Universidade Federal da Paraíba Centro de Ciências Exatas e da Natureza Departamento de Matemática Mestrado Prossional em Matemática em Rede Nacional - PROFMATEquações polinomiais: Soluções algébricas, geométricas e com o auxílio de derivadas † por Ronaldo da Silva Pontes sob orientação do Prof. Dr. Napoleón Caro Tuesta Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Mestrado Prossional em Matemática em Rede Nacional PROFMAT CCEN-UFPB, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática. Agosto/2013 João Pessoa - PB † O presente trabalho foi realizado com apoio da CAPES, Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior. Equações polinomiais: Soluções algébricas, geométricas e com o auxílio de derivadas por Ronaldo da Silva Pontes Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Mestrado Prossional em Matemática em Rede Nacional PROFMAT CCEN-UFPB, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática. Área de Concentração: Álgebra. Aprovada por: Prof. Dr. Napoleón Caro Tuesta EUFPB (Orientador) Prof. Dr. Antônio de Andrade e Silva E UFPB Prof. Dr. Gilberto Fernandes Vieira E UFCG Agosto/2013 Agradecimentos im primeiro lugrD heusD por ter me ddo forçs e pidde pr exeutr esse trlhoF eos meus queridos pisD que ontriuírm de form práti n formção do meu ráterD om seus exemplos de dignidde e honestiddeF À minh md espos por ter dido de minh presenç e ssumido minhs responsiliddes fmiliresF eos meus (lhosD ujo mor e rinho trouxerm legri nos momentos de exusE tão e desânimoF eos meus irmãos que sempre me poirm ness minhdF e todos os professores e olegs de urso pelo resimento inteletul proporiE ondo e às oordençõesD lol e gerlD do ypwe pelo exelente projeto que onretizou relizção de um sonhoF e xpoleón gro uestD meu orientdorD por tod ontriuição inteletul e pels hors de empenho em us de me mostrr os melhores minhos d pesquis e pel piêni om minhs limitções e di(ulddes que form superds om seu exelente poioF eos migosD eldekD elyssonD hiegoD prniso e wrelo pelo ompnheirismo durnte todo o urso e s hors de estudos omprtilhdsF À goordenção de eperfeiçomento de essol de xível uperior @geiAD pel ols onedidF À niversidde pederl d ríE pf onde onlui minh grdução e gor este trlho de mestrdoF Dedicatória Aos meus pais, José e Maria Lúcia, a minha esposa Marizete e aos meus lhos Déborah e Miguel. Resumo hesde ntiguiddeD há mis ou menos RHHH nosD vários povos já resolvim equções polinomiis no seu otidino trvés de prolems e onstruções prátisF xeste trlhoD estudremos lguns métodos lgérios e geométrios usdos pr resolução de equções polinomiisF sniiremos flndo sore ftorção e divisão de polinômiosD dispositivo de friotEu0niD relções de qirrdD teorem ds rízes omplexs e o teorem de pesquis ds rízes rionisF xo pítulo PD mostrreE mos os métodos lgérios de ièteD grdnoD perrri e iulerD e lguns métodos geométriosD omo o d proporçãoD o de hesrtes e homs grlyle e ds ônisF xo pítulo QD veremos derivd de um função polinomilD o método itertivo de xewtonD trnslção de eixos oordendosD o uso d derivd pr enontrr os oe(ientes d form reduzid ds funções polinomiis e om uxílio de derivds mostrremos um método de resolução pr s equções do Q◦ e R◦ grusF Palavras-chave: olinômiosD iquções polinomiisF v Abstract ine nient timesD for out RHHH yersD mny people hve lredy solved polyE nomil equtions in their dily lives through prolems nd prties onstrutionsF sn this pperD we study some lgeri nd geometri methods used for solving polynomil equtionsF e strt tlking out ftoring nd division of polynomiE lsD devie friotEu0niD reltionships qirrdD theorem of the omplex roots nd the theorem of the rtionl roots reserhF sn hpter PD we will show the methods lgeri of ièteD grdnoD perrri nd iulerD nd some geometri methodsD suh s the of proportionD of the hesrtes nd homs grlyle nd of the onisF sn setion QD we see the derivtive of polynomilD xewton9s itertive methodD trnslE tion of oordinte xesD using the derived for to (nd oe0ients of the redued form of the polynomil nd with the id of derivtives show method of resolution the equtions Qrd nd Rth degreesF Keywords: polynomilsD polynomil equtionsF vi Sumário Introdução 1 Polinômios e equações polinomiais IFI olinômio em um vriável F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IFIFI punção polinomil F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IFIFP yperções om polinômios F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IFIFQ roduto notáveis e ftorção F F F F F F F F F F F F F F F F F F IFIFR hivisão de polinômios F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IFIFS hispositivo de friotEu0ni F F F F F F F F F F F F F F F F F F iquções polinomiis ou lgéris F F F F F F F F F F F F F F F F F F IFPFI iz de um equção polinomil ou lgéri F F F F F F F F IFPFP eorem fundmentl d álger F F F F F F F F F F F F F F F IFPFQ elções de qirrd F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IFPFR esquis de rízes rionis de um equção lgéri de oE e(ientes inteiros F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IFPFS ízes omplexs não reis num equção lgéri de oe(E ientes reis F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F o viii F F F F F F F F F F I P T V II IR IT IT IT IV 1 IFP F PH F PI F F F F F F F F F F F F 2 Métodos de resolver equações algébricas PFI PFP PFQ PFR iquções do I gru F F F F F F F F F F F F F PFIFI wétodo lgério F F F F F F F F F F F PFIFP wétodo geométrio F F F F F F F F F F iquções polinomiis do Po gru e fórmul PFPFI wétodos lgérios F F F F F F F F F F PFPFP wétodos geométrios F F F F F F F F F iquções do Qo gru F F F F F F F F F F F F F PFQFI olução dos ilônios F F F F F F F F PFQFP e fórmul de grdno F F F F F F F F PFQFQ olução trigonométri de iète F F F PFQFR wétodo geométrio ds ônis F F F iquções do Ro gru e o método de perrri F vii F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F de fháskr F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F 23 PQ PR PS PT PT QH QW RH RI RV RW SQ PFS PFT PFU QFI QFP QFQ QFR QFS QFT wétodo de iuler pr equção do Ro gru F F F F F F F F F F F F F F ST ys sos inúteis d equção do Ro gru F F F F F F F F F F F F F F F F F SV iquções do So gruF u0niD eel e qlois F F F F F F F F F F F F F F TH herivd de um função polinomil F F F F F F F F F F F F F F F F F F wétodo de xewton pr enontrr rízes F F F F F F F F F F F F F F F rnslção de eixos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F sndo derivds pr determinr os oe(ientes dos polinômios n form reduzidF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QFRFI epliçõesF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F sndo derivd pr esrever os oe(ientes ds equções polinomiE is reduzids F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F esolvendo equções do Qo e R◦ grus om o uxílio de derivds F F F TI F TQ F TR F TV F UI F UP F US 3 O uso de derivadas na resolução de equações polinomiais 61 Referências Bibliográcas 79 viii Introdução iste trlho trt do uso ds derivds d função polinomil pr determinr os oe(ientes ds equções polinomiis n form reduzid ou nôniD otidos d trnsformção x = y − an−1 /nan que onverte qulquer equção omplet de gru n d form an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 em um equção de gru n em y fltndo o termo de expoente n − 1D qul hmremos de form reduzid ou nôniF e us de um form mis simples pr resolver equções polinomiis levou os gênios iètiD grdno e perrri fzer um trnslção do domínio d função polinomil de gru orrespondente pel seguinte sustituição x = y − b/na onde n é o gru d função polinomilF y grnde prolem no nosso ponto de vist são s relções entre os oe(ientes d form reduzid e form originl @ompletAF yserveX x equção omplet do Po gru ax2 + bx + c = 0D om a = 0D medinte susE tituição de x por y − b/2a present form reduzid y 2 + p = 0D onde relção entre os oe(ientes éX p= 4ac − b2 F 4a2 x equção omplet do Qo gru ax3 + bx2 + cx + d = 0D om a = 0D medinte sustituição de x por y − b/3a present form reduzid y 3 + py + q = 0D onde s relções entre os oe(ientes sãoX p=− b2 c + D 2 3a a 3 2b bc d q= − 2+ F 3 27a 3a a x equção omplet do Ro gru ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0D om a = 0D medinte sustituição de x por y − b/4a present form reduzid y 4 + py 2 + qy + r = 0 onde pD q e r sãoX ix c 3b2 − 2D a 8a bc d q= − 2+ a 2a bd e r= − 2+ a 4a p= b3 D 8a3 b2 c 3b4 − F 16a3 256a4 gomo são indispensáveis nos métodos de resolução de d equçãoD vmos proE por um método pr relionr de form simples os oe(ientes d equção reduzid om os d form originl @ompletAD usndo pens s derivds d função polinoE mil que possui s mesms rízes que equção originl @ompletAF wostrremos tmém que tod equção n form reduzid oedee um fórmul gerlD sed n série de ylorF sniiremos flndo sore polinômiosD equções polinomiis e derivd de um função polinomilD demonstrremos n medid do possível lguns resultdos e teoreE msF istudremos lguns métodos lgérios de resolução de equções polinomiis destndoD o método de ompletr qudrdos e fórmul de fháskr pr equção do Po gruD fórmul de grdno e solução trigonométri de iète que dispens o 4lulo de rízes de números omplexos4 pr equção do Qo gruD os métodos de perrri e iuler pr equção do Ro gru e o método itertivo de xewton pr equções de gru mior que RF eremos tmém lguns métodos geE ométrios que podem ser plidos filmente ns uls do ensino médioD omo os métodos de hesrtes e homs grlyle pr equção do Po gru e o método ds ônis pr do Qo gruF im d sessão dos pítulos serão exposts utilidde de d método e téni de resolução de equções polinomiisD oedeendo à seguinte sequêniX ftorção de polinômiosD pesquis de rízes rionsD e em último soD s fórmulsF x Capítulo 1 Polinômios e equações polinomiais istudremos neste pítulo os métodos e ténis usds no ensino médio pr resolução de equções polinomiisF hemostrremos lgums ténis de resoluçãoD omo ftorção e divisão de polinômiosD dispositivo de friotEu0niD s relções de qirrdD o teorem ds rízes omplexs e o teorem de pesquis ds rízes rionisF r isso seguiremos sequêni didáti dos livros do ensino médioF 1.1 Polinômio em uma variável Denição 1.1 Um polinômio com coecientes em reais) na variável x é uma expressão formal do tipo: R (corpo dos números p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , onde n ∈ N e an , an−1 , ..., a1 , a0 são números reais, chamados coecientes do polinômio. Se an = 0, dizemos que n é o grau do polinômio. Neste caso, an é chamado de coeciente líder do polinômio. Observação: Exemplos: form nálogF m polinômio sore o orpo dos números omplexos C se de(ne de IF p(x) = 5x − 4 é um polinômio do Io gru om oe(ientes a1 = 5, a0 = −4. PF p(x) = 2x2 − 3x é um polinômio do Po gru om oe(ientes a2 = 2D a1 = −3 e a0 = 0. QF p(x) = 3x3 + 2x2 + 7x − 3 é um polinômio do Qo gru om oe(ientes a3 = 3D a2 = 2D a1 = 7 e a0 = −3. I 1.1. POLINÔMIO EM UMA V ARIÁ VEL 1.1.1 Função polinomial meros reais a0 , a1 , ..., an tais que, para todo x ∈ R tem-se Denição 1.2 Uma função f: R → R é do tipo polinomial quando existem núf (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 . Observações: IF punções polinomiis são originds por polinômiosF PF e d função polinomil ssoiEse um únio polinômio e vieEversD de form que não há onfusão em nos referirmos sem distinção às funções polinomiis ou os polinômiosF Exemplos: IF es funções polinomiis do tipo p(x) = aD om a = 0D são hmds de funções constantesF PF es funções polinomiis d form p(x) = ax + bD om a = 0D são hmds de funções ansF QF es funções polinomiis do tipo p(x) = ax2 + bx + cD om a = 0D são hmds de funções quadráticasF Polinômio identicamente nulo Denição 1.3 Um polinômio cujos coecientes são todos iguais a zero é denominado de polinômio identicamente nulo ou polinômio zero. De modo que, um polinômio p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 é identicamente nulo se an = an−1 = · · · = a1 = a0 = 0. Observação: y gru do polinômio identimente nulo não é de(nidoF p2 (x) = bm xm + bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + a0 . Então p1 (x) = p2 (x) se, m = n e, além Igualdade de polinômios Denição 1.4 Dados dois polinômios p1 (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 e disso, os seus coecientes são ordenadamente iguais, ou seja: an = bm , an−1 = bm−1 , ..., a1 = b1 , a0 = b0 . P 1.1. POLINÔMIO EM UMA V ARIÁ VEL hetermine os vlores de aD bD cD d e e de modo que os polinômios p(x) = ax + 5x2 + dx − b e q (x) = 2x4 + (b − 3)x3 + (2c − 1)x2 + x + e sejm iguisF 4 Exemplo: Solução: a = 2D r que sej p(x) = q (x)D devemos terX 0 = b − 3 ⇒ b = 3D 5 = 2c − 1 ⇒ 2c = 6 ⇒ c = 3D d = 1D e = −b ⇒ e = −3F vogoD a = 