Instituto Tecnológico de Costa RicaEscuela de Producción Industrial Distribución de Frecuencias Probabilidad y Estadística I Luis Diego Meneses Gómez 201237376 Esteban Prado Aguilar 201216001 Kevin Balmaceda Benavides 201244057 Andrés Felipe Meléndez Rodríguez 201235679 2013 1) A continuación se presenta la tabla de clasificación de la liga española 13/14 tras la jornada 3ª, publicada en el diario El Mundo el 1/9/2013, donde figura los partidos jugados (J), los ganados (G), los empatados (E), los perdidos (P), los goles a favor (F), los goles en contra (C) y los puntos (Pt) Nos centraremos en la variable Goles a Favor (F). a) ¿Qué tipo de variable es? b) Construya la tabla de frecuencias completa c) Calcule la media aritmética, moda y mediana de los datos. d) ¿Entre que percentiles se encuentran los equipos que anotaron 3 goles? Solución: a) El tipo de variable es discreta, no continua, ya que no se pueden tener por ejemplo 5,6 goles. b) Número de Goles 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Conteo nk Nk I II IIII IIIII II II I III 1 2 4 5 2 2 1 0 3 1 3 7 12 14 16 17 20 c) Media: Moda: Mediana: (en la posición 10.5) por lo tanto, med = 3 d) 01122223333344556888 d) ¿Cuál es el importe máximo pagado por las 60 reparaciones más baratas? Solución: Importe # de ($) facturas 0-60 10 60-80 20 80-120 40 120-240 10 a) Importe medio = media aritmética Xm Nk fk Fk+ Fk- 10 30 70 80 10 30 70 80 0.125 0. c) Calcular el P38 y determinar cuál es el importe máximo y mínimo que podría pagar que pagar este.125 0.Los 3 empiezan en la posición 8 y terminan en la 12 Por lo tanto.25 0.375 0.875 1 0. Comente el comportamiento de la simetría de los datos. viene dada por la tabla siguiente: Importe # de ($) 0-60 60-80 80-120 120-240 facturas 10 20 40 10 Se pide: a) Calcular el importe medio.5 0.5.875 0.125 0. 2) La distribución del importe de las facturas por reparación de carrocería de una muestra de 80 vehículos en un taller.625 0.5 y 57. ¿El valor hallado es representativo de la distribución de facturas? b) Calcular el importe mediano y el importe más frecuente. los equipos que anotaron 3 goles están entre el percentil 37.125 0 . d) El importe máximo que pagarían el 60 por ciento es de $98 . c) El importe máximo seria de $120 y el minimo de $80. ya que la media<mediana<moda.b) Mediana: Moda: Los datos del problema tienen un comportamiento asimétrico negativo. 253. 243. 238 Se solicita: a) Construya una distribución de frecuencia cuyas clases tengan como amplitud 5 centímetros y que la primera clase sea 235-240. 258. 246.5 6 60 0.0834 0. 251. 249. 236. 246. 251.8166 245 – 250 IIIIIIIIIIIIIIIIIIII 247. 249.3833 0.3833 c) La clase con menor frecuencia es la que tiene el intervalo de (235 – 240) y corresponde a un 0. 250. 247. 250. 250.0834 0. 254.9000 0. 249. 250 248.1000 255 – 260 IIIIII 257. 253. 259 249.5 6 11 0. 250.5 23 54 0. 252. 244. 242. 242. 241. 246. 259. 249. 249.3333 0. 243.1 1 0 b) La clase con mayor frecuencia es la que tiene el intervalo de (250 – 255) y corresponde a un 0. 