REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA (SECCION-ING-CIVIL-N: 03) EXTENCION “EL SOCORRO” Distribuciones de probabilidad en hidrología: Docente: Integrantes Anni Camacho -Elio González -Karina ojea - Danny Goyo - Yorgelis Fernández - Víctor González EL SOCORRO OCTUBRE DEL 2017 ÍNDICE Introducción………………………………………………………………….………………………………………..3 Distribuciones de probabilidad en hidrología………………………...…………………………………4 Distribución normal………………………………………………………………………………………………..6 Distribución log-normal de dos parámetros……………………………………………………….…….6 Distribución gumbel……………………………………………………………………………………….……….8 Distribución gamma de tres parámetros………………………………………………………………….9 Distribución log- gamma………………………………………………………………………….……………..9 Análisis de frecuencia………………………………………………………………………………...……………9 Distribución exponencial…………………………………………………………..…………………………..10 Período de retorno (t)………………………………………………………………………………...…………10 Conclusión……………………………………………………………………………………………………………12 Bibliografía……………………………………………………………………………….…………………………..13 2 INTRODUCCIÓN Para efectos de análisis hidrológico, muchas veces es necesario estimar caudales cuyo período de retorno T es superior al período de registro. Afortunadamente, se encuentra que las variables hidrológicas de interés se “distribuyen” de acuerdo a funciones conocidas de densidad de frecuencia Al comienzo del curso repasamos algunas distribuciones probabilísticas continuas que se usan en hidrología: norma, Log-normal, Gumbel, exponencial, log- gamma, gamma de tres parámetros El comportamiento de las variables aleatorias discretas o continuas se describe con la ayuda de Distribuciones de Probabilidad. La variable se designa por mayúscula y un valor específico de ella por minúscula. 3 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD EN HIDROLOGÍA El comportamiento de las variables aleatorias discretas o continuas se describe con la ayuda de Distribuciones de Probabilidad. La variable se designa por mayúscula y un valor específico de ella por minúscula. Por P(x = a) se denota la probabilidad de que un evento asuma el valor a; similarmente P(a x b) denota la probabilidad de que un evento se encuentre en el intervalo (a, b). Si conocemos la probabilidad P(a x b) para todos los valores de a y b, se dice que conocemos la Distribución de Probabilidades de la variable x. Si x es un número dado y consideramos la probabilidad P(X x): F(x)= P(X x): Y llamamos F(x) la función de distribución acumulada. Ejemplo Se tienen las probabilidades de que haya 1, 2, 3,... etc., días nublados por semana en un determinado lugar, con ellos calcule la distribución de probabilidades x P(x) F(x) 0 0.05 0.05 1 0.15 0.20 2 0.25 0.45 3 0.20 0.65 4 0.15 0.80 5 0.10 0.90 6 0.08 0.98 7 0.02 1.00 Total 1.0 4 Si se tiene una variable aleatoria continua, la figura presenta el histograma de 85 años de registro de caudales de crecientes (máximos instantáneos) en el río Magdalena, agrupados en 9 intervalos de clase. x P(x) F(x) 1 0.05 0.05 2 0.10 0.15 3 0.15 0.30 4 0.20 0.50 5 0.10 0.60 6 0.10 0.70 7 0.15 0.85 8 0.10 0.95 9 0.05 1.00 Total 1.00 Cuando el número de observaciones se incrementa, el tamaño de los intervalos decrece y se puede tener algo sí 5 Donde f(x) es la llamada función de densidad de probabilidades y tiene las siguientes características - - - Lo que implica que las probabilidades se definen sólo como ÁREAS bajo la función de densidad de probabilidad (FDP) entre límites finitos. DISTRIBUCION NORMAL La distribución normal es una distribución simétrica en forma de campana, también conocida como Campana de Gauss. Aunque muchas veces no se ajusta a los datos hidrológicos tiene amplia aplicación por ejemplo a los datos transformados que siguen la distribución normal. DISTRIBUCIÓN LOG-NORMAL DE DOS PARÁMETROS Si los logaritmos Y de una variable aleatoria X se distribuyen normalmente se dice que X se distribuye normalmente. Esta distribución es muy usada para el cálculo de valores extremos por ejemplo Qmax, Qmínimos, Pmax, Pmínima (excelentes resultados en Antioquia). Tiene la ventaja que X>0 y que la transformación Log tiende a reducir la asimetría positiva ya 6 que al sacar logaritmos se reducen en mayor proporción los datos mayores que los menores. Limitaciones: tiene solamente dos parámetros, y requiere que los logaritmos de las variables estén centrados en la media Función de densidad: y = ln x Donde, my: media de los logaritmos de la población (parámetro escalar), estimado sy : Desviación estándar de los logaritmos de la población, estimado sy. Estimación de parámetros: Factor de frecuencia: Puede trabajarse en el campo original y en el campo transformado. Campo transformado: Si se trabaja en el campo transformado se trabaja con la media y la desviación estándar de los logaritmos, así: Ln(XTr) = xTr+KSy De donde, XTr = eln (xTr) 7 Con K con variable normal estandarizada para el Tr dado, xy media de los logaritmos y Sy es la desviación estándar de los logaritmos. Campo original: Si se trabaja con los X sin transformar el K se calcula como K es la variable normal estandarizada para el Tr dado, es el coeficiente de variación, x media de los datos originales y s desviación estándar de los datos originales. DISTRIBUCION GUMBEL O EXTREMA TIPO I Una familia importante de distribuciones usadas en el análisis de frecuencia hidrológico es la distribución general de valores extremos, la cual ha sido ampliamente utilizada para representar el comportamiento de crecientes y sequías (máximos y mínimos). Función de densidad: En donde y son los parámetros de la distribución. Estimación de parámetros Donde son la media y la desviación estándar estimadas con la muestra. 