UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBESFACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE ADMINISTRACION “Distribución de Probabilidad F de Snedecor” AUTORES Moscoso Agurto, Iván Daniel. Córdova Vidarte, Alexsander. Torres Cardozo, Richard. TUMBES, PERÚ 2016 ÍNDICE. INTRODUCCIÓN.........................................................................................................3 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD F DE -SNEDECOR........................................4 CARACTERÍSTICAS:.................................................................................................5 PROPIEDADES:.........................................................................................................5 ............................................................9 EJERCICIOS PROPUESTOS...............................................................6 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTICA..........................................................................12 ........................7 EJERCICIOS..............................E – Escuela de Administración FUNCIÓN DE DENSIDAD F DE SNEDECOR.......C.....................................................................................5 LA MEDIA ARITMÉTICA:............. USO DE TABLAS:........................................................Universidad Nacional de Tumbes – F................................................6 VARIANZA:................... análisis de datos. Dodd. el diseño de experimentos y la metodología estadística. Fue construido en 1939.UU.UU. el gran arquitecto. una revisión de citas de artículos científicos publicados de todas las áreas de la ciencia demostró que los métodos estadísticos de Snedecor fue el libro más frecuentemente citados. 1974) fue un matemático y estadístico americano. Universidad Estatal de Iowa. es la sede del Departamento de Estadística. George es el nieto del abogado de Menphis. Snedecor fue nombrado doctor honoris causa en ciencias por la Universidad Estatal de Carolina del Norte en 1956 y por la Universidad Estatal de Iowa en 1958. Snedecor. en el Estado de Lowa. evangelizar y educar a los negros pobres del pueblo. Nació en Memphis. Tennessee. Contribuyó a los fundamentos del análisis de varianza. donde su padre abogado se trasladó junto con su esposa e hijos en orden a cumplir una vocación religiosa personal y radical para atender. Bedford Mitchell Estes. es hijo de Emily Alston Estes y James G. Y en el presente escrito analizaremos uno de sus mas grandes aportes a la estadística.C.E – Escuela de Administración INTRODUCCIÓN George Waddel Snedecor (octubre 20. Snedecor crece en Florida y Alabama. la distribución F de Snedecor o . 1881-febrero 15. y sobrino de lona Estes Dodd y William J. y fue un pionero de la moderna estadística aplicada en los EE. Su libro de 1938 Métodos estadísticos se convirtió en un recurso esencial: "En la década de 1970. Snedecor Hall. Snedecor de la Asociación Americana de Estadística llevan su nombre. La distribución F de Snedecor y el Premio George W.Universidad Nacional de Tumbes – F. Snedecor fundó el primer departamento académico de estadística de los Estados Unidos. en una familia social y políticamente poderosa. También creó el primer laboratorio de las estadísticas en los EE. W 1 :es una variable chi cuadrado con grados de libertad δ1 W 2 :es una variable chi cuadrado con grados de libertad δ 2 .C. y 1 es 2 X i se encuentra elevada al cuadrado Luego notemos que Xi 2 y una variable normal con distribución estándar elevada al cuadrado.1) Donde 0 es .Universidad Nacional de Tumbes – F. Definición: Se define por: ( X 21 + X 22 +… X 2δ )/ δ 1 F= 2 (Y 1+ Y 22 + …Y 2δ )/ δ 2 Además X i es una variable normal con distribución estándar como sigue: X i N (0.E – Escuela de Administración DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD