DivergenciaSe obtendrá ahora una relación exacta, que permitirá que el elemento de volumen ∆v tiende a cero. Escribiendo esta ecuación como. S Q = ( ∂∂Dxx + ∂∂Dyy + ∂∂Dzz )= ∮ s∆D∗d v ∆v O como el límite, S Q = lim ( ∂∂Dxx + ∂∂Dyy + ∂∂Dzz )= lim ∮ s∆D∗d v ∆v ∆ v→ 0 ∆ v →0 Donde el signo de aproximación ha sido reemplazado por el de igualdad. Evidente que el ultimo termino es la densidad de carga volumétrica ρ v, y de aquí que, S =ρ ( ∂∂Dxx + ∂∂Dyy + ∂∂Dzz )= lim ∮ s∆D∗d v ∆ v→ 0 v La ecuación no involucra densidad de carga, de manera que los métodos se pueden aplicar con cualquier vector A para encontrar ∮ s A∗d S sobre una pequeña superficie cerrada: ( ∂∂Axx + ∂∂Ayy + ∂∂Azz )= lim ∆ v →0 ∮s A∗d S ∆v Donde A se puede representar velocidad, gradiente de temperatura, fuerza o cualquier otro campo vectorial. Esta ecuación apareció tantas veces en las investigaciones físicas en el último siglo que recibió el nombre descriptivo de divergencia, la divergencia A se define como, Divergencia de A=¿ A= lim ∆ v →0 ∮s A∗d S ∆v Y se abrevia div A. la interpretación física de la divergencia de un vector se obtiene describiendo cuidadosamente las operaciones implicadas en el lado derecho, donde A deberá considerarse como miembro de la familia de vectores de densidades de flujo con el fin de a la interpretación física. La divergencia de un vector del tipo de densidad de flujo A es el límite de la cantidad de flujo por unidad de volumen que sale de una pequeña superficie cerrada cuando el volumen tiene a cero. El flujo de salida neto de agua en cualquier superficie cerrada que se encuentre enteramente dentro del agua debe ser cero. El agua es en esencia incompresible. y la cantidad de agua que entra y sale en diferentes regiones de la superficie cerrada debe ser la misma. ɸ) ) . La divergencia de una cantidad vectorial es positiva indica que la existencia de una fuente de cantidad vectorial de ese punto. En realidad solo es el resultado de aplicar la definición de la divergencia al elemento diferencial del volumen en coordenadas cartesianas. En caso de haber escogido el volumen diferencial ρ dρ dɸ dz en coordenadas cilíndricas o r2 sen θ dr dθ dɸ en coordenadas esféricas. Por ejemplo. z) ¿ D= ( 1 ∂ 1 ∂ Dɸ ∂ D z (ρ D ρ)+ + ρ ∂ρ ρ ∂ɸ ∂z Coordenadas esféricas (r. Sin embrago. y en términos de las derivadas parciales con respecto a las variables de ese sistema. considérese la divergencia de la velocidad del agua en una bañera después de que el desagüe ha sido abierto. ɸ. De aquí que la divergencia de velocidad sea cero. Si se expresa con el nuevo término se obtiene: ¿ D= ( ∂∂Axx + ∂∂Ayy + ∂∂Azz ) Nuevamente esta expresión tiene una forma que no involucra la densidad de carga. no existen fuentes o sumideros. z) ¿ D= ( ∂∂Dxx + ∂∂Dyy + ∂∂Dzz ) Coordenadas cilíndricas (ρ. Coordenadas rectangulares (cartesianas x.La interpretación física de la divergencia que proporciona esta afirmación es útil a menudo en la obtención de información cualitativa acerca a la divergencia de un campo vectorial sin recurrir a la investigación matemática. Del mismo modo. θ. Puesto que la divergencia de la velocidad del agua antes mencionada es cero. y. una divergencia negativa indica un sumidero. se habrían obtenido expresiones para la divergencia en términos de las componentes del vector en el sistema de coordenadas particular. el aire al expandirse produce una divergencia positiva de la velocidad y cada punto interior puede considerarse una fuente. 5 mm) . ya que ningún cargo en encerrado por una superficie cilíndrica cuyo radio se encuentra dentro de este rango.5 mm.5 mm. por lo que la integral que evalúa la carga encerrada ahora incluye toda la distribución de carga. b) En el caso 1 mm < ρ < 1.5mm en coordenadas cilíndricas.5 mm ) c) En el caso ρ> 1. el cilindro de Gauss se encuentra ahora en ρ radio fuera de la distribución de la carga. tenemos: ρ 2 πρ D ρ =2 π ∫ 2× 10−9 sen ( 2000 π ρ' ) ρ' d ρ ' 0. finalmente la obtención de: D ρ= 2 ×10−15 C /m2 πρ (ρ>1.¿ D= ( 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂ Dɸ + + 2 r ∂ r ( r 2 Dr ) r Sen θ ∂ θ ( Senθ Dθ ) r Sen θ ∂ ɸ ) Ejemplo: Sea ρv = 0 para ρ <1 mm. ρv = 2 sen(2 000πρ) nC/m3 para 1 mm <ρ< 1. cambiamos el límite superior de la integral de la parte b de ρ a 1.001 ¿ 4 π ×10−9 [ 1 ρ sen ( 2000 πρ )− cos(2000 πρ) 2 2000 π (2000 π ) ] ρ . Encontrar D en cualquier lugar. Para lograr esto. Dρ = 0.5 mm y ρv = 0 para ρ > 1. a) Para ρ <1 mm.001 Y finalmente 10−15 C 3 D ρ = 2 [ sin ( 2000 πρ ) +2 π [ 1−10 ρcos ( 2000 πρ ) ] ] 2 2π ρ m ( 1 mm< ρ<1.5 mm.