La distribución binomialLUIS ARMANDO VERDIN MEDINA Introducción En las empresas tenemos muchas situaciones donde se espera que ocurra o no un evento específico. Éste puede ser de éxito o fracaso sin dar paso a un punto medio. Por ejemplo, en la producción de un artículo, éste puede salir bueno o malo. Casi bueno no es un resultado de interés. Para situaciones como éstas se utiliza la distribución binomial. En este módulo se describe el uso de la distribución binomial para obtener la probabilidad de ocurrencia de ese evento que representa un resultado esperado. Objetivo general Esperamos que cuando termines esta presentación puedas utilizar la distribución binomial para obtener las probabilidades de aquellas situaciones gerenciales con dos posibles resultados. . la varianza y la desviación estándar utilizando las variables de la distribución binomial. . Determinar los valores de éxitos p y fracasos q para establecer las bases para el cómputo de las probabilidades. Establecer el promedio.Objetivos específicos Además. esperamos que puedas: Identificar las propiedades de una distribución binomial. Bernoulli definió el proceso conocido por su nombre el cual establece las bases para el desarrollo y utilización de la distribución binomial.Dato histórico El cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo con el trabajo del matemático suizo Jacob Bernoulli (1654-1705). . Un articulo puede ser clasificado como defectuoso o no defectuoso. En pruebas de cierto o falso sólo hay dos alternativas.Utilidad La distribución binomial se utiliza en situaciones cuya solución tiene dos posibles resultados. Por ejemplo: Al nacer un/a bebé puede ser hombre o mujer. . La meta de producción o ventas del mes se pueden o no lograr. En pruebas de selección múltiple.Utilidad También se utiliza cuando el resultado se puede reducir a dos opciones. Por ejemplo: Un tratamiento médico puede ser efectivo o inefectivo. Estos ejemplos los podemos considerar como “experimentos de Bernoulli” . aunque hay cuatro o cinco alternativas. se pueden clasificar como correcta o incorrecta. la representamos por p.El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos en pruebas anteriores.p y la representamos por q . 3 . Si repetimos el experimento n veces podemos obtener resultados para la construcción de la distribución binomial. La probabilidad del complemento es 1. . 2 . y no varía de una prueba a otra.Propiedades de un experimento de Bernoulli 1 .En cada prueba del experimento sólo hay dos posibles resultados: éxitos o fracasos.La probabilidad de un suceso es constante. . Los resutados de cada experimento son mutuamente excluyentes. Para contruirla necesitamos: 1 .la cantidad de pruebas n 2 .La distribución binomial La distribución de probabilidad binomial es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta.utilizar la función matemática. Esta formada por una serie de experimentos de Bernoulli.la probabilidad de éxitos p 3 . 1-p .es la probabilidad de éxito.también se le denomina como “q ” .La función P(x=k) A continuación vemos La función de probabilidad de la distribución Binomial. p .es el número de aciertos. también denominada Función de la distribución de Bernoulli: k .es el número de experimentos. que salga "cara" al lanzar la moneda. n . como por ejemplo. que la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar 10 veces una moneda es de 20.50 La fórmula quedaría: P (k = 6) = 0.5% . Esto es x=6 El número de experimentos n son 10 La probabilidad de éxito p.205 Es decir. . es decir. que salga "cara" al lanzar la moneda es 50% ó 0.Ejemplo1 de la función F(x=k) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces? El número de aciertos k es 6. que la probabilidad de obtener cuatro veces el números 3 al tirar un dado 8 veces es de 2. Esto es x=4 El número de experimentos n son 8 La probabilidad de éxito p (probabilidad de que salga un 3 al tirar el dado) es 1 / 6 (= 0.6%.1666) La fórmula queda: P (k = 4) = 0. .026 Es decir.Ejemplo 2 de la función F(x=k) ¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro veces el número 3 al lanzar un dado ocho veces? El número de aciertos k es 4. Busque en la parte izquierda de la tabla n=12. luego en la parte superiror p=0. Determine la probabilidad de que en una muestra de 12 se encuentren 2 cámaras defectuosas.Ejemplo 3 B(n.05 .p) probabilidad binomial En una fábrica de cámaras el 5% sale con defectos. Esto es P (k=2).05). La probabilidad estará en x=2 . 