dos ciudades que distan entre sí 100 Km. Si desde las mismas se ve la parte superior de la antena bajo ángulos de o 30 y o 45 , respectivamente ¿Qué altura tiene la antena? ¿A qué distancia estará situada la antena de las dos ciudades? 8º. Para medir la altura de un cúmulo, como sabes un tipo de nube, se han hecho simultáneamente dos observaciones desde los puntos A y B, distantes entre sí 12 Km. La inclinación de la visual desde A es de o 43 . Los ángulos que las visuales desde A Y B forman con la recta AB son, respectivamente, o 35 y o 65 . Hallar la altura a la que se encuentra la nube. 9º. Desde la orilla de un río se ve un árbol en la otra orilla bajo un ángulo de o 37 , y si se retrocede 45 m se ve bajo un ángulo de o 17 . Calcula la altura del árbol. 10. El radio de una circunferencia es de 30 cm. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 40 cm. 11. En un triángulo no rectángulo se sabe que las medidas de dos lados son de 40 y 75 cm respectivamente y que el valor del ángulo opuesto al primer lado es de o 56 . Calcular el resto de los valores desconocidos de dicho triángulo. 4º ESO – Avanzado TEMA: Trigonometría