ESTADISTICA ADMINISTRATIVA 1. UNIDAD 111. 1. Distribuciones de probabilidad discreta y continua. Variables Aleatorias (v.a): son los valores que puede asignársele y que está relacionado con un experimento estadístico. Algunos ejemplos: Artículos defectuoso en un lote, preguntas contestadas correctamente por un estudiante en un examen, número de estudiantes que adquieren un software, duración de un artículo eléctrico en horas o unidad de tiempo, suma de los puntos que caen hacia arriba al tirar dos dados normales, no cargados. Las v.a, se dividen en Discretas y continuas: V.a, discretas. Cuando en un experimento estadístico se relacionan con un espacio muestral finito, contable o que se pueden enumerar sus valores de forma específica o individual: Por ejemplo. Artículos defectuoso en un lote de producción en un turno determinado, preguntas contestadas correctamente por un estudiante en un examen de estadística, número de estudiantes que adquieren un software, número de vehículos que doblan a la izquierda en una vez dada la luz verde en una calle. V. a continua. Están relacionadas con espacios muéstrales continuos, en un experimento estadístico donde los resultados no son observaciones individuales o mediciones directas. Requieren de la definición de un modelo matemático o función, (f(X) y se relacionan con el área bajo una curva en un intervalo que va de a≤ X ≤b, a, b son los límites donde se define la función f(x) o sea que no que se pueden enumerar o describir sus valores de forma individual o puntual o sea que no se pueden enumerar sus valores de forma especifica: Por ejemplo. Duración de un artículo eléctrico en horas o unidad de tiempo, Cantidad de lluvia que cae en un área determinada, precio de un artículo, diámetro de una flecha VARIABLES ALEATORIAS Y ESPERANZA MATEMATICA O VALOR ESPERADO. -Tiene una distribución de probabilidad. -Para cada valor o intervalo esta asociado con una probabilidad, que va de 0 a 1. - la suma de sus probabilidades individuales es igual a 1 (uno). -Se describe un espacio muestral. -Tiene un valor esperado o promedio. Tiene una varianza y un desviación estándar. -Se puede graficar y representar sus valores que la caracterizan en dicha grafica. Ejemplos: 1) Se lanza una moneda 4 veces, a) elabore un diagrama de árbol y describa los resultados posibles del espacio muestral, b) defina la variable aleatoria como el número de caras que aparecen en cada ensayo, c) determine los valores que se asignan a la variable aleatoria y determine la probabilidad para cada valor, preséntelos en una tabla d) encuentre el valor esperado, su varianza y desviación estándar, e) haga la grafica de la distribución de probabilidad y represente los valores que la caracterizan, (µ,σ). 2) Un vendedor ha encontrado la probabilidad de hacer diferentes números de ventas diarias, dado que se pueden hacer 10 llamadas a compradores potenciales; éstas se presentan en la tabla a continuación. a) Encuentre el valor esperado (μ=E₍x₎ y su desviación estándar (σ), b) haga la grafica de la distribución de probabilidad y represente los valores que la caracterizan μ y σ. Número de ventas(X) Probabilidad P(X) 1 0.0 4 2 0.1 5 3 0.2 0 4 0.2 5 5 0.1 9 6 0.1 0 7 0.0 5 8 0.0 2 E(x)= xi.p(xi)=1(0.04)+2(0.159)+3(0.20) 3) Si en el problema anterior el representante de ventas gana una comisión de $ 25 por venta. A) Hallar el monto esperado de comisión, b) Multiplicando el número de ventas esperadas. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Se basa en los ensayos de Bernoulli en la cual el experimento tiene dos posibles resultados y asigna a la Variable aleatoria un valor de uno para el éxito y 0 al fracaso, lo que da que p+q=1. La fórmula de la función Binomial es: n=número de ensayos o repeticiones (n=constante), x=éxitos deseados, p= probabilidad de éxito (p=constante durante los n ensayos), q= probabilidad de fracaso (p+q=1). Su media y varianza son: CSCS. SSCS y SSSC CCSS. CSCS. CSCS. c) determine los valores que se asignan a la variable aleatoria y determine la probabilidad para cada valor. Como puede observarse. CCSS.Media: µ=n p.CCSC. SSCC. cero caras. p q. SSCS. Como ya se vio. dos caras. SSSC. por lo que su desviación Parámetros de la distribución Binomial: n y p. tienen que resultar los siguientes 4 resultados o combinaciones. SCSC. SCCS. como puede verificarse. CSSC. es: {CCCC. El cuadro siguiente resume esta información procurando una mejor comprensión del estudiante. SSCS y SSSC. CCSC. SSCC. a) elabore un diagrama de árbol y describa los resultados posibles del espacio muestral. Para que x=1. una cara. CSSC. SCSS. Varianza: V(X)=σ²=n estándar está dada . SCCS. CSCC. Сx ₄С₀ ₄С1 n ₄С₂ ₄С₃ . CSSS. tres caras. Para x=3. tiene que resultar un solo resultado o sea que en los cuatro lanzamientos suceda SSSS. Partiendo del diagrama de árbol del problema 1. SCCC. CCCS. Variabl e aleatori a (x) 0 Como puede suceder x. Por inducción trataremos de llegar a la función de probabilidad de la distribución Binomial. las combinaciones o resultados serían 6. CSSS. por lo que se describe una distribución de probabilidad. SSSS 1 2 3 CSSS. Estos resultados probabilísticos suman uno. preséntelos en una tabla. todos los posibles resultados para la variable aleatoria definida como el numero de caras que aparecen al lanzar una moneda cuatro veces o lo que es lo mismo. SCSC. se tendría una sola combinación o sea que aparezcan las cuatro caras. del tema anterior en esta unidad en lo que se refiere lanzamiento