Distribucion de fallas y la Confiabilidad

Universidad Gran Mariscal de Ayacucho Facultad de Ingeniería Escuela de Mantenimiento Industrial Núcleo Cumaná Cátedra- Mantenimiento IV Período II 2010Realizado por: Jiménez Yuleangi C.I: 19.237.749 Cumaná, Noviembre de 2010 Definición de Confiabilidad Es la probabilidad de que un equipo cumpla una misión específica bajo condiciones de uso determinadas en un período determinado. El estudio de confiabilidad es el estudio de fallos de un equipo o componente. Si se tiene un equipo sin fallo, se dice que el equipo es ciento por ciento confiable o que tiene una probabilidad de supervivencia igual a uno. Al realizar un análisis de confiabilidad a un equipo o sistema, obtenemos información valiosa acerca de la condición del mismo: probabilidad de fallo, tiempo promedio para fallo, etapa de la vida en que se encuentra el equipo. La confiabilidad tiene muchos significados técnicos diferentes, pero uno de los más amplios es el siguiente: la confiabilidad es la característica de un elemento expresada por la probabilidad de que cumpla sus funciones específicas durante un tiempo determinado, cuando se coloca en las condiciones del medio exterior. La definición también se puede expresar como la probabilidad de que un equipo no falle mientras esté en servicio durante un período dado. La confiabilidad como parámetro adaptado al criterio de mantenimiento se define como la probabilidad de que un equipo no falle estando en servicio dentro de un período de tiempo determinado y su principal característica está definida por la rata de fallas, R (t), expresada en unidades de fallas por hora la cual se obtiene a partir del comportamiento histórico de la información generada del equipo. La rata de fallas se define como la probabilidad de falla casi inmediata de un equipo de edad T, donde: . N: es el número de datos o muestras. podemos definir la media de estos valores como la sumatoria: TPS = ∑=1 i n TO ( I ) N Donde. La rata de fallas está dada usualmente en fallas por hora. Una vez realizados los análisis. PS (T): es la probabilidad de supervivencia. TPS: es el tiempo promedio de operación o servicio. Análisis de la Confiabilidad La ejecución de un análisis de la confiabilidad en un producto o un sistema debe incluir muchos tipos de exámenes para determinar cuan confiable es el producto o sistema que pretende analizarse.R (T ) = P (T ) PS (T ) Donde. es posible prever los efectos de los cambios y de las correcciones del diseño para mejorar la confiabilidad del ítem. P (T): es la probabilidad casi inmediata de fallar. Como la confiabilidad es un parámetro que depende de los tiempos de operación. la confiabilidad puede apreciarse por el estado que guardan o el comportamiento que tienen cinco factores llamados universales y que se consideran existe en todo recurso por conservar. • Manteniendo mucha atención en las tareas del Mantenimiento que más incidencia tienen en el funcionamiento y desempeño de las instalaciones. garantizando que la inversión en mantenimiento se utiliza donde más beneficio va a reportar. Tuvo su origen en la Industria Aeronáutica. vinculan y examinan conjuntamente. todas las perspectivas posibles. esto hace que la seguridad y el medio ambiente sean tenidos en cuenta a la hora de tomar decisiones en materia de mantenimiento. determinando posibles problemas y poder sugerir correcciones. el RCM es el más efectivo. El Mantenimiento RCM pone tanto énfasis en las consecuencias de las fallas como en las características técnicas de las mismas. De éstos procesos. para poder determinar la confiabilidad del mismo bajo cambios y/o mejoras en productos o elementos. Factores Universales En la práctica. Mantenimiento Centrado en la Confiabilidad El RCM es uno de los procesos desarrollados durante 1960 y 1970 con la finalidad de ayudar a las personas a determinar las políticas para mejorar las funciones de los activos físicos y manejar las consecuencias de sus fallas.Los diversos estudios del producto se relacionan. mediante: • Integración de una revisión de las fallas operacionales con la evaluación de aspecto de seguridad y amenazas al medio ambiente. estos factores son los siguientes: . Edad del equipo. Medio ambiente en donde opera. un equipo deja de funcionar totalmente. Carga de trabajo. Es la incapacidad de cualquier elemento físico de satisfacer un criterio de funcionamiento deseado. el elemento no cumple un estándar o parámetro establecido de su servicio.1. 