INSTITUTO TECNOLOGICO DE TOLUCA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICASPROBABILIDAD Y ESTADISTICA Compilador: M. en C. Yolanda Alvarado Pérez Page 1 Unidad 4: Distribuciones de probabilidad continuas 4.1 Definición de variable aleatoria continua Variable aleatoria continua: Cuando una variable aleatoria puede tomar valores en una escala continua se le llama variable aleatoria continua, si du recorrido no puede contarse y si existe una función de densidad f(x) definida sobre R = . Ejemplo: representan alturas, pesos, temperaturas, distancias o periodos de vida. 4.2 Función de densidad y Acumulativa Una variable aleatoria continua tiene una probabilidad cero de asumir cualquiera de sus valores exactamente. Consecuentemente, su distribución de probabilidad no puede darse en forma tabular. A pesar de que la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua no puede presentarse en forma tabular, sí puede tener una fórmula. Dicha fórmula, necesariamente, debe ser una función de los valores numéricos de la variable continua x y como tal, será expresada por la notación funcional f(x). Al tratar con variables continuas, f(x) por lo general se llama función de densidad de probabilidad, o simplemente función de densidad de x, dado que x se define en un espacio muestral continuo, es posible que tenga un número finito de discontinuidades. La función f(x) es una función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria continua x, definida en el conjunto de los números reales, si: 1. 2. 3. Ejemplo: Suponga que el error en la temperatura de reacción, en ºc, para un experimento controlado de laboratorio es una variable aleatoria continua x, que tiene la función de densidad de probabilidad: 2 , 1 1 ( ) 3 0, x x f x encualquier otrocaso a) Demuestre que f(x) es función de densidad b) Encuentre la probabilidad de que p (0<x≤1) INSTITUTO TECNOLOGICO DE TOLUCA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS PROBABILIDAD Y ESTADISTICA Compilador: M. en C. Yolanda Alvarado Pérez Page 2 La distribución acumulada F(x) de una variable aleatoria continua x, cuya distribución de probabilidad es f(x), es: Ejemplos 1. Una variable continua x que puede tomar valores entre x 1 = 2 y x 2 = 5 tiene función de densidad 2(1 ) ( ) 27 x f x a) Encontrar la distribución acumulada = ) (x F 27 8 27 2 27 1 2 ÷ + x x es nuestra función de distribución acumulada. b) Probabilidad de que P (3<x<4). Utilizamos la función de distribución acumulada anterior. R= 33.333% 2. La proporción de que personas contesten una cierta encuesta enviada por correo es una variable aleatoria continua por que tiene la función de densidad 2 ( 2), 0 1 ( ) 5 0, x x f x encualquier otrocaso a) Demuestre que p (0<x<1) = 1 b) Encontrar la probabilidad de que p (0<x<0.5) 4.3 valor esperado, varianza y desviación estándar. INSTITUTO TECNOLOGICO DE TOLUCA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS PROBABILIDAD Y ESTADISTICA Compilador: M. en C. Yolanda Alvarado Pérez Page 3 Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x), la media, esperanza o valor esperado de una variable aleatoria continua X es: } · · ÷ = = dx x xf X E ) ( ) ( µ Ejemplo1. Sea X la variable aleatoria que representa la vida en horas de un cierto dispositivo electrónico. La función de probabilidad de densidad es: Encuentre la vida esperada de este dispositivo. R. 200 Varianza y desviación estándar Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x) y media µ . La varianza de una variable aleatoria continua X es: } · · ÷ ÷ = = 2 2 2 ) ( ) ( µ o dx x f x x Var x La raíz cuadrada positiva de la varianza o variancia, o , se llama la desviación estándar de X. Ejemplo1. La demanda semanal de pepsi, en miles de litros, de una cadena local de tiendas, es una variable aleatoria continua X que tiene una densidad de probabilidad: ) ` ¹ ¹ ´ ¦ s s ÷ = caso otro cualquier en x x x f , 0 2 1 ), 