251.4833 250 – 255 IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 252.9166 240 – 245 IIIIII 242. 253. 251. 249. 255. 247. 251. la moda y la mediada de la distribución. 252. 252 250. 238.5 20 31 0. 257.1834 0. 249. 248.0834 d) El 90% de los cilndros tiene un tamaño menor a 255cm e) El 73% tiene un tamaño mayor a 244cm f) Promedio: Moda: . 251. 247. 250.3) Una máquina ha fabricados 60 cilindros cuya longitud en centímetros se registra 239. b) Qué Clase es la de mayor frecuencia? c) Qué clase es la de menor frecuencia? d) Qué porcentaje de cilindros son menores de 255 centímetros? e) Qué porcentaje de cilindros son mayores de 244 centímetros? f) Calcule el promedio. 250. 247. 245.5 5 5 0. Solucion: a) Clases Conteo Xm nk NK fk Fk+ FK- (cm) 235 – 240 IIIII 237. 238. 251.1000 0. 259.5167 0. 245. 248 250. 22 0.08 0. nk3 = 24 . Después de secar la hoja de papel.08 0. Fk+4 = 0.08 Fk+ 0. amplitud = 1000 → Li1 = 3500 Ls1 = 4500 Clase 3500 – 4500 4500 – 5500 5500 – 6500 6500 – 7500 7500 – 8500 8500 – 9500 9500 – xm 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 10500 b) Promedio per capita: c) Ingreso mas recurrente o moda: nk 12 21 24 36 24 21 12 Nk 12 33 57 93 117 138 150 fk 0. perdiendoalgunos datos. pero accidentalmente dio vuelta la taza de café sobre su informe.92 0.Mediana: 4) Un investigador estaba realizando un estudio sobre el ingreso per cápita mensual de una cierta cantidadde familias en EEUU. fk1 = 0.16 0.78 0. se podían distinguir de una tabla de distribuciónsimétrica de frecuencias la siguiente información sobre el ingreso per cápita en dólares de 150 familias.38 0.8 * 150 = 12 = nk1 → hay simetría n*x /nk = xm → 48000/12 = 4000 = xm1 xm4 = 7000 .62 0. w = amplitud .62 .78 0.14 0. 4000 + 3w = 7000 → w = 1000 Li1 + Ls1 = 8000 .38 0.62 0.24 0.08 .14 0.22 0. n*x = 48000 a) b) c) d) ¿Puede reconstruir la tabla de distribución con los datos que tiene? ¿Cuál es el ingreso per cápita promedio de las familias? ¿Cuál es el ingreso per cápita más recurrente? ¿Entre cuánto se encuentra el ingreso per cápita del 50% inferior de las familias? Solucion: Clase xm nk Nk fk 0.92 1 Fk0.16 0.08 Fk+ Fk- 24 7000 62 a) n = 150 nk7 = 0.08 0 . Xm4 = 7000 . es decir. . lo que nos indica.1292 → 12. como ya lo habíamos comprobado en la tabla. que se agrupan más hacia el centro y su rango es angosto. c)-Cuantos respondieron que debe estar por encima de los 19 años Solucion: a) x = 13 . que los datos dos simétricos.3708 = 0. calcular: a)-Cuantos respondieron que la edad debe ser hasta los 13 años b)-Cuantos dijeron que debe estar entre 14 y 17 años.11. Teniendo en cuenta que las respuestas se distribuyen aproximadamente como la curva normal y que van de los 7 a los 24 años. Sx = 2.4 . x` = 15. Coeficiente de curtosis: El k dio como resultado 0.d) Mediana: Nota: nótese que la media = moda = mediana. Por lo que se podría estudiar la curtosis del ejercicio. la media fue de 15.92% respondio que la edad debe ser de 13 años.11 0.5 – 0.278. esto nos indica que los datos se distribuyen de una forma leptocurtica.4 años y la desviación típica de 2. 