4. todas las perspectivas posibles. Esta condición puede interrumpir la continuidad o secuencia ordenada de un proceso. para poder determinar la confiabilidad del mismo bajo cambios y/o mejoras en productos o elementos. donde ocurren una serie de eventos que tienen más de una causa. Apariencia física. Por ejemplo. Disminución ó pérdida de la función del componente con respecto a las necesidades de operación que se requieren para un momento determinado. Mediciones o pruebas de funcionamiento. 2. Existen dos tipos de falla. determinando posibles problemas y poder sugerir correcciones. Fallas Parciales (Potenciales): Se definen como las condiciones físicas identificables que indican que va a ocurrir una falla funcional. Por ejemplo. . Estas fallas están por encima o por debajo de los parámetros identificados para cada función. 3. 5. vinculan y examinan conjuntamente. Los diversos estudios del producto se relacionan. las cuales son explicadas a continuación: Falla funcional: Es la capacidad de cualquier elemento físico de satisfacer un criterio de funcionamiento deseado. procedimientos y cuadro de fechas. La ejecución de un programa de confiabilidad implica tanto tareas técnicas como una la tarea de dirección. el de compras. 7. Significa que el programa no puede restringirse a un punto de la organización. Hay que proveer fondos adecuados para un programa de confiabilidad y dichos fondos han de determinarse durante la fase. 2. 6. evaluación en el campo de utilización y uso en servicio. sino que ha de cubrir todas las secciones que afecten a la confiabilidad final en su lugar de uso. 5. el personal de producción. Las tareas técnicas consisten en los esfuerzos para diseñar la confiabilidad y mantenerla durante la producción y la utilización con una degradación mínima. el especialista en confiabilidad etc. Un programa de confiabilidad ha de comenzar en la fase conceptual de un proyecto y continuar durante el diseño y desarrollo. Esto significa que hay que desarrollar durante la preparación de la propuesta un programa completo de confiabilidad con suficiente detalle para poder estimar el coste. de propuesta. Los resultados de confiabilidad solo pueden ser alcanzados mediante acciones realizadas por la organización de línea: El diseñador. ensayos. El programa ha de abarcar tanto a los proveedores como a las operaciones internas de la empresa. La tarea de dirección consiste en integrar todos los esfuerzos técnicos y controlarlos para asegurarse de que se dan todos los pasos necesarios a fin de conseguir la confiabilidad requerida. producción.. deben reconocerse las siguientes políticas al organizar las actividades de confiabilidad. proporcionan guía y asistencia al personal de línea para ejecutar sus tareas fundamentales de confiabilidad. El programa para cada proyecto ha de incluir un plan escrito y especificar responsabilidades. 3.Idealmente. 1. El programa ha de incluir controles que detectan y comuniquen a la dirección todas las desviaciones entre los planes y la actuación real. 4. . Una segunda respuesta importante es planificar una serie de tareas que deben asignarse a todos los departamentos asociadas con el uso de las facilidades instaladas y su mantenimiento. Es decir algunos tipos pueden fallar mayoritariamente en forma prematura y otros en forma mucho más tardía. y procesarlos en distintos ambientes. La integración y evaluación totales del programa de confiabilidad han de ser realizadas por una organización que sea independiente de aquellos que tienen la responsabilidad de dar los pasos detallados necesarios para alcanzar la confiabilidad requerida. la cual se usa en el desarrollo de sistemas. 3. 2. La planificación de la confiabilidad exige la comprensión de las definiciones fundamentales. 1. Este proceso proporciona la nueva información. En la actualidad en producción no solo se operan los equipos. Distribución de Fallas Una distribución de fallas es la forma en general de como fallan los equipos y los productos. . Clara definición de lo que es un buen funcionamiento. Incluyendo revisiones periódicas a maquinaria y equipos de alta confiabilidad. Para encontrar la confiabilidad de maquinaria y equipos se requiere conocer los parámetros de diseño y de actuación.8. Del ambiente en que el equipo ha de funcionar. 