de las cuatro monedas. SCSS. CSCC. cuatro caras. lanzar cuatro monedas al mismo tiempo. SCCC. CCSS. ninguna cara. CSCS. SCCS. CSCS. SCSC. SSCC CCCS. b) defina la variable aleatoria como el número de caras que aparecen en cada ensayo. para x=0. SSSS} o sea 16 resultados posibles. SCSS. serian 4 combinaciones y para x=4. Para x=2. CSSC. permanece constante para la n ensayos y es la probabilidad de éxito o de lo que deseamos que suceda. con p=1/2 y q=1/2 al tratarse de monedas normales. donde 4 la probabilidad de éxito elevado a la =q. ₄С₄ Como vemos las combinaciones nos dan los resultados como puede aparecer el número de cara.2500.4 CCCC. tal es elcaso posible x=3. (Resuelva con la formula y la tabla de probabilidades) a) ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro sean liberales? . El resultado de esta operación es 0. Para el caso de los 4 lanzamientos n=4 (proceso con remplazo) -Cada lanzamiento de la moneda es independiente o sea lo que suceda con el primer lanzamiento no influye en el o los siguientes -Para el caso de la moneda solo hay dos resultados probables (Cara o Sello). -Hay n ensayos repetidos y n es fija. Suponga que estas probabilidades son exactas y responda las siguientes preguntas referidas a 10 ciudadanos seleccionados al azar.15. de que sean liberales 0. resultado que es la probabilidad de que sucedan 3 caras al lanzar cuatro monedas. -Si cae cara no puede caer sello (son excluyentes estos resultados). -La probabilidad es contante para cada posibilidad (P=1/2).30 y de que estén entre una y otra orientación es 0.55. caen tres caras. Considere para esto que la distribución en estudio tiene las siguientes características. -La P=P(C)=1/2 y la probabilidad de que no caiga o que caiga sello es q=q (S)=1/2 o sea p+q=1 -P. 3 ya que se esperara 3 caras y . -X es el número de éxitos o aquellos resultados que esperamos que suceda (x≤n) Ejemplos: 1) El último sondeo político nacional indica que la probabilidad de que ciudadanos elegidos al azar sean conservadores es de 0. ya que 4-3=1. lo que es igual a p p p q + p p q p+ p q p p+ q p p p = 4 (factor) es la combinación ₄ C ₃ =4. calcular la probabilidad de que se apruebe el examen si se considera que las cinco primeras preguntas tienen tres respuestas opcionales y que las restantes cinco. considerando para esto ± 1σ. se drena cada lata y luego se pesa para ver si cumplen con las especificaciones de peso que se describe en cada lata (contenido en gramos). 4) si en el ejercicio anterior (2). n=642. 6) Previa encuesta a 1000 personas en donde se le pregunta su preferencia o no sobre un artículo de limpieza.21. (Usar la tabla de probabilidad) 5. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar el examen si: a) Cada pregunta tiene tres respuestas opcionales? b) Cada pregunta tiene cuatro respuestas opcionales? 8) Para el ejercicio 7.2 y n = 4. 3. Se sabe por experiencia que el 6% de estos productos vienen por debajo de dichas especificaciones. P=0. Haga la gráfica de esta distribución. p= . que observa usted en la forma que toman estas gráficas. n cambia para que sea igual a 5. Calcular la probabilidad de que a lo más dos latas este por debajo de las especificaciones.b) ¿Cuál es la probabilidad de al menos uno sea conservador? c) ¿cuál es la probabilidad de que no más de 3 sean de uno u otro partido? d) cuando el numero de ensayos ( n) es grande se hace tedioso el proceso de calculo 2) Encuentre la media o valor esperado y la desviación estándar con los datos siguientes: a) n =15. b) n= 8. con p = 0. calcular las probabilidades de cada uno de los valores de x.. Dentro de que límites puede esperarse se encuentre el valor de E(x). Si se supone que está adivinando en cada pregunta la respuesta..20. 7) En cierto curso se distribuye un examen de opción múltiple con 10 preguntas. 15 y 20. una forma de aprobar el examen.De un lote de alimentos enlatados se extraen 5 piezas (latas) con producto alimenticio. p(X=7): . tiene cuatro: -Para x=7. para aprobarlo se requiere responder al menos 7 de las preguntas. su E(x) y desviación estándar. 350 de las personas contestaron afirmativo (que prefieren el artículo promocionado).si x es una variable aleatoria con una distribución Binomial.42. Hallar E(x) y la desviación estándar. P=0. 10. 5C5. en caso de no suceder A. -Para X=8. Si sucede el evento exitoso A. como la distribución Binomial. . p(X=8): 5C5. b) Obtener la probabilidad de que al menos una de 10 máquinas de ensamble se descomponga durante un determinado día.25 de que el agente lleve a cabo una entrevista determinada. 5C₄ (1/3)⁴(2/3)(1/4)⁴(3/4) + 5C₃. cuál es la probabilidad de que en una semana no se presenten accidentes. la distribución Binomial es apropiada. P(A)=p. DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA: Esta distribución indica el número de experimentos o ensayos que deben hacerse para lograr un primer resultado exitoso y se basa en experimentos Bernoulli. Calcular para p(X=9) y p(X=10).10. e) El número de radios defectuosos en un lote de 100 radios. P (Ā)=1-q. 5C₃ (1/3)⁴(2/3)(1/4)³(3/4)² + 5C2₃. en promedio. otra forma de aprobar el examen.00112. sumar p (x≥7) que será la solución final.00742. Aquí se consideran que las repeticiones son independientes. 5C₅ (1/3)³(2/3)²(1/4)⁵(3/4)˚ =0. 9) Diga para cuales de los siguientes problemas. 5C2 (1/3)⁵(2/3)˚(1/4)²(3/4)³ +5C₄. sabiendo que la probabilidad de que una máquina se descomponga en un día es de 0. 