0. Debemos calcular la probabilidad de que x sea igual a k que en este caso es 2. Solución : Se trata de una distribución binomial de parámetros B(12. 1285 . Solución : Se trata de una distribución binomial de parámetros B(15. 0.p) Compruebe el cómputo utilizando una calculadora de probabilidad binomial En una oficina de servicio al cliente se atienden 100 personas diarias. El resultado es 0.Ejemplo 4 B(n.10). Determine la probabilidad de que en una encuesta a 15 clientes 3 no hayan recibido un buen servicio. Por lo general 10 personas se van sin recibir bien el servicio. Debemos calcular la probabilidad P(X=3). Además. El valor de q es el complemento de p y se obtiene con 1 – p.En resumen En este módulo hemos determinado la probabilidad binomial mediante el uso de la función binomial. MINITAB y la calculadora. . aprendimos que: La distribución binomial se forma de una serie de experimentos de Bernoulli La media (μ) en la distribución binomial se obtiene con el producto de n x p La desviación estándar (σ ) en la distribución binomial se obtiene del producto de n x p x q. 0486 . Si un comprador elige 4 verduras al azar.2916 + 0. b) de 1 a 3 estén descompuestas. encuentre la probabilidad de que. Para resolver la pregunta “b” repase el modulo de las reglas de probabilidad.Ejercicio de prueba #1 Un comerciante de verduras tienen conocimiento de que el 10% de la caja está descompuesta. a) las 4 estén descompuestas.6561 + 0. En este caso se resuelve sumando las probabilidades P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) = 0. hallar la probabilidad de que. Si se instalan 20 de estos amortiguadores.Ejercicio de prueba #2 En pruebas realizadas a un amortiguador para automóvil se encontró que el 20% presentaban fuga de aceite. c) de 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos. . En la “c” debe sumar P(x=3) + P(x=4) + P(x=5) + P(x=6). a) 4 salgan defectuosos. b) más de 5 tengan fuga de aceite. La pregunta “b” debe sumar las probabilidades desde P(x=6) en adelante. d) Determine el promedio y la desviación estándar de amortiguadores con defectos. a) ninguno esté defectuoso. inspecciona una muestra al azar de 10 alternadores de un lotes. Si el 15% de los alternadores del lote están defectuosos. Cuál es la probabilidad de que en la muestra. b) uno salga defectuoso.Ejercicio de prueba #3 Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica. c) al menos dos salgan defectuosos d) más de tres estén Para con ladefectos pregunta “d” puede realizar la siguiente operación: 1 – [P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)] . 95. a) 12 duren menos de un año. c) al menos 2 duren menos de un año. . calcular la probabilidad de que en una muestra de 15.Ejercicio de prueba #4 La probabilidad de que un CD de música dure al menos un año sin que falle es de 0. b) a lo más 5 duren menos de un año. Ejercicio de prueba #5 Si 6 de 18 proyectos de viviendas violan el código de construcción. ¿cuál es la probabilidad de que un inspector de viviendas. descubra que: a) ninguna de las casas viola el código de construcción b) una viola el código de construcción c) dos violan el código de construcción d) al menos tres violan el código de construcción . que selecciona aleatoriamente a cuatro de ellas. Experimento de Bernoulli – Experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso). Experimento independiente – Cuando el resultado de un experimento no tiene influencia en el resultado de otro experimento . Distribución binomial – Distribución discreta que se aplica cuando se realizan más de una vez y de forma independiente el experimento de Bernoulli.Glosario de términos Distribución de probabilidad discreta .distribución con un número finito de valores. servicios completados. Es la ocurrencia del evento que no es de interés. Resultados mutuamente excluyentes – Son resultados que no pueden ocurrir al mismo tiempo. no puede salir defectuoso al mismo tiempo. . Si un producto sale bueno. Fracasos – Es el complemento de los éxitos.Glosario de términos Éxitos – Es la ocurrencia del evento de interés como cantidad de defectos. llamadas recibidas. Statistics. (2006). ( 8tva ed. A. Bluman.) México: Thomson. New York: Mc Graw Hil. Statistics for Business And Economics. Ed.Referencias Anderson. S.pdf . (6ta ed.). G. Newbold. Estadísticas para administración y economía.New York.es/teaching/estad/MC/taules/com-usartaules. http://karnak. P. (2007). (5ta.).upc. New Jersey: Prentice Hall. 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