2, b = 3, c = 3, d = 1 e e = −3F Valor numérico de uma função polinomial Denição 1.5 Considere uma função polinomial f (x) e um número real α.O valor numérico da função polinomial f (x) para x = α é o valor que se obtém substituindo x por α e efetuando os cálculos necessários. Indica-se por f (α). Então, f (α) é o valor numérico de f (x) para x = α. Assim, de modo geral, dado o polinômio f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 o valor de f (x) para x = α é f (α) = an αn + an−1 αn−1 + · · · + a1 α + a0 . Exemplo: y vlor numério de p(x) = 2x2 − 3x + 5 pr x = 4 é p(4) = 2(4)2 − 3(4) + 5 = 32 − 12 + 5 = 25. Observação: e f (α) = 0D o número α é denomindo raiz de f (x)F or exemploD n função f (x) = x2 − 6x +8D temos f (2) = 0F vogoD P é riz dess função polinomilF Grácos de funções polinomiais ys grá(os de funções polinomiis são estuddos desde o Wo no do ensino funE dmentlD presentndo diverss plições n písiD n uími e n isttístiF or exemploD em ginemáti o movimento retilíneo uniforme @w A tem posição Q 1.1. POLINÔMIO EM UMA V ARIÁ VEL de um móvel desrit por um função (m e veloidde por um função onsE tnteF tá no movimento retilíneo uniformemente vrido @w AD posição de um móvel é desrit por um função qudrátiD veloidde por um função (m e elerção por um função onstnteF eremos gor ums dis simples de omo onstruir esses grá(os no plno rtesinoF Função constante. ej f (x) : R → R um função polinomil de(nid por f (x) = a0 D om a0 = 0D onheid omo função onstnteD o seu grá(o é um linh ret prlel o eixo horizontlF h geometri iulidinD semos que por dois pontos distintos pss um úni linh retY st lulr dois pontos distintos d ret de oordends (x, f (x)) e trçr linh ret que pss por esses pontosF Exemplo: Solução: isoe o grá(o d função onstnte f (x) = 4F isolhendo ritrrimente x = 0 ⇒ f (0) = 4 e x = 4 ⇒ f (4) = 4F vogoD temos os pontos P1 = (0, 4) e P2 = (4, 4) por onde vmos trçr noss linh retF er (gur IFIF pigur IFIX qrá(o d função onstnte f (x) = 4F R 1.1. POLINÔMIO EM UMA V ARIÁ VEL Função am. ej f (x) : R → R um função polinomil de(nid por f (x) = ax + b om a = 0 onheid omo função (mF il será resente se a > 0 e deresente se a < 0D o seu grá(o é um linh ret inlind o eixo horizontlF he modo nálogo à função onstnteD st lulr dois pontos distintos d ret de oordends (x, f (x)) e trçr linh ret que pss por esses pontosF Exemplo: Solução: isoe o grá(o d função (m f (x) = 2x − 4F gomo a = 2 > 0D função é resenteF isolhendo ritrrimente x = 0 e x = 4 otemos f (0) = −4 e f (4) = 4F vogoD temos os pontos P1 = (0, −4) e P2 = (4, 4)D por onde vmos trçr noss linh retF er (gur IFPF pigur IFPX qrá(o d função (m f (x) = 2x − 4F Função quadrática. ej f (x) : R → R um função polinomil de(nid por f (x) = ax2 + bx + cD om a = 0D onheid omo função qudrátiF y seu grá(o é um práol om onvidde pr im se a > 0 eD pr ixo se a < 0F ossui um ponto espeil b b2 − 4ac F wrndo o vértieD e hmdo de vértie de oordends V = − , − 2a 4a lguns pontinhos de oordends (x, f (x)) no plno rtesinoD podemos trçr por S 1.1. POLINÔMIO EM UMA V ARIÁ VEL eles o grá(o d funçãoF Exemplo: Solução: isoe o grá(o d função qudráti f (x) = x2 − 6x + 5F b2 − 4ac b ,− = (3, −4)F gomo 2a 4a a = 1 > 0 onvidde d práol é pr imF glulemos lguns pontos de oordends (x, f (x))F r x = 1 ⇒ f (1) = 0Y pr x = 2 ⇒ f (2) = 3Y pr x = 4 ⇒ f (4) = 3 e pr x = 5 ⇒ f (5) = 0F wrndo o vértie e esses pontos no plno rtesinoD podemos trçrD por elesD o grá(o d funçãoF er pigur IFQF es oordends do vértie são V = − pigur IFQX qrá(o d função qudráti f (x) = x2 − 6x + 5F 1.1.2 Operações com polinômios Adição de polinômios Denição 1.6 A adição de dois polinômios é feita somando os termos de mesmo expoente. T 1.1. POLINÔMIO EM UMA V ARIÁ VEL n n Dados p(x) = i=0 ai x e g (x) = i i=0 n bi xi , temos que: n n i i p(x) + g (x) = i=0 ai x + i=0 bi x = i=0 ( ai + b i ) x i . Exemplos: IF hdos p(x) = 3x2 + 2x + 1 e q (x) = −x3 + 4x2 − 2x − 5D determine p(x) + q (x)F Solução: gompletndo o polinômio p(x) om o termo 0x3 , temosX p(x) + q (x) = (0x3 + 3x2 + 2x + 1) + (−x3 + 4x2 − 2x − 5) = (0 − 1)x3 + (3 + 4)x2 + (2 − 2)x + (1 − 5) = −x3 + 7x2 − 4F PF hdos p(x) = 6x3 +3x2 − 2x +4 e q (x) = −3x3 +3x3 − x +1D lule p(x)+ q (x)F SoluçãoX gomo p(x) e q (x) possuem o mesmo gruD temosX p(x) + q (x) = (6x3 + 3x2 − 2x + 4) + (−3x3 + 3x3 − x + 1) = (6 − 3)x3 + (3 + 3)x2 + (−2 − 1)x + (4 + 1) = 3x3 + 6x2 − 3x + 5F Multiplicação de polinômios Denição 1.7 A multiplicação de dois polinômios é feita multiplicando cada termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo e somando esses produtos. m n Dados p(x) = i=0 ai x e q (x) = i j =0 m bj xj , temos: n m+n p ( x) · q ( x) = i=0 ai x i · j =0 bj x j = k=0 i+j =k ai · b j xk . U 1.1. POLINÔMIO EM UMA V ARIÁ VEL Exemplos: IF endo p(x) = 3x2 e q (x) = x2 − 3x + 2D lule p(x) · q (x)F Solução: wultiplindo termo termoD temosX p(x) · q (x) = (3x2 )(x2 − 3x + 2) = 2 · 3x2 − 3x · 3x2 + x2 · 3x2 = 6x2 − 9x3 + 3x4 F PF hdos os polinômios p(x) = 3x − 4 e q (x) = −2x + 5D lule p(x) · q (x)F Solução: wultiplindo termo termoD temosX p(x) · q (x) = (3x − 4)(−2x + 5) = −20 + 15x + 8x − 6x2 = −20 + 23x − 6x2 F 1.1.3 Produto notáveis e fatoração xo próximo pítuloD trlhremos equção polinomil do segundo gruD onde disutiremos su resolução por ompletmento de qudrdos ou por ftorçãoD qundo for o soF mém usremos produtos notáveis em outrs demonstrçõesF Produtos notáveis ão produtos que preem om muit frequêni n resolução de equções e no desenvolvimento de expressões lgérisX • Quadrado da soma de dois termosX (a+b)2 = (a+b)(a+b) = a2 +ab+ba+b2 = a2 +2ab+b2 ⇒ (a+b)2 = a2 +2ab+b2 . • Quadrado da diferença de dois termosX (a−b)2 = (a−b)(a−b) = a2 −ab−ba+b2 = a2 −2ab+b2 ⇒ (a−b)2 = a2 −2ab+b2 . • Produto da soma pela diferença de dois termosX (a + b)(a − b) = a2 − ab + ba + b2 = a2 − b2 ⇒ (a + b)(a − b) = a2 − b2 . • Cubo da soma de dois termos X (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 . V 1.1. POLINÔMIO EM UMA V ARIÁ VEL • Cubo da diferença de dois termosX (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 . • Soma de dois cubosX (a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 + b3 . • Diferença de dois cubos (a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 − b3 . Observação: gso sej neessário lulr o produto de um inômio de potêni mior que QD podemos usr o fmoso binômio de Newton n (a + b) = k=0 n n−k k (n b k) a om k D n ∈ NF Fatoração de polinômios: e ftorção de polinômios é de grnde utilidde n resolução de equções polinoE miisD filitndo simpli(ção de expressões lgérisD por exemploD no álulo de limitesF eremos gor lguns sosX • Fatoração por fator comum: heveEse oservr se todos o termos do polinôE mio presentm um ftor em omumF im so (rmtivo devemos oloáElo em evidêniF or exemploF 4x3 − 8x2 + 16x = 4x(x2 − 2x + 4). • Fatoração por agrupamento: heveEse plir ftorção por ftor omum mis de um vezF ej o exemploX 2x3 + 4x2 − 6x − 12 = 2x2 (x + 2) − 6(x + 2) = (x + 2)(2x2 − 6). • Fatoração de um trinômio quadrado perfeito: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 W 1.1. POLINÔMIO EM UMA V ARIÁ VEL • Fatoração pela diferença de dois quadradosF a2 − b2 = (a + b)(a − b) • Fatoração pela soma de dois cubosF a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) • Fatoração pela diferença de dois cubosF a3 − b3 = (a + b)(a2 + ab + b2 ). gomo pliçãoD veremos lguns exemplos do uso de ftorção n resolução de equções polinomiisF IF esolv equção do Qo gru 9x3 − 27x2 − 4x + 12 = 0 por meio de ftorE çãoF Solução: pzendo ftorção por grupmentoD temos 9x3 − 27x2 − 4x + 12 = 9x2 (x − 3) − 4(x − 3) = (x − 3)(9x2 − 4). ptorndo o segundo ftorD que é um diferenç de qudrdosD temos 9x3 − 27x2 − 4x + 12 = (x − 3)(9x2 − 4) = (x − 3)(3x + 2)(3x − 2) que sustituíd n equção (X 9x3 − 27x2 − 4x + 12 = (x − 3)(3x + 2)(3x − 2) = 0 que impli x−3=0⇒x=3 ou 3x + 2 = 0 ⇒ x = − ou 2 3 2 3x − 2 = 0 ⇒ x = . 3 2 2 e− F 3 3 ortntoD s rízes d equção 9x3 − 27x2 − 4x + 12 = 0 sãoX QD PF inontre tods s rízes d equção 4x4 + 32x = 0F IH 1.1. POLINÔMIO EM UMA V ARIÁ VEL Solução: pzendo ftorção por ftor omumD temos 4x4 + 32x = 4x(x3 + 8). ptorndo o segundo ftorD que é som de dois uosD temosX 4x4 + 32x = 4x(x3 + 8) = 4x(x + 2)(x2 − 2x + 4), que sustituindo n equçãoD (X 4x4 + 32x = 4x(x3 + 8) = 4x(x + 2)(x2 − 2x + 4) = 0, que impli 4x = 0 ⇒ x = 0 ou x + 2 = 0 ⇒ x = −2 ou x2 − 2x + 4 = 0 ⇒ √ x1 = 1 + 3i x2 = 1 − √ 3i. √ √ ortntoD s qutro rízes d equção são 4x4 +32x = 0 sãoX 0, −2D 1+ 3i e 1 − 3iF eri muito om que tods s equções polinomiis pudessem ser resolvids por ftorçãoD porémD nem sempre é fáil enxergr um ftor omum pr se efetur em seguid o grupmento ou outro tipo de ftorçãoF istudremos n próxim sessão o teorem ds rízes rionis que nos judrá enontrr rízes rionisD so existmF 1.1.4 Divisão de polinômios Teorema 1.8 (Algoritmo de Euclides). Sejam p(x) e d(x) dois polinômios com coecientes reais, com d(x) = 0. Então, existem únicos polinômios com coecientes reais q (x) e r(x) tais que: p(x) = d(x)q (x)+r(x), onde r(x) = 0 ou o grau de r(x) é menor que o grau de d(x). Os polinômios q (x) e r(x) são chamados de quociente e resto, respectivamente. II 1.1. POLINÔMIO EM UMA V ARIÁ VEL rovemos primeiro existênciaF ejm p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 D om an = 0 e d(x) = bp xp + bp−1 xp−1 + · · · + b1 x + b0 F e n < p tomeD q (x) = 0 e n n−p x F emos que o polinôE r(x) = p(x)F egorD se n ≥ p e bp = 0D tome q0 (x) = a bp an n−1 mio p(x) − d(x)q0 (x) = (an−1 − bp bp−1 )x + · · · temD no máximoD gru igul n − 1F pzendo o mesmo proesso pr p(x) − d(x)q0 (x)D vemos que existe um polinôE mio q1 (x) tl que p(x) − d(x)q0 (x) − d(x)q1 (x) = p(x) − d(x)[q0 (x) + q1 (x)] temD no máximoD gru n − 2F rosseguindoD vemos que existe um polinômio q (x) = [q0 (x) + q1 (x)] + · · · + qn−p (x) tl que p(x) − d(x)q (x) tem gru no máximo p − 1F ghmndo p(x) − d(x)q (x) de r(x)D está provd existêni de q (x) e r(x)F se p(x) = d(x)q1 (x) + r1 (x) e p(x) = d(x)q2 (x) + r2 (x) om os grus de r1 (x) e r2 (x) mos menores que o gru de d(x)D temosD sutrindoD que d(x)[q1 (x) − q2 (x)] = r1 (x) − r2 (x)F e q1 (x) − q2 (x) não for identimente nuloD o gru do primeiro memro será mior ou igul que o gru de d(x) F or outro ldoD o segundo memro tem gru menor que d(x)F vogoD q1 (x) − q2 (x) é identimente nuloD ou sejD q1 (x) = q2 (x)D que impli r1 (x) = r2 (x)F Demonstração: UnicidadeD Exemplo: Solução: mos efetur divisão do polinômio p(x) = x3 + 10 por d(x) = x + 2F gomo o gru de p(x) é Q e o gru de d(x) é ID o gru de q (x) é no máximo PD ou sejD q (x) = ax2 + bx + c e r(x) = r é um onstnteF h identidde p(x) = d(x)q (x) + r(x)D temEse x3 +10 = (x +2)(ax2 + bx + c)+ r ⇔ x3 +10 = ax3 +(2a + b)x2 +(2b + c)x +(2c + r)F vogoD pel identidde de polinômiosD temos a = 1D 2a + b = 0 ⇒ b = −2a ⇒ b = −2D 2b + c = 0 ⇒ c = −2b ⇒ c = 4D 2c + r = 10 ⇒ r = 10 − 2c ⇒ r = 2F ortntoD q (x) = x2 − 2x + 4 e r(x) = 2F IP 1.1. POLINÔMIO EM UMA V ARIÁ VEL Outra solução: rtindo d iguldde x3 + 8 = (x + 2)(x2 − 2x + 4) e somndo P mos os memrosD temEse x3 + 8 + 2 = x3 + 10 = (x + 2)(x2 − 2x + 4) + 2. vogoD q (x) = x2 − 2x + 4 e r(x) = 2F Observação: ixiste tmém um método de divisão de polinômios muito usdo no ensino médio hmdo método ds hvesF p(x) por x − a é p(a). Teorema 1.9 ( Teorema de D'Alembert) O resto da divisão de um polinômio h divisão de p(x) por x − a result um quoiente q (x) e um resto r(x) tis que p(x) = (x − a)q (x) + r(x)F gomo o divisor x − a é de gru ID o resto será de gru zeroD ou sejD um onstnteF pzendo r(x) = rD onstnteD temosX p(x) = (x − a)q (x) + r e sustituindo x por a segueEse que Demonstração: p(a) = (a − a)q (a) + r ⇒ r = p(a). Exemplos: IF glule o resto d divisão de p(x) = 2x3 + 3x2 + 2x − 5 por x − 1F he ordo om o eorem de h¡elemertX r = p(1) = 2(1)3 + 3(1)2 + 2(1) − 5 = 2. PF inontre o resto de divisão de p(x) = x4 + 2x2 + 2x − 3 por x + 2F elo eorem de h¡elemert temosX r = p(−2) = (−2)4 + 2(−2)2 + 2(−2) − 3 = 17. Corolário 1.9.1 (Teorema do fator) Um polinômio p(x) é divisível por x − a se, e somente se, p(a) = 0, ou seja, p(x) = (x − a)q (x). IQ 1.1. POLINÔMIO EM UMA V ARIÁ VEL e p(x) é divisível por x − aD então pelo eorem de h9elemertD r = p(a) = 0D eD de outr formD se p(a) = 0D omoD pelo eorem de h9elemertD r = p(a)D temos r = 0D ou sejD p(x) é divisível por x − aF hetermine o vlor de k de modo que p(x) = x3 + x2 + kx − 2 sej 1 divisível por x + F 2 1 Solução: hevemos ter p − = 0F 2 vogoX Demonstração: Exemplo: − 1 2 3 + − 1 2 2 +k − 1 2 −2=0 k 15 15 1 1 k ⇒− + − −2=0⇒ =− ⇒k =− F 8 4 2 2 8 4 1.1.5 Dispositivo de Briot-Runi x − a obtemos um quociente q (x) = bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0 e resto r. Teorema 1.10 Ao dividir o polinômio p(x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 por Demonstração: gomo o gru de p(x) é n e o gru de x − a é ID o gru de q (x) é no máximo n − 1F essimD pelo teorem d divisão temosX p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = (x − a)(bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0 ) + r. hesenvolvendo o segundo memroD otemosD por omprçãoX bn−1 = an bn−2 = abn−1 + an−1 = aan + an−1 F F F F F F F F F b1 = ab2 + a2 b0 = ab1 + a1 gom oe(ientes ddos d form imD temosX q (x) = bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0 e r = ab0 + a0 Observação: y proedimento efetudo im pode ser olodo n seguinte form IR 1.1. POLINÔMIO EM UMA V ARIÁ VEL práti no modo horizontlF yserveX a an an−1 an−2 · · · bn−1 bn−2 bn−3 · · · a2 a1 a0 b1 b0 r Exemplo: Solução: se o dispositivo de friotEu0ni pr oter o quoiente e o resto d divisão de p(x) = 3x5 + 4x4 + 3x3 − 7x2 − 2x + 3 por d(x) = x − 1F gonforme o dispositivo de friotEu0niD temosX x − 1 = 0 ⇒ x = 1 ⇒ a = 1 e grau(q ) = grau(p) − grau(d) = 5 − 1 = 4 esrevendo q (x) = q4 x4 + q3 x3 + q2 x2 + q1 x + q0 e r = aq0 + a0 F gomoX a5 = 3, a4 = 4, a3 = 3, a2 = −7, a1 = −2 e a0 = 3D temosX q 4 = a5 = 3 q3 = aq4 + a4 = 1 · 3 + 4 = 7 q2 = aq3 + a3 = 1 · 7 + 3 = 10 q1 = aq2 + a2 = 1 · 10 + (−7) = 3 q0 = aq1 + a1 = 1 · 3 + (−2) = 1 e r = aq0 + a0 = 1 · 1 + 3 = 4 ortntoD q (x) = 3x4 + 7x3 + 10x2 + 3x + 1 e r = 4. Observação: y dispositivo de friotEu0ni é muito útil qundo se onhee um riz inteir de um polinômioD pois esse dispositivo reduz o gru d equção de n pr n − 1F Exemplo: esolv equção x3 − 3x2 + 4x − 2 = 0F xote que I é riz d equção do Qo gru x3 − 3x2 + 4x − 2 = 0F sndo o dispositivo de friotEu0niX 1 1 −3 4 −2 1 −2 2 0 enontrremos x2 − 2x +2 = 0D que é um equção do Po gru om rízes 1+ i e 1 − iF ortntoD s rízes d equção sãoX ID 1 + i e 1 − iF IS 1.2. EQUAÇÕES POLINOMIAIS OU ALGÉBRICAS 1.2 Equações polinomiais ou algébricas que pode ser escrita na forma: an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 com an = 0 e n ∈ N∗ , em que an , an−1 , ..., a1 , a0 são números reais e n é o grau da equação. Denição 1.11 Denomina-se equação polinomial ou algébrica toda equação Exemplos: IF 5x + 2 = 0 é um equção lgéri do Io gruF PF x2 − 3x + 2 = 0 é um equção lgéri do Po gruF QF 7x3 − 2x2 − 4x + 5 = 0 é um equção lgéri do Qo gruF 1.2.1 Raiz de uma equação polinomial ou algébrica Denição 1.12 Denomina-se raiz ou zero da equação algébrica an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 o valor α que substituído no lugar de x satisfaz a igualdade, ou seja, o valor α tal que an αn + an−1 αn−1 + · · · + a1 α + a0 = 0. Exemplo: e equção x3 − 6x +4 = 0 dmite x = 2 omo rizD pois (2)3 − 6(2)+4 = 8 − 12 + 4 = 0F 1.2.2 Teorema fundamental da álgebra y eorem fundmentl d álger foi demonstrdo por quss em IUWW e será exposto sem demonstrçãoD pois requer um pouo de nálise mtemátiF plexos possui pelo menos uma raiz complexa. Teorema 1.13 Toda equação polinomial de grau n (n ≥ 1) com coecientes com- gomo onsequêni do teorem fundmentl d álger temEseX Corolário 1.13.1 (Teorema da decomposição) Todo polinômio com coecientes complexos p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 com n ≥ 1 e an = 0 pode ser decomposto num produto de n fatores de 1o grau, ou seja: p(x) = an (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) · · · (x − xn ). IT 1.2. EQUAÇÕES POLINOMIAIS OU ALGÉBRICAS Demonstração: ej p(x) um polinômio de gru n (n ≥ 1)D pelo eorem funE dmentl d álger p(x) dmite x1 ∈ C omo rizD ou sejD p(x1 ) = 0D então existe um q (x) @quoienteA de gru n − 1 tl queX p(x) = (x − x1 )q (x). egor se q (x) tiver gru n − 1 ≥ 1D de novo existem x2 ∈ C e q2 (x) de gru n − 2 tl queX q1 (x) = (x − x2 )q2 (x) ⇒ p(x) = (x − x1 )(x − x2 )q2 (x). or su vezD se q2 (x) tiver gru n − 2 ≥ 1 existem x3 ∈ C e q3 (x) de gru n − 3 tl queX q2 (x) = (x − x3 )q3 (x) ⇒ p(x) = (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 )q3 (x). eplindo o proesso suessivmenteD onluímos que p(x) = an (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) · · · (x − xn ). e menos de ordem dos ftoresD deomposição é úniF Corolário 1.13.2 Toda equação algébrica de grau n com coecientes complexos possui exatamente n raízes complexas. Demonstração: elo gorolário IFIQFI todo polinômio p(x) de gru n pode ser deomposto num produto de n ftores do Io gruD logoX p(x) = 0 ⇒ an (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) · · · (x − xn ) = 0, o que impli que equção p(x) = 0 possui extmente n rízes omplexsF Exemplo: o de I gruX mos fzer deomposição do polinômio p(x) = x5 − 16x em ftores Solução: mos deompor p(x) = x5 − 16x pelo método d ftorçãoY logo p(x) = x5 − 16x = x(x4 − 16) = x(x2 − 4)(x2 + 4) = x(x − 2)(x + 2)(x − 2i)(x + 2i). ortntoD p(x) = x(x − 2)(x + 2)(x − 2i)(x + 2i) é do So gru e possui extmente S rízes omplexsF Multiplicidade de uma raiz Denição 1.14 Se um polinômio p(x) é tal que: p(x) = (x − α)m · q (x) com q (α) = 0, dizemos que α é raiz de multiplicidade m da equação p(x) = 0. IU 1.2. EQUAÇÕES POLINOMIAIS OU ALGÉBRICAS Exemplos: IF unts rízes possui equção lgéri x(x − 2)4 (x + 1)3 = 0F Solução: elo gorolário IFIQFPD equção possui V rízesD sendoX H um riz simE plesD P um riz quádrupl e EI um riz triplF PF isrev s equções do Qo gru que dmitem P omo riz simples e EI omo riz duplF Solução: eplindo o teorem d deomposiçãoD temosX an (x − α1 )(x − α2 )(x − α3 ) = 0 onde an = 0 e α1 = 2, α2 = α3 = −1. ustituindo os vlores ds rízesD temos an (x − 2)(x + 1)(x + 1) = 0 que equivle an (x − 2)(x + 1)2 = an (x − 2)(x2 = 2x + 1) = an (x3 − 3x − 2) = 0 ortntoD s equções pedids são an (x3 − 3x − 2) = 0D om an = 0. 1.2.3 Relações de Girard equação p(x) = 0. Denição 1.15 As relações de Girard são relações entre coecientes e raízes da sremos o eorem d deomposição pr enontrr s relções de qirrd pr s equções do Po e Qo grus e depois fremos generlizçãoF e equção do Po gru ax2 + bx + c = 0 tem rízes x1 e x2 D que deompost em ftores lineres (X ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) = ax2 − a(x1 + x2 )x + ax1 x2 e pel identidde de polinômiosD temosX b x 1 + x2 = − a c x1 x2 = a IV 1.2. EQUAÇÕES POLINOMIAIS OU ALGÉBRICAS e equção do Qo gru ax3 + bx2 + cx + d = 0 tem rízes x1 D x2 e x3 que deompost em ftores lineres (X ax3 + bx2 + cx + d = a(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) logoD ax3 + bx2 + cx + d = ax3 − a(x1 + x2 + x3 )x2 + a(x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 )x + a(x1 x2 x3 ) e pel identidde de polinômiosD temosX b x + x + x = − 1 2 3 a c x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = a d x1 x2 x3 = − a he modo gerlD pr um equção polinomil de gru n ≥ 3 d form an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 = 0D om rízesD x1 , x2 , x3 , ..., xn D temosX x1 + x2 + x3 + · · · + xn = − x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 + · · · + xn−1 xn = x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + · · · + xn−2 xn−1 xn = − an−1 @om ds rízesA an an−2 @om ds rízes dus dusA an an−3 @om ds rízes três trêsA an F F F x1 x2 x3 · · · xn = (−1)n · a0 @roduto ds an n rízesA. Exemplo: Solução: esolv equção x3 − 10x2 + 31x − 30 = 0D sendo que um riz é igul à som ds outrs dusF sndo s relções de qirrd pr som e produto ds rízesD temos IW 1.2. EQUAÇÕES POLINOMIAIS OU ALGÉBRICAS b x1 + x2 + x3 = − = 10 a d x1 x2 x3 = − = 30F a e informção dd no prolem @um riz é igul à som ds outrs dusA x1 = x2 + x3 que sustituíd n relção d som impli x1 + x2 + x3 = x1 + x1 = 10 ⇒ 2x1 = 10 ⇒ x1 = 5 hí segueEse que x2 + x3 = 5 e x2 x3 = 6 ⇒ x2 − 5x + 6 = 0 ⇒ x = 3 ou x = 2F vogoD s rízes d equção x3 − 10x2 + 31x − 30 = 0 sãoX PD Q e SF Observação: es relções de qirrd são muito importntes qundo se se lgum informção sore s rízes d equçãoF e solução do sistem ds relções em si nos lev de novo à equção originlF 1.2.4 Pesquisa de raízes racionais de uma equação algébrica de coecientes inteiros Teorema 1.16 Se o número racional , com p e q primos entre si, é raiz de uma equação algébrica de coecientes inteiros an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0, p q então p é divisor de a0 e q é divisor de an . Demonstração: vogoD or hipóteseD temos que p é um riz não nul d equção q an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0. p q n an + an−1 p q n−1 + · · · + a1 p q + a0 = 0. wultiplindo equção im por q n temos an pn + an−1 qpn−1 + · · · + a1 pq n−1 + a0 q n = 0. ssolndo an pn D temos an pn = −q (an−1 pn−1 + · · · + a1 pq n−2 + a0 q n−1 ), k ∈Z PH 1.2. EQUAÇÕES POLINOMIAIS OU ALGÉBRICAS pois os oe(ientes an , an−1 , ..., a2 , a1 , a0 D p e q são números inteirosY logoX an pn = −qk omo o whg de p e q é ID então o whg de pn om q tmém é IF vogoD q é divisor de an F he modo nálogoD isolndo a0 q n D temos a0 q n = −p(an pn−1 + an−1 pn−2 q + · · · + a1 q n−1 ). s∈Z odemos esreverX a0 q n = −ps gomo o whg de q n om p é ID onluiEse que p é divisor de a0 F rionisF Exemplo: mos pesquisr se equção 3x3 + 2x2 − 7x + 2 = 0 possui rízes Solução: x equção ddD temos a0 = 2 e an = 3F p é divisor de P ⇒ p ∈ {EIDIDEPDP} q é divisor de Q ⇒ q ∈ {EIDIDEQDQ} elo eorem IFITD s prováveis rízes rionis p/q stisfzem proprieddeX p 1 1 2 2 ∈ {−1, 1, −2, 2, − , , − , }F q 3 3 3 3 pzendo veri(çãoD vemos que equção 3x3 + 2x2 − 7x + 2 = 0D possui três 1 rízes rionisX 1D −2 e F 3 xo pítulo P usremos esse teorem pr justi(r que equção x3 − 6x +4 = 0 possui o número P omo rizF 1.2.5 Raízes complexas não reais numa equação algébrica de coecientes reais Teorema 1.17 Se uma equação polinomial de coecientes reais admite o número complexo z = a + bi como raiz, então z = a − bi, conjugado de z , também é raiz da equação. PI 1.2. EQUAÇÕES POLINOMIAIS OU ALGÉBRICAS gonsidere p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 = 0D @an = 0AD om oe(ientes reisF or hipóteseD temos que z = a + biD @b = 0A é riz d equçãoD ou sejD p(z ) = 0F ortnto an z n + an−1 z n−1 + · · · + a2 z 2 + a1 z + a0 = 0 eplindo o onjugdo em mos os memros d equçãoD temos Demonstração: an z n + an−1 z n−1 + · · · + a2 z 2 + a1 z + a0 = 0. eplindo propriedde d dição de onjugdos z1 + z2 = z1 + z2 D temos an z n + an−1 z n−1 + · · · + a2 z 2 + a1 z + a0 = 0. eplindo propriedde do produto de onjugdos z1 z2 = z1 .z2 e o fto dos oe(ientes an serem reisD ou sejD an = an pr todo n temos an z n + an−1 z n−1 + · · · + a2 z 2 + a1 z + a0 = 0. eplindo propriedde ds potenis de onjugdo z n = (z )n D temos an (z )n + an−1 (z )n−1 + · · · + a2 (z )2 + a1 (z ) + a0 = 0, ou sejD p(z ) = 0D de modo que z tmém é riz d equção p(x) = 0F Exemplo: SoluçãoX esrever mos resolver equção x4 − 2x3 + x2 + 2x − 2 = 0 sendo que o número omplexo 1 + i é riz dest equçãoF gomo i + 1 é riz d equçãoD impli que 1 − i tmém é rizD e podemos x4 − 2x3 + x2 + 2x − 2 = (x − 1 + i)(x − 1 − i)q (x) = (x2 − 2x + 2)q (x)D onde q (x) é um polinômio de gru PF hividindo p(x) por x2 − 2x + 2 vmos oter q (x) = x2 − 1 que tem omo rízes −1 e 1F ortntoD s rízes d equção x4 − 2x3 + x2 + 2x − 2 = 0 sãoX −1D 1D 1 + i e 1 − iF PP Capítulo 2 Métodos de resolver equações algébricas istudremos gor os métodos de resolução ds equções polinomiis de form lgéri por meio de rdiis envolvendo os oe(ientes d equçãoD dndo destque pr os métodos de fháskrD ièteD grdnoD perrri e iuler que ontriuírm e muito pr resolução ds equçõesF plremos tmém sore lguns métodos geoE métriosD omo o d proporção pr equção do Io gruD o de ompletr qudrdosD de hesrtes e homs grlyle pr equções do Po gru e o de ymr uyn pr equções do Qo gruF he form simplesD dremos exemplos que podem ser plidos no ensino médioF 2.1 Equações do 1o grau e primeir referêni à equções de que se têm notíis onst do ppiro de hindD um dos doumentos egípios mis ntigos que trtm de mtemátiD esrito há mis ou menos RHHH nosF gomo os egípios não utilizvm notção lgériD os métodos de solução de um equção erm omplexos e nstivosF ys gregos resolvim equções trvés de qeometriD ms form os áres queD ultivndo wtemáti dos gregosD promoverm um entudo progresso n resolução de equE çõesF r representr o vlor desonheido em um situção mtemátiD ou sejD em um equçãoD os áres hmvm o vlor desonheido em um situção mE temáti de 4ois4F im áreD plvr 4ois4 er pronunid omo xyF hí surge o x omo trdução simpli(d de plvr 4ois4 em áreF rojeD hmmos o termo desonheido de inógnitD que é um plvr originári do ltim inognituD que tmém quer dizer 4ois desonheid4F e inógnit é um símolo que oup o lugr de um elemento desonheido em um equçãoF PQ 2.1. EQUAÇÕES DO 1 o GRAU 2.1.1 Método algébrico e solução lgéri de um equção do Io gru seáEse em dois xiomsX • Princípio aditivo da igualdade ou de EuclidesX odemos somr um número rel mos os memro de um iguldde que el não se lterF im símolosX ddos aD b e c números reisD temEse a=b⇒a+c=b+c • Princípio multiplicativo da igualdadeX odemos multiplir mos os memros de um iguldde por um número rel não nulo que el não se lter imolimenteD ddos aD b e c números reisD om c = 0D temEse a=b⇒a·c=b·c od equção polinomil do Io gru pode ser esrit lgerimente d seguinte form ax + b = 0D om a e b ∈ R e a = 0F r resolver ess equção somEse o oposto de b nos dois ldos d iguldde e otemEse ax + b + (−b) = 0 + (−b), que impli ax = −b. osteriormenteD multiplindo pelo inverso de aD hegEse a−1 · ax = −b · a−1 , que impli Exemplo: SoluçãoX b x=− . a esolv equção 5x + 1 = 36D onde x é um número rionlF eplindo o prinípio ditivoD vmos diionr @EIA os dois memros d equçãoD isolndo o termo que ontém inógnit x no Io memroX 5x + 1 = 36 PR 2.1. EQUAÇÕES DO 1 o GRAU 5x + 1 + (−1) = 36 + (−1) 5x + 1 − 1 = 36 − 1 5x = 35. eplindo o prinípio multiplitivoD vmos multiplir os dois memros d 1 equção por D desorindo ssim o vlor do número xF 5 1 1 5x · = 35 · ⇒ x = 7. 