8 Factor de frecuencia: Donde Tr es el periodo de retorno. Para la distribución Gumbel se tiene que el caudal para un período de retorno de 2.33 años es igual a la media de los caudales máximos. DISTRIBUCION GAMMA DE TRES PARÁMETROS O PEARSON TIPO 3 Esta distribución ha sido una de las más utilizadas en hidrología. Como la mayoría de las variables hidrológicas son sesgadas, la función Gamma se utiliza para ajustar la distribución de frecuencia de variables tales como crecientes máximas anuales, Caudales mínimos, Volúmenes de flujo anuales y estacionales, valores de precipitaciones extremas y volúmenes de lluvia de corta duración. La función de distribución Gamma tiene dos o tres parámetros. DISTRIBUCIÓN LOG- GAMMA O LOGPEARSON DE 3 PARÁMETROS Si los logaritmos Y de una variable aleatoria X se ajustan a una distribución Pearson tipo III, se dice que la variable aleatoria X se ajusta a una distribución Log Pearson Tipo III. Esta distribución es ampliamente usada en el mundo para el análisis de frecuencia de Caudales máximos. Esta se trabaja igual que para la Pearson Tipo III pero con Xy y Sy como la media y desviación estándar de los logaritmos de la variable original X. ANALISIS DE FRECUENCIA El análisis de frecuencia es una herramienta utilizada para, predecir el comportamiento futuro de los caudales en un sitio de interés, a partir de la información histórica de caudales. Es un método basado en procedimientos estadísticos que permite calcular la magnitud del caudal asociado a un período de retorno. Su confiabilidad depende de la longitud y calidad de la serie histórica, además de la incertidumbre propia de la distribución de probabilidades seleccionada. Cuando se pretende realizar extrapolaciones, período de retorno mayor que la longitud de la serie disponible, el error relativo asociado a la distribución de probabilidades utilizada es más importante, mientras que en interpolaciones la incertidumbre está asociada principalmente a la calidad de los datos a modelar; en ambos casos la incertidumbre es alta dependiendo de la cantidad de datos disponibles 9 (Ashkar, et al. 1994). La extrapolación de frecuencias extremas en una distribución empírica de crecientes es extremadamente riesgosa (Garcon, 1994). Para determinar la magnitud de eventos extremos cuando la distribución de probabilidades no es una función fácilmente invertibles se requiere conocer la variación de la variable respecto a la media. Chow en 1951 propuso determinar esta variación a partir de un factor de frecuencia KT que puede ser expresado: Y se puede estimar a partir de los datos Para una distribución dada, puede determinarse una relación entre K y el período de retorno Tr. Esta relación puede expresarse en términos matemáticos o por medio del uso de una tabla. El análisis de frecuencia consiste en determinar los parámetros de las distribuciones de probabilidad y determinar con el factor de frecuencia la magnitud del evento para un período de retorno dado. A continuación se describen las principales distribuciones de probabilidad utilizadas en hidrología, la forma de estimar sus parámetros, el factor de frecuencia y los límites de confianza. Estos últimos son indicadores de que tanta incertidumbre se tiene con las extrapolaciones, puesto que determinar el rango de valores donde realmente estaría la variable, si el rango es muy grande la incertidumbre es muy alta y si es pequeño, por el contrario, habrá mucha confianza en el valor estimado. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL Es una distribución que tiene un único parámetro y Se utiliza para describir el tiempo entre la ocurrencia de dos eventos de variables aleatorias, como por ejemplo, precipitaciones, entradas de contaminantes a un río, etc., y en este caso, y sería la tasa media de ocurrencia de los eventos. Tiene la desventaja de que requiere que la ocurrencia de cada evento sea completamente independiente de sus vecinos y de que no está definida para X=0. PERÍODO DE RETORNO (T) Período de retorno es uno de los parámetros más significativos a ser tomado en cuenta en el momento de dimensionar una obra hidráulica destinada a soportar avenidas, como por ejemplo: el vertedero de una presa, los diques para control de 10 inundaciones; o una obra que requiera cruzar un río o arroyo con seguridad, como puede ser un puente . El periodo de retorno se define como el intervalo de recurrencia (T), al lapso promedio en años entre la ocurrencia de un evento igual o mayor a una magnitud dada. Este periodo se considera como el inverso de la probabilidad, del m-ésimo evento de los n registros. 11 CONCLUSIÓN La distribución normal es una distribución simétrica en forma de campana, también conocida como Campana de Gauss Una familia importante de distribuciones usadas en el análisis de frecuencia hidrológico es la distribución general de valores extremos, la cual ha sido ampliamente utilizada para representar el comportamiento de crecientes y sequías (máximos y mínimos). El análisis de frecuencia es una herramienta utilizada para, predecir el comportamiento futuro de los caudales en un sitio de interés, a partir de la información histórica de caudales. Es un método basado en procedimientos estadísticos que permite calcular la magnitud del caudal asociado a un período de retorno. Su confiabilidad depende de la longitud y calidad de la serie histórica, además de la incertidumbre propia de la distribución de probabilidades seleccionada. 12 BIBLIOGRAFIA fluidos.eia.edu.co/hidrología/probabilidad/probabilidad.htm https://es.scribd.com/.../DISTRIBUCIONES-DE-PROBABILIDAD-EN-HIDROLOGIA 13
Report "Distribuciones de Probabilidad en Hidrología"