F DE -SNEDECOR. Como se denota: 2 X i X (1) Entonces luego tendremos: 2 2 W 1= X 1 + X 2+ … X 2 2 δ1 X (δ 1) Suma de los grados de libertad 2 de cada X i W 2=Y 21 +Y 22 +… Y 2δ X2 (δ 2) 2 Y finalmente definimos: F= W 1 /δ 1 W 2 /δ 2 Donde. es una variable chi cuadrado con grado de libertad igual a 1. es decir tiene .C.Universidad Nacional de Tumbes – F. entonces: X i−0 2 ∑ (¿)2 = ∑ X i = X 21 + X 22 +… X 2n n−1 n−1 S2x =¿ n−1 X 2 X´ =0 .E – Escuela de Administración Es decir que una variable F es la razón o el cociente entre dos distribuciones chicuadrado dividida cada una de ellas con sus grados de libertad. Por medio de esta distribución es posible determinar la probabilidad de ocurrencia de una razón especifica con δ1=n-1 y δ2=m-1 grados de libertad en muestras de tamaño n1 y n2. También se puede definir como: La distribución de probabilidad de la razón de dos varianzas provenientes de dos poblaciones diferentes. Es decir: F= S 2x /δ 1 S2y /δ 2 Recordemos que: X i − X´ ∑ (¿)2 n−1 S2 =¿ Pero X i es una variable normal con distribución estándar. Universidad Nacional de Tumbes – F.E – Escuela de Administración Y i−0 2 ∑ (¿) = ∑ Y i = Y 21+ Y 22 + …Y 2m 2 n−1 n−1 S2 y =¿ m−1 Donde se puede despejar: S 2x = X 21 + X 22 +… X 2n n−1 X 21 + X 22 +… X 2n =( n−1 ) S 2x Y 21+Y 22 +… Y 2n S y= n−1 2 2 2 2 Y 1+Y 2 + …Y n =( m−1 ) S 2 y Luego: ( X 21 + X 22 +… X 2δ )/ δ 1 F= 2 (Y 1+ Y 22 + …Y 2δ )/ δ 2 Reemplazando. F= Como y δ1 y ( n−1 ) S 2x /δ 1 ( m−1 ) S2 y /δ 2 δ 2 son grados de libertad que se pueden elegir. para cancelar (n-1) (m-1) hacemos coincidir: δ 1=( n−1 ) δ 2=( m−1) Así tendríamos: δ1 δ2 .C. n . Hay una distribución F por cada par de enteros positivos n y d (grados de libertad). pero su asimetría disminuye cuando aumentan los grados de libertad del numerador y denominador. CARACTERÍSTICAS: - - X e Y deben ser independientes. d = 1 F ∝. Si X es Fn. con una distribución con parámetros (n-1) y (m-1). d) Esto define la siguiente función de densidad: Fn .C. m−1) S y Es decir La variable F es la razón de dos varianzas de muestras provenientes de dos poblaciones diferentes.Universidad Nacional de Tumbes – F. Su cubertura depende de su grado de libertad. La distribución de la variable es asimétrica. Cada curva F. n esta es la propiedad reciproca de F distribuciones y puede expresarse también exactamente como: F( 1−∝ ). Que para el numerador se le llama N y para el denominador se le llama D. PROPIEDADES: - Una variable F varia de valor 0 a ∞. d se . La distribución F. Una distribución F es positivamente asimétrica. tiene forma asimétrica y es sesgado hacia la derecha (es positivo al sesgo). d .n . d FUNCIÓN DE DENSIDAD F DE SNEDECOR Una función de distribución de una variable F puede designarse como denota: F F( n .E – Escuela de Administración S 2x F= 2 F (n−1. Y= 1/x es decir Fd. pero su asimetría se reduce con los aumentos de n y d. utiliza doble (n-1) = gL. E – Escuela de Administración [ ] n+ d ( 2 ) n ( ( ) ) nF f ( F )= F (1+ ) ( ) d d n d Ґ( )Ґ( ) 2 2 Ґ n 2 n −1 2 −(n +d )/ 2 Donde 0 ≤ F ≤ ∞ Además: n : Grados de libertad del numerador d : Grados de libertad del denominador Ґ : Función Gamma de Euler F: F(n. VARIANZA: σ= D−2 ¿ ¿ N¿ 2 D2 ( N + D+2) ¿ Para D≥4. en caso contrario es indefinida .C. d) LA MEDIA ARITMÉTICA: μ= D (D−2) Para D ≥ 2. en caso contrario es indefinida.Universidad Nacional de Tumbes – F. INVERSIÓN DE LA F DE SNEDECOR Se puede usar la siguiente relación para calcular valores que no aparecen en la tabla: . N. 10% En cada tabla la fila señala los grados del numerador (N) y en la columna los del denominador (D). Ubicar en la fila 8 y después en la columna 25. USO DE TABLAS: En la tabla de la F de Fisher-Snedecor se presentan: Cada nivel de significancia siendo los más usados: 1%.C. Buscar en la tabla de Fisher el 0.34 2. DONDE: F (α.25) =2.05(8. el cruce de fila y columna indican el punto crítico.05 2.Universidad Nacional de Tumbes – F.34 1. 