5 5 gomo 7 ∈ QD temos que 7 é solução d equção 5x + 1 = 36F Observação: odemos resolver equção im isolndo o vlor d inógnit x de form prátiX eplindo o prinípio ditivoD 5x = 36 − 1 5x = 35. egorD plindo o prinípio multiplitivoD 35 ⇒ x = 7. x= 5 2.1.2 Método geométrico e um equção lgéri do Io gru tem um riz positivD el poderá ser esrit omo ax = b D om a e b positivosF qeometrimenteD x é o qurto proporionl pr os três segmentos de omprimento a, b D e 1, ou sejD a : b = 1 : x @de ftoD a/b = 1/x lev ax = b AD de modo que x pode ser onstruído om régu e ompsso de form simplesD mostrd n pigur PFID onde ertur do ângulo em O é qulquerD OA = a D OB = b D AC = 1D e o ponto D é mrdo de modo que CD sej prlelo AB F intão x = BD é soluçãoF he ftoD por semelhnç de triângulosD temos OC a a+1 OA = ⇔ = , OB OD b b+x donde result que a(b + x) = b(a + 1), que impli ax = b. eprender em resolução de um equção do I◦ gru impli diretmente n prendizgem de onteúdos omo rzãoD proporçãoD regr de três simples e omE postD omo tmém n resolução de lgums equções do Po gru inompletsD por exemploD 4x2 − 12x = 0 e 9x2 − 25 = 0D que podem ser resolvids por ftorçãoF PS 2.2. EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2 o GRAU E A FÓRMULA DE BHÁSKARA pigur PFIX olução geométri d equção do Io gruF 2.2 Equações polinomiais do 2o grau e a fórmula de Bháskara e equção polinomil de segundo gru foi resolvid lgerimente @solução por rdiisA pelo mtemátio hindu ridhrD ms fórmul pr resolver ess equção ou levndo o nome de fhskrD pelo fto d solução ter sido pulid por esse mtemátioF u demonstrção hoje é onsiderd em simplesD pois seiE se no método de ompletmento de qudrdosF yutro mtemátio que resolveu equção do Po gru de form lgéri foi prnçóis iète usndo o mesmo método que rtgli usr pr resolver equção do Qo gruF hentre os métodos de resolução geometri vmos destr os dos mtemátios euEedullh wuhmmed inEwus elEuowrismiD ené hesrtes e homs grlyle os quis veremos n sequêniF 2.2.1 Métodos algébricos Solução por completamento de quadrados e solução lgéri d equção omplet ax2 + bx + c = 0 om a = 0 é feit medinte ompletmento de qudrdos @liásD ompletr qudrdo nd mis é que enontrr os ldos de um qudrdo que resulte em determind áreAF y proesso c é feito multiplindo equção pelo inverso de aD a−1 D e sutrindo − de mos a os ldos d igulddeF emEse x2 + bx c =− . a a PT 2.2. EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2 o GRAU E A FÓRMULA DE BHÁSKARA egorD podeEse pensr o que resent ness equção pr que seu ldo esquerdo poss ser um qudrdo perfeitoF ere que b2 /4a2 é esse elemento e então se tem x2 + que impli b2 b2 bx c + 2 = − + 2, a 4a a 4a 2 b x+ 2a donde temos = b2 − 4ac 4a2 x= −b ± √ b2 − 4ac . 2a olução lgéri de fháskrF Solução algébrica de Sridhara y método de resolução empregdo por fháskr @IIIREIIVSA n verdde é de ridhr @VUHEWQHA e foi enontrdo um séulo ntes de ser pulid por fháskrF e fórmul de ridhr onsider enontrr dois números x e y uj som é s e ujo produto é p X x+y =s xy = p. s s pzendo x = + a e y = − a temos 2 2 xy = que impli s +a 2 s s2 −a = − a2 = p 2 4 s2 −p⇒a= 4 vogoD onluímos que os vlores de x e y sãoX a2 = x= s + 2 s2 − 4p 4 e s2 − 4p . 4 y= s − 2 s2 − 4p F 4 xote que se a < 0D os vlores de x e y são permutdosF fruno erou um região retngulr de áre 54m2 om 30 metros de ordF inontre s dimensões dess regiãoF Exemplo: SoluçãoX e hmmos de a e b os ldos do retângulo onstruído por frunoD s PU 2.2. EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2 o GRAU E A FÓRMULA DE BHÁSKARA ondições sore o perímetro e áre desse retângulo nos levm às seguintes equE çõesX 2a + 2b = 30 ⇒ a + b = 15 e ab = 54D ou sejD s = 15 e p = 54F sndo fórmul de ridhrD temos s a= + 2 e s2 − 4p 15 + = 4 √ 225 − 216 15 + = 2 2 √ 9 = 15 + 3 18 = =9 2 2 √ √ s s2 − 4p 15 + 225 − 216 15 − 9 15 − 3 12 b= + = = = = = 6. 2 4 2 2 2 2 ortntoD s dimensões d região prourd são 9 e 6 metrosF Método de Viète e mneir que prnçois iète @ISRHEITHQA desoriu pr resolver equção do segundo gru seiEse em relionr equção ax2 + bx + c = 0 om um equção do tipo ay 2 + p = 0D onde p é um número que depende de a, b, c de modo que qulquer solução d equção ax2 + bx + c = 0 determinrá um solução d equção ay 2 + p = 0F yserve que equção ay 2 + p = 0 dmite dus soluçõesX y1 = − p a e y2 = − p − D a se − p ≥ 0F a r fzer istoD usmos o seguinte truqueX esrevendo x = y + m omo som de dus novs vriáveis y e mD equção ax2 + bx + c = 0 se esreve omo a(y + m)2 + b(y + m) + c = 0, n qul desenvolvendo o qudrdoD temEse ay 2 + 2amy + am2 + bm + by + c = 0. egrupndo onvenientementeD podemos esrever expressão im omo um equE ção n vriável y D ou sejD ay 2 + (2am + b)y + (am2 + bm + c) = 0. hess form podemos oter um equção d form ay 2 + p = 0D esolhendo o vlor de m de modo que o termo (2am + b) se nuleF PV 2.2. EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2 o GRAU E A FÓRMULA DE BHÁSKARA isolhendo m = − b temos 2a b ay + a − 2a 2 2 +b − b 2a +c=0 que impli ay 2 + o que é equivlente b2 b2 − +c=0 4a 2a 4ac − b2 = 0. ay + 4a yservndo que equção ssumiu form ay 2 + p = 0D temos que sus soluções sãoX 2 y1 = b2 − 4ac 4a2 e y2 = − b2 − 4ac D 4a2 se ∆ = b2 − 4ac ≥ 0 F vemrndoEse que m = − b e que x = y + m temos que s soluções d equção 2a ax2 + bx + c = 0 sãoX x1 = − b b + y1 = − + 2a 2a b2 − 4ac 4a2 e x2 = − b b + y2 = − − 2a 2a b2 − 4ac . 4a2 gomo er de se esperrD s soluções são idêntis às de fháskrF Discriminante da equação do 2o grau imos ns sessões nteriores que dd um equção do tipo ax2 + bx + c = 0 om oe(ientes reis e a = 0 podemos enontrr s rízes pel fórmul de fháskrX √ −b ± ∆ x= D onde ∆ = b2 − 4acF 2a pzendo nálise do ∆ junto om fórmul de fháskrD onluímos queX • e ∆ > 0D equção do Po gru possui dus rízes reis e distintsF • e ∆ = 0D equção do Po gru possui dus rízes reis e iguisF • e ∆ < 0D equção do Po gru possui dus rízes omplexsF PW 2.2. EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2 o GRAU E A FÓRMULA DE BHÁSKARA ExemploX mos resolver s equções ixo pel fórmul de fháskrF A x2 − 4x + 4 = 0F A x2 − 6x + 10 = 0F A x2 − 5x + 6 = 0F Soluções: A x equção x2 − 5x + 6 = 0D temos a = 1D b = −5 e c = 6F glulndo o vlor de ∆ = b2 − 4acD otemos ∆ = 1 > 0 e sustituindoEos n fórmul de fháskr temosX 5+1 6 x1 = = =3 √ √ 2 2 5± 1 5± 1 −b ± ∆ = = ⇒ x= 2a 2 2 4 5−1 x2 = = = 2. 2 2 xote que esss dus rízes são reis e diferentesF A x equção x2 − 4x + 4 = 0D temos a = 1D b = −4 e c = 4F glulndo o vlor de ∆ = b2 − 4ac otemos ∆ = 0 e sustituindoEos n fórmul de fháskrD temosX √ √ −b ± ∆ 4± 0 4± 0 4 x= = = ⇒ x1 = x2 = = 2. 2a 2 2 2 xote que esss dus rízes são reis e iguisF A x equção x2 − 6x + 10 = 0D temos a = 1D o vlor de ∆ = b2 − 4acD otemos ∆ = −4 < 0 e fháskrD temosX √ √ 6 ± −4 6 ± 2i −b ± ∆ x= = = ⇒ 2a 2 2 b = −6 e c = 10F glulndo sustituindoEos n fórmul de 6 + 2i =3+i 2 6 − 2i = 3 − i. 2 x1 = x2 = xote que esss dus rízes são omplexs onjugdsF 2.2.2 Métodos geométricos O método de completar quadrado de Al-Khwarizmi x qréiD s equções de segundo gru erm resolvids por meio de onstruções geométrisD ms esss onstruçõesD em gerlD erm plids à equções espeí(sF wuito tempo depoisD n érsiD euEedullh wuhmmed inEwus elEuowrismi QH 2.2. EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2 o GRAU E A FÓRMULA DE BHÁSKARA @UVQEVSHAD nsido n províni pers de uhwrezmD de quem se herd s plvrs lgrismo e lgoritmoD produziu um or populr sore equçõesD pedido do glif elEwmunF e or intituld elEuit lEjr wl wuqlh @y livro d resturção e do lnementoA utilizv um método geométrio pr hr solução d equção x2 + px = q @ess or tmém ensinv os números hinduE ráiosAD que onsisti em pensr n quntidde x2 + px omo sendo um áreF essimD er onstruíd um ruz formd pelo qudrdo de ldo x e por qutro retângulos de ldos p/4 e xF e áre d ruz é extmente x2 + px F intãoD omo mostr pigur PFPD ompletEse est ruz om os qutros qudrdos de ldo p/4D pr oter um qudrdo perfeito de ldo x + p/2F pigur PFPX gonstrução de elEuhwrizmiF sndo este rtifíio geométrioD elEuhwrizmi demonstrou que diionndo qutro vezes p2 /16 @que é som ds áres dos qutro qudrdos de ldo p/4 AD o ldo esquerdo d equção x2 + px = q D otinhEse áre do qudrdo de ldo x + p/2D isto éD p2 p 2 x2 + px + 4 · = x+ 16 2 2 e equção x + px = q poderi ser esrit omo x+ vogoD p 2 2 =q+ p2 . 4 p2 4 p x=− ± 2 idênti à fórmul de fháskrF q+ Observação: gomo onstrução é geométriD só fz sentido solução positivF QI 2.2. EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2 o GRAU E A FÓRMULA DE BHÁSKARA As construções de Descartes xo seulo ssD destEse ontriuição de ené hesrtes @ISWTEITSHAF im seu livroD v qéométrieD hesrtes desreveu um método geométrio pr resoluE ção d equção do Po gruF y método geométrioD desrito por esse fmoso mtemátio em seu livroD resolE veu equções do tipo x2 = bx + cD x2 = c − bx e x2 = bx − c sempre om b e c positivosF e resolução d equção x2 + bx = c é do seguinte modoD om o uso de régu e ompssoX √ IF rçr um seguimento AB de omprimento cF PF vevntr em A um perpendiulr AB e ness perpendiulr tomEse um ponto C sendo AC = b/2F QF gonstruir um irunferêni de entro C e rio AC F RF gonstruir um ret que pss por B e C D ruzndo irunferêni nos pontos E e DD om BE = xF qeometrimenteD temEse pigur PFQF pigur PFQX gonstrução de hesrtes @x2 + bx = cAF elo teorem de itágorsD podeEse enontrr o vlor de x em BE = xF gonsiE derndo o triângulo retângulo ABC D temEse BC 2 = AC 2 + AB 2 QP 2.2. EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2 o GRAU E A FÓRMULA DE BHÁSKARA ouD x+ intãoD b 2 2 = b 2 2 √ + ( c)2 . x2 + bx + ou sejD b2 b2 = + c, 4 4 x2 + bx = c. e resolução d equção x2 = bx + c é onstruíd de form nálog equção x2 + bx = cD st onsiderr o segmento x = BD no Ro pssoF yserve pigurFPFRF pigur PFRX gonstrução de hesrtes @x2 = bx + cAF elo teorem de itágorsD podeEse enontrr o vlor de x em BD = xF gonE siderndo o triângulo retângulo ABC D temEse gomo x = BD ⇒ BE = x − bD logo BC 2 = AC 2 + AB 2 ouD x− intãoD b 2 2 = b 2 2 √ + ( c)2 . x2 − bx + ou sejD b2 b2 = + c, 4 4 x2 = bx + c. QQ 2.2. EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2 o GRAU E A FÓRMULA DE BHÁSKARA tá onstrução d equção x2 + c = bxD tem seguinte mudnç no Ro pssoX vevntr em B um perpendiulr AB ruzndo irunferêni nos pontos D e E D onde x = BD ou x = BE F yserve pigur PFSF pigur PFSX gonstrução de hesrtes @x2 + c = bxAF elo teorem de itágorsD podeEse enontrr o vlor de x em BD = xF gonsiE derndo o triângulo retângulo CF DD temEse CD2 = CF 2 + F D2 ouD 2 b 2 intãoD √ = ( c)2 + b −x 2 2 . b2 b2 − bx + x2 + c = , 4 4 x2 + c = bx. ou sejD inqunto s dus primeirs onstruções só dmitem um solução rel positivD tereir pode presentr dus soluções reis e distintsD se o rio √ √b/2 d irunferêni for mior que cD um riz rel duplD se o rio for igul ce √ nenhum riz relD se o rio for menor que cF Observação: QR 2.2. EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2 o GRAU E A FÓRMULA DE BHÁSKARA O método de Thomas Carlyle y método utilizdo por hesrte não us oordends rtesinsD porém o méE todo desenvolvido por homs grlyle @IUUSEIVVIA s utilizF isse método de resolE ver equção do tipo x2 + bx + c = 0D pr b e c pertenentes os reis é representdo gr(menteD omo n pigur PFTF y método geométrio de grlyle segue os seguintes pssosX IF gom um ppel qudriuldoD determine os pontos A(0, 1) e B (−b, c)F PF inontre o ponto médio M de AB F