5C₃ (1/3)⁵(2/3)˚(1/4)³(3/4)² +5C₄. a) Determinar la probabilidad de que un agente de ventas lleve a cabo 2 ventas en 5 entrevistas. c) El número de accidente de trabajo es tres por semana. (Ā). si la probabilidad es 0. d) Determinación de la probabilidad de que el rendimiento de gasolina de un auto nuevo exceda las 25 millas por galón si se sabe que el rendimiento promedio es 28. 5C₅ (1/3)²(2/3)³(1/4)⁵(3/4)˚=0. 5C₄ (1/3)³(2/3)²(1/4)⁴(3/4) +5C₂. Varianza (V(X) o σ² y desviación estándar (σ)..30 de que diga sus líneas de corrido en una toma cualquiera. 2. Ejemplos: 1) En un diagrama de árbol y por inducción llegue a la determinación de la distribución geométrica p(X=x) = proceso y sus conclusiones.Se repite el experimento hasta que sucede por primera vez. La variable X. una variable Binomial y toma el nombre especial de distribución Geométrica cuando k=1. (Aquí marca la diferencia con la distribución Binomial). Por lo que la probabilidad se describe p(X=x) = La media (µ). se define como: Media=µ=1/p. por lo que toma valores de X=1. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se someta a . por lo que se fundamenta en la distribución Binomial negativa. describiendo el 2) Cuando se graba un comercial en televisión.30 y X toma valores mayores que cero éxitos. …. 3. ya que se desea el logro del primer éxito en alguna etapa de experimento. La grafica a continuación representa la distribución Geométrica cuan p=0. la persona tiene la probabilidad de 0. V(X)=q/p² y σ=√ σ². Nota: Esta distribución es como ya se dijo. la cual tiene como función de probabilidad . se define como el número de repeticiones necesarias hasta incluir el primer éxito o que suceda A. 05. b) el séptimo de estos dispositivos de medición sometidos a prueba. hacen la tarea alusivo al tema que se ve o pasa al pizarrón). ¿cuál es la probabilidad de que. Sin embargo si la población es pequeña y las extracciones no se remplazan las probabilidades no se mantendrán constantes. con p + q=l. • En la primera prueba las probabilidades son: P(A)= p y P(A)= q. La distribución hipergeométrica puede derivarse de un proceso experimental puro o de Bernouilli con las siguientes características: • El proceso consta de n pruebas. . separadas o separables de entre un conjunto de N pruebas posibles. o bien la consideración de una población muy grande.esta acción lea sus líneas de corrido por primera vez en el cuarto intento? ¿Cuál es la probabilidad de que lea de corrido por primera vez en el sexto intento o toma? 3) Sí la probabilidad de que un cierto dispositivo de medición muestre una desviación excesiva es de 0. DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA: Hasta ahora hemos analizado distribuciones que modelizaban situaciones en las que se realizaban pruebas que entrañaban una dicotomía (proceso de Bernouilli) de manera que en cada experiencia la probabilidad de obtener cada uno de los dos posibles resultados se mantenía constante. (Represente en un diagrama de árbol este proceso y los cálculos correspondientes) 5) Una máquina detecta fallas en los productos que elabora una fabrica. Si el proceso consistía en una serie de extracciones o selecciones ello implicaba la reposición de cada extracción o selección. Si los productos tienen una probabilidad de falla del 5%. calcular probabilidad de que al seleccionar un estudiante en la cuarta ocasión sea el primero que extraemos y que participa en el curso. En ese caso las distribuciones anteriores no nos servirán para la modelizar la situación. a) el sexto de estos dispositivos de medición sometidos a prueba sea el primero en mostrar una desviación excesiva?. sea el primero que no muestre una desviación excesiva? 4) Del salón de clase el 40% de los estudiantes generalmente participan en el curso (clase. ¿Cuál sería la probabilidad de que el que participa se extraiga en la segunda ocasión. La distribución hipergeométrica viene a cubrir esta necesidad de modelizar procesos de Bernouilli con probabilidades no constantes (sin re emplazamiento). • Cada una de las pruebas puede dar únicamente dos resultados mutuamente excluyentes: A y no A. calcular la probabilidad de que la maquina encuentre su primer producto defectuoso en la octava ocasión que selecciona un producto para su inspección. k)= K=Elementos que tienen la característica A. n. Ejemplos: 1) Como parte de un estudio sobre contaminación del aire. b) h(x>1.2880. o sea Ā. k)=h(x. número de éxitos deseados. 24-4C6-0/24C6=0. 6. n=Tamaño de la muestra y puede contener elementos de A o Ā. se inspecciona todo el lote y el costo se carga al distribuidor. FORMULA DE LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA: p=(X=x)=h(x: N. en caso contrario. dependiendo de los resultados anteriores. o sea que tienen las características de interés de estudio. X=0 (ninguno). n=6. . p. n.Las probabilidades de obtener un resultado A y de obtener un resultado no A (A) ̄ varían en las sucesivas pruebas. N. 2) Un ingeniero de control de calidad inspecciona una muestra al azar de 2 calculadoras portátiles de 18 unidades que llega y acepta el lote si ambas están en buenas condiciones de funcionamiento. N=24. un inspector decide examinar la emisión de gases de 6 de los 24 camiones de carga de cierta compañía. Parámetros de la distribución Hipergeométrica: N. 6. 24. 