4. Está relacionado íntimamente con los estudios estadísticos y las leyes que lo rigen. Del tiempo requerido de funcionamiento entre fallos. Cuantificación de la confiabilidad en términos de probabilidad. también se asocian tareas de mantenimiento. Si no es así. Para que un sistema de n componentes independientes acoplados en serie funcione. Confiabilidad de los sistemas Se presentan a continuación las dos maneras más sencillas de combinar unidades individuales en un sistema y el tratamiento de sus respectivas confiabilidades. suponiendo que los componentes funcionan independientemente. La confiabilidad de este sistema será mayor que cualquiera de los componentes siendo la función de confiabilidad del sistema completo. Por lo tanto si uno falla. . la probabilidad es un número carente de significado para los sistemas y productos destinados a funcionar a lo largo del tiempo. todos los componentes deben funcionar. siendo la función de confiabilidad del sistema completo. el sistema deja de funcionar sólo si todos los componentes dejan de funcionar. En consecuencia. la confiabilidad del sistema es menor que la confiabilidad de cualquiera de sus componentes. el sistema no funciona. En el caso de que los componentes estén conectados en paralelo. Si T es la duración de un artículo. que obviamente vamos a considerar que es mayor o igual a cero. La ley normal de falla La conducta de algunos componentes puede describirse a través de la ley normal de falla.Por la sencilla razón de que el acoplamiento en paralelo aumenta la confiabilidad del sistema es de uso más frecuente una operación en paralelo. que físicamente representa la relación entre la resistencia de una estructura y la fuerza aplicada a la misma. también conocida como distribución de Gauss. la estructura fallará. Si el cociente es menor a 1. su fdp. está dada por Siendo σ (Desviación Estándar) > 0 La distribución exponencial Para el caso de que l (t) sea constante nos encontramos ante una distribución de fallos de tipo exponencial y la fiabilidad tendrá la expresión siguiente . Es posible definir una nueva variable denominada “factor de seguridad”. . generalmente en horas. exp es la base de los logaritmos neperianos o naturales (2. en unidades inversas a las que expresan el tiempo t.. La tasa de fallos se expresa. La fiabilidad R (t) representa en éste caso la probabilidad de que el dispositivo.71828.) t es el tiempo de funcionamiento para el que se desea conocer la fiabilidad. según se ha visto.. no se averíe durante el tiempo de funcionamiento t.R (t) = exp (-l t) para t ³ 0 La expresión de la infiabilidad será para éste caso: Matemáticamente podremos escribir la función exponencial de densidad de probabilidad de fallo: f (t) = l exp (-l t) cuando t ³ 0 f (t) = 0 cuando t > 0 En las expresiones anteriores la constante l (tasa de fallos) tiene las dimensiones de (tiempo)-1. caracterizado por una tasa de fallos constante. En su lugar se utiliza la resolución gráfica a base de determinar un parámetro de origen (t0). Aunque existen dos tipos de soluciones analíticas de la distribución de Weibull (método de los momentos y método de máxima verosimilitud).Esta fórmula de fiabilidad se aplica correctamente a todos los dispositivos que han sufrido un rodaje apropiado que permita excluir los fallos infantiles. ninguno de los dos se suele aplicar por su complejidad. a lo sumo. como veremos. aunque exige varios pasos y una o dos iteraciones. La distribución de Weibull nos permite estudiar cuál es la distribución de fallos de un componente clave de seguridad que pretendemos controlar y que a través de nuestro registro de fallos observamos que éstos varían a lo largo del tiempo y dentro de lo que se considera tiempo normal de uso. . pero al menos la distribución de Weibull facilitará la identificación de aquellos y su consideración. aparte de disponer de una herramienta de predicción de comportamientos. es relativamente directo y requiere. y que no estén afectados aún por el desgaste. A causa de su mayor complejidad sólo se usa cuando se sabe de antemano que una de ellas es la que mejor describe la distribución de fallos o cuando se han producido muchos fallos (al menos 10) y los tiempos correspondientes no se ajustan a una distribución más simple. Un papel especial para gráficos. que son casos particulares de aquella. El método no determina cuáles son las variables que influyen en la tasa de fallos. tarea que quedará en manos del analista. El procedimiento gráfico. llamado papel de Weibull. Distribución de Weibull La distribución de Weibull complementa a la distribución exponencial y a la normal. Esta metodología es útil para aquellas empresas que desarrollan programas de mantenimiento preventivo de sus instalaciones. álgebra sencilla. hace esto posible. En general es de gran aplicación en el campo de la mecánica. de la siguiente forma: ó R (t) = exp [ . en función de la fiabilidad.