QF gonstru um irunferêni om entro em M e rio AM F RF P e Q são os pontos em que irunferêni ruz o eixo OxF ys omprimentos OP e OQ representm s rízes d equção x2 + bx + c = 0F heE pendendo do ponto (−b, c) podeEse enontrr exemplos uj irunferêni ortrá o eixoEx em dois pontos distintosD tngenindo em um erto pontoD ou nãoF ssso oorrerá qundo o rio é respetivmente miorD igul ou menor que distâni entre o entro M d irunferêni e o eixo OxF tusti(tiv do método de grlyleX pigur PFTX gonstrução de homs grlyleF QS 2.2. EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2 o GRAU E A FÓRMULA DE BHÁSKARA yserve pigur PFTF el onstruçãoD os seguimentos AM = BM = P M = QM possuem o mesmo omprimento do rio r d irunferêniF r lulr o rio r d irunferêniD st lulr metde d distâni entre os pontos A(0, 1) e B (−b, c)D otendo b2 + (c − 1)2 r= 2 y ponto médio do seguimento AB D rêniF b c+1 − , 2 2 = M é o entro d irunfeE e X (x, 0) é um ponto pertenente irunferêni de entro em M e rio rF vogo 2 2 b c+1 x+ + 0− = r2 , 2 2 que impli b x+ 2 ou ind 2 + c+1 2 2 = b2 + (c − 1)2 4 b2 c 2 + 2 c + 1 b2 + c2 − 2c + 1 + = 4 4 4 fzendo s simpli(çõesD temos x2 + bx + x2 + bx = −c que impli x2 + bx + c = 0. yservEse que rei n equção do Po gru queD o se fzerem vrir os vlores de b e c podeEse nlisr relção que tem os oe(ientes e o número de soluçõesF yservndo simplesmente se distni do entro o eixo Ox é miorD igul ou menor que o rio d irunferêniF y método de grlyle resolve qulquer equção omplet do Po gru c b ax2 + bx + c = 0D poisD st dividir mos os memros por a e fzer b = e c = a a onsequentementeD x2 + b x + c = 0 eD pósD tomr os pontos A(0, 1) e B (−b , c ) e seguir o mesmo proedimento de resoluçãoF Observação: QT 2.2. EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2 o GRAU E A FÓRMULA DE BHÁSKARA Exemplo: esolv s equções ixo pelo método geométrio de grlyleF A x2 − 6x + 9 = 0F A x2 − 4x + 6 = 0F A x2 − 6x + 8 = 0F SoluçõesX A x equção x2 − 6x + 8 = 0D temos que a = 1, b = −6 e c = 8F vogoD mrndo os pontos A = (0, 1) e B = (−b, c) = (6, 8)D trçndo o segmento AB D lulndo o ponto médio M de AB e onstruindo irunferêni de ento em M e rio AM temEse que irunferêni ort o eixo Ox nos pontos P = (2, 0) e Q = (4, 0) e portntoD 2 e 4 são s soluções reis d equção x2 − 6x + 8 = 0F yserve pigur PFUF pigur PFUX olução geométri d equção x2 − 6x + 8 = 0F QU 2.2. EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2 o GRAU E A FÓRMULA DE BHÁSKARA A x equção x2 − 6x +9 = 0D temos que a = 1, b = −6 e c = 9F vogoD mrndo os pontos A = (0, 1) e B = (−b, c) = (6, 9)D trçndo o segmento AB D lulndo o ponto médio M de AB e onstruindo irunferêni de ento em M e rio AM D temEse que irunferêni ort o eixo Ox no ponto P = (3, 0) eD portntoD 3 é úni solução rel @riz duplA d equção x2 − 6x + 9 = 0F yserve pigur PFVF pigur PFVX olução geométri d equção x2 − 6x + 9 = 0F A x equção x2 − 4x + 6 = 0D temos que a = 1, b = −4 e c = 6 vogoD mrndo os pontos A = (0, 1) e B = (−b, c) = (4, 6)D trçndo o segmento AB D lulndo o ponto médio M de AB e onstruindo irunferêni de ento em M e rio AM D temEse que irunferêni não ort o eixo Ox em nenhum ponto eD portntoD equção x2 − 4x + 6 = 0 não possui solução relF yserve pigur PFWF QV 2.3. EQUAÇÕES DO 3 o GRAU pigur PFWX olução geométri d equção x2 − 4x + 6 = 0F e solução de grlyle é muito interessnte do ponto de vist prátio e didátioD pode ser relizd de form simples pens om o uso de ppel qudriuldoD régu e ompsso pr enontrr soluções reis de um equção do Po gru e se trlhr os tems plno rtesinoD irunferêniD ponto médio e segmento de retF 2.3 Equações do 3o grau tá muito ntes de gristo os ilônios onstruírm um método de resolução d equção do Qo gruD sedo em tels de qudrdosD uos e rízes uis de números nturisF orémD histori reente d equção do tereiro gru está replet de intrigsD disputs e usçõesD envolvendo rtgli @xiolò pontn rtgliD IRWWEISSUA e grdno @qirolmo grdnoD ISHIEISUTAF eEse hoje que for rtgli que resolver primeiro equção do tereiro gru e pós um duelo revelouD so jurmentoD su solução grdnoD que puliou em ISRS o método em ers wgn depois de pereer que hel perro @ipione del perroD IRTSEISPTA tmém onhei um método de resolução pr equções do Qo gruF rá suspeits que o método de hel perro não er su(iente pr resolver todos os tipos de equções do Qo gruF eremos gor os métodos lgérios dos ilôniosD grdnoD iète e um método geométrio sedo no método ds ônisF QW 2.3. EQUAÇÕES DO 3 o GRAU 2.3.1 Solução dos babilônios intre IVHH e ITHH FD n filôniD vêEse s primeirs tenttivs de resolução d equção do tereiro gruF ys ilônios fzim tels de uos e rízes uis pr uxilir n tel n3 + n2 om n inteiro entre I e QHD pr resolver equções que tinhm termos om x3 D x2 e termo independenteF r issoD é usdo o método d sustituiçãoF iquções omo ax3 + bx2 = c podem ser trnsformds ns equções usds pelos ilônios se el for multiplid por a2 /b3 D otendoD ssimD seguinte equção ax 3 ax 2 a2 c + = 3 . b b b x qul se x fosse um número nturl entre I e QH enontrvEse soluçãoF Exemplo: SoluçãoX form mos resolver equção 2x3 + 3x2 = 540 pelo método dos ilôniosF y ftor multiplitivo será 3 4 a2 = D que torn equção im n b3 27 2x 3 2 2x 3 yservndo o vlor de + = 80. n n tel ixoD onluímos que 2x = 4 ⇒ 2x = 12 ⇒ x = 6 3 é solução d equção 2x3 + 3x2 = 540F el semelhnte dos filôniosF QH n I P Q R S T U F F F WHH n2 I R W IT PS QT RW F F F PUHHH n3 I V PU TR IPS PIT QRQ F F F n2 + n3 P IP QT VH ISH PSP QWP F F F PUWHH RH 2.3. EQUAÇÕES DO 3 o GRAU 2.3.2 A fórmula de Cardano e fórmul d solução d equção do Qo gru reee o nome de grdnoD pois foi quem puliou em ers wgnD porém foi rtgli quem deduziuF undo rtgli hou solução ds equções x3 + px + q = 0D ele deu um solução não pens pr esse tipo de úiD ms mostrou que tod equção omplet podi ser esrit ness form qul hmou de reduzidF he ftoD sej equção omplet ax3 + bx2 + cx + d = 0D om oe(ientes reis e a = 0F pzendo x = y + mD temEse a(y + m)3 + b(y + m)2 + c(y + m) + d = 0 ou ay 3 + (3am + b)y 2 + (3am2 + 2bm + c)y + (am3 + bm2 + cm + d) = 0. b r eliminrmos o termo de gru PD st que fçmos m = − F 3a e nov equção do Qo gru em y é dd por ay 3 + − b2 +c y+ 3a 2b3 bc − +d 2 27a 3a = 0. hividindo mos os memros por aD temos y3 + − b2 c + 2 3a a y+ 2b3 bc d − 2+ 3 27a 3a a = 0. gomprndo om form reduzid y 3 + py + q = 0D onluímos que p=− b2 c + 2 3a a e q= 2b3 bc d − 2+ F 3 27a 3a a r resolvermos equção y 3 + py + q = 0D vmos supor que y é som de dus prelsD ou sejD y = u + v F ustituindo y = u + v D em y 3 + py + q = 0D temos (u + v )3 + p(u + v ) + q = 0 que impli eD reesrevendoD ( u3 + v 3 + 3uv (u + v ) + p(u + v ) + q = 0 (u3 + v 3 + q ) + (3uv + p)(u + v ) = 0. RI 2.3. EQUAÇÕES DO 3 o GRAU ortntoD se onseguimos hr u e v tis que 3 u + v 3 = −q que equivle u · v = −p/3 u3 + v 3 = −q u3 · v 3 = −p3 /27. gomo u3 e v 3 são números que se onhee som e o produtoD eles podem ser enE ontrdos omo solução d equção do Po gru seguirF p3 = 0 possui s seguintes soluçõesX e equção w2 + qw − 27 q w1 = − + 2 q 2 p3 + 4 27 e q w2 = − − 2 q 2 p3 + F 4 27 ortntoD os números prourdos são q u3 = − + 2 que implim q 2 p3 + 4 27 e q v3 = − − 2 q 2 p3 + 4 27 u= vogoD 3 q − + 2 q 2 p3 + 4 27 e v= 3 q − − 2 q 2 p3 + . 4 27 y =u+v = 3 q − + 2 q 2 p3 + + 4 27 3 q − − 2 q 2 p3 + , 4 27 onheid omo fórmul de grdnoErtgliF hess formD um solução d equção omplet ax3 + bx2 + cx + d = 0 é dd por x=y+m= 3 q − + 2 q 2 p3 + + 4 27 RP 3 q − − 2 b q 2 p3 + − . 4 27 3a 2.3. EQUAÇÕES DO 3 o GRAU Exemplos: mos resolver lgums equções do Qo gru pelo método de grdnoX IA esolv equção x3 − 6x2 + 10x − 8 = 0F Solução: x equção x3 − 6x2 + 10x − 8 = 0D temos a = 1D b = −6D c = 10 e d = −8. pzendo mudnç x = y − b = y + 2, 3a equção im se trnsform n form reduzid y 3 + py + q = 0D onde c b2 + = −2 2 3a a 3 2b bc d q= − 2 + = −4 3 27a 3a a p=− de modo que form reduzid ( y 3 − 2y − 4 = 0 eD plindo fórmul de grdnoD temos y= vogoX 3 q − + 2 q 2 p3 + + 4 27 3 q − − 2 q 2 p3 + 4 27 y= 3 2+ 4− 8 + 27 3 2− 4− 8 =2 27 [1] ortntoD omo x = y + 2D otemos x = 2 + 2 = 4F el fórmul de grdno x = 4 é solução d equção x3 − 6x2 + 10x − 8 = 0F sndo s relções de qirrd d som e do produto ds rízesD temos b d x1 + x2 + x3 = − = 6 e x1 · x2 · x3 = − = 8F a a hess formD podemos montr equção do Po gru x2 − 2x + 2 = 0 queD resolE vid pel fórmul de fháskrD nos dá s outrs dus rízesX x = 1 + i e x = 1 − iF ortntoD s rízes d equção x3 − 6x2 + 10x − 8 = 0 sãoX x1 = 4, x2 = 1 + i e x3 = 1 − i F 1 Nota: Provaremos esta igualdade na página 47. RQ 2.3. EQUAÇÕES DO 3 o GRAU PA inontre s rízes d equção x3 − 3x + 2 = 0F SoluçãoX x equção x3 − 3x + 2 = 0D temos p = −3 e q = 2 que sustituídos n fórmul de grdno ( x= q 2 p3 3 q q 2 p3 q − + + + − − + = 2 4 27 2 4 27 √ √ x = 3 −1 + 3 −1 = −1 + (−1) = −2. 3 3 −1 + 1 + (−1)+ 3 −1 − 1 + (−1) ortntoD um ds rízes d equção x3 − 3x + 2 = 0 é x = −2F sndo s relções de qirrd d som e do produto ds rízesD temos b d x1 +x2 +(−2) = − = 0 ⇒ x1 +x2 = 2 e de x1 ·x2 ·(−2) = − = −2 ⇒ x1 ·x2 = 1F a a gomo onheemos som e o produto ds rízes podemos esrever equção do Po gru x2 − 2x + 1 = 0D que resolvidD nos dá I omo riz duplF vogoD s rízes d equção x3 − 3x + 2 = 0 são x1 = x2 = 1 e x3 = −2F QA unts rízes reis possui equção x3 − 6x + 4 = 0F x equção x3 − 6x + 4 = 0D temos p = −6 e q = 4 queD sustituíE dos n fórmul de grdnoD ( Solução: x= 3 q − + 2 q 2 p3 3 q + + − − 4 27 2 x= 3 q 2 p3 + = 4 27 √ −4 + 3 3 −2 + √ 4 + (−8)+ 3 −2 − 4 + (−8) −2 + −2 − −4 4gomo não existe riz qudrd de números negtivos equção x3 − 6x + 4 = 0 não possui rízes reis4F irrdo3 imos no pitulo I que o eorem IFIU grnte que todo polinômio om oeE (ientes reis de gru ímpr possui pelo menos um riz rel e pelo eorem IFIT vêEse lrmente que x = 2 é riz dest equçãoF porm equções omo ests que deixrm grdno intrigdoD qundo em ers wgn lssi(ou soluções desse tipo omo inúteisD os hmdos de sos irredutíE veisD que derm origem os números omplexosF RR 2.3. EQUAÇÕES DO 3 o GRAU q2 p3 eremos que qundo δ = + < 0 equção reduzid x3 + px + q = 0 4 27 presentrá Q rízes reis e distintsD s quis vmos enontrr prtir d solução trigonométri de ièteF Discriminante da fórmula de Cardano enálise do disriminnte δ = q 2 p3 + d fórmul de grdnoF 4 27 essim omo n equção do Po gruD o vlor do disriminnte δ d fórmul de grdno está diretmente reliondo omo número de rízes reis d equção do Qo gruF ejmos os sosX 1o CasoX Q rízes reis e distintsX ejm aD b e c três números reis distintos que são soluções d equção x3 + px + q = 0F els relções de qirrd temosX a + b + c = 0 ⇒ c = −(a + b) ab + ac + bc = p abc = −q @IA @PA @QA ustituindo o vlor de c n segund e tereir equções temEse que p = ab − (a + b)2 e q = ab(a + b) que sustituídos em δ hegEse δ= ab(a + b) 2 2 + ab − (a + b)2 3 3 ⇒δ=− (a − b)2 (2a + b)2 (a + 2b)2 108 ⇒ δ < 0F 2o CasoX 3 m rel e dus rízes omplexsF ejm a + biD a − bi e cD om aD b e c números reisD soluções d equção x + px + q = 0D então pels relções de qirrdD temos 2a + c = 0 ⇒ c = −2a @IA RS 2.3. EQUAÇÕES DO 3 o GRAU a2 + b2 + 2ac = p c(a2 + b2 ) = −q F @PA @QA ustituindo o vlor de c ns equções @PA e @QAD otemos p = b2 − 3a2 e q = 2a(a2 + b2 ) que sustituídos em δ nos dá 2a(a2 + b2 ) δ= 2 2 b2 − 3a2 + 3 3 ⇒δ= 81a4 b2 + 18a2 b4 + b6 27 Note queX B r b = 0 ⇒ δ > 0 e teremos dus rízes omplexs e um relF B r b = 0 temEse δ = 0 o que torn s três rízes reisD sendo dus ou três oinidentesF mos mostrr que s reípros tmém são verddeirsD ou sejX • e δ < 0 ⇒ Q rízes reis e distintsF • e δ = 0 ⇒ Q rízes reis sendo dus ou três oinidentesF • e δ > 0 ⇒ P omplexs onjugds e um relF he ftoD se δ < 0 não implisse em três rízes reis e distintsD terímos um riz omplex e su onjugd e ssim estrímos no Po soD o que é um ontrE diçãoF vogoD se δ < 0 impli em Q rízes reis e distintsF he modo nálogoD podemos provr que δ > 0 impli em dus rízes omplexs e um rel e de form imedit se δ = 0 impli em três rízes reisD sendo dus ou três oinidentesF ortntoD mostrmos queX • δ < 0 ⇔ s três rízes são reis e distintsF • δ = 0 ⇔ s três rízes são reisD sendo um dupl ou três simplesF • δ > 0 ⇔ dus rízes omplexs onjugds e um relF RT 2.3. EQUAÇÕES DO 3 o GRAU Exemplo: wostre queX 3 2+ 4− 8 + 27 3 2− 4− 8 = 2. 27 Prova: xote queX 3 2+ e 3 4− 4− 3 8 =4 27 8 3 + 2− 27 3 2+ pzendo 4− 8 3 2− · 27 4− 8 2 = . 27 3 x= 3 2+ 4− 8 + 27 3 2− 4− 8 . 27 ilevndo o uo mos os memrosD temos x3 = +3 · 3 3 3 2+ 4− 4− 3 8 27 4− 8 + 27 3 8 3 + 2− 27 8 3 · 2+ 27 2+ 4− 8 3 · 2− 27 4− 2− 4− 8 27 que impli x3 = 4 + 3 · 2 · x ⇒ x3 = 4 + 2x ⇒ x3 − 2x − 4 = 0. 3 elo teorem ds rízes rionisD x = 2 é solução d equção x3 − 2x − 4 = 0F 8 100 gomo δ = 4 − = > 0D equção só dmite um riz relF 27 27 vogoD 3 2+ 4− 8 + 27 3 2− 4− 8 = 2. 