4)= 4C0. N= Tamaño de la población total y contiene elementos con las características de A y de no A. N-k= Elementos que tienen las características de Ā o sea no contienen elementos con las características de A. 24-4C6-1/24C6. n. Este resultado se le resta a 1y se tiene la solución???.4)=4C0.x=Tamaño de la muestra a la cual se le resta x. Si 4 de los camiones de la compañía emiten cantidades excesivas de contaminantes.24. X= Éxitos que se desean de los elementos que tienen las características A. N-k=24-4. H (x. a) ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de ellos sea incluido en la muestra del inspector? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos estén en la muestra? Sol: a) k=4. ¿Cuáles son las probabilidades de que este lote sea aceptado sin mayor inspección si contiene: a) 4 calculadoras que no están en buenas condiciones de funcionamiento? B) 8 calculadoras que están en malas condiciones de funcionamiento? C) 12 calculadoras que no se encuentran en buenas condiciones de funcionamiento. n. 24-4C6-0/24C6 + 4C1. b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos? Sol: a) 1-h(x=0. 2. Haga los cálculos mediante a) la distribución hipergeométrica. 3 o 4 identificaciones de personas menores de edad) p( x = 0 .2ó3tabletas .2. x = 0. 6) ó h(x=1. de los cuales 4 no tienen la edad suficiente?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que como máximo 2 de las identificaciones pertenezcan a menores de edad? Sol: a) N = 9 total de estudiantes. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas. 1. 15. 3 o 4 identificaciones de personas menores de edad p( x = 2.3. Si se seleccionan al azar 3 de estas y se envían a un cliente. 4) Para evitar que lo descubran en la aduana.184615. a = 4 estudiantes menores de edad. 1. 15. un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. 3.15. n = 3 ) = 6 C1* 9 C2 6 C2* 9 C1 6 C3* 9 C0 + + = 15 C3 15 C3 15 C3 = ( 6 )( 36 ) ( 15 )( 9 ) ( 20 )( 1 ) 216 + 135 + 20 371 + + = = = 0. x = variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores de edad. 6)= 0.6) = p( x = 1. 3.81538 455 455 455 455 455 p(viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = p(de que entre las 3 tabletas seleccionadas haya 1 o más tabletas de narcótico).1. x = 2. k = 4 estudiantes menores de edad. 2.238095 126 Sol: b) N = 9 total de estudiantes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?. h(x=0. b) p(no sea arrestado por posesión de narcóticos): Sol. n = 5 identificaciones seleccionadas.n = 5 ) = 4 C2 * 5 C3 9 C5 = ( 3 )( 10 ) = 0. variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores de edad (todos los valores que puede tomar x = 0. n = 5 ) = 4 C0* 5 C5 + 4 C1* 5 C4 + 4 C2* 5 C3 ( 1 )( 1 ) + ( 4 )( 5 ) + ( 6 )( 10 ) = = 126 9 C5 . n = 5 identificaciones seleccionadas.2. 3. 5) a)¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehúse a servir bebidas alcohólicas únicamente a dos menores de edad si verifica aleatoriamente solo 5 identificaciones de entre 9 estudiantes. determine la probabilidad de que este reciba exactamente una unidad defectuosa.3) Un cargamento de 80 alarmas contra robo contiene 4 que están defectuosas. b) mediante la fórmula de la distribución Binomial. 0. Una compañía manufacturera utiliza un esquema para la aceptación de los artículos producidos antes de ser embarcados. la caja se embarca. Si no se encuentra ningún artículo defectuoso. (n≥100 y np≤10) ó n→∞) y p→0. a)¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que tiene tres artículos defectuosos?. P (x=k)= Probabilidad de x ocurrencias en determinado intervalo. la caja entera se regresa para verificarla al 100%. n!=n(n-1)(n-2)…. Parámetro de la distribución: λ (lambda).7182818 (e= es la base de los logaritmos naturales y su valor aquí es aproximado). Se aproxima a la distribución Binomial cuando el valor de n (numero de ensayos) es grande. área o producto. b)¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene solo un artículo defectuoso se regresa para verificación? Media y varianza de la distribución hipergeométrica. X!= factorial de X. Ejemplos de aplicación: . DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE POISSON. (Igual a la media o promedio de ocurrencias en un intervalo de tiempo. área o volumen. a la media de la distribución Binomial . Se preparan cajas de 25 para embarque y se selecciona una muestra de 3 para verificar si tienen algún artículo defectuoso. Formula de la distribución o función de distribución poisson : P(x=k. λ= n p= µ. Se hace tedioso el proceso de cálculo de la Binomial cuando n es grande. X= éxitos deseados que ocurran en el intervalo dado o una región especifica (área o volumen) Base e=2. λ)= . 1781-1840. Si se encuentra uno. σ² = nk(N-k)(N-n)/N²(N-1). Esta distribución de probabilidad recibe el nombre en honor al gran matemático Francés. El plan es de dos etapas.1. Siméon Denis Poisson.= 1 + 20 + 60 81 = = 0. λ = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo. µ=n k/N.64286 126 126 4. 0034…… 9.5 X 0 1 2 0. Con la fórmula y con apoyo de la tabla de probabilidades. +El número de personas que llega a un banco a solicitar un servicio.0046 0. etc. + La llegada de carros a una caseta de pago de cuota o a un cajero automático. 0.0015 0. P (x≥2). TABLA (resumen) λ 6. (Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo. Debe cumplirse para aplicar esta distribución las siguientes condiciones: + La probabilidad de ocurrencia del evento es la misma en cada intervalo de igual longitud.2 …….0001 0. es útil cuando tratamos con la cantidad de ocurrencias en un evento a lo largo de un intervalo de tiempo (llamadas que llegan en 10.0043 0. área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado.. pieza.5 hallar p (x≤3). área (semillas que no germinaron en cada 10 metros cuadrados). tiempo. Ejemplos para el uso de la tabla: .0007…….5 y λ=6. la probabilidad de que sucedan más de uno es despreciable. 