5) En una pregunta del CIS sobre la edad hasta la que consideran convenientes los padres controlar los programas y el tiempo de televisión de los hijos. 275 0.2125 0.175 0. x` = 15.2454 x = 17 .5 – 0.2734 0. x` = 15.11 → 0.4 . Sx = 2.4 .1125 1 . Sx = 2.175 0.8875 0.0446 → 4.4 .5188 c) x = 19 .4554 = 0.11 0.3875 0.2454 = 0. 6) Los miembros de una cooperativa de viviendas tienen las siguientes edades: 42 60 60 38 60 63 21 66 56 57 51 57 44 45 35 30 35 47 53 49 50 49 38 45 28 41 47 42 53 32 54 38 40 63 48 33 35 61 47 41 55 53 27 20 21 42 21 39 39 34 45 39 28 54 33 35 43 48 48 27 53 30 29 53 38 52 54 27 27 43 28 63 41 23 58 56 59 60 40 24 a) A Partir de la anterior información elabore una tabla de frecuencias b) Calcule la media y la desviación típica Solucion: a) Tabla de Distribucion Li-Ls 20--30 30--40 40--50 50--60 60--70 Xi 25 35 45 55 65 nk 14 17 22 18 9 Nk 14 31 53 71 80 fk Fk 0.6625 0. Sx = 2. x` = 15.b) x = 14 .46% dijeron que más de 19.225 0.2734 + 0.11 → 0. 22 0.94 0.75 7) Las calificaciones de 50 alumnos en Matemáticas han sido las Ʃxi*nk siguientes: 350 595 50 40 70 990 20 50 50 990 585 Xi 40 60 50 Nk 90nk50 20 3510 0 70 170 100 1 10 1 2 20 2 4 a) b) 30 3 7 40 6 13 Solucion: 50 11 24 60 12 36 a) 70 7 43 80 4 47 90 2 49 100 1 50 50 80 60 80 50 40 40 fk0 500.02 0.08 0.02 40 60 80 70 60 60 60 Fk60 300.02 27.98 1.14 0.14 0.00 60 70 30 50 60 90 60 10 40 60 30 50 50 60 70 Construya la tabla de frecuencias Elabore un gráfico de barras .04 0.04 0.b) Media = Ʃxi*nk n Desviación Estándar (xi-)²*n 4987.48 0.84 2227.78 4016.06 0.72 1339.24 0.86 0.12 0.72 0.26 0.02 80 0.39 12598.08 0.04 0.02 70 0. b) 8) Los datos que se dan a continuación corresponden a los pesos en kilogramos de ochenta personas 60 63 65 61 66 66 69 74 62 62 77 80 67 63 63 70 59 54 76 66 66 66 65 61 68 70 65 67 57 67 69 67 70 78 61 64 66 75 67 72 52 64 73 64 75 71 57 73 65 81 62 79 69 62 67 58 71 64 68 67 58 69 63 71 66 68 67 68 67 72 71 59 74 83 68 69 61 56 76 70 . 11 0. y 85 Kg.00 a) 26 = 32. b) N7-N4 = 80 – 56 = 24 24 ersonas pesan entre 70 Kg.2125 0.025 0.96 1.a) Obténgase una distribución de datos b) Calcúlese el porcentaje de personas de peso menor que 65 Kg c) ¿Cuántas personas tienen peso mayor o igual que 70 Kg.33 0.5% 80 32.5% de las personas entrevistadas pesa menos de 65 Kg.0375 Fk 0.375 0.70 0.0875 0.03 0.88 0. 9) Según la siguiente información brindada a continuación Li-Ls 5--15 15-25 25-35 35-45 nk 5 28 46 56 . pero menor que 85 Kg? Solucion: Li-Ls 50-55 55-60 60-65 65-70 70-75 75-80 80-85 nk 2 7 17 30 14 7 3 Nk 2 9 26 56 70 77 80 fk 0.175 0.0875 0. 3527 0.0804 0.9821 1 b) Media Ʃxi*nk 50 560 1380 2240 1750 1200 1260 960 360 9760 Mediana Med = 35 + 112 .1563 0.0179 Fk 0.0893 0. mediana y moda Solucion: a) Li-Ls 5--15 15-25 25-35 35-45 45-55 55-65 65-75 75-85 85-95 nk 5 28 46 56 35 20 18 12 4 Nk 5 33 79 135 170 190 208 220 224 fk 0.7589 0.0536 0.6027 0.0223 0.1473 0.1250 0.9286 0.2054 0.79 = 40.89 56 .2500 0.0223 0.8482 0.45-55 55-65 65-75 75-85 85-95 35 20 18 12 4 a) Complete la distribución de frecuencias b) Determine la media. 