5%. D) α = Nivel de significancia N= grado de libertad del numerador n−1 ¿ ) D= grado de libertad del denominador EJEMPLO: n−1 ¿ ) F 0.E – Escuela de Administración FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTICA. 05 1 1 P( > )=0.05=0.15: F 10.54 1 =1−0.C.54) Solución: P (Y > 2.d Y= 1/x es decir Fd.15>2.54 ) =0. con d grados de libertad del numerador y n grados de libertad del denominador.05 a) Hallar X=1/Y Luego P(X>1/2.d .n .54 ) Otra forma de encontrar valores que no se encuentran en tabla: Se usa la propiedad: P(X>C)= 1-P(X≤C) Por ejemplo: Sea Y una variable de Fisher con parámetros 10.95 2. d = 1 F ∝.05 Y 2.05 2.54)=0.10 ≤ ( P X 15. entonces 1/X tiene distribución F.n esta es la propiedad reciproca de F distribuciones y puede expresarse también exactamente como: F( 1−∝ ).Universidad Nacional de Tumbes – F.05 Solución: .10 > 1 )=0. - Esto es la propiedad: Si X es Fn. halle el valor de C tal que P(Y>C)=0.54 P( X 15.n Ejemplo: Si Y es una variable de Fisher con 10 grados de libertad para el numerador y 15 grados de libertad para el denominador y P (Y>2.15 .E – Escuela de Administración Si la variable aleatoria X tiene distribución F con n grados de libertad del numerador y d grados de libertad del denominador.54 )=P ( F 10. E – Escuela de Administración P(Y >C)=0.95 F(0.C.05 P (Y ≤ C ) =0.05.54 .Universidad Nacional de Tumbes – F.10.05 P (Y ≤ C ) =1−P ( Y >C ) =1−0.15)=2. 5) ≤ 7.4)=1-0.61 x−0.P( F(4.E – Escuela de Administración EJERCICIOS 1.975 11.01 0.00915 .Universidad Nacional de Tumbes – F.4) P( c) P( F(4.39)= 0.99= 0.C. Calcula.5) F(4.975 4.01) = 0.5) 1.4 8 7.X 11.39 0.5) < 8) No existe en la tabla.39) P( F(4.5) ≤ 11.39 0.975 = 8−7.39 x−0.975 según tabla b) P( F(4.01 según tabla < 8) F(4.015 = 0. a) P( F(4.975 (4.4)= 1.975 x – 0.5) > 11. se efectúa por interpolación: F(4.5) P( > 11.99 x 0.99−0.5) ≤ 7.4 −7. 05 P( 1 1 > )=0.01 x = 3.E – Escuela de Administración 4.12 ≤ F 1 )=0.05.05 F1 F(0.9189 X= 0.95.90975 = 0. Valores que limitan el 90% central de esta distribución: P ( F 8.05 F 8.8. La media y la varianza de: μ = m / m – 2.Universidad Nacional de Tumbes – F.85 segun tabla Luego: P ( F 8.95 → F(0.12 F 1 P( F12.8.81 3.12 ≤ F 1 )=0. μ = 12 / (12 – 2) = 1.C.977 2.2 σ2 = 2m2 (n + m – 2) / n (m – 2)2 · (m – 4) σ2 = 2 · 122 (8 + 12 – 2) / 8 (12 – 2)2 · (12 – 4) = 0.12)=2.00915 4.12)=? .01 x – 3.8 > 1 )=0.0 5 → Utilizando la inversa: P ( F 8.12 ≤ F 2 )=0. 8> ) 12. Encontrar la media y la varianza de: a) F(10.28 F1 F1= 1 =0.05=0.95 F1 ) 1 ≤ )=0.Universidad Nacional de Tumbes – F.305 3.15 (D−2) (15−2) D−2 ¿ ¿ ¿ 2(D−4) ¿ 15−2 ¿ ¿ ¿2(15−4) N¿ 2 2 D ( N + D+2) ¿ .05.12.05=1−P ( F ≤ ) F P F 12.8 1 ( P(F 12.28 4.E – Escuela de Administración ( 1 1 =1−P F 12.8)=3.15) μ = σ= b) F(20.8 1 =1−0.28 1 =3.C.8 ≤ 1 F(0.8 ≤ F1 F1 ) ( 1 0.17) D 15 = =1.95 F P F 12. 22 (D−2) (11−2) D−2 ¿ ¿ ¿ 2(D−4) ¿ 1 1−2 ¿ ¿ ¿ 2(11−4) N¿ 2 2 D ( N + D+2) ¿ F(24.C.13 (D−2) (17−2) D 11 = =1.11) μ = σ= d) D 17 = =1.1 ( D−2) (22−2) .E – Escuela de Administración μ = σ= c) D−2 ¿ ¿ ¿ 2(D−4) ¿ 17−2 ¿ ¿ ¿ 2(17−4) N¿ 2 2 D ( N + D+2) ¿ F(6.Universidad Nacional de Tumbes – F.22) μ = D 22 = =1. 4 > 1 )=0.95.13) . Encontrar.Universidad Nacional de Tumbes – F.95 → F(0.05 → Utilizando la inversa: P ( F 4.13 ≤ F 2 )=0.13) =? P ( F 4 .13) =3.E – Escuela de Administración D−2 ¿ ¿ ¿ 2(D−4) ¿ 22−2 ¿ ¿ ¿2(22−4 ) N¿ 2 2 D ( N + D+2) ¿ σ= 5.05 F1 1 1 =1−P F13.05.05 P( 1 F 4.13 ≤ F 1 )=0.4.1 3 ≤ F1 ) =0. Valores que limitan el 90% central de esta distribución F1=0.4 > ( P F 13.05 F1 1 )=0.4.C.4 ≤ F1 F1 ) ( ) F(4.13 > P( F13.18 P ( F 4.18 segun tabla Luego: F(0.171 F2 =3. C.95 F1 ) 1 ≤ )=0.171 5 .85 F1 F1= ) 1 =1−0.05.05=0.Universidad Nacional de Tumbes – F.4 1 F1 1 =0.E – Escuela de Administración ( 0.85 1 =5. 85 .05=1−P F 13.4 ≤ ( P(F 1 F(0.95 F P F 13.4) =5.13.4 ≤ 13.