60 minutos a un conmutador).5 ………… . P(x=6).0010 0. En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área. artículos con defectos (manchas 0 algún defecto con que salen los carros nuevos al salir del proceso de pintura). 30.Para cada valor de λ=9.: Aplicar la fórmula de probabilidad de Poisson en los siguientes problemas: Los cálculos para encontrar probabilidades puede hacerse manual (con apoyo de una calculadora) y usando de tabla de probabilidades.La variable aleatoria discreta aquí estudiada. 9.0001…… 0.0001 0. + La llegada de automóviles a un establecimiento de lavado. + La ocurrencia o no ocurrencia del evento en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no de cualquier otro.0009 0. así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado) En un intervalo de tiempo se considera que solo un resultado sucede.1 9..0430 0.0113 0. etc. 05 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ) P(X.16 49 0. 100.00 59 0.17 55 0. λ=np =5) 0..13 96 0. c) La probabilidad de que lleguen 2 o más automóviles en 15 minutos. p) y P(X.05: b(X.0319 0. 0.14 62 0.14 04 0.15 00 0. b) la probabilidad de que no llegue ninguno en los 30 minutos. con n=100 y p=0. .01 81 El eje horizontal es el índice k.17 55 0.03 37 0. 1.18 00 0.2237 0.06 53 0.Comparación de las probabilidades entre la distribución Binomial y Poisson.. 0.00 67 0. Para ello partimos de que la probabilidad de que llegue un automóvil es la misma para cualesquiera de dos periodos de tiempo de igual duración y que la llegada o no llegada de un automóvil en cualquier periodo de tiempo es independiente de la llegada o no llegada de cualquier otro. Las líneas que conectan los puntos son solo guías para el ojo y no indican continuidad.0254…….10 44 0. La función solamente está definida en valores enteros de k.17 81 0.03 12 0. Calcular a) la probabilidad de que lleguen 2 automóviles en los 30 minutos. es 6.1118 0. Ejemplos: 1) Suponga que estamos interesados en la cantidad de llegadas a la ventanilla de un cajero de un autobanco durante un periodo de 15 minutos en la mañana de los días hábiles.01 67 0.0107……. λ) Valor es X B(X. n. Con base en una muestra de datos históricos la cantidad de automóviles que llegan durante un intervalo de tiempo de 30 minutos.0140 0.0131 ………….08 42 0.10 60 0.03 63 0.0302 ……… 0.08 12 0.3 4 0.03 49 0. . Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos. se identifican 0. (x=λ=6) d) X= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en dos días consecutivos = 0.. 1. b) dos cheques en media jornada: Aquí lamda se divide entre 2 por que el intervalo es medio día o sea λ/2=6/2=3 en medio día. λ = 6 cheques sin fondo que llegan en promedio por día e = 2. etc.2 imperfecciones en promedio por minuto. a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera y puede tomar todos los valores de 0. 2. etc.13385. 2. ..7183 (redondeado diezmilésima después del decimal) p(x=k. λ = 6)= =0.. 3... a) cuatro cheques sin fondo en un día dado. Solución: . ¿cuáles son las probabilidades de que reciba. c) que el número de cheques sea igual a su promedio diario. 1..2) Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día. c) cuando más una imperfección en 15 minutos. 3) En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo. λ = promedio diario por el número de días o sea 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días consecutivos. λ)= p(x=4. etc. c) que el número de cheques sea igual a su promedio diario. 3. etc. λ)= .. (x=λ) d) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos? Sol: Formula: P(x=k..... b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos. . b) dos cheques en media jornada. a) x = 1. Variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 15 minutos λ = 0. variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata que se desean por cada 5 minutos λ = 0. estos defectos se observan y numeran del 0 al 4 o mayor.…. Determine cuantos carros salen del servicio de pintura a) para disponerse al mercado. El sitio web para los hoteles que incluyen desayunos en dos Países de alta infraestructura turística promedia aproximadamente siete visitas por minuto y permite a muchos de estos hoteles atraer huéspedes sin esperar años para ser mencionados en las guías turísticas. Se inspecciona una muestra de 500 carros recién pintados y se observa que el promedio de manchas es 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. b) x = 2. en algunos casos salen con defectos (manchas). (Verificar resultado) c) x = 0. Hallar para cada inciso: a) ¿La probabilidad de que no halla visitantes en el sitio web en un periodo de 1 minuto? b) ¿La probabilidad de dos o más visitantes en el sitio web en un periodo de 1 minuto? c) ¿La probabilidad de uno o más visitantes en el sitio web en un periodo de 30 segundos? d) ¿La probabilidad de cinco o más visitantes en el sitio web en un periodo de 1 minuto? 5) Los carros nuevos que salen del servicio de pintura se inspeccionan antes de salir al mercado.6 por cada 3 minutos en la hojalata x 3 =0. b) Cuántos se esperan que salieran con 2 o más manchas. Variable que nos define el número de imperfecciones por minuto en la hojalata. λ = 0.2 x 5 =1 imperfección en promedio por cada 5 minutos en la hojalata.1.5 por cada uno.6. λ= 0.2 x 3 = 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en la hojalata 4) En un año más de 50 millones de personas se hospedaron en hoteles que incluyen desayunos.3. Problemas varios de distribuciones de probabilidad discretas. . ¿Cuál es la probabilidad de que: a) al menos 10 personas sobrevivan? b) Sobrevivan desde 3 hasta 8 personas? c) sobrevivan exactamente 5 personas? 