27 RU 2.3. EQUAÇÕES DO 3 o GRAU 2.3.3 Solução trigonométrica de Viète Teorema 2.1 Toda equação do 3o grau na forma x3 = 3R2 x + 2R3 cos3θ tem como uma solução a raiz x = 2Rcosθ. Demonstração: temos rtindo d identidde trigonométri cos3θ = 4cos3 θ − 3cosθ 4cos3 θ = cos3θ + 3cosθ, n qul multiplindo mos os memros por 2R3 D sendo R = 0 um número relD 8R3 cos3 θ = 2R3 cos3θ + 6R3 cosθ, que pode ser reesrit omo (2Rcosθ)3 = 3R2 (2Rcosθ) + 2R3 cos3θ e fzendo x = 2Rcosθ hegremos à equção x3 = 3R2 x + 2R3 cos3θ ⇒ x3 − 3R2 x − 2R3 cos3θ = 0. gomprndo form de iète x3 − 3R2 x − 2R3 cos3θ = 0 om form reduzid x + px + q = 0D onluímos que p = −3R2 om p < 0 e q = −2R3 cos3θF 3 gomo p e q são onheidosD podemos enontrr os vlores de R e θF Exemplo: SoluçãoX mos resolver equção x3 − 6x + 4 = 0 pelo método de ièteF h equção x3 − 6x + 4 = 0 onluiEse que p = −6 < 0 e q = 4D que impli em √ p = −3R2 ⇒ 3R2 = 6 ⇒ R2 = 2 ⇒ R = 2 e √ 4 2 3π π ⇒ 3θ = ⇒θ= . q = −2R3 cos3θ ⇒ cos3θ = − √ ⇒ cos3θ = − 2 4 4 4 2 √ vogoD temos que x = Rcosθ = 2 2cos(π/4) = 2 é um solução rel d equção x3 − 6x + 4 = 0F RV 2.3. EQUAÇÕES DO 3 o GRAU sndo √ friotEu0ni enontrremos equção x2 + 2x − 2 = 0D que impli que √ x1 = −1 + 3 e x2 = −1 − 3 são s outrs dus soluçõesF ConclusõesF hd equção do Qo gru n form reduzid x3 + px + q = 0F • e δ = q 2 p3 + ≥ 0 devemos usr fórmul de grdno 4 27 x= 3 q √ − + δ+ 2 3 q √ − − δ. 2 q2 p3 • e δ = + < 0D então p < 0D que é ondição neessári à plição do 4 27 método de ièteF r p = −3R2 om p < 0 e q = −2R3 cos3θD x = 2Rcosθ. eremos n essão PFR que pr resolver um equção do Ro gru st ser ompletr qudrdos e resolver um equção uxilir do Qo gruF 2.3.4 Método geométrico das cônicas y método geométrio que vmos expor gor seiEse n idei do método de ymr uhyym @IHSHEIIQHA ou método ds ônisF e idei é seguinteF hd úi x3 + ax2 + b2 x + c3 = 0D sustituindo x2 por 2py result n equção 2pxy + 2apy + b2 x + c3 = 0D que é equção de um hipéroleF gomo x2 = 2py é equção de um práolD trçndo ests dus urvs em um mesmo plno rtesiE noD teremos s interseções dels omo rízes d equção úi originlF eproveitndo idei de ymr uhyymD onsidere equção gerl do Qo gru ax3 + bx2 + cx + d = 0D om a = 0 e d = 0F hess form podemos onstruir dus funções g (x) = ax2 + bx + c onde o grá(o é um práol e h(x) = −d/x onde o grá(o é um hipéroleF endoD a, b, c e d os mesmos oe(ientes d equção do Qo gruF pzendo g (x) = h(x) ⇔ ax3 + bx2 + cx + d = 0D s dus urvs ssim de(nids num mesmo plno se intereptm em pelo menos um ponto P F im seguid ixEse perpendiulr que pss por P em relção o eixo Ox pr enontrr iss do ponto P que é um solução d equção do Qo gruF yserve pigur PFIHD onde equção do Qo gru possui três rízes reisF RW 2.3. EQUAÇÕES DO 3 o GRAU pigur PFIHX olução geométri d equção do Qo gruF Exemplos: IA esolv equção x3 + 3x2 + 2x + 1 = 0 pelo método ds ônisF eplindo o método ds ônisD temos s funções g (x) = x2 +3x +2 onde 1 seu grá(o é um práol e h(x) = − represent um hipéroleF gonstruindo x os dois grá(os num mesmo plno rtesino onforme pigur PFIID vêEse que o ponto A é o únio ponto de interseção ds dus urvsF fixndo perpendiulr que pss por A em relção o eixo Ox temEse que xA = −2, 3 é úni riz rel d equção x3 + 3x2 + 2x + 1 = 0F y que podeEse perguntr é o seguinteX ess riz é triplc espostX xãoD pel relção qirrd @produto ds rízes de um equção d do Qo gruA − = −1 = (−2, 3)3 F gonlusãoX s outrs dus rízes são omplexs a onjugdsF SoluçãoX SH 2.3. EQUAÇÕES DO 3 o GRAU pigur PFIIX olução geométri d equção x3 + 3x2 + 2x + 1 = 0F PA inontre s rízes d equção x3 − 3x2 + 4 = 0 pelo método ds ônisF SoluçãoX eplindo o método ds ônisD temos s funções g (x) = x2 − 3xD onde 4 seu grá(o é um práol e h(x) = − represent um hipéroleF gonstruindo x os dois grá(os num mesmo plno rtesino onforme pigur PFIPD vêEse que os ponto A e B são os pontos de interseção ds dus urvsF fixndo s perpendiE ulres que pss por A e B em relção o eixo Ox temEse que xA = −1 e xB = 2 são s rízes reis d equção x3 − 3x2 + 4 = 0F gomo já semos que um equção om oe(ientes reis de gru ímpr possui um número ímpr de rízes reisD logo um ds dus é riz dupl d equção x3 − 3x2 = 4 = 0D que pode ser filmente veri(d plindo dus vezes o dispositivo de friotEu0niD donde onluiEse que 2 é riz duplF Observação: undo um equção do Qo gru possui um riz duplD el será filmente pereid @enontrdA pelo método ds ônisD pois riz é siss do ponto de tngêni entre os grá(os d práol e d hipéroleF gso isso não oorresse equção teri três rízes reis e distints ou um riz relD simples ou triplF SI 2.3. EQUAÇÕES DO 3 o GRAU pigur PFIPX olução geométri d equção x3 − 3x2 + 4 = 0F QA esolv equção x3 − 6x + 4 = 0 pelo método ds ônisF eplindo o método ds ônisD temos s funções g (x) = x2 − 6D onde seu 4 grá(o é um práol e h(x) = − represent um hipéroleF gonstruindo os dois x grá(os num mesmo plno rtesino onforme pigur PFIQD vêEse que os ponto AD B e C são os pontos de interseção ds dus urvsF fixndo s perpendiulres que pssm por A, B e C em relção o eixo Ox temEse que xA = −2, 7 D xB = 0, 7 e xC = 2 são s rízes reis d equção x3 − 6x + 4 = 0F Solução: Observação: y método ds ônis é muito interessnte do ponto de vist prátio e didátioD pode ser relizdo de form simples pens om o uso de ppel qudriE uldoD régu e ompsso pr enontrr soluções reis de um equção do Qo gru e se trlhr os tems plno rtesinoD função qudrátiD hipérole equiláter e segmento de retF SP 2.4. EQUAÇÕES DO 4 o GRAU E O MÉTODO DE FERRARI pigur PFIQX olução geométri d equção x3 − 6x + 4 = 0F 2.4 Equações do 4o grau e o método de Ferrari e históri d solução lgéri d equção do qurto gru vem junto om do tereiro gruD por ter sido enontrd n mesm époD pelo mtemátio vudovio perrriF xsido em folonh em ISPPD disípulo de grdno omo já for ditoD trlhou omo servo n residêni de seu mestre om pens IS nos de iddeF xess épo já se mostrv muito rilhnte e logo foi reonheido por grdnoD gnhndo ssim um promoção seretárioF gom IV nosD perrri omeçou enE sinr em wilãoD protegido pelo grdel de wntovD gnhndoD ssimD prestígio e muito dinheiroF ornouEse professor de wtemáti n niversidde de folonhD ms morreu os QH nos de iddeD tlvez envenendo por su própri irmãF gerto diD o wtemátio unne de onini d goi propôs grdno o seguinte prolemX 4hivid IH em três prtes tis que els estejm em proporção ontinud e que o produto ds dus primeirs sej T4F e s três prtes são denotds por xD y e zD temEse SQ 2.4. EQUAÇÕES DO 4 o GRAU E O MÉTODO DE FERRARI x + y + z = 10 xz = y 2 @ vem de x : y = y : z A xy = 6. isse sistem tem omo onsequêni equção y 4 + 6y 2 − 60y + 36 = 0F hepois de váris tenttivs sem suessoD grdno pssou o des(o perrri que ou enontrndo um fórmul gerl pr s equções do qurto gruF iste proE esso tmém foi pulido por grdnoD omo ontinução d solução feit por rtgli ds equções do tereiro gruD em su or ers wgnF hd equção gerl de qurto gru ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0D om oe(ientes reis e a = 0D sustituindo x por y − b/4D temEse omo resultdo equção reduzidD sem o termo de tereiro gruD y 4 + py 2 + qy + r = 0D onde pD q e r sãoX 3b2 c − 2D a 8a d bc q= − 2+ a 2a bd e r= − 2+ a 4a p= b3 D 8a3 b2 c 3b4 − . 16a3 256a4 poi esse tipo de equção que perrri resolveu @que pel sustituição imD sigE ni( solução pr equção de qurto gru ompletAF ile regrupou os termos de modo que nos dois ldos d iguldde houvesse polinômios qudrdos perfeitosF endo isso possívelD serim extríds s rízes qudrdsD indo em equções do segundo gruD e o prolem estri resolvidoF essim ele proedeuX ssolndo y 4 + py 2 e somndo py 2 + p2 mos os memros y 4 + 2py 2 + p2 = py 2 − qy − r + p2 , ou omndo s ritrárioD (y 2 + p)2 = py 2 − qy + p2 − r. (y 2 + p + s)2 = py 2 − qy + p2 − r +2s(y 2 + p)+ s2 = (p +2s)y 2 − qy +(p2 − r +2ps + s2 ). SR 2.4. EQUAÇÕES DO 4 o GRAU E O MÉTODO DE FERRARI egor esolhendo s de form que o ldo direito d equção im sej um qudrdo @ ondição neessári e su(iente pr que equção ax2 + bx + c = 0 sej um qudrdo é ∆ = b2 − 4ac = 0 AD temEse 4(p + 2s)(p2 − r + 2ps + s2 ) − q 2 = 0. ist é um equção do tereiro gru em s e omo se se resolvêElD hegEse um vlor de s que reduz solução d equção originl à extrção de rízes qudrdsD pois terEseEi (y 2 + p + s)2 = (ty + u)2 . ynde t e u são números reis que dependem de p, q, r e sF gonsequentementeD y 2 + p + s = ±(ty + u). vogoD solução omplet d equção do Ro gru é dd porX x=y− b . 4a ExemploX SoluçãoX mos resolver equção x4 −15x2 −10x+24 = 0 pelo método de perrriF h equção x4 − 15x2 − 10x + 24 = 0D temos que a = 1D b = 0D c = −15D d = −10 e e = 24F gomo b = 0D fzEse desneessári sustituição de x por y − b/4a e pliremos diretmente o método de ompletmento de qudrdos semelhnte o de perrriF ssolndo o termo x4 e somndo o termo 2sx2 + s2 mos os memros d equçãoD sendo s vriável que vi uxilir o ompletmento de qudrdos uxilrD temosX x4 + 2sx2 + s2 = (2s + 15)x2 + 10x + (s2 − 24). gomo o primeiro memro já é um qudrdo perfeito vmos ondiionr o trinômio do segundo memro om vriável s de modo que ∆ = 0 @ondição neessári e su(ienteAF vogoD 100 − 4(2s + 15)(s2 − 24) = 0 ⇒ 2s3 + 15s2 − 48s − 385 = 0D que resolvid pelo método de grdnoD nos dá s rízes s1 = −7D s2 = −11/2 e s3 = 5F isolhendo um dos vlores de sD por exemploD s = −7D onluímos que equção x4 + 2sx2 + s2 = (2s + 15)x2 + 10x + (s2 − 24) pode ser reesrit omo (x2 − 7)2 = x2 + 10x + 25 = (x + 5)2 ⇒ (x2 − 7)2 = (x + 5)2 , ou x2 − 7 = ±(x + 5) SS 2.5. MÉTODO DE EULER PARA A EQUAÇÃO DO 4 o GRAU que impli e x2 − x − 12 = 0 x2 + x − 2 = 0 . esolvendoEs pel fórmul de fháskr ou ompletndo qudrdosD vmos enonE trr x = 4 e x = −3 pr primeir equção e x = 1 e x = −2 pr segund equçãoF vogoD s rízes d equção x4 − 15x2 − 10x + 24 = 0 sãoX x1 = 4, x2 = 1, x3 = −2 e x4 = −3F 2.5 Método de Euler para a equação do 4o grau veonhrd iuler @IUHUEIUVQA foi um mtemátio suíço que fez ontriuições enorE mes pr um mpl gm d mtemáti e físiD inluindo geometri nlítiD trigonometriD geometriD álulo e teori dos númerosF im IWUPD iulerD em seu livro ilements of elgerD puliou um novo método de resolver equções do Ro gruD sedo simente ns relções de qirrdD produtos notáveis e n resolução de um equção uxilir do Qo gruF essimD d mesm form que perrriD o método de iuler pss pel resolução de um equção do Qo gruF ej um demonstrE ção desse método enontrd n w @evist do professor de mtemátiA de IWWRF gonsidere equção do Qo gru x3 − Sx2 + Sd − P = 0D de rízes x1 D x2 e x3 D que stisfzem X x1 + x2 + x3 = S D x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = Sd e x1 x2 x3 = P F endo y = √ √ √ x1 + x2 + x3 D temos √ √ √ y 2 = x1 + x2 + x3 + 2( x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ) que impli y2 − S 2 ou sejD 2 √ √ √ = ( x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 )2 = √ √ √ √ = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 + 2 x1 x2 x3 ( x1 + x2 + x3 ), y2 − S 2 2 √ = Sd + 2 P y (∗) ou √ y 4 − 2Sy 2 − 8 P + S 2 − 4Sd = 0. hd equção do Ro gru ay 4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 om oe(ientes reis e a = 0D fzendo sustituição x = y − b/4a temEse form reduzid ST 2.5. MÉTODO DE EULER PARA A EQUAÇÃO DO 4 o GRAU y 4 + py 2 + qy + r = 0 queD omprd om (∗) impli em √ p = −2S D q = −8 P e r = S 2 − 4Sd F gomo pD q e r são onheidosD podemos enontrr os vlores de S D Sd e P D de modo que q p S=− DP = 2 8 2 e Sd = p2 − 4r S2 − r = F 4 16 essimD reesrevendo equção do Qo gru temosX p y3 + y2 + 2 ytemos x1 D x2 e x3 tis queX p2 − 4r 16 y+ q 8 2 = 0. y= √ x1 + √ x2 + √ x3 stisfz equção y 4 + py 2 + qy + r = 0F r enontrr s rízes d equção omplet do Ro gru st lemrr que x = b y − D sendo y solução d equção y 4 + py 2 + qy + r = 0F 4a yserve que d riz qudrd pode ssumir dois vlores omplexosD ms equção √ √ √ √ √ √ P = −q/8 diz que x1 x2 x3 = −q/8F essimD pr d vlor de x1 e x2 √ há um únio vlor de x3 F hess formD otemos tods s rízes d equção originlF ExemploX SoluçãoX r = −4F inontre s rízes d equção y 4 − 12y 2 − 16y − 4 = 0F h equção y 4 − 12y 2 − 16y − 4 = 0D temEse p = −12D q = −16 e esolvendo equção do Qo gru p y3 + y2 + 2 ou sejD p2 − 4r 16 y+ q 8 2 = 0, x3 − 6x2 + 10x − 4 = 0. elo teorem ds rízes rionis P é riz d equção im e pels relções de qiE rrd temos que som ds outrs produto PF wontndo equção do Po √é R e o √ gru e resolvendoD temos que 2 + 2 e 2 − 2 são s outrs rízesF SU 2.6. OS CASOS INÚTEIS DA EQUAÇÃO DO 4 o GRAU eplindo regr de sinisD o produto ds rízes é −q/8 = 2F es rízes d equção y 4 − 12y 2 − 16y − 4 = 0 sãoX √ 2+ 2+ √ 2+ √ √ √ 2− 2− 2− √ 2 √ − 2+ √ − 2+ √ − 2− 2+ 2+ 2+ 2− 2− 2− √ 2 √ 2 √ 2. 