Distribuciones de Probabilidad.docx

1ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD SEGUNDO PARCIAL DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD 1. Distribución Binomial Si se realiza un total de n ensayos bernoulli y si: - Los ensayos son independientes -X es el número de éxitos en n ensayos -Cada ensayo tiene la misma probabilidad de éxito p asociada a la variable X Entonces X se distribuye Binomial con parámetros n y p, que se denota como: 𝑋~𝐵𝑖𝑛(𝑛, 𝑝) -La función de masa de probabilidad para una variable aleatoria Binomial es: 𝑛! 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝)𝑛−𝑥 𝑥 = 0,1, . . . 𝑛 𝑝(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥) = {𝑥! (𝑛 − 𝑥)! 0 𝑑𝑒 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑜 La media y la varianza de X están dadas por: µ𝑥 = 𝑛𝑝 𝜎𝑥2 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) 2. Distribución Poissón Si X se distribuye Poissón, 𝑋~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆), entonces: -X es una v.a. que representa el número de eventos independientes que ocurren a una velocidad constante en el tiempo o en el espacio. -X es una v.a. discreta cuyos posibles valores son enteros no negativos. - La función de masa de probabilidad para una variable aleatoria Poissón es: 𝑒 −𝜆 𝜆𝑥 𝑥 = 0,1, . . . 𝑝(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑥! {0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 La media y la varianza de X están dadas por: µ𝑥 = 𝜆 𝜎𝑥2 = 𝜆 3. Distribución Hipergeométrica Si se tiene una población finita que contiene N unidades, de ellas R son clasificadas como éxitos y N-R como fracasos. Suponga que se extrae n unidades de esta población y sea X el número de éxitos en la muestra, entonces X sigue la distribución Hipergeométrica con los parámetros N, R y n, y se denota como: 𝑋~𝐻(𝑁, 𝑅, 𝑛) -La función de masa de probabilidad de X es: (𝑅𝑥)(𝑁−𝑅 𝑛−𝑥 ) 𝑥 = 0,1, … 𝑛; 𝑥 ≤ 𝑅 (𝑁 𝑛 ) 𝑝(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑛−𝑥 ≤ 𝑁−𝑅 { 0 𝑑𝑒 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑜 Esto puede simplificarse mediante el empleo de la siguiente transformación: (𝑋 − 𝜇) 𝑍= 𝜎 Donde X es el valor de cualquier observación o medición especifica y Z se distribuye N(0. . pero se necesitarían una tabla para cada combinación de estos dos parámetros. Estos valores se encuentran tabulados en la tabla 1 2. los cuales determinan de manera completa la f. σ>0 √ Los parámetros de la distribución normal son µ y σ.1) llamada la normal estándar (µ=0 y σ=1). y equivalen a la media y la desviación estándar de X respectivamente.σ) su función de densidad de probabilidad está dada por: 1 𝑥−𝜇 2 1 − ( ) 𝑝(𝑥) = 2𝜋𝜎 𝑒 2 𝜎 -∞<x<∞. 2 La media y la varianza de X están dadas por: 𝑛𝑅 𝑅 𝑅 𝑁−𝑛 µ𝑥 = 𝜎𝑥2 = 𝑛 ( ) (1 − ) ( ) 𝑁 𝑁 𝑁 𝑁−1 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD 1.Si X~N(µ.p. x está dada por la función de distribución acumulativa 1 𝑡−𝜇 2 1 𝑥 − ( ) 𝑑𝑡 P (X≤x) = ∫ 𝑒 2 𝜎 √2𝜋𝜎 −∞ Sin embargo la misma puede tabularse como función de µ y σ.26% de los valores La probabilidad de que una variable aleatoria normalmente distribuida X sea menor o igual a un valor especifico. La función de densidad de la distribución exponencial tiene un parámetro cuyo valor determina la localización y forma de la función (β) . Es usada también para modelar el tiempo de vida de un componente.d. -∞<µ<∞.función de densidad de probabilidad: 1 −𝑥/𝛽 𝑒 𝑥> 0 𝑓(𝑥) = {𝛽 0 𝑥≤0 La media y la varianza de X están dadas por: µ𝑥 = 𝛽 𝜎𝑥2 = 𝛽 2 -Si X~Exp(λ) la función de distribución acumulativa de X es 1 − 𝑒 −𝑥/𝛽 𝑥> 0 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = { 0 𝑥≤0 . Distribución Normal La distribución normal o Gausiana es la más importante y la de mayor uso de todas las distribuciones continuas de probabilidad. Distribución Exponencial Es una distribución continua que algunas veces se utiliza para modelar el tiempo que transcurre antes de que ocurra un evento. Entre una desviación estándar se encuentra concentrada el 68. A menudo se le llama a este tiempo de espera. Se agita por completo un volumen grande de suspensión. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente. ¿Cuál es la probabilidad de que solo se retiren 4 partículas? Si después se extraen 3 ml cual es la probabilidad ¿Cuál es la probabilidad de que solo se retiren 15 partículas? 11. A una parada llega en promedio un autobús cada 10 minutos de acuerdo a una distribución de Poisson. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres de ellos pertenezcan a varones? 8. anote: a) Dos goles b) Mas de dos goles 7.. hallar cuantos estudiantes pesan: a) Entre 55 y 75 Kg b) Mas de 80 kg 6. La probabilidad de que el carburador de un carro salga de fábrica defectuoso es de 4 por 100.En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal con media 23 grados y desviación típica 5 grados.72. y después se extrae 1 ml..-Un agricultor que siembra frutas afirma que 1/4 de su cosecha de higo ha sido contaminada por la mosca del mediterráneo (considerada como una de las plagas más importantes de la fruta en el mundo): Encuentre la probabilidad de que al inspeccionar 10 higos: a) uno esté contaminado b) por lo menos 2 estén contaminados c) ¿Cuál es el numero esperado de higos contaminados a encontrar en la muestra? 2. La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0.5 goles por partido: Determine la probabilidad de que en un partido cualquiera.El peso promedio de 500 estudiantes de un colegio es 70 Kg con varianza es de 25 Kg2.. Supóngase que en cierta población el 52% de todos los nacimientos que se registraron son varones. calcular el número de días en el mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21 y 27 grados 5. Hallar : a) El número de carburadores defectuosos esperados en un lote de 1000 b) La varianza y la desviación típica 10. Unas partículas están suspendidas en un medio líquido con concentración de seis partículas por mL.Una caja contiene 30 medicamentos de los cuales 5 están vencidos. antes de agregar la levadura se necesita calcular la concentración de células por unidad de volumen. halle la probabilidad de que: a) dos estén vencidos b) Mas de 3 estén vencidos 4..Suponga que el futbolista venezolano Rondon anota un promedio de 1. De la caja se escogen 6 medicamentos. Para fabricar cerveza un paso fundamental es la adición de la cultura de la levadura en la malta para la fermentación. a) Determinar la probabilidad de que ocurra un accidente en la siguiente semana b) de que ocurran 6 en un mes 3. Si usted acaba de llegar a la parada para abordar el autobús a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que esperar más de 12 minutos para tomar el bus que lo llevará a su destino? b) ¿Por lo general cuánto tiempo tardará en la parada en espera del bus que la llevará a su destino? . 3 EJERCICIOS DE DISTRIBUCIONES 1. Si aleatoriamente se seleccionan cinco registros de nacimientos dentro de esa población.. Se mantienen las células vivas en un medio líquido y su concentración cambia con el tiempo. Calcular la probabilidad de que una vez administrada a 15 pacientes: a) Ninguno sufra la enfermedad b)Todos sufran la enfermedad c)2 de ellos contraigan la enfermedad 9.Supóngase que en un cruce de tránsito ocurren de manera aleatoria e independiente dos accidentes por semana. 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