4. ¿cuál es la probabilidad de que exactamente . Si 15 personas contraen la enfermedad. Se sabe por experiencia que el 6% de estos productos vienen por debajo de dichas especificaciones. se drena cada lata y luego se pesa para ver si cumplen con las especificaciones de peso que se describe en cada lata (contenido en gramos). 5 latas se etiquetaron como crema de espárragos antes de darse cuenta de que las etiquetas no habían sido cambiadas. d) Calcular el valor esperado y la desviación estándar. b) Calcular la probabilidad de que a lo más dos latas este por debajo de las especificaciones.Seleccione la distribución de probabilidad más apropiada y haga los cálculos solicitados: 1.-El enlatado de sopas se cambia de crema de espárragos a crema de champiñones.Previa encuesta a 1000 personas en donde se le pregunta su preferencia o no sobre un artículo de limpieza. 350 de las personas contestaron afirmativo (que prefieren el artículo promocionado). ¿cual es la probabilidad de que exactamente una contenga crema de champiñones? ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos contengan crema de champiñones? 2. No obstante. 5.-El enlatado de sopas se cambia de crema de espárragos a crema de champiñones.-La probabilidad de que un paciente se recupere de una cierta enfermedad es 40%. Dentro de que límites puede esperarse se encuentre el valor de E(x). 3.002 de que la línea esté ocupada y que cada llamada son independientes. Estas 5 primeras latas se mezclan con otras de crema de espárragos y se empacan en una caja de 12 latas.De un lote de alimentos enlatados se extraen 5 piezas (latas) con producto alimenticio. No obstante.. sí o no y porque. b) Hallar E(x) y la desviación estándar. c) Determine la distribución de probabilidad y haga la grafica de la misma. ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario llamar 30 veces para que entre la primera llamada? 3. Estas 5 primeras latas se mezclan con otras de crema de espárragos y se empacan en una caja de 12 latas. considerando para esto ± 1σ. Si 4 de las latas de la caja se seleccionan aleatoriamente. a) Diga porque se debe aplicar la distribución Binomial.. representándola en la grafica anterior y rayando la zona µ±σ.Cada llamada que hace una persona a una estación de radio muy popular tiene probabilidad de 0. a) Puede aplicarse la distribución Binomial. 5 latas se etiquetaron como crema de espárragos antes de darse cuenta de que las etiquetas no habían sido cambiadas. Si 4 de las latas de la caja se seleccionan aleatoriamente.. Si la muestra contiene más de dos piezas defectuosas el proceso debe interrumpirse. b) de hallar 4 recipientes defectuosos? .Una fábrica produce diariamente diez recipientes de vidrio. Supongamos también que esa probabilidad son iguales para cada artículo. si esta se define como. si S es el espacio muestral. a) Diga cuales son los valores posibles que puede tomar la variable aleatoria X. A) calcular la probabilidad de hallar cuando mucho de 2 recipientes defectuosos.una contenga crema de champiñones? ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos contengan crema de champiñones? 6. Si 15 personas contraen la enfermedad.-Un proceso de producción que manufactura transistores genera. 9..Supóngase que los artículos que salen de una línea de producción se clasifican como defectuosos (D) y no defectuosos (B).(p=0..1 de producir un recipiente defectuoso. Sea X igual al número de recipientes clasificados como defectuosos al termino de un día de producción (todos los recipientes producidos en un día se inspeccionan ese mismo día). Se eligen al azar tres artículos 3 artículos de la producción de un día. Cada dos horas se toma del proceso una muestra aleatoria de 50 piezas. en promedio. 11. los cuales se clasifican con este esquema. Determine la probabilidad de que el proceso será interrumpido por medio del esquema de muestreo indicado. Antes de que estos depósitos se almacenen son inspeccionados y a los defectuosos se les aparta. ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario llamar 30 veces para que entre la primera llamada? 7. Se puede suponer que hay una probabilidad constante p=0..Cada llamada que hace una persona a una estación de radio muy popular tiene probabilidad de 0. una fracción de 2% de piezas defectuosas.2) y que cada resultado de la elección de un artículo es independiente. Si se supone con base a la experiencia que la probabilidad de un articulo defectuoso es 0. el número de artículos defectuosos encontrados? c) Diga porque debe aplicarse la distribución Binomial y determine la la distribución de probabilidad correspondiente? d) haga la grafica de esta distribución de probabilidad. Como se puede apreciar. determine los elementos de S. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) al menos 10 personas sobrevivan? b) Sobrevivan desde 3 hasta 8 personas? c) sobrevivan exactamente 5 personas? 8) Un embarque de 100 unidades contiene 20 unidades defectuosas y 80 unidades no defectuosas.1 de que un recipiente defectuoso sea mal clasificado.002 de que la línea esté ocupada y que cada llamada son independientes.2. 10. Supóngase que hay una probabilidad constante r=0.