1 ( 2 ) ( Encuentre la media, la varianza y la desviación estándar de X. Solución: 3 20000 , 100 ( ) 0, . x f x x en cualquier otro caso INSTITUTO TECNOLOGICO DE TOLUCA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS PROBABILIDAD Y ESTADISTICA Compilador: M. en C. Yolanda Alvarado Pérez Page 4 } = ÷ = = 2 1 3 5 ) 1 ( 2 ) ( dx x x x E µ } = | . | \ | ÷ ÷ = = 2 1 2 2 2 18 1 3 5 ) 1 ( ) var( dx x x x x o La desviación estándar es = o 18 1 = 0.23570226 La variancia o desviación estándar en este momento sólo tienen significado cuando se comparan dos o más distribuciones que tiene las mismas unidades de medición. Por lo tanto, podrían compararse las variancias de las distribuciones de contenidos, en litros, de dos compañías embotelladoras de jugo de naranja, y el valor más grande indicaría la compañía cuyo producto es más variable o menos uniforme. 4.4 Distribución uniforme Distribución uniforme: Una variable aleatoria x tiene la distribución uniforme continua si su función de densidad es: Donde β es el tiempo promedio entre fallas y α es una constante. Por ejemplo: Para una distribución uniforme continua con α=2 y β=7, encuentra la probabilidad de que: a) R. 0.6 b) P (3<x<5.5) = 0.5 4.5 Distribución exponencial Distribución exponencial: La variable aleatoria continua x tiene una distribución exponencial con parámetro beta β INSTITUTO TECNOLOGICO DE TOLUCA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS PROBABILIDAD Y ESTADISTICA Compilador: M. en C. Yolanda Alvarado Pérez Page 5 (tiempo promedio entre eventos), si su función de densidad es: Donde Es el promedio o media de espera entre dos eventos y se relaciona con el parámetro las propiedades de la distribución exponencial son Ejemplo 1. Suponga un sistema contienen cierto tipo de componente cuyo tiempo de falla en años esta dado por la variable aleatoria t, distribuida exponencialmente con tiempo en promedio de falla β=5. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un determinado componente este funcionando aún después de 8 años? = 20.19% Ejemplo 2. Supongamos que la duración X (en días) de cierto componente C es exponencial, donde Encuentre la probabilidad de que el componente C dure : a) Menos de 60 días R. 0.393 b) Mas de 240 días R. 0.135 4.6 Distribución normal y su aproximación a la binomial. La distribución continua de probabilidad más importante en la estadística es la distribución normal. Su gráfica recibe el nombre de curva normal o campana de gauss. La función de densidad de la variable aleatoria normal x con media μ x y varianza σ 2 x es: Donde es cualquier número real y es INSTITUTO TECNOLOGICO DE TOLUCA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS PROBABILIDAD Y ESTADISTICA Compilador: M. en C. Yolanda Alvarado Pérez Page 6 cualquier número positivo, además: - ∞ < x < ∞ π = 3.14159… e = 2.71828 Representación gráfica de esta función de densidad y cálculo de probabilidades La curva de cualquier distribución continúa de probabilidad o función de densidad está construida de tal modo que el área bajo la curva normal limitada por dos puntos x= x 1 y x= x 2 es igual a la probabilidad de que la variable aleatoria x asuma un valor entre x= x 1 y x= x 2 . La tarea inacabable para crear tablas separadas para cada valor concebible de μ y σ nos hace necesario transformar todas las observaciones de cualquier variable aleatoria normal x en un nuevo conjunto de observaciones de una variable aleatoria normal z llamada variable estandarizada con μ = 0 y σ =1 (distribución normal estándar). Esta transformación se logra utilizando: Donde: z es una variable aleatoria normal estándar. x es una variable aleatoria normal es promedio o media es la desviación estándar A si la distribución normal puede expresarse en términos de z de la siguiente manera y por lo tanto la probabilidad se calcula como INSTITUTO TECNOLOGICO DE TOLUCA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS PROBABILIDAD Y ESTADISTICA Compilador: M. en C. Yolanda Alvarado Pérez Page 7 Ejemplo: Las piezas de pan de centeno distribuidas a las tiendas locales por una pastelería tienen una longitud promedio de 30 cm. y una desviación estándar de 2 cm. suponiendo que las longitudes están normalmente distribuidas, ¿Qué porcentaje de las piezas son… a) de más de 31.7 cm. de longitud? R. 19.77 % b) Entre 29.3 y 33.5 cm de longitud? R. 59.67% c) De una longitud menor de 25.5 cm.? R. 1.22% 4.7 Aproximación de la distribución normal a la binomial Si x es una variable aleatoria binomial con medida μ= np y varianza = npq entonces la forma de límite de la distribución es: Cuando n α y es la distribución normal Ejemplo`1: la probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de sangre es 04. Si se sabe que 100 personas han contraído esta enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 30 sobrevivan? R. 0.0162 Ejemplo 2: 4.8 Teorema de Chebyshev. Guía de estudio INSTITUTO TECNOLOGICO DE TOLUCA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS PROBABILIDAD Y ESTADISTICA Compilador: M. en C. Yolanda Alvarado Pérez Page 8 1. Cierto tipo de batería para automóviles tiene un tiempo de vida normalmente distribuido con media de 1200 días y desviación estándar de 100 días. ¿Por cuánto tiempo se deben garantizar las baterías si el fabricante solo debe remplazar el 10% de las baterías vendidas?. 2. La función de probabilidad de la variable aleatoria x cuya densidad de probabilidad está dada por Determine el promedio y la varianza. 3. La función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria x está dada por Determine k y P (0.5 < x < 1). 4. Si la probabilidad es de 0.005 de que una persona cualquiera de que asista a un desfile en un día muy caluroso de verano sufra insolación, ¿Cuál es la probabilidad de que más de 18 de las 3000 personas que asisten al desfile sufran insolación? 5. Obtenga la probabilidad de que cuando menos 70 de 100 mosquitos sean aniquilados por un nuevo insecticida en aerosol, cuando la probabilidad es de 0.75 de que algunos de ellos sean aniquilados por el insecticida. 6. La cantidad real de café (en gramos) en un recipiente de 230 gramos llenado por cierta máquina es una variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad está dada por INSTITUTO TECNOLOGICO DE TOLUCA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS PROBABILIDAD Y ESTADISTICA Compilador: M. en C. Yolanda Alvarado Pérez Page 9 Determine las probabilidades de que un recipiente de 230 gramos llenado por esta maquina contendrá a) cuando mucho 228. 65 gramos de café. b) Entre229.34 y 231.66 gramos de café. c) Cuando menos 229.85 gramos de café. 7. Ciertos estudios demuestran que el consumo de gasolina de los autos medianos tienen una distribución normal con un consumo medio de 25.5 km por galón y una desviación estandar de 4.5 km por galón. Si un fabricante desea producir un automóvil mediano que tenga un mejor rendimiento que el 95% de los automóviles medianos existentes, ¿Cuántos kilómetros por galón debe recorrer este nuevo auto. 8. En cierta ciudad, el consumo diario de agua (en millones de litros) es una variable aleatoria cuya densidad de probabilidad está dada por ¿Cuáles son las probabilidades de que en un día dado a) El consumo de agua en la ciudad no sea mayor de 6 millones de litros b) El suministro de agua sea insuficiente si la capacidad diaria de la ciudad es de 9 millones de litros. 9. La variable aleatoria que representa la proporción de accidentes automovilísticos fatales en Estados Unidos, tiene la siguiente función de densidad: a) ¿Es la función f(x) es una densidad de probabilidad? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no más del 25% de los accidentes automovilísticos sean fatales? 