1778 0.1889 0.1222 0.2222 0.3667 0.Moda Mo= 35 + 10 *10 = 38.9111 1 .23 10+21 10)En base a la siguiente información Li-Ls 50-54 54-58 58-62 62-66 66-70 70-74 74-78 nk 7 10 16 20 18 11 8 Nk 7 17 33 53 71 82 90 fk 0.5889 0.1889 0.1778 0.2000 0.9111 1 a) Determine la Varianza y la Desviación estándar de la anterior distribución b) Realice un histograma basado en la anterior información Solucion: Li-Ls 50-54 54-58 58-62 62-66 66-70 70-74 74-78 nk 7 10 16 20 18 11 8 Nk 7 17 33 53 71 82 90 fk 0.0778 0.0778 0.0889 Fk 0.1222 0.3667 0.0778 0.0889 Fk 0.1111 0.0778 0.7889 0.2222 0.5889 0.1111 0.2000 0.7889 0. a) Varianza σ² = 4039.7 90 b) .29 = 44.88 90 Desviación Estándar σ = √4039.29 = 6. 6 K=7 Amplitud: i = R/K i = 19/7 .11) Los miembros de una numerosa familia. 65 64 64 63 64 63 65 65 65 64 65 64 64 63 63 63 72 71 70 69 69 68 68 67 67 67 66 66 66 66 53 55 56 57 58 58 57 59 59 60 60 60 61 61 61 61 62 62 62 62 Realice: a.3 log(n) K= 1 + 3. la cual se realizó en pulgadas y fue redondeada a la unidad más próxima. Rango: R= DATO MAYOR – DATO MENOR R= 72-53 R= 19 20 Número de clases: K= 1+ 3. de 50 personas fueron sometidos a la medición de su estatura. La distribución de frecuencias completa (con límites reales. puntos medios y frecuencias.3 log(50) K = 6. 5 Límite real de clase de primera clase Ls= dato mayor + d/2 Li= dato menor – d/ Ls= 72 + 4.5 – 0.5 Ls = 76 .5 + 0. Límite inferior de la clase de primera clase Li = Li + 5 decimales Li = 48.5 Li= 53 – 4.71 i= 3 4 Rango propuesto: Rp = i×K Rp = 7×4 Rp = 28 Diferencia: d = Rp – R d = 28 – 19 d=9 Diferencia media: Dm= d/2 Dm = 9/2 Dm = 4.5 Li= 48.5 Ls= 76.i = 2.5 Li = 49 Ls = Ls – 5 decimales Ls = 76. 90 0.88 0.5 56.5 56. Complete la siguiente distribución de frecuencias Límites Temperatura 5a9 10 a 14 15 a 19 20 a 24 25 a 34 35 y mas Reales 4.5 72.26 0.5 58.5 li 48 52 56 60 64 68 72 ls 52 56 60 64 68 72 76 conteo 0 3 9 19 14 5 0 Xm 50.94 0.5 64.5 60.32 0.19.5 -------- fi 3 23 34 28 6 6 .5 .5 76.60 0.24.5 52.62 0.5 19.03 0.5 9.28 0.5 64.5 24.5 .06 Fr 0.06 0.18 0. se recogieron 100 datos de temperatura en grados centígrados: Límites Temperatura 5a9 10 a _ 15 a _ _ a 24 25 a 34 35 y mas Reales Xi fi fr Fr 0.5 54.5 74.06 0.03 0.5 nK 0 3 9 19 14 5 0 NK 0 3 12 31 45 50 50 fK Fk 0 0 0.38 0.5 70.5 .5 ------- Xi 7 12 17 22 29.1 0 0 12)Se registraron las temperaturas de una ciudad a lo largo de la semana.5 .5 68.14.5 60.10 1 0.k 1 2 3 4 5 6 7 Li 48.06 0.5 14.00 1 Fk 1 0.26 fr 0.5 .5 72.34 0.24 0.23 0.5 68.5 Ls 52.03 0.76 0.28 0.94 100 12 34 22 6 a.9.5 66.34.5 62. Xi/n = 1.3 6.0 7.6 8.0 × 4 = 28.4 9.5 5.3 6.3 3.1 4.0 a) Calcule la media aritmética utilizando la definición de promedio simple b) Calcule la media aritmética utilizando las notas diferentes y la definición de promedio ponderado a.3 × 1 = 6.0 8.3 6.3 × 1 = 5.0 8.0 +……+9.0 × 2 = 8.3 7.0 7.1 + 4.0 × 1 = 1.0 6.0 6.9 7.0 6.0 × 1 = 6.3 6.4 6.1 × 1 = 6.5 / 30 = 200 / 30 = 6.8 7.5 4.1 × 1 = 3.6 × 2 = 15.0 7.13)Los datos presentes corresponden a las notas de un curso universatario de 30 alumnos: 1.0 2.9 9.7 4.3 + 3.1 6.7 5.2 .0 4.2 9.8 7.8 × 3 = 20. 