-La probabilidad de que un paciente se recupere de una cierta enfermedad es 40%. El sitio web para los hoteles que incluyen desayunos en dos Países de alta infraestructura turística promedia aproximadamente siete visitas por minuto y permite a muchos de estos hoteles atraer huéspedes sin esperar años para ser mencionados en las guías turísticas... Con base en una muestra de datos históricos la cantidad de automóviles que llegan durante un intervalo de tiempo de 30 minutos. el proceso se detiene y el técnico de control de calidad debe buscar la causa de la producción disconforme.12. 15. así como determinar la porcino de población que se ubica a una desviación estándar alrededor de la media. c) La probabilidad de que lleguen 2 o más automóviles en 15 minutos. b) la probabilidad de que no llegue ninguno en los 30 minutos. Si se encuentra una o más unidades disconformes. .Suponga que estamos interesados en la cantidad de llegadas a la ventanilla de un cajero de un autobanco durante un periodo de 15 minutos en la mañana de los días hábiles. Distribución de probabilidad NORMAL.Se sabe que el 10% de cierta población es diabética. hallar la distribución de probabilidad y graficarla. Si se selecciona al azar una muestra de 15 personas de esa población. Hallar para cada inciso: a) ¿La probabilidad de que no haya visitantes en el sitio web en un periodo de 1 minuto? b) ¿La probabilidad de dos o más visitantes en el sitio web en un periodo de 1 minuto? c) ¿La probabilidad de uno o más visitantes en el sitio web en un periodo de 30 segundos? d) ¿La probabilidad de cinco o más visitantes en el sitio web en un periodo de 1 minuto? 14. Cada hora se toma una muestra de 50 unidades del producto y se cuenta el número de disconformes. Calcular a) la probabilidad de que lleguen 2 automóviles en los 30 minutos.. Para ello partimos de que la probabilidad de que llegue un automóvil es la misma para cualesquiera de dos periodos de tiempo de igual duración y que la llegada o no llegada de un automóvil en cualquier periodo de tiempo es independiente de la llegada o no llegada de cualquier otro. Determinar E(x) y . 13. Evalúe el desempeño de esta regla de decisión.En un año más de 50 millones de personas se hospedaron en hoteles que incluyen desayunos. es 6..Un proceso de producción opera con salida de 2% de disconformes. b) cual es la probabilidad de que ninguna sea de las primarias . p(X) 0 0.30 5 0. 1.10 6 0. al solicitar trabajo en una región caracterizada como industrial y según información de un listado de 10 empresas posibles a visitar de las cuales 6 de estas empresas son clasificadas como primarias y el resto como secundarias: toma una muestra al azar de 4 de ellas para visitarlas .05 1 0.. (Represente estos datos en una grafica) Número de camiones (X) Probabilidad. Cual es la probabilidad de que seleccione 2 de las clasificadas como primarias.(use la tabla Bnomial para hallar las probabilidades solicitadas) 3.EXAMEN UNIDAD 111.05 2. Alumno:---------------------------------------------------------------------------. c) hallar la desviación estándar y que significa. c) Más de un tornillo esté defectuoso.15 3 0. (Use la formula y la tabla de probabilidad de Poissón. b) calcular el número esperado de llegadas por hora.-Una persona. determinar la probabilidad de que de 4 tornillos elegidos al azar: a) Ningún tornillo esté defectuoso.25 4 0.-El 20% de los tornillos que se fabrican con una máquina están defectuosos. a) Verifique que es una distribución de probabilidad y diga porque.5 por minuto. ( 4 JUNIO 09).El número de camiones que llegan por hora a un almacén sigue la distribución de probabilidad que se muestra a continuación.10 2 0.-En una empresa la cantidad promedio de llamadas que llegan a un conmutador entre las 2 y la 4 de la tarde es de 2. b) Un tornillo esté defectuoso. ESTADISTICA ADMVA 1. 4. Hallar la probabilidad de que en determinado minuto llegue más de una llamada. C) si la muestra de estudiantes encuestados fue de tamaño 10. Calcular a) la probabilidad de que lleguen 2 automóviles en los 15 minutos.5. b) la probabilidad de que no llegue ninguno.2-La cantidad de horas por semana que los estudiantes de educación media ven televisión.6) b) Hallar la probabilidad para P(-1.De un lote de alimentos enlatados se extraen 5 piezas (latas) con producto alimenticio. (Representar estos dos resultados en una curva normal y sombrear el área solución) EXAMEN 11. B) El porcentaje que ve televisión más de 30 horas. A) Determine el valor de la variable estandarizada. Se sabe por experiencia que el 6% de estos productos vienen por debajo de dichas especificaciones. Z. 5.5 horas y cuya desviación estándar es 5.. se drena cada lata y luego se pesa para ver si cumplen con las especificaciones de peso que se describe en cada lata (contenido en gramos). Con base en una muestra de datos históricos la cantidad de automóviles que llegan durante un intervalo de tiempo de 15 minutos. EST. 2.000 cuantos jóvenes ven tv menos de 25 horas. ADMVA 1 (8 JUNIO 09) NOMBRE DEL ALUMNO: 1. 