∫ λ (t) d t ] siendo: λ (t) .Características generales Sabemos que la tasa de fallos se puede escribir.Infiabilidad o Función acumulativa de fallos t .Tiempo En 1951 Weibull propuso que la expresión empírica más simple que podía representar una gran variedad de datos reales podía obtenerse escribiendo : por lo que la fiabilidad será: .Fiabilidad F (t) .Tasa de fallos R (t) . siendo : t0 . La distribución de Weibull se representa normalmente por la función acumulativa de distribución de fallos F (t): siendo la función densidad de probabilidad: La tasa de fallos para esta distribución es: .parámetro inicial de localización η .parámetro de forma Se ha podido demostrar que gran cantidad de representaciones de fiabilidades reales pueden ser obtenidas a través de ésta ecuación. es de muy fácil aplicación. que como se mostrará.parámetro de escala o vida característica ß . Las constantes que aparecen en las expresiones anteriores tienen una interpretación física: • t0 es el parámetro de posición (unidad de tiempos) 0 vida mínima y define el punto de partida u origen de la distribución. el 63.t 0) ≥ 0.368 (36. Por esta razón también se le llama usualmente vida característica. (2) y (3) sólo se aplican para valores de (t . η es el parámetro de escala. tasa de fallos y función acumulativa de fallos en función del tiempo para los distintos valores de ß. extensión de la distribución a lo largo.718 viene = dada por: 1/exp 0. según lo cual dado que F (t) = 1 .368 = 0. Para valores de (t .2 % de la población se espera que falle. Las variaciones de la densidad de probabilidad. del eje de los tiempos.8%) • Entonces la constante representa también el tiempo.0.Las ecuaciones (1). las funciones de densidad y la tasa de fallos valen 0. • ß es el parámetro de forma y representa la pendiente de la recta describiendo el grado de variación de la tasa de fallos. están representados gráficamente en la Figura 1.t0) < 0. . cualquiera que sea el valor de ß ya que como hemos visto su valor no influye en los cálculos realizados. R (t) = Cuando exp (t (1)ß = t0) = η 1ß la = 1 fiabilidad / 2. medido a partir de t0 = 0.632. y: o si ß < 1 la tasa de fallos disminuye con la edad sin llegar a cero. . tasa de fallos λ (t) y la función acumulativa de fallos F(t) en función del tiempo para distintos valores del parámetro de forma ß Representación de los modos de fallo mediante la distribución de weibull En el estudio de la distribución se pueden dar las siguientes combinaciones de los parámetros de Weibull con mecanismos de fallo particulares: a. t0 = 0: el mecanismo no tiene una duración de fiabilidad intrínseca. 1: Variación de la densidad de probabilidad f (t). dando lugar a fallos por tensión de rotura.Fig. por lo que podemos suponer que nos encontramos en la juventud del componente con un margen de seguridad bajo. como resultado de un margen de seguridad bajo. o c.5 ) pueden asociarse con ciclos de fatigas bajos y los valores de b más elevados (~ 0. η . en el que intervienen ecuaciones diferenciales difíciles de resolver. y además: o si ß < 1 hay fatiga u otro tipo de desgaste en el que la tasa de fallo disminuye con el tiempo después de un súbito incremento hasta t0 . o o b.8) con ciclos más altos. de otro modo o si ß < 1 podría tratarse de un fallo de juventud antes de su puesta en servicio. si ß = 3. o Análisis de Weibull Uno de los problemas fundamentales de la distribución de Weibull es la evaluación de los parámetros ( t0. t0 > 0: El mecanismo es intrínsecamente fiable desde el momento en que fue puesto en servicio hasta que t = t0 . que utiliza un papel a escala . si ß > 1 se trata de un desgaste por una disminución constante de la resistencia iniciado antes de su puesta en servicio. y mediante la resolución gráfica.o si ß = 1 la tasa de fallo se mantiene constante siempre lo que nos indica una característica de fallos aleatoria o pseudo-aleatoria.44 se cumple que la media es igual a la mediana y la distribución de Weibull es sensiblemente igual a la normal. valores de ß bajos ( ~ 0. En este caso nos encontramos que la distribución de Weibull es igual a la exponencial. si ß > 1 la tasa de fallo se incrementa con la edad de forma continua lo que indica que los desgastes empiezan en el momento en que el mecanismo se pone en servicio. Para ello se dispone de dos métodos: a través únicamente del cálculo mediante el método de los momentos o el de máxima verosimilitud. por lo que se utilizan poco. ß) de esta distribución. Indica que el mecanismo fue utilizado o tuvo fallos antes de iniciar la toma de datos. si ß > 1 hay una erosión o desgaste similar en la que la constante de duración de carga disminuye continuamente con el incremento de la carga. por ejemplo debido a una vida propia limitada que ha finalizado o era inadecuada. t0 < 0. 