1.6 8.2 4.8 7.7 3.3 × 1 = 2.1 6.9 7.67 b.0 + 2.0 7.9 8.9 × 1 = 6.7 × 1 = 4.7 2.7 6.1 6. 90 92.70 96.45 101.95 95.2 8.75 83.20 110.8 108.55 a.00 81.60 108.95 113.70 97.00 76. Construya la distribución de frecuencias con una amplitud de 7.1 9.45 117.45 87.45 95.2 × 1 = 8.05 91.35 75.75 98. se muestran a continuación los datos en litros: 96.90 105.35 102.75 104.10 101.40 103.10 61.20 102.70 80.40 70.05 95.85 97.40 76.50 49.35 97.60 96.5 × 2 = 19 total = 200 200 / 30 = 6.65 98.85 98.7 × 3 = 26.90 85.25 94.55 109.90 90.45 67.40 90.7.65 76.95 97.30 88.25 106.05 103.80 99.2 9.85 107.8 8. k Li Ls Xm nK Nk fK Fk Fk .50 112.9 × 2 = 15.90 79.55 94.67 14)Una muestra de 30 transportistas fueron sometidas a una encuesta con el fin de determinar el consumo de litros de gasolina de su vehiculo a lo largo de una semana.90 117.10 99.90 72.4 8.60 77.70 100.00 105.05 121.25 68.10 88.40 65.50 77.65 111.75 93.05 87.4 × 1 = 8.95 100.15 115.70 84.15 95.2 × 1 = 9.20 92.65 99.50 55.26 92.20 69.75 107.35 86.50 89.70 101.70 87. 7 2.2 5.8 7.98 79.12 0.3 6.95 91.8 8.95 6.8 7.95 7.8 4.95 Xm 2.98 1 1 3 5 9 12 23 15 8 3 80 1 2 5 10 19 31 54 69 77 80 0.3 a.8 7.27 0.7 6.0125 0.4 2.2875 0.98 63.3875 0.95 3.27 0.52 0.95 8.3 6.2 8. Calcule los puntos medios y las frecuencias relativas c.4 7.1 5.9625 1 1-0.1 6.45 7.025 1-0.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 44 52 60 68 76 84 92 100 108 116 51.0 5.95 5.95 9.4 6.98 103.2375 1-0.2 5.8625 1-0.4 2.9625 15) A continuación se muestran los resultados del segundo parcial del primer semestre del 2012 de Física II realizado a un grupo de estudiantes de la Universidad de Costa Rica: 5.0 5.48 0.4 4.3875 1-0.1 3.02 Fk 0.95 67.73 0.45 3.92 0.02 1 1 . Obtenga las frecuencias acumuladas k 1 2 3 4 5 6 7 8 Li 1.0125 1-0.4 7.1 2.95 8.1 6.5 4.1000 0.95 2.1 7.98 Fk 0.04 0.0 5.0 6.6750 1-0.95 123.95 4.7 4.98 55.1250 1-0.95 59.98 87.0625 1-0.95 3.45 9.7 9.21 0.8 6.98 71.2 3.95 6.95 5.1 4.95 83.03 0.98 119.88 0.0625 0.45 nK 4 2 8 13 11 8 5 1 52 fK 0.45 4.5 6.73 0.5 5.0125 0.7 5.1 8.88 0.95 Ls 2.7 4.025 0.95 4.9 7.0625 0.575 0.95 7.95 107.95 99.6750 0.08 0.95 47.98 111.98 95.1 5.8625 0.0 3.7 6.12 0.45 6.7 4.2375 0.7 5.1500 0.5 6.10 0.95 75.4 8.0125 0.25 0. Construya la distribución de frecuencias con intervalos de clases iguales de 1 punto b.8 8.7 5.15 0.1125 0.3 4.45 5.2875 0.375 0.1250 0.15 0.45 8.7 7.95 115. 25 7. Percentil (40) P (m) = Li + (((m/100)×n – Nk – 1)/nK)) × i P (40) = (((40/100)× 70 – 12)/18) × 0.25 7.5 5 5.25 6.25 8.75 9.17 b.25 Xm 4.75 6.25 6.50 = 7.50 = 7.75 Ls 4.5 / 70) = 7.25 5.5 7 7.75 6. Moda Mo = Li +( d1/d1+d2) × i Mo = 6.75 5.5 9 nK 2 2 3 7 8 18 16 10 2 2 70 NK 2 4 7 14 22 40 56 66 68 70 Calcule la moda Calcule la mediana Calcule el percentil 40 Calcule la media aritmética a.75 + (10/10+2) × 0. Media = ( (Xm × nK) /n) Media = (490.75 8.5 6 6. b. Li 4.75 + ((35 – 22)/18) × 0. d.16)A continuación se muestran los resultados en minutos de 70 atletas que fueron sometidos a una prueba de resistencia abdominal: k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a.25 5.25 4.75 7.25 8.75 5. c.11 c.5 8 8.50 = 6.75 8.75 7. Mediana Me= Li +((n/2)−Nk−1/nK) × i Me = 6.92 d.01 17)La siguiente tabla presenta el ingreso en dólares de 124 ingenieros nacionales los cuales trabajan en el área metropolitana: Clases Li Ls Nk Nk Xm . e. b. a. Intervalo de clase c. c. Frecuencia absoluta e. e.10 se espera que haya asimetría positiva debido a que media>mediana>moda 18) Cuando las distribuciones de frecuencias tienen clases diferentes. c. Frecuencia acumulada . b. moda = 12311. ajustando frecuencias absolutas y acumuladas c. La de la mediana. b. d. como si se tratara de clases de igual magnitud b.08 percentil 80 = 16050 media = 14137. d. clase b. esto quiere decir que: a. 11000 13000 15000 20000 30000 12 52 31 20 9 124 12 64 95 115 124 10000 12000 14000 17500 25000 Calcule la moda Calcule la mediana Calcule el percentil 80 Calcule la media aritmética Determine qué tipo de asimetría tendrá la curva. Punto medio d.40 mediana = 12925. se encuentra que el percentil 70 es igual a 13550 colones. d. La de la mediana aritmética. c. La de la moda.1 2 3 4 5 9000 11000 13000 15000 20000 a. cuál de las siguientes formulas puede aplicarse: a. Frecuencia relativa f. sin hacer cambio alguno Respuesta correcta: opción c 19)Al analizar la distribución de frecuencias correspondientes a los sueldos de un grupo de 400 empleados. 70 empleados ganan 13550 colones 70 % de los empleados gana 13550 colones 280 empleados ganan un sueldo inferior a 13550 colones El salario promedio del 30% de los empleados que ganan mas es de 13550 colones Repuesta correcta: opción d 20)Defina: a. 95 4.95 3.95 5.53 571. Clase: Agrupaciones de los distintos valores que toma la variable las clase deben ser exhaustivas. Frecuencia Relativa: Se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta entre la cantidad total de datos.25 = √4.45 67.95 Xm 2.20 2489.95 8.95 7. es decir todo dato debe pertenecer a una clase solamente.95 6. El coeficiente de variación a. La varianza b.95 4. es la diferencia ente el límite superior y el límite inferior. = 4. Es el valor centrar de la clase. es decir es igual a la cantidad de datos del experimento. 21) Con base a la siguiente distribución de frecuencias. la frecuencia acumulada de la última clase existente es igual a n.95 6.45 9.85 81.95 7.45 78. Intervalo de clase: también llamado amplitud.52 .45 343.95 5.45 3.21% 4 2 8 13 11 8 5 1 52 Xm-nk 9.60 47.95 9.95 3.95 Ls 2.51 109.45 10.80 6. Punto medio: Se obtiene sumando el límite superior e inferior de una clase y se divide entre dos.6)×100) = 31.95 8.95 8. calcule: Clases 1 2 3 4 5 6 7 8 Li 1.60 83.90 35.25 10. Frecuencia Absoluta: Cantidad de datos pertenecientes a cada clase de suma de todas las frecuencias absolutas es igual a la cantidad de datos.06 b.45 Nk a.06/6.25 = 2. La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.85 610. CV = ((J/X) × 100) = ((2.01 23.40 Xm^2-nk 29.95 67.22 446.42 540.45 46.50 150. Frecuencia Acumulada: Es la suma ascendente de las frecuencias absolutas.95 2.