2+ ho nosso ponto de vistD o método de iuler é tão e(z qunto o de perrriD desde que o indivíduo trg no olso equção uxilir do Qo gruF 2.6 Os casos inúteis da equação do 4o grau im ISRSD grdno puliou ers wgn @erte wgnAD n qul desrevi méE todos lgérios pr resolver equções úis e quártisF orémD ele tmém trlhou om equções qudrátis em su orF m dos prolems que ele hE mou 4mnifestmente impossível4 é o seguinteX hivid IH em prtes ujo o produto é RHX isto éD enontre solução de x + y = 10 x · y = 40 ouD equivlentementeD solução d equção qudráti 40 − x(10 − x) = x2 − 10x + 40 = 0, ujs rízes são 5 ± √ −15F grdno formlmente multipliou s rízes e enontrou √ √ (5 + −15)(5 − −15) = 40. unto às omputçõesD ele esreveu 4deixndo de ldo s torturs mentis envolE vids4F grdno não profundou tl estudo e onluiu que tl resultdo er 4tão sutil qunto inútil4F eind ssimD tl evento é histórioD pois pel primeir vez riz qudrd de um número negtivo hvi sido esrit expliitmenteF SV 2.6. OS CASOS INÚTEIS DA EQUAÇÃO DO 4 o GRAU gomo diri grdnoD sos inúteis são quels equções que só possuem rízes omplexsF Exemplo: Solução: inontre s rízes reis d equção x4 + x2 + 4x + 4 = 0F elgum urioso prontmente vi tentr o método de perrri ouD quem se o método de iulerFFFvendo o monstro que preerá FFF ho que ele desistirá3 i nós tmémF oisD durnte os álulos irá preer rízes de números omplexos e será neessário o uso de nálise omplexF OBSERVE COM ATENÇÃO! x4 + x2 + 4x + 4 = 0 ⇒ (x2 )2 + (x + 2)2 = 0. xão preis ser um om mtemátio pr pereer que nenhum número rel é soE lução dess equçãoF ortntoD equção possui R rízes omplexsF e justi(tiv é em simplesX st ser ompletr qudrdosF q 2 − 4pr q . + gonsidere equção x + px + qx + r = 0 ⇒ (x ) = −p x − 2p 4p e p > 0 e ∆ = q 2 − 4pr ≤ 0 equção x4 + px2 + qx + r = 0 não possui rízes reisD pois o qudrdo de um número rel é sempre positivo ou zeroF gomo no exemplo nterior tínhmos p = 1 e ∆ = q 2 − 4pr = 0D então s soluções são omplexsF i muito omplexs de se hr3 4 2 2 2 2 pomos no siteX httpXGGwwwFprofrdyFomGluldorsGplitivosFphpclaW e enontrmos s rízes d equção x4 + x2 + 4x + 4 = 0X x1 = 0.9395649091666411 + 1.5643224222656023i x2 = 0.9395649091666411 − 1.5643224222656023i x3 = −0.9395649091666411 + 0.564322422265602i x4 = −0.9395649091666411 − 0.564322422265602iF Observação: y site supritdo ontém um plitivo que resolve equções do Po té o Ro gruD qundo informdo pens os oe(ientes d equçãoF SW 2.7. EQUAÇÕES DO 5 o GRAU. RUFFINI, ABEL E GALOIS 2.7 Equações do 5o grau. Runi, Abel e Galois oluções de equções lgéris té o qurto gru são solúveis por fórmuls que envolvem s qutro operções ritmétis e extrção de rízesF intretntoD nem tods s equções do So gru podem ser resolvids por fórmuls geris desse tipoF im IUWWD u0ni @olo u0niD IUTSEIVPPA puliou um trlho em queD exE eto por um pequeno engnoD provv impossiilidde de resolução d equção do So gru por fórmulsF gomo n épo não se reditv que um equção lgéri não pudesse ser resolvid por meio de fórmulsD morreu sem orrigir su prov e sem ser reonheido por elF e primeir prov orret d impossiilidde de resolver s equções do So gru por meio de fórmuls foi pulid pelo norueguês eel @xiels renrik eelD IVHPE IVPWA em IVPRF y urioso é queD três nos ntesD eel hegou reditr ter otido fórmul d equção do So gruD porémD o produzir um exemplo de utilizção d fórmulD pereeu que se engnouF qlois @Évriste qloisD IVIIEIVQPA tmém provou ess impossiilidde usndo su própri teoriD mis trde hmd eori de qloisF gom issoD esse gênio frnêsD que morreu num duelo os PI nos de iddeD nos permitiu hoje ser quis equções são ou não pssíveis de resolução por fórmuls que envolvem os oe(ientesF eremos no próximo pítulo que ss xewton desenvolveu um método itertivo pr enontrr um riz rel de um função polinomil sedo no sinl d função e n su primeir derivdF hess formD temos omo enontrr pelo menos um riz d função do So gruD já que todo polinômio om oe(ientes reis de gru ímpr dmite pelo menos um riz relF TH Capítulo 3 O uso de derivadas na resolução de equações polinomiais istudremos nesse pítulo o método itertivo de xewton e plição d deE rivd pr enontrr os oe(ientes ds forms nônis ds funções polinomiis do Io té o Ro gruF r isso flremos um pouo d derivd de um função polinomil e nlisremos os métodos de trnslção de ièteD grdno e perrriD usdos ns resoluções ds equções do Po D Qo e R◦ grusD respetivmenteD desritos no pítulo nteriorF 3.1 Derivada de uma função polinomial Denição 3.1 Seja f (x) : R → R uma função polinomial denida por f (x) = an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 . Chamaremos de f (x) : R → R a função polinomial derivada com relação a x da função f (x) denida por f (x) = nan xn−1 + (n − 1)an−1 xn−2 + · · · + 3a3 x2 + 2a2 x + a1 . Observação: gomo derivd de um função polinomil tmém é um polinôE mioD podemos lulr derivd d derivd om relção xD qul denotremos por f (x) e hmremos de derivd segund de f (x) om relção x e usndo de(nição d derivdD temos f (x) = n(n − 1)an xn−2 + (n − 1)(n − 2)an−1 xn−3 + · · · + 6a3 x + 2a2 . eguindo o mesmo proedimentoD podemos lulr s derivds de tods s orE dens d função polinomil f (x)F TI 3.1. DERIV ADA DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL Exemplos: IF hd função f (x) = 3x5 + 2x4 − 3x3 + 2x2 − 5x + 4F glule f (x)D f (x) e f (x)F SoluçãoX el de(niçãoD temos f (x) = 5 · 3x4 + 4 · 2x3 − 3 · 3x2 + 2 · 2x − 5 ⇒ f (x) = 15x4 + 8x3 − 9x2 + 4x − 5. eplindo de(nição em f (x)D temos f (x) = 4 · 15x3 + 3 · 8x2 − 2 · 9x + 4 ⇒ f (x) = 60x3 + 24x2 − 18x + 4. eplindo de(nição gor em f (x)D temos f (x) = 3 · 60x2 + 2 · 24x − 18 ⇒ f (x) = 180x2 + 48x − 18. PF m orpo se move de ordo om função S (t) = t2 − 5t − 6 @onde temos S em metros e t em segundosAF glule su veloidde e elerção no instnte t = 4sF Solução: oê já deve ter esutdo expressões do tipo"vovô ateu" e "a é o dobro do coeciente de t2 "F ão mneirs de lemrr ds funções horárisD v (t) = v0 + at d veloidde e a(t) = 2a2 d elerção no movimento retilíneo uniformemente vrido @w AF r fugir dess torturD vmos usr derivds pr resolver esse prolemF es equções horáris do @w A sãoX 1 S (t) = s0 + v0 t + at2 @posiçãoA e v (t) = v0 + at @veloiddeAF 2 yserve que veloidde instntâne do orpo é derivd de S om relção tD ou sejD v (t) = S (t) = v0 + at e elerção é derivd de v om relção tD ou sejD a(t) = v (t) = aF hess formD temos que veloidde instntâne do orpo é dd porD v (t) = S (t) = 2t − 5 e elerção porD a(t) = v (t) = 2F ortntoD em t = 4sD temosX v (4) = 3m/s e a(4) = 2m/s2 F TP 3.2. MÉTODO DE NEWTON PARA ENCONTRAR RAÍZES 3.2 Método de Newton para encontrar raízes ys métodos que se usm tulmente pr determinr um riz de um função polinomil f (x) lolizd num intervlo [a, b] qundo se se que f (a) e f (b) posE suem sinis opostos não se seim em fórmuls fehdsD omo s que form otids pr s equções de gru ≤ 4F im vez dissoD esse método se sei em lgoritmos proximtivosD os quis instruemD psso pssoD omo proeder pr oter um sequêni de números x1 , x2 , ..., xn , ... tis que os vlores de f (x1 ), f (x2 ), ..., f (x2 ) estão d vez mis próximos de zeroF ss xewton @ITRPEIUPUA foi ientist inglêsD que desoriu 4vei d qrvitção niversl4F É onsiderdo um dos miores estuE diosos d históriF istudou e puliou trlhos sore meâniD stronomiD físiD quími e mtemáti e lquimiF mém desoriu o álulo in(nitesimlF ile deE senvolveu um método itertivo pr determinr um riz de um função polinomil f (x) lolizd no intervlo [a, b]D qundo se se que f (a) e f (b) possuem sinis opostosF egundo este métodoD se x1 é um vlor próximo de um rizD sequêni x1 , x2 , ..., xn de números reis otidos pel fórmul itertiv xn+1 = xn − f (xn ) f (xn ) tem omo limite um riz de f (x)F ynde f (x) represent derivd d função polinomil f (x)F ExemploX mos enontrr um riz d função polinomil f (x) = x5 − 5x2 + 1 pelo método de xewtonF r enontrr um riz d função polinomil f (x) devemos resolver equção x5 − 5x2 + 1 = 0 F yservndo que f (1) = −3 e f (2) = 13F vogo deve hver um riz de f (x) entre I e PF pr plirmos o método de xewton devemos tomr x0 = 2 omo ponto de prtidD lemrndo que f (x) = 5x4 − 10xF hí oteE mos suessivmente SoluçãoX f (xn ) . f (xn ) f (x0 ) 13 x1 = x0 − = − = 1, 783. f (x0 ) 60 f (x1 ) 3, 124 x2 = x1 − = 1, 783 − = 1, 687. f (x1 ) 32, 703 f ( x2 ) 0, 434 x3 = x3 − = 1, 687 − = 1, 668F f (x2 ) 23, 627 xn+1 = xn − oderímos prosseguir om s iterçõesD porém não há neessiddeF IDTTV é um exelente proximção pr riz prourdD pois f (1, 668) é menor que um milésimoF TQ 3.3. TRANSLAÇÃO DE EIXOS 3.3 Translação de eixos gonheendoEse urv dd pel equção y = f (x)D um om reurso pr onsE trução do grá(o de urvs do tipo y − k = f (x − m) é trnslção de eixosF im gerlD no plno em que os eixos Ox e Oy são ddosD qundo tommos novos eixos prlelos os nterioresD dizemos que oorreu um trnslção de eixosF gonsideremos que os eixos ddos Ox e Oy form trnslddos os eixos O x e O y om nov origem O = (m, k ) em relção os eixos ddosF pigur QFIX rnslção de eixos ej P um ponto de oordends (x, y ) em relção os eixos originis e (x , y ) em relção os novos eixosF mos relionr (x, y ) om (x , y )F emos queX x=x +m y =y +k intãoD temos s equções de trnslção de eixosX x =x−m y =y−k e equção de um urv é dd em x e y então equção em x e y é otid sustituindoEse x por x + m e y por y + k F y grá(o d equção em x e y em relção os eixos Ox e Oy é extmente o mesmo onjunto de pontos que o grá(o d equção orrespondente em x e y D em relção os eixos O x e O y F e form de um urv não é fetd pel posição dos eixos oordendosD no entnto su equção é modi(dF TR 3.3. TRANSLAÇÃO DE EIXOS ExemplosX pigur QFPX qrá(o d função hipérE 1 ole y = no plno rtesino Oxy F x pigur QFQX qrá(o d função hipérE 1 ole y = trnslddo dus uniddes x pr im e dus pr à direitF pigur QFRX qrá(o d função qudráE ti y = x2 no plno rtesino Oxy F pigur QFSX qrá(o d função qudráE ti y = x2 trnslddo três uniddes pr im e um pr à esquerdF ObservaçãoX gomo form d urv não mud por um trnslçãoD se trnslE drmos pens o domínio d funçãoD quntidde de vezes que o grá(o vi ortr o eixo x é mesmD ou sejD função trnsldd terá o mesmo número de rízes reisD o que não oorre qundo se trnsld imgem d função F TS 3.3. TRANSLAÇÃO DE EIXOS ExemplosX pigur QFTX qrá(o d função ui y = x3 − 6x2 + 8x no plno rtesino Oxy F pigur QFUX qrá(o d função ui y = x3 − 6x2 + 8x trnslddo dus uniddes pr à esquerdF pigur QFVX qrá(o d função qudráE ti y = x2 +6x+5 no plno rtesino Oxy F pigur QFWX qrá(o d função qudráE ti y = x2 + 6x + 5 trnslddo três uniddes pr à direitF essimD n us de um form mis simples pr resolver equções polinomiis levou os gênios iètiD grdno e perrri fzer um trnslção do domínio d função polinomil de gru orrespondente pel seguinte sustituição x = y − b/na onde n é o gru d função polinomilF hess formD iète fzendo mudnç x = y − b/2a trnsformou equção do 4ac − b2 ∆ Po gru ax2 + bx + c = 0 n equção ay 2 + p = 0D onde p = =− que 4a 4a TT 3.3. TRANSLAÇÃO DE EIXOS ∆ D sustituindo y em x = y − b/2a e fzendo s 4a2 simpli(ções neessárisD hegmos n fórmul de fháskrX √ −b ± b2 − 4ac x= . 2a possui soluções simples y = ± he form semelhnteD grdno fez mudnç x = y − b/3a e trnsformou equção do Qo gru ax3 + bx2 + cx + d = 0 n equção y 3 + px + q = 0D onde b2 c + , 2 3a a 3 2b bc d q= − + 27a3 3a2 a p=− n qul presentou um soluçãoX y= 3 q − + 2 q 2 p3 + + 4 27 3 q − − 2 q 2 p3 + 4 27 e sustituindo y em x = y − b/3a hegouEse um solução d equção omplet x= 3 q − + 2 q 2 p3 + + 4 27 3 q − − 2 q 2 p3 b + − . 4 27 3a i de modo nálogoD iète om su solução trigonométriX x = 2Rcosθ − endo p = −2R2 om p < 0 e q = −2R3 cos3θ. b . 3a perrri usou o mesmo rtifíioD sustituindo x por y − b/4a pr trnsformr equção do Ro gru ax4 + bx3 + cx2 + dx + c = 0 n equção y 4 + py 2 + qy + r = 0D onde pD q e r sãoX c 3b2 p = − 2D a 8a d bc q= − 2+ a 2a e bd r= − 2+ a 4a b3 D 8a3 b2 c 3b4 − 16a3 256a4 TU 3.4. USANDO DERIV ADAS PARA DETERMINAR OS COEFICIENTES DOS POLINÔMIOS NA FORMA REDUZIDA. e usndo ompletmento de qudrdos e um função uxilir de Qo gru onseE guiu soluções pr equção ompletF esolver um equção do Io gru é tão simples que ninguém vi se dr o trE lho de fzer ess trnslçãoD ms nós vmos só pr ver o que onteeX ej f (x) = ax + b = 0D om a = 0D um função polinomil do Io gru n vriável xF pzendo sustituição x = y − b/aD temos f ( x) = f y− b a =a y− b a + b = ay − b + b = ay. ortnto trnslção do domínio lev equção ax + b = 0 n equção ay = 0 que tem omo solução y = 0D pois a = 0D que sustituindo em x = y − b/a onduz à solução d equção do Io gru b x=− . a 3.4 Usando derivadas para determinar os coecientes dos polinômios na forma reduzida. mos mostrr gor que tod função polinomil que tem seu domínio trnslE ddo em m uniddes possui seus oe(ientes esritos em função ds derivds d função originl plids no ponto mF Função polinomial do 1o grauX ej f (x) : R → R um função polinomil do Io gru de(nid por f (x) = ax + bD om a = 0F ustituindo x por y + mD temos f (x) = f (y + m) = a(y + m) + b = ay + (am + b). gomo f (m) = am + b e f (m) = a podemos esrever f (x) = f (y + m) = f (m)y + f (m) ortntoD os oe(ientes d função do Io gru trnsldd só depende ds derivds de f (x) no ponto mF TV 3.4. USANDO DERIV ADAS PARA DETERMINAR OS COEFICIENTES DOS POLINÔMIOS NA FORMA REDUZIDA. Função polinomial do 2o grauX ej f (x) : R → R um função polinomil do Po gru de(nid por f (x) = ax + bx + c = 0D om a = 0F ustituindo x por y + mD temos 2 f (x) = f (y + m) = a(y + m)2 + b(y + m) + c = ay 2 + (2am + b)y + (am2 + bm + c). yservndo que f (m) = am2 + bm + cD f (m) = 2am + b e f (m) = 2aD podemos esrever os oe(ientes d função do Po gru trnsldd em função ds derivds de f (x) no ponto mF e função do Po gru trnsldd é dd por f (x) = f (y + m) = f (m) 2 y + f (m)y + f (m). 