2 y 3) está graduado a escala funcional de la siguiente forma: En el eje de ordenadas se tiene: In In [ 1 / 1 .F (t) ] (Doble logaritmo neperiano) En el eje de abscisas. Resolución gráfica El papel de Weibull (fig. 2: Muestra del papel de Weibull .t0) Existen tres casos posibles en función del valor de t0 Fig. tenemos: In (t .funcional llamado papel de Weibull o gráfico de Allen Plait que es el que vamos a desarrollar. Para calcularlo. • Cálculo de η : η es el parámetro de escala y su valor viene dado por la intersección de la recta trazada con la línea paralela al eje de abscisas correspondiente al 63. 3.F (t)] = 0 .Fig. En efecto se demuestra que para la ordenada t0 = 0. Y = In In 1 / [1 . • Cálculo de ß: ß es el parámetro de forma y representa la pendiente de la recta.2 de ordenadas pudiendo leer directamente el valor de ß en una escala tabulada de 0 a 7. Ver gráfico en fig. 3: Lectura de los parámetros h y ß en el papel de Weibull Para determinar los parámetros ß y η se utiliza el papel de Weibull.2. se hace pasar una recta paralela a la recta obtenida con la representación gráfica de los datos de partida por el punto 1 de abscisas y 63. F (t) = 63.2 % de fallos acumulados. 3679 = 0. 1 .F (t)] = e.In 1 / [1 .7183] = 1 . ya que la escala de abscisas está como ya se ha indicado en In t.F (t)] = 1. X = In η Como X = In t.6321 (63.[ 1/e ] = 1 .ß In η = 0. ß X = ß In η . • Tiempo medio entre fallos (MTBF) o media: el tiempo medio entre fallos o vida media se calcula con la ayuda de la tabla 1.21 %) de donde para t0 = 0 tendremos que AX + B = 0. 1 / [1 .[Γ ( 1 + 1 / ß ) ] 2 Tabla 1: Fiabilidad .0.F (t) = 1/e. tenemos que t = η . que nos da los valores de gamma y vale: E ( t ) = MTBF = η Γ ( 1 + 1 / ß ) • Desviación estándar o variancia σ : se calcula también con la ayuda de la tabla 1 y vale: (σ / η ) 2 = Γ ( 1 + 2 / ß ) . como según hemos visto anteriormente: A = ß B = .ß In η tendremos que se cumple: ß X . F (t) = 1 .2.[1/2. η es el valor leído directamente en el gráfico de Allen Plait para la ordenada 63. falle entre t y t + dt. λ (t). principalmente. En este caso la variable independiente de la distribución es el tiempo (figura 1).Distribución Lognormal La distribución lognormal tiene. . Representa la evolución con el tiempo de la tasa de fallos. la correspondiente a los fallos infantiles en la "curva de la bañera" entendiéndose como tasa de fallos la probabilidad de que un componente que ha funcionado hasta el instante t. Permite fijar tiempos de reparación de componentes. siendo también en este caso el tiempo la variable independiente de la distribución. b. en la primera fase de vida de un componente. las siguientes aplicaciones: a. . Es el caso en el que las variaciones en la fiabilidad de una misma clase de componentes técnicos se representan considerando la tasa de fallos λ aleatoria en lugar de una variable constante. distintas condiciones de operación. Fig.c. En este caso la variable independiente de la distribución es la tasa de fallos. 1: Curva típica de la evolución de la tasa de fallos Características de la distribución La distribución lognormal se obtiene cuando los logaritmos de una Variable se describen mediante una distribución normal. Describe la dispersión de las tasas de fallo de componentes. ocasionada por diferente origen de los datos. bancos de datos diferentes. etc. Es la distribución natural a utilizar cuando las desviaciones a partir del valor del modelo están formadas por factores. proporciones o porcentajes más que por valores absolutos como es el caso de la distribución normal. entorno. se ajusta bien a un gran número de distribuciones empíricas. Esta propiedad se puede apreciar en la figura 2. según veremos.La distribución lognormal tiene dos parámetros: m* (media aritmética del logaritmo de los datos o tasa de fallos) y σ (desviación estándar del logaritmo de los datos o tasa de fallos). Propiedades La distribución lognormal se caracteriza por las siguientes propiedades: • Asigna a valores de la variable < 0 la probabilidad 0 y de este modo se ajusta a las tasas y probabilidades de fallo que de esta forma sólo pueden ser positivas. a ser pesimista. Como depende de dos parámetros. De este modo da más importancia a los valores grandes de las tasas de fallo que una distribución normal con los mismos percentiles del 5% y 50% tendiendo. La esperanza matemática o media