3. UNIDAD 111.2 <Z<1) .Suponga que estamos interesados en la cantidad de llegadas a la ventanilla de un cajero de un autobanco durante un periodo de 15 minutos en la mañana de los días hábiles. Calcular la probabilidad de que a lo más dos latas este por debajo de las especificaciones..1 En un examen final de matemáticas la media fue de 72 y la desviación estándar fue de 15. A) Hallar el porcentaje (probabilidad) que ve televisión menos de 25 horas por semana.5 horas. b) encontrar la calificación respectiva dado el valor de la variable estandarizada igual -1 (Z=-1). se comporta como una distribución normal cuya media es 20.6. Para ello partimos que la probabilidad de que llegue un automóvil es la misma para cualesquiera dos periodos de tiempo de igual duración y que la llegada o no llegada de un automóvil en cualquier periodo de tiempo es independiente de la llegada o no llegada de cualquier otro. es 4. hallar la probabilidad P(Z<-2.-a) Si Z= -2. Número de 0 1 2 3 4 5 6 camiones (X) Probabilidad.000 y 55. B) que porcentaje de las bombas de la compañía fabricante fallará entre 40. 1. 3. Determine la probabilidad de que el proceso será interrumpido por medio del esquema de muestreo indicado. EXAMEN UNID. Si la muestra contiene más de dos piezas defectuosas el proceso debe interrumpirse. Y COMP. a) Verifique que es una distribución de probabilidad.000 millas. μ=14 y σ= 3. una fracción de 2% de piezas defectuosas.10 0.-Un proceso de producción que manufactura transistores genera. d) represente el valor E(X) y una ±σ en la grafica de la distribución de probabilidad.-si x= 10. SIST.000 millas.. (25. representen gráficamente(curva normal) los resultados obtenidos que dan solución a cada problema) INSTITUTO TECNOLOGICO DE COLIMA.. b) calcular el número esperado de llegadas por hora. en promedio. 5.4. 09).25 0.10 0.000 millas con una desviación estándar de 10. Cada dos horas se toma del proceso una muestra aleatoria de 50 piezas. NOMBRE DEL ALUMNO:____________________________________________________.. El sitio web para los hoteles que incluyen . a) que porcentaje de las bombas tendrá que reemplazarse sin costo para el cliente. 111.30 0.000 millas se reemplaza sin costo para el dueño del vehículo.El número de camiones que llegan por hora a un almacén sigue la distribución de probabilidad que se muestra a continuación.15 0.05 2. La empresa fabricante asegura que la bomba dura un promedio de 63.05 0. misma que funciona al mismo tiempo que el motor.KleerCo produce bombas al vacío para motores de carros. (Para los problemas del 3 al 5.En un año más de 50 millones de personas se hospedaron en hoteles que incluyen desayunos. c) hallar la desviación estándar. 11. p(X) 0. hallar la probabilidad p(x<10). Si una bomba falla antes de las 50. Se encontró que el número de millas que funciona una bomba antes de perder su eficacia tiene una distribución normal. se distribuye normalmente con media 800 y desviación estándar de 12.-Un proceso de producción que manufactura transistores genera.desayunos en dos Países de alta infraestructura turística promedia aproximadamente siete visitas por minuto y permite a muchos de estos hoteles atraer huéspedes sin esperar años para ser mencionados en las guías turísticas.0004.En un año más de 50 millones de personas se hospedaron en hoteles que incluyen desayunos. 111. INSTITUTO TECNOLOGICO DE COLIMA. El comprador de tela requiere que esta tenga una resistencia de por lo menos 772 newtóns. Dibuje la grafica respectiva y sombre el área de probabilidad buscada.399 ≤ x ≤ 0. Represente esta probabilidad en una grafica y sombrear en la porción bajo la curva del área buscada. una fracción de 3 % de piezas defectuosas. 2. 09).-La resistencia al rompimiento ( En newtóns ) de una tela sintética. SIST. 1. en promedio.401).-Encontrar la probabilidad de P( 0. Hallar para cada inciso: . Y COMP. si μ= 0. NOMBRE DEL ALUMNO:____________________________________________________. EXAMEN UNID. b.. Se selecciona al azar una muestra de tela. Cada dos horas se toma del proceso una muestra aleatoria de 50 piezas. Si la muestra contiene más de dos piezas defectuosas el proceso debe interrumpirse. Hallar la probabilidad de que satisfaga la resistencia del comprador. Hallar para cada inciso: a) ¿La probabilidad de que no halla visitantes en el sitio web en un periodo de 1 minuto? b) ¿La probabilidad de uno o más visitantes en el sitio web en un periodo de 30 segundos? 4) a. (25. El sitio web para los hoteles que incluyen desayunos en dos Países de alta infraestructura turística promedia aproximadamente siete visitas por minuto y permite a muchos de estos hoteles atraer huéspedes sin esperar años para ser mencionados en las guías turísticas. Determine la probabilidad de que el proceso no será interrumpido por medio del esquema de muestreo indicado.4008 y σ=. 11. Represente esta probabilidad en una grafica y sombrear en la porción bajo la curva del área buscada.-La resistencia al rompimiento ( En newtóns ) de una tela sintética. Se toma 3 computadoras al azar (las cajas donde se empaquetan son similares) y se pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que no más de 2 sean de la marca T09? 4) a.. se distribuye normalmente con media 800 y desviación estándar de 12. El comprador de tela requiere que esta tenga una resistencia de por lo menos 772 newtóns. 6 corresponden a la marca T10 y el restante a la marca T09.-Encontrar la probabilidad de P( 180 ≤ x ≤ 220). b. Dibuje la grafica respectiva y sombre el área bajo la curva de la probabilidad buscada.En un envió de 15 computadoras. Se selecciona al azar una muestra de tela.a) ¿La probabilidad de que no halla visitantes en el sitio web en un periodo de 1 minuto? b) ¿La probabilidad de uno o más visitantes en el sitio web en un periodo de 30 segundos? 3. si μ= 200 y σ=40. . Hallar la probabilidad de que no satisfaga la resistencia solicitada por el comprador.