2 ortntoD os oe(ientes d função do Po gru trnsldd só depende ds derivds de f (x) no ponto mF Funções polinomiais do 3o e 4o grausX he form semelhnteD às funções do Io e Po grus podemos esrever função do Qo gru f (x) = ax3 + bx2 + cx + d = 0 trnsldd de x pr y + m em função ds sus derivds no ponto mD ou sejD f (y + m) = f (m) 3 f (m) 2 y + y + f (m)y + f (m) 6 2 e do Ro gru f (x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 trnsldd de x pr y + m em função ds derivds de f (x) no ponto mD ou sejD f (y + m) = f (m) 4 f (m) 3 f (m) 2 y + y + y + f (m)y + f (m). 24 6 2 ortntoD os oe(ientes ds funções do Qo e Ro grus trnsldds só dependem ds derivds d função f (x) plids no ponto mF yserve que tods s funções trnsldds seguem o mesmo pdrãoF TW 3.4. USANDO DERIV ADAS PARA DETERMINAR OS COEFICIENTES DOS POLINÔMIOS NA FORMA REDUZIDA. Função polinomial do 1o grauX 1 f (y + m) = f (m)y + f (m) = k=0 f k (m) k y . k! Função polinomial do 2 o grauX f (m) 2 f (y + m) = y + f (m)y + f (m) = 2 2 k=0 f k (m) k y . k! Função polinomial do 3o grauX f (m) 3 f (m) 2 y + y + f (m)y + f (m) = f (y + m) = 6 2 3 k=0 f k (m) k y . k! Função polinomial do 4o grauX f (m) 4 f (m) 3 f (m) 2 f (y + m) = y + y + y + f (m)y + f (m) = 24 6 2 qenerlizndo temosX 4 k=0 f k (m) k y . k! Teorema 3.2 Qualquer função polinomial de grau n transladada em m unidades possui coecientes que só dependem das derivadas da função f (x) original aplicadas no ponto m da seguinte forma: n f (x) = f (y + m) = k=0 f k (m) k y , k! (∗) onde n é o grau da função polinomial e f k (m) é a k-ésima derivada da função original aplicada no ponto m e considera-se a derivada de ordem zero como sendo a própria função. Demonstração: vemrndo que (zemos sustituição x = y + m ⇒ y = x − m que sustituído n expressão (∗) ( n f ( x) = k=0 f k (m) (x − m)k = k! ∞ k=0 f k (m) (x − m)k k! que é série de ylor d função polinomil expndid em torno do ponto x = mF ue sorte3 tá estávmos pensndo num prov por indução (nit sore os nturisF UH 3.4. USANDO DERIV ADAS PARA DETERMINAR OS COEFICIENTES DOS POLINÔMIOS NA FORMA REDUZIDA. 3.4.1 Aplicações. IF hdo o polinômio do Po gru p(x) = ax2 + bx + cF rove que o trinômio ax2 + bx + c possui α omo riz dupl seD e somente seD p(α) = 0D p (α) = 0 e p (α ) = 0 F ProvaX (⇐) pzendo sustituição de x por y + α em p(x) temEse p(x) = p(y + α) = p (α ) 2 y + p (α)y + p(α) 2 omo p(α) = 0D p (α) = 0 e p (α) = 0D temos p(y + α) = p (α) 2 p (α ) y ⇒ p(x) = (x − α)2 . 2 2 ortntoD α é riz dupl de p(x)F (⇒) e α é riz dupl de p(x) temos que p(x) = ax2 + bx + c = a(x − α)2 D om a = 0F vogo p(α) = 0, p (x) = 2a(x − α) ⇒ p (α) = 0, p (x) = 2a ⇒ p (α) = 2a ⇒ p (α) = 0D pois a = 0F PF wostre que 8x3 − 12x2 + 6x − 1 = (2x − 1)3 . gonsiderndo o polinômio p(x) = 8x3 − 12x2 + 6x − 1D temos 1 b = y + D temos pzendo sustituição x = y + 3a 2 Solução: p y+ 1 2 p = 6 1 2 p y3 + 2 1 2 y2 + p 1 2 y+p 1 2 . 1 glulndo s derivds no ponto x = D temos 2 1 = 1 − 3 + 3 − 1 = 0, p(x) = 8x3 − 12x2 + 6x − 1 ⇒ p 2 UI 3.5. USANDO DERIV ADA PARA ESCREVER OS COEFICIENTES DAS EQUAÇÕES POLINOMIAIS REDUZIDAS p (x) = 24x2 − 24x + 6 ⇒ p p (x) = 48x − 24 ⇒ p p (x) = 48 ⇒ p 1 2 1 2 = 48. 1 2 = 6 − 12 + 6 = 0, = 24 − 24 = 0, ustituindo os vlores ds derivds em p y+ otemos 1 2 p = 6 1 2 p y3 + 1 2 2 1 2 y2 + p 1 2 y+p 1 2 , p y+ oltndo pr vriável xD result = 8y 3 . 1 p(x) = 8 x − 2 3 = (2x − 1)3 . 3.5 Usando derivada para escrever os coecientes das equações polinomiais reduzidas gomo vimos nteriormenteD podemos esrever qulquer função polinomil de gru n trnsldd m uniddes om oe(ientes que só depende ds derivds d função f (x) originl plids no ponto m d seguinte formX n f (x) = f (y + m) = k=0 f k (m) k y , k! (∗) onde n é o gru d função polinomil e f k (m) é kEésim derivd d função originl plid no ponto mF eguindo o mesmo proedimento de ièteD grdno e perrri vmos sustituir b n expressão (∗) e fzendo f (x) = 0D otemos m por − na n fk − k! b na y k = 0. k=0 @form gerl d equção polinomil de gru n reduzidA UP 3.5. USANDO DERIV ADA PARA ESCREVER OS COEFICIENTES DAS EQUAÇÕES POLINOMIAIS REDUZIDAS mos esrever equção reduzid do Io gruF sndo form gerl e onsiderndo f (x) = ax + b = 0D temos f gomo f − b a y+f − b a = 0. − b a =aef − b a = 0D temos ay = 0 ⇒ y = 0. r equção do Po gruF sndo form gerl e onsiderndo f (x) = ax2 + bx + c = 0D temos f − 2 b 2a y2 + f b 2a − b 2a y+f − b 2a = 0. gomo f − b 2a = 2a e f − = 0D temos f = 0 ⇒ y2 + − a b 2a ay 2 + f − b 2a = 0. gomprndo om form reduzid de iète y 2 + p = 0D onluímos que f p= − a b 2a . ssso nos diz que os oe(ientes d form reduzid otid trvés d trnslção de x por y − b/2a dependem pens d função do Po gru plid no ponto x = −b/2aF iqução do Q o gruF sndo form gerl e onsiderndo f (x) = ax3 + bx2 + cx + d = 0D temos f − 6 b 3a f y3 + − 2 b 3a y2 + f UQ − b 3a y+f − b 3a = 0. 3.5. USANDO DERIV ADA PARA ESCREVER OS COEFICIENTES DAS EQUAÇÕES POLINOMIAIS REDUZIDAS gomo f − b 3a = 6a e f − b 3a = 0D temos f = 0 ⇒ y3 + − a b 3a f + − a b 3a ay 3 + f − b 3a +f − b 3a = 0. gomprndo om form reduzid y 3 + py + q = 0D temos que f p= − a b 3a f e − a q= b 3a são os oe(ientes d fórmul de grdno que dependem só d função do Qo gru e de sus derivds plids no ponto x = −b/3aF iqução do Ro gruF sndo form gerl e onsiderndo f (x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0D temos f − 24 b 4a f y4 + b 4a − 6 b 4a f y3 + b 4a − 2 b 4a y2 + f − b 4a y+f − b 4a = 0. gomo f − = 24a e f f − − = 0D podemos esrever − a b 4a f y+ − a b 4a y4 + b f 4a 2 y + 2a =0 e omprndo om form reduzid do Ro gru y 4 + py 2 + qy + r = 0D temos que f p= b f 4a Dq= 2a − − a b 4a f e r= − a b 4a F são os oe(ientes d form reduzid do Ro gru dependem pens ds derivds d função f (x) originl plids no ponto x = −b/4a. gomo eel e qlois já demonstrrm que nem tods s equções de gru mior ou igul S podem ser solúveis por meio de rdiis envolvendo seus oe(ientesD vmos nos restringir ás equções do Po té o Ro gruF UR 3.6. RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 3 o E 4 ◦ GRAUS COM O AUXÍLIO DE DERIV ADAS 3.6 Resolvendo equações do 3o e 4◦ graus com o auxílio de derivadas Exemplos: IF esolv equção x3 − 6x2 + 11x − 6 = 0 om uxílio de derivdsF Solução: b = y + 2 n equção omplet do pzendo sustituição x = y − 3a o Q gru podemos esrever form reduzid f y3 + − a b 3a f y+ − a b 3a = 0 ⇔ y 3 + f (2)y + f (2) = 0. xosso trlho se resume lulr f (2) e f (2)F emos que f (x) = x3 − 6x2 + 11x − 6 ⇒ f (2) = (2)3 − 6(2)2 + 11(2) − 6 = 8 − 24 + 22 − 6 = 0D f (x) = 3x2 − 12x + 11 ⇒ f (2) = 3(2)2 − 12(2) + 11 = 12 − 24 + 11 = −1F ortntoD equção reduzid é dd porX y 3 − y = 0D que pode ser filmente ftord n form y (y + 1)(y − 1) = 0D presentndo s seguintes rízesX y1 = −1D y2 = 0 e y3 = 1F oltndo gor pr vriável xD temos que x = y + 2 impli que s rízes d equção x3 − 6x2 + 11x − 6 = 0 sãoX x1 = y1 + 2 = −1 + 2 = 1D x2 = y2 + 2 = 0 + 2 = 2D x3 = y3 + 2 = 1 + 2 = 3F PF esolv equção x4 + 2x3 + 3x2 − 2x − 1 = 0 pelo método ds derivdsF b 1 pzendo sustituição x = y − = y − n equção omplet do 4a 2 Ro gru podemos esrever form reduzid SoluçãoX f y4 + ou sejD b f 4a 2 y + 2a − f − 2 1 2 − a b 4a f y+ − a b 4a = 0. y4 + y2 + f − US 1 2 y+f − 1 2 = 0. 3.6. RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 3 o E 4 ◦ GRAUS COM O AUXÍLIO DE DERIV ADAS ortntoD o nosso trlho é só lulr f − 1 Df 2 − 1 2 1 2 ef − 9 , 16 1 F emos que 2 f (x) = x4 + 2x3 + 3x2 − 2x − 1 ⇒ f f (x) = 4x3 + 6x2 + 6x − 2 ⇒ f f (x) = 12x2 + 12x + 6 ⇒ f ustituindo estes vloresD form reduzid ( − − 1 2 = = −4, = 3. − 1 2 3 9 y 4 + y 2 − 4y + = 0. 2 16 sndo um método preido om o de perrri vmos isolr o termo y 4 e somr o 3 9 termo 2sy 2 + s2 em mos os memros d equção y 4 + y 2 − 4y + = 0D sendo s 2 16 vriável uxilir que vi tornr o segundo memro d equção um @quseA qudrdo perfeitoF essimD y 4 + 2sy 2 + s2 = 2s − 3 2 y 2 + 4 y + s2 − 9 16 . yserve que o primeiro memro d equção é um qudrdo perfeitoF plt gor trnsformr o trinômio do Po memro em um qudrdo perfeitoY portnto ∆ = 42 − 4 2s − result 3 2 s2 − 9 16 =0 9 101 8s3 − 6s2 − s − = 0, 2 8 que é um equção do Qo gru em s noss vriável uxilirF mos plir outr vez o método d derivd pr enontrr form reduzid 9 101 d equção 8s3 − 6s2 − s − = 0. pçmos 2 8 101 9 f (s) = 8s3 − 6s2 − s − 2 8 e s=t− b 1 =t+ 3a 4 UT 3.6. RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 3 o E 4 ◦ GRAUS COM O AUXÍLIO DE DERIV ADAS que nos lev à form reduzid f t3 + − a b 3a f t+ − a b 3a f = 0 ⇔ t3 + 8 1 4 f t+ 1 4 8 = 0. glulndo s derivds om relção sD temos 9 101 f (s) = 8s3 − 6s2 − y − ⇒f 2 8 eD 1 4 1 4 = −14 f (s) = 24s2 − 12s − 9 ⇒f 2 = −6 3 7 e ssim form reduzid é t3 − t − = 0. 4 4 sndo fórmul de grdno temos que t ≈ 1, 41 é um solução que impli em s=t+ 1 ≈ 1, 41 + 0, 25 = 1, 66. 4 egorD retornndo à equção em y D já que onheemos o vlor de s que torn o segundo memro 4quse4 um qudrdo perfeitoD temos y 4 + 2sy 2 + s2 = ou 2s − 3 2 3 2 y 2 + 4 y + s2 − 9 16 9 16 ( y 2 + s) 2 = 2s − y 2 + 4 y + s2 − n qul sustituindo o vlor de sD otemos (y 2 + 1, 66)2 = 1, 82y 2 + 4y + 2, 19 = 1, 82(y + 1, 09)2 . ixtrindo riz qudrd em mos os memros temEse (y 2 + 1, 66) = ±1, 35(y + 1, 09), que result em dus equções do Po gru em y X y 2 − 1, 35y + 0, 19 = 0 e y 2 + 1, 35y + 3, 13 = 0. eplindo fórmul de fháskr @e um luldor ientí(A temEse UU 3.6. RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 3 o E 4 ◦ GRAUS COM O AUXÍLIO DE DERIV ADAS y1 ≈ 1, 2D y2 ≈ 0, 15D y3 ≈ −0, 67 + 1, 64i e y4 ≈ −0, 67 − 1, 64iF pzendoD (nlmente x = y − 1 temos 2 1 2 1 x2 = y2 − 2 1 x3 = y 3 − 2 1 x4 = y 4 − 2 x1 = y 1 − ⇒ x1 ≈ 0, 7D ⇒ x2 ≈ −0, 35D ⇒ x3 ≈ −1, 17 + 1, 64i, ⇒ x4 ≈ −1, 17 − 1, 64iF isto que o método ds derivds judou e muito n us dos oe(ientes ds equções reduzids prourmos um progrm n internet pr ser os vlores mis próximos ds soluções d equção x4 + 2x3 + 3x2 − 2x − 1 = 0 e enontrmos no site httpXGGwwwFprofrdyFomGluldorsGplitivosFphpclaW soluções em próxims dos nossos resultdosX x1 = 0, 7005983367294673, x2 = −0, 35091683192764356, x3 = −1, 174840752400912 + 1, 639280671416904i, x3 = −1, 174840752400912 − 1, 639280671416904i. wesmo om tntos rredondmentosD hegmos em pertoF UV Referências Bibliográcas I hnteD vuiz oertoF Matemática: contexto e aplicaçõesF Gvuiz oerto hnteFI edF ão ulo X ÁtiD PHIHD págF IUPEPHIF P perreirD ellington toséF História das soluções das equações por meio de radicaisF ertigo de gg niversidde gtóli de frsíliF Q qriD qilerto qF O romance das equações algébricasF ão uloX vivrri d písiD PHHUF R qiovnniD tosé uyF Matemática completaF Gtosé uy qiovnniD tosé oerto fonjornF PFedFrenovF ão ulo X phD PHHSD págF ITSEPIQF S uuroshD eF Higher AlgebraFGwir ulishersF IWVRF T vimD ilon vgesF Meu Professor de Matemática e outras históriasF sweD io de jneiroD dezemro de IWWID págF IREPPF U vimD ilon vgesF A matemática do ensino médio - vol.1 Gilon vges vimD ulo gezr into grvlhoD idurdo gnerD eugusto gésr worgdoFEWFedF io de tneiroX fwD PHHTD págFUVEITS V vimD osn xogueirF Resolução de equações do terceiro grau através de cônicasF hissertção de westrdo em idução wtemátiF gEF IWWWF W woreirD grlos qustvo mn de rújoD Uma solução das equações do 3o e do 4o graus. evist do rofessor de wtemáti E wD número PRD sweD io de tneiroD IWWRD págF PQEPVF IH yliveirD urerley srriel wrtinsF Iniciação à matemática:um curso com problemas e soluçõesF Gurerley srriel wrtins yliveirD Ádn tose gorho pernándezF io de tneiroX fwD PHIHD págF QQETH e PSQEPTTF II efttiD viline oseF Aspctos Históticos e Geométricos da Equação quadrática hisF ientiF érieX giênis xturis e enológisD F wriD vFT D nF VPID PHHS pFUWEWSF UW