en la distribución lognormal es mayor que su mediana. • • • . por tanto. Es idónea para parámetros que son a su vez producto de numerosas cantidades aleatorias (múltiples efectos que influyen sobre la fiabilidad de un componente). (Distribución normal normalizada a 1. vida de los aislamientos eléctricos.Fig. procesos continuos (procesos técnicos) y datos de reparación y puede ser una buena representación de la distribución de los tiempos de reparación. Es también una distribución importante en la valoración de sistemas con reparación. tales como aquellos en los que un cambio en la variable en cualquier punto de un proceso es una proporción aleatoria del valor previo de la variable. La distribución lognormal es importante en la representación de fenómenos de efectos proporcionales. Por tanto podemos obtener la función densidad de probabilidad de la distribución lognormal a partir de la distribución normal mediante la transformación: τ = In t (1) Donde t está distribuida normalmente. La función densidad de probabilidad de la distribución normal es: . 2: Comparación entre una distribución normal y una lognormal con los mismos percentiles del 5% y 50%. Según hemos visto. la distribución lognormal es aquella en que el logaritmo de la variable está distribuido normalmente. Algunos fallos en el programa de mantenimiento entran en esta categoría. distribución lognormal con el mismo factor) Variable independiente: el tiempo La distribución lognormal se ajusta a ciertos tipos de fallos (fatiga de componentes metálicos). Para la distribución normal el parámetro de localización. τ por lo que se cumple que: 0 es también la media. Condición: f (t) d t = f (τ ) d τ (4) y por tanto: Teniendo en cuenta la transformación (1) se tiene: . τ Donde τ τ 0 0 =τ m (3) = parámetro de localización = media m En la transformación de cualquier distribución estadística se debe satisfacer la siguiente. donde aparece la función densidad de probabilidad de la distribución lognormal para distintos valores de σ (0. 0. 1. (2) y (6) en la (5) obteniéndose: siendo σ = desviación estándar en la distribución normal tm = tiempo medio t = tiempo La ecuación (7) también puede escribirse de la siguiente forma: Se puede resaltar que el parámetro de localización de la distribución normal original se ha convertido ahora en un parámetro de escala coincidente con la media.Entonces la distribución lognormal puede ser obtenida sustituyendo las igualdades (1).4. .6.0 y 1. La dispersión a es también un parámetro de forma según se puede ver en la figura 3.4). 3: Función densidad de probabilidad para distintos valores de σ (0.2 la distribución lognormal se aproxima a la distribución normal. .4) Para valores medios y altos de σ . la distribución lognormal es significativamente asimétrica. Si σ se acerca a la unidad. (Ver figura 4). pero a medida que a decrece la distribución es más simétrica. la distribución lognormal es equivalente aproximadamente a la distribución exponencial negativa.4 a 1.Fig. También se puede observar que para valores de σ < 0. Fig. Sus valores se obtienen mediante las siguientes . de los logaritmos de las tasas de fallos. 4: Comparación entre la distribución lognormal y las distribuciones normal y exponencial Variable independiente: la tasa de fallos La aplicación más importante de la distribución lognormal es la descripción de la dispersión existente en los datos de tasas de fallos de componentes.∞ < m* < ∞ En la ecuación (13) m* y σ estimaciones: 2 son la esperanza o media y la varianza. se puede escribir a partir de la ecuación (7) de la siguiente forma: con λ > 0. σ > 0. respectivamente. La función densidad de λ . . Siendo N el número total de valores de la tasa de fallos de un componente. . monografias.gobierno.uba.jmcprl.%20Confiabilidad.pdf • http://www.com/j%20guadalupe %20articulos/MANTENIMIENTO%20CENTRALIZADO%20EN%20LA %20CONFIABILIDAD.jmcprl.net/ntps/@datos/ntp_418.carlosruizbolivar. pdf • • • http://www.pr/NR/rdonlyres/CC1286A8-310F-48CF-AB2CD30417D9AF78/0/15confiabilidad.net/ntps/@datos/ntp_331.solomantenimiento.com/trabajos16/confiabilidad/confiabilidad.com/m_confiabilidad_crm.shtml • http://focuslab.com/articulos/archivos/Curso%20CII%20%20UCLA %20Art.ar/public/CursoTErrores2k4/Monografias2005/Ana_E_Luna.lfp.mantenimientoplanificado.pdf • • http://www.htm http://www.shtml http://www.com/trabajos62/estadistica-aplicadamantenimiento/estadistica-aplicada-mantenimiento2.Referencias Bibliográficas • • http://www.net/ntps/@datos/ntp_316.monografias.htm .htm http://www.htm http://www.pdf • http://www.jmcprl.