10. Las puntuaciones en una prueba de aprovechamiento tienen una distribución normal con media igual a 500 y desviación estándar igual a 100. Si Juan obtuvo 650 puntos, ¿Qué fracción del total de estudiantes consiguieron una puntuación mayor que la de Juan? INSTITUTO TECNOLOGICO DE TOLUCA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS PROBABILIDAD Y ESTADISTICA Compilador: M. en C. Yolanda Alvarado Pérez Page 10 11. Cierto tipo de batería dura un promedio de 3.0 años, con una desviación estándar de 0.5 años. Suponiendo que las duraciones de las baterías son normalmente distribuidas, encuentre la probabilidad de que una determinada batería dure menos de 2.3 años. 12. El tiempo de espera, en horas, que tarda un radar en detectar dos conductores sucesivos a alta velocidad es una variable aleatoria continua con distribución, Encuentre la probabilidad de esperar menos de 12 minutos entre dos conductores sucesivos. 13. Cierto tipo de batería dura un promedio de 3.0 años, con una desviación estándar de 0.5 años. Suponiendo que las duraciones de las baterías son normalmente distribuidas, encuentre la probabilidad de que una determinada batería dure menos de 2.3 años. 14. Para la siguiente función Determinar: a) C, para que la función sea una función de densidad válida. b) El promedio. 15. Los promedios de aprovechamiento de una población grande de estudiantes tienen una distribución normal con media igual a 2.4 y desviación estándar igual a 0.8 si los estudiantes que tienen un promedio de aprovechamiento menor o igual a 1.9 deben abandonar la universidad, ¿Qué porcentaje de los estudiantes deben irse?. 16. Supóngase que el diámetro externo de cierto tipo de cojinetes se encuentra de manera aproximada, distribuido normalmente con media igual a 3.5 cm. y desviación estándar igual a 0.02cm. Si el diámetro de estos cojinetes no debe ser menor que 3.47cm ni mayor de 3.53cm, ¿Cuál es el porcentaje de cojinetes , durante el proceso de su manufactura que debe desecharse?. 17. Una masa radiactiva emite partículas de acuerdo con un proceso de Poisson a una media de razón de 15 partículas por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran 5 segundos antes de la siguiente emisión? R= 0.2865 ¿Cuál es la media del tiempo de espera hasta que se emite la siguiente partícula? s. 18. El tiempo de vida de un circuito integrado particular tiene una distribución exponencial con media de dos años. Encuentre la probabilidad de que el circuito dure más de tres años R=0.223 INSTITUTO TECNOLOGICO DE TOLUCA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS PROBABILIDAD Y ESTADISTICA Compilador: M. en C. Yolanda Alvarado Pérez Page 11 19. Se considera que el número de accidentes de tránsito en cierta intersección sigue el modelo de un proceso de Poisson con una media de tres accidentes por año. a) Determine la media del tiempo d espera entre los accidentes. b) Determine la desviación estándar de los tiempos de espera entre los accidentes. c) Determine la probabilidad de que transcurra más de un año entre un accidente y otro. e) Determine la probabilidad de que transcurra menos de un mes entre un accidente y otro. 20. 2.- Cierto tipo de batería para automóviles tiene un tiempo de vida normalmente distribuido con media de 1200 días y desviación estándar de 100 días. ¿Por cuánto tiempo se deben garantizar las baterías si el fabricante solo debe remplazar el 10% de las baterías vendidas?. 3.- Si la probabilidad es de 0.005 de que una persona cualquiera de que asista a un desfile en un día muy caluroso de verano sufra insolación, ¿Cuál es la probabilidad de que mas 18 de las 3000 personas que asisten al desfile sufran insolación?. 3.- Los promedios de aprovechamiento de una población grande de estudiantes tienen una distribución normal con media igual a 2.4 y desviación estándar igual a 0.8 si los estudiantes que tienen un promedio de aprovechamiento menor o igual a 1.9 deben abandonar la